Bài tập thống kê
Họ và tên:
MSSV:
Lớp: KT1390A2
Nhóm: B04
Phần I/ Phân tích phương sai (ANOVA)
I/ Phân tích phương sai một chiều.
Phân tích phương sai một chiều là phân tích dựa trên ảnh hưởng của một nhân
tố.
Anova một chiều là kiểm định về sự bằng nhau của nhiều trung bình tổng thể
có phân phối chuẩn, phương sai bằng nhau.
Bài tập 1:
Người ta tiến hành đo hàm lượng Alkaloid trung bình trong mướp đắng
(Alkaloid trong mướp đắng có công hiệu lợi niệu hoạt huyết, tiêu viêm thoái nhiệt) ở
3 vùng khác nhau có số liệu như sau:
Vùng 1: 7,5 6,8 7,1 7,5 6,8 6,6 7,8
Vùng 2: 5,8 5,6 6,1 6,0 5,7
Vùng 3: 6,1 6,3 6,5 6,4 6,5 6,3
Hỏi hàm lượng Alkaloid ở những vùng khác nhau có khác nhau hay không?
Với
α
=5%.
Giải:
Bài tập này yêu cầu kiểm định về sự bằng và khác nhau giữa các trung bình tổng
thể dựa trên ảnh hưởng của hàm lượng Alkaloid nên giải theo phân tích phương sai
một chiều.
Cách 1: Cách thông thường (Tính tay)
Giả thuyết:
H
0
: Hàm lượng Alkaloid ở 3 vùng như nhau.

H
1
: Hàm lượng Alkaloid ở 3 vùng khác nhau.
Vùng 1 Vùng 2 Vùng 3
7,5
6,8
7,1
7,5
6,8
6,6
7,8
5,8
5,6
6,1
6,0
5,7
6,1
6,3
6,5
6,4
6,5
6,3
N
j
7 5 6 N=18
1
BÀI TẬP NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
KINH TẾ
Giáo viên: Huỳnh Thị Kim Uyên
Bài tập thống kê

T
j
50,1 29,2 38,1 T=117,4
∑
i
ij
x
2
359,79 170,7 242,05
∑∑
2
ij
x
= 772,54
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
SST= 772,54 -
18
)4,117(
2
= 6,8311
SSA=
7
)1,50(
2
+
5
)2,29(
2
+
6

)1,38(
2
-
18
)4,117(
2
= 5,326968
SSE= SST – SSA = 1,50414

Bảng ANOVA:
Nguồn SS Df MS F
F
α
,,1 knk
−−
Yếu tố
Sai số
5,326968
1,50414
2
15
2,6635
0,1003
26,5615 3,68
Tổng cộng 6,8311 17
Quyết định: Ta có F = 26,5615 > F
α
,,1 knk
−−
nên bác bỏ H

0
chấp nhận H
1
.
Kết luận: Với
α
=5% hàm lượng Alkaloid có sai khác theo vùng.
Cách 2: Dùng Excel:
(Vì em dùng Excel 2003 nên sử dụng Excel 2003)
Nếu trong menu Tools chưa có mục Data Analysis… thì tiến hành cài Analysis
ToolPak như sau: Tools \ Add-Ins \ chọn Analysis ToolPak\ OK.
2
Bài tập thống kê
Chọn Tools\ Data Analysis
Nhập dữ liệu:
3
Bài tập thống kê
Chọn: Anova: Single Facter:
Chọn các mục như hình:
4
Bài tập thống kê
Khi đó sẽ hiện ra bảng kết quả là:
Quyết định:
Cách 1: Ta so sánh cột F và F crit.
Vì F = 26,56148> F crit = 3,682316674 => Bác bỏ H
0
chấp nhận H
1
.
Cách 2: Đánh giá dựa vào P-value.

Ta có: p = 1,17756E-05 quá nhỏ => Bác bỏ H
0
chấp nhận H
1
.
Kết luận: Với
α
=5% hàm lượng Alkaloid có sai khác theo vùng.
Bài tập 2:
So sánh kết quả tăng trọng trung bình (kg) của trẻ 3 nhóm tuổi khác nhau sau
khi sử dụng sản phẩm dinh dưỡng như nhau trong thời gian 1 năm
Nhóm 1: Trẻ từ 1 tháng tuổi đến 12 tháng tuổi.
1,0 1,2 1,4 1,1 0,8 0,6
Nhóm 2: Trẻ từ 12 tháng tuổi đến 24 tháng tuổi.
2,0 1,8 1,9 1,2 1,4 1,0 1,5 1,8
Nhóm 3: Trẻ từ 24 tháng tuổi đến 36 tháng tuổi.
0,4 0,6 0,7 0,2 0,3 0,1 0,2
Hãy so sánh kết quả tăng trọng của 3 nhóm tuổi trên có như nhau không với
α
=1%.
Giải:
Bài tập này yêu cầu kiểm định về sự bằng và khác nhau giữa các trung bình tổng
thể dựa trên sự tăng trọng của từng nhóm tuổi khi sử dụng cùng một sản phẩm dinh
dưỡng nên giải theo phân tích phương sai một chiều.
Giả thuyết:
H
0
: Kết quả tăng trọng của 3 nhóm tuổi là như nhau.
H
1

: Kết quả tăng trọng của 3 nhóm tuổi là khác nhau.
5
Bài tập thống kê
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3
1,0
1,2
1,4
1,1
0,8
0,6
2,0
1,8
1,9
1,2
1,4
1,0
1,5
1,8
0,4
0,6
0,7
0,2
0,3
0,1
0,2
N
j
5 8 7 N=21
T
j

6,1 12,6 2,5 T=21,2
∑
i
ij
x
2
6,61 20,74 1,19
∑∑
2
ij
x
=28,54
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
SST = 28,54 -
21
)2,21(
2
= 7,1381
SSA =
5
)1,6(
2
+
8
)6,12(
2
+
7
)5,2(
2

-
21
)2,21(
2
= 6,77795
SSE = SST – SSA = 0,36014
Bảng ANOVA:
Nguồn SS Df MS F
F
α
,,1 knk
−−
Yếu tố
Sai số
6,77795
0,36014
2
18
3,38898
0,0200079
169,3816 6,01
Tổng cộng 7,1381 20
Quyết định:
Ta có F = 169,3816 > F
α
,,1 knk
−−
= 6,01 nên bác bỏ H
0
chấp nhận H

1
.
Kết luận:
Với
α
=1% kết quả tăng trọng của 3 nhóm tuổi là khác nhau.
II/ Phân tích phương sai hai nhân tố không lặp (phân tích phương sai hai
chiều có một quan sát trong cùng một ô)
Phân tích phương sai hai nhân tố không lặp nhằm đánh giá sợ ảnh hưởng của 2
nhân tố trên các giá trị quan sát, đây là trường hợp mở rộng của phân tích phương sai
một yếu tố.
6
Bài tập thống kê
Bài tập 1: Chiết suất từ hoa hồng bằng 3 phương pháp khác nhau và 5 loại
dung môi, ta có những kết quả sau:
Phương pháp chiết suất
Dung môi
B1 B2 B3
A1
A2
A3
A4
A5
120
120
130
150
110
60
70

60
70
75
60
50
50
60
54
Hãy xét ảnh hưởng của phương pháp chiết xuất và dung môi đến kết quả chiết
suất hoa hồng với
α
=1%.
Giải:
Đề bài yêu cầu phân tích sự ảnh hưởng của 2 yếu tố phương pháp và dung môi
đến kết quả chiết suất. Ta áp dụng phân tích phương sai 2 nhân tố không lặp.
Cách 1: Tính thông thường.
Giả thiết:
- H
0
: Dung môi không ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Phương pháp không ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
- H
1
: Dung môi ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Phương pháp ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
B
A
B1 B2 B3
T
i

∑
j
ij
x
2
A1
A2
A3
A4
A5
120
120
130
150
110
60
70
60
70
75
60
50
50
60
54
240
240
240
280
239

21600
21800
23000
31000
20641
T
j
630 335 274 T=1239
∑
i
ij
x
2
80300 22625 15116
∑
ji
ij
x
,
2
=118041
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
∑
i
i
T
2
= 308321
7
Bài tập thống kê

∑
j
j
T
2
=584201
SST = 118041 -
35
)1239(
2
x
= 155699,6
SSA =
3
308321
-
35
)1239(
2
x
= 432,2667
SSB =
5
584201
-
35
)1239(
2
x
= 14498,8

SSE = SST – SSA – SSB = 768,5333
Nguồn SS Df MS F
Yếu tố A
Yếu tố B
Sai số
SSA=432,2667
SSB=14498,8
SSE=768,5333
4
2
8
MSA=108,0667
MSB=7249,4
MSE=96,0667
F
A
= 1,1249
F
B
= 75,4622
Tổng SST= 155699,6 14
Quyết định + kết luận:
F
A
= 1,1249 < F
%1;8;4
= 7,006
=> Chấp nhận H
0
 Với

α
=1%, dung môi không ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
F
B
= 75,4622 > F
%1;8;2
= 8,649
=> Bác bỏ H
0
 Với
α
=1%. Phương pháp ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Cách 2: Excel
Nhập dữ liệu
Chọn Tools\Data Analysis…\Anova: Two-Factor without replication.
8
Bài tập thống kê
Làm theo các bước như hình:
Kết quả :
Anova: Two-Factor
Without Replication
- Kiểm định theo cột:
Giả thiết:
H
0
: Phương pháp không ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Quyết định:
9
Bài tập thống kê
p=6,42093E-04% quá nhỏ => Bác bỏ H

0
Kết luận: Phương pháp ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
- Kiểm định theo hàng:
Giả thiết:
H
0
: Dung môi không ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Quyết định:
p=40,9% quá lớn => Chấp nhận H
0
hoàn toàn.
Kết luận: Dung môi ảnh hưởng đến kết quả chiết suất.
Bài tập 2:
4 chuyên gia tài chính được yêu cầu dự đoán về tốc độ tăng trưởng (%) trong
năm tới của 5 công ty sản xuất bánh kẹo. Dự đoán được ghi nhận như sau:
Có thể nói rằng dự đoán tốc độ tăng trưởng trung bình là như nhau cho cả 5
công ty sản xuất bánh kẹo được không?
α
=1%.
Giải:
Giả thiết:
H
0
: Các chuyên gia dự đoán tốc độ tăng trưởng là như nhau.
Các công ty sản xuất bánh kẹo đều có tốc độ tăng trưởng là như nhau.
H
1
: Các chuyên gia dự đoán tốc độ tăng trưởng khác nhau.
Các công ty sản xuất bánh kẹo đều có tốc độ tăng trưởng khác nhau.
Chuyên gia

Công ty
A B C D T
i
∑
j
ij
x
2
1
2
3
4
5
8
14
11
9
12
12
10
9
13
10
8,5
9
12
10
10
13
11

10
13
10
41,5
44
42
45
42
449,25
498
446
519
444
10
Bài tập thống kê
T
j
54 54 49,5 57 T=214,5
∑
i
ij
x
2
606 594 497,25 659
∑
ji
ij
x
,
2

=2356,25
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
SST = 2356,25 -
20
)5,214(
2
= 55,7375
SSA =
4
25,9211
-
20
)5,214(
2
= 2,3
SSB =
5
25,11531
-
20
)5,214(
2
= 5,7375
SSE = SST – SSA – SSB = 47,7
Nguồn SS Df MS F
Yếu tố A
Yếu tố B
Sai số
SSA=2,3
SSB=5,7375

SSE=47,7
4
3
12
MSA=0,575
MSB=1,9125
MSE=3,975
F
A
= 0,1447
F
B
= 0,4811
Tổng SST= 55,7375 19
Quyết định + Kết luận:
- F
A
= 0,1447 < F
%1;12;4
= 5,41
=> Chấp nhận H
0
=> Với
α
=1%. Các chuyên gia dự đoán tốc độ tăng trưởng là như nhau.
- F
B
= 0,4811 < F
%1;12;3
= 5,95

=> Chấp nhận H
0
=> Với
α
=1%. Các công ty sản xuất bánh kẹo có tốc độ tăng trưởng như nhau.
III/ Phân tích phương sai 2 nhân tố có lặp (có hơn một tham số trong một ô)
Trong phân tích phương sai 2 nhân tố có lặp, mỗi yếu tố cột và hàng có thể có
nhiều quan sát. Vậy nên ngoài việc kiểm định trung bình theo cột, hàng bằng nhau thì
chúng ta còn có thể xem xét sự tương tác giữa yếu tố hàng và cột có ảnh hưởng đến
hiện tượng nghiên cứu hay không.
Bài tập 1:
Hàm lượng cafein (mg) trong cà phê thu hái trong 2 mùa (mùa khô và mùa
mưa) mỗi mùa lấy mẫu 3 lần đầu – giữa – cuối mùa và từ 3 tỉnh ở Tây Nguyên (Kon
Tum, Gia Lai, Lâm Đồng) thu được kết quả sau:
Mùa Thời điểm Tỉnh
11
Bài tập thống kê
Kon Tum Gia Lai Lâm Đồng
Khô
Đầu mùa
Giữa mùa
Cuối mùa
2,4
2,4
2,5
2,1
2,2
2,2
3,2
3,2

3,4
Mưa
Đầu mùa
Giữa mùa
Cuối mùa
2,5
2,5
2,6
2,2
2,3
2,3
3,4
3,5
3,5
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
Hãy cho biết hàm lượng cafein có khác nhau theo từng mùa hay không? Nếu
có thì yếu tố mùa và miền (tỉnh khác nhau) có sự tương tác với nhau hay không? Với
α
=0,05.
Giải:
Với đề bài cho hàng và cột có hơn 1 quan sát, yêu cầu xem xét sự tương tác
giữa các yếu tố (hàng và cột) có ảnh hưởng đến đối tượng nghiên cứu không, ta dùng
phân tích phương sai 2 yếu tố có lặp.
Cách 1: Giải thông thường
Giả thiết:
H
0
:
- Hàm lượng cafein trong cà phê của các tỉnh là như nhau.
- Hàm lượng cafein trong cà phê ở 2 mùa mưa và mùa khô là như nhau.

- Không có sự tương tác giữa tỉnh và mùa màng đến hàm lượng cafein trong
cà phê.
H
1
:
- Hàm lượng cafein trong cà phê của các tỉnh khác nhau.
- Hàm lượng cafein trong cà phê ở 2 mùa mưa và mùa khô khác nhau.
- Có sự tương tác giữa tỉnh và mùa màng đến hàm lượng cafein trong cà phê.
Tỉnh
Mùa
Kon Tum Gia Lai Lâm Đồng
T
**i
Khô
2,4
2,4
2,5
7,3
2,1
2,2
2,2
6,5
3,2
3,3
3,3
9,8 23,6
Mưa
2,5
2,5
2,6

7,6
3,2
3,2
3,4
6,8
3,4
3,5
3,5
10,4 24,8
T
** j
14,9 13,3 20,2 T=48,4
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
12
Bài tập thống kê
-
∑
kji
ijk
x
,,
2
= 134,64
-
∑
i
i
T
2
**

= 23,6
2
+ 24,8
2
= 1172
-
∑
j
j
T
2
**
= 14,9
2
+ 13,3
2
+ 20,2
2
= 806,94
-
∑
ji
ij
T
,
2
*
= 7,3
2
+ 7,6

2
+ 6,5
2
+ 6,8
2
+ 9,8
2
+ 10,4
2
= 403,74
- T
2
= 2342,56
SST = 134,64 -
18
56,2342
= 4,4978
SSA =
9
1172
-
18
56,2342
= 0,08
SSB =
6
94,806
-
18
56,2342

= 4,3478
SSE= 134,64 -
3
74,403
0,06
SSAB = SST – SSA – SSB – SSE = 0,01
Bảng ANOVA
Nguồn SS Df MS F
Yếu tố A (mùa) 0,08 1 0,08
F
A
=16
Yếu tố B (tỉnh) 4,3478 2 2,1739
F
B
=434,78
Tương tác AB 0,01 2 0,005
F
AB
=1
Sai số 0,06 12 0,005
Tổng 4,4978 17
Quyết định + kết luận:
Ta có:
- F
A
=16 > F
%5;12;1
= 4,7472
 Bác bỏ H

0
 Với
α
=5%. Hàm lượng cafein khác nhau theo mùa.
- F
B
=434,78 > F
%5;12;2
=3,8853
 Bác bỏ H
0
 Với
α
=5%. Hàm lượng cafein khác nhau theo từng tỉnh thành.
- F
AB
=1 < F
%5;12;2
= 3,8853
 Chấp nhận H
0
13
Bài tập thống kê
=> Với
α
=5%. Không có sự tương tác giữa mùa và miền (tỉnh thành) đến hàm
lượng cafein trong cà phê.
Cách 2: Excel
* Nhập dữ liệu
* Chọn Tools\Data Analysis…\Anova: Two Factor With Replication

Chọn như hình:
Sau khi chạy chương trình máy tính sẽ hiện bảng ANOVA.
14
Bài tập thống kê
- Kiểm định theo cột:
+ Giả thiết:
H
0
: Hàm lượng cafein trong cà phê ở 2 mùa mưa và mùa khô là như nhau.
H
1
: Hàm lượng cafein trong cà phê ở 2 mùa mưa và mùa khô khác nhau.
+ Quyết định: Với
α
=5% > p = 6,36194E-12 => Bác bỏ H
0
+ Kết luận: Với
α
=5%, hàm lượng cafein trong cà phê ở 2 mùa mưa và mùa
khô khác nhau.
- Kiểm định theo hàng:
+ Giả thiết:
H
0
: Hàm lượng cafein trong cà phê ở các tỉnh thành là như nhau.
H
1
: Hàm lượng cafein trong cà phê ở các tỉnh thành khác nhau.
15
Bài tập thống kê

+ Quyết định: p = 0,001761696 quá nhỏ => Bác bỏ H
0
.
+ Kết luận: Với
α
=5%, hàm lượng cafein trong cà phê ở các tỉnh thành khác
nhau.
- Kiểm định về sự tương tác:
+ Giả thiết:
H
0
: Không có sự tương tác giữa tỉnh và mùa màng đến hàm lượng cafein
trong cà phê.
H
1
: Có sự tương tác giữa tỉnh và mùa màng đến hàm lượng cafein trong cà
phê.
+ Quyết định: F = 0,396569457 < F
%5;12;2
= 3,8853 => Chấp nhận H
0
.
+ Kết luận:
Với
α
=5%, không có sự tương tác giữa tỉnh và mùa màng đến hàm lượng
cafein trong cà phê.
Bài tập 2:
Điều tra mức tăng trưởng chiều cao (cm) của cây lúa theo loại đất trồng và
loại phân bón khác nhau trong 1 tháng có kết quả:

Loại đất
Loại phân
1 2 3 4
A
5,5
5,5
6,0
4,5
4,5
4,0
3,5
4,0
3,0
6,0
5,0
4,0
B
5,6
7,0
7,0
5,0
5,5
5,0
4,0
5,0
4,5
5,5
4,5
6,0
Hỏi sự khác nhau của mức tăng trưởng về chiều cao của cây lúa theo từng loại

đất và phân bón. Với
α
=5%.
Giải:
Giả thiết:
H
0
:
- Mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại đất trồng là như nhau.
- Mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại phân bón là như
nhau.
- Không có sự tương tác giữa phân bón và loại đất đến sự tăng trưởng theo
chiều cao của cây lúa.
H
1
:
- Mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại đất trồng khác nhau.
16
Bài tập thống kê
- Mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại phân bón là khác
nhau.
- Có sự tương tác giữa phân bón và loại đất đến sự tăng trưởng theo chiều cao
của cây lúa.
Đất
Phân
1 2 3 4 T
**i
A
5,5
5,5

6,0
17
4,5
4,5
4,0
13
3,5
4,0
3,0
10,5
6,0
5,0
4,0
15 55,5
B
5,6
7,0
7,0
19,6
5,0
5,5
5,0
15,5
4,0
5,0
4,5
13,5
5,5
4,5
6,0

16 64,6
T
** j
36,6 28,5 24 31 T=120,1
(Với i là biến chạy của dòng, j là biến chạy của cột)
-
∑
kji
ijk
x
,,
2
= 624,61
-
∑
i
i
T
2
**
= 7253,41
-
∑
j
j
T
2
**
= 3688,81
-

∑
ji
ij
T
,
2
*
= 1855,91
- T
2
= 14424,01
SST = 624,61 -
24
01,14424
= 23,60958
SSA =
12
41,7253
-
24
01,14424
= 3,45042
SSB =
6
81,3688
-
24
01,14424
= 13,80125
SSE= 624,61 -

3
91,1855
= 5,9733
SSAB = SST – SSA – SSB – SSE = 0,38458
Bảng ANOVA
Nguồn SS Df MS F
Yếu tố A (mùa) 3,45042 1 3,45042
F
A
=9,2423
Yếu tố B (tỉnh) 13,80125 3 4,60042
F
B
=12,3227
17
Bài tập thống kê
Tương tác AB 0,38458 3 0,1282
F
AB
=0,3434
Sai số 5,9733 16 0,37333
Tổng 23,60958 23
Quyết định + Kết luận:
- F
A
=9,2423 < F
%5;16;1
=246,47
 Chấp nhận H
0

 Với
α
=5%, mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại phân bón
là như nhau.
- F
B
=12,3227 > F
%5;16;3
= 8,69
 Bác bỏ H
0
 Với
α
=5%, mức tăng trưởng theo chiều cao của cây lúa theo loại đất trồng
khác nhau
- F
AB
=0,3434 < F
%5;16;3
= 8,69
 Chấp nhận H
0
 Với
α
=5%, không có sự tương tác giữa phân bón và loại đất đến sự tăng
trưởng theo chiều cao của cây lúa.
Phần II/ Kiểm định phi tham số
I/ Kiểm định Wilcoxon (Kiểm định T)
– Kiểm định sự bằng nhau của 2 trung bình tổng thể với mẫu từng cặp.
1/ Mẫu nhỏ (n<=20)

Bài tập:
Trong tháng trước và sau Tết Nguyên Đán, số lượng người mua giày dép tại
10 cửa hàng tại Cần Thơ được thống kê như sau:
Cửa hàng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Trước Tết 50 60 65 100 80 90 77 85 40 67
Sau Tết 45 55 68 90 80 85 80 75 48 60
Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định lượng người mua giày dép trước và sau
Tết có thực sự khác nhau không?
Giải:
Giả thiết:
H
0
:
x
µ
-
y
µ
= 0
H
1
:
x
µ
-
y
µ

≠
0

Giá trị kiểm định:
18
Bài tập thống kê
Cửa hàng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T
Trước Tết 50 60 65 100 80 90 77 85 40 67
Sau Tết 45 55 68 90 80 85 80 75 48 60
Chênh lệch 5 5 -3 10 0 5 -3 10 -8 7
Hạng + 4 4 8,5 4 1,5 8,5 6 36,5
Hạng - 1,5 7 8,5
T = min(T
+
,T
−
) = min(36,5;8,5)= 8,5
n
+
=9
Quyết định:
T = 8,5 < T
%5;9
= 9
=> Bác bỏ giả thuyết H
0
.
Kết luận:
Với
α
=5%, lượng người mua giày dép trước và sau tết thực sự khác nhau.
2/ Mẫu lớn (n>20)
Bài tập:

Công ty sản xuất dầu gội đầu Sunsilk thực hiện một chiến dịch quảng cáo lớn
nhằm tăng lượng mua hàng trong cả nước. Để kiểm tra chiến dịch quảng cáo có hiệu
quả hay không, nhà sản xuất đã cử người điều tra trước và sau chiến dịch quảng cáo,
mẫu là 200 người ở mỗi địa bàn trong 50 địa bàn dân cư (xã, phường) của thành phố
Cần Thơ, những người được chọn sẽ được yêu cầu kể tên 5 loại dầu gội đầu.
Ở từng địa bàn, trước và sau khi thực hiện chiến dịch quảng cáo, số lần goohi
đầu dầu gội Sunsilk được ghi nhận lại. Chênh lệch trước và sau quảng cáo của số lần
gội cũng được tính toán, xếp hạng theo giá trị tuyệt đối của chúng (không có chênh
lệch 0). Tổng cộng hạng của các chênh lệch dương có giá trị nhỏ hơn và bằng 625.
Hãy xem xét xem sau chiến dịch quảng cáo dầu gội đầu Sunsilk có được khách hàng
biết đến nhiều hơn trước hay không với mức ý nghĩa 5%?
Giải:
Giả thiết:
H
0
: Khách hàng nhận biết nhãn hiệu gội đầu Sunsilk trước và sau quảng cáo là
như nhau.
H
1
: Sau chiến dịch quảng cáo, khách hàng biết đến dầu gội Sunsilk nhiều hơn.
Ta có: n=50>20
=> Sử dụng Wilcoxon với mẫu lớn
Theo đề ta có:
n=50, T=625
T
µ
=
4
)150(50 −x
= 637,5

19
Bài tập thống kê
2
T
σ
=
24
)1250()150(50 ++ xxx
= 10731,25
=>
T
σ
=103,5917
Z =
5917,103
5,637625 −
= -0,12067s
Vì bài này là kiểm định 2 đuôi nên:
Ta có
Z
=0,12067 < Z
025,0
= 1,96
 Chấp nhận H
0
.
Kết luận: Khách hàng nhận biết nhãn hiệu gội đầu Sunsilk trước và sau quảng
cáo là như nhau.
3/ Tài liệu tham khảo thêm về thực hiện kiểm định dấu và Wilcoxon trong
SPSS.

Ví dụ: Điều trị 10 bệnh nhân có ferritin máu cao, với lượng ferritin máu trước
và sau điều trị được ghi nhận trong bảng sau:
Bảng: Lượng ferritin máu (ng/ml) trước và sau điều trị:
Tổng hợp có:
7 (-): 7 trường hợp ferritin giảm sau điều trị.
2 (+): tăng ferritin sau điều trị.
1 trường hợp ferritin không thay đổi.
20
Bài tập thống kê
Thực hiện kiểm định dấu và Wilcoxon trong SPSS.
Nhập dữ liệu vào SPSS như sau:
Có 3 cột:
Cột 1: ID bệnh nhân.
Cột 2: Ferritin trước điều trị.
Cột 3: Ferritin sau điều trị.
Vào Analyze> Nonparametric Tests> 2 Related Samples
21
Bài tập thống kê
Mở màn hình Two-Related-Samples Tests. Dùng chuột bôi cả 2 biến
Ferritin_T và Ferritin_S cùng lúc, nhắp chuyển cả hai (1 cặp) vào ô Test Pairs. Đánh
dấu nháy vào 2 ô kiểm định Wilcoxon và ô kiểm định Sign.

Nhấn OK, cho kết quả sau đây:
Bảng kết quả kiểm định dấu:
22
Bài tập thống kê
Chênh lệch mang dấu (-) là 7 (giảm ferritin máu sau điều trị)
Chênh lệch mang dấu (+) là 2 (tăng ferritin máu sau điều trị)
Bằng nhau (Ties) là 1 (ferritin không thay đổi sau điều trị)
Mức ý nghĩa chính xác là 0,180. Không bác bỏ giả thuyết không.

Kết luận: Không có sự khác biệt nồng độ ferritin trước và sau điều trị.
Bảng kết quả kiểm định dấu và hạng Wilcoxon
23
Bài tập thống kê
Thứ hạng trung bình chênh lệch (-): 6,00
Thứ hạng trung bình chênh lệch (+): 1,50
Đơn vị lệch chuẩn Z= -2,312
Ý nghĩa thống kê (2 đuôi)=0,021
Kết luận: Có sự khác biệt nồng độ ferritin trước và sau điều trị với p=0,021.
II/ Kiểm định Mann – Whitney (Kiểm định U)
- Kiểm định sự bằng nhau của 2 trung bình tổng thể (mẫu độc lập).
- Kiểm định Mann - Whitney được sử dụng khi chỉ có hai tổng thể nghiên cứu.
Kiểm định này cho phép ta xác định xem có phải các mẫu độc lập được lấy ra từ cùng
một tổng thể chung hoặc từ các tổng thể khác nhau nhưng có chung một phân phối
hay không.
1/ Mẫu nhỏ (n1, n2 < 10)
Bài tập:
Một nữ giáo sư bị phàn nàn là có xu hướng thiên vị các sinh viên nam khi
chấm bài thi. Để kiểm tra điều phàn nàn này, ông chủ nhiệm khoa chọn một số bài thi
của sinh viên nam và nữ để so sánh (điểm tối đa của mỗi bài là 100).
Bảng điểm:
Sinh viên nam 75 77 88 66 91 97 84 99
Sinh viên nữ 65 72 81 64 90 80 44 83
Với mức ý nghĩa α =5% ,hãy cho kết luận về điều phàn nàn nói trên.
Giải:
Giả thiết:
H
0
:
x

µ
-
y
µ
= 0
H
1
:
x
µ
-
y
µ
≠
0
Giá trị kiểm định:
24
Bài tập thống kê
Tổng
Sinh viên nam (A) 66 75 77 84 88 91 97 99
Sinh viên nữ (B) 44 64 65 72 80 81 83 90
Rank (A) 4 6 7 11 12 14 15 16 85
Rank (B) 1 2 3 5 8 9 10 13 51
U= 8x8 +
2
)18(8 +x
- 85 = 15
F(U) = F
8;8
= 13

=>
α
=5% < 2F(U)
=> Chấp nhận H
0
.
Kết luận: Với
α
=5%, giáo viên nữ không có thiên vị sinh viên nam và nữ.
2/ Mẫu lớn (n1, n2 >10):
Bài tập:
Kiểm tra số biên lai phạt vi cảnh mà hai cảnh sát giao thông A và B xuất ra
trong 11 ngày chọn ngẫu nhiên, ta có số liệu:
Cảnh sát A 32 14 26 37 45 28 32 36 25 30
Cảnh sát B 44 37 24 33 27 41 29 25 34 30 32
Sử dụng tiêu chuẩn Mann-Whitney, với mức ý nghĩa α =5% hãy so sánh số
biên lai trung bình mà hai cảnh sát xuất ra mỗi ngày.
Giải:
Giả thiết:
H
0
:
x
µ
-
y
µ
= 0
H
1

:
x
µ
-
y
µ
≠
0
Giá trị kiểm định:
Tổng
Cảnh sát A 32 14 26 37 45 28 32 36 25 30
Cảnh sát B 44 37 24 33 27 41 29 25 34 30 32
Rank(A) 12 1 5 17,5 21 7 12 16 3,5 9,5 104,5
Rank(B) 20 17,5 2 14 6 19 8 3,5 15 9,5 12 126,5
U
1
= 10x11 +
2
1110x
- 104,5 = 60,5
U
2
= 10x11 – 60,5 = 49,5
25