Đề chọn đội tuyển mở rộng 9 năm học 2006-2007
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (131.43 KB, 4 trang )
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 - HUYỆN QUỐC OAI
NĂM HỌC 2006 – 2007
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Chứng minh
Znnnnn ∈∀−−+ 2422
234
⋮
Bài 2 : Cho ña thức
(
)
(
)
23,33
2234
+−=+++−= xxxgbaxxxxxf
a) Khi a = 7, b = -4, tìm dư khi chia f cho g
b) Tìm a, b ñể f chia hết cho g
Bài 3 : Giải các phương trình
a)
( )
1
3
1
1
1
1
2422
++
=
+−
−
−
++
+
xxxxx
x
xx
x
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1204321 xxxxx =++++
Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày dệt vượt kế hoạch 60
chiếc nên hoàn thành trước kế hoạch 3 ngày và dệt thêm ñược 1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao
nhiêu chiếc khăn ?
Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho
2006,1945
+
+
aa
ñều là số chính phương
Bài 6 : Chứng minh rằng
( )
*,
2
2
2
2
Qba
a
b
b
a
a
b
b
a
∈+≥+
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ ⊥ BC cắt AC tại F, AB tại E, vẽ các
hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lượt là giao ñiểm AB và HD, AC và KD
a) Chứng minh AIDJ là hình bình hành
b) Tính
AC
AJ
AB
AI
+
c) Chứng minh A là trung ñiểm HK
d) Tìm vị trí của D ñể tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất
Bài 1 : Chứng minh
Znnnnn + 2422
234
Giải
- Ta có :
(
)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )( )
211
1222
2222
22
23234
++=
+=++=
+=+
nnnn
nnnnnnn
nnnnnnnn
- Vì tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 và tích ba số nguyên liên tiếp chia hết
cho 3 mà UCLN(8;3) = 1 nên
Znnnnn + 2422
234
2 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 2 : Cho đa thức
(
)
(
)
23,33
2234
+=+++= xxxgbaxxxxxf
c) Khi a = 7, b = -4, tìm d khi chia f cho g
d) Tìm a, b để f chia hết cho g
Giải
a) Ta có :
(
)
( ) ( )
( )
( )
6101
6102323
4733
2
222
234
++=
++++=
++=
xxgx
xxxxxx
xxxxxf
-
Vì vậy thơng trong phép chia f cho g là 10x 6
b) Ta có :
(
)
(
)
(
)
2123
2
=+= xxxxxg
nên nhận 1, 2 là nghiệm do đó f chia
hết cho g khi và chỉ khi f nhận chúng là nghiệm
-
Nếu 1 là nghiệm của f thì
10331
=
+
=
+
+
+
baba
-
Nếu 2 là nghiệm của f thì
4202122416
=
+
=
+
+
+
baba
-
Từ đó suy ra :
2,3
=
=
ba
2 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Bài 3 : Giải các phơng trình
c)
( )
1
3
1
1
1
1
2422
++
=
+
++
+
xxxxx
x
xx
x
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1204321 xxxxx =++++
Giải
a) Điều kiện : x
0 do
01,01,01
2422
>++>+>++ xxxxxx
-
Mẫu thức chung :
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
1111
242
2
222
++=+=+++ xxxxxxxxxxx
-
Phơng trình đã cho
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
tmdkxx
xxxx
xxxxxxxx
2
3
32
011
31111
33
22
==
=+
=++++
b) Phơng trình đã cho
(
)
(
)
222
1206567 xxxxx =++++
-
Dễ thấy x
0, chia cả hai vế cho
2
x
ta đợc :
( )( )
==
=
=
=+=
+
=+
=++
=
++
=
++=
++
++
3,2
2
265
2
17
032
4
265
4
289
6
2
17
065
0617
11
6
6
1201
6
6120
6
5
6
7
2
2
2
2
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
3 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,75 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 4: Một tổ theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 500 chiếc khăn, trên thực tế mỗi ngày
dệt vợt kế hoạch 60 chiếc nên hoàn thành trớc kế hoạch 3 ngày và dệt thêm đợc
1200 chiếc. Hỏi theo kế hoạch tổ phải dệt bao nhiêu chiếc khăn ?
Giải
- Gọi số khăn phải dệt theo kế hoạch là x ( x N, x > 1200)
- Số ngày dệt theo kế hoạch :
500
x
(ngày)
-
Số ngày dệt thực tế :
560
1200
+
x
(ngày)
-
Theo bài ra ta có phơng trình :
3
560
1200
500
+
+
=
xx
-
Giải phơng trình :
)(24000
560
1
500
1
560
1200
3
560
1200
3
560
1
500
1
3
560
1200
500
tmdkx
x
xx
=
+
=
+=
+
+
=
-
Vậy theo kế hoạch tổ phải dệt 24000 chiếc khăn
3 điểm
0,5 điểm
1,75 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
Bài 5 :Tìm số nguyên a sao cho
2006,1945
+
+
aa
đều là số chính phơng
Giải
-
Giả sử
( )( )
( )
1045
30
31
1
61
6161
2006,1945
22
22
=
=
=
>+
=
=+
=+=
=+=+
a
l
k
Nlklkdo
lk
lk
lklklk
kala
3 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 6 : Chứng minh rằng
( )
*,
2
2
2
2
Qba
a
b
b
a
a
b
b
a
++
Giải
-
Nếu a, b trái dấu bất đẳng thức hiển nhiên đúng
-
Nếu a, b cùng dấu :
-
Đặt
2
2
2
2
2
2
=++= x
a
b
b
a
a
b
b
a
x
-
Ta phải chứng minh
(
)
(
)
021022
22
+ xxxxxx
-
Thật vậy, ta thấy
(
)
abbabababa 202
2222
2
++=
- Mà
dpcm
x
x
ab
ab
ab
ba
a
b
b
a
x
>+
=
+
=+=
02
01
2
2
22
Cách khác :
( ) ( ) ( )
( )
0
0
22
2
3.3
22
3344
2
2
2
2
++=+
+
++
bababaabbbaa
ba
baabba
a
b
b
a
a
b
b
a
3 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
Bài 7 : Cho tam giác ABC cân tại A, lấy D bất kỳ trên BC, qua D kẻ BC cắt AC tại F,
AB tại E, vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK, gọi I, J lần lợt là giao điểm AB và
4 điểm
HD, AC và KD
e) Chứng minh AIDJ là hình bình hành
f) Tính
AC
AJ
AB
AI
+
g) Chứng minh A là trung điểm HK
h) Tìm vị trí của D để tổng diện tích hai hình chữ nhật nhỏ nhất
Giải
G
M
N
J
I
K
F
H
C
B
A
D
E
a) Theo tính chất hình chữ nhật ta có các tam giác DJC và BID cân nên các góc
JDC = góc IBD, góc JCD = góc IDB DJ // IA, AJ // ID . Do đó tứ giác AIDJ
là hình bình hành
b) Từ câu a, theo Talét ta có :
BC
BD
AC
AJ
BC
DC
AB
AI
== ,
- Do đó : 1=
+
=+
BC
DBCD
AC
AJ
AB
AI
c) Theo câu a và theo tính chất hình chữ nhật ta có các tứ giác AHIJ và AKJI là
hình bình hành nên AH //= JI //= AK hay A là trung điểm HK
d) Dựng hình chữ nhật BNMC nh hình vẽ
constSS
ABCBNMC
=
=
2
- Khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích S của hai hình chữ nhật bằng diện tích
hình chữ nhật BNMC
- Ta chứng minh khi D không là trung điểm BC thì S luông lớn hơn diện tích
BNMC
- Thật vậy, giả sử BD > CD QN > QM, xét hai hình chữ nhật QMKF và QEHN
có QF = QE ( do tam giác EAF cân tại A), QN > QM
BNMCCDFKBDEHQMKFQEHN
SSSSS
>
+
>
- Vậy khi D là trung điểm BC thì tổng diện tích của hai hình chữ nhật sẽ nhỏ nhất
và bằng hai lần diện tích tam giac ABC
Cách khác :
(
)
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
tgaaxtgaxaxtgSS
ax
tgaxS
tgaxS
CDFKBHED
CDFK
BHED
222
22
2
2
22
0
+=++=+
=
+=
0,25 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
0,75 điểm
