Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 1

CÁC DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
DẠNG TOÁN 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp:
Sử dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định
B2: Tính y
’

B3: Giải phương trình
,
0
y

để tìm nghiệm
Tìm các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm
B4: Lập bảng xét dấu của
,
y
hoặc lập bảng biến thiên
B5: Kết luận:
,
0
y
 
ĐB
,
0
y
 

NB
2. Ví dụ:
* Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.
3 2
1
2 4 5
3
y x x x
   
b.
4 2
2 3
y x x
   

c.
2 1
1
x
y
x



d.
2
8 9
5
x x

y
x
 



* Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.
 
2
4
y x
b.
  


2
2 3
1
x x
y
x

c.
2
8
y x x
   
d.
1

2
1
y x
x
 


Chú ý: Nhấn mạnh một số điểm sau đây
- Tính
,
y
phải chính xác
- Yêu cầu học sinh hiểu rõ quy tắc xét dấu đối với một số hàm số:
+ Hàm số bậc nhất
+ Hàm số bậc hai
+ Hàm số có dạng:
TS
MS
y  , với
MS 0

thì dấu của hàm số cùng dấu với dấu của TS
+ Một số thủ thuật nhỏ khi giải toán


Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 2

DẠNG TOÁN 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG
1. Phương pháp:
Vận dụng các kiến thức:

 Hàm số đồng biến trên
K



,
0,
y x K
  

 Hàm số nghịch biến trên
K



,
0,
y x K
  

 Kiến thức về dấu của tam thức bậc hai
Cho hàm số
2
( ) , 0
f x ax bx c a
   
. Khi đó:

0
( ) 0,

0
a
f x x


   

 



0
( ) 0,
0
a
f x x


   

 



 Một số kiến thức khác:

( ) , min ( )
x D
f x x D f x
 


    

( ) , max ( )
x D
f x x D f x
 

    
Chú ý:
- Khi giải toán có thể bỏ qua điều kiện “và chỉ bằng không tại một số hữu hạn điểm” trong phần mở rộng
của ĐL1.
- Đối với hàm phân thức
B1
B1
y  thì hàm số ĐB (hoặc NB)
,
0
y
 
(hoặc
,
0
y

)
- Để hàm số
3 2
y ax bx cx d
   

có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)
1 2
( ; )
x x
bằng h thì ta thực
hiện các bước như sau:
 Tính
'
y

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến):
0
(1)
0
a 


 


 Biến đổi
1 2
x x h
 
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4 (2)
x x x x h  
 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành PT theo m

 Giải phương trình tìm được m và so sánh với điều kiện (1) để kết luận.
2. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
3 2
3 1
y x mx x
   
đồng biến trên

.
Giải
Ta có:
' 2
3 2 3
y x mx
  

Hàm số đồng biến trên
' 2
0, 3 2 3 0,y x x mx x
         
  

Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 3




' 2
9 0 3;3

m m       
Kết luận:


3;3
m 
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để hàm số
3 2
1
(2 3) 1
3
y x mx m x
     
nghịch biến trên tập xác định.
Giải
TXĐ:


Ta có:
' 2
2 2 3
y x mx m
    

Hàm số nghịch biến trên TXĐ
' 2
0, 2 2 3 0,y x x mx m x
           
 





' 2
2 3 0 3;1
m m m        
Kết luận:


3;1
m 
Ví dụ 3: Tìm điều kiện của m để hàm số
x m
y
x m



nghịch biến trên trên tập xác định.
Giải
TXĐ:


\
D m



Ta có:
'

2
2
( )
m
y
x m




Hàm số nghịch biến trên tập xác định
'
0, 2 0 0
y x D m m
        

Kết luận:
0
m


Ví dụ 4: Tìm điều kiện của m để hàm số
2
2 3
2
x x m
y
x
 



đồng biến trên từng miền xác định của chúng.
Giải
TXĐ:


\ 2
D 


Ta có:
2
'
2
2 8 6
( 2)
x x m
y
x
  



Hàm số đồng biến trên từng miền xác định
2
2
2
2 8 6
0, 2 8 6 0,
( 2)

x x m
x D x x m x D
x
  
          



'
16 2( 6) 4 2 0 2
m m m
           

Kết luận:
2
m
 

Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 4

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của m để hàm số
3 2
1
( 1) 4 5
3
y x m x x
    
nghịch biến trên



1;0

Giải
Ta có:
' 2
2( 1) 4
y x m x
   

Hàm số nghịch biến trên






2 2
1;0 2( 1) 4 0, 1;0 2 2 4, 1;0
x m x x mx x x x               





2
1;0
2 4
, 1;0 min ( )
2
x x

m x m f x
x

 
       , trong đó:
2
2 4
( )
2
x x
f x
x
 

Ta có:


2
'
2
4
( ) 0, 1;0
2
x
f x x
x

     
Hàm số f(x) nghịch biến trên



1;0
7
[ 1;0) min ( ) ( 1)
2
f x f

     

Kết luận:
7
2
m
 


Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để hàm số:
   
3 2
1
1 3 4
3
y x m x m x
      
đồng biến trên


0;3

Giải

Ta có:
' 2
2( 1) 3
y x m x m
     

Hàm số đồng biến trên
2 2
(0;3) 2( 1) 3 0, [0;3] (2 1) 2 3, [0;3]
x m x m x m x x x x               

2
[0;3]
2 3
, [0;3] max ( )
2 1
x x
m x m f x
x
 
     

, trong đó:
2
2 3
( )
2 1
x x
f x
x

 



Ta có:
2
'
2
2( 4)
( ) 0, [0;3]
(2 1)
x x
f x x
x
 
    

( )
f x
đồng biến trong khoảng
[0;3]
12
[0;3] max ( ) (3)
7
f x f
  

Kết luận:
12
7

m 
Ví dụ 7: Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) 3( 2) 1
3
y mx m x m x
     
đồng biến trên
[2; )


Giải
Ta có:
' 2
2( 1) 3( 2)
y mx m x m
    

Hàm số đồng biến trên
2
[2; ) ( 2 3) 2 6, 2
m x x x x
        


2
[2; )
2 6
, 2 max ( )

2 3
x
m x m f x
x x

 
     
 
, trong đó:
2
2 6
( )
2 3
x
f x
x x
 

 

Ta có:
2
'
2 2
2 12 6
( )
( 2 3)
x x
f x
x x

 

 

' 2
3 6
( ) 0 2 12 6 0
3 6
x
f x x x
x

 
     

 




(loại)
Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 5

Bảng biến thiên:
x

2
3 6




'
( )
f x

- 0 +
( )
f x

2
3
0
CT
Từ bảng biến thiên, ta có:
[2; )
2
max ( )
3
f x



Kết luận:
2
3
m


Ví dụ 8: Tìm m để hàm số



2
2 1 1
x m x m
y
x m
   


đồng biến trên


1;


Giải
TXĐ:


\
m


Ta có:
 
2 2
2
2 4 2 1
x mx m m
y

x m
   




Hàm số đồng biến trên


1,


 
2 2
2
2 4 2 1
0, (1; )
x mx m m
x
x m
   
   



2 2
( ) 0 1
( ) 2 4 2 1 0 1
(1)
1

0
g x x
g x x mx m m x
m
x m
  
       

 

 

 





Ta có: g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 x > 1  g(x) đồng biến trên [1, )
Do đó
2
1
(1) 6 1 0
3 2 2
Min ( ) 0
(1) 3 2 2
3 2 2
1
1
1

x
g m m
m
g x
m
m
m
m
m




   
 


  

    

  
 



 







Kết luận:
3 2 2
m  

Ví dụ 9:
3. Bài tập về nhà
Bài 1: Tìm m để hàm số
3 2
3 ( 1) 4
y x x m x m
     nghịch biến trên (-1; 1)
Bài 2: Tìm m để hàm số
3 2
1
2( 1) ( 1)
3
y mx m x m x m
     
đồng biến trong
( ;0) [2; )
  

Bài 3: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m

y
x
 


đồng biến trên
(3; )


Bài 4: Tìm m để hàm số
2
2 3
2 1
x x m
y
x
  


nghịch biến trên
1
;
2
 
 
 
 

Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số - Trường THPT Mường Bi 6


Bài 5: Tìm m để hàm số




2
6 5 2 1 3
1
mx m x m
y
x
   


nghịch biến trên


1;


Bài 6: Tìm m để hàm số
   
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x
     
đồng biến trên



2;


Bài 7: Tìm m để hàm số




2
4 5 cos 2 3 3 1
y m x m x m m
      
nghịch biến trên


Bài 8: Tìm m để hàm số
1 1
sin sin 2 sin3
4 9
y mx x x x
    đồng biến trên
