CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN THÔNG THƯỜNG
PHẦN 7.1. ĐỘNG CƠ
Ở chương 1 của tập sách này, chúng ta có được biểu thức sau trên cơ
sở định luật thứ 2 của Newton để tính tốc độ v của vận động viên nhảy dù là
hàm số của thời gian t (xem biểu thức 1.9) :
v
m
c
g
dt
dv
−=
(PT7.1)
Trong đó g là hằng số trọng lực hấp dẫn, m là khối lượng, và c là hệ
số trở lực. Các biểu thức này kết hợp thành hàm ẩn số và đạo hàm của nó là
biểu thức vi phân. Biểu thức (PT7.1), đôi khi được xem là biểu thức tỷ lệ
bởi vì nó biểu thị về tỉ lệ thay đổi của một biến số là hàm số của các biến và
tham số. Biểu thức này đóng một vai trò cơ sở trong ngành kỹ thuật bởi vì
có nhiều hiện tượng vật lý được định dạng tốt nhất về mặt toán học về tỷ lệ
thay đổi của chúng.
Ở biểu thức (PT7.1), thì lượng được vi phân, v, được gọi là biến phụ
thuộc. Lượng tương ứng với v được vi phân t, gọi là biến độc lập. Khi hàm
số có liên quan đến một biến độc lập, thì biểu thức gọi là biểu thức vi phân
gốc (hoặc ODE). Điều này tương phản với biểu thức vi phân từng phần
(hoặc PDE) có liên quan đến hai biến độc lập trở lên.
Biểu thức vi phân cũng được phân loại theo trình tự của nó. Ví dụ,
biểu thức (PT7.1) được gọi là biểu thức bậc nhất bởi vì đạo hàm cao nhất
này là đạo hàm bậc nhất. Biểu thức bậc hai bao gồm đạo hàm thứ hai. Ví
dụ, biểu thức trình bày về vị trí x của hệ khối nguồn với cái tắt dần là biểu
thức bậc hai (xem phần 8.4)
0

2
2
=++ kx
dt
dx
c
dt
d
m
(PT7.2)
Trong đó c là hệ số tắt dần và k là hằng số nguồn. Tương tự, biểu
thức thứ n bao gồm có đạo hàm thứ n.
Các biểu thức có trình tự cao hơn có thể giảm thành một hệ thống các
biểu thức bậc nhất. Đối với biểu thức (PT7.2), điều này được tiến hành bằng
cách xác định biến số mới y, trong đó :
dt
dx
y =
(PT7.3)
Mà chính bản thân nó được vi phân để tạo ra :
2
2
dt
td
dt
dx
=
(PT7.4)
1
Các biểu thức (PT7.3) và (PT7.4) sau đó có thể thay thế thành biểu thức

(PT7.2) để có được :
0=++ kxcy
dt
dy
m
(PT7.5)
hoặc
m
kxcy
dt
dy
+
=
(PT7.6)
Từ đó, các biểu thức (PT7.3) và (PT7.6) là một cặp các biểu thức
trình tự thứ nhất tương ứng với biểu thức bậc hai gốc. Do các biểu thức vi
phân thứ n khác có thể lược giản một cách đơn giản, phần này của tập sách
tập trung vào nghiệm của biểu thức đầu tiên. Một số ứng dụng kỹ thuật ở
chương 28 có liên hệ đến nghiệm của ODE trình tự thứ hai bằng cách giảm
1 cặp các biểu thức bậc nhất.
PT7.1.1. Phương pháp không tính toán để giải ODE
Không cần đến tính toán, ODE thường được giải với các kỹ thuật tích
phân giải tích.Ví dụ, biểu thức (PT7.1) có thể được nhân với dt và tích phân
để có :

∫
−= dtv
m
c
gv )(

(PT7.7)
Phía bên tay phải của biểu thức được gọi là tích phân không xác định
do các giới hạn của các tích phân không được cụ thể hóa. Điều này tương
phản với phần tích phân xác định đã được bàn luận trước đó ở phần sáu so
với biểu thức (PT7.7) với biểu thức (PT6.6).
Nghiệm tích phân đối với biểu thức (PT7.7) có được khi tích phân
không xác định có thể đánh giá chính xác ở dạng phương trình. Ví dụ, xem
lại điều này đối với bài toán của người nhảy dù đang rơi, biểu thức (PT7.7)
được giải bằng phương pháp tích phân bằng biểu thức (1.10) (cho v = 0, t =
0).
tmc
e
c
gm
tv
),(
1()(
−
−=
(1.10)
Các cơ cấu đao hàm các nghiệm tích phân này sẽ được bàn luận ở
phần PT7.2. Còn lúc này, số hạng quan trọng là các nghiệm chính xác đối
với nhiều ODE của tầm quan trọng thực tế thì chưa có. Điều này là đúng
với phần lớn các tình huống được bàn luận ở các phần khác của tập sách
này, các phương pháp số chỉ cho giải pháp cho các trường hợp này. Bởi vì
các phương pháp số này thường yêu cầu đến người tính toán, kỹ sư trong
thời đại trước tính toán đôi khi còn giới hạn trong nội dung khảo sát của
chúng.
Một phương pháp rất quan trọng mà các kỹ sư và các nhà toán học
triển khi để giải được định đề này là sự tuyến tính hóa. Biểu thức tích phân

thông thường tuyến tính là một phần hợp với hình thái sau :
)()(')( )(
01
)(
xfyxayxayxa
n
n
=+++
(PT7.8)
Trong đó y
(n)
là đạo hàm thứ n của y tương ứng với x và, a và f được là hàm
cụ thể của x. Biểu thức này được gọi là tuyến tính bởi vì không có tích hoặc
2
hàm số không tuyến tính nào của biến số phụ thuộc y và đạo hàm của nó.
Tầm quan trọng thực tế của CDE tuyến tính là chúng có thể giải được bằng
phương pháp tích phân. Ngược lại, phần lớn các biểu thức không tuyến tính
3
không thể giải chính xác được. Từ đó, trong thời đại trước tính toán, một
chiến thuật để giải biểu thức không tuyến tính là tuyến hóa chúng.
(Hỉnh PT7.1 : Con lắc đang lắc lư)
Ví dụ đơn giản là ứng dụng của ODE để dự đoán về độ chuyển động
của con lắc đu đưa (hình PT7.1). Theo cách tương tự với đạo hàm bài toán
một người nhảy dù đang rơi. Định luật thứ hai Newton có thể được sử dụng
để triển khai biểu thức vi phân sau (phần 28.4 để đạo hàm toàn bộ).
0sin
2
2
=+
θ

θ
l
g
dt
d
(PT7.9)
Trong đó θ là góc chuyển động của con lắc, g là hệ số trọng trường
và l là chiều dài con lắc. Biểu thức này là không tuyến tính do số hạng sin θ.
Một cách để có được nghiệm tích phân là nhận thực đối với độ dịch chuyển
nhỏ của con lắc từ điểm cân bằng (đó là, với các giá trị nhỏ của θ)
θθ
≅sin
(PT7.10)
Từ đó, nếu ta cho rằng ta chỉ quan tâm đến các trường hợp ở đó θ là
nhỏ, biểu thức (PT7.10) có thể thay thế bằng biểu thức (PT7.9) để có :
0
2
2
=+
θ
θ
l
g
dt
d
(PT7.11)
Từ đó, ta có , biểu thức đã biến đổi (PT7.10) thành dạng tuyến tính dễ
giải bằng phương pháp tích phân.
Mặc dù tuyến tính hóa duy trì là công cụ rất có giá trị để giải bài toán
kỹ thuật, đó là các trường hợp ở đó nó không thể viện dẫn được. Ví dụ, giả

sử là ta quan tâm đến việc nghiên cứu đến chuyển động của con lắc để có
độ dịch chuyển lớn từ vị trí cân bằng. Trong những ví dụ như thế, thì các
phương pháp số cho một giải pháp thực tế để có được nghiệm. Ngày nay,
khả năng rộng khắp của máy tính đã đặt phương pháp này trong tầm với của
toàn bộ các kỹ sư thực tế.
PT7.1.2. ODE và thực tế về kỹ thuật
Các định luật cơ bản về vật lý, cơ học, điện và nhiệt động học thường
căn cứ vào việc quan sát theo kinh nghiệm giải thích về các biến số trong
tính chât vật lý và hệ thống trạng thái vật lý. Đôi khi có trình bày về trạng
thái của hệ thống vật lý một cách trực tiếp, các định luật này thường có sự
thay đổi về không gian và thời gian.
Một số ví dụ được kê ở bảng PT7.1. Các định luật này xác định được
các cơ cấu của sự thay đổi. Khi kết hợp với các định luật liên tục về năng
lượng, khối lượng, hoặc động lượng, kết quả biểu thức vi phân. Tích phân
tiếp theo của các biểu thức vi phân này cho trong hàm số toán học được
biểu thị trạng thái về không gian và thời gian của một hệ thống trong biến
số về năng lượng, khối lượng hoặc vận tốc.
Bài toán về người nhảy dù đang rơi được giới thiệu ở chương 1 là
một ví dụ của phép đạo hàm của biểu thức vi phân thông thường từ một
định luật cơ bản. Áp dụng định luật thứ hai Newton để triển khai một ODE
4
trình bày về mức thay đổi vận tốc của người nhảy dù đang rơi. Bằng cách
tích phân mối quan hệ này, ta có được một biểu thức dự đoán về tốc độ rơi
là một hàm số theo thời gian. (Hình PT7.2). Biểu thức này có thể được sử
dụng trong một số các cách khác nhau kể cả cho mục đích thiết kế.
5
Bảng PT7.1. Các ví dụ về các định luật cơ bản được viết dưới dạng mức
thay đổi của biến số (t = thời gian và x = vị trí)
Định luật Biểu diễn toán học Biến số và tham số
Định luật Newton

m
F
dt
dv
=
'
Tốc độ (v), lực (F), và
khối lượng (m)
Định Luật nhiệt Fourier
dx
dT
kq '−=
Sự dung nhiệt (q), độ
dẫn nhiệt (k’) và nhiệt
độ “T)
ĐỊnh Luật tán xạ Fick
dx
dc
DJ −=
Sự dung khối lượng (J),
hệ số tán xạ (D), và độ
tập trung (c)
Định luật Faraday (độ
tụt áp qua điện cảm)
dt
di
lv
i
=∆
Độ tụt áp (

i
v∆
), điện
cảm (l) và dòng (i)
Hình PT7.2
Trình tự các sự kiện trong ứng dụng ODE để giải bài toán kỹ thuật. Ví dụ
cho thấy là tốc độ của người nhảy dù đang rơi.
Thực ra, những quan hệ toán học này là cơ sở của nghiệm đối với số
lượng lớn các bài toán kỹ thuật. Tuy nhiên, như trình bày ở phần trước, có
nhiều biểu thức vi phân về ý nghĩa thực tiễn không thể giải được bằng cách
sử dụng các phương pháp giải tích trong tính toán. Vì thế, các phương pháp
được bàn luận trong các chương sau là khá quan trọng trong mọi lĩnh vực
của kỹ thuật.
6
PT7.2. CƠ SỞ TOÁN HỌC
Nghiệm của biểu thức vi phân thông thường là hàm số cụ thể của
tham số và biến số độc lập thỏa mãn biểu thức vi phân gốc, Để minh họa
khái niệm này, ta bắt đầu với một biểu thức đã cho :
y = - 0,5x
4
+ 4x
3
- 10x
2
+ 8,5 x + 1 (PT7.12)
đó là đa thức cấp bốn của nó (hình PT7.3a). Lúc này, nếu ta vi phân biểu
thức (PT7.13) ta có được một ODE :
5,820122
23
+−+−= xxx

dx
dy
(PT7.13)
Biểu thức này cũng trình bày về biểu diễn của đa thức, nhưng thei
cách khác với (PT7.12). Ít khi biểu diễn một cách rõ ràng các giá trị của y
đối với mỗi giá trị của x. (PT7.13) cho mức thay đổi của y tương ứng với x
(đó là, độ xiên) ở mỗi giá trị của x. Hình PT7.3 cho thấy cả hàm số và đạo
hàm được vẽ cong theo x.
Hình PT7.3.
Vẽ đồ thị (a) y của x và (b) dy/dx đối với hàm số : y = -0,5x
4
+ 4x
3
- 10x
2
+
8,5 + 1.
7
Lưu ý rằng giá trị 0 của đạo hàm tương ứng với điểm ở đó hàm số
gốc là phẳng, đó là có độ xiên bằng 0. Tương tự, giá trị tuyệt đối tối đa của
đạo hàm là các điểm cuối của khoảng ngắt quảng ở đó các độ xiên của hàm
số là lớn nhất,
Mặc dù, như đã minh chứng, ta có thể xác định được biểu thức vi
phân là một hàm số gốc, đối tượng ở đây là để xác định được hàm số gốc đã
cho là biểu thức gốc. Biểu thức gốc sau đó biểu thị nghiệm. Đối với trường
hợp hiện tại, thì ta có thể xác định được nghiệm này bằng phương pháp vi
phân biểu thức (PT7.13) :

∫
+−+−= dxxxxy )5,820122(

23
Ứng dụng quy tắc vi phân (xem bảng PT6.2)
∫
≠+
+
=
+
1
1
1
nC
n
u
duu
n
n
Đối với mỗi số hạng của biểu thức cho được nghiệm
y = - 0,5x
4
+ 4x
3
- 10x
2
+ 8,5 x + 1 (PT7.14)
là xác định đối với hàm số gốc với một ngoại lệ. Trong trường hợp vi phân
và sau đó tích phân, ta làm mất giá trị không đổi của 1 trong biểu thức gốc
và đạt được giá trị C. C này được gọi là hằng số của tích phân. Hệ số
nàykhông đổi xuất hiện chỉ ra rằng nghiệm không phải là duy nhất. Thực
chất, nó không chỉ là một trong số vô hạn của các hàm số có thực (tương
ứng với số vô hạn của giá trị có thực của C) thỏa mãn được biểu thức vi

phân. Ví dụ, hình PT7.4 cho thấy về hàm có tực thỏa mãn được biểu thức
(PT7.14).
Hình PT7.14
Sáu nghiệm có thực đối với số nguyên - 2x
3
+ 12x
2
- 20x + 8,5. Mỗi cái
tương thích với một giá trị khác nhau của hằng số lấy tích phân C.
8
Vì thế, để cụ thể hóa toàn bộ nghiệm, một biểu thức vi phân thường
được phối hợp với điều kiện phụ. Đối với ODE cấp 1, loại điều kiện phụ gọi
là giá trị ban đầu yêu cầu để xác định hằng số này và có được nghiệm duy
nhất. Ví dụ, Biểu thức (PT7.13) có thể phối hợp bằng điều kiện ban đầu là
khi x = 0, y = 1. Những giá trị này có thể thế vào biểu thức (PT7.14) :
L = - 0,5 (0)
4
+ 4 (0)
3
- 10(0)
2
+ 8,5(0) + C (PT7.15)
để xác định C = 1. Vì thế, nghiệm duy nhất thỏa mãn cả biểu thức vi phân
và điều kiện ban đầu cụ thể tìm được bằng cách thế C = 1 vào biểu thức
(PT7.14) để có :
y = - 0,5 x
4
+ 4 x
3
- 10x

2
+ 8,5x + 1 (PT7.16)
Từ đó, ta “chốt” biểu thức (PT7.14) bằng ép nó đi thông qua điều
kiện ban đầu và như thế, ta triển khai được một nghiệm duy nhất cho ODE
và có trọn vòng đối với hàm số ban đầu biểu thức (PT7.12)
Các điều kiện ban đầu có sự chuyển dịch rất rõ ràng đối với biểu thức
vi phân đạo hàm từ việc giải bài toán vật lý. Ví dụ, trong bài toán người
nhảy dù đang rơi, điều kiện ban đầu được phản ánh yếu tố vật chất vào thời
điểm thời gian bằng không thì tốc độ dọc sẽ bằng 0. Nếu người nhảy dù đã
sẵn sàng ở chuyển động dọc vào thời điểm 0, thì nghiệm sẽ được hiệu chỉnh
để hạch toán cho tốc độ ban đầu này.
Khi liên hệ đến biểu thích vi phân bậc n, thì điều kiện n được yêu cầu
để tìm được nghiệm duy nhất. Nếu toàn bộ các điều kiện được cụ thể hóa ở
cùng giá trị của biến độc lập (ví dụ, ở x hoặc t = 0), thì bài toán được gọi là
bài toán giá trị ban đầu. Điều này tương phản với các bài toán giá trị biên
khi chỉ tiêu kỹ thuật của điều kiện xuất hiện ở các giá trị khác nhau của biến
độc lập. Chương 25 và 26 sẽ tập trung vào các bài toán giá trị ban đầu. Các
bài toán giá trị biên cụ thể ở chương 27 theo giá trị riêng.
PT7.3. ĐỊNH HƯỚNG
Trước khi tiếp tục với các phương pháp số để giải các biểu thức vi
phâm thông thường, một số định hướng có thể áp dụng ở đây. Tài liệu sau
dự định cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về tài liệu được thảo luận
ở phần 7. Hơn nữa, ta đã định dạng mục tiêu để tập trung sự nghiên cứu của
bạn vào lĩnh vực cần nghiên cứu.
PT7.3.1. Nội dung và xem trước
Hình PT7.3.1. cho thấy tổng quan của phần 7. Hai nhóm rộng của
phương pháp số đối với bài toán giá trị ban đầu sẽ được bàn luận ở phần
này của tập sách. Phương pháp một bước, có trong chương 25 cho phép tính
toán y
i+1

, cho ra biểu thức vi phân và y
i
. Còn phương pháp đa bước có trong
chương 26 yêu cầu các giá trị bổ sung của y khác với ở i.
Về toàn bộ nhưng có ngoại lệ nhỏ, thì các phương pháp 1 ở chương
25 được gọi là kỹ thuật Runge-Kutta. Mặc dù chương này có thể được tổ
chức trong khái niệm về lý thuyết, nhưng chúng ta đã chọn một phương án
mang tính biểu trưng hơn, rõ ràng hơn để giới thiệu về phương pháp này.
Từ đó, ta bắt đầu chương này với phương pháp Euler có sự trình bày đồ họa
một cách trực tiếp. Từ đó, ta sử dụng nhận định có hướng rõ ràng để triển
9
khai hai bản đã nâng cấp của phương pháp Euler - Các kỹ thuật Heun và
điểm giữa. Sau phần giới thiệu này, ta chính thức triển khai khái niệm về
phương pháp Runge-Kutta (hoặc RK) và minh chứng được về các kỹ thuật
trước đó là phương pháp RK cấp hai và cấp 1 thực tế. Điều này được thực
hiện bằng một cuộc thảo luận của các định thức RK cấp cao hơn trình tự
được sử dụng cho việc giải bài toán kỹ thuật. Hơn nữa, ta tính ứng dụng của
phương pháp một bước của hệ thống ODE. Cuối cùng, chương này kết thúc
bằng bàn luận của các phương pháp RK ứng dụng được điều chỉnh tự động
kích cỡ bước tương ứng với lỗi cắt bỏ của phép tính.
Hình PT7.5
Trình diễn hệ thống tổ chức của phần 7 : Biểu thức vi phân thông
thường.
10
Chương 26 bắt đầu với phần trình bày về ODE chắc. Cả hai phần hệ
thống và riêng biệt của ODE có cả hai thành tố nhanh và chậm đối với
nghiệm của chúng. Ta giới thiệu ý tượng về kỹ thuật nghiệm ẩn khi nó sử
dụng phổ biến phương pháp giải bài toán này.
Tiếp theo, ta thảo luận về phương pháp đa bước. Các thuật toán này
có chứa các thông tin của các bước trước đó để nắm bắt một cách có hiệu

quả quỹ đạo của nghiệm này. Chúng cũng cho một số dự tính lỗi cắt bỏ có
thể được sử dụng để thực hiện kiểm soát kích cỡ bước. Trong phần này,
chúng ta ban đầu tiến hành bước tiếp cận thực tế bằng cách sử dụng phương
pháp giản đơn - phương pháp không tự khởi động Heun - để giới thiệu toàn
bộ các đặc tính thiết yếu của phương pháp tiếp cận đa bước.
Ở chương 27 ta quay lại bài toán giá trị riêng và giá trị giới hạn. Đối
với phần trước, ta giới thiệu cả phương pháp vi sai hữu hạn và siêu hạn.
Phần sau, ta bàn luận đến một số tiếp cận, kể cả phương pháp nguồn và đa
thức. Cuối cùng, chương này bao gồm phần trình bày ứng dụng của một số
gói phần mềm và các thư viện đối với nghiệp ODE và các giá trị riêng.
Chương 28 trình bày ứng dụng từ toàn bộ các lĩnh vực kỹ thuật. Cuối
cùng, phần tổng hợp ngắn đưa vào cuối phần 7. Lời kết này tổng hợp và so
sánh các công thức quan trọng và khái niệm có liên quan đến ODE. So sánh
này bao gồm phần thảo luận về sự cân bằng có liên quan đến việc thực hiện
của chúng trong các tiêu chuẩn về kỹ thuật. Kết luận này cũng tổng hợp
công thức quan trọng và bao gồm phần tham khảo về các đề tài nâng cao.
OT7.3.2. Mục tiêu và mục đích
Mục tiêu nghiên cứu : Sau khi hoàn tất phần 7, bạn phải nâng cao
hơn nữa khả năng của bạn để tương thích và giải được các bài toán vi phân
thông thường và các bài toán về giá trị riêng. Mục tiêu nghiên cứu chung
phải bao gồm việc ứng dụng các kỹ thuật, có khả năng đánh giá về độ tin
cậy của câu trả lời, có khả năng chọn phương án ‘tốt nhất” cho từng bài
toán cụ thể. Bổ sung vào mục tiêu chung này, đối tượng nhiên cứu cụ thể ở
bảng PT7.2 phải được chỉnh xét lại
Mục tiêu tính toán. Bạn đã cung cấp phần mềm và giải thuật để thực
hiện các kỹ thuật được bàn luận đến ở phần 7. Toàn bộ đều có thiết bị làm
công cụ nghiên cứu.
Phần mềm máy tính cá nhân TOOLKIT phương pháp số được sử
dụng một cách thân thiện. Nó áp dụng phương pháp Runge-Kutta cấp bốn
để giải thành năm ODE liên tục. Các đồ họa có liên quan đến phần mềm

này giúp bạn dễ dàng hiện thực hóa nghiệm theo tọa độ xy của các biến số
phụ thuộc so với biến số độc lập. Phần mềm này rất dễ áp dụng để giải
nhiều bài toán thực tiễn và có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả của
các chương trình máy tính mà bạn có thể tự triển khai được.
Hơn nữa, các giải thuật cung cấp cho nhiều phương pháp khác ở phần
7. Thông tin này cho phép bạn mở rộng thư viện phần mềm của mình. Ví
dụ, bạn có thể tìm được điều hữu ích từ quan điểm chuyên môn để có phần
mềm áp dụng phương pháp Runge-Kutta cấp 4 để có hơn 5 biểu thức và
giải được ODE với tiếp cận kích cỡ bước có thể áp dụng.
11
Bảng PT7.2. Mục tiêu nghiên cứu cụ thể đối với phần 7
1. Hiểu được sự biểu thị trực quan của phương pháp Euler, Heun và điểm giữa.
2. Biết được mối quan hệ giữa phương pháp Euler với chuổi mở rộng Taylor và
cái nhìn bên trong chứng minh về lỗi của phương pháp.
3. Hiểu được sự khác nhau giữa các lỗi cắt bỏ bên trong và toàn bộ và cách nó
liên quan đến việc chọn phương pháp số cho bài toán cụ thể.
4. Biết được trình tự và sự phụ thuộc kích cỡ bước của lỗi cắt bỏ toàn bộ của
toàn bộ các phương pháp được trình bày ở phần 7, hiểu được các lỗi này có độ
chính xác về kỹ thuật như thế nào.
5. Hiểu được cơ sở của phương pháp hiệu chỉnh chỉ số báo trước. Đặc biệt, nhận
biết rằng hiệu quả của phép hiệu chỉnh là phụ thuộc cao vào độ chính xác của
chỉ số dự báo.
6. Biết được dạng chung của các phương pháp Rungh-kutta. Hieeuyr được đạo
hàm của phương pháp RK cấp 2 và cách liên quan đến phương pháp mở rộng
chuổi Taylor, nhận biết được có một số vô hạn các bản phù hợp với các
phương pháp RK cấp hai và cấp cao hơn.
7. Biết được cách áp dụng bất kỳ trong số các phương pháp RK cho các hệ
thống biểu thức; có thể giảm được ODE cấp n cho hệ thống của n ODE cấp 1.
8. Công nhận loại ngữ cảnh của bàn toán mà sự điều chỉnh về kích cỡ bước của
nó là quan trọng.

9. Hiểu được cách kiểm soát kích cỡ bước áp dụng đưa vào trong phương pháp
RK cấp 4.
10.Công nhân về sự phối hợp của các thành tố chậm và nhanh tạo ra một bước
thức hoặc hệ thống vững chắc các biểu thức.
11.Hiểu được sự bàn luận giữa chương trình nghiệm phân biệt và roxc ràng đối
với ODE. Đặc biệt công nhận (1) về sự cải tiến sau này của bài toán chắc và
(2) tính phức tạp của cơ cấu nghiệm.
12.Hiểu được sự khác nhau giữa bài toán có giá trị ban đầu và giá trị ràng buộc.
13.Biết được sự khác nhau giữa các phương pháp đơn bước và đa bước; nhận ra
được toàn bộ các phương pháp đa bước là hiệu chỉnh chỉ báo trước nhưng
không phải toàn bộ các hiệu chỉnh chỉ báo trước là phương pháp đa bước.
14.Hiểu được sự kết nối giữa các công thức tích phân và phương pháp hiệu chỉnh
chỉ báo trước.
15.Công nhận về sự khác nhau cơ bản giữa công thức tích phân Newton-Cole và
Adams.
16.Biết được tỉ suât phía sau phương pháp nguồn và đa thức để xác định giá trị
riêng; đặc biệt, công nhận về giới hạn và độ dài của chúng.
17.Hiểu được sự tháo hơi Hoteller cho phép phương pháp nguồn được sử dụng
để tính toán các giá trị riêng một cách trung gian.
18.Biết được cách sử dụng gói phần mềm và/hoặc thư viện để tích phân ODE và
định giá được giá trị riêng.
Cuối cùng, một trong những mục tiêu quan trọng nhất của bạn là điều
chỉnh được gói phần mềm mục tiêu chung được sử dụng một cách rộng rãi.
Cụ thể, bạn phải làm quen với việc sử dụng các loại công cụ này để thực
hiện các phương pháp số để giải các bài toán kỹ thuật.
12
CHƯƠNG 25
PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
Chương này đưa ra để giải các biểu thức vi phân thông thường dưới
dạng :

),( yxf
dx
dy
=
Ở chương 1, ta sử dụng một phương pháp số để giải biểu thức này về
tốc độ của người nhảy dù đang rơi. Quay lại phương pháp này dưới dạng
mẫu tổng quát :
Giá trị mới = giá trị cũ + độ xiên x kích cỡ bước
Hoặc, ở dạng toán học :
y
i+1
= y
i
+ φh
(25.1)
Theo biểu thức này, thì việc tính toán độ xiên φ được sử dụng để
ngoại suy từ giá trị cũ của y
i
đến giá trị mới y
i+1
theo khoảng cách h (hình
25.1). CÔng thức này có thể áp dụng tính từng bước trong tương lai, và từ
đó tìm ra được quy đạo của nghiệm.
Hình 25.1.
Diễn tả bằng sơ đồ của phương pháp 1 bước.
13
Hình 25.2.
Phương pháp Euler
Toàn bộ các phương pháp 1 bước có thể được biểu diễn dưới dạng
tổng quát này, với một sự phân biệt theo cách để tính toán về độ xiên. Ở bài

toán người nhảy dù đang rơi, thì phương án tiếp cận đơn giản nhất là sử
dụng biểu thức vi phân để tính toán độ xiên dưới dạng của đạo hàm thứ nhất
tại x
i
. Nói cách khác, độ xiêng tại điểm bắt đầu của đoạn được lấy xấp xỉ độ
xiên bình quân trên toàn bộ đoạn. Phương pháp này, gọi là phương pháp
Euler, được bàn luận ở phần đầu chương này. Điều này được thực hiện bằng
các phương pháp một bước khác có áp dụng tính toán độ xiên thay thế tạo
ra một phép dự đoán chính xác hơn. Toàn bộ các kỹ thuật này được gọi
chung là phương pháp Runge - Kutta.
25.1. Phương pháp Euler
Đạo hàm đầu tiên cho phép tính trực tiếp về độ xiên ở x
i
(hình 25.2)
φ = f(x
i
, y
i
)
Trong đó f(x
i
, y
i
) là biểu thức vi phân được đánh giá tại x
i
, y
i
. Phép tính này
có thể được thế vào trong biểu thức (25.1)
(25.2)

Công thức này tham chiếu làm phương pháp Euler (hoặc Euler-
Cauchy hoặc độ xiên điểm(. Giá trị mới của y được đoán trước bằng cách
sử dụng độ xiên (bằng với đạo hàm thứ nhất tại giá trị gốc của x) để ngoại
suy trực tuyến trên kích cỡ bước h (hình 25.2)
VÍ DỤ 25.1. Phương pháp Euler
Bài toán. Sử dụng phương pháp Euler để tích phân số biểu thức
(PT7.13)
5,820122
23
+−+−= xxx
dx
dy
14
từ x = 0 đến x = 4 với kích cỡ bước là 0,5. Điều kiện ban đầu ở x = 0 là y =
1. Nhắc lại nghiệm chính xác này được cho theo biểu thức (PT7.16)
y = - 0,5x
4
+ 4x
3
- 10x
2
+ 8,5 x + 1
Giải : Biểu thức (25.2) có thể sử dụng để thực hiện phương pháp
Euler
y(0,5) = y(0) + f (0, 1) 0,5
trong đó y(0) = 1 và tính độ xiên tại x = 0 là:
f(0, 1) = - 2(0)
3
+ 12 (0)
2

- 20 (0) + 8,5 = 8,5
Từ đó :
y(0,5) = 1 . 0 + 8,5 . 0,5 = 5,25
Nghiệm thực tại x = 0,5 là :
y = - 0,5 (0,5)
4
+ 4(0,5)
3
- 10(0,5)
2
+ 8,5 (0,5) + 1 = 3,21875
Từ đó lỗi là :
E
1
= số đúng - số gần đúng = 3,21875 - 5,25 = - 2,03125
Hoặc, biểu diễn dạng lỗi phần trăm tương đối,
ε
t
= - 63,1%. Đối với bước 2 :
y(1) = y(0,5) + f (0,5 , 5,25) 0,5
= 5,25 + [-2 (0,5)
3
+ 12 (0,5)
2
- 20 (0,5) + 8,5] x 0,5
= 5,875
Nghiệm thực ở x = 1,0 là 3,0, và từ đó lõi tương đối phầng trăm là -
95,8%. Tính toán được lập lại và kết quả được soạn thảo theo Bảng 25.1 và
hình 25.3. Lưu ý là :
Bảng 25.1. So sánh giá trị thực và gần đúng của tích số nguyên y’ = -2x

3
+
12x
2
- 20x + 8,5 với điều kiện ban đầu là y = 1 ở x = 0. Giá trị gần đúng
được tính qua sử dụng phương pháp Euler với kích cỡ bước 0,5. Lỗi cục bộ
căn cứ vào lỗi xuất hiện trên các bước đơn lẻ. Ta tính bằng phương pháp
mở rộng chuổi Taylor ở ví dụ 25.2. Lỗi toàn cục là tổng độ lệch do các
bước trước đó cũng như hiện tại :
Lỗi tương đối theo phần trăm
x y
thực
y
euler
Toàn cục Nội bộ
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1.00000
3.21875
3.00000
2.21875
2.00000
2.71875

4.00000
4.71875
3.00000
1.00000
5.25000
5.87500
5.12500
4.50000
4.75000
5.87500
7.12500
7.00000
-63.1
-95.8
131.0
-125.0
-74.7
46.9
-51.0
-133.3
-63.1
-28.0
-1.41
20.5
17.3
4.0
-11.3
-53.0
15
Hình 25.3

So sánh nghiệm thực với một nghiệm số sử dụng phương pháp Euler để tích
phân y’ = -2x
3
+ 12x
2
- 20x + 8,5 từ x = 0 đến x = 4, với kích cõ bước 0,5
với điều kiện ban đầu là y = 1 ở x = 0.
mặc dù phương pháp tính có được xu hướng chung của nghiệm thực, lỗi
đang được xét. Như đã bàn luận ở phần trước, thì lỗi này có thể giảm được
bằng cách sử dụng kích cỡ bước nhỏ hơn.
Ví dụ tiếp theo có sử dụng đa thức đơn giản đối với bước thức vi
phân để tính lỗi, được phân tích như sau,
)(xf
dx
dy
=
Như đã biết, trường hợp phổ biến hơn (và chung hơn) có liên quan
đến IDE tùy thuộc cả vào x và y.
),( yxf
dx
dy
=
Khi ta tiến hành suốt phần text này, thì các ví dụ của chúng càng có
liên quan đến ODE, tùy thuộc vào cả biến số độc lập và không độc lập.
25.1.1. Phân tích lỗi đối với phương pháp Euler :
Nghiệm số của ODE có liên quan đến hai loại lỗi (xem lại chương 3
và chương 4)
1. Cắt bỏ hoặc rời rạc, lỗi gây ra theo tính chất của các kỹ thuật được
áp dụng cho giá trị gần đúng của y.
16

2. Lỗi làm tròn số gây ra bởi số hạn chế các chữ số có nghĩa có thể có
được bằng máy tính.
Lỗi cắt bỏ được gộp thành 2 phần. Phần đầu là lỗi cắt bỏ cục bộ gây
ra từ ứng dụng phương pháp đặt câu hỏi theo bước đơn. Phần thứ hai là lỗi
cắt bỏ lan truyền gây ra từ phép tính gần đúng tạo ra trong các bước trước
đó. Tổng hai bước là phần tổng cộng hoặc lỗi cắt bỏ toàn bộ.
Đi sâu vào bên trong độ lớn và tính chất của lỗi cắt bỏ, có thể đạt
được bằng cách áp dụng phương pháp Euler trực tiếp từ phương pháp mở
rộng chuổi Tayler. Để làm được điều này, ta nhận thấy là biểu thức vi phân
được tích phân sẽ cho dạng tổng quát sau :
y’ = f(x, y) (25.3)
Trong đó y’ = dy/ dx và x và y và biến số độc lập và phụ thuộc, tương ứng.
Nếu nghiệm - đó là hàm số trình bày biểu diễn của y có đạo hàm liên tục, ta
có thể biểu thị bằng phương pháp mở rộng chuổi Taylor ở khoảng giá trị
ban đầu (x
i
, y
i
), như ở (xem lại biểu thức 4.7)
n
n
n
i
n
i
iii
Rh
n
y
h

y
yyy +++++=
+
!

!2
'
)(
2
1
(25.4)
Trong đó h = y
i+1
- x
i
và R
n
= số hạng còn lại, được xác định là :
1
)1(
)!1(
)(
+
+
+
=
n
n
n
h

n
y
R
ξ
(25.5)
Trong đó ξ nằm ở trong đoạn từ x
i
đến x
i+1
. Dạng thay thế có thể triển khai
bằng cách thế biểu thức (25.3) thành biểu thức (25.4) và (25.5) để có được :
)(
!
),(

!2
),('
),(
1
)1(
2
1
+
−
+
+++++=
nn
ii
n
ii

iiii
hOh
n
yxf
h
yxf
hyxfyy
(25.6)
Trong đó O(h
n+1
) cụ thể là lỗi cắt bỏ cục bộ được phân mảnh theo kích cỡ
bước tăng đến nguồn thứ (n+1)
Bằng cách so sánh biểu thức (25.2) và (25.6) ta có thấy được phương
pháp Euler tương ứng với chuổi Taylor mở rộng và bao gồm số hạng f (x
i
,
y
i
)h. Bổ sung vào đó, việc so sánh này cỉ ra rằng lỗi cắt bỏ xuất hiện là do
chúng ta tính gần đúng nghiệm thực sử dụng số hữu hạn các số hạng từ
chuổi Taylor. Từ đó ta cắt bỏ hoặc loại ra, một phần của nghiệm thực. Ví
dụ, lỗi cắt bỏ ở phương pháp Euler là thuộc tính đối với số hạng còn lại
trong phép mở rộng chuổi Taylor mà không đưa vào trong biểu thức (25.2).
Trừ biểu thức (25.2) cho biểu thức (25.6) ta có :
)(
!2
),('
12 +
++=
n

ji
i
hOh
yxf
E
(25.7)
Trong đó E
t
= lỗi cắt bỏ cục bộ thực sự. Đối với h đủ nhỏ, thì các lỗi này ở
trong các số hạng trong biểu thức (25.7) thường giảm khi trình tự tăng (xem
lại ví dụ 4.2 và phần bàn luận kèm theo) và kết quả thường được biểu thị
như sau :
2
!2
),('
h
yxf
E
ji
a
=
(25.8)
Hoặc
E
a
= O(h
2
) (25.9)
17
VÍ DỤ 25.2. Tính toán chuổi Taylor đối với lỗi trong phương pháp Euler

Bài toán : Sử dụng biểu thức (25.7) để tính lỗi của bước đầu tiên của
ví dụ 25.1. Tương tự sử dụng nó để xác định lỗi do mỗi số hạng trình tự cao
của biểu thức mở rộng chuổi Taylor.
Giải : Do chúng ta liên hệ đến một đa thức, ta có thể sử dụng chuổi
Taylor để có được tính toán chính xác các lỗi trong phương pháp Euler.
Biểu thức (25.7) có thể được viết lại như sau :
432
!4
),('
!3
),('
!2
),('
h
yxf
h
yxf
h
yxf
E
jijiji
a
++=
(25.2.1)
Trong đó f’(x
i
, y
i
) = đạo hàm đầu tiên của biểu thức vi phân (đó là, đạo hàm
thứ hai của nghiệm). Đối với trường hợp hiện tai, đó là :

f’(x
i
, y
i
) = - 6x
2
+ 24x - 20 (25.2.2)
và f”(x
i
, y
i
) = đạo hàm thứ hai của ODE
f”(x
i
, y
i
) = - 12x + 24 (25.2.3)
và f
3
(x
i
, y
i
) = đạo hàm thứ ba của ODE
f”(x
i
, y
i
) = - 12 (25.2.4)
ta có thể bỏ qua số hạng (đó là, số hạng thứ tư và cao hơn) từ biểu

thức (E25.2.1) bởi vì do trường hợp đặc biệt này chúng bằng 0. Ta cần lưu ý
rằng đối với biểu thức khác (ví dụ, hàm số siêu việt như dạng hình sin hoặc
hàm số mũ) điều này sẽ không cần thiết là đúng, và các số hạng cấp cao hơn
có giá trị khác 0. Tuy nhiên, đối với trường hợp hiện tại, biểu thức (E25.2.1)
đến (E25.2.4) hoàn toàn xác định được lỗi cắt bỏ đối với ứng dụng đơn của
phương pháp Euler.
Ví dụ, lỗi do cắt bớt của số hạng thứ hai có thể được tính như sau :
5,2)5,0(
2
20)0,0(24)0,0(6
2
2
2,
−=
−+−
=
t
E
(E25.2.5)
Đối với số hạng thứ 3 :
5,0)5,0(
6
24)0,0(12
2
2
3,
=
+−
=
t

E

và số hạng thứ 4 :
03125,0)5,0(
24
12
4
4,
−=
−
=
t
E

Ba kết quả này có thể bổ sung để nhân toàn bộ lỗi cắt bỏ này :
E
t
= E
t,2
+ E
t,3
+ E
t,4
= - 2,5 + 0,5 - 0,03125 = - 2,013125
18
Đó chính xác là lỗi phát sinh trong bước ban đầu của ví dụ 25.1. Lưu
ý biểu thức E
t,2
> E
t,3

> E
t,4
, hỗ trợ cho phép gần đúng được biểu thị bởi biểu
thức (25.8)
Như minh họa ở ví dụ 25.2, chuổi Taylor cung cấp một phương tiện
định lượng lỗi trong phương pháp Euler. Tuy nhiên, có một số hạn chế liên
quan đến việc sử dụng chúng cho mục đích này. Ở bảng 25.1, ta đưa vào
các lỗi cắt bỏ cục bộ và toàn diện cho ví dụ 25.1. Lỗi cục bộ được tính cho
mỗi bước thời gian với biểu thức (25.2) nhưng sử dụng giá trị thực của y
i
(cột thứ hai của bảng) để tính mỗi y
i+1
hơi khác với giá trị xấp xỉ (cột thứ
ba) như đã thực hiện ở trong phương pháp Euler. Như dự đoán, lỗi cắt bỏ
cục bộ tuyệt đối trung bình (25%) thấp hơn lỗi toàn diện bình quân (90%).
Chỉ một lý do là chúng ta có thể thực hiện phép tính lỗi chính xác này là ta
biết được giáo trị thực trong một trình tự. Nó không phải là trường hợp
trong bài toán thực. Nhờ vậy, như đã thảo luận dưới đây, bạn phải thường
áp dụng các kỹ thuật như phương pháp Euler sử dụng số các kích cỡ bước
khác nhau để có được phép tính gián tiếp của các lỗi có liên quan.
2. Như đã đề cập ở trên, trong bài toán thực tế ta thường liên hệ với
các hàm số có tính phức hợp hơn so với các đa thức đơn giản. Nhờ đó, các
đạo hàm cần để đánh giá các phương pháp mở rộng chuổi Taylor có thể
không phải dễ dàng tính được.
Mặc dù các giới hạn này có đưa ra phân tích lõi chính xác đối với
phần lớn các bài toán trontg thực tiễn, chuổi Taylor vẫn đưa ra cái nhìn sâu
sắc có giá trị vào trong hành vi của phương pháp Euler. Theo biểu thức
25.9, thì ta thấy rằng lỗi cục bộ là tỉ lệ bình phương kích cỡ bước và là đạo
hàm đầu tiên của biểu thức vi phân. Nó cũng có thể được minh chứng rằng
lỗi cắt bỏ toàn bộ là 0(h); đó là nó tỷ lệ với kích cỡ bước (Carnahan et al.

1969). Quan sát này dẫn đến kết luận hữu ích sau :
1. Lỗi có thể được giảm bằng cách giảm kích cỡ bước
2. Phương pháp này cung cấp sự dự báo không lỗi nếu hàm số cơ sở
(đó là nghiệm của biểu thức vi phân) là trực tuyến, bởi vì đối với đường
thẳng thì đạo hàm thứ hai sẽ là 0.
Phần kết luận sau cho thấy được cảm giác rõ ràng bởi vì phương pháp
Euler sử dụng các phân đoạn đường thẳng để tính gần đúng nghiệm này. Từ
đó, phương pháp Euler căn cứ theo phương pháp cấp 1.
Ta cũng cần lưu ý rằng cơ sưở chung này được thực hiện cho các
phương pháp 1 bước ở cấp cao hơn được trình bày ở các trang sau. Đó là
phương pháp thứ n sẽ tạo ra kết quả hoàn thiện nếu nghiệm cơ sở là đa thức
thứ n. Hơn nữa, lỗi cắt bỏ cục bộ sẽ là 0(h
n+1
) lỗi toàn bộ sẽ là 0 (h
n
).
VÍ DỤ 25.3. Hiệu quả của kích cỡ bước đã giảm trên phương pháp Euler
Bài toán. Lập lại phép tính của ví dụ 25.1 nhưng sử dụng kích cỡ
bước 0,25.
19
Hình 25.4
(a) So sánh hai nghiệm số với phương pháp Euler sử dụng kích cỡ bước của
0,5 và 0,25.
(b) So sánh lỗi cắt bỏ cục bộ dự toán và thực tế đối với trường hợp ở đó
kích cỡ bước là 0,5. Lưu ý rằng lỗi “dự đoán” sẽ căn cứ theo biểu thức
(E25.2.5).
Giải : Tính toán được lập lại, và các kết quả được soạn trong hình 25.4a.
Giảm một nữa kích cỡ bước làm giảm giá trị tuyệt đối với lỗi toàn cầu bình
quân xuống còn 40% và giá trị tuyệt đối của lỗi cục bộ là 6,4%. Điều này so
sánh với lỗi cục bộ và toàn cầu đối với ví dụ 25.1 của 90% và 24,8%. Từ

đó, như dự đoán lỗi cục bộ sẽ giảm một phần tư và lỗi toàn bộ sẽ giảm một
nữa.
Tương tự, lưu ý về việc làm thế nào lõi cục bộ thay đổi tín hiệu giá trị
trung bình theo giới hạn. Điều này là do ban đầu đạo hàm đầu tiên của biểu
thức vi phân là một hình parabole thay đổi tín hiệu (xem lại biểu thức
E25.2.2) và xem hình 25.4.b). Do lỗi cục bộ tỷ lệ theo hàm số này, nên tác
dụng của dao động theo tín hiệu được giữ là lỗi toàn bộ từ sự tăng trưởng
liên tục như quá trình tính toán. Từ đó, từ x = 0 và x = 1,25, thì lõi cục bộ
toàn bộ sẽ là âm và nhờ đó, lỗi toàn bộ tăng theo đoạn này. Trong phần
20
trung gian của giới hạn, lỗi cục bộ dương bắt đầu giảm lỗi toàn bộ. Gần đến
kết thúc, quy trình này quay lại và lỗi toàn bộ một lần nữa lại giảm. Đó là
tín hiệu thay đổi liên tục của lỗi cục bộ theo đoạn tính toán, hiệu quả là
thường giảm lỗi toàn bộ. Tuy nhiên, ở đó các lỗi cục bộ là có cùng tín hiệu,
nghiệm số có thể hội tụ hơn nữa và xa hơn từ nghiệm thực khi phép tính
được tiếp tục. Kết quả này như đã nói là không ổn định.
Hiệu quả của sự giảm kích cỡ bước thêm trên lỗi cắt bỏ toàn bộ của
phương pháp Euler được minh họa ở hình 25.5. Phân đoạn này cho thấy lỗi
tương đối phần trăm tuyệt đối ở x = 5 là hàm số kích cỡ bước đối với bài
toán mà ta đã kiểm tra trong ví dụ 25.1 đến 25.3. Lưu ý rằng cả khi h giảm
xuống còn 0,001, thì lỗi vẫn vượt quá 0,1%. Bởi vì kích cỡ bước này tương
ứng với 5000 bước để tiếp tục từ x = 0 đến x = 5, thì phân đoạn này ch thấy
rằng kỹ thuật cấp 1 như phương pháp Euler cần nỗ lực tính toán lớn để có
được cấp độ lỗi chấp nhận được. Phần sau của chương này, ta biểu thị các
kỹ thuật cấp cao hơn để có được độ chính xác tốt hơn đối với nỗ lực tính
toán tương tự. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, bất chấp sự vô hiệu quả của nó,
thì tính đơn giản của phương pháp Euler làm cho nó trở nên hấp dẫn hơn
cho nhiều bài toán kỹ thuật. Bởi vì nó rất dễ lập trình, còn kỹ thuật có hữu
dụng đặc biệt để phân tích nhanh. Ở phần sau, một giải thuật tính toán cho
phương pháp Euler sẽ được triển khai.

Hình 25.5
Hiệu quả về kích cỡ bước trên lỗi cắt bỏ toàn bộ của phương pháp Euler đối
với số nguyên y’ = - 2x
3
+ 12x
2
- 20x + 8,5. Phân khu cho thấy được lỗi
toàn bộ tương đối theo phần trăm tuyệt đối tại x = 5 là hàm số về kích cỡ
bước.
21
25.1.2. Thuật toán đối với phương pháp Euler
Giải thuật đối với các kỹ thuật một bước như phương pháp Euler rất
đơn giản để lập trình. Như đã cụ thể hóa trước đó ở điểm bắt đầu chương
này, toàn bộ các phương pháp một bước có một dạng tổng quát :
Giá trị mới = giá trị cũ + độ xiên x kích cỡ bước (25.10)
Chỉ một cách trong đó các phương pháp có phân biệt là trong phép
tính về độ xiên.
Giả sử rằng bạn muốn thực hiện phép tính đơn giản trong bảng 25.1.
Đó là, bạn muốn sử dụng phương pháp Euler để tích phân y’ = - 2x
3
+ 12x
2
- 20x + 8,5 với điều kiện ban đầu là y = 1 ở x = 0. Bạn muốn tích phân
thành x = 4 sử dụng kích cỡ bước 0,5 và hiển thị toàn bộ các kết quả. Một
mã giả để hoàn thiện nhiệm vụ này có thể được viết cụ thể ở hình 25.6
Mặc dù chương trình này sẽ “làm việc” nhân đôi kết quả của Bảng
25.1, nhưng nó vẫn khó thiết kế. Trước hết, và hơn hết, nó là không phải
hoàn toàn là khuôn mẫu. Mặc dù điều này không rất quan trọng đối với
chương trình nhỏ, nó vẫn là khuôn mẫu nếu ta muốn hiệu chỉnh và cải thiện
giải thuật này.

Hơn nữa, có một số vấn đề có liên quan đến cách ta đã thiết lập cách
lặp lại. Ví dụ, giả sử rằng kích cỡ bước được lập rất nhỏ để có được độ
chính xác tốt hơn. Trong những trường hợp như thế, do nhiều giá trị tính
toán được hiển thị, số các giá trị đầu ra có thể rất lớn, Hơn nữa, giải thuật
này dự đoán trên cơ sở cho rằng các đoạn tính được chia bằng nhau bằng
kích cỡ bước. Cuối cùng, sự tích lũy x trong đường thẳng x = x + dx có thể
Hình 25.6
Mã giả đối với bản “rác” của phương pháp Euler
‘ set integration range
xi=0
xf=4
‘initialize vảiables
x = xl
y = 1
‘set step size and deterrmine
‘number of calculation steps
dx=0,5
nc= (xf - xl)/ dx
‘output initial condition
PRINT x, y
‘loop to implement Euler’s method
‘and display result
do i = 1, nc
dydx = - 2x
3
+ 12x
2
- 20x + 8,5
y = y + dydx . dx
x = x + dx

PRINT x, y
END DO
22
phụ thuộc vào việc định lượng lỗi theo phân loại đã được bàn luận trước ở
phần 3.4.1. Ví dụ. nếu dx thay đổi thành 0,01 và phần biểu diễn điểm nổi
tiêu chuẩn IEE được sử dụng (khoảng 7 chữ số có nghĩa), kết quả ở cuối
phép tính sẽ là 3,999997 ít hơn so với 4.Đối với dx = 0,001, thì nó là
3,999892!
Thuật toán có tính định hình hơn nhiều tránh được những khó khăn
này được trình bày ở hình 25.7. Thuật toán này không truy xuất toàn bộ các
giá trị tính toán. Đôi khi, người dùng cụ thể các khoản truy xuất, xout, phân
tích khoảng ở đó kết toán tính toán được lưu trữ ở dãy số, xp
n
, và yp
m
Các
giá trị này được lưu trữ ở các dãy số để chúng có thể truy xuất ở một số
cách sau khi công tác tính toán đã được hoàn tất (như : in, truy xuất đồ họa,
viết vào tập tin).
Chương trình Kiểm tra có một số bước truy xuất lớn và gọi chương
trình thiết bị lấy tích phân để có các bước tính chính xác hơn. Lưu ý rằng
các vòng kiểm soát các bước lớn và nhỏ thoát ra khỏi điều kiện logic. Từ
đó, các khoảng không phải được chia đều bởi kích cỡ các bước.
Chương trình thiết bị lấy tích phân sau đó gọi chương trình Euler để
có một bước đơn lẻ với phương pháp Euler. Chương trình Euler gọi chương
trình Đạo hàm để tính giá trị đạo hàm.
Cho dù việc định hình hóa này có thể tương tự như việc khử quá mức
trong trường hợp hiện tại, nó sẽ trang bị lớn để hiệu chỉnh chương trình ở
các phần sau. Ví dụ, mặc dù chương trình hình 25.7 được thiết kế một cách
cụ thể để thực hiện phương pháp Euler, định thức Euler là một phần được

cụ thể phương pháp. Từ đó, toàn bộ được yêu cầu để áp dụng cho thuật toán
này đối với các phương pháp một bước khác để hiệu chỉnh chương trình này
Hình 25.7
Mã giả đối với bản định hình “cải tiến” của phương pháp Euler
23
VÍ DỤ 25.4. Giải ODE với máy tính
Bài toán. Một chương trình máy tính có thể được triển khai từ mã giả
ở hình 25.7. Ta có thể sử dụng phần mềm này để giải bài toán khác có liên
quan với người nhảy dù đang rơi. Bạn trở lại từ phần 1 là mô hình toán của
chúng ta đối với tốc độ đó căn cứ vào định luật thứ hai của Newton ở dạng:
v
m
c
g
dt
dv
−=
(E25.4.1)
Biểu thức vi phân này được giải bằng cả phương pháp tích phân (ví
dụ 1.1) và số sử dụng phương pháp Euler (Ví dụ 1.2). Các nghiệm này đối
với trường hợp đó khi g = 9,8; c = 12,5; m = 68,1 và v = 0 khi t = 0.
Mục tiêu của ví dụ hiện tại lả lập lại phép tính số này có áp dụng mọt
mô hình phức tạp hơn dể có được vận tốc căn cứ vào phần diễn giải toán
học hoàn thiện hơn của lực kéo gây ra bởi sức kháng gió. Mô hình này đã
cho bởi :

















+−=
b
v
v
av
m
c
g
dt
dv
max
(E25.4.2)
Trong đó g, m và c là tương ự như đối với biểu thức (E25.4.1) VÀ A, B VÀ
v
max
là hằng số thực nghiệm mà trong trường hợp này nó bằng tương ứng là
8,3, 2,2 và 46. Lưu ý rằng mô hình này có khả năng tính toán thực hiện một
cách khớp và chính xác hơn về lực kéo trên tốc độ so với mô hình tuyến
tính đơn giản trong ví dụ 1.1. Tuy nhiên, tính linh hoạt gia tăng này đã đạt

được với chi phí đánh giá ba hệ số khác với 1. Hơn nữa, mô hình toán học
tạo ra là khó hơn khi giải bằng cách tích phân. Trong trường hợp này,
phương pháp Eulic chứng minh được giải pháp thuận lợi để có được
nghiệm số gần đúng.
Hình 25.8.
Kết quả đồ họa đối với giải pháp không tuyến tính ODE (biểu thức
(E25.4.2)). Lưu ý rằng phần vẽ này cũng cho thấy nghiệm đối với mô hình
tuyến tính (biểu thức E25.4.1) để dùng cho mục đích so sánh.
24
Giải : Kết quả của cả mô hình tuyến tính và không tuyến tính được hiển thị
ở hình 25.8 với kích cỡ bước tích phân là 0,1 s. Đường vẽ ở hình 25.8 cũng
cho thấy phần đè của nghiệm của mô hình tuyến tính cho mục đich so sánh.
Các kết quả cả hai mô phỏng này cho thấy cách tăng độ phức hợp của
cấu tạo lực kéo có ảnh hưởng đến vận tốc của người nhảy dù. Trong trường
hợp này, tốc độ chấm dứt giảm thấp bởi kháng lực gây ra bởi số hạng cấp
cao hơn ở biểu thức E25.4.2.
Các mô hình thay thế có thể được kiểm tra theo cách tương tự. Sự
phối hợp của nghiệm tạo ra từ má tính làm nó trở thành nhiệm vụ có hiệu
quả và dễ dàng. Sự thuận lợi này cho phép bạn dành nhiều thời gian hơn để
xem xét về phương pháp sáng tạo và phương diện toàn bộ của bài toán khác
với các phép tính bằng tay .
25.1.3. Phương pháp chuổi Taylor cấp độ cao
Một cách giảm lỗi của phương pháp Euler có thể bao gồm số hạng
của việc mở rộng chuổi Taylor. Ví dụ, bao gồm số hạng cấp 2 từ biểu thức
(25.6) ta có :
2
1
!2
),('
),( h

yxf
hyxjyy
ii
iiii
++=
+
(25.11)
Với lỗi cắt dần cục bộ của :
3
6
),("
h
yxf
E
ii
a
=
Mặc dù sự phối hợp các số hạng cấp cao hơn là đủ đơn giản để tực
hiện đối với các đa thực, thì kết luận của nó không quá khó khăn khi ODE
phức hợp hơn nhiều. Đặc biệt, ODE là hàm số của cả biến độc lập và phụ
thuộc yêu cầu có vi phân quy tắc dây chuyền. Ví dụ, đạo hàm đầu tiên của
f(x, y) là :
dx
dy
y
yxf
x
yxd
yxf
ii

∂
∂
+
∂
∂
=
),(),(
),('
Đạo hàm thứ hai là :
dx
dy
y
dxdyyfxxf
x
dxdyyfxxf
yxf
ii
∂
∂∂+∂∂∂
+
∂
∂∂+∂∂∂
=
)/()/(/[)/()/(/[
),("
Đạo hàm bậc cao trở thành phức tạp hơn rất nhiều.
Từ đó, như đã trình bày ở phần sau, thì các phương pháp 1 bước thay
thế đã được triển khai. Những chương trình như thế có tính so sánh trong
việc thực hiện tiếp cận chuổi Taylor nhưng yêu cầu chỉ phép tính đạo hàm
bậc nhất.

25.2. Cải thiện phương pháp Euler
Một nguồn lỗi cơ bản trong phương pháp Euler là đạo hàm ở điểm
bắt đầu khoảng đã cho áp dụng qua toàn bộ khoảng. Hai hiệu chỉnh đơn
giản đều có để hỗ trợ vượt qua thiếu sót này. Như đã minh chứng trong
phần 25.3, cả hai hiệu chỉnh thực tế thuộc vào nhóm kỹ thuật nghiệm lớn
hơn gọi là phương pháp Runge-Kutta. Tuy nhiên, do chúng có biên dịch đồ
25