chuyên đề đại học môn tóan - đa thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (176.92 KB, 5 trang )
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu
1
Chuyên đề 2:
ĐA THỨC
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC
Đa thức : (Đa thức một biến)
1. Đònh nghóa:
Đa thức bậc n theo x (n
) là biểu thức có dạng
n n 1
n n 1 1 0
P(x) a x a x a x a
với
n
a 0
Các số
0 1 n
a ,a , ,a
gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức P(x)
Ví dụ:
3 2
P(x) 2x 9x 12x 4
là đa thức bậc ba
2. Đa thức đồng nhất – Đa thức đồng nhất khơng:
a) Đa thức đồng nhất:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò
nào của biến số
Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu :
P(x) Q(x)
P(x) Q(x) x : P(x) Q(x)
b) Đa thức đồng nhất không:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò nào
của biến số
Nếu P(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu :
P(x) 0
P(x) 0 x : P(x) 0
Hệ quả:
n
n 1
n n 1
n n 1 1 0
0
a 0
a 0
.
P(x) a x a x a x a 0
.
.
a 0
Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
2
Ví dụ 1 : Tìm các hệ số a, b để đa thức
2
P(x) 6x 16x 2
và
2
( ) ( 2) ( 1)
Q x a x x b x
đồng nhất
với nhau.
Ví dụ 2: Tìm các hệ số a, b để đa thức
4 3 2
P(x) x 2x ax 2x b
là bình phương của một đa thức
Bài giải:
Giả sử
2
4 3 2 2
x 2x ax 2x b x mx n
với mọi x
4 3 2 4 2 2 2 3 2
x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx
với mọi x
3 2 2 2
2m 2 x m 2n a x 2mn 2 x n b 0
với mọi x
Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất không ta được:
2
2
2m 2 0
m 2n a 0
2mn 2 0
n b 0
Giải hệ ta được:
m 1
n 1
a 3
b 1
. Vậy khi
a 3; b 1
thì
2
4 3 2 2
x 2x 3x 2x 1 x x 1
Ví dụ 3:
Dạng 1 : Biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác
Bài 1: Tìm các số
,a b
sao cho
3 1 1
x a x b x
Bài 2: Tìm các số
, ,a b c
sao cho
2
2 2
10 3 1 6 1 3
x x a x b x c
Bài 3: Tìm các số
, ,a b c
sao cho
2
2
3 8 5 2 1 1
x x a x b x c
Bài 4: Tìm các số
, ,a b c
sao cho
2
2
2 11 21 4 4 4 4
x x a x b x c
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu
3
Dạng 2 : Phân tích một phân thức thành tổng các phân thức đơn giản
Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho
2
3 2
2 5 3
1 2
2
x x A B C
x x x
x x x
Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho
2
3 2
3 3 3
1 2
3 2
1
x x A B C
x x
x x
x
3. Nghiệm của đa thức:
Nếu khi x = a đa thức P(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của P(x)
đn
a là một nghiệm của P(x) P(a) 0
4. Phép chia đa thức:
Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao cho
P(x) Q(x).h(x) r(x)
Trong đó
r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x)
Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức
3 2
P(x) 2x 9x 12x 4
cho đa thức
x 1
Ví dụ 2: Cho đa thức
4 3 2
P(x) x 3x bx ax b
và
2
Q(x) x 1
Tìm a và b để P(x) chia hết cho Q(x).
Bài giải:
Vì
P(x) Q(x)
nên ta có thể giả sử rằng
2
P(x) x 1 .Q(x)
(1) với mọi x
Thay
x 1
vào hai vế của (1) ta được:
P(1) 1 3 b a b 0 a 2b 2 (2)
Thay
x 1
vào hai vế của (1) ta được:
P( 1) 1 3 b a b 0 a 2b 4 (3)
Từ (2) và (3) ta suy ra được
1
a 3;b
2
Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu
4
5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Đònh lý BEZOUT:
Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) thì số dư là R = P(a)
Chứng minh:
Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử được thương là h(x) và dư là hằng số R. Ta có:
P(x) x a h(x) R
với mọi x
Do đó với x = a thì
P(a) 0.h(a) R R P(a)
(đpcm)
Hệ quả:
P(x) chia hết cho (x a) P(a) 0
Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi P(x)
(x-a)
P(a) = 0 P(x) = (x a).Q(x), trong đó Q(x
) là một đa thức
6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)
Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức
n n 1
n n 1 1 0
P(x) a x a x a x a
cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây
n
a
n 1
a
n 2
a
1
a
a
0
a
n
b
n 1
b
n 2
b
1
b
0
b
Trong đó:
n n
n 1 n n 1
n 2 n 2 n 2
0 1 0
b a
b a.b a
b a.b a
.
.
.
b a.b a
Khi đó:
n 1 n 2
n n 1 1
0
P(x) (x a).Q(x) r
Thương là : Q(x) b x b x b
Dư là : r b
Chuyờn LTH THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu
5
Vớ d 1: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực
3 2
P(x) 2x 9x 12x 4
cho ủa thửực
x 1
Vớ d 2: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực
4 2
P(x) 2x 3x 4x 5
cho ủa thửực
x 1
7. Phõn tớch a thc ra tha s
nh lý: Gi s a thc
n n 1
n n 1 1 0 n
P(x) a x a x a x a (a 0)
cú n nghim l
1 2 n
x , x , , x
thỡ
n 1 2 n
P(x) a x x x x x x
Vớ d: Phõn tớch a thc
3 2
P(x) x 9x 11x 21
thnh nhõn t
MT S NG DNG CA A THC GII PHNG TRèNH
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh
1)
4 3 2
2 6 5 3 2 0
x x x x
2)
4 3 2
2 3 16 3 2 0
x x x x
3)
4 3 2
4 3 2 6 0
x x x x
4)
5 4 2
9
13 22 8 0
2
x x x x
5)
5 4 3 2
11 25 14 0
x x x x x
Bi 2: Gii phng trỡnh
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
Bi 3: Gii phng trỡnh
2
3 2 1 1 3 1
x x x x
Bi 4: Gii phng trỡnh
2 2
10 3 1 6 1 3
x x x x
Ht
