Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
a) Điều kiện đủ:
- f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
- f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b)
⇒
f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
b) Điều kiện cần.
- f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b)
⇒
f’(x)
0≥
trên khoảng (a ; b).
- f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b)
0)(' ≤⇒ xf
trên khoảng (a ; b).
2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Tìm TXĐ của hàm số.
- Tính y’,
- Giải phương trình y’ = 0.
- Lập bảng xét dấu y’.
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
• Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn
đúng
• Cần nhớ: f(x) = ax
2

+ bx + c
. Nếu
0
<∆
thì f(x) luôn cùng dấu a.
. Nếu
0
=∆
thì f(x) luôn cùng dấu a
a
b
x
2
−≠∀
. Nếu
0>∆
thì f(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
. Ta có bảng xét dấu sau:
x -
∞
x
1
x
2
+
∞
f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

• Đặc biệt: +



≤∆
>
⇔∈∀≥
0
0
0)(
a
Rxxf
+



≤∆
<
⇔∈∀≤
0
0
0)(
a
Rxxf

+
0)(0)( =⇔< xfaf
α
có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
và x
1
<
α
< x
2
.
BÀI TẬP
Bài 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
a) y = 4 + 3x – x
2
b) y = 2x
3
– 6x + 2 c) y = -
173
3
1
23
++− xxx

d) y = x
3
+ 3x + 1 e) y =
32
3
4
23
−+− xxx

f) y = x
4
– 2x
2
+ 3
g) y = -x
4
+ 2x
2
– 1 h) y = x
4
+ x
2
k) y =
x
x
−
+
1
13

l) y =
1
1
−
+
x
x
m) y =
1

1
2
−
+−
x
xx
n) y = x +
x
4
p) y =
2
4 x−
q) y =
20
2
−− xx

Bài 2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 1
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
a) y = x
3
– 3mx
2
+ (m + 2)x – 1 ĐS :
1
3
2
≤≤− m

b) y = mx
3
– (2m – 1)x
2
+ 4m – 1 ĐS : m =
2
1
Bài 3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
a) y =
1)8()2(
3
2
3
+−+−+− xmxm
x
ĐS :
41
≤≤−
m
b) y =
3)23(
3
)1(
2
3
+−++
−
xmmx
xm
ĐS :

2
1
≤m
Bài 4. Tìm m để các hàm số :
a) y =
mx
mx
+
+1
đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m < -1 hoặc m > 1
b) y =
mx
mmx
+
+− 102
nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS :
2
2
5
<<− m
Bài 5. Chứng minh rằng :
a) Hàm số y = sin
2
x + cosx đồng biến trên







3
;0
π
và nghịch biến trên






π
π
;
3
.
b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nửa khoảng






2
;0
π
Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
Bµi 1: Hµm bËc hai
1/ y = x
2
- 2x + 5 2/ y = - 2x

2
+ x
Bµi 2 : Hµm bËc ba
1/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x + 3 3/ y = 4x
3
+ x - 1
2/ y = - x
3
+
3
2
x
2
+ 6x - 3 4/ y = - 5x
3
+ x
2
- 4x + 7
Bài 2 : Hàm số trùng phương
1/ y = - x
4
+ 2x
2
3/ y = 2x
4
- x

2
+ 5
2/ y = x
4
+ x
2
- 3 4/ y = - 3x
4
- 2x
2
+ 1
Bài 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất
1/ y =
3 5
1
x
x
−
−
3/ y =
1
1x +
2/ y =
3
1 2
x
x
−
−
4/ y =

3 2
x
x
−
−
Bài 4 : Hàm bậc hai / bậc nhất
1/ y =
2
1x
x
−
4/ y = x+1 -
1
1x +
2/ y =
+ +
+
2
2 1
1
x x
x
5/ y =
− +
−
2
1
1
x x
x

3/ y =
− +
+
2
2 3
1
x x
x
6/ y =
− +
−
2
5 3
2
x x
x
Bµi 5 : Hµm sè v« tØ
1/ y =
6 2x−
6/ y = x +
2
9 x−
2/ y =
2
2x x−
7/ y = 2x - 1 -
3 5x −
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 2
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong

3/ y =
1
x
x +
8/ y = 1 +
2
10 2 8x x− −
4/ y = x + 1 -
2
4 x−
9/ y =
1
3
x
x
+
5/ y =
2
16
x
x−
10/ y =
3
2
6
x
x −
11/ y =
( 3)x x −
Bµi 6 : Hµm sè lîng gi¸c

1/ y = x - sinx trªn ®o¹n [0;2π]
3/ y = sin
1
x
víi x > 0
2/ y = x + 2cosx víi x ∈
5
;
6 6
π π
 
 ÷
 
4/ y = sin
2
x + cosx trªn ®o¹n
[ ]
0;
π
Bµi 7 : C¸c hµm sè kh¸c
1/ y =
4 3
1 1
2 3
4 3
x x x− + −
6/ y = 9x
7
- 7x
6

+
5
7
12
5
x +
2/ y =
5 3
4 2
3 3
2 1
5 4 3 2
x x
x x x− + + − −
7/ y =
1 1
2x x
−
−
3/ y =
4 3 2
3 3
2 6 11
4 2
x x x x− + − +
8/ y =
2
3
1
x

x +
4/ y = x
3
-
5
4
8
5
x +

9/ y =
2
2
8 24
4
x x
x
+ −
−
5/ y =
2
1
( 5)x −
10/ y =
4
48x
x
+
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x

0
);( ba∈
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x
0
)
);;(
00
hxhxx +−∈∀
và x
0
x≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực
đại tại x
0
.
b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x
0
)
);(
00
hxhxx +−∈∀
và x
0
x≠
thì ta nói hàm số f(x) đạt cực
tiểu tại x
0
.
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x
0

– h ; x
0
+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \{x
0
}, với h > 0. Khi đó:
a) Nếu



+∈∀<
=∈∀>
);(,0)('
);(,0)('
00
00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
b) Nếu



+∈∀>
−∈∀<
);(,,0)('
);(,0)('
00

00
hxxxxf
xhxxxf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
* Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x
0
– h ; x
0
+ h) với h > 0. Khi đó:
a) Nếu



>
=
0)("
0)('
xf
xf
thì x
0
là điểm cực tiểu của f(x).
b) Nếu



<
=

0)("
0)('
xf
xf
thì x
0
là điểm cực đại của f(x).
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 3
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
* Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
Quy tắc 1:
1. Tìm TXĐ
2. Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2.
1.Tìm TXĐ
2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x
i
( i = 1, 2, 3…n) là các nghiệm của nó.
3. Tính f”(x) và f”(x
i
).
4, Dựa vào dấu của f”(x
i
) suy ra tính chất cực trị của x
i
.
BÀI TẬP

1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
a) y = x
2
– 3x – 4 b) y = 2x
3
– 3x
2
+ 1 c) y =
xx 4
3
1
3
+−
d) y = x
3
– 3x
2
+3x
e) y =
14
2
1
24
−− xx
f) y =
24
4
1
xx +−
g) y = x

3
(1 – x)
2
h) y =
1
2
+
−
x
x
k) y =
2
2
−x
x
l) y = x +
x
1
m) y =
1
22
2
−
+−
x
xx
n ) y =
1
3
2

+
−
x
xx
p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ;
π
]
2. Tìm m để hàm số :
a) y = x
3
– 2mx
2
+ 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m
0≠
b) y =
1)13(2
3
23
−++− xmxx
m
có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS :
0;1
3
4
≠<<− mm
c) y =
1
2
2
−

+−
x
mxx
có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
d) y = x
4
– mx
2
+ 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0
e) y = x
3
– 3mx
2
+ (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
f) y = x
3
– mx
2
– mx – 5

đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
g) y = x
3
+ (m + 1)x
2
+ (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
h) y =
mx
mxx
+

++ 1
2
đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
k) y =
1
1
2
+
−+−
x
mmxx
đạt cực tiểu tại x = 1
Sö dông quy t¾c 1 ®Ó t×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau :
Bµi 1: Hµm bËc hai
1/ y = 2x
2
- 2x + 5 2/ y = - 3x
2
+ 2x
Bµi 2 : Hµm bËc ba
1/ y = 2x
3
- 9x
2
+ 12x + 3 3/ y = 4x
3
+ x - 1
2/ y = - x
3
+

3
2
x
2
+ 6x - 3 4/ y = - 5x
3
+ x
2
- 4x + 7
B à i 2 : Hàm số trùng phương
1/ y = - x
4
+ 2x
2
3/ y = 2x
4
- x
2
+ 5
2/ y = x
4
+ x
2
- 3 4/ y = - 3x
4
- 2x
2
+ 1
B à i 3 : Hàm bậc nhất / bậc nhất
1/ y =

3 5
1
x
x
−
−
3/ y =
1
1x +
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 4
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
2/ y =
3
1 2
x
x
−
−
4/ y =
−
3
2
x
x
B à i 4 : Hàm bậc hai / bậc nhấ t
1/ y =
2
1x
x

−
4/ y = x+1 -
1
1x +
2/ y =
+ +
+
2
2 1
1
x x
x
5/ y =
− +
−
2
1
1
x x
x
3/ y =
− +
+
2
2 3
1
x x
x
6/ y =
− +

−
2
5 3
2
x x
x
Bµi 5 : Hµm sè v« tØ
1/ y =
6 2x−
8/ y = x +
2
9 x−
2/ y =
2
2x x−
9/ y = 2x - 1 -
3 5x −
3/ y =
1
x
x +
10/ y = 1 +
2
10 2 8x x− −
4/ y = x + 1 -
2
4 x−
11/ y =
1
3

x
x
+
5/ y =
2
16
x
x−
12/ y =
3
2
6
x
x −
6/ y = x
2
2
2x +
13/ y =
( 3)x x −
7/ y = x- 6
2
3
x
14/ y = (7-x)
3
5x +
Bµi 7 : C¸c hµm sè kh¸c
1/ y =
4 3

1 1
2 3
4 3
x x x− + −
8/ y = (x-1)
8
+ 1000
2/ y = x
4
- 8x
3
+ 22x
2
- 24x + 10
9/ y =
1 1
2x x
−
−
3/ y =
4 3 2
3 3
2 6 11
4 2
x x x x− + − +
10/ y =
2
3
1
x

x +
4/ y = x
3
-
5
4
8
5
x +

11/ y =
2
2
8 24
4
x x
x
+ −
−
5/ y =
2
1
( 5)x −
12/ y =
4
48x
x
+
6/ y = (x+2)
2

(x-3)
3
13/ y =
2
2
( 4)
2 5
x
x x
−
− +
7/ y =
2
2
8 24
4
x x
x
+ −
−
14/ y = x-3 +
9
2x −
Sö dông quy t¾c 2 ®Ó t×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau :
Bµi 8
1/ y =
5 3
2
5 3
x x

− +
1/ y =
4 3
1 1
2 3
4 3
x x x− + −
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 5
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
2/ y = 9x
7
- 7x
6
+
5
7
12
5
x +
2/ y =
5 3
4 2
3 3
2 1
5 4 3 2
x x
x x x− + + − −
3/y = (x-2008)
9

+ 2009
3/ y =
4 3 2
3 3
2 6 11
4 2
x x x x− + − +
Bµi 9 : Hµm sè lîng gi¸c
1/ y = x + cox2x 6/ y = x - sin2x + 2
2/ y = sinx 7/ y = 3 - 2cosx - cos2x
3/ y = sinx - cosx 8/ y = 2sin2x - 3
4/ y = 2sinx + cos2x , x ∈[0; π] 9/ y = sinx + cosx , x ∈(- π ;π)
5/ y = cos
2
x
10/ y = sin
2
x -
3
cosx , x ∈ [0; π]
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
- Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu :
MxfDxvàDxMxf =∈∃∈∀≤ )(:,)(
00
Kí hiệu : M =
)(max xf
D
.
- Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu :

mxfDxvàDxmxf =∈∃∈∀≥ )(:,)(
00
Kí hiệu : m =
)(min xf
D
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại
)(min,)(max
];[
];[
xfxf
ba
ba
.
* Cách tìm :
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
, … , x
n
trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
2. Tính f(a), f(x
1
), ……., f(x
n
), f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M =
)(min),(max
];[
];[

xfmxf
ba
ba
=
.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
a) y = x
3
– 3x
2
+ 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x
3
– 3x
2
– 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]
c) y = x
4
– 2x
2
+ 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên đoạn [1 ; 4]
e) y = x +
x
1
trên khoảng (0 ; +
)∞

f) y = x -
x
1
trên nữa khoảng (0 ; 2]
g) y =
1
1
−
+
x
x
trên đoạn [2 ; 5] h) y =
2
452
2
+
++
x
xx
trên đoạn [-3 ; 3].
k) y =
x36 −
trên đoạn [-1 ; 1] l) y =
2
100 x−
trên doạn [-8 ; 6]
m) y = (x + 2).
2
1 x−
n) y =

1
1
2
+
+
x
x
trên doạn [1 ; 2]
p) y = x +
2
4 x−
q) y =
xx −++ 63
r) y =
xx sin42cos.2 +
trên






2
;0
π
s) y = 2sinx -
x
3
sin
3

4
trên
];0[
π
u) y = sin
2
x + 2sinx – 1 t) y = cos
2
2x - sinxcosx + 4
o) y = sin
4
x + cos
2
x + 2 w) y = x – sin2x trên






−
π
π
;
2
Bài 2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
Bài 3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là
48cm
2
.

Bài 4. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
1) y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên đọan [-1;2].
2) y =
2
1 x−
.
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 6
Gv: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
3) y =
.lnx x
trên đọan [ 1; e ].
4) y = sin2x – x trên đọan
;
6 2
π π
−
 
 
 
.
5) y = x – lnx + 3.
6)
2
1x x
y

x
+ +
=
với
0>x
7)
4 2
8 16y x x= − +
trên đoạn [ -1;3].
8) y =
3 2
2 4 2 2x x x− + − +
trên
[ 1; 3]−
9) y =
3 2
2 4 2 1x x x− + +
trên
[ 2;3]−

10)
3 2
( ) 3 9 3f x x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
2;2−
11)
2
4 4 .y x= + −
12)

4 2
1
( ) 2
4
f x x x= − +
trên đoạn [-2 ;0]
13) y = (x – 6)
2
4x +
trên đoạn [0 ; 3].
14) y = x+
2
1 x−
15) y = 2sin
2
x + 2sinx – 1
16)
2
9 7y x= −
trên đoạn [-1;1].
17)
3 2
2 3 12 10y x x x= − − +
trên đoạn [-3;3].
18)
5 4y x= −
trên đoạn [-1;1].
19)
1 x
y

x
−
=
trên đoạn [-2;-1].
20)
3 2
1
2 3 4
3
y x x x= + + −
trên đoạn [-4;0].
21)
1
y x
x
= +
trên khoảng ( 0 ; +∞ ).
22)
3 2
8 16 9y x x x= − + −
trên đoạn [1;3].
23)
4
2
3
2 2
x
y x= − − +
trên đoạn
1 2

;
2 3
 
−
 
 
24)
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−
trên khoảng (1 ; +∞ ).
25)
3
3 1y x x= − +
trên đoạn [0;2].
26)
3 2
3 9 35y x x x= − − +
trên đoạn [-4;4].
27)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên đoạn
1

2;
2
 
− −
 
 
28)
3 2
3 7 1y x x x= − − +
trên đoạn [0;3].
29)
3 2
3 9y x x x= + −
trên đoạn [-2;2].
30)
2
2 5 4
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên đoạn [0;1].
31)
1
1
5
y x

x
= + +
−
(x > 5 )
32)
2
3 1
x
y
x
=
−
trên đoạn
1
1;
2
 
− −
 
 
33)
2 1
1 3
x
y
x
+
=
−
trên đoạn [-1;0].

34)
3 2
3 4y x x= − −
trên đoạn
1
1;
2
 
−
 
 
35)
2
4y x= −

36)
1
1
y x
x
= +
−
trên khoảng
(1; )+∞
.
37)
3
3 3y x x= − +
trên đoạn
3

3;
2
 
−
 
 
Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
Trang 7
4. NG TIM CN CA TH HM S.
a) Tim cn ng.
Nu
+=+=
+

)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx
hoc
==
+

)(lim;)(lim
00
xfxf
xxxx

thỡ ng thng
x = x
0

l tim cn ng ca (C).
b) Tim cn ngang.
Nu
0
)(lim yxf
x
=
+
hoc
0
)(lim yxf
x
=

thỡ ng thng y = y
0
l tim cn ngang
ca (C).

BI TP.
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau :
Bài 1 :
1/ y =
3
1
x
x

+
2/ y =

1 2x
x

3/ y =
2
3 1
x
x +
4/y = 2-
1
2x
5/ y =
3
5
2x

6/ y =
2
3
1
x
x


7/ y =
2
2
1
2 2 5
x x

x x
+ +

8/ y =
2
3 2
1
x x
x
+
+
9/ y = x+2-
1
3x
10/ y =
3
1
x
x
11/ y =
2
2 1
3
x
x
x

+
12/ y =
3

2
2
2
x
x x
+

13/ y =
2
2
2
( 1)
x x
x
+

14/ y =
3
3
2
( 1)
x x
x
+
+
15/ y =
2
2
1
x x

x
+

Bài 2
1/ y =
2
1
1x


2/ y =
2
1 3
x
x
+

3/ y =
2
1
2
x
x
+
4/ y =
2
2 3x x x+ +
5/ y = 4x +
2
2 1x x +

6/ y =
2
2 1
4
x
x
+

7/ y =
3
1
x
x
+
+
8/ y = x +
2
x
9/ y =
2
2
x
x

+
5. KHO ST V V TH HM S.
I / Hm s y = ax
3
+ bx
2

+ cx + d ( a 0) .
1) Tp xỏc nh : +/ D = R .
2) S bin thiờn :
+/ Chiu bin thiờn :
y = 3ax
2
+ 2bx + c .
y = 0 <=> x
i
= ? ; f(x
i
) = ? .
+/ Hm s ng bin .
Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y
CT
= ….
Hàm số đạt cực Đại tại x = …., y
CĐ
= ….
+ / Giới hạn ở Vô cực :
=
−∞→
y
x
lim
? ;
=
+∞→

y
x
lim
? .
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? ? + ∞
y’ ? ? ?
y ? ? ?
3) Đồ thị :
+ ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : …
+) Đồ thị
II / Hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R .
2) Sự biến thiên :
+ / Giới hạn ở Vô cực :
=
−∞→
y
x
lim
? ;
=
+∞→
y
x

lim
? .
+/ Chiều biến thiên :
• y’ = 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b ) .
• y’ = 0 <=>





=
=
=
⇒





=
=
=
)(
)(
)0(
?

?
0
xf
xf
cf
x
x
x
.
+/ Hàm số đồng biến .
Hàm số Nghịch biến .
+/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số .
Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., y
CT
= ….
Hàm số đạt cực đại tại x = …., y
CĐ
= ….
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? ? + ∞
y’ ? ? ?
y
? ? ?
3) Đồ thị :
• Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.
• Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác …
Đồ thị : y
III / Hàm số :
dcx
bax

y
+
+
=
1) Tập xác định : +/ D = R /{ -
c
d
. }
2) Sự biến thiên :
+/ Chiều biến thiên :
• y’ =
2
)( dcx
bcad
+
−
.
• y’ > 0 ( y < 0 ) ,
∈∀x
D
+/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (… )
+/ Cực trị : Hàm số không có cực trị .
+ / Tiệm cận và Giới hạn :
=
−∞→
y
x
lim

c

a
và
=
+∞→
y
x
lim
c
a
=> tiệm cận ngang : y =
c
a
.
=
−
→
y
c
a
x
lim
? Và
=
+
→
y
c
a
x
lim

? => tiệm cận đứng : x =
c
d
−
.
+/ Bảng biến thiên :
x - ∞ ? ? + ∞
y’ ? ?
y
? ?
3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y =
d
b
.
Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x =
a
b−
, Đồ thị nhận giao điểm I(
c
d
−
;
c
a
) của
hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

BÀI TẬP
Bài 1 : Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1/ y = x

3
+ 3x
2
2/ y = x
3
- 3x
2
+ 4 3/ y = (x-1)(x
2
-2x-2)
4/ y = -x
3
+ 9x 5/ y = (x+1)
2
(x-2) 6/ y =
1
3
x
3
- x +
2
3
7/ y = x(3-x)
2
8/ y = - x
3
- 2x + 3 9/ y = x
3
+ 3x
2

- 4
10/ y = -x
3
+3x
2
-4x+2 11/ y = x
3
- 3x
2
+ 3x + 1 12/ y = 2 + 3x - x
3
13/ y =
3 2
1 5
3
3 3
x x x
14/y = x
3
- 3x + 1 15/ y = -
3 2
1 2
2
3 3
x x x+
16/ y = (4-x)(x-1)
2
17/ y = x
3
- 3x

2
+ 2 18/ y = 2x
3
- 3x
2
- 2
19/ y = x
3
- x
2
+ x 20/ y = - x
3
+ 3x + 1 21/ y = 4x
3
+ x
22/ y =
3 2
3 5
6 2 2
x x x
+ +
23/ y =
3 2
1
2
3
x x+
24/ y = x
3
- 6x

2
+ 9x
25/ y = -x
3
+
2
3
6 3
2
x x+
26/ y = x
3
- 4x - 3 27/ y = -x
3
+ 3x
2
- 1

Bi 2 : Kho sỏt s bin thiờn v v th cỏc hm s sau :
1/ y = x
4
- 2x
2
- 3
2/ y =
4
2
3
4 2
x

x +
3/ y = -x
4
+ 8x
2
- 1
4/ y = x
4
- 2x
2
+ 2
5/ y =
4 2
1 3
2 2
x x+
6/ y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
7/ y = - x
4
+ 2x
2
8/ y = x
4
- 5x
2

+ 4 9/ y = x
4
- x
2
+ 1
10/ y = x
4
- 2x
2
+ 1 11/ y = x
4
+ 3x
2
- 4 12/ y = x
4
- 4x
2
+ 3
13/ y = - x
4
+ 2x
2
+ 2 14/ y = - x
4
- 2x
2
+ 3
15/ y =
4
2

1
2
x
x +
16/ y = -x
4
+ 2x
2
- 1 17/ y = x
4
- 3x
2
+ 2 18/ y = -x
4
- 2x
2
+ 1
BI TP
Bi 3 : Kho sỏt s bin thiờn v v th ca cỏc hm s sau :
1/
1
1
x
y
x

=
+
2/
2

2 1
x
y
x

=
+
3/
2
1
x
y
x
+
=
+
4/
2
x
y
x
=
+
5/
1 2
1
x
y
x


=

6/
1 x
y
x

=
7/
1
2
x
y
x

=

8/
2 1
2
x
y
x
+
=

9/
2
1
x

y
x

=

10/
1
2
x
y
x
+
=
+
11/
2 1
1
x
y
x
+
=

12/
3
4
x
y
x


=

13/
1 2
1 2
x
y
x

=
+
14/
3 1
3
x
y
x

=

15/
2
2 1
x
y
x

=
+
MT S BI TON THNG GP V TH

1. Bin lun s nghim phng trỡnh da vo th
( Bài toán này thờng đi sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số )
Bài toán
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) .
2/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình f(x,m) = 0 (1)
3/ Tìm tham số m để phơng trình f(x,m) = 0 (1) có k nghiệm thoả mãn điều kiện nào đó .
Giải
Minh hoạ bằng đồ thị
• Bíc 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) cđa
hµm sè y = f(x) .
• Bíc 2 : BiÕn ®ỉi ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng
: f(x) = g(m) (2)
• Bíc 3 : Lý ln : Sè nghiƯm cđa ph-
¬ng tr×nh (1) b»ng sè nghiƯm cđa ph-
¬ng tr×nh (2) vµ b»ng sè giao ®iĨm
cđa ®å thÞ (C) (cã ph¬ng tr×nh y =
f(x)) víi ®êng th¼ng d (cã ph¬ng tr×nh
y = g(m)) .
• Bíc 4 : Dùa vµo yªu cÇu bµi to¸n
t×m ra ®iỊu kiƯn cđa tham sè m .
• Chó ý
- §å thÞ hµm sè y = g(m) lµ ®êng th¼ng song song víi trơc hoµnh vµ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm
cã tung ®é y
0
= g(m) .
- Trong ph¬ng tr×nh : f(x) = g(m) th× y = f(x) lµ hµm sè ®· cho ban ®Çu .
- NÕu bµi to¸n kh«ng b¾t vÏ ®å thÞ th× ta cã thĨ sư dơng b¶ng biÕn thiªn ®Ĩ gi¶i bµi to¸n nµy
.
- Sư dơng ph¬ng ph¸p nµy trong trêng hỵp tham sè m ®éc lËp ®ỵc vỊ mét vÕ , cßn trong tr-
êng hỵp ph¶i t×m nghiƯm cơ thĨ hay hƯ sè cđa Èn cßn cã tham sè m th× kh«ng dïng ph¬ng

ph¸p nµy ®ỵc .
2/ Giao điểm của hai đồ thị.
Hồnh độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương
trình f(x) = g(x) (1)
Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
3/ Tiếp tuyến.
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0

)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x

0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0
f (x )
(x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y
0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :


)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
1
;y
1

) :(NC)
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x
1
;y
1
) có hệ số góc k là: y = k(x–x
1
) + y
1
(1)
B2: d là tiếp tuyến của (C)
⇔
hệ phương trình sau có nghiệm :



=
′
+−=
kxf
yxxkxf
)(
)()(
11
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương
trình tiếp tuyến.
4, Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số ngun (NC)
Đưa hsố về dạng y = ax + b
nmx
c

+
+
với a,b,c,m,n, ngun
Để y ngun thì mx + n phải là ước số của c, suy ra các trường hợp.
Bài tốn luyện tập
a. Hàm số bậc ba
( )
0a ≠

Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3
3 2 0x x m− + − =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;4M
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ
1
2
x =
.
5. Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ
0y =
.

HƯỚNG DẪN GIẢI
CÂU ĐÁP ÁN
CÂU 1
(x điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→−∞
= −∞
và
x
lim y
→+∞
= +∞
b)
2
y' 3x 3= −
y' 0 x 1= ⇔ = ±

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
1;+∞
, nghịch biến trên khoảng

( )
1;1−
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 1= −
,
CĐ
y 4=
, đạt cực tiểu tại
x 1=
,
CT
y 0=
.
Bảng biến thiên:
3) Đồ thị
• Điểm uốn:
x
y’
y
-∞
-1
1
+∞
0
0
+
-
+
4

+∞
-∞
0
3 2
y = ax + bx + cx + d
CÂU ĐÁP ÁN
y'' 6x=
y'' 0 x 0= ⇔ =
Do y'' đổi dấu khi x đi qua
0
x 0=
Tọa độ điểm uốn
( )
U 0;2
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 2= ⇒ =
:
( )
0;2
+ Giao điểm với Ox:
( ) ( )
x 1
y 0 : 1;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ −
= −




-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn
( )
U 0;2
làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình
3
3 2 0x x m− + − =
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
3
y x 3x 2= − +
và đừờng thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với

m 0<
hoặc
m 4>
, (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có
một nghiệm.
Với
m 0=
hoặc
m 4=
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có
hai nghiệm.
Với
0 m 4
< <
, (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm.
3. (điểm)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
M 2;4
là
( )
y' 2 9=
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là
y 9x 14= −
.
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1

x
2
=
, có tung độ
0
1
y
2
=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
1 1
;
2 2
 
 ÷
 
là
1 9
y'
2 4
 
= −
 ÷
 
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
1 1
;
2 2
 

 ÷
 
là
9 13
y x
4 8
= − +
.
5. (điểm)
Điểm thuộc (C) có tung độ
0
y 0=
, có hoành độ
01
x 2= −
hoặc
02
x 1=
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;0−
là
( )
y' 2 9− =
.
Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là
y 9x 18= +
và
y 0=

.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương
3 2
3 0x x m− + =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
9
4
k =
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng
( )
: 3 2010d y x= +
.
Bài 3. Cho hàm số
3
4 3 1y x x= − −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình :

− + =
3
3
0
4
x x m
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng

( )
1
15
: 2010
9
d y x= − +
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng

( )
2
: 2010
72
x
d y = − +
5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm
( )
1, 4M −
.

Bài 4. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - -
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng

( )
1
2
: 2010
3
d y x= +
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
( )
2;3M
và tiếp xúc với đồ thị
(C).
4. Tìm m để đường thẳng
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân
biệt .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của
đồ thị (C).
Bài 5. Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= - + -

(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng

( )
1
2
: 2010
3
d y x= − +
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua
1
1;
4
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị
(C).
4. Tìm m để đường thẳng
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại một điểm duy
nhất .
5. Tìm m để đường thẳng
( ) ( )
3

: 1d y m x= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân
biệt .
Bài 6. Cho hàm số
3
2
2 3 1
3
x
y x x= − + +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :

3 2
6 9 3 0x x x m− + + − =
3. Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến
nhỏ nhất .
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
7
4;
3
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc đồ thị
(C) .
Bài 7. Cho hàm số

( )
3 2
3 1 2y x m x= − + + −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m =
.
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình :
3 2
3 2 0x x k− − =
.
3. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu .
4. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.
5. Tìm tất cả những điểm
( )
M C∈
sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến
đến (C) .
b. Hàm số trùng phương
( )
0a ≠
Bài 1. Cho hàm số
4 2
2y x x= −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

4 2
2x x m− =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
8y =
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 24 .
HƯỚNG DẪN GIẢI
CÂU ĐÁP ÁN
CÂU 1
(x
điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
D = ¡
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
x
lim y
→±∞
= +∞
4 2
y = ax + bx + c
CÂU ĐÁP ÁN
b) Bảng biến thiên
( )
3 2

y' 4x 4x 4x x 1= − = −
y' 0 x 0= ⇔ =
và
x 1= ±

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )
1;+∞
, nghịch biến
trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
0;1
.
Hàm số đạt cực đại tại
x 0
=
,
CÑ
y 0=
, đạt cực tiểu tại
x 1= ±
,
CT
y 0=

.
Bảng biến thiên:
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
x 0 y 0= ⇒ =
:
( )
0;0
+ Giao điểm với Ox:
( )
( )
x 0
y 0 : 0;0 , 2;0
x 2
=

= ⇔ ±

= ±


-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
2

2−
Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục
tung làm trục đối xứng.
2. (điểm)
Số nghiệm thực của phương trình
4 2
x 2x m− =
bằng số giao điểm của đồ
thị (C) của hàm số
4 2
y x 2x= −
và đường thẳng (d):
y m=
.
Dựa vào đồ thị ta có:
Với
m 1< −
, (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô nghiệm.
Với
m 1= −
hoặc
m 0>
, (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có
hai nghiệm.
Với
− < <
1 m 0
, (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có bốn
nghiệm.
3. (điểm)

Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
2=x
là
0
y 8=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
( )
2;8
là
( )
=y' 2 24
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;8
là
= −y 24x 56
.
x
y’
y
-∞
-1
1
+∞
0 0
+
–
+

-1
+∞
+
∞
0
0
–
-1
CÂU ĐÁP ÁN
4. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ
=
0
y 8
, có hoành độ
0
x 2= ±
.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và
( )
−2;8
lần lượt là
( )
=y' 2 24
,
( )
− = −y' 2 24
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )

2;8
là
= −y 24x 56
và tại điểm
( )
−2;8
là
= − −y 24x 40
.
5. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 24=
.
Khi đó, ta có:
( )
( )
3 2
0 0 0 0 0 0
4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12 0 x 2− − = ⇔ − + + = ⇔ =
Lúc này tung độ của M là
0
y 8=
.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là

= −y 24x 56
.
Bài 2. Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y = −
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 24
Bài 3. Cho hàm số
4 2
1y x x= + +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
2x x m− =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
21

16
y =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song
với đường
thẳng
( )
1
: 6 2010d y x= +
.
5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
( )
2
1
: 2010
6
d y x= +
.
Bài 4. Cho hàm số
4 2
1y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
4 2
0x x m− + + =
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
3
16

y =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp
tuyến bằng 2.
5. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) .
Bài 5. Cho hàm số
4 2
1
2
4
y x x= −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình
4 2
8x x m− + =
có 4 nghiệm thực phân biệt.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song
với đường
thẳng
( )
1
: 15 2010d y x= +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường
thẳng
( )
2
8

: 2010
45
d y x= − +
.
5. Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) .
Bài 6. Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Tìm m để phương trình
4 2
8 4x x m− + =
có 2 nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1x =
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường
thẳng
( )
: 8 231 1 0d x y− + =
.
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
( )
0; 1M −
và tiếp xúc với

đồ thị (C) .
Bài 7. Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − +
(C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
4 2
2 8x x− + > −
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với
trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 .
5. Tìm m để đường thẳng
( )
: 3d y mx= +
cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân
biệt .
Bài 8. Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y mx m= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.

2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình
4 2
6 0x x k− + =
.
3. Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình
4
2
3 4
2
x
x− < −
.
4. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
3x =
.
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 9. Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +

1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m = −
.
2. Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình
4 2
4 0x x k− + =
.
3. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x
= −

.
4. Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
5. Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành
một tam giác có một góc 120
0
.
Bài 10. Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m =
.
2. Tìm k để phương trình
4 2
8 10 0x x k− + =
có hai nghiệm thực phân biệt .
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
( )
: 2 45 1 0d x y+ − =
.
4. Tìm m để hàm số có một điểm cực trị .
5. Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị .
c. Hàm số hữu tỉ
Bài 1. Cho hàm số
2 1
1
x

y
x
+
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
1
2
x =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y = −
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
3k = −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân
biệt .
CÂU ĐÁP ÁN
CÂU 1

(x điểm)
1. (điểm)
1) Tập xác định:
{ }
= −¡D \ 1
2) Sự biến thiên
a) Giới hạn
•
( )
−
→ −
= +∞
x 1
lim y
và
( )
+
→ −
= −∞
x 1
lim y

⇒ = −
x 1
là tiệm cận đứng
•
→−∞
=
x
lim y 2

và
→+∞
=
x
lim y 2

⇒ = y 2
là tiệm cận ngang
b) Bảng biến thiên
( )
= > ∀ ≠ −
+
2
1
y' 0, x 1
x 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
; 1−∞ −
và
( )
− +∞1;
.
Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên:
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
+ Giao điểm với Oy:
= ⇒ =x 0 y 1
:

( )
0;1
x
y’
y
-∞
-1
+∞
2
+
+
+∞
-∞
2
ax + b
y =
cx + d
CÂU ĐÁP ÁN
+ Giao điểm với Ox:
 
= ⇔ = − −
 ÷
 
1 1
y 0 x : ;0
2 2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-2
-1

1
2
3
4
5
6
7
x
y
1
2
−
Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm
( )
−I 1;2
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
2. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ
0
1
x
2
=
, có tung độ
=
0
4
y
3
.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
 ÷
 
1 4
;
2 3
là
 
=
 ÷
 
1 4
y'
2 9
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm
 
 ÷
 
1 4
;
2 3
là
= +
4 14
y x
9 9
.
3. (điểm)
Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ

= −
0
1
y
2
, có hoành độ
= −
0
3
x
5
,
Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
 
− −
 ÷
 
3 1
;
5 2
là
 
− =
 ÷
 
3 5
y'
5 2
.
Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm

 
− −
 ÷
 
3 1
;
5 2
là
= +
5
y x 1
2
.
4. (điểm)
Điểm
( )
0 0
M x ;y
thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
( )
0
y' x 4=
.
Khi đó, ta có:
( )
0 01
2
0
1 1 1
4 x 1 x

2 2
x 1
= ⇔ + = ± ⇔ = −
+
hoặc
02
3
x
2
= −
.
Tung độ của điểm M là
01
1
y 0
2
 
− =
 ÷
 
hoặc
01
3
y 4
2
 
− =
 ÷
 
.

Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là
y 4x 2= +
và
y 4x 10= +
.
5. (điểm) Tìm m để đường thẳng
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình:
2x 1 5
mx 2m
x 1 3
+
= + −
+
(1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1.
x 1∀ ≠ −
,
(1)
⇔
2
1 2
mx m x 2m 0
3 3
 
− + + − =

 ÷
 
(2)
Ta thấy (2) không có nghiệm
x 1= −
.
Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
2
1 1
9m 2m 3m 0
9 3
 
∆ = − + = − >
 ÷
 

1
m
9
⇔ ≠
.
CÂU ĐÁP ÁN
Vậy
1
m
9
∀ ≠
thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 2. Cho hàm số

1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song
với đường
thẳng
( )
1
9
: 2010
2
d y x= − +
.
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
( )
2
1

: 1
8
d y x= −
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
3
1
: 2
3
d y mx m= + +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ âm .
Bài 3. Cho hàm số
1
1
x
y
x
−
=
+
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
( )

1
8 1
:
9 3
d y x= − +
.
5. Tìm m để đường thẳng
( )
2
1
: 2
3
d y mx m= − +
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm
phân biệt có hoành độ dương .
Bài 4. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
3. Tìm m để đường thẳng
( )

1
: 2 7d y mx m= − −
cắt đồ thị (C) tại hai điểm
A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB .
4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
( )
2
: 2 0d x y+ − =
.
5. Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều
là số nguyên .
Bài 5. Cho hàm số
2
2
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) , bit tip tuyn vuụng gúc
vi ng phõn giỏc ca gúc phn t th hai .
3. Vit phng trỡnh ng thng qua im
( )
3;4M
v tip xỳc vi th
(C) .

4. Tỡm m ng thng
( )
1
: 3d y mx m= +
th (C) ti hai im A, B
phõn bit .Tỡm tp hp trung im I ca on thng AB .
5. Tỡm nhng im trờn th (C) cú to vi honh v tung u
l s nguyờn .
Bi 6. Cho hm s
3
2 1
x
y
x

=

(C)
1. Kho sỏt v v th (C) ca hm s .
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) , bit tip tuyn song song
vi ng phõn giỏc ca gúc phn t th hai .
3. Vit phng trỡnh ng thng qua im
6
3;
5
M


ữ


v tip xỳc vi
th (C) .
4. Tỡm nhng im trờn th (C) cú to vi honh v tung u
l s nguyờn .
5. Chng minh rng tớch cỏc khong cỏch t mt im bt k trờn (C) n
hai ng tim cn ca (C) l mt hng s .
BI TP
Bài 1 : Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
- 4 có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : x
3
- 3x
2
+ m = 0 (1)
Bài 2 : Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm m để phơng trình : x
3
+ 3x
2
- m - 2 = 0 (1) có ba nghiệm phân biệt .
Bài 3 : Cho hàm số y =

1
2
x
4
- 3x
2
+
3
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm m để phơng trình : x
4
- 6x
2
+ m + 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 4 : Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm m để phơng trình : x
4
- 2x
2
+ logm - 1 = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 5 : Cho hàm số y = (1-x
2
)

2
- 6 (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : m - x
4
+ 2x
2
= 0 (1)
Bài 6 : Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
- 1 (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm m để phơng trình : 4x
4
- 8x
2
- 3 - m = 0 (1) có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 7 : Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
có đồ thị (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Tìm m để phơng trình : - x
3
+ 3x
2
+ m

3
- 3m
2
= 0 (1) có ba nghiệm phân biệt .
Bài 8 .Tỡm ta giao im ca hai th :
a) y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 v y = x + 1 b) y = x
3
+ 3x
2
+ 1 v y = 2x + 5
c) y = x
3
3x v y = x
2
+ x 4 d) y = x
4
+ 4x
2
3 v y = x
2
+ 1
Bài 9 Tỡm m ủeồ ủo thũ caực haứm soỏ:
a)
2
( 2) 1
; 1

2
x
y y mx
x
+ −
= = +
+
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3
; 2
1
x x m
y y x m
x
− +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN
1. Cho (C) : y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C) (Là điểm có hồnh độ là nghiệm của phương trình f”(x) = 0)
b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d

1
: y = 9x – 5.
d) Vng góc với đường thẳng d
2
: x + 24y = 0.
2. Cho (C) : y =
2
2
+
−
x
x
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
b) Song song với đường thẳng d
1
: y = 4x – 5.
c) Vng góc với đường thẳng d
2
: y = -x.
d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y =
1
1
2
−
−+
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vng góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x
3
– 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y =
2
3
3
2
1
24
+− xx
đi qua điểm A(0 ;
)
2
3
.
c) y =
2
2
−
+
x
x
đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =
2

54
2
−
+−
x
xx
đi qua điểm A(2 ; 1).
TỔNG HỢP VỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
I. Hàm bậc 3
1) Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M
0
(-1; -2)
c) Chứng minh rằng điểm uốn của (C) là tâm đối xứng của nó.
2) Cho hàm số y = -x
3
+ 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x + m =
0.
c)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x
0
= 1.

3) Cho hàm số y = x
3
– 6x
2
+ 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn ú vuụng gúc vi ng thng y =
2
24
1
+ x
c) Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im cc tr ca hm s
4) Cho hm s y = - x
3
+ 3x
2
2.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn song song vi ng thng y
= - 9x + 1
c) Tỡm m ng thng y = m ct th (C) ti ba im phõn bit.
5) Cho hm s y =
1
3
1
23
+ xx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn i qua im A(1 ; 0)
6) Cho hm s y =

1
3
1
23
++ xxx
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc hũanh.
7) Cho hm s y = x
3
+ x
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti giao im ca (C) vi trc tung.
8 (TNTHPT 2008) Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
9 (TN THPT- lần 2 2008 ) Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình
3 2
3 0x x m =
có 3 nghiệm phân biệt.
10 (TNTHPT - 2007) Cho hm s y=
3

3 2x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im A(2 ;4) .
11 (TNTHPT - 2006) Cho hm s y=
3 2
3x x +
cú th (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Da vo th bin lun s nghim phng trỡnh :
3 2
3x x +
-m=0 .
12 (TNTHPT 2004- PB) Cho hm s y=
3 2
6 9x x x +
cú th l (C) .
a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình
y=0 .
13 (TNTHPT 2004 - KPB) Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
II. Hm bc 4 trựng phng
1)Cho hm s y = x
4
2x

2
+ 1
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x
4
2x
2
+ 1 m = 0.
c) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti im cú hũanh x =
2
2) Cho hm s y = - x
4
+ 2x
2
+ 2.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
b) Tỡm m phng trỡnh x
4
2x
2
+ m = 0 cú bn nghim phõn bit.