DE THI VAO LOP 10 KHONG CHUYEN (LOI GIAI)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (142.66 KB, 6 trang )
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
1
ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN
Bài 1. Cho phương trình
()
()
()
2
58
01
1
mx m x m
xx
+− +
=
+
a) Tìm
m để phương trình có nghiệm 1
x
=
. Giải phương trình với những giá trị m vừa tìm được.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2.
a) Giải bất phương trình
2
232xxx−< − +
b) Giải hệ phương trình
2
2
5
5
xy
yx
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
Bài 3. Cho đường tròn
()
;ORvà dây cung 3BC R= . A là một điểm di động trên cung lớn
B
C
sao
cho tam giác
ABC là tam giác nhọn. Đường cao ,,AD BE C F cắt nhau tại
H
()
,,DBCEACFAB∈∈∈. AO cắt
(
)
O tại P và cắt EF tại
I
.
a) Tính
n
B
AC
b) Chứng minh tứ giác
DHIP
nội tiếp.
c) Chứng minh rằng đường trung trực của
OH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Bài 4.
a) Cho
22
444xyyx−+ −=
. Tính
22
x
y
+
b) Giải phương trình
22
26 3 26 21xxxx+−+ −=
Bài 5. Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải được 100 bài toán, biết rằng mỗi bạn giải được 60 bài. Ta gọi
bài toán là khó nếu chỉ có một bạn giải được bài đó. Ta gọi bài toán là dễ nếu cả ba bạn đều giải được
nó. Tính hiệu số giữa số bài toán khó và số bài toán dễ.
Hướng dẫn giải
Bài 1
a)
()
()
()
2
58
01
1
mx m x m
xx
+− +
=
+
Ta có
1
x
=
là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi
(
)
()
2
.1 5 8 .1
5
056 0
6
11 1
mmm
mm
+− +
=⇔− =⇔ =
+
Với
5
6
m = , phương trình trở thành
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
2
()
2
58.55
5
666
0
1
xx
xx
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
=
+
()
2
5105
0
1
xx
xx
−+
⇔=
+
(2) (điều kiện
0x >
)
Với điều kiện trên ta có
()
(
)
2
251050 1
x
xxn⇔−+=⇔=
Vậy phương trình có nghiệm
1
x
=
b)
()
()
()
2
58
01
1
mx m x m
xx
+− +
=
+
Điều kiện
0x >
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:
()
2
58 0mx m x m
+
−+= có hai
nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương với
()
()()
2
2
0
58 4 0
0
58
510 56 0
0
85
0
10
1
2
5
0
6
5
0
6
5
8
m
mm
m
m
mm
S
m
m
m
m
P
m
m
m
m
m
m
m
≠
⎧
⎧
⎪
Δ= − − >
⎪
⎪
≠
⎪
⎪
−
⇔
−−>
⎨⎨
=− >
⎪⎪
−
⎪⎪
>
⎩
⎪
==>
⎩
⎧
⎡
<
⎪
⎢
⎪
⎢
<
⎡
⎪
⎢
>
⎪
⎢
⎢
⇔⇔
⎣
⎨
⎢
>
⎪
<
⎡
⎣
⎪
⎢
⎪
⎢
>
⎪
⎣
⎩
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m
thỏa
0m
<
hoặc
5
6
m > .
Bài 2.
a)
Ta có:
()
2
22
22
232232
44 32
2
xxx xxx
xx xx
x
−< − +⇔ − < − +
⇔−+<−+
⇔>
Vậy nghiệm của bất phương trình là
2x >
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
3
b)
()
()
2
2
51
52
xy
yx
⎧
+=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
Lấy (1) trừ (2) ta có:
()( )
22
010
1
x
y
xyy x xy xy
x
y
=
⎡
−+ − =⇔ − −− =⇔
⎢
=
−
⎣
Với
x
y= thế vào (1) ta có:
2
121 121
22
50
121 121
22
yx
yy
yx
⎡
−+ −+
=⇒=
⎢
⎢
+−=⇔
⎢
−− −−
=⇒=
⎢
⎣
Với
1
x
y=−
thế vào (2) ta có:
22
117 117
22
15 40
117 117
22
yx
yy yy
yx
⎡
+−
=⇒=
⎢
⎢
+−=⇔ −−=⇔
⎢
−+
=⇒=
⎢
⎣
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm
()
,
x
y
là
1 21 1 21 1 21 1 21 1 17 1 17
,,,,,
22 22 22
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+ −+ −− −− − +
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
và
117117
,
22
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Bài 3.
M
P
I
F
E
D
H
C
B
O
A
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
4
a) Tính góc
n
B
AC
Vẽ đường kính
B
B
′
. Khi đó ta có
n
n
B
AC BB C
′
= (góc nội tiếp cùng chắn cung
p
B
C )
Và
n
90
o
BCB
′
= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Trong tam giác vuông
B
CB
′
ta có
n
n
33
sin 60 60
22
oo
BC R
BB C BB C BAC
BB R
′′
== =⇒ =⇒ =
′
b) Chứng minh DHIP nội tiếp
Ta có
nn
90
o
BEC BFC==, suy ra
B
FEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc
vuông)
Suy ra
n
n
AEF ABC= hay
n
n
AEI ABC=
Mặt khác ta có
n
n
ABC APC= (góc nội tiếp cùng chắn cung
p
AC )
Suy ra
n
n
AEI APC= .
Xét AEIΔ và
A
PCΔ
có
•
Góc
I
chung
•
n
n
()
cmtAEI APC=
Suy ra
()
AEI APC g g
∩
∪
ΔΔ −
Suy ra
()
1
AE AI
AI AP AE AC
AP AC
=⇒ =
Ta có:
()
()
.
2
AHE ACD g g
AH AE
AH AD AE AC
AE AD
∩
∪
ΔΔ
⇒=⇒ =
Từ (1) và (2) ta có
AI AH
AI AP AH AD
AD AP
=⇒=
Suy ra
()
A
HI APD c g c
∩
∪
ΔΔ
n
n
AHI APD⇒=
Suy ra tứ giác
DHIP nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)
c) Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định
Gọi
M
là giao điểm của cung nhỏ
p
B
C và đường trung trực của HO.
Ta có
n
n
()
B
AD APC cmt=
n
n
90
o
ABD ACP==, suy ra
()
n
n
()
.3ABD APC g g BAD PAC
∩
∪
ΔΔ ⇒=
Ta có
()
.
AH AE
AHE BCE g g
B
CBE
∩
∪
ΔΔ ⇒=
Trong tam giác vuông
ABE có
1
cot cot 60
3
o
AE
BAE
BE
===
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
5
Suy ra
13
333
AH BC R
AH R AO
BC
=⇒ = = ==
Suy ra tam giác
AHO cân tại A . Suy ra đường trung trực của HO cũng chính là đường phân giác của
góc
n
HAO hay
n
n
()
4MAH MAO=
Từ (3) và (4) ta có
n
n
B
AM CAM= , suy ra
B
MCM= hay
M
là trung điểm cung
p
B
C nên cố định
Vậy đường trung trực của
HO luôn đi qua một điểm cố định, điểm đó là trung điểm cung nhỏ
p
B
C của
đường tròn
()
O
Bài 4.
a) Ta có
() ()()()
()()
()()
()() ()()
()()
(
)
()()
()()
22
22 2 222
2222 2 2
22 2 2 2 2
22 2222
2
22
22
2222
2 2 22 22
22
444
4244 416
442 2 4 4 160
24416244 0
44 244 0
44 0
44
44
16 4 4
xyyx
xyxyy xyx
xyxyxy y x
xy x y xy x y
xyxyxyxy
xyxy
xyxy
xyxy
x y xy xy
xy
−+ −=
⇒−+ − −+−=
⇒+− + − −−=
⇒ −−+− − −=
⇒− − − − − + =
⇒− −−=
⇒− −=
⇒− − =
⇒− − + =
⇒+ 4=
b)
22
26 3 26 21xxxx+−+ −= (2)
Điều kiện:
2
26
26 0
26
x
x
x
⎡
≤−
−≥⇔
⎢
≥
⎢
⎣
Đặt
2
26tx x=+ − ( Điều kiện 0t ≥ )
Khi đó:
2
22 2 2 2 2
26
26 2 26 26 2 26 26
2
t
tx x x x x x x x
−
=+−+ −=+ −⇒ −=
Phương trình (2) trở thành:
Trung tâm BDKT QUANG MINH
423/27/15 Lạc Long Quân, P.5 , Q.11
Nguyễn Tăng Vũ - Trường Phổ Thông Năng Khiếu
6
()
(
)
()
2
2
6
326
21 3 2 120 0
20
2
3
tn
t
ttt
tl
⎡
=
−
⎢
+=⇔+−=⇔
−
⎢
=
⎢
⎣
Với
6t = ta có:
() ( )
22
2
2
2
26 6 26 6
26 6 6
212100
1
5
x
xxx
xx dkx
xx
x
x
+−=⇔−=−
⇔−=− ≤
⇔−+=
=
⎡
⇔
⎢
=
⎣
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x
= và 5x
=
Bài 5 Gọi
x
là số bài toán khó, ylà số bài toán dễ, z là số bài toán không khó không dễ (bài có hai
người làm được)
Vì số bài toán giải được là 100 bài nên ta có
(
)
100 1xyz++=
Số bài khó 1 bạn giải được, số bài dễ 3 bạn giải được, số bài còn lại là hai bạn giải được. Và mỗi bạn
giải được 60 bài nên ta có:
(
)
2 3 60 3 180 2xzy++=×=
Lấy (2) trừ (1) ta có
()
280 3zy+=
Lấy (1) trừ (3) ta có 20xy
−=
Vậy số bài toán khó nhiều hơn số bài toán dễ là 20 bài.
y
