Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Phn I: I S
Lí thuyết :
1 . Học thuộc các quy tắc nhân,chia đơn thức với đơn thức,đơn thức với đa thức,phép chia hai đa
thức 1 biến.
2 . Nắm vững và vận dụng đợc 7 hằng đẳng thức - các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
3 . Nêu tính chất cơ bản của phân thức,các quy tắc đổi dấu - quy tắc rút gọn phân thức,tìm mẫu thức
chung,quy đồng mẫu thức.
4 . Học thuộc các quy tắc: cộng,trừ,nhân,chia các phân thức đại số.
5. Thế nào là hai phơng trình tơng đơng? Cho ví dụ.
6. Hai quy tắc biến đổi phơng trình.
7. Phơng trình bậc nhất một ẩn. Cách giải.
8. Cách giải phơng trình đa đợc về dạng ax + b = 0.
9. Phơng trình tích. Cách giải.
10. Cách giải phơng trình đa đợc về dạng phơng trình tích.
11 .Phơng trình chứa ẩn ở mẫu.
12 . Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
13 . Thế nào là hai bất phơng trình tơng đơng.
14. Hai quy tắc biến đổi bất phơng trình.
15. Bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
16. Cách giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài tập
Dạng 1: Nhân đơn thức với đa thức . Nhân đa thức với đa thức
A / c ác bài tập cơ bản
Câu 1: Thực hiện phép tính :
a, x(4x
3
- 5xy + 2x) c, (5x - 2y)(x
2
- xy + 1)
b, (x - 2)(x + 2)(x + 1) d, x

2
(x + y) + 2x(x
2
+ y)
Câu 2: Tính giá trị biểu thức :
a, B = x
2
(x + y) - y(x
2
- y
2
) tại x = -6 và y = 8
b, A= (x
2
- xy + y
2
)(2x + 3y)
Câu 3 : Tìm x biết :
a, 3x(12x - 4) - 9x(4x -3) = 30
b, 2x(x - 1) + x(5 - 2x) = 15
Câu 4: Thu gọn biểu thức rồi tìm x:
(12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81
B / Bài tập bổ sung
1/ Thực hiện các phép tính sau:
a) (2x - y)(4x
2
- 2xy + y
2
) b) (6x
5

y
2
- 9x
4
y
3
+ 15x
3
y
4
): 3x
3
y
2
c) (2x
3
- 21x
2
+ 67x - 60): (x - 5)
d) (x
4
+ 2x
3
+x - 25):(x
2
+5)
e) (27x
3
- 8): (6x + 9x
2

+ 4)
2/ Tìm x biết:
a) 2x(x-5)-x(3+2x)=26 b) 5x(x-1) = x-1 c) 2(x+5) - x
2
-5x = 0 d) (2x-3)
2
-(x+5)
2
=0
e) 3x
3
- 48x = 0 f) x
3
+ x
2
- 4x = 4
3/ Chứng minh rằng biểu thức:
A = x(x - 6) + 10 luôn luôn dơng với mọi x.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
1
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
B = x
2
- 2x + 9y
2
- 6y + 3
4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,B,C và giá trị lớn nhất của biểu thức D,E:
A = x
2
- 4x + 1 B = 4x

2
+ 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)
D = 5 - 8x - x
2
E = 4x - x
2
+1
5/ Xác định a để đa thức: x
3
+ x
2
+ a - x chia hết cho(x + 1)
2
6/ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x,y
A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x
2
- 6x + 9) - 2(4x
3
- 1)
C = (x - 1)
3
- (x + 1)
3
+ 6(x + 1)(x - 1)
7/ Chứng minh rằng:
5
2005
+ 5
2003
chia hết cho 13

b) a
2
+ b
2
+ 1 ab + a + b
Cho a + b + c = 0. chứng minh:
a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
8/ a) Tìm giá trị của a,b biết:
a
2
- 2a + 6b + b
2
= -10
b) Tính giá trị của biểu thức;
A =
x
zy
y
zx
z
yx +
+
+
+

+
nếu
0
111
=++
zyx
Dạng 2: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
I. Các hằng đẳng thức cần nhớ:
1/ (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
2/ (A - B)
2
= A
2
- 2AB+B
2
8/
3/ / A
2
- B
2
=(A-B) (A+B)
9/
4/ (A+B)
3
=A

3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
10/
5/ (A - B)
3
=A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
6/ A
3
+ B
3
=(A+B)( A
2
- AB +B
2
)
7/ A
3
- B

3
=(A-B)( A
2
+AB+B
2
)
Bài tập1: Điền vào chỗ để đợc khẳng định đúng.(áp dụng các HĐT)
1) (x-1)
3
= 2) (1 + y)
3
=
3) x
3
+y
3
= 4) a
3
- 1 =
5) a
3
+8 = 6) (x+1)(x
2
-x+1) =
7) (x -2)(x
2
+ 2x +4) = 8) (1- x)(1+x+x
2
) =
9) a

3
+3a
2
+3a + 1 = 10) b
3
- 6b
2
+12b -8 =
Câu 1: Viết các đa thức sau dới dạng bình phơng của một tổng, tích:
a, (2x + 3y)
2
+ 2(2x + 3y) + 1

b, 27x
3
+ 8 c, 8x
3
- y
3
d, x
2
+ 4xy + 4y
2
Câu 2: Tính (a + b)
2
biết a
2
= 4 và ab = 2
Câu 3: Chứng minh dẳng thức:
a) (a - b)

2
= (a + b)
2
- 4ab b) (a + b)
3
- 3ab(a + b) = a
3
+ b
3
:
c) a
3
- b
3
=(a - b
3
)+(a - b)
3
+3ab(a - b)
Câu 4: Rút gọn biểu thức :
a) A = (x - 3x + 9)(x + 3

) - (54 + x
3
) b) B = (x + 3)(x
2
- 3x + 9) - (54 + x
3
)
Câu 5 : Tính giá trị của biểu thức : y

2
+ 4y + 4 tại y=98
Câu 6: Dùng HĐT triển khai các tích sau.
a) (2x 3y) (2x + 3y) b) (1+ 5a) (1+ 5a) c) (2a + 3b) (2a + 3b) d) (a+b-c) (a+b+c)
Câu 7: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức
a) M = (2x + y)
2
(2x + y) (2x - y) + y(x - y) với x= - 2; y= 3.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
2
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
b) N = (a 3b)
2
- (a + 3b)
2
(a -1)(b -2 ) với a =
2
1
; b = -3.
c) P = (2x 5) (2x + 5) (2x + 1)
2
với x= - 2005.
d) Q = (y 3) (y + 3)(y
2
+9) (y
2
+2) (y
2
- 2).
Câu 8: Tìm x, biết:

a) (x 2)
2
- (x+3)
2
4(x+1) = 5. b) (2x 3) (2x + 3) (x 1)
2
3x(x 5) = - 44
Câu 9. So sánh.
a) A=2005.2007 và B = 20062 b) B = (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) và B = 232
c) C = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1) và B= 332-1
Câu 10: Tính nhanh.
a) 1272 + 146.127 + 732 b) 98.28 (184 1)(184 + 1)
c) 1002- 992 + 982 972 + + 22 12 d)
22
22
75125.150125
220180
++

e) (202+182+162+ +42+22)-( 192+172+ +32+12)
Câu 11 CM các BT sau có giá trị không âm.
a) A = x
2
4x +9. b) N = 1 x + x
2
.
Câu 12: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) C = 6xy(xy y
2
) - 8x

2
(x-y
2
) =5y
2
(x
2
-xy) với x=
2
1
; y= 2.
b) D = (y
2
+2)(y- 4) (2y
2
+1)(
2
1
y 2) với y=-
3
2
Câu 13Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tích của hai số đầu ít hơn tích của hai số cuối 146 đơn vị.
Hớng dẫn:
(x+3)(x+2)- x(x+1) = 146 Đáp số: 35; 36; 37; 38.
202
Câu 14: CM các BT sau có giá trị không âm.
a) M = 9 6x +x
2
. b) B = 4x
2

+ 4x + 2007.
Câu 15: Tìm x, biết:
a) (5x + 1)
2
- (5x + 3) (5x - 3) = 30. b) (x + 3)
2
+ (x-2)(x+2) 2(x- 1)
2
= 7.
Câu 16/Rút gọn các biểu thức sau:
a) (x + y)
2
- (x - y)
2
b) (a + b)
3
+ (a - b)
3
- 2a
3
c) 9
8
.2
8
- (18
4
- 1)(18
4
+ 1)
Câu 17: Chứng minh đẳng thức.

1) (x + y)
3
= x(x-3y)
2
+y(y-3x)
2
2) (a+b)(a
2
ab + b
2
) + (a- b)(a
2
+ ab + b
2
) =2a
3
3) (a+b)(a
2
ab + b
2
) - (a- b)(a
2
+ ab + b
2
) =2b
3
4) (a+b)
3
= a
3

+ b
3
+3ab(a+b)
5) (a- b)
3
= a
3
- b
3
+3ab(a- b) 6) x
3
- y
3
+xy(x-y) = (x-y)(x+y)
2
Câu 18 Tìm x biết:
1) (x+3)(x
2
-3x + 9) x(x 2)(x +2) = 15.
2) (x+2)
3
x(x-3)(x+3) 6x
2
= 29.
Câu 19:Cho biểu thức : M = (x- 3)
3
(x+1)
3
+ 12x(x 1).
a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị của M tại x = -
3
2
c) Tìm x để M = -16.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
3
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Dạng 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử
Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
3
2
x(y-1) -
3
2
y(1-y) b) -x
3
+ 9x
2
- 27x + 27 c) 36 - 4x
2
+ 8xy - 4y
2
d) 3x
2
- 12y
2
e) 5xy
2
- 10 xyz + 5xz

2
. g) x
4
+ 64
Câu 2 : Tính giá trị biểu thức :
a) A= a(a-1) - b(1-a) tại a =2001 và b =1999
b) B = x
2
+ 4x + 4 tại x=80
c) C = (x
2
+3)
2
- (x+2)(x-2) tại x =3
Câu 3 : Tìm x biết :
a) (x-1)
2
=x - 1 b) 1 - 25x
2
= 0
c) 2(x + 3) - x
2
- 3x = 0. d) x(2x-7) - 4x +14 =0
B / Bài tập bổ sung
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. 16x
3
y + 0,25yz
3
6 3a 3b + a

2
2ab + b
2
2. x
4
4x
3
+ 4x
2
7 a
2
+ 2ab + b
2
2a 2b + 1
3. 2ab
2
a
2
b b
3
8 a
2
b
2
4a + 4b
4. a
3
+ a
2
b ab

2
b
3
9 a
3
b
3
3a + 3b
5. x
3
+ x
2
4x - 4 10 x
3
+ 3x
2
3x - 1
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. x
2
6x + 8 7 x
3
5x
2
y 14xy
2
2. x
2
7xy + 10y
2

8 4x
2
17xy + 13y
2
3. a
2
5a - 14 9 - 7x
2
+ 5xy + 12y
2
4. 2m
2
+ 10m + 8 10 x
2
+ 8x + 7
5. 4p
2
36p + 56 11 x
2
13x + 36
6. x
3
5x
2
14x 12 x
2
+ 3x 18
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. (x
2

+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x 12 2. (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x(x
2
+ 4x + 8) + 2x
2
3. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) 12 4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24
5. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
Bài 4/ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- y
2
- 2x + 2y b) 2x + 2y - x
2
- xy
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2

- 12c
2
d) x
2
- 25 + y
2
+ 2xy
e) a
2
+ 2ab + b
2
- ac - bc f) x
2
- 2x - 4y
2
- 4y
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
a x x x x
b x x x x
c x x x x
+ +
+ +
+ +

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
4
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18


x x x x x
x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1 : Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện HĐT hiệu của hai bình phơng:
A
2
- B
2
= (A - B)(A + B)
Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phơng pháp đổi biến
Bài 9:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các
giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán
vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y
z, z x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập
hợp các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,
z. Vì đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán nâng cao
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
5
( )
2
2 2 2 2
4 4 4
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 64 4, 64 1 5, 81 4
x x x x
x x x

+ +
+ + +
7 2 7 5 5 4
5 8 7 5 4
1, 1 2, 1 3, 1
4, 1 5, 1 6, 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + + + + +
+ + + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2
3 8, ( ) 3( ) 2x x x x
+ + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2

1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + +
, với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).

) ( )( ) ( )( ) ( )( )
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
Dạng 4 : C hia đơn thức cho đơn thức
Chia đa thức cho đơn thức
Chia đa thức một biến đã sắp xếp
Câu 1 : Làm tính chia:
a)
2
1
x
2
y
3
: 5xy b) (15x
2
y
5
- 10xy
3
+12x
3
y
2

):5xy
2

c) (-8x
3
y
2
-12x
2
y + 4x
2
y
2
):4xy d) (10x
4
- 19x
3
+ 8x
2
- 3x):(2x
2
- 3x)
Câu 2: Tính giá trị của biểu thức: 20x
3
y
4
z
4
: 10xy
2

z
4
tại x = 1, y = - 1, z = 2006
Câu 3 : Tính giá trị của biểu thức : (15x
3
y
5
- 20x
4
y
4
- 25x
5
y
3
):5x
3
y
3
tại x=1; y=-1
Câu 4 : Xác định a để (6x
3
- 7x
2
x + a) chia hết cho đa thức (2x+1)
Câu 5 :
1/ Xác định a để đa thức: x
3
+ x
2

+ a - x chia hết cho(x + 1)
2
2/ Chứng minh rằng: 5
2005
+ 5
2003
chia hết cho 13
Câu 6 : Làm tính chia
a, ( x + y )
2
: ( x + y ) b, ( x y )
5
: ( y x )
4
c, ( x y + z )
4
: ( x y + z )
3
Câu 7: Làm tính chia
a, (5x
4
3x
3
+ x
2
) : 3x
2
b, (5xy
2
+ 9xy x

2
y
2
) : (- xy) c, (x
3
y
3

1
2
x
2
y
3
x
3
y
2
) :
1
3
x
2
y
2
Câu 8 : Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a, x
4
: x
n

b, x
n
: x
3
c, 5x
n
y
3
: 4x
2
y
2
d, x
n
y
n + 1
: x
2
y
5
Câu 9 : Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết
a, (5x
3
7x
2
+ x) : 3x
n
b, (13x
4
y

3
5x
3
y
3
+ 6x
2
y
2
) : 5x
n
y
n

Câu 10 Tính nhanh giá trị của biểu thức
a, P = ( x + y )
2
+ x
2
y
2
tại x = 69 và y = 31
b, Q = 4x
2
9y
2
tại x =
1
2
và y = 33

c, M = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1 tại x = 99
d, N = x ( x 1) y ( 1 y ) tại x = 2001 và y = 1999
Câu 11: Tính giá trị của biểu thức sau
(- x
2
y
5
)
2
: (- x
2
y
5
) tại x =
1
2
; y = -1
Câu 12 : Tìm x biết
a, ( 3x 2 )( 4x 5) ( 2x 1 )( 6x + 2 ) = 0
b, x + 5x
2
= 0 c, x + 1 = (x + 1)
2
d, x
3
0,25x = 0

e, 5x(x 1) = (x 1) f, 2(x + 5) x
2
5x = 0
Dạng 5 : phân thức đại số
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
6
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
A / c ác bài tập cơ bản
Câu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.
a)
14
510
12
2
2


=
+
x
xx
x
A
. b)
2
4
16164
2
2
+

=

+
x
A
x
xx
.
Câu 2 : Tính giá trị của biểu thức :
a) A =
11025
5
2
2
+

xx
xx
với x = 0,2. b) B =
yx
yx
23
23
+

biết 9x
2
+ 4y
2
= 20xy và 2y < 3x< 0.

Câu 3 : So sánh:
200201
200201

+
=A
và
22
22
200201
200201

+
=B
Câu 4 : Thực hiện phép tính
a,
3 2 7 2
2 2
x x
xy xy
+
+
b,
2 2
2 2
5 5x y x y
x y xy
+
+
c,

2 3
3
7 2
.
5 21 6
x x y
xy x
+
+
d,
3
16 3 9
.
3 1 12
xy x
x xy


Câu 5: Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
a,
2
2
( ) ( )
( ) ( )
x xy y x x
x xy x y x
+
= =
+
b,


2 2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 3 2 2 2
0,35 0,7 0,35 ( 2 1) ( 1)
5 5 5 ( )
135 45 (3 ) 45( ) 3
,
15( 3) 15( 3) 15 ( 3)
15( 5) 15( 5) 3( 5) 3( )
,
100 20 20 ( ) 4 ( ) 4
x x x x x
x x x
x x
c
x x x x
x x x
d
x x x x x
+ + + +
= =
+

= = =



= = =

Câu 6: Rút gọn các phân thức
b,
3
3
8 (3 1)
12 (1 3 )
xy x
x x


c,
2
2
20 45
(2 3)
x
x

+
d,
2
3
5 10
2(2 )
x xy
y x



e,
3
80 125
3( 3) ( 3)(8 4 )
x x
x x x


f,
2
2
9 ( 5)
4 4
x
x x
+
+ +
g,
2 3
3
3 8 2
64
x x x
x
+
+
h,
3
4
5 5

1
x x
x
+

i,
2
2
5 6
4 4
x x
x x
+ +
+ +
Đáp án
Câu b c d e f g h i
Kết
quả
2
2
2 (1 3 )
3
y x
x

5(2 3)
2 3
x
x


+
2
5
2(2 )
x
y x


5 (4 5)
3
x x
x
+

8
2
x
x

+
2
4
x
x +
2
5
1
x
x +
3

2
x
x
+
+

Câu 7 Chứng minh các đẳng thức sau:
a,
2 2 3 2
2 2
2
2 2
x y xy y xy y
x xy y x y
+ + +
=
+
Câu 8: Rút gọn phân thức sau:

3
80x 125x
a)
3(x 3) (x 3)(8 4x)



2
2
9 (x 5)
b)

x 4x 4
+
+ +


2 3
3
32x 8x 2x
c)
x 64
+
+
d)
2
2
x 5x 6
x 4x 4
+ +
+ +
Câu 9: Chứng minh các đẳng thức sau:

3 2
3 2
4 4 1
)
7 14 8 2
a a a a
a
a a a a
+ +

=
+
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
7
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8

4 3 2
4 3 2 2
1 ( 1)
)
2 1 1
x x x x
b
x x x x x
+ + + +
=
+ + +
Câu 10: Tính giá trị của biểu thức
3 3
2 2
3 ( )
2
m n mn m n
A
m n mn

=
+
với m = 6,75; n = -3,25.
Gợi ý: + Rút gọn biểu thức ta đợc A = m - n.

+ Thay m = 6,75; n =-3,25 v o A = m - n ta cú k t qu
Câu 11 Cho P =
65
4
2
2
+

xx
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P tại x =
2
3

Câu 12: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau
a,
5224
3
2
;
8
5
,
10
23
xyyxyx
x
+
b,

4 4 3
;
2 ( 3) 3 ( 1)
x x
x x x x

+ +
2 2 2 2
7 1 5 3 1 2
, ; , ;
2 6 9 2 4 2
x x x x
c d
x x x x x x x
+ +
+ +
Câu 13: Cộng các phân thức sau
a,
3 3 3
1 2 3 2 2 4
6 6 6
x y x
x y x y x y
+
+ +
2
2 2
3 1 6
,
3 1 3 1

x x x
b
x x x x
+
+
+ +
2
2 2 2
5 7 11 3 2 3 2 1
, )
6 12 8 2 2 1 4 2
x x
d e
x y xy xy x x x x
+
+ + + +

Câu 14: Dùng quy tắc đổi dấu để tìm MTC rồi thực hiện phép cộng
a,
2
4 2 5 6
2 2 4
x
x x x

+ +
+

2
1 3 3 2 3 2

,
2 2 1 2 4
x x x
b
x x x x

+ +

2 2 2
1 1
,
6 9 6 9 9
x
d
x x x x x
+ +
+ +

2 2
4
,
2 2 4
x x xy
e
x y x y y x
+ +
+
Câu 15Thực hiện phép tính:
2 5 8
)

3 5 4
x x x
a
x x x
+
+ +

3 2
1 1
)
1 1 1 1
x x
b
x x x x
+ + +
+ +
Câu 16: Thực hiện phép tính:
a)
2
1 ( 1) 4
1 1 1
x x
x x x
+
+ +
+
b)
2
5 2 (2 33)
2 3 2 3 9 4

x
x x x

+ +
+
c)
2
4 2
( 2 )
2
x x
x
x
+
+
+
Câu 17: Tính tổng:
1) A =
3
1
65
1
23
11
222
+
+
++
+
++

+
+ aaaaaaa
2) B =
65
1
86
1
127
1
222
+
+
+

+
+ xxxxxx
Gợi ý: áp dụng :
1 1 1
( 1) 1n n n n

= +
+ +
Câu 18: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
A =
xxx
x
x
xx

+

++
+

++
1
6
11
786
23
2
tại
1
2
x =
.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
8
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
B =
322
1
2
1
11
x
x
xxxx
+
++
+


tai x = 10.
Câu 19Cho M =
2
2
22
1
22
x
x
x
x

+
+

a) Rút gọn M b) Tìm x để M = -
2
1
Câu 20: Thực hiện phép tính.
a,
3 3 3
1 2 3 2 2 4
6 6 6
x y x
x y x y x y

+ +
. b,
2 2

5 7 11
6 12 18x y xy xy
+ +
. c,
2
4 2 5 6
2 2 4
x
x x x

+ +
+
.
d,
3 2 7 4
2 2
x x
xy xy


. e,
2
2 2 2 2
xy x
x y y x


. g,
2
1 1 3 6

3 2 3 2 4 9
x
x x x


+
.
Câu 21Rút gọn biểu thức.
2 3 4 3
2 3 2 4
3 8 12 6 15 7 4 4 19 8 5 9 19 8 4 2
, . , . . , . .
4 9 27 2 2 14 1 15 7 7 1945 7 1945
x x x x x x x x x x x x
a b c
x x x x x x x x x x
+ + + + + + +

+ + + + + + +
Câu 22: Tìm Q, biết.

2 2
3 3 2 2
2
.
x y x xy y
Q
x y x xy y
+
=

+ +
Bài 23: Tính.
a)
2
2
3
14
:
36
x
x
x
x
b)
)(:
22
4
33
yx
yx
xyyx
+
+
c)
yx
xyzyx
zyxyx
zyx
22
2

:
)()(
222
2
+
++
++
++
Câu 24: Rút gọn rồi tính giá trị của biiêủ thức.
a)
)2).(
2
1
2
2
4
(
2
+
+
+

+

= x
xxx
x
A
với x =
2

1

b)
)1).(
1
6
11
786
(
2
23
2


+
++
+

++
= x
xxx
x
x
xx
B
với x=
3
1
2
Câu 25 Rút gọn biểu thức:

A =
)2(:)( +
x
y
y
x
x
y
y
x
B =
22
33
22
:)
11
(
211
yx
yx
yxyx
yx
+






+

+
++
Câu 26 Cho biểu thức: M =
2
1
.
22
2
2
22
+







+

+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức M xác định

b) Rút gọn M.
Đáp số: a) x

0; x

1; x

-1 b) M =
x
2
Câu 27: Cho biểu thức: P =

















+
+

xxx
x 2
1
4
1
1
1
2
a) Tìm các giá trị của x để biểu thức P xác định
b) Rút gọn P.
Đáp số: a) x

0; x

1; x

-1 b) P =2.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
9
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Câu 28: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:
a)
2
1
2
1
+

+
x

x
x
b)
2
2
11
1
1
x
x
x
x
++

c)
yx
x
y
x
y
11
2
1
2
2

+
d)
2
16

2
4
3
1
4
+
+
x
x
x
x
Câu 29: Cho biểu thức A =
55
2
:)
1
1
1
1
(
+



+
x
x
x
x
x

x
a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị của A tại x = 3; x = -1. c) Tìm x để A = 2.
Đáp số: a) A =
1
10
+x
b) ĐKXĐ: x

1; x

-1; x

0;
Tại x = 3 t/m ĐKXĐ biểu thức A có giá trị:
2
5
13
10
=
+
Tại x = -1 không t/m ĐKXĐ biểu thức A không có giá trị tại x = -1.
c) x = 4 thì A = 2
Câu 30: Cho biểu thức B =
96
93
).
3
32
93
(

2
2
2
+



+

xx
xx
xx
x
x
x
a) Tìm ĐK để giá trị của biểu thức có giá trị xác định.
b) Rút gọn B. (Đáp số B = 1)
Câu 31: Cho biểu thức C = (x
2
-1)(
1
1
1
1
1
+
+

xx
)

a) Rút gọn C.
b) CMR với mọi x t/m ĐKXĐ biểu thức C luôn có giá trị dơng.
(Đáp số: C = x
2
+3 )
Câu 32: Tìm giá trị của biến x để giá trị của cỏc biểu thức sau có giá trị nguyên:
a)
3
2
x
b)
2
3
+x
c)
4
143
23

+
x
xxx
d)
23
13
2
+
+
x
xx

Câu 33 : Cho phân thức A=
2
2
5 4
7 8
x x
x x
+
+
a) Tìm x để phân thức xác định. B) Tìm x Z để A Z
Câu 34: Cho phân thức B =
2
8 16
4
x x
x
+

a) Tìm x để phân thức B xác định.
b) Tìm x để B = 1 b) Rút gọn B
Câu 35: Cho biểu thức: A=
2
1
:)
4
8
42
2
42
2

(
2



+
+



+
x
x
x
x
x
x
x
a, Với giá trị nào của x thì biểu thức đợc xác định.
b, Hãy rút gọn biểu thức A.
c,Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị bằng1.
Câu 36: Cho biu thc: P =


















+
+
xxx
x 2
1
4
1
1
1
2
a/ Tỡm cỏc giỏ tr ca x biu thc P xỏc nh
b/ Rỳt gn P.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
10
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Câu 37 : Cho biu thc:
2
2
1
2 2 2 2
x x

A
x x
+
= +

a) Vi giỏ tr no ca x thỡ biu thc A cú ngha?
b) Rỳt gn biu thc A
c) Tỡm giỏ tr ca x A =
1
2

?
Câu 38 : Cho biu thc: A =
55
2
:)
1
1
1
1
(
+



+
x
x
x
x

x
x
a) Rỳt gn A.
b) Tỡm giỏ tr ca A ti x=3; x = -1.
c) Tỡm x A = 2.
Câu 39: Cho biu thc B =
96
93
).
3
32
93
(
2
2
2
+



+

xx
xx
xx
x
x
x
a) Tỡm iu kin ca x giỏ tr ca biu thc xỏc nh.
b) Rỳt gn B.

Câu 40: Cho biu thc: P =

















+
+
xxx
x 2
1
4
1
1
1
2
a/ Tỡm cỏc giỏ tr ca x biu thc P xỏc nh
b/ Rỳt gn P.

Câu 41: Cho biu thc : M =
x
xx
x
x

+
+

+
+
2
1
6
5
3
2
2
a) Tỡm iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc
b) Tỡm x nguyờn M cú giỏ tr nguyờn
Câu 42: Cho phõn thc: M =
2
2
1 1 4
2 2 4
x x
x x x
+
+
+

a) Rỳt gn M
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x M nhn giỏ tr nguyờn.
Câu 43: Cho biu thc: P =
2 2
4
. 4 3
2
x x
x x

+
+
ữ


( vi x

2 ; x

0)
a) . Rỳt gn P.
b) . Tỡm cỏc giỏ tr ca x P cú giỏ tr bộ nht. Tỡm giỏ tr bộ nht ú.
B / Bài tập bổ sung
Bài1/ : Cho biểu thức :














+
+



= 1
2
2
1
4
2
2
1
2
xx
x
x
x
A
a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x
2
+ x = 0
c) Tìm x để A=

2
1
d) Tìm x nguyên để A nguyên dơng.
Bài 2. Cho biểu thức :






+







+






=
3
1
1:
3

1
3
4
9
21
2
xx
x
x
x
x
B
a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức B tại x thoả mãn: |2x + 1| = 5
c) Tìm x để B =
5
3

d) Tìm x để B < 0.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
11
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Bài 3: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức M có giá trị là một số nguyên:
32
5710
2


=
x
xx

M
Bài 4 : Cho P =
2
3 6 4
1 1 1
x x
x x x

+
+

a) Rút gọn P =
1
1
x
x

+
; b) Tìm x để P < 1 ;
c)Tìm x
Z
để P
Z
; d)Tìm x để P= - 2
Dạng 6 : Ph ơng trình bậc nhất một ẩn.
A / c ác bài tập cơ bản
Câu 1 : Chứng minh rằng x = 3 là nghiệm của phơng trình
2mx - 5 = -x + 6m - 2 với mọi m
Câu 2 : Giải phơng trình :
a) 6,36 - 5,3x = 0 b)

4 5 1
3 6 2
x + =
c)
2
4 5 0x x
+ =
Câu 3 : Cho phơng trình ( m
2
- 4 )x + 2 = m
a) Giải phơng trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm.
Dạng : Phơng trình đa đợc về dạng ax + b = 0.
Câu 1 : Giải các phơng trình sau
a)
3
21
6
5
3 xx
=

b) 12- (x-8) = -2 ( 9 + x ) c)
2 1
1
2009 2010 2011
x x x

=
Câu 2 : Tìm giá trị của k sao cho phơng trình

3( k + 1 ) - 1 = 2k + x có nghiệm là x = 5
Dạng : Phơng trình tích - Phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
Câu 1 : :Giải phơng trình:
a) (x-5)(7x+4) = 0 ; b) x(2x - 7) - 4x + 14 = 0
c) (2x - 5)
2
- (x +2)
2
= 0 d)3x
2
+ 5x + 8 - 2x
2
+ 4x + 6 = 0
Câu 2 : Giải phơng trình:
a)
5
1
1
=
+ x
b)
0
2
21
=

+
xx
c)
8

12
2
1
1
3
+
=
+
+
x
x

d)
2 2
1 1
x+1+ = x-1-
x x

ữ ữ

e)
2
2 5
2 2 4
x x
x x x
=
+
B / Bài tập bổ sung
Bài 1.Giải các phơng trình sau:

a) 5 (x 6) = 4(3 2x)
b) 3 4x(25 2x) = 8x
2
+ x 300
3
1
7
6
8
5
5-2x
- x)

+=
+
+
xx
e
5
5
24
3
18
6
25
)
+
=



+ xxx
c
Bài 2.Giải các phơng trình sau:
a) 2x(x 3) + 5(x 3) = 0 d) x
2
5x + 6 = 0
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
12
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
b) (x
2
4) (x 2)(3 2x) = 0 e) 2x
3
+ 6x
2
= x
2
+ 3x c) (2x + 5)
2
= (x + 2)
2
Bài 3 Giải các phơng trình sau:
)2)(1(
15
2
5
1x
1
)
xxx

a
+
=


+

1
2
1
3
1-x
1
)
23
2
++
=


xx
x
x
x
d
2
4
25
22x
1-x

)
x
x
x
x
b


=


+

168
1
)2(2
1
84
5
8x
7
)
2

+


=



+
xxx
x
xx
x
e
502
25
102
5
5x
5x
)
222

+
=
+



+
x
x
xx
x
x
c
Bài 4 Giải các phơng trình sau:
a) |x - 5| = 3 b) |- 5x| = 3x 16 c) |x - 4| = -3x + 5

d) |3x - 1| - x = 2 e) |8 - x| = x
2
+ x
Bài 5: Giải các phơng trình:
a) 7x + 21 = 0 l) (2x - 1)
2
(2x + 1)
2
= 0
b) -2x + 14 = 0 m) (2x 1)(x 2) = 0
c) 3x + 1 = 7x 11 n) 3x(2x + 5) 5(2x + 5) = 0
i) (4x-10)(24 +5x) = 0 j) (x +2) (3 4x) + (x
2
+ 4x + 4) = 0
Bài 6: Giải các phơng trình chứa ẩn ở mẫu:
a)
)5(6
7
250
15
)5(4
3
2
+

=

+

x

x
x
; b)
1
32
3
1
1
+
+
=+
+

x
x
x
x
;
c)
2
13 2
( 3)(2 7) 2 7 9
x
x x x x
+ =
+ +
d)
( )( )
21
113

2
1
1
2
+

=


+ xx
x
xx
; e)
( )
12
25
252
12
3
+

=






+
+ x

x
x
x

Bài 7: Giải các phơng trình sau:
1)
113 += xx
2)
xx =+ 532
3)
5354 +=+ xx
4)
351 = xx
Dạng 7 : Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
A / c ác bài tập cơ bản
Câu 1 : Một số có tử bé hơn mẫu là 11. Nếu tăng tử lên 3 đơn vị và giảm mẫu đi 4 đơn vị thì đợc
một phân số bằng
4
3
. Tìm phân số ban đầu ?
Câu 2 : Tổng hai chữ số của một số có hai chữ số là 12,biết rằng chữ số hàng chục hơn chữ số hàng
đơn vị là 4.Tìm số đó?
Câu 3 : Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B hết 3 h, đi ngợc dòng từ B về A hết 5 h.
Tính vận tốc của ca nô, biết vận tốc của dòng nớc là 10 km/h ?
.
Câu 4 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành trong 12 ngày. Hỏi đội thứ 2
làm một mình thì sau bao lâu xẽ hoàn thành biết rằng họ làm chung với nhau trong 4 ngày thì đội
thứ nhất đợc điều đi làm việc khác đội thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 ngày thì
xong.
Câu 5 : Hai thựng ng du : Thựng th nht cú 120 lớt du, thựng th hai cú 90 lớt du. Sau khi

ly ra thựng th nht mt lng du gp ba ln lng du ly ra thựng th hai thỡ lng du
cũn li trong thựng th hai gp ụi lng du cũn li trong thựng th nht. Hi ó ly ra bao nhiờu
lớt du mi thựng ?
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
13
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Câu 6 : Mt t sn xut theo k hoch mi ngy phi sn xut 50 sn phm. Khi thc hin, mi
ngy t ó sn xut c 57 sn phm. Do ú t ó hon thnh trc k hoch 1 ngy v cũn vt
mc 13 sn phm. Hi theo k hoch t phi sn xut bao nhiờu sn phm?
B / Bài tập bổ sung
Bài1. Lúc 7 giờ sáng, một ngời đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h. Sau đó lúc 8 giờ 40
phút, một ngời khác đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30km/h. Hỏi hai ngời gặp nhau lúc mấy
giờ.
Bài 2. Hai ngời đi bộ khởi hành ở hai địa điểm cách nhau 4,18 km đi ngợc chiều nhau để gặp
nhau. Ngời thứ nhất mỗi giờ đi đợc 5,7 km. Ngời thứ hai mỗi giờ đi đợc 6,3 km nhng xuất phát
sau ngời thứ nhất 4 phút. Hỏi ngời thứ hai đi trong bao lâu thì gặp ngời thứ nhất.
Bài 3. Lúc 6 giờ, một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B, ngời lái
xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc trung bình
30km/h. Tính quãng đờng AB biết rằng ôtô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày.
Bài 4 .Hai xe máy khởi hành lúc 7 giờ sáng từ A để đến B. Xe máy thứ nhất chạy với vận tốc
30km/h, xe máy thứ hai chạy với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy thứ nhất là 6km/h. Trên đ-
ờng đi xe thứ hai dừng lại nghỉ 40 phút rồi lại tiếp tục chạy với vận tốc cũ. Tính chiều dài quãng
đờng AB, biết cả hai xe đến B cùng lúc.
Bài 5. Một canô tuần tra đi xuôi dòng từ A đến B hết 1 giờ 20 phút và ngợc dòng từ B về A hết 2
giờ. Tính vận tốc riêng của canô, biết vận tốc dòng nớc là 3km/h.
.Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ đã may đợc
mỗi ngày 40 áo nên đã hoàn thành trớc thời hạn 3 ngày ngoài ra còn may thêm đợc 20 chiếc áo
nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.
Bài 6 .Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc. Họ làm chung
trong 4 giờ thì ngời thứ nhất chuyển đi làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt công việc trong 10 giờ.

Hỏi ngời thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành công việc.
Bài 7. Một tổ sản xuất dự định hoàn thành công việc trong 10 ngày. Thời gian đầu, họ làm mỗi
ngày 120 sản phẩm. Sau khi làm đợc một nửa số sản phẩm đợc giao, nhờ hợp lý hoá một số thao
tác, mỗi ngày họ làm thêm đợc 30 sản phẩm nữa so với mỗi ngày trớc đó. Tính số sản phẩm mà tổ
sản xuất đợc giao.
Bài 8.Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng
một mình thì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng tổ
1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ.
Dạng 8 : Bất ph ơng trình bậc nhất một ẩn.
Câu 1: a) Cho a > b .So sánh a -2011 và b-2011
b) So sánh m và n biết m -1999 n - 1999.
c) Cho a > b.hãy so sánh 3a + 2 và 3b + 2
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
14
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Câu 2 : Cho x<y. a) CMR: 2011x + 5 < 2011y + 5
b) CMR: -2011x 5 > -2011y - 5
Cõu 3 : Gii cỏc bt phng trỡnh sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số ?
a) x - 7 > 9 b) -3x > -4x + 5 c) 8x + 3(x+2) > 5x - 2(x-11)
d) -8x - 8

- 2x + 4 e)
2 1 3
3 2
x x
>
g)
12 1 9 1 8 1
12 3 4
x x x+ + +


Cõu 4:
Giải các bất phơng trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) (x 3)
2
< x
2
5x + 4 f) x
2
4x + 3 0
b) (x 3)(x + 3) (x + 2)
2
+ 3 g) x
3
2x
2
+ 3x 6 < 0
Cõu 5: Chứng minh rằng:
a) a
2
+ b
2
2ab 0 d) m
2
+ n
2
+ 2 2(m + n)
ab
b
b

+
2
a
)
22

4
1
a
1
b)(a )






++
b
e
(với a > 0, b > 0)
c) a(a + 2) < (a + 1)
2
Cõu 6: .Cho m < n. Hãy so sánh:
a) m + 5 và n + 5 c) 3m + 1 và - 3n + 1
b) - 8 + 2m và - 8 + 2n
5 5
2
m
)

2
n
và d
Cõu 7: Cho a > b. Hãy chứng minh:
a) a + 2 > b + 2 c) 3a + 5 > 3b + 2
b) - 2a 5 < - 2b 5 d) 2 4a < 3 4b
Cõu 8: Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh n x : x - 5 =3m + 4 cú nghim dng ?
Cõu 9: Cho bt phng trỡnh 3 2x 15 5x v bt phng trỡnh 3 2x < 7. Hóy :
a) Gii cỏc bt phng trỡnh ó cho v biu din tp nghim ca mi BPT trờn mt trc s
b) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x tho món ng thi c hai bt phng trỡnh trờn ?
Phn II: Hỡnh hc
Lý thuyết
1) Định nghĩa tứ giác,tứ giác lồi,tổng các góc của tứ giác.
2) Nêu định nghĩa,tính chất,dấu hiệu nhận biết của hình thang,hình than cân, hình thang
vuông,hình chữ nhật,hình bình hành,hình thoi, hình vuông .
3) Các định lí về đờng trung bình của tam giác,của hình thang.
4) Nêu định nghĩa hai điểm đối xứng,hai hình đối xứng qua 1 đờng thẳng; Hai điểm đối xứng,hai
hình đối xứng qua 1 điểm,hình có trục đối xứng,hình có tâm đối xứng.
5) Tính chất của các điểm cách đều 1 đờng thẳnh cho trớc.
6) Định nghĩa đa giác đều,đa giác lồi,viết công thức tính diện tích của: hình chữ nhật,hình
vuông,tam giác,hình thang,hình bình hành,hình thoi.
7). Định lý Talet, định lý Talet đảo, hệ quả của định lý Talet.
8). Tính chất đờng phân giác của tam giác.
9). Các trờng hợp đồng dạng của tam giác.
10). Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
15
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
11) .Công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật, diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng
trụ đứng, diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp đều.

Bài tập
A-CC BI TP V T GIC
Cõu 1: Cho t giỏc ABCD. Gi E, F, G, H ln lt l trung im ca AB, BC, CD, DA. Cỏc
ng chộo AC, BD ca t giỏc ABCD phi cú iu kin gỡ thỡ EFGH l :
a) Hỡnh ch nht ?
b) Hỡnh thoi ?
c) Hỡnh vuụng ?
Cõu 2: Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AM. Gi D l trung im ca AB, M l im i xng
vi M qua D.
a) Chng minh im M i xng vi M qua AB.
b) Cỏc t giỏc AEMC, AEBM l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ?
c) Cho
4,( )BC cm=
, tớnh chu vi t giỏc AMBM.
d) Tam giỏc ABC tha món iu kin gỡ t giỏc AEBM l hỡnh vuụng ?
Cõu 3: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. K ng cao AH. Gi D, E l cỏc hỡnh chiu ca H trờn
AB, AC v M, N theo th t l cỏc trung im ca cỏc on thng BH, CH.
a) Chng minh t giỏc MDEN l hỡnh thang vuụng.
b) Gi P l giao im ca ng thng DE vi ng cao AH v Q l trung im ca on
thng MN. Chng minh
PQ DE
.
Cõu 4: Cho tam giỏc ABC v mt im P thuc min trong ca tam giỏc. Gi M, N, Q theo th t
l trung im ca cỏc cnh AB, AC, BC. Gi A, B, C ln lt l cỏc im i xng ca P qua
cỏc im Q, N, M.
a) Xột xem A, Ai xng vi nhau qua im no ? Gi im y l im I.
b) Chng t hai im C, C i xng vi nhau qua I.
Cõu 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. K ng cao AH, dng hỡnh ch nht AHBD v AHCE.
Gi P, Q theo th t l trung im ca AB, AC. Chng minh :
a) Ba im D, A, E thng hng.

b) PQ l trung trc ca on thng AH.
c) Ba im D, P, H thng hng.
d)
DH EH
.
Cõu 6: Cho tam giỏc ABC phớa ngũai tam giỏc, ta dng cỏc hỡnh vuụng ABDE v ACFG.
a) Chng minh
BG CE
=
v
BG CE

.
b) Gi M, N theo th t l cỏc trung im ca cỏc on thng BC, EG v Q, N theo th t l
tõm ca cỏc hỡnh vuụng ABDE, ACFG. Chng minh t giỏc MNPQ l hỡnh vuụng.
Cõu 7: Qua nh A ca hỡnh vuụng ABCD ta k hai ng thng Ax, Ay vuụng gúc vi nhau. Ax
ct cnh BC ti im P v ct tia i ca tia CD ti im Q.
Ay ct tia i ca tia BC ti im R v ct tia i ca tia DC ti im S.
a) Chng minh cỏc tam giỏc APS, AQR l cỏc tam giỏc cõn.
b) Gi H l giao im ca QR v PS; M, N theo th t l trung im ca QR, PS. Chng
minh t giỏc AMHN l hỡnh ch nht.
Cõu 8: Cho tam giỏc ABC, ng cao BH, CK ct nhau ti E, qua B k
Bx AB
, qua C k
Cy AC
. Hai ng thng
,Bx Cy
ct nhau ti D.
a) T giỏc BDCE l hỡnh gỡ , ti sao ?
b) Gi M l trung im ca BC, chng minh rng M cng l trung im ca ED. ABC tha món

iu kin gỡ khi ng thng DE i qua A ?
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
16
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Cõu 9: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, cú
à
0
90 ;A AB BC> >
. Trờn ng vuụng gúc vi BC ti C,
ly hai im E, F sao cho
CE CF CB
= =
. Trờn ng vuụng gúc vi CD ti C, ly hai im P, Q
sao cho
CP CQ CD= =
. Chng minh rng :
a) T giỏc EPFQ l hỡnh bỡnh hnh.
b) ADC = ECP.
c)
AC EP
.
Cõu 10: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, phõn giỏc gúc A ct phõn giỏc gúc B, D ti P, Q.
a) Chng minh
//PB DQ
v
;AP BP AQ PQ
.
b) Phõn giỏc gúc C ct BP, DQ ti M, N. T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ. ti sao ?
c) Chng minh
// ; //MP AD NQ AB

.
d) Chng minh AC, BD, MP, NQ ng quy.
Cõu 11: Cho hỡnh thang ABCD, (AB // CD). Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca AB, AC,
CD, BD.
a) Chng minh rng MNPQ l hỡnh bỡnh hnh.
b) Nu ABCD l hỡnh thang cõn thỡ MNPQ l hỡnh gỡ. ti sao ?
c) Vi iu kin gỡ cho ABCD MNPQ l hỡnh vuụng ? v hỡnh minh ha.
Cõu 12: Cho tam giỏc ABC vuụng A, AC > AB, ng cao AH.
Trong na mt phng b AH cú cha C, v hỡnh vuụng AHKE.
a) Chng minh K nm gia H v C.
b) Gi P l giao im ca AC v KE. Chng minh ABP vuụng cõn.
c) Gi Q l nh th 4 ca hỡnh bỡnh hnh APQB, T l giao im ca BP v AQ.
Chng minh H, T, E thng hng.
d) Chng minh rng HEKQ l hỡnh thang.
B - CC BI TP V DIN TCH T GIC
Cõu 1: Din tớch hỡnh ch nht thay i nh th no nu :
a) Chiu di tng hai ln, chiu rng khụng i.
b) Chiu di v chiu rng tng ba ln.
c) Chiu di tng bn ln, chiu rng gim 4 ln.
Cõu 2: V hỡnh ch nht ABCD cú AB = 5cm, BC = 3cm.
a) Hóy v mt hỡnh ch nht cú din tớch bộ hn nhng cú chu vi ln hn hỡnh ch nht
ABCD. V c my hỡnh nh vy ?
b) Hóy v hỡnh vuụng cú chu vi bng chu vi ca hỡnh ch nht ABCD. Cú my hỡnh vuụng
nh vy ? So sỏnh din tớch hỡnh ch nht vi din tớch hỡnh vuụng cú cựng chu vi va v.
Cõu 3: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 20cm, BC = 12cm.Gi M l trung im ca cnh DC
v N l trung im ca cnh AB.
a) Chng minh
ADCN ABCM
S S=
.

b) Tớnh
ADCN
S
.
Cõu 4: Tớnh din tớch tam giỏc u cnh a.
Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD. T cỏc nh A, C k AH, CK vuụng gúc vi ng chộo BD.
Chng minh AHCK l hỡnh bỡnh hnh.
Cõu 6: Tớnh din tớch hỡnh thang vuụng, bit hai ỏy cú di l 2cm, 4cm, gúc to bi cnh bờn
v ỏy ln bng 45
0
.
C - BI TP V TAM GIC NG DNG NH Lí TALET
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
17
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
Cõu 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ng cao AH. Chng minh tam giỏc AHB ng
dng vi tam giỏc AHC.
Cõu 2 : Cho tam giỏc ABC. Trờn cnh AB v AC ln lt ly hai im M v N.
Bit AM = 3cm, MB = 2cm, AN = 7,5cm, NC = 5cm.
a) Chng minh MN // BC.
b) Gi I l trung im ca BC, K l giao im ca AI v MN.Chng minh K l trung im
ca MN.
Cõu 3: Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú AB =2,5 cm, AD = 3,5 cm, BD = 5 cm,
DAB = DBC
a) Chng minh ADB BCD
b) Tớnh di cỏc cnh BC, CD
Cõu 4: Cho tam giỏc vuụng ABC ( = 90
0
), AB = 12 cm, AC = 16 cm. Tia phõn giỏc ca gúc
A ct BC ti D, AH l ng cao ca tam giỏc ABC.

a) Tớnh t s din tớch ca hai tam giỏc ABD v ACD.
b) Tớnh BC, BD, CD, AH.
Cõu 5: Trờn mt cnh ca mt gúc cú nh l A t on thng AE = 3 cm,
AC = 8 cm. Trờn cnh kia t cỏc on thng AD = 4 cm, AF = 6 cm
a) Hi tam giỏc ACD v tam giỏc AEF cú ng dng khụng? Vỡ sao?
b) Gi I l giao im ca CD v EF.
Tớnh t s chu vi ca hai tam giỏc IDF v IEC
Cõu 6 : Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AC = 4 cm, BC = 6 cm. K tia Cx BC
(tia Cx v im A khỏc phớa so vi ng thng BC), ly trờn tia Cx im D sao cho
BD = 9 cm.
a) Chng minh tam giỏc ABC ng dng vi tam giỏc CDB.
b) Gi I l giao im ca AD v BC. Tớnh IB, IC.
Cõu 7: Cho hỡnh ch nht ABCD cú hai AB = 8 cm, BC = 6 cm. V ng cao AH ca tam
giỏc ADB.
a) Chng minh: Tam giỏc AHB v tam giỏc ADB ng dng
b) Chng minh AD
2
= DH . DB
c) Tớnh DH v AH
Cõu 8 : a) Tam giác ABC có
à
B
= 2
à
C
; AB = 4cm; BC = 5cm. Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài các cạnh của ABC có
à
B
= 2

à
C
biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự nhiên liên
tiếp.
Cõu 9 : Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB lấy điểm C
sao cho AC =
3
5
AH. Tính
ã
BAC
.
Cõu 10: Cho hình thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đờng chéo AC và BD
a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC.
b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
Chứng minh:
OK
OA
=
CD
AB
Cõu 11: Cho ABC, AD là phân giác
à
A
; AB < AC. Trên tia đối của DA lấy điểm I sao cho
ã
ã
ACI BDA=
. Chứng minh rằng.
a) ADB ng dng vi ACI

b) AD
2
= AB. AC - BD . DC
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
18
Bµi tËp «n c¸c d¹ng to¸n cho häc sinh tù lun to¸n 8
Câu 12 : Cho ∆ABC; H, G, O lÇn lỵt lµ trùc t©m, träng t©m, giao ®iĨm 3 ®êng trung trùc cđa
∆. Gäi E, D theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AB vµ AC.
Chøng minh :
a) ∆ OED đồng dạng với ∆ HCB
b) ∆ GOD đồng dạng với ∆ GBH
c) Ba ®iĨm O, G, H th¼ng hµng vµ GH = 2OG
Câu 13: Cho ∆ABC cã AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gäi M lµ trung ®iĨm BC. Qua M
kỴ ®êng vu«ng gãc víi BC c¾t AC, AB lÇn lỵt ë D, E.
a) CMR : ∆ABC đồng dạng với ∆MDC
b) TÝnh c¸c c¹nh ∆MDC
c) TÝnh ®é dµi BE, EC
Câu 14 : Cho ∆ABC; O lµ trung ®iĨm c¹nh BC.
Gãc
·
xOy
= 60
0
; c¹nh Ox c¾t AB ë M; Oy c¾t AC ë N.
a) Chøng minh: ∆OBM đồng dạng với ∆NCO
b) Chøng minh : ∆OBM đồng dạng với ∆NOM
c) Chøng minh : MO vµ NO lµ ph©n gi¸c cđa
·
BMN
vµ

·
CNM
d) Chøng minh : BM. CN = OB
2
D - MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
a) Hãy kể tên các đỉnh, các cạnh, các cặp mặt đối diện của nó.
b) Hãy chỉ ra những đường thẳng cắt đường thẳng AB, song song với đường thẳng CD, chéo
nhau với đường thẳng AA’.
c) Mặt phẳng nào song song với đường thẳng AB.
d) Đường thẳng nào song song với mặt phẳng (ABCD).
e) Mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (AA’D’D).
f) Mặt phẳng nào vng góc với đường thẳng CD.
g) Đường thẳng nào vng góc với mặt phẳng (BB’C’C).
h) Chứng minh
2 2 2 2
' 'AC AB AD A A= + +
, ( trong hình hộp chữ nhật bình phương mỗi đường chéo
bằng tổng các bình phương của ba kích thước ).
Câu 2: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10cm , chiều rộng là 8cm , chiều cao là 5cm . Tính
thể tích hình hộp chữ nhật đó .
Câu 3: Một lăng trụ đứng có chiều cao 6 cm, đáy là
tam giác vng có hai cạnh góc vng lần lượt là 3cm và 4 cm
1) Tìm diện tích xung quanh của hình lăng trụ.
2) Tìm thể tích của hình lăng trụ.
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có chiều rộng AB = 6cm, đường chéo AC =
10cm và chiều cao AA’ = 12cm . Tình diện tích xung quanh (S
xq
), diện tích tồn phần (S
tp

) và thể
tích (V) của hình hộp này ?
Câu 5: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của hình chóp tứ giác đều có
cạnh bên b, cạnh đáy a. Áp dụng cho a = 20cm và b = 24cm.
c¸c bµi tËp tỉng hỵp
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm; AC = 8cm. Kẻ đường cao AH.
a) CM: ∆ABC ~ ∆HBA
b) CM: AH
2
= HB.HC
GV : Ngun V¨n Träng – Trêng : THCS TỊ Lç - Yªn L¹c – VÜnh Phóc
19
Bµi tËp «n c¸c d¹ng to¸n cho häc sinh tù lun to¸n 8
c) Tính độ dài các cạnh BC, AH
d) P/giác của góc ACB cắt AH tại E, cắt AB tại D. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác
ACD và HCE
Bài 2: Cho xÂy. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm, AC = 15cm. Trên tia Ay
lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm, AE = 12cm.
a) Cm: ∆ABE
:
∆ADC đồng dạng. b) Cm: AB.DC = AD.BE
c) Tính DC. Biết BE = 10cm. d) Gọi I là giao điểm của BE và CD.
Cm: IB.IE = ID.IC
Bài3 :Cho ∆ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm . Đường phân giác của góc ABC cắt
cạnh AC tại D .Từ C kẻ CE
⊥
BD tại E.
a) Tính độ dài BC và tỉ số
DC
AD

.
b) Cm ∆ABD ~ ∆EBC. Từ đó suy ra BD.EC = AD.BC
c) Cm
BE
CE
BC
CD
=
d) Gọi EH là đường cao của ∆EBC. Cm: CH.CB = ED.EB.
Bài 4 : Cho
ABC
∆
có AB = 5 cm ; AC = 12 cm và BC = 13 cm. Vẽ đường cao AH, trung
tuyến AM ( H, M thuộc BC ) và MK vuông góc AC.Chứng minh :
a.
ABC∆
vuông. b.
AMC∆
cân. c.
AHB∆
~
AKM∆
. d.AH.BM = CK.AB.
Bài 5: Cho
ABC∆
vuông tại A, đường cao AH, biếtù AB = 5 cm và AC = 12 cm.
1) Tính BC và AH.
2) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E và cắt AC tại F. Chứng minh :
a)
ABF∆

~
HBE∆
. b)
AEF∆
cân. c) EH.FC = AE.AF
Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD ( AB > BC ), điểm M ∈ AB. Đường thẳng DM cắt AC ở K,
cắt BC ở N.
1) Chứng minh :
ADK∆
~
CNK∆
.
2) Chứng minh :
KC
KA
KD
KM
=
. Từ đó chứng minh :
KM.KNKD
2
=
.
3) Cho AB = 10 cm ; AD = 9 cm ; AM = 6 cm.
Tính CN và tỉ số diện tích
KCD
∆
và
KAM∆
.

Bài 7: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H.
1) Chứng minh :
ACD∆
~
BCE∆
.
2) Chứng minh : HB.HE = HC.HF.
3) Cho AD = 12 cm ; BD = 5 cm ; CD = 9 cm. Tính AB và HC.
Bài 8 : Cho hình thang ABCD (AB //CD) có CD = 2AB. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC
và BD, F là giao điểm hai cạnh bên AD và BC.
a) Chứng minh OC = 2OA
b) Điểm O là điểm đặc biệt gì ttrong tam giác FCD? Chứng minh.
c) Một đường thẳng song song với AB và CD lần lượt cắt các đoạn thẳng AD, BD, AC, BC
tại M, I, K, N. Chứng minh
BC
CN
AD
DM
=
GV : Ngun V¨n Träng – Trêng : THCS TỊ Lç - Yªn L¹c – VÜnh Phóc
20
Bài tập ôn các dạng toán cho học sinh tự luyện toán 8
d) So sỏnh MI v NK.
Bi 9: Cho tam giỏc ABC cú trung tuyn AM. Tia phõn giỏc ca gúc AMB ct AB ti E, tia phõn
giỏc ca gúc AMC ct AC ti D.
a) So sỏnh
EB
AE
v

DC
AD

b) Gi I l giao im ca AM v ED. Cm I l trung im ED.
c) Cho BC=16cm,
5
3
=
DA
CD
. Tớnh ED
d) Gi F,K ln lt l giao im EC vi AM, DM. Cm EF.KC = FK.EC
Baứi 10 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti H.
a) Cm ABE v ACF ng dng. b) Cm HE.HB = HC.HF
c) Cm gúc AEF bng gúc ABC. d) Cm EB l tia phõn giỏc ca gúc DEF.
Baứi 11 : Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo AC v BD ct nhau ti O. Cỏc ng thng AB
v CD ct nhau ti M. Bit AB = 7cm, CD = 11cm, MA = 5cm , MD = 4cm. Chng minh:
a) MAD ~ MCB
b) gúc MAC = gúc MDB
c) OA.OC = OD.OB
d) AOD ~ BOC
Baứi 12 : Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE ct nhau ti H.
a) Cm ADC ~ BEC.
b) Cm HE.HB = HA.HD
c) Gi F l giao im ca CH v AB. Cm AF.AB = AH.AD.
d) Cm
1
=++
CF
HF

BE
HE
AD
HD
Baứi 13 : Cho gúc nhn xAy. Trờn cnh Ax ly 2 im B, C sao cho AB = 4cm, AC = 6cm. Trờn
cnh Ay, ly 2 im D, E sao cho AD = 2cm, AE = 12cm. Tia phõn giỏc ca gúc xAy ct BD ti I
v ct CE ti K.
a) So sỏnh
AB
AD
v
AC
AE
b) So sỏnh
ã
ACE
v
ã
ADB
c) Cm AI.KE = AK.IB
d) Cho EC = 10cm. Tớnh BD, BI.
e) Cm KE.KC = 9IB.ID
Baứi 14 :Cho tam giỏc ABC cú AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.
a) Cm ABC vuụng. b) Tớnh di ng cao AH ca ABC.
c) Cm AH
2
= HB.HC
d) Trờn cnh AB v AC ly cỏc im M, N sao cho 3CM = CA v 3AN = AB.
Cm gúc CMN bng gúc HNA.
Baứi 15 : Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo AC > DB. V AM BC ti M, AN CD ti

N.
a) Cm ABM ~ AND.
b) So sỏnh
MAN

v
CBA

c) Cm AB.MN = AC.AM
d) Cm CB.CM + CN.CD = CA
2
e) Cho AM = 16cm, AN = 20cm, chu vi hỡnh bỡnh hnh bng 108cm.
GV : Nguyễn Văn Trọng Trờng : THCS Tề Lỗ - Yên Lạc Vĩnh Phúc
21
Bµi tËp «n c¸c d¹ng to¸n cho häc sinh tù lun to¸n 8
Tính diện tích hình bình hành ABCD
Bài 16: Cho ∆ABC vng tại A có AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH.
a) Tính BC và AH.
b) Kẻ HE⊥AB tại E, HF⊥AC tại F. Cm ∆AEH ~ ∆AHB.
c) Cm AH
2
= AF.AC
d) Cm ∆ABC ~ ∆AFE.
e) Tính diện tích tứ giác BCFE.
Bài 17: Cho ∆ABC vng tại A. Đường phân giác góc C cắt cạnh AB tại I. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của A, B tên đường thẳng CI. = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH.
a) Cm CE.CB = CF.CA
b) Cm
IF
IE

CF
CE
=
c) Kẻ đường cao AD của ∆ABC. Cm ∆ABC ~ ∆DBA.
d) Cm AC
2
= CD.CB
e) Cm
2
2
AB
AC
DB
DC
=
Bµi 18 : Cho ∆ABC; O lµ trung ®iĨm c¹nh BC.
Gãc
¶
xoy
= 60
0
; c¹nh ox c¾t AB ë M; oy c¾t AC ë N.
e) Chøng minh: ∆OBM P ∆NCO
f) Chøng minh : ∆OBM P ∆NOM
g) Chøng minh : MO vµ NO lµ ph©n gi¸c cđa
·
BMN
vµ
·
CNM

Chøng minh : BM. CN = OB
2
Bµi 19 : Gäi AC lµ ®êng chÐo lín cđa hbh ABCD, E, F theo thø tù lµ h×nh chiÕu cđa C trªn AB, vµ
AD.
a)Gäi H lµ h×nh chiÕu cđa D trªn AC. CMR: AD. AF = AC. AH;
b)CMR: AD.AF + AB. AE = AC
2

Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
a. AH
2
= HB . HC b. AB
2
= BH . BC
c. AC
2
= CH . CB d. AH . BC = AB . AC
e. BC
2
= AC
2
+ AB
2
Bài 21: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABÂD = ACÂD. Gọi E là
giao điểm của của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh:
a. ∆AOB và ∆DOC đồng dạng.
b. ∆AOD và ∆BOC đồng dạng.
c. EA . ED = EB . EC.
Bài 22: Cho ∆ABC đều. Trung tuyến AM. Vẽ đường cao MH của ∆AMC.
a / Chứng minh: ∆ABM và ∆AMH đồng dạng.

b / Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, MH. Chứng minh: AB . AF = AM . AE.
c / Chứng minh: BH ⊥ AF.
d. Chứng minh: AE . EM = BH . HC.
GV : Ngun V¨n Träng – Trêng : THCS TỊ Lç - Yªn L¹c – VÜnh Phóc
22
Bµi tËp «n c¸c d¹ng to¸n cho häc sinh tù lun to¸n 8
Bài 23: Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Từ H vẽ HI ⊥ AB tại I và HJ ⊥ AC tại J.
Gọi AM là trung tuyến của ∆ABC.
a. Biết AB = 30cm, AC = 40cm. Tính BC, AH, BI.
b. Chứng minh: IJ = AH và AM ⊥ IJ.
c. Chứng minh: AB . AI = AC . AJ; ∆AIJ và ∆ ACB đồng dạng.
d. Chứng minh: ∆ABJ và ∆ ACI đồng dạng; ∆BIJ và ∆IHC đồng dạng.
Bài 24: Cho tam giác ABC (
0
ˆ
A 90=
), AB = 12 cm, AC = 16cm. Tia phân giác của góc A cắt BC
tại D.
a) Tính tỉ số diệntích của hai tam giác ABD và ACD.
b) Tính độ dài cạnh BC của tam giác
c) Tính độ dài các đoạn thắng BD và CD.
d) Tính chiều cao AH của tam giác
Bµi 25 : Cho tam gi¸c ABC. Mét ®êng th¼ng song song víi BCc¾t c¹nh AB ë D vµ c¾t c¹nh AC ë
E sao cho DC
2
= BC. DE.
a) So s¸nh c¸c tam gi¸c DEC vµ DBC
b) Suy ra c¸ch dùng DE
c) Chøng minh c¸c hƯ thøc AD
2

= AC. AE; AC
2
= AB. AD

GV : Ngun V¨n Träng – Trêng : THCS TỊ Lç - Yªn L¹c – VÜnh Phóc
23