Trang 1

Trang 2
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
Tên đề tài: “Một số tính chất của nhóm siêu giải được”
Giáo viên hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hoàng Xinh
Sinh viên thực hiện: Phạm Ngọc Anh – MSSV: 1040047
Đề tài nghiên cứu về một số tính chất của nhóm siêu giải được và ứng dụng của
nó. Đây là đề tài cần có sự tổng hợp rất nhiều kiến thức về cấu trúc nhóm.
Tác giả đề tài đã trình bày rất rõ và chứng minh chi tiết các tính chất của nhóm
siêu giải được. Bên cạnh đó, đề tài còn nêu lên một số ứng dụng của nhóm siêu giải
được cũng như những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn. Ngoài ra, tác giả
còn đưa ra rất nhiều ví dụ, phản ví dụ và giải quyết gần 20 bài tập để có thể làm rõ các
tính chất của nhóm siêu giải được. Có thể nói tác giả đề tài đã làm tròn công việc được
giao.
Luận văn gồm 75 trang được chia làm 5 chương, trong đó trọng tâm là chương
2, 3 và 4. Luận văn trình bày rõ ràng, đẹp. Tác giả đã làm việc nghiêm túc để hoàn
thành công việc được giao. Luận văn có thể được sử dụng để làm tài liệu tham khảo
cho sinh viên ngành sư phạm Toán và Toán tin. Với kết quả đạt được, tôi cho rằng
luận văn của sinh viên Phạm Ngọc Anh xứng đáng là lu
ận văn tốt nghiệp đại học.
Giáo viên hướng dẫn


ThS. Nguyễn Hoàng Xinh

Trang 3
LỜI NÓI ĐẦU
Sau thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những
kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô của trường và đặc biệt là của quý thầy cô Bộ
môn Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn khóa.

Và nay, luận văn đã được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình và hướng dẫn trực tiếp
của thầy Nguyễn Hoàng Xinh cùng với sự động viên, chia sẻ về mặt tinh thần và vật
chất của gia đình và các bạn lớp Sư phạm Toán K30.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng
nhưng luận văn vẫn còn nhiếu thiếu sót, kính mong sự thông cảm của quý thầy cô và
bạn đọc.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Sinh viên thực hiện
Trang 4
MỤC LỤC
Trang
BẢNG KÝ HIỆU 1
PHẦN MỞ ĐẦU 2
PHẦN NỘI DUNG 4
Chương I. Kiến thức chuẩn bị 4
1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm 4
1.2.Nhóm đơn 12
1.3.p-nhóm và nhóm strictly p-closed 12
1.4.Các định nghĩa 13
1.5.Nhóm giải được 17
1.6.Nhóm poly-P 18
1.7.Nhóm lũy linh 19
1.8.Nhóm con Frattini 25
1.9.Nhóm con Fitting 26
Chương II. Nhóm siêu giải được 30
Chương III. Một số ứng dụng của nhóm siêu giải được 46
Chương IV. Những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn 52
Chương V. Bài tập 63
PHẦN KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77






Trang 5
BẢNG KÝ HIỆU
C tập các số phức
Z tập các số nguyên
1 phần tử đơn vị của nhóm nhân hoặc nhóm đơn vị
GH
≤
H là nhóm con của nhóm G
H < G H là nhóm con thực sự của nhóm G
GH
<
H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
G/H nhóm thương của nhóm G trên H
N
G
(H) chuẩn hóa tử của H trong G
C
G
(H) tâm giao hoán của H trong G
Z(G) tâm giao hoán của nhóm G
[G:H] chỉ số của nhóm con H trong G
G cấp của nhóm G
b a a là ước của b

H
G
lõi của H trong G
H
×
K tích trực tiếp của nhóm H và nhóm K
H char G H là nhóm con đặc trưng của nhóm G
K
H
≅
nhóm H đẳng cấu với nhóm K
S nhóm sinh bởi tập S
G'
nhóm con các hoán tử của nhóm G
)(G
Φ
nhóm con Frattini của nhóm G
G)(F nhóm con Fitting của nhóm G
AutG nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G
S(X) nhóm các song ánh từ X tới X
Syl
p
(G) tập tất cả các p-nhóm con Sylow của nhóm G
L(G) tập tất cả các nhóm con của nhóm G
L(H,G) tập tất cả các nhóm con của nhóm G chứa H
S
n
nhóm đối xứng bậc n

Trang 6

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đại số trước thế kỷ XIX được xem như một sự mở rộng của số học (dùng chữ
để biểu thị các con số). Đến đầu thế kỷ XIX, các nhà Toán học bắt đầu chú ý đến sự
tồn tại cấu trúc trong đại số học, chẳng hạn như luật giao hoán và luật kết hợp của các
phép toán. Từ đó dẫn đến sự ra đời của lý thuyết nhóm. Tuy nhiên lý thuyết nhóm thật
sự phát triển bởi Galois (1811-1832) là người đã chứng minh được rằng đa thức chỉ
được hiểu một cách tốt nhất dưới sự kiểm tra của nhóm hoán vị các nghiệm của chúng.
Kể từ đó, nhóm đã xuất hiện trong mọi lĩnh vực của Toán học và nó có mối liên quan
chặt chẽ với lý thuyết số, hình học, tôpô, logic,…
Lý thuyết nhóm ra đời đã tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển của
đại số. Một loạt các cấu trúc nhóm được xây dựng trên nền tảng của những tiên đề
khác nhau nhưng nó vẫn đảm bảo tính nhất quán của hệ thống như nhóm thương,
nhóm giao hoán, nhóm xyclic, nhóm polyxyclic, nhóm giải được, nhóm siêu giải được,
nhóm lũy linh,…Đặc biệt có một nhóm được hình thành bằng cách nhúng nó vào
nhóm xyclic bởi một dãy các nhóm con chuẩn tắc. Đó là nhóm siêu giải được. Lớp
nhóm siêu giải được đặt giữa nhóm lũy linh hữu hạn sinh và nhóm polyxyclic hữu hạn
sinh.
Em nhận thấy nhóm siêu giải được là một nhóm còn khá mới đối với bản thân
nói riêng và với sinh viên chuyên ngành Toán của trường Đại học Cần Thơ nói chung.
Ngoài ra, được sự hướng dẫn và động viên của các thầy cô trong Bộ môn Toán – Khoa
Sư phạm và đặc biệt là của thầy Nguyễn Hoàng Xinh nên em đã mạnh dạn chọn đề tài
"Một số tính chất của nhóm siêu giải được" để làm luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài "Một số tính chất của nhóm siêu giải được", em hướng đến
mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học
còn khá mới đối với bản thân. Từ đó hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán
học trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Với nền tảng những kiến thức đã có, em
tổng hợp và xây dựng sơ đồ thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được và các loại
nhóm khác. Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà

Trang 7
đặc biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong
toán học nói chung.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với khả năng và điều kiện có hạn, ở đề tài này em trình bày một cách tổng quan
về tính chất của một số nhóm cơ bản trong lý thuyết nhóm như nhóm giải được, nhóm
poly-P, nhóm lũy linh, điều kiện tối đại, tối tiểu, nhóm Frattini, nhóm Fitting và một số
định lý quan trọng trong lý thuyết nhóm (được trình bày trong chương I).
Chương II là nội dung chính của đề tài – nhóm siêu giải được và một số tính
chất của nhóm siêu giải được, qua đó thể hiện mối quan hệ giữa nhóm siêu giải được
và các nhóm: xyclic, giao hoán, giao hoán hữu hạn sinh, lũy linh, lũy linh hữu hạn
sinh, polyxyclic và giải được.
Chương III là một số ứng dụng của nhóm siêu giải được.
Ngoài các tính chất của nhóm siêu giải được đã được trình bày ở chương II và
chương III, một nhóm siêu giải được hữu hạn còn có thêm những tính chất khác giúp
cho việc chứng minh một nhóm hữu hạn là nhóm siêu giải được đơn giản hơn. Trên cơ
sở các tính chất của nhóm siêu giải được và những đặc trưng của nhóm hữu hạn,
chương IV mô tả những đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn.
Trong chương V, em chứng minh một số tính chất và giải một số bài tập có liên
quan đến nhóm siêu giải được để bổ sung và củng cố lý thuyết trình bày ở chương II
chương III và chương IV.
IV. PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN
Do đặc thù của một đề tài đại số lý thuyết nên trong quá trình thực hiện em đã
sử dụng các phương pháp sau:
- Tìm hiểu và tham khảo các tài liệu liên quan.
- So sánh với các loại nhóm khác.
- Phân tích, tổng hợp tìm ra những tính chất tương tự, cũng như những tính chất
riêng.
- Trình bày các khái niệm, định lý theo một hệ thống chặt chẽ, có logic.
Trang 8

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm
1.1.1.Nhóm
1.1.1.1.Định nghĩa
Nhóm là một tập hợp G khác rỗng cùng với phép toán hai ngôi (
*
) trên G thỏa
các điều kiện sau:
i) Với x, y, z
∈
G thì (x
*
y )
*
z = x
*
(y
*
z)
ii) Với mọi
Gx
∈
, tồn tại phần tử e
∈
G sao cho x
*
e = e
*
x = x

iii) Với mỗi x
∈
G, tồn tại phần tử x'
∈
G sao cho x
*
x' = x'
*
x = e
Chú ý: Với (G,
*
) là nhóm thì e được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G.
Nếu (
*
) là phép cộng thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 0, nếu (
*
) là phép nhân
thì phần tử đơn vị được kí hiệu là 1 và x.y được viết là xy.
1.1.1.2.Định nghĩa
Nhóm (G,.) được gọi là nhóm giao hoán nếu nó có tính chất giao hoán, tức là
với mọi Gy x,
∈
ta có
yx
xy
=
.
1.1.2.Nhóm con
1.1.2.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. H được gọi là một nhóm con

của G nếu H cùng với phép toán cảm sinh từ phép toán trong G tạo thành một nhóm.
Kí hiệu là H
≤
G.
Dễ thấy tập hợp chỉ gồm phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm con
của G và được gọi là nhóm đơn vị. Kí hiệu là 1.
Nếu H
≤
G, GH1,H
≠
≠
thì H được gọi là nhóm con thực sự của G và được kí
hiệu là H < G.
1.1.2.2.Định lý (về điều kiện tương đương với nhóm con)
Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó các điều kiện sau tương
đương:


Trang 9
i) H
≤
G
ii) Với mọi x, y
∈
H ta có



∈
∈

Hx
Hxy
1-

iii) Với mọi x, y
∈
H ta có xy
-1
∈
H
1.1.2.4.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H < G.
i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N
≤
G sao cho
H<N<G.
ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H
≠
1 và không tồn tại K
≤
G sao
cho 1<K<H.
1.1.3.Nhóm hữu hạn sinh
1.1.3.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, S
⊂
G.
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi S và được kí
hiệu là S .
ii) Với H

≤
G, SH = . Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của
H.
Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.
iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh.
Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic.
iv) Nếu S = {x
1
, x
2
,…x
n
} thì
n21
x, x,xS …= .
Như vậy G là nhóm xyclic khi và chỉ khi tồn tại
Ga
∈
sao cho aG = .
1.1.4.Lớp ghép – Cấp của phần tử
1.1.4.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và ta kí hiệu là G . Nếu G là hữu hạn
thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Ngược lại, G được gọi là nhóm vô hạn.
ii) Cấp của phần tử
Ga
∈
là cấp của nhóm a và ta kí hiệu là a . Nếu a là
hữu hạn thì a được gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có
cấp vô hạn.

Trang 10
1.1.4.2.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H
≤
G,
Ga
∈
.
i) Tập
{
}
Hh haHa ∈= được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H.
ii) Tập
{
}
Hh ah aH ∈= được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H.
1.1.4.3.Nhận xét
Cho G là nhóm, H
≤
G. Khi đó, với mọi
Ga
∈
ta có HHaaH == .
(Ở đây ta hiểu aH là lực lượng của tập aH).
1.1.4.4.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H
≤
G. Chỉ số của H trong G là lực lượng của các lớp ghép và
kí hiệu [G:H].
1.1.4.5.Định lý Lagrăng

Cho G là nhóm, K
≤
H
≤
G. Khi đó

[ ]
[
]
[ ]
K:H
K:G
H:G =

1.1.4.6.Các hệ quả
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Nếu G hữu hạn, H
≤
G thì
[
]
H:G.HG =
ii) Nếu H, K
≤
G và H, K hữu hạn thì
KH
K.H
HK
∩
=


iii) G = p là một số nguyên tố khi và chỉ khi
1G
≠
và G không có nhóm con
thực sự.
1.1.4.7.Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn, H
≤
G. Nếu [G: H] là một số nguyên tố thì H là nhóm
con tối đại của G.
1.1.5.Nhóm con chuẩn tắc
1.1.5.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H
≤
G. H được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu với mọi
Gx
∈
ta có
xH
Hx
=
. Kí hiệu là
GH
<
.
Ta gọi H là nhóm con chuẩn tắc thực sự của nhóm G nếu
GH
<
và

GH1,H
≠
≠
.

Trang 11
1.1.5.2.Định lý
Cho G là nhóm, H
≤
G. Khi đó
GH
<
khi và chỉ khi với mọi
H
h
∈
và với mọi
Gx
∈
ta có
H
xhx
1
∈
−
.
1.1.5.3.Tính chất
Cho G là nhóm. Khi đó
i) Nếu
GH

<
, K
≤
G thì
K
K
H
<
∩
.
Nếu
K
H
⊂
thì
K
H
<
.
ii) Nếu GKH,
<
thì HK
<
G.
iii) Giao của một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của G là một
nhóm con chuẩn tắc của G.
1.1.5.4.Định lý
Cho G là nhóm, H
<
G. Kí hiệu L(G) là tập tất cả các nhóm con của G, L(H,G)

là tập tất cả các nhóm con của G chứa H.
Khi đó tương ứng S/HS:
a
f là một song ánh từ L(H,G) vào L(G/H). Hơn
nữa, nếu ta kí hiệu S/H = S
*
và T/H = T
*
với H
≤
S, T
≤
G thì
i)
**
STST ≤⇔≤ . Khi đó
[
]
[
]
**
T,STS, =
ii)
**
STST
<
<
⇔ . Khi đó
**
TSTS ≅

1.1.5.5.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H
<
G.
i) H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H < G và không tồn tại
N
<
G sao cho H<N<G.
ii) H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H < G và không tồn tại
K
<
G sao cho 1<K<H.
1.1.5.6.Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu p là ước nguyên tố nhỏ nhất của G và H
≤
G với
[G:H] = p thì H
<
G.
1.1.6. Đồng cấu nhóm
1.1.6.1.Định nghĩa
Cho (X,.), (Y,
*
) là các nhóm, ánh xạ YX:
→
f được gọi là đồng cấu nhóm nếu
với mọi Xx,x
21
∈ ta có
(

)
(
)
(
)
2121
x*xxx fff = .
i) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là đơn cấu nhóm nếu f là đơn ánh.
Trang 12
ii) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là toàn cấu nhóm nếu f là toàn ánh.
iii) Đồng cấu nhóm YX:
→
f được gọi là đẳng cấu nhóm nếu f là song ánh.
Khi đó, ta nói X đẳng cấu với Y và kí hiệu
Y
X
≅
.
iv) Tập tất cả các đồng cấu nhóm từ X tới Y được kí hiệu là Hom(X,Y).
v) Tập tất cả các tự đồng cấu của nhóm X được kí hiệu là EndX.
vi) Tập tất cả các tự đẳng cấu của nhóm X được kí hiệu là AutX.
1.1.6.2.Định nghĩa
Cho đồng cấu nhóm YX:
→
f , A
⊂

X, B
⊂
Y
i) Ảnh của A qua f :
(
)
(
)
{
}
YAa aA ⊂∈= ff
ii) Tạo ảnh của B qua f :
(
)
(
)
{
}
XBx XxB
1
⊂∈∈=
−
ff
iii) Ảnh của X qua f còn được gọi là ảnh của f và được kí hiệu là Im f .
iv) Hạt nhân của f được kí hiệu là
{
}
(
)
Y

1
Y
ee(x) XxKer
−
==∈= fff .
1.1.6.3.Tính chất
Cho đồng cấu nhóm YX:
→
f .
i) Nếu
X
A
≤
thì
(
)
YA ≤f .
ii) Nếu
Y
B
<
thì
(
)
XB
1
<
−
f .
iii) Ảnh của một nhóm giao hoán là nhóm giao hoán.

iv) Ảnh của một nhóm xyclic là nhóm xyclic.
v) Ảnh của một nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh.
1.1.6.4.Định lý
Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic là một nhóm giao hoán hữu hạn.
Đặc biệt, nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xyclic cấp p (với p là một số nguyên tố)
là một nhóm giao hoán cấp p-1.
1.1.6.5.Định lý
Cho LG:
→
f là một đồng cấu nhóm. Khi đó GKer
<
f và ff ImG/Ker
≅
.
1.1.6.6.Hệ quả
Nếu H, K là hai nhóm con của nhóm G và một trong chúng là chuẩn tắc trong G
thì KHKHHK =∪= .
1.1.6.7.Định lý
Cho G là nhóm, H, K
<
G. Khi đó
GKH
<
∩
và HK/KKHH ≅∩ .

Trang 13
1.1.6.8.Định lý
Cho G là nhóm, H, K
<

G,
H
K
⊂
. Khi đó
G/KH/K
<
và
(
)
(
)
G/HH/KG/K ≅ .
1.1.7.Nhóm con đặc trưng
1.1.7.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm,
GH
≤
. H được gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu với mọi
AutG
∈
f ta có
(
)
HH =f .
Kí hiệu là H char G.
1.1.7.2.Ví dụ
Cho G là nhóm. Khi đó ta có
i) 1 char G, G charG
Thật vậy, AutG

∈
∀
f ta có f (1) = 1, f (G) = G.
ii) Xét Z(G) =
{
}
G xg,gx G x ∈∀=∈ g ta có Z(G) char G
Thật vậy, ta có Z(G)
≤
G. Lấy Z(G)x
∈
, Gg
∈
∀
, AutG
∈
∀
f ta có
x)(g)(gx)(xg)(g)(x)( ffffff
=
=
=

Mà G =
{
}
Gg g)( ∈f nên Z(G)x)(
∈
f . Vì thế
(

)
AutG Z(G),Z(G) ∈∀≤ ff (1)
Như vậy ta có
(
)
AutG Z(G),Z(G)
1
∈∀≤
−
ff

(
)
(
)
(
)
AutG ,Z(G)Z(G)Z(G)
1
∈∀≤=⇒
−
ffff (2)
Từ (1) và (2) ta có
(
)
AutG Z(G),Z(G) ∈∀= ff

⇒
Z(G) char G.
1.1.7.3.Tính chất

Cho G là nhóm và GK H,
≤
.
i) Nếu
(
)
AutG H,H ∈∀≤ ff thì H char G.
ii) Nếu H char G thì H
<
G.
iii) Nếu H char K, K char G thì H char G.
iv) Nếu H char K, K
<
G thì H
<
G.
Chứng minh
i) Với AutG
∈
f ta có AutG
1
∈
−
f . Do đó
(
)
AutG H,H
1
∈∀≤
−

ff .

(
)
(
)
(
)
AutG ,HHH
1
∈∀≤=⇒
−
ffff .
Như vậy
(
)
AutG ,HH ∈∀= ff .

⇒
H char G.
Trang 14
ii) Với mỗi a
∈
G ta xét tự đẳng cấu trong của G: GG:
a
→f

-1
axa x
a


H char G
(
)
HH
a
=⇒ f

(
)
Hhaha :Hh
a
-1
∈=∈∀⇒ f

GH
<
⇒
.
iii) Với AutG
∈
f ta có
(
)
KK =f .
Khi đó KK:
K
→f là một tự đẳng cấu của K.
)k(k f
a


Vì H char K nên
(
)
(
)
HHH
K
ff == .
Vậy
(
)
AutG H,H ∈∀= ff

⇒
H char G.
iv) Với mỗi a
∈
G ta xét tự đẳng cấu trong của G: GG:
a
→f

-1
axax
a

Do
GK
<
nên KK:

Ka
→f là một tự đẳng cấu trong của K.

-1
axax
a

Vì H char K nên
(
)
HH
K
a
=f .
Với mọi
H
h
∈
ta có aha
-1
=
(
)
Hh
K
a
∈f .

GH
<

⇒
.
1.1.7.4. Định lý
Cho G là nhóm xyclic hữu hạn. Khi đó mọi nhóm con của G là nhóm con đặc
trưng của G.
Chứng minh
Do G là nhóm xyclic hữu hạn nên với mọi m là ước của G đều tồn tại duy nhất
một nhóm con của G có cấp m.
Giả sử A
≤
G, AutG
∈
∀
f .
Ta có A,
(
)
G A ≤f và với mỗi AutG
∈
f ta có (A)A:
A
ff →
(a)a f
a

là một đẳng cấu. Do đó
(
)
AA f=


(
)
AutG A,A ∈∀=⇒ ff
Trang 15

⇒
A char G.
Vậy mọi nhóm con của một nhóm xyclic hữu hạn đều là nhóm con chuẩn tắc.
1.1.8.Điều kiện tối đại, tối tiểu
1.1.8.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm
i) G thỏa điều kiện tối đại nếu mọi tập khác rỗng các nhóm con của G đều có
phần tử tối đại (theo quan hệ bao hàm).
ii) G thỏa điều kiện tối tiểu nếu mọi tập khác rỗng các nhóm con của G đều có
phần tử tối tiểu (theo quan hệ bao hàm).
1.1.8.2.Định lý
G là nhóm thỏa điều kiện tối đại khi và chỉ khi mọi nhóm con của G là nhóm
hữu hạn sinh.
1.1.8.3.Hệ quả
Cho G là nhóm giao hoán. Khi đó, G thỏa điều kiện tối đại nếu G là nhóm hữu
hạn sinh.
1.1.8.4.Định lý
Cho G là nhóm, H
≤
G, N
<
G.
i) Nếu G thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) thì H thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu).
ii) Nếu N và G/N thỏa điều kiện tối đại (tối tiểu) thì G thỏa điều kiện tối đại (tối
tiểu).

Chứng minh
i) Hiển nhiên
ii) Giả sử N và G/N là nhóm thỏa điều kiện tối đại, ta chứng minh G thỏa điều
kiện tối đại.
Lấy S là tập khác rỗng các nhóm con của G
Xét
{
}
SK NKS
N
∈∩= và
(
)
{
}
SK ,ANK /NKNS
*
∈=∩=
Khi đó, ta có
S
N
là tập con khác rỗng các nhóm con của N. Do đó S
N
có phần tử tối đại là A.
S
*
là tập con khác rỗng các nhóm con của G/N. Do đó S
*
có phần tử tối đại là B.
⇒

SK
∈
∃
sao cho
(
)
B/NKN A,NK ==∩ .
Nếu K không phải là phần tử tối đại của S thì
SH
∈
∃
sao cho
K
H
>
.
Khi đó
ANH
=
∩
và (HN)/N = B. Lấy (*)K \Hx
∈
ta có
Trang 16
(xN)/N
⊂
(
)
(
)

/NKNB/NHN ==
Ky
∈
∃
⇒
sao cho yNxN = . Do đó tồn tại n
∈
N sao cho x = yn
NKANHxy
1
∩==∩∈⇒
−

Kx
∈
⇒
(mâu thuẫn (*)).
Vậy K là phần tử tối đại trong S. Suy ra G là nhóm thỏa điều kiện tối đại.
1.1.9. Phần bù
1.1.9.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, GQK,
≤
. Q được gọi là phần bù của K trong G nếu 1QK
=
∩

và KQ = G.
1.1.9.2.Định lý
Nếu K là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho
(

)
1K K],:[G = thì K có
phần bù trong G.
1.2.Nhóm đơn
1.2.1.Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc nào khác
G và 1.
1.2.2.Định lý
Cho G là nhóm. Khi đó, H là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G khi và chỉ khi
G/H là nhóm đơn.
1.3.p-nhóm và nhóm strictly p-closed
1.3.1.Định nghĩa
Nếu G là nhóm cấp p
n
với n là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì G được
gọi là p-nhóm.
1.3.2.Định nghĩa
i) Nếu H là nhóm con của nhóm G và H là p-nhóm thì H được gọi là p-nhóm
con của G.
ii) Nếu G là nhóm cấp mp
n
với (m,p) = 1 và H là nhóm con cấp p
n
của G thì H
được gọi là p-nhóm con Sylow của G.
iii) Với G là nhóm, ta gọi tập Syl
p
(G) là tập tất cả các p-nhóm con Sylow của G.
Trang 17
1.3.3.Định lý Sylow

Cho G là nhóm hữu hạn, p G (p là một số nguyên tố). Khi đó
i) Luôn tồn tại một p-nhóm con Sylow của G.
ii) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó.
iii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì n
≡
1 (mod p).
1.3.4.Hệ quả
Cho G là nhóm có cấp là mp
n
với p là một số nguyên tố, (m, p) = 1. Khi đó
i) Với mỗi
nk0
≤
≤
, luôn tồn tại p-nhóm con P của G có cấp là p
k
.
ii) Nếu n là số các p-nhóm con Sylow của G thì



≡
mn
p) (mod 1n
.
iii) Nếu tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G thì H
<
G.
1.3.5.Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p-nhóm con Sylow với mỗi p là

ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p-nhóm con Sylow của nó.
1.3.6.Định nghĩa
i) Nhóm G được gọi là nhóm có số mũ là n nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất
sao cho g
n
= 1, Gg
∈
∀
.
ii) Cho p là một số nguyên tố. Nhóm G được gọi là nhóm strictly p-closed nếu
tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G và G/H là nhóm giao hoán có số mũ là
ước của p-1.
1.4.Các định nghĩa
1.4.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm. Với Gg ,g
21
∈ , ta gọi
[
]
1
2
1
12121
ggggg,g
−−
=

là một hoán tử của G.
Với Gg, ,g ,g
n21

∈ , ta có
[
]
[
]
[
]
n1n21n21
g ,g, ,g,gg, ,g,g
−
= .
Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con các hoán
tử của G. Kí hiệu là G' = [G,G]
Ta kí hiệu ]G' ,[G' G
(2)
=
…
]G ,[G G
(c)(c)1)(c
=
+

Trang 18
1.4.2.Mệnh đề
i) G'
<
G
ii) Cho H
<
G. Khi đó G/H là nhóm giao hoán khi và chỉ khi

HG'
≤
.
1.4.3.Định nghĩa
Cho G là nhóm, H
≤
G. Khi đó
i) Với mỗi g
∈
G, nhóm con H
g
= g
-1
Hg được gọi là nhóm con liên hợp với H
trong G.
ii)
g
Gg
G
HH
∈
∩= được gọi là lõi của H trong G.
iii) }H=H G {g (H)N
g
G
∈= được gọi là chuẩn hóa tử của H trong G.

iv) H} h h, = h G {g (H)C
g
G

∈∀∈= được gọi là tâm giao hoán của H trong G.
v) G} x, x= xG {g (G)C Z(G)
g
G
∈∀∈== được gọi là tâm giao hoán của nhóm
G.
1.4.4.Tính chất
Cho G là nhóm.
i) Nếu H
<
G thì C
G
(H)
<
G.
ii) Nếu H char G thì C
G
(H) char G.
iii) Nếu A
≤
G thì A
<
N
G
(A).
iv) Nếu A
≤
G, B
<
A thì A

≤
N
G
(B).
1.4.5.Mệnh đề
Cho G là nhóm, H
≤
G. Khi đó H
G
là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G chứa
trong H.
Chứng minh
Ta có HHHH
eg
Gg
G
=⊂∩=
∈
. Khi đó với mọi
Gx
∈
ta có

(
)
HgxgxxHxxHxH
11
Gg
g1
Gg

G
1
x
G
−−
∈
−
∈
−
∩=∩==

(
)
G
gx
Ggx
1
Gg
HHHgxgx =∩=∩=
∈
−
∈

Nếu K
<
G và K
⊂
H thì K
<
H (Tính chất 1.1.5.3(i))

Do đó, với mọi Gg
∈
ta có
G
g
Gg
gg
HHKHKK =∩≤⇒≤=
∈

Như vậy H
G
là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G trong H.
Trang 19
1.4.6.Định lý
Cho G là nhóm. Nếu A
≤
Z(G) và LG:
→
f là một toàn cấu nhóm từ G vào
nhóm L nào đó thì Z(L)(A)
≤
f .
1.4.7.Mệnh đề
Cho G là nhóm.
i) Nếu K
<
G , K
≤
H

≤
G. Khi đó [H,G]
≤
K
⇔
H/K
≤
Z(G/K).
ii) Nếu H, K
≤
G, LG:
→
f là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm L nào đó.
Khi đó
[
]
(
)
(
)
[
]
K),H(KH, fff = .
1.4.8.Định lý
Cho G là nhóm,
GH
<
, N
G
(H) là nhóm hữu hạn, (H)SylP

p
∈ . Khi đó
(P)HN G
G
= .
1.4.9.Định lý
Cho N là một nhóm con của nhóm G. Khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm
(
)
AutNNN:
G
→ϕ sao cho
(
)
NCker
G
=ϕ . Hơn nữa ta có
(
)
(
)
ϕImNCNN
GG
≅ .
Đặc biệt, nếu H, K
<
G và K
≤
H thì tồn tại một đồng cấu nhóm
(

)
(
)
H/KAutH/KN:
G
→ψ sao cho
(
)
H/KCker
G
=ψ và như vậy ta có
(
)
(
)
ψImH/KCH/KN
GG
≅ .
1.4.10. Định lý
Cho N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm hữu hạn G. Nếu N là một p-
nhóm giao hoán cơ bản tức là n
p
= 1,
Nn
∈
∀
thì pN = khi và chỉ khi G/C
G
(N) là
nhóm giao hoán có số mũ là ước của p-1.

1.4.11.Định nghĩa
Cho dãy các nhóm con của nhóm G
GGG GG1
n1-n10
=≤≤≤≤= (*)
sao cho
(
)
1-n0,i GG
1ii
=∀
+
<
. Dãy (*) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là
GGG GG1
n1-n10
==
<
<
<
<

Với (*) là dãy chuẩn tắc của G, khi đó
i) Số n được gọi là độ dài của dãy.
ii) Các
(
)
n0,i G
i
=∀ được gọi là các số hạng của dãy.

Trang 20
iii) Các nhóm thương
(
)
1-n0,iGG
i1i
=∀
+
được gọi là các nhân tử của dãy.
1.4.12.Định nghĩa
i) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G
nếu các số hạng của dãy đều là các nhóm con chuẩn tắc của G.
ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của
dãy đều là nhóm giao hoán.
iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xyclic nếu tất cả các nhân tử của
dãy đều là nhóm xyclic.
iv) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử
của dãy đều là nhóm đơn.
1.4.13. Định nghĩa
Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H/K với H, K
<
G và H/K là
nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K.
Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy cơ bản của G nếu tất cả các nhân tử
của dãy đều là nhân tử cơ bản của G.
1.4.14.Bổ đề
Cho G là nhóm và
**
B B, ,A A, là các nhóm con của G, trong đó ,AA
*

<

*
B
B
<
. Khi đó
i)
(
)
(
)
***
BAABAA ∩∩
<


(
)
(
)
***
ABBABB ∩∩
<

ii)
(
)
(
)

(
)
(
)
ABBABBBAABAA
******
∩∩≅∩∩
1.4.15.Định lý
Cho G là nhóm. Khi đó, bất kỳ hai dãy chuẩn tắc nào của G khi được làm mịn
đều có độ dài bằng nhau và các nhân tử tương ứng của chúng đẳng cấu với nhau.
Chứng minh
Giả sử GGG GG1
n1-n10
==
<
<
<
<
(*) và
GHH HH1
m1m10
==
−
<
<
<
<
(**) là hai dãy chuẩn tắc bất kỳ của G.
Ta kí hiệu
(

)
(
)
n1,i ,m0,j HGGG
ji1iji,
==∀∩=
−

Ta có
(
)
(
)
(
)
n1,i GGGGGGHGGG
ii1ii1imi1imi,
=∀==∩=∩=
−−−

Trang 21

(
)
(
)
(
)
n1,i G1GGHGGG
1ii1i0i1ii,0

=∀=∩=∩=
−−−

Mặt khác theo Bổ đề 1.4.14 (i) thì

(
)
(
)
(
)
n1,i ,m0,j GHGG HGGG
1ji,1-ji1iji1iji,
==∀=∩∩=
−−−
>
Ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (*)
GGG GG GG1
mn,1mn,n,0m1,n1,11,0
===
−−
<
<
<
<
<
<

(dãy này có nm số hạng)
Ta kí hiệu

(
)
(
)
m1,j ,n0,i GHHH
ij1jji,
==∀∩=
−

Ta có
(
)
(
)
(
)
m1,j H HH GHHGHHH
jj1jj1jnj1jjn,
=∀==∩=∩=
−−−

(
)
(
)
(
)
m1,j H1HH GHHH
1jj1j0j1jj0,
=∀=∩=∩=

−−−

Tương tự ta có dãy chuẩn tắc của G được làm mịn từ dãy (**)
GHH HH HH1
mn,m1,nm0,1mn,1,10,1
<
<
<
<
<
<
<
−−
==
(dãy này có nm số hạng)
Theo Bổ đề 1.4.14(ii) ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
GHH GHH HGGHGG
1-ij1jij1j1ji1iji1i
∩∩≅∩∩
−−−−−


j1,iji,1ji,ji,
HHGG
−−
≅⇔
Như vậy bất kỳ hai dãy chuẩn tắc của G khi được làm mịn đều có số các số
hạng bằng nhau và các nhân tử tương ứng của hai dãy thì đẳng cấu với nhau.
1.4.16.Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó, G luôn có một dãy cơ bản.
1.4.17.Định lý
Nếu
GKH1
<
<
<
là một dãy các nhóm con chuẩn tắc của G với H là nhóm hữu
hạn, K/H là nhóm xyclic vô hạn. Khi đó có một nhóm con chuẩn tắc R của G chứa
trong K sao cho R là nhóm xyclic vô hạn và K/R là nhóm hữu hạn.
1.5.Nhóm giải được
1.5.1.Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel.
1.5.2.Tính chất
i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được.
ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được.
Trang 22
iii) Cho nhóm G, H
<
G. Khi đó, G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G/H
là các nhóm giải được.
iv) Tích trực tiếp của hữu hạn nhóm giải được là nhóm giải được.
v) Nếu H, K là hai nhóm con chuẩn tắc giải được của nhóm G thì HK là nhóm

giải được.
1.5.3.Định lý
Mọi p-nhóm đều là nhóm giải được.
1.5.4.Định lý
Cho G là nhóm giải được hữu hạn. Khi đó G có một dãy hợp thành với các
nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố.
1.6.Nhóm poly-P
1.6.1.Định nghĩa
Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm.
Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có
tính chất P.
Nhóm G được gọi là nhóm poly-P nếu nó có một dãy poly-P.
1.6.2.Mệnh đề
i) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian.
ii) G là nhóm polyxyclic nếu nó có một dãy polyxyclic.
1.6.3.Định nghĩa
Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm. Nhóm G được gọi là nhóm P-by-
Q nếu có N
<
G sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q.
1.6.4.Nhận xét
Tính chất P và Q của nhóm G được bảo toàn qua phép đẳng cấu. Do đó, tính
chất của nhóm poly-P và nhóm P-by-Q được bảo toàn qua phép đẳng cấu.
1.6.5.Định lý
Mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm polyxyclic. Khi đó G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là
nhóm xyclic.
Trang 23
Suy ra G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử là nhóm giao hoán . Do đó G là

nhóm giải được.
Vậy mọi nhóm polyxyclic là nhóm giải được.
1.6.6.Nhận xét
Một nhóm giải được thỏa điều kiện tối đại là nhóm polyxyclic.
1.7.Nhóm lũy linh
1.7.1.Định nghĩa
i) Nhóm con )G(
i
γ của nhóm G được định nghĩa bởi phép quy nạp
G)G(
1
=γ

[
]
G),G()G(
12
γγ =
…

[
]
G),G()G(
1 ii
γγ =
+

ii) Dãy giảm trung tâm của G là dãy
)G()G(G
21

≥≥= γγ
1.7.2.Nhận xét
i)
[
]
G'G,G)G(
2
==γ
ii) i ),G()G(
1
∀≤
+ ii
γγ
iii)
(
)
i ,)G(G)G()G(
11
∀≤
++ iii
Z γγγ
1.7.3.Định nghĩa
i) Nhóm con G)(
i
ζ của nhóm G được định nghĩa bởi phép quy nạp
1G)(
0
=ζ
…


(
)
G)(G)(G)(
1 iii
GZ ζζζ =
+

ii) Dãy tăng trung tâm của G là dãy
G)(G)(1
10
≤≤= ζζ
1.7.4.Nhận xét
)G(
i
γ , G)(
i
ζ là những nhóm con đặc trưng của nhóm G.


Trang 24
1.7.5.Định lý
Cho G là nhóm. Khi đó
∈
∃
c
Z sao cho GG)(
c
=ζ khi và chỉ khi 1(G)
1c
=

+
γ .
Hơn thế nữa với mọi i ta có: (G))G(
ic
1
−
+
≤ ζγ
i
.
Chứng minh
(
)
⇒ Nếu GG)( =
c
ζ ta chứng minh i , (G))G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
- Với i = 0, ta có G)(G)G(
1
c
ζγ ==
- Giả sử (G))G(
ic

1
−
+
≤ ζγ
i
với
0i
≥

Khi đó, ta có
[
]
[
]
G(G),G(G),γ(G)γ
ic
1i2i
−
++
≤= ζ
Mà
(
)
(G)GZ(G)(G)
1ic1icic −−−−−
= ζζζ
Theo Mệnh đề 1.4.7(i) ta có
[
]
(G)G(G),

1icic −−−
≤ ζζ . Do đó (G)(G)γ
1-i-c
2i
ζ≤
+
.
Vậy i (G),)G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
Đặc biệt, nếu i = c, ta có 1(G))G(
0
1
=≤
+
ζγ
c
suy ra 1)G(
1
=
+c
γ .

(

)
⇐ Nếu 1(G)
1c
=
+
γ , ta chứng minh i , (G))G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
tức là chứng minh
j (G),(G)γ
j
j1c
∀≤
−+
ζ .
Với j = 0, ta có (G)1(G)γ
0
1c
ζ==
+
.
Giả sử (G)(G)γ
j
j1c
ζ≤

−+
với 0j
≥

Xét toàn cấu nhóm (G)G(G)γG:
j
j1c
ζ→
−+
f
(G) x (G)xγ
j
j1c
ζ
a
−+

Ta có
[
]
(G)γG(G),γ
1j-cj-c +
=
Theo Mệnh đề 1.4.7(i) suy ra
(
)
(G)γGZ(G)γ(G)γ
1jc1jcjc +−+−−
≤
Theo Định lý 1.4.6, ta có

(
)
(
)
(G)(G)(G)GZ(G)γ(G)γ
j1jj
1jcjc
ζξζ
+
+−−
=≤f

(G)(G)γ
(G)(G)(G)(G)γ
1j
jc
j1jj
jc
+
−
+
−
≤⇒
≤⇒
ζ
ζζζ

Vậy j (G),(G)γ
j
j1c

∀≤
−+
ζ hay ta có i (G),)G(
ic
1
∀≤
−
+
ζγ
i
.
Đặc biệt, nếu j = c, ta có (G)(G)γG
c
1
ζ≤= suy ra G(G)
c
=ζ .
1.7.6.Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu
∈
∃
c
Z sao cho 1(G)
1c
=
+
γ (*).
Số c nhỏ nhất thỏa (*) được gọi là lớp của nhóm lũy linh G.
Trang 25
1.7.7.Nhận xét

Nếu G là nhóm lũy linh thì dãy giảm trung tâm của G và dãy tăng trung tâm
của G có độ dài bằng nhau.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm lũy linh lớp c.
Khi đó ta có: 1(G)
1c
=
+
γ và GG)(
c
=ζ .
Ta có dãy:
G(G)γ(G)γ (G)γ(G)γ1
01c1c
==
+
<
<
<
<
(*)
G(G)(G) (G)(G)1
1cc10
==
+
ζζζζ
<
<
<
<

(**)
Dãy (*) và (**) đều có c+1 số hạng. Do đó dãy giảm trung tâm của G và dãy
tăng trung tâm của G có độ dài bằng nhau.
1.7.8.Định nghĩa
Cho G là nhóm.
Dãy trung tâm của nhóm G là dãy chuẩn tắc của G
G==
n1-n10
GG GG1
<
<
<
<

sao cho [G
i+1
, G]
≤
G
i

(
)
1-n0,i =∀ hay nói cách khác, đó là dãy các nhóm con chuẩn
tắc của G
G==
n1-n10
GG GG1
<
<

<
<

sao cho G
i+1
/G
i

≤
(
)
(
)
ii
1
G/GG/G Z=ζ
(
)
1-n0,i =∀ .
1.7.9.Nhận xét
G là nhóm lũy linh nếu G có một dãy trung tâm.
1.7.10.Tính chất
Cho G là nhóm lũy linh lớp c. Khi đó:
i) Z(G)
≠
1.
ii) Nếu H
≤
G thì H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c.
iii) Ảnh đồng cấu của G là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c.

Đặc biệt, nếu H
<
G thì G/H là nhóm lũy linh có lớp nhỏ hơn hoặc bằng c.

Chứng minh
i) Vì G là nhóm lũy linh lớp c