MỤC LỤC
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 3: Hàm Green ở nhiệt độ khác không 2
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Hàm Green Matsubara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Hàm Green trễ và nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Phương trình Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
NỘI DUNG
Chương 3
HÀM GREEN Ở NHIỆT ĐỘ KHÁC KHÔNG
(Sách: A-Many-particle physics)
3.1 Giới thiệu
U
1
=
1
i

α

,α
ψ
∗
α
(

R, t)ψ
α
(


R, t)G
α,α

(3.1)
U
2
=
1
(i)
2

α

,α
1
,α
ψ
∗
α
(

R, t)ψ
α
(

R, t)G
α,α
1
G

α
1
,α

(3.2)
U
n
=
1
(i)
n

α

,α
1
α
n−1
,α
ψ
∗
α
(

R, t)ψ
α
(

R, t)G
α,α

1
G
α
1
,α
2
G
α
n−1
α

(3.3)
Thử nghiệm được thực hiện ở nhiệt độ khác không. Vì mục tiêu
của lý thuyết nhiều hạt. Nó thường không cần thiết nếu nhiệt độ là
nhỏ so với các nguồn năng lượng khác trong bài toán này. Nhưng
thường nhiệt độ là rất quan trọng và ở đây nó sẽ được đưa vào hàm
của Green. Các hình thức nhiệt độ khác không được bắt nguồn bởi
Matsubara (1995). Nó thực sự dễ sử dụng hơn so với lý thuyết nhiệt
độ không ở chương 2, do đó phương pháp Matsubara sẽ được sử dụng
trong suốt các phần còn lại của cuốn sách. Kết quả đối với nhiệt độ
không luôn luôn dễ dàng thu được từ kết quả của trường hợp nhiệt
độ khác không bằng cách cho T = 0.
2
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Ở nhiệt độ khác không, nó được giả định có đại lượng nào đó khác
không. Đó là các hạt của chúng, đó là điện tử, photon hoặc là spin
được tương tác với một hệ của các hạt khác chưa biết, vì chúng dao
động giữa các cấu hình khác nhau. Tất cả những gì được gọi là nhiệt
độ, có liên quan tới năng lượng trung bình trên tất cả các cấu hình có
thể có của hệ.

Một hàm Green có thể có của điện tử là
Tr

e
−βH
C
pσ
(t)C
†
pσ
(t

)

Tr (e
−βH
)
(3.4)
C
pσ
(t) = e
itH
C
pσ
e
−itH
(3.5)
Ở đây, ký hiệu "Tr" biểu thị vết và là tổng trên một bộ số hoàn
chỉnh các trạng thái
Tr ≡


n

n| |n

(3.6)
Định nghĩa (3.4) sẽ phù hợp với hàm của Green và là iG (p; t, t

).
Tuy nhiên, có một số nhược điểm mà làm cho việc khó sử dụng đến
nó. Thông thường, Hamiltonian được viết
H = H
0
+ V (3.7)
Ta có H
0
có thể được tính theo một cách chính xác, còn V vẫn
còn và trở thành nhiễu loạn. Tuy nhiên V xuất hiện ở hai biểu thức
khác nhau. Đầu tiên là trong exp {±iHt}, và có thể được mở rộng
3
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
trong ma trận S thông thường. Nhưng nó xuất hiện trong các thừa số
exp(−βH). Nhiễu loạn được mở rộng trên các nhân tố trọng số nhiệt
động lực học. Tất nhiên, đó là một rắc rối để có thể chia làm hai phần
khác nhau gộp lại một.
Các Hamiltonian có trong hai số hạng là một thừa số theo cấp số
nhân. Các thừa số của β = 1/(k
B
T ) có thể được coi là một phức thời
gian. Phương pháp Matsubara hoàn toàn là điều ngược lại, nó xem

thời gian như một nhiệt độ phức. Mục đích là để xử lý t và β là phần
thực và phần ảo, yêu cầu chỉ khai triển ma trận S.
Một động cơ thúc đẩy cho các phương pháp Matsubara được đưa ra
bằng cách kiểm tra các số lấp đầy các trạng thái cho boson (e
βω
q
−1)
−1
và fermion (e
βξ
p
+ 1)
−1
. Mỗi một trong số này có thể được khai triển
trong một chuỗi (ξ
p
= ε
p
− µ):
n
F
(ξ
p
) =
1
e
βξ
p
+ 1
=

1
2
+
1
β
∞

n=−∞
1
(2n + 1)iπ/β − ξ
p
(3.8)
n
B
(ω
q
) =
1
e
βω
q
− 1
= −
1
2
+
1
β
∞


n=−∞
1
2niπ/β − ω
q
(3.9)
Những chuỗi có thể được bắt nguồn từ một định lý nói rằng bất
kỳ hàm phân hình có thể được khai triển như một phép tổng ở trên
các cực và các thặng dư tại các cực của nó. Hệ số lấp đầy boson

e
βω
q
− 1

−1
có các cực tại ω
q
= 2niπ/β và hệ số fermion

e
βξ
p
+ 1

−1
có các cực tại ξ
p
= (2n + 1)iπ/β. Nó sẽ thuận lợi cho việc xác định
4
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình

các tần số tại cực
ω
n
= (2n + 1) iπ/β, fermion
ω
n
= 2niπ/β, boson (3.10)
ở đây các fermion có các cực đại tại bội số lẻ của π/β, trong khi các
boson có các cực tại bội số chẵn, bao gồm cả 0. Cả hai phép tổng ở
trên có thể viết lại như sau:

n
1
iω
n
− ω
q
hoặc

n
1
iω
n
− ξ
p
(3.11)
ở đây, chúng ta lấy tổng trên các chỉ số nguyên lẻ cho fermion và lấy
tổng trên các số nguyên chẵn cho boson. Hệ số
1
iω

n
− ω
q
(3.12)
là bản chất của hàm Green. Thực sự, nó là hàm Green không tương
tác trong phương pháp Matsubara.
Trong phương pháp Matsubara, thời gian sẽ trở thành một số phức,
mà thường gọi là τ, ở đây τ = it. Hàm Green là hàm của τ với miền
xác định
−β ≤ τ ≤ β (3.13)
Biến đổi Fourier lý thuyết trạng thái cho rằng nếu hàm f(τ) là xác
định trên phạm vi (−β ≤ τ ≤ β)
f(τ) =
1
2
a
0
+
∞

n=1

a
n
cos

nπτ
β

+ b

n
sin

nπτ
β

(3.14)
5
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
ở đây:
a
n
=
1
β

β
−β
dτf(τ)cos(
nπτ
β
) (3.15)
b
n
=
1
β

β
−β

dτf(τ)sin(
nπτ
β
) (3.16)
Một cách khác để viết biến đổi Fourier là xác định
f(iω
n
) =
1
2
β(a
n
+ ib
n
) (3.17)
và do đó
f(τ) =
1
β

n = −∞
∞
e
−inπτ/β
f(iω
n
) (3.18)
f(iω
n
) =

1
2

β
−β
dτf(τ)e
inπτ/β
(3.19)
Hàm Green boson có thể bổ sung tính chất
boson : f(τ) = f(τ + β) (3.20)
khi − β < τ < 0 (hay 0 < τ + β < β)
Chia tích phân (3.19) thành miền âm và miền dương:
f(iω
n
) =
1
2


β
0
dτf(τ)e
inπτ/β
+

0
−β
dτf(τ)e
inπτ/β


(3.21)
và các biến số biến đổi trong hai giới hạn từ τ tới (τ + β) dẫn tới
f(iω
n
) =
1
2
(1 + e
inπ
)

β
0
dτf(τ)e
inπ/β
(3.22)
6
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Biểu thức f(iω
n
) = 0 khi n là số nguyên lẻ cho các boson
f(iω
n
) =

β
0
dτe
iω
n

τ
f(τ)
f(τ) =
1
β

n
e
−iω
n
τ
f(iω
n
)
ω
n
= 2nπk
B
T
















boson (3.23)
Kết quả này phù hợp với tính toán trước đó (??) tần số boson chỉ
chứa số nguyên chẵn.
Tương tự, hàm Green fermion sẽ có những tính chất sau
fermion:f(τ) = −f(τ + β) khi −β < τ < 0 (3.24)
Các thao tác tương tự trên tích trong (3.19) cho
f(iω
n
) =
1
2
(1 − e
inπ
)

β
0
dτf(τ)e
inπ/β
(3.25)
Trong trường hợp này f(iω
n
) = 0 nếu n là chẵn, trong khi đối với n
là số nguyên lẻ thì:
f(iω
n

) =

β
0
dτe
iω
n
τ
f(τ)
f(τ) =
1
β

n
e
−iω
n
τ
f(iω
n
)
ω
n
= (2n + 1)πk
B
T
















fermion (3.26)
Những phương trình này là đồng nhất với (3.23) chỉ có khác biệt duy
nhất là hiệu tần số ω
n
là số nguyên chẵn hoặc là lẻ. Từng cặp của
phương trình sẽ sử dụng thường xuyên để xác định các khai triển
Fourier của hàm Green.
7
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Có hai ưu điểm lớn của phương pháp Matsubara là nó dẫn chúng
ta trực tiếp tới kết quả. Trong bản chất, (3.10) và (3.11), một số công
thức Kubo được suy ra từ các định nghĩa của vật lý như độ dẫn điện,
độ cảm ứng từ Trong công thức (3.6) cho biết hàm tương quan chỉ
là hàm Green sơ ban đầu. Cuối cùng nó thể hiện cho hàm Green
Matsubara dẫn trực tiếp tới hàm ban đầu Hàm Matsubara sẽ là hàm
của tần số phức iω
n
, chẳng hạn như f(iω
n

). Hàm tương đương ban
đầu thu được bằng cách cách thay thế iω
n
bởi (ω + iδ), ở đây δ là vô
cùng bé và i =
√
−1. Bước này được gọi là một phép phân tích mở
rộng. Trong thực tế, trong các công thức đó thì chỉ có một công thức
giúp cho f(iω
n
) loại bỏ hết iω
n
, và thay thế bởi (ω + iδ). Một biện
pháp đơn giản mang lại hàm ban đầu cần thiết cho các đại lượng vật
lý đo lường. Kỹ thuật Matsubara là một phương pháp trực tiếp tính
toán định tính có thể được so sánh với thực nghiệm.
3.2 Hàm Green Matsubara
Hàm Green điện tử được định nghĩa là
G(p, τ − τ

) = −

T
τ
C
pσ
(τ)C
†
pσ
(τ


)

(3.27)
G(p, τ − τ

) = −Tr[e
−β(H−µN−Ω)
T
τ
e
τ(H−µN)
×C
pσ
e
−(τ−τ

)(H−µN )
C
†
pσ
e
−τ

(H−µN )
] (3.28)
e
−βΩ
= Tr


e
−β(H−µN)

(3.29)
8
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Những định nghĩa này có một số đặc trưng và quy ước mà cần
phải được giải thích. Đầu tiên, khung   trong (3.27) có ngụ ý của
của phương trình tương đương (3.28) khung 0 lên một toán tử 0 có
nghĩa là lấy trung bình nhiệt động lực học, đó là các vết trong tập hợp
tất cả các trạng thái, thứ hai Hamiltonian hiện được thay thế bằng
H −µN, ở đây µ là thế điện hóa và N là toán tử số hạt. Một phân bố
chính tắc suy rộng, coi số lượng của hạt là biến. Định nghĩa của hàm
Green áp dụng cho hệ nhiều hạt. Nó cũng có thể sử dụng rất thành
công cho một hạt trong một vùng trống. Trong trường hợp sau, việc
tiếp tục phân tích được thực hiện như iω
n
→ E + µ + iδ và thế điện
hóa bị triệt tiêu trong tất cả các biểu thức vì βµ  0 trong hệ một
hạt tại nhiệt độ khác không.
Trong một hệ nhiều electron, thế điện hóa được giữ nguyên trong
các hệ thức. Việc tiếp tục phân tích (iω
n
→ E + iδ) và năng lượng
được đo từ thế điện hóa (năng lượng fermi). Yếu tố T
τ
là một toán
tử thứ tự τ, mà toán tử sắp xếp với τ sớm nhất (gần với −β nhất)
ở bên phải. Nó xác định các hàm đơn điệu theo toán tử thứ tự thời
gian trong hàmGreen có nhiệt độ khác không. Chỉ số dưới τ là chỉ số

của T để phân biệt các toán tử từ nhiệt độ. Thế nhiệt động lực học Ω
trong exp(−βΩ) là yếu tố chuẩn hóa cho một trung bình nhiệt động
lực học. Ký tự G đã được đã được sử dụng cho các hàm Matsubara.
Ký tự này sẽ luôn nhắc nhở người đọc rằng đây là hàm Green của thời
gian phức và tần số phức.
9
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Trong (3.27) hàm Green bên vế trái đã được viết như một hàm của
hiệu (τ − τ

), mặc dù vế phải không hẳn là một hàm của hiệu. Bây
giờ chứng minh cho trường hợp này. Ban đầu, viết hàm Green cho các
trường hợp riêng biệt cho τ > τ

và τ < τ

K ≡ H − µN (3.30)
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−β(K−Ω)
e
τK
C
−(τ−τ


)K
pσ
C
†
pσ

+
+Θ(τ

− τ)Tr

e
−τK
e
−β(K−Ω)
e
τ

K
C
†
pσ
e
(τ−τ

)K
C
pσ
e
−τK


(3.31)
Sự thay đổi ký hiệu trong số hạng thứ hai xuất hiện bất cứ khi nào
hai toán tử fermion là đổi chổ cho nhau. Tiếp theo, sử dụng định lý
cho vết là không thay đổi bởi một biến thiên tuần hoàn của các toán
tử
Tr(ABC Y Z) = Tr(BC XY ZA) (3.32)
để các toán tử của e
(
τ

−K) bên trái. Khi này phương trình (3.31) có
thể viết lại như sau
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−τ

K
e
−β(K−Ω)
e
τK
C
pσ
e

−(τ−τ

)K
C
†
pσ

+
+Θ(τ

− τ)Tr

e
−τK
e
−β(K−Ω)
e
τ

K
C
†
pσ
e
(τ−τ

)K
C
pσ


(3.33)
Tiếp theo giao hoán các toán tử số mủ:
e
−τ

K
e
−β(K−Ω)
= e
−β(K−Ω)
e
−τ

K
(3.34)
vì cả hai đều có toán tử đơn điệu K [ thế nhiệt động lực học Ω không
phải là một toán tử mà là một hàm vô hướng của β và µ, được xác
10
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
định trong (3.29)]:
G(p, τ − τ

) = −Θ(τ −τ

)Tr

e
−β(K−Ω)
e
(τ−τ


)K
C
pσ
e
−(τ−τ

)K
C
†
pσ

+
+Θ(τ

− τ)Tr

e
−β(K−Ω)
e
−(τ−τ

)K
C
†
pσ
e
(τ−τ

)K

C
pσ

(3.35)
Vế phải của công thức trên là một hàm duy nhất của tổ hợp (τ −τ

).
Hàm Green có thể được viết như là một hàm của hiệu. Nó loại bỏ một
biến thời gian vì nó là không cần thiết. Một định nghĩa tương đương
của hàm Green là
G(p, τ) = −

T
τ
C
pσ
(τ)C
†
pσ
(0)

(3.36)
= −Tr

e
−β(K−Ω)
T
τ
(e
τK

C
pσ
e
−τK
C
†
pσ
)

(3.37)
Tiếp theo ta xét hàm Green với τ < 0 để khẳng định tính chất (3.24)
τ < 0 : G(pτ) = Tr(e
−β(K−Ω)
C
†
pσ
e
τK
C
pσ
e
−τK
) (3.38)
Bằng cách sử dụng tính chất tuần hoàn của vết của một số thời gian
, phương trình trên có thể được xếp lại thành:
τ < 0 : G(p, τ ) = Tr

e
βΩ
e

τK
C
pσ
e
−(τ+β)K
C
†
pσ

(3.39)
Thừa số e
βΩ
không có tính chất tuần hoàn, không phải là một toán
tử.Chúng ta có thể nhóm lại bằng cách thêm e
(±βK)
vào vế đầu để
được:
τ < 0 : G(p, τ ) = Tr

e
−β(K−Ω)
e
(τ+β)K
C
pσ
e
−(τ+β)K
C
†
pσ


(3.40)
Số hạng bên phải là −G(p, τ + β) với 0 < (τ + β) < β. Trường hợp
sau cho thấy
−β < τ < 0 : G(p, τ) = −G(p, τ + β) (3.41)
11
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
tương tự như trong (3.24). Tìm thấy khi chứng minh hàm Green có
thể được mở rộng trong một chuỗi Fourier của các nhân tố trong (3.26)
G(p, iω
n
) =

β
0
dτe
iω
n
τ
G(p, τ) (3.42)
G(p, τ) =
1
β

n
e
−iω
n
τ
G(p, iω

n
) (3.43)
Phương trình (3.42) được coi là định nghĩa của G(p, iω
n
) với (iω
n
) là
bội số lẻ của π/β cho fermion.
Hàm Green không tương tác hoặc hàm Green cho hạt tự do thu
được từ (3.37) bằng cách sử dụng Hamiltonian:
H = H
0
=

pσ
ε
p
C
†
pσ
C
pσ
(3.44)
K = K
0
=

pσ
ξ
p

C
†
pσ
C
pσ
(3.45)
ξ
p
= ε
p
− µ (3.46)
Khai triển τ của toán tử:
C
pσ
(τ) = e
τK
0
C
pσ
e
−τK
0
= e
−ξ
p
τ
C
pσ
(3.47)
C

†
pσ
(τ) = e
τK
0
C
†
pσ
e
−τK
0
= e
ξ
p
τ
C
†
pσ
(3.48)
có thể dễ dàng bắt nguồn từ định lý Baker-Hausdorff theorem:
e
A
Ce
−A
= C + [A, C] +
1
2!
[A, [A, C]] +
1
3!

[A, [A, [A, C]]] + (3.49)
Sự phụ thuộc vào τ của hàm Green là:
G
(0)
(p, τ) = −Θ(τ)e
−ξ
p
τ

C
pτ
C
†
pσ

+ Θ(−τ)e
−ξ
p
τ

C
†
pσ
C
pσ

(3.50)
12
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
= −e

−ξ
p
τ
{Θ(τ)[1 −n
F
(ξ
p
)] − Θ(−τ)n
F
(ξ
p
)} (3.51)
= −e
−ξ
p
τ
[Θ(τ) −n
F
(ξ
p
)] (3.52)
ở đây n
F
(ξ
p
) là kỳ vọng của toán tử số: n
F
(ξ
p
) =< C

†
pσ
C
pσ
>, mà từ
cơ sở cơ học thống kê có dạng:
n
F
(ξ
p
) =
1
e
βξ
p
+ 1
(3.53)
Ta cũng dễ dàng có được hàm Green của tần số
G
(0)
(p, iω
n
τ) =

β
0
dτe
iω
n
τ

G(p, τ) = −(1 −n
F
)

β
0
dτe
τ(iω
n
−ξ
p
)
G
(0)
(p, iω
n
) = −
(1 − n
F
)(e
β(iω
n
−ξ
p
)
− 1)
iω
n
− ξ
p

(3.54)
Phần tử số ở trong công thức thứ hai có thể đơn giản hóa bằng cách
ghi nhớ rằng:
iβω
n
= i(2n + 1)π (3.55)
e
iβω
n
= −1 (3.56)
dẫn đến
G
(0)
(p, iω
n
) =
(1 − n
F
)(e
−βξ
p
+ 1)
iω
n
− ξ
p
(3.57)
G
(0)
(p, iω

n
) =
1
iω
n
− ξ
p
(3.58)
Dễ thấy từ (3.53) với [1 −n
F
] = 1/(e
−βξ
p
+ 1). Phương trình (3.58) là
hàm Green không tương tác cho các electron.
Kết quả cho G
(0)
không có dạng như (3.4). Thông tin nhiệt độ vẫn
còn trong biểu thức này nhưng bây giờ chỉ có tần số (2n + 1)π/β.
13
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Phonon và hàm Green phonon được định nghĩa là hàm có tính
chất đơn điệu . Chúng rõ ràng là tương tự nhau, vì vậy chỉ có phép
lấy đạo hàm của hàm Green phonon là được trình bày ở phần cuối.
Cho phonon trong khoảng thời gian −β ≤ τ ≤ β, hàm Green là:
D(q, τ − τ

) = − < T
τ
A(q, τ)A(−q, τ


) > (3.59)
A(q, τ) = e
τH
(a
q
+ a
†
−q
)e
−τH
(3.60)
Phonon không có thế điện hóa mà chỉ phụ thuộc vào τ bởi Hamilto-
nian. Vế phải của (3.60) chỉ là một hàm của (τ −τ

). Từ 2 biến của τ
ta có thể thay bằng
D(q, τ) = −

T
τ
A(q, τ)A(−q, 0)

(3.61)
Tiếp theo ta kiểm tra cho trường hợp τ < 0, ta có:
τ < 0 : D(q, τ) = −A(−q, 0)A(q, τ) (3.62)
= −Tr

e
−β(H−Ω)

A(−q)e
τH
A(q)e
−τH

(3.63)
Sử dụng hoán vị tuần hoàn của các biến trong vết:
τ < 0 : D(q, τ) = −Tr

e
βΩ
e
τH
A(q)e
−(τ+β)H
A(−q)

(3.64)
τ < 0 : D(q, τ) = −Tr

e
−β(H−Ω)
e
(τ+β)H
A(q)e
−(τ+β)H
A(−q)

(3.65)
Trong đó chứng minh

−β < τ < 0 : D(q, τ ) = D(q, τ + β) (3.66)
Vế phải của phương trình hàm Green với 0 < τ + β < β. Các đồng
nhất thức đáp ứng điều kiện chung trong (3.20) cho các hàm tương
14
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
quan. Biến đổi Fourier có dạng như (3.23)
D(q, iω
n
) =

β
0
dτe
tω
n
τ
D(q, τ) (3.67)
D(q, τ) =
1
β

n
e
−iω
n
τ
D(q, iω
n
) (3.68)
ω

n
= 2nπk
B
T (3.69)
Phương trình (3.69) đưa ra định nghĩa hàm Green phụ thuộc tần số.
Sự khác biệt giữa (3.20) và (3.24) chỉ là dấu thay đổi. Hàm fermion
có sự thay đổi dấu bởi vì các toán tử trong nó tuân theo hệ thức phản
giao hoán, trong khi các boson không thay đổi dấu bởi vì các toán tử
của nó tuân theo hệ thức giao hoán. Tất nhiên, thay đổi này là kết
quả của sự khác biệt cơ bản giữa boson và fermion. Sự thay đổi dấu
này đảm bảo cho sự thay đổi dấu giữa ±1 trong hai hình thức của
phân phối nhiệt: (e
βξ
p
+ 1)
−1
và (e
βω
q
−1)
−1
. Ta phải chú ý dấu trong
bài toán fermion với nhiều toán tử.
Cho các phonon không tương tác hoặc là hàm Green phonon tự do
thu được bởi: H = H
0
=

q
ω

q
a
†
q
a
q
, đối với τ biến đổi của hiệu suất
toán tử:
a
q
(τ) = e
τH
0
a
q
e
−τH
0
= e
−τω
q
a
q
(3.70)
a
†
q
(τ) = e
τH
0

a
†
q
e
−τH
0
= e
τω
q
a
†
q
(3.71)
Luôn nhớ rằng [a
q
(τ)]
†
= a
†
q
(τ). Hàm Green không tương tác là
D
(0)
(q, τ) = −Θ(τ)

(a
q
e
−τω
q

+ a
†
−q
e
τω
q
)(a
−q
+ a
†
q
)

−Θ(−τ)

(a
−q
+ a
†
q
)(a
q
e
−τω
q
+ a
†
−q
e
τω

q
)

(3.72)
15
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Chữ in hoa được sử dụng để biểu thị cho giá trị giá trị trung bình
nhiệt của toán tử số boson
N
q
=

a
†
q
a
q

= n
B
(ω
q
) =
1
e
βω
q
− 1
(3.73)
N

q
+ 1 =

a
q
a
†
q

(3.74)
Trị trung bình như

a
q
a
q

và

a
†
q
a
†
q

bằng 0 và chúng ó biến mất với
từng điều kiện trong vết.
Hàm Green của τ có thể viết là:
D

(0)
(q, τ) = −Θ(τ)[(N
q
+ 1)e
−τω
q
+ N
q
e
τω
q
]
−Θ(−τ)[N
q
e
−τω
q
+ (N
q
+ 1)e
−τω
q
] (3.75)
Hàm Green của tần số là
D(q, iω
n
) =

β
0

dτe
iω
n
τ
D
(0)
(q, τ)
= −

(N
q
+ 1)
(e
β(iω
n
−ω
q
− 1)
iω
n
− ω
q
+ N
q
(e
β(iω
n
+ω
q
)

− 1)
iω
n
+ ω
q

(3.76)
Các số hạng trong tử số có thể được đơn giản hóa bởi sự không có
mặt của các boson exp(iω
n
β) = 1 để hàm Green là
D
(0)
(q, iω
n
) = −

(N
q
+ 1)
(e
−βω
q
− 1)
iω
n
− ω
q
+ N
q

(e
βω
q
− 1)
iω
n
+ ω
q

(3.77)
Sử dụng phương trình (3.74) cho thấy tử số thứ nhất bằng (−1) và
thứ hai bằng (+1)
D
(0)
(q, iω
n
) = −

−
1
iω
n
− ω
q
+
1
iω
n
+ ω
q


(3.78)
16
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
D
(0)
(q, iω
n
) =
2ω
q
(iω
n
)
2
− ω
2
q
= −
2ω
q
ω
2
n
+ ω
2
q
(3.79)
Hàm Green là một hàm đơn giản. Nó giống hệt với trường hợp nhiệt
độ không (3.75) và sự khác biệt duy nhất là sử dụng tần số phức thay

vì số thực, lưu ýD
(0)
(q, iω
n
) luôn âm.
Hàm Green phonon giống với kết quả nhiệt độ không, loại bỏ tần
số phức. Định nghĩa cơ bản:
D
µν
(

k, τ) = −

λ

T
τ
A
µ
(

k, λ, τ)A
ν
(−

k, λ, 0)

(3.80)
A
µ

(

k, λ, 0) = ξ
µ
(

k, λ)

2π
ω

k

(a

kλ
+ a
†

kλ
) (3.81)
ở đây toán tử A
µ
là toán tử vectơ thông thường trong (2.163). Hàm
Green phonon tự do là
D
(0)
µν
(


k, iω
n
) = −
4π(δ
µν
− k
µ
k
ν
/k
2
)
ω
2
n
+ ω

k
2
(3.82)
nên so sánh với (2.178).
Phần này được kết thúc bằng một bình luận trên ký hiệu. Ba hình
thức sau đây cho hàm Green là tương đương và sẽ được sử dụng để
thay thế cho nhau:
G(p, ip
n
) = G(p, ip) = G(p) (3.83)
D(q, iω
n
) = D(q, iω) = D(q) (3.84)

Vế bên trái đã được sử dụng, còn vế còn lại, ip đã được sử dụng thay
vì ip
n
, chúng có nghĩa là một, kể từ khi i trong ip là đủ thông tin để
17
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
chú ý rằng tần số phức đang được sử dụng, luôn luôn rời rạc. Do đó
các chỉ số dưới n là không cần thiết. Trong các vế cuối cùng, một ký
hiệu bốn vectơ p = (p, ip) là thường dùng, và các hình thức ban đầu
của G là đủ để chúng ta biết việc sử dụng hàm Green Matsubara.
3.3 Hàm Green trễ và nâng cao
Hàm Green trễ và nâng cao đã được giới thiệu trong mục 2.9, chúng
đóng một vai trò quan trọng trong thuyết nhiệt độ khác không, những
tính chất của chúng sẽ được thảo luận trong phần này. Những tính
chất quan trọng này đến từ sự thật rằng tất cả những đại lượng đo
được, như là độ dẫn hoặc độ cảm, là hàm trễ tương ứng. Mục tiêu của
nhiều tính toán là để tính một hàm trễ. Có nhiều cách khác nhau để
có được nó. Cách thứ nhất là sử dụng thuyết thời gian thực ngay cả ở
nhiệt độ khác không. Phương pháp này đã được sử dụng rất sớm và là
cách đầu tiên nhưng là cách khó nhất. Cách thứ hai, cách này được sử
dụng thường xuyên, đầu tiên tính hàm Matsubara tương đương của
một tần số ảo. Nó chỉ ra rằng hàm trễ đạt được từ hàm Matsubara
bằng cách đơn giản là thay iω
n
bằng ω + iδ, với δ| vô cùng bé. Hàm
Matsubara là cách tính toán dễ nhất bởi vì biểu thức S-ma trận của
nó là đơn giản. Hàm trễ dễ dàng được tìm thấy từ hàm Matsubara.
Hàm trễ Green có thể được định nghĩa cho cả nhiệt độ không và
nhiệt độ khác không. Hàm trễ Green cho một electron trong trạng
18

Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
thái p là
G(p, t −t

) = −iΘ(t − t

)

[C
pσ
(t)C
†
pσ
(t

) + C
†
pσ
(t

)C
pσ
(t)]

= −iΘ(t − t

)Tr{e
−β(K−Ω)
[C
pσ

(t)C
†
pσ
(t

) + C
†
pσ
(t

)C
pσ
(t)]}
(3.85)
K = H − µN, C
pσ
(t) = e
iKt
C
pσ
e
−itK
(3.86)
Dấu brackets   được giới thiệu trong nhiệt động lực học trung
bình, như biểu thức trong dòng thứ 2. Dấu brackets vuông có nghĩa
là không có bất kì hạt nào, chúng được sử dụng với một nhóm biểu
tượng. Hàm Green trễ phụ thuộc vào thời gian thực, không phải tau.
Mẹo cho vấn đề này là thừa số i đứng trước phụ thuộc với tất cả hàm
Green thời gian thực. Toán tử hàm Green chỉ cho t > t


, cái làm nó
có lý. Thứ nhất, bắt đầu tính tại một thời điểm t

và sau đó tính nó
tại thời điểm t. Dĩ nhiên, hệ là có lý, những cái này giải thích tại sao
hàm Green là một trong những đại lượng vật lý thú vị. Sự tiện lợi của
hàm Green là không cần tính toán tại các thời gian khác nhau. Trong
giới hạn này thời gian là bằng nhau, hoán tử trở nên thống nhất.
1 = lim
t→t

{C
pσ
(t)C
†
pσ
(t

) + C
†
pσ
(t

)C
pσ
(t)} (3.87)
vì nó trở thành hoán tử fermion bình thường. Dấu cộng ở giữa hai
phần tử là một đặc trưng quan trọng cho hàm Green trễ của toán tử
fermion. Vế trái của (3.85) chỉ ra rằng hàm trễ chỉ phụ thuộc vào sự
khác nhau (t −t


). Đặc trưng này có thể được chỉ ra bằng những vận
dụng vào các phần tương tự trong các phần sau.
19
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Đối với phonons, hàm Green trễ là
D
ret
(q, t −t

) = −iΘ(t − t

)

A(q, t)A(−q, t

) − A(−q, t

)A(q, t)(3.88)
Nó là tương tự với (3.85) trong đó nó cho thời gian thực, nó cũng là
nhiệt động lực học trung bình, và chỉ phụ thuộc vào t > t

. Tuy nhiên
dấu ở giữa bây giờ là dấu trừ, nó tương ứng với hạt boson. Hàm trễ
đối với cả electron và phonon, vế phải có thể được chỉ ra là hàm của
t −t

, như đã được đưa ra của hàm Green ở vế trái trong định nghĩa.
Hàm trễ Green hữu ích cho nhiều loại toán tử. Những toán tử này
thường là tích của electron hoặc toán tử boson. Ví dụ chúng ta định

nghĩa các toán tử
U =

ij
M
ij
C
†
i
C
j
(3.89)
V =

ijk
M
ijk
C
†
i
C
j
C
k
(3.90)
Toán tử U là tuyến tính trong các toán tử C
i
với M
ij
là phần tử

ma trận. Toán tử U có các tính chất như hạt boson, các toán tử C
là fermion hoặc toán tử boson. Trường hợp khi C là boson và một
fermion thì U là boson bởi vì nó đóng vai trò như một hạt kết hợp.
Dạng kết hợp tuyến tính sẽ được sử dụng khá thường xuyên, vì nó
mang tính chất của một toán tử quan trọng như toán tử dòng và toán
tử mật độ. Hàm Green trễ cho toán tử U được định nghĩa như sau
U
ret
(t − t

) = −iΘ(t − t

)

[U(t)U
†
(t

) − U
†
(t

)U(t)]

(3.91)
20
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Định nghĩa này tương tự với (3.88), với biểu hiện quan trọng là nó
có dấu trừ ở giữa dấu Bracket, đó là trường hợp cho tất cả các toán
tử boson, cho bất kì toán tử nào nó là tích của boson hoặc số chẵn

của fermion.
Tuy nhiên, một toán tử như V ở trên được coi như fermion nếu nó
là tích của một số lẻ fermion. Hàm trễ của nó là
V
ret
(t − t

) = −iΘ(t − t

)

[V (t)V
†
(t

) + V
†
(t

)V (t)]

(3.92)
cái mà bây giờ có dấu cộng ở giữa.
Tất cả những hàm trễ này có dạng định nghĩa chuyển đổi Fourier
là
G
ret
(p, E) =

∞

−∞
dte
iE(t−t

)
G
ret
(p, t −t

) (3.93)
D
ret
(q, ω) =

∞
−∞
dte
iω(t−t

)
D
ret
(q, t −t

) (3.94)
U
ret
(ω) =

∞

−∞
dte
iωt
U
ret
(t) (3.95)
Hàm Green cao cấp cho mỗi cái này được định nghĩa
G
adv
(p, t −t

) =iΘ(t

− t)

[C
p
(t)C
†
p
(t

) + C
†
p
(t

)C
p
(t)]


(3.96)
D
adv
(q, t −t

) =iΘ(t

− t)

A(q, t)A(−q, t

)
− A(−q, t

)A(q, t)

(3.97)
U
adv
(t − t

) =iΘ(t − t

)

[U(t)U
†
(t


) − U
†
(t

)U(t)]

(3.98)
Hai sự khác nhau là thay đổi dấu trước và ngay thời gian t

> t,
21
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
đối ngược với hàm trễ. Những chuyển đổi Fourier tương ứng với tần
số được định nghĩa trong cách thông thường như trong (3.94).
Hàm nâng cao năng lượng thoát ra là liên hợp phức của hàm trễ
tương ứng. Để chứng minh điều này, trước tiên ta bắt đầu với hàm
nâng cao, sau đó lấy liên hợp phức hermit và cuối cùng đổi biến thời
gian. Kết quả ta được hàm trễ
U
adv
(t

− t) = iΘ(t − t

)

[U(t

)U
†

(t) − U
†
(t)U(t

)]

(3.99)
U
adv
(t

− t)
†
= U
ret
(t − t

) (3.100)
Bây giờ lấy chuyển đổi cho cả hai vế
U
ret
(ω) =

∞
−∞
dte
iω(t−t

)
U

adv
(t

− t)
†
=

∞
−∞
dt
1
e
−iωt
1
U
adv
(t
1
)
†
bước cuối cùng là thay đổi biến t
1
= t

−t. Những bước này chứng tỏ
rằng
U
ret
(ω) = U
adv

(ω)
∗
(3.101)
Kết quả này có thể tổng kết cho bất kì hàm Green trễ và hàm
Green nâng cao nào. Đó là cách để tìm hàm trễ vì một liên hợp phức
đơn giản có được một liên hợp phức nâng cao.
Một hạt tương ứng với những hàm Green này đã được giới thiệu.
Sự biểu diễn này là một dạng không được sử dụng phổ biến cho việc
tính toán các đại lượng vật lý và tính số. Tuy nhiên, nó rất hữu ích cho
việc chứng minh định lý và trong trường hợp cho mối liên hệ giữa hàm
22
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
Green và một cái khác. Sự biểu diễn sử dụng tập hợp đủ của trạng thái
|m với trạng thái riêng chính xác của K = H − µN. Thông thường
giá trị riêng và trạng thái riêng là không biết. Tuy nhiên, trong lý
thuyết chúng tồn tại và được dùng làm điều kiện cho việc chứng minh
định lý. Giá trị riêng của K được kí hiệu E
m
K|m

= E
m
|m

(3.102)
Trạng thái đủ của trạng thái sẽ được sử dụng trong nhiệt động lực
học trung bình, Tr được kí hiệu cho trace, và tập hợp |n được dùng
cho tổng sau
U
ret

(t − t

) = −iΘ(t − t

)e
βΩ

n

n|e
−βK
[U(t) ∧ U
†
(t

) − U
†
(t

) ∧ U(t)]|n

Phương trình trên có hai điểm đánh dấu bởi dấu ”
”
. Trong tất cả
các nơi, một tập hợp đủ của trạng thái được thay thế bởi
1 =

m
|m


m| (3.103)
được cho bởi
U
ret
(t − t

) = − iΘ(t − t

)e
βΩ

m,n
e
−βE
n


n|U(t)|m

m|U
†
(t

)|n

−

n|U
†
(t


)|m

m|U(t)|n


(3.104)
Phần tử ma trận dễ dàng tính toán được

n|U(t)|m

=

n|e
itK
Ue
−itK
|m

=

n|U|m

e
it(E
n
−E
m
)
(3.105)

23
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
cái mà được cho bởi hàm trễ
U
ret
(t − t

) = − iΘ(t − t

)e
βΩ

m,n
e
−βE
n

e
i(t−t

)(E
n
−E
m
)



n|U(t)|m




2
− e
−i(t−t

)(E
n
−E
m
)



m|U(t)|n



2

(3.106)
Trong thành phần thứ hai thay đổi biến tổng n và m vì vậy phần tử
ma trận là giống nhau trong mỗi thành phần
U
ret
(t − t

) = − iΘ(t − t

)e

βΩ

m,n



n|U(t)|m



2
e
i(t−t

)(E
n
−E
m
)
×

e
−βE
n
− e
−βE
n
m

Công thức này là kết quả của hàm Green trễ của thời gian. Chuyển

đồi Fourier được sử dụng để cho hàm tần số
U
ret
(ω) = −i

β
0
e
it(ω+iδ)
dte
βΩ

m,n



n|U(t)|m



2
e
it(E
n
−E
m
)

e
−βE

n
− e
−βE
m

= e
βΩ

m,n



n|U|m



2
e
−βE
n
− e
−βE
m
ω + E
n
− E
m
+ iδ
(3.107)
với iδ là phần cộng vào để tần số chắc chắn hội tụ tại thời gian lớn.

Hàm Matsubara tương đương cho toán tử U được định nghĩa bởi
U(τ ) = −

T
τ
U(τ)U
†
(0)

(3.108)
U(iω
n
) =

β
0
dτe
iω
n
τ
U(τ ) (3.109)
Biểu diễn |n cũng được áp dụng với biểu thức này
τ > 0 : U(τ) = −e
βΩ

n,m

n|e
−βK
U(τ)|m


m|U
†
(0)|n

(3.110)
24
Nhóm 2 - Lớp VLLT-VLT K21 GVHD: PGS. TS. Lê Đình
U(τ ) = −e
βΩ

n,m



n|U|m



2
e
−βE
n
e
τ(E
n
−E
m
)
(3.111)

Chuyển đổi tần số
U(τ ) = −e
βΩ

n,m



n|U|m



2
e
−βE
n

β
0
dτe
iω
n
τ
e
τ(E
n
−E
m
)
= e

βΩ

m,n



n|U|m



2
e
−βE
n
− e
−βE
m
iω
n
+ E
n
− E
m
(3.112)
với exp(βiω
n
) = 1 cho boson. Kết quả này sẽ được so sánh với hàm trễ
trong (3.107). Chúng chỉ khác về tần số trong năng lượng vì kết quả
của Matsubara có iω
n

, trong khi hàm trễ có ω + iδ. Hàm Matsubara
có thể được thay thế với một hàm trễ với sự phân tích như sau
thay đổi
iω
n
→ ω + iδ
U(iω
n
) = U
ret
(ω) (3.113)
Bước này được gọi là phân tích liên tục. Cách tương tự có thể được
dùng đề chỉ ra các hàm Green khác
thay đổi
iω
n
→ ω + iδ
G(p, iω
n
) = G
ret
(p, ω) (3.114)
thay đổi
iω
n
→ ω + iδ
D(q, iω
n
) = D
ret

(q, ω) (3.115)
Mối liên hệ này với hàm trễ là một lý do để hàm Matsubara là hữu
ích. Sau khi được tính toán, phân tích đơn giản được đưa đến hàm
trễ, đó là một hàm vật lý thú vị. Hàm nâng cao đạt được bởi phân
25