1

GIỚI THIỆU ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2013 - MÔN TOÁN
BANG NEW SOUTH WALES, ÚC

Đỗ Thị Thuý Ngọc – GV THPT Ninh Bình

Ở Úc, có một sự khác biệt đáng kể trong việc giảng dạy môn Toán giữa các bang, lí do vì mỗi bang
vận hành một hệ thống giáo dục riêng biệt. Chẳng hạn ở bang New South Wales, với môn Toán, học
sinh THPT phải trải qua bốn khoá học:
- Toán học đại cương (2 đơn vị bài học): Một khoá Toán học cơ bản cung cấp các kiến thức toán
học ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày, gồm các chuyên đề như Toán tài chính, Dữ liệu và Thống
kê, Xác suất, Đo lường, Đại số và Mô hình hoá và các chủ điểm nghiên cứu như Toán học và Thông
tin, Toán học và Điều khiển, Toán học và Sức khoẻ, Toán học và Tài nguyên…
- Toán học (2 đơn vị bài học): Một khoá Toán học nâng cao gồm các chuyên đề như Đại số và Số
học căn bản, Hình học phẳng, Xác suất, Hàm thực, Lượng giác, Hàm tuyến tính, Dãy số và ứng dụng,
Tiếp tuyến của đường cong, Tam thức bậc hai và Parabol, Ứng dụng hình học của đạo hàm, Tích phân,
Logarit và Mũ, Hàm lượng giác, Ứng dụng của Giải tích trong Vật lí…
- Toán học mở rộng 1 (1 đơn vị bài học): Một khoá Toán học nâng cao hơn gồm các chuyên đề như
Đường tròn, Ứng dụng của Giải tích, Parabol, Đa thức, Tích phân, Hàm ngược, Hàm lượng giác, Công
thức nhị thức Newton, Hoán vị và Tổ hợp, Quy nạp toán học, Các ứng dụng nâng cao của Giải tích…
- Toán học mở rộng 2 (1 đơn vị bài học): Khoá Toán học nâng cao nhất trong bốn khoá, gồm các
chuyên đề như Đồ thị, Số phức, Các đường Cônic, Tích phân, Thể tích, Cơ học, Đa thức và Các chủ đề
nâng cao của Toán học mở rộng 1.
Sau đây xin giới thiệu đề thi tốt nghiệp THPT năm 2013 khoá Toán học mở rộng 2. Đề và đáp án
(bằng tiếng Anh), các bạn xem tại website

TOÁN HỌC MỞ RỘNG 2

Phần I - 10 điểm
Gồm các câu hỏi trắc nghiệm từ 1 đến 10. Cho phép khoảng 15 phút cho phần này.

Sử dụng phiếu trả lời trắc nghiệm.
1 Biểu thức nào sau đây bằng với tan
xdx

?
(A)
2
sec
x c


(B)


ln cos
x c
 

(C)
2
tan
2
x
c


(D)


ln sec tan

x x c
 

2 Cặp đường thẳng nào sau đây là các đường chuẩn của
2 2
4 25 100
x y  ?
(A)
25
29
x  
(B)
1
29
x  

(C)
29
x  
(D)
29
25
x  
3 Số phức
z
được biểu diễn trong mặt phẳng phức như hình dưới đây

Hình nào dưới đây biểu diễn
2
z

?

2



4 Phương trình
3 2
4 3 5 0
x x x
   
có các nghiệm

,

và

. Phương trình nào dưới đây có các
nghiệm
1


,
1


và
1



?
(A)
3 2
4 11 7 5 0
x x x
   
(B)
3 2
4 3 6 0
x x x
   
(C)
3 2
4 13 11 7 0
x x x
   
(D)
3 2
4 2 2 8 0
x x x
   

5 Hình nào dưới đây biểu diễn tập hợp số phức
z
thoả mãn 1
4 3
z
 
  
?



6 Biểu thức nào dưới đây bằng với
2
1
6 5
dx
x x 

?
(A)
1
3
sin
2
x
C


 

 
 
(B)
1
3
cos
2
x
C



 

 
 

(C)
 


2
ln 3 3 4
x x C
    
(D)
 


2
ln 3 3 4
x x C
    

7 Một chiếc đĩa bán kính 5cm quay với tốc độ 10 vòng mỗi phút. Xác định tốc độ của một điểm nằm
trên vành đĩa.
(A) 50 cm min
-1

(B)

1
2
cm min
-1

(C)
100

cm min
-1

(D)
1
4

cm min
-1

8 Cho một khối như hình vẽ. Đáy là hình tròn
2 2
16
x y
 
. Thiết diện cắt bởi các mặt phẳng vuông
góc với trục
Ox
là những hình vuông.

Thể tích của khối được tính bởi tích phân nào dưới đây?
3


(A)
4
2
4
4
x dx


(B)
4
2
4
4
x dx



(C)
 
4
2
4
4 16
x dx



(D)
 

4
2
4
4 16
x dx





9 Hình nào dưới đây thể hiện đồ thị hàm số
sin
x
y
x
 ?


10 Một nhà nghỉ còn bốn phòng trống. Mỗi phòng có thể chứa tối đa bốn người. Hỏi có bao nhiêu
cách để xếp sáu người vào bốn phòng đó?
(A) 4020 (B) 4068 (C) 4080 (D) 4096

Phần II - 90 điểm
Gồm các câu hỏi tự luận từ 11 đến 16. Cho phép khoảng 2 giờ và 45 phút dành cho phần này.
Phần trả lời cho mỗi câu hỏi được viết riêng trong một tờ giấy thi. Có thể sử dụng thêm tờ giấy thi cho
mỗi câu hỏi.
Câu 11 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Cho
2 3
z i

  và
1 3
w i
  .
(i) Tìm
z w

. 1
(ii) Biểu diễn
w
dưới dạng lượng giác. 2
(iii) Viết
24
w
dưới dạng đơn giản nhất. 2
(b) Tìm
A
,
B
và
C
sao cho 2
 
 
2
2
2
8 11
3 2
3 2

x x A Bx C
x x
x x
  
 
 
 

(c) Phân tích
2
4 5
z iz
 
thành thừa số . 2
(d) Tính
1
3 2
0
1
x x dx


. 3
(e) Vẽ trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
z
thỏa mãn
2
2
8
z z

 
. 3
Câu 12 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Sử dụng phép đổi biến
tan
2
x
t  hoặc cách khác, tính
2
0
1
4 5cos
dx
x



. 4
(b) Cho phương trình
 
log log 1000 log 3
50
e e e
x
y y    , trong đó
y
được ngầm hiểu là một hàm số
của
x
. Chứng minh rằng

y
thoả mãn phương trình vi phân 1
50 1000
dy y y
dx
 
 
 
 
. 2
4

(c) Hình vẽ dưới đây thể hiện hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e

, trục
Ox
và các đường
thẳng
1
x

,
3
x

. Hình phẳng này quay quanh đường thẳng
4
x


tạo thành một khối tròn xoay.

Tính thể tích của khối tròn xoay. 4
(d) Các điểm
;
c
P cp
p
 
 
 
và
;
c
Q cq
q
 
 
 
, trong đó
p q

, nằm trên hypecbol có phương trình
2
xy c

.
Tiếp tuyến của hypecbol tại
P

giao với trục
Ox
tại
A
và giao với trục
Oy
tại
B
. Tương tự tiếp
tuyến của hypecbol tại
Q
giao với trục
Ox
tại
C
và giao với trục
Oy
tại
D
.

(i) Chứng minh rằng phương trình tiếp tuyến của hypecbol tại
P
là
2
2
x p y cp
  . 2
(ii) Chứng minh rằng
,

A B
và
O
cùng thuộc một đường tròn có tâm là
P
. 2
(iii) Chứng minh rằng
BC
song song với
PQ
. 1

Câu 13 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Cho
 
1
2
2
0
1
n
n
I x dx
 

, trong đó
0
n

là một số nguyên.

(i) Chứng minh rằng
2
1
n n
n
I I
n



, với mọi số nguyên
2
n

. 3
(ii) Tính
5
I
. 2
(b) Cho hàm số


f x
có đồ thị như hình vẽ.

5

Vẽ các đường cong sau trên các hệ trục riêng biệt (mỗi hình chiếm khoảng nửa trang giấy thi).
(i)



2
y f x
 2
(ii)
 
1
1
y
f x


3
(c) Các điểm
A
,
B
,
C
và
D
nằm trên một đường tròn bán kính
r
, tạo thành một tứ giác nội tiếp.
Cạnh
AB
là một đường kính của đường tròn. Điểm
E
được chọn trên cạnh
AC

sao cho
DE AC

. Đặt

DAC


và

ACD

 .

(i) Chứng minh rằng


2 sinAC r
 
 
. 2
(ii) Bằng cách xét tam giác
ABD
, hoặc cách khác, chứng minh rằng
2 cos sin
AE r
 

. 2
(iii) Từ đó chứng minh rằng



sin sin cos sin cos
     
   . 1
Câu 14 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Cho hàm số
ln
y x

có đồ thị như hình vẽ. 3

Bằng cách so sánh diện tích các hình phẳng có liên quan trong hình vẽ, chứng minh rằng
1
ln 2
1
t
t
t

 

 

 
, với
1
t

.

(b) Đặt
2
1
z i
 
và, với
2
n

, đặt
1
1
1
n n
n
i
z z
z


 
 
 
 
 
. 3
Sử dụng quy nạp toán học, chứng minh rằng
n
z n
 với mọi số nguyên

2
n

.
(c)
(i) Cho số nguyên dương
n
, chứng minh rằng
2 2
0
sec tan
n
n k
k
n
k
 

 

 
 

. 1
(ii) Từ đó, bằng cách viết
8
sec

dưới dạng
6 2

sec sec
 
, tìm
8
sec
d
 

. 2
(d) Cho tam giác
ABC
. Điểm
D
thuộc cạnh
AB
sao cho
3
AD

và
5
DB

. Điểm
E
nằm trên cạnh
AC
sao cho
4
AE


,
3
DE

và
2
EC

.
6


(i) Chứng minh rằng tam giác
ABC
đồng dạng với tam giác
AED
. 1
(ii) Chứng minh rằng
BCED
là một tứ giác nội tiếp. 1
(iii) Chứng minh rằng
21
CD 
. 2
(iv) Tìm giá trị chính xác của bán kính của đường tròn đi qua các điểm
B
,
C
,

E
và
D
. 2
Câu 15 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a) Hình vẽ dưới đây thể hiện trong mặt phẳng phức các số phức
w
và
z
có acgumen lần lượt là

và

, trong đó
 

. Đặt
A
là diện tích của tam giác có các đỉnh là các điểm biểu diễn các số 0,
w

và
z
. Chứng minh rằng
4
zw wz iA
 
. 3

(b) Chia đa thức



4 3 2
P x ax bx cx e
   
cho đa thức
1
x

ta được số dư là
3

.


P x
có một
nghiệm kép
1
x
 
.
(i) Chứng minh rằng
9
4 2
2
a c
  
. 2
(ii) Từ đó, hoặc sử dụng cách khác, tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số



y P x
 tại
điểm có hoành độ
1
x

. 1
(c) Tám chiếc xe ô tô tham gia vào một giải thi đấu diễn ra trong vòng bốn ngày. Xác suất để một
chiếc xe hoàn thành một ngày thi đấu là 0,7. Chiếc xe nào không hoàn thành được ngày thi đấu thì
bị loại khỏi giải.
(i) Tìm xác suất để một chiếc xe hoàn thành được cả bốn ngày của giải thi đấu. 1
(ii) Tìm một biểu thức thể hiện xác suất để ít nhất ba chiếc xe hoàn thành được cả bốn ngày của
giải thi đấu. 2
(d) Một quả bóng có khối lượng
m
được phóng từ mặt đất vào không khí theo phương thẳng đứng với
vận tốc ban đầu
u
. Sau khi đạt đến độ cao cực đại
H
, quả bóng rơi trở lại mặt đất. Khi còn ở
trong không khí, quả bóng chịu một lực cản
2
kv
, trong đó
v
là vận tốc của quả bóng và
k

là một
hằng số. Phương trình chuyển động của quả bóng khi rơi là
2
mv mg kv
 

. (không cần chứng minh điều này)
(i) Chứng minh rằng vận tốc khi lực tác động bằng không
T
v
của quả bóng trong khi nó rơi là
mg
k
. 1
(ii) Chứng minh rằng khi quả bóng phóng lên, độ cao cực đại
H
nó đạt được là 3
2
2
2
ln 1
2
T
T
v
u
H
g v
 
 

 
 
.
7

(iii) Khi quả bóng rơi từ độ cao
H
nó đập vào mặt đất với vận tốc
w
. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1
T
w u v
 
. 2
Câu 16 (15 điểm) Viết phần trả lời trong một tờ giấy thi riêng biệt.
(a)
(i) Tìm giá trị nhỏ nhất của


3 2
2 15 24 16
P x x x x
   
, với
0
x

. 2

(ii) Từ đó, hoặc bằng cách khác, chứng minh rằng với
0
x

,
   


2
2 2
1 4 25
x x x x
    . 1
(iii) Từ đó, hoặc bằng cách khác, chứng minh rằng với
0
m

và
0
n

, 2
   
2 2
100
4
1
mn
m n m n
m n

    
 
.
(b) Một hạt cườm
P
có khối lượng
m
có thể chuyện động tự do dọc theo một sợi dây. Các đầu của
sợi dây được gắn vào các điểm cố định
S
và
'
S
, trong đó
'
S
nằm trên
S
theo phương thẳng
đứng.
P
chuyển động tròn đều với bán kính
r
và vận tốc góc không đổi
w
trong một mặt phẳng
nằm ngang. Các lực tác động lên hạt
P
là lực hấp dẫn và các lực căng của sợi dây. Các lực căng
của sợi dây theo phương

PS
và
'
PS
có cùng độ lớn
T
.

Độ dài của sợi dây là
2
a
và
' 2
SS ae

, với
0 1
e
 
. Mặt phẳng nằm ngang đi qua
P
giao với
'
SS
tại
Q
. Trung điểm của
'
SS
là

O
và

'
S PQ

 . Tham số

được chọn sao cho
cos
OQ a


.
(i) Thông tin nào chỉ ra rằng
P
nằm trên một elip với tiêu điểm
S
và
'
S
và tâm sai
e
? 1
(ii) Sử dụng định nghĩa tiêu điểm - đường chuẩn của một elip, hay cách khác, chứng minh rằng


1 cos
SP a e


  . 1
(iii) Chứng minh rằng
cos
sin
1 cos
e
e






. 2
(iv) Bằng việc xem xét các lực tác động lên
P
theo phương thẳng đứng, chứng minh rằng 2


2
2 2
2 1 cos
1 cos
T e
mg
e






.

(v) Chứng minh rằng lực tác động lên
P
theo phương nằm ngang là 3
2
2
2 2
2 1 sin
1 cos
T e
mrw
e






(vi) Chứng minh rằng
2
2
tan 1
rw
e
g

 
. 1

Hết
8

BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

n
x dx


1
1
, 0
1
n
x x
n

 

nếu
0
n


1
dx
x


ln , 0

x x
 

ax
e dx


1
, 0
ax
e a
a
 

cos
axdx


1
sin , 0
ax a
a
 

sin
axdx


1
cos , 0

ax a
a
 

2
sec
axdx


1
tan , 0
ax a
a
 

sec tan
ax axdx


1
sec , 0
ax a
a
 

2 2
1
dx
a x




1
1
tan , 0
x
a
a a

 

2 2
1
dx
a x


1
sin , 0,
x
a a x a
a

    

2 2
1
dx
x a





2 2
ln , 0
x x a x a
    

2 2
1
dx
x a




2 2
ln
x x a
  
CHÚ Ý:
ln log , 0
e
x x x
 