ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————-
ĐỖ THỊ THU GIANG
VỀ LỚP MÔĐUN
ĐỐI COHEN - MACAULAY DÃY
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ DUNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Lời cảm ơn 2
Mở đầu 3
1 Môđun Artin 7
1.1 Môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Chiều Noether và hệ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều địa
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay . . . . . 16
2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 18
2.1 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 28
3.1 Lọc chiều cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Đặc trưng của môđun đối Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . 38
Kết luận 47

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 17 đào tạo thạc sĩ của
trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Thị Dung, Trường Đại học Nông Lâm Thái Nguyên. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn, người đã tận tình chỉ
bảo, dạy dỗ tôi cả về kiến thức lẫn tinh thần làm việc nghiêm túc và đã
dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tôi vượt qua được những lúc khó khăn trong học
tập.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên, khoa Sau đại học, sở GD - ĐT và trường THPT Cao
Bình tỉnh Cao Bằng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã động viên, ủng hộ
tôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của
mình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Mở đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại
duy nhất m; M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d.
Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng
vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá
trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân
tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,

Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta
những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự
lớp môđun Cohen-Macaulay. Trước tiên phải kể đến lớp môđun Buchsbaum
và lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng do các nhà toán học W. Vogel và
J. Stuckrad, Nguyễn Tự Cường, P. Schenzel và Ngô Việt Trung phát hiện
vào những năm 1970, khi trả lời giả thuyết của D. A. Buchsbaum.
Một trong những hướng mở rộng khác của lớp môđun Cohen-Macaulay
là lớp môđun Cohen-Macaulay dãy lần đầu tiên được đưa ra bởi R. P.
Stanley [18] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau đó được P. Schenzel
[15], Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [6] định nghĩa cho trường hợp
vành địa phương. Lớp các môđun Cohen-Macaulay dãy cũng chứa thực sự
lớp các môđun Cohen-Macaulay và cấu trúc của chúng đã được biết đến
bởi [6], [15], [18], thông qua dãy, đầy đủ theo tô pô m-adic, địa phương
hóa, đối đồng điều địa phương, và hiện nay, lớp môđun này vẫn đang
được quan tâm nghiên cứu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọng
tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học
nghiên cứu và gọi là môđun đối Cohen-Macaulay. Cấu trúc của lớp môđun
này đã được biết đến thông qua dãy đối chính quy, đồng điều địa phương,
(xem [3], [4], [6], [19], ).
Tương tự như các ý tưởng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay trong
phạm trù các môđun Noether, hai lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy
rộng và đối Buchsbaum đã được đưa ra và chúng chứa thực sự lớp môđun
đối Cohen-Macaulay và có những đặc trưng, tính chất tương tự như lớp
môđun Cohen-Macaulay suy rộng và Buchsbaum đã quen biết trong phạm
trù các môđun Noether. Tiếp theo đó, thông qua lý thuyết chiều Noether,
lọc chiều cho môđun Artin đã được xây dựng, từ đó dẫn đến việc đưa ra
lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy như là một sự mở rộng khác của lớp

môđun đối Cohen-Macaulay (xem [7]).
Mục đích của luận văn là trình bày lại một số nghiên cứu về hai lớp
môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun đối Cohen-Macaulay dãy trong
hai bài báo "On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-
Macaulay modules" của N. T. Cuong and L. T. Nhan [6] và "On sequentially
co-Cohen-Macaulay modules" của N. T. Dung [7].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.
Để tiện theo dõi, chương 1 dành để tóm tắt lại những kết quả chung
nhất về môđun Artin được sử dụng trong các chương tiếp theo: Phương
pháp nghiên cứu môđun Artin, biểu diễn thứ cấp, chiều Noether, hệ tham
số, số bội, đồng điều địa phương cho môđun Artin, dãy đối chính quy và
môđun đối Cohen-Macaulay.
Toàn bộ nội dung chính của luận văn nằm trong chương 2 và chương 3.
Chương 2 trình bày lại một phần trong bài báo [6]. Đó là một số kết quả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
về lớp môđun được gọi là Cohen-Macaulay dãy có tính chất là tồn tại một
lọc 0 = N
0
⊂ N
1
⊂ . . . ⊂ N
t
= M các môđun con của M sao cho
(a) Mỗi thương N
i
/N
i−1
là Cohen-Macaulay.
(b) dim(N

1
/N
0
) < dim(N
2
/N
1
) < . . . < dim(N
t
/N
t−1
).
Lớp môđun này có quan hệ chặt chẽ với các lớp môđun Cohen-Macaulay,
Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng, giả Cohen-Macaulay, đã được
nghiên cứu trước đây. Cấu trúc của lớp môđun này được đặc trưng qua
địa phương hóa, đầy đủ theo tô pô m-adic, đặc biệt chúng được đặc trưng
qua đối đồng điều địa phương như sau.
Định lý 2.2.9. Cho 0 = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M là một lọc chiều của
M và dim M
i
= d
i
với mọi i = 1, . . . , t. Giả sử R là vành có phức đối
ngẫu. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d các môđun K
j
(M) hoặc bằng không hoặc là
Cohen-Macaulay chiều j.
(iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1 các môđun K
j
(M) hoặc bằng không
hoặc là Cohen-Macaulay chiều j.
Chương 3 dành để trình bày lại các kết quả về một mở rộng của lớp
môđun đối Cohen-Macaulay: R-môđun Artin A được gọi là đối Cohen-
Macaulay dãy nếu A có một lọc các môđun con
0 = B
0
⊂ B
1
⊂ . . . ⊂ B
t−1
⊂ B
t
= A
sao cho B
i
/B
i−1
là môđun đối Cohen-Macaulay, với mọi i = 1, . . . , t và
N-dim A/B
t−1
< N-dim A/B
t−2

< . . . < N-dim A/B
0
= d.
Lớp môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay và cũng
có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay dãy. Nội dung
chương này nằm trong bài báo [7], trong đó đưa ra các khái niệm lọc chiều
cho môđun Artin, môđun đối Cohen-Macaulay dãy và một số đặc trưng,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
tính chất của chúng. Hơn nữa, với cấu trúc đặc biệt của môđun Artin, ta
có thể thấy rằng A là R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy khi và chỉ khi
A là

R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, trong khi đó lại không có tính
chất tương tự như vậy đối với môđun Cohen-Macaulay dãy (xem [15, Ví
dụ 6.1]). Một trong những kết quả chính của Chương 3 là đặc trưng đồng
điều của môđun đối Cohen-Macaulay dãy như sau.
Định lý 3.3.3. Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.
(ii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d, môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là

R-
môđun Cohen-Macaulay chiều j.
(iii) Với mọi j = 0, 1, . . . , d − 1, môđun H
m
j
(A) hoặc bằng 0 hoặc là


R-môđun Cohen-Macaulay chiều j.
Ta đã biết rằng nếu x là một phần tử chính quy của M thì M là môđun
Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay.
P. Schenzel [15] đã chứng minh một kết quả tương tự cho môđun Cohen-
Macaulay dãy. Tuy nhiên, đã có phản ví dụ chỉ ra rằng điều trên là không
đúng (Chú ý 3.3.10). Vì vậy, ở đây lại đặt ra vấn đề là tìm điều kiện cho
phần tử tham số x để có thể đặc trưng được tính đối Cohen-Macaulay dãy
khi chia cho phần tử tham số. Các kết quả thu được như sau.
Định lý 3.3.5. Cho x ∈ m. Giả sử rằng x /∈ p với mọi p ∈ Att A \ {m}.
Khi đó A là môđun đối Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu hai điều kiện
sau thoả mãn
(a) x /∈

p, với mọi

p ∈
d

i=1
Ass

R
H
m
i
(A).
(b) 0 :
A
x là môđun đối Cohen-Macaulay dãy.

Từ Định lý 3.3.5, ta thu lại được một kết quả cho môđun Cohen-
Macaulay dãy, (Hệ quả 3.3.8), đồng thời chỉ ra rằng Định lý 4.7 của P.
Schenzel trong [15] là không đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Chương 1
Môđun Artin
Như chúng ta đã biết, môđun Noether đóng vai trò quan trọng trong
Đại số giao hoán và Hình học đại số mà cấu trúc của chúng đã được biết
rõ thông qua các lý thuyết cơ bản của Đại số giao hoán: phân tích nguyên
sơ, bội, chiều Krull, đối đồng điều địa phương, . Đã có nhiều tác giả
nghiên cứu về môđun Artin và đưa ra một số lý thuyết - theo một nghĩa
nào đó được xem là tương ứng đối ngẫu với một số lý thuyết quen biết
trong phạm trù các môđun Noether: biểu diễn thứ cấp, bội, chiều Noether,
đồng điều địa phương, (xem [3], [4], [5], [8], [9], [10], [13], [14], [19], ).
Mục đích của chương này là hệ thống lại một số kết quả về môđun
Artin được dùng trong các chương sau. Trong toàn bộ chương này, ta luôn
ký hiệu R là vành giao hoán, Noether không nhất thiết địa phương (giả
thiết địa phương khi cần sẽ được nêu trong từng trường hợp cụ thể), A là
R-môđun Artin.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
1.1 Môđun Artin
Cho m là một iđêan cực đại của vành R. Nhắc lại rằng môđun con
m-xoắn Γ
m
(A) của A được định nghĩa bởi
Γ
m
(A) =


n≥0
(0 :
A
m
n
).
Khi đó, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.1. [16, Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6]
(i) Giả sử A là một R-môđun Artin khác không. Khi đó chỉ có hữu hạn
iđêan cực đại m của R sao cho Γ
m
(A) = 0. Nếu các iđêan cực đại phân
biệt đó là m
1
, . . . , m
r
thì
A = Γ
m
1
(A) ⊕. . . ⊕Γ
m
r
(A) và Supp A = {m
1
, . . . , m
r
}.
(ii) Với mỗi j ∈ {1, . . . , r}, nếu s ∈ R \ m

j
, thì phép nhân bởi s cho ta
một tự đẳng cấu của Γ
m
j
(A). Do đó Γ
m
j
(A) có cấu trúc tự nhiên của một
R
m
j
-môđun và với cấu trúc này, một tập con của Γ
m
j
(A) là một R-môđun
con nếu và chỉ nếu nó là R
m
j
-môđun con. Đặc biệt
A
m
j
∼
=
Γ
m
j
(A), với mọi j = 1, . . . , r.
Kí hiệu 1.1.2. Để cho thuận tiện, từ giờ trở đi ta đặt

A = A
1
⊕ . . . ⊕ A
r
và J
A
=

m∈Supp A
m,
trong đó A
j
= ∪
n>0
(0 :
A
m
n
j
) (1  j  r). Chú ý rằng khi (R, m) là vành
địa phương thì J
A
= m.
Cho (R, m) là vành địa phương. Nhắc lại rằng đầy đủ theo tô pô m-adic
của R, ký hiệu bởi

R, là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy theo
quan hệ tương đương xác định bởi cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9

m
t
, t = 0, 1, 2, . .

R được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng,
phép nhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này,

R làm thành
một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của
dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r (xem [11]).
Mệnh đề 1.1.3. [16, Bổ đề 1.11, Hệ quả 1.12] Cho A là R-môđun Artin
khác không trên vành địa phương (R, m). Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên
của

R-môđun, trong đó

R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi
tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là

R-môđun con
của A. Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của

R-môđun Artin.
Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = E(R/m) là bao nội
xạ của trường thặng dư R/m. Kí hiệu D() = Hom
R
(, E). Khi đó ta có
kết quả sau của E. Matlis (xem [16, Định lý 2.1]).
Mệnh đề 1.1.4. (i) R-môđun E là Artin. Với mỗi f ∈ Hom
R

(E, E), tồn
tại duy nhất a
f
∈ R : f(x) = a
f
x, ∀x ∈ E.
(ii) Nếu N là R-môđun Noether, thì D(N) là Artin .
(iii) Nếu A là R-môđun Artin, thì D(A) là Noether.
(iv) Ann M = Ann D(M), và nếu M là R-môđun sao cho 
R
(M) < ∞,
thì 
R
(D(M)) = 
R
(M).
1.2 Biểu diễn thứ cấp
Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên
cứu bởi D. Kirby và D. G. Northcott. Sau đó I. G. Macdonald [10] đã trình
bày lại khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tuỳ ý và ông gọi đó
là biểu diễn thứ cấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đã
định nghĩa cho các môđun Noether. Trong luận văn này, chúng tôi dùng
theo thuật ngữ của I. G. Macdonald [10].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Định nghĩa 1.2.1. (i) Một R-môđun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0
và nếu với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc luỹ linh.
Trong trường hợp này Rad(Ann
R
M) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p,

và ta gọi M là p-thứ cấp.
(ii) Cho M là R-môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích
M = N
1
+ . . . + N
n
thành tổng hữu hạn các môđun con p
i
-thứ cấp N
i
.
Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn
được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên
tố p
i
là đôi một khác nhau và không có hạng tử N
i
nào là thừa, với mọi
i = 1, . . . , n.
Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về
dạng tối thiểu. Khi đó tập hợp {p
1
, . . . , p
n
} là độc lập với việc chọn biểu
diễn thứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn
kết của M, kí hiệu bởi Att
R
M. Các hạng tử N
i

, i = 1, . . . , n, được gọi là
các thành phần thứ cấp của M.
Mệnh đề 1.2.2. i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó M = 0
khi và chỉ khi Att
R
M = ∅. Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên
tố tối thiểu của R chứa Ann(M) chính là tập các phần tử tối thiểu của
Att
R
M.
(ii) Cho 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0 là dãy khớp các R-môđun biểu
diễn được. Khi đó ta có
Att
R
M

⊆ Att
R
M ⊆ Att
R
M

∪ Att
R
M


.
Cho A là một R-môđun Artin. Khi đó, A là biểu diễn được. Hơn nữa,
theo Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.3, A có cấu trúc tự nhiên của R
m
j
-
môđun Artin và

R
m
j
-môđun Artin, với m
j
∈ Supp A, j = 1, . . . , r. Từ đó
ta có các kết quả sau (xem [16, Bổ đề 1.8, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7]).
Mệnh đề 1.2.3. Các mệnh đề sau là đúng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
(i) Att
R
m
j
A = {pR
m
j
: p ∈ Att
R
A}.
(ii) Att
R

m
j
A = {

q ∩R :

q ∈ Att

R
m
j
A}.
(iii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có
a) Nếu N là R-môđun Noether, thì Att
R
(D(N)) = Ass
R
(N).
b) Nếu A là R-môđun Artin, thì Ass
R
(D(A)) = Att
R
(A).
1.3 Chiều Noether và hệ tham số
Nhắc lại rằng một dãy các iđêan nguyên tố p
0
⊆ p
1
⊆ . . . ⊆ p
n

, trong
đó p
i
= p
i+1
được gọi là dãy nguyên tố có độ dài n. Khi đó chiều Krull của
vành R, ký hiệu là dim R là cận trên của độ dài của các dãy iđêan nguyên
tố trong R. Chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M là cận trên của
các số n sao cho có một dãy nguyên tố có độ dài n trong Supp M. Vì M
là môđun hữu hạn sinh nên ta có Supp M = V (Ann
R
M), do đó
dim M = dim R/ Ann
R
M = sup
p∈Ass M
dim(R/p).
Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho một môđun Artin được đưa ra
bởi R. N. Roberts [14] và sau đó D. Kirby [9] đổi tên thành chiều Noether
để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đã được định nghĩa cho các môđun
Noether. Các thuật ngữ về chiều Noether được dùng trong luận văn là
theo [9].
Định nghĩa 1.3.1. Chiều Noether của môđun Artin A, ký hiệu bởi N-dim
R
A,
được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
Khi A = 0, đặt N-dim
R
A = −1.
Với A = 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dim

R
A = d nếu
N-dim
R
A < d là sai và với mỗi dãy tăng A
0
⊆ A
1
⊆ . . . các môđun
con của A, tồn tại số nguyên n
0
sao cho N-dim
R
(A
n+1
/A
n
) < d, với mọi
n > n
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông
qua chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho
môđun Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull
cho môđun hữu hạn sinh đã được đưa ra (xem [5], [9], [14], ). Đặc biệt
là kết quả sau được R. N. Roberts [14, Định lý 6] chứng minh cho trường
hợp vành tựa địa phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh
Nhàn [4, Định lý 2.6] chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kỳ.

Định lý 1.3.2. 
R
(0 :
A
J
n
A
) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n  0 và
N-dim A = deg((0 :
A
J
n
A
))
= inf{t : ∃x
1
, . . . , x
t
∈ J
A
saocho (0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < ∞}.
Các kết quả sau đây (xem [5, Mệnh đề 2.4, Hệ quả 2.5, Định lý 3.1, Hệ
quả 3.6], [9, Mệnh đề 2.3] và [16, Hệ quả 1.6, Hệ quả 1.12]) thường được
dùng trong các chứng minh về sau của luận văn.

Bổ đề 1.3.3. i) Giả sử rằng A = A
1
⊕. . . ⊕A
r
là một phân tích A thành
tổng trực tiếp các môđun con A
j
như trong Kí hiệu 1.1.2. Khi đó,
N-dim
R
A
j
= N-dim
R
m
j
(A
j
), với mọi j = 1, . . . , r.
(ii) Cho (R, m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi đó A có
cấu trúc tự nhiên của

R-môđun Artin và ta có
N-dim
R
A = N-dim

R
A.
Chính vì vậy, ta có thể viết N-dim A thay cho N-dim

R
A hoặc N-dim

R
A.
Bổ đề 1.3.4. (i) N-dim A = 0 nếu và chỉ nếu A = 0 và 
R
(A) < ∞.
Trong trường hợp này Att
R
A = {m}. Hơn nữa, nếu
0 −→ A

−→ A −→ A” −→ 0
là dãy khớp các R-môđun Artin thì
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A”}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
(ii) N-dim A  dim R/ Ann
R
A = max{dim R/p : p ∈ Att
R

A} và tồn
tại môđun Artin A sao cho N-dim A < dim R/ Ann
R
A.
(iii) N-dim A = dim

R/ Ann

R
A = max{dim

R/

p :

p ∈ Att

R
A}.
(iv) Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh với
dim M = d. Khi đó ta có:
a) N-dim H
d
m
(M) = d.
b) N-dim H
i
m
(M)  i với mọi i  d − 1.
Định lý 1.3.2 cho phép ta đưa ra khái niệm hệ bội, số bội, hệ tham số

của một môđun Artin A (xem [4]). Nhắc lại rằng một hệ x
= (x
1
, . . . , x
t
)
các phần tử trong J
A
sao cho (0 :
A
xR) < ∞ được gọi là một hệ bội của
A. Trường hợp t = 0 thì ta hiểu 
R
(A) < ∞. Khi t = N-dim A = d thì hệ
x = (x
1
, . . . , x
d
) được gọi là hệ tham số của A. Một phần tử x ∈ J
A
được
gọi là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu N-dim(0 :
A
x) = N-dim A−1.
Bằng cách mở rộng chứng minh trong [19, Bổ đề 2.14] lên vành giao hoán,
chúng ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.3.5. Cho A = B
1
+ . . . + B
n

là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu
của A, với B
i
là p
i
-thứ cấp. Khi đó x ∈ J
A
là phần tử tham số của A nếu
và chỉ nếu x /∈ p
i
, với mọi p
i
sao cho N-dim B
i
= d, với mọi i  n.
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương và môđun
đồng điều địa phương
Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của
một môđun tuỳ ý.
Định nghĩa 1.4.1. Cho I là một iđêan của vành Noether R và M là một
R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I,
ký hiệu là H
i
I
(M) được định nghĩa bởi
H
i
I
(M) = R
i

(Γ
I
(M)),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
trong đó R
i
(Γ
I
(M)) là môđun dẫn suất phải thứ i của hàm tử I-xoắn
Γ
I
() ứng với M.
Cho 0 −→ L
f
−→ M
g
−→ N −→ 0 là một dãy khớp các R−môđun.
Khi đó, do tính chất δ-hàm tử đối đồng điều của môđun đối đồng điều địa
phương, với mọi i ∈ N ta có dãy khớp dài
0 −→ H
0
I
(L)
H
0
I
(f)
−→ H
0

I
(M)
H
0
I
(g)
−→ H
0
I
(N)
−→ H
1
I
(L)
H
1
I
(f)
−→ H
1
I
(M)
H
1
I
(g)
−→ H
1
I
(N) −→ . . .

−→ H
i
I
(L)
H
i
I
(f)
−→ H
i
I
(M)
H
i
I
(g)
−→ H
i
I
(N) −→ H
i+1
I
(L) −→ . . .
Định lý sau đây của Grothedieck là một kết quả đẹp đẽ về tính triệt
tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 1.4.2. [1, Định lý 6.1.2, Định lý 6.1.4] (i) Cho M là R-môđun.
Khi đó, H
i
I
(M) = 0, với mọi i > dim M.

(ii) Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh,
khác không và chiều Krull dim M = d. Khi đó H
d
m
(M) = 0.
Tiếp theo là tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 1.4.3. [1, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6] (i) Cho (R, m) là vành địa
phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, R-môđun H
i
m
(M) là Artin
với mọi i ∈ N
0
.
(ii) Cho (R, m) là vành địa phương, I là một iđêan bất kì của R, M là
R-môđun hữu hạn sinh, khác không có chiều Krull dim M = d. Khi đó,
R-môđun H
d
I
(M) là Artin.
Kết quả sau đây của Cường-Nhàn cho ta một cận trên của chiều Noether
của môđun đối đồng điều địa phương.
Mệnh đề 1.4.4. [5, Định lý 3.1, Định lý 3.5] (i) Cho t là một số nguyên
dương và I là một iđêan của R. Giả sử rằng các môđun đối đồng điều địa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
phương H
i
I
(M) là Artin, với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó với mọi i = 0, 1, . . . , t

ta có
N-dim
R
(H
i
I
(M))  i.
(ii) Cho M là môđun hữu hạn sinh với dim M = d và I là iđêan của R
sao cho môđun Artin H
d
I
(M) là khác 0. Khi đó
N-dim
R
(H
d
I
(M)) = d
và do đó, H
d
I
(M) không là hữu hạn sinh nếu d > 0.
Mệnh đề 1.4.5. Cho (R, m) là vành địa phương, M hữu hạn sinh với
chiều dim M = d. Khi đó
Att
R
(H
d
m
(M)) = {p ∈ Ass

R
M | dim R/p = d}.
Tiếp theo là khái niệm và một số tính chất của môđun đồng điều địa
phương được đưa ra bởi Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam [3].
Định nghĩa 1.4.6. [3, Định nghĩa 3.1] Cho I là một iđêan của vành
Noether R và M là một R-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ i
H
I
i
(M) của M ứng với iđêan I được định nghĩa bởi
H
I
i
(M) = lim
←−
t
Tor
R
i
(R/I
t
; M).
Các tính chất sau trong [3, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.6] thường được
dùng trong các chứng minh về sau của luận văn.
Mệnh đề 1.4.7. Cho

R là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic. Khi đó
(i) H
m
i

(A) là

R-môđun Noether, với mọi i.
(ii) H
I
i
(A)
∼
=
D(H
i
I
(D(A))), trong đó D() là hàm tử đối ngẫu Matlis.
Một trong những kết quả đẹp đẽ của lý thuyết đối đồng điều địa phương
là tính chất triệt tiêu của các môđun đối đồng điều địa phương. Như đã
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
nhắc ở tiết trước, chiều Noether là một khái niệm được dùng để đi đến các
khái niệm hệ tham số, số bội cho môđun Artin. Ở đây, khái niệm chiều
Noether một lần nữa lại được sử dụng để chứng minh tính triệt tiêu của
môđun đồng điều địa phương như sau.
Mệnh đề 1.4.8. [3, Mệnh đề 4.8] H
I
i
(A) = 0, với mọi i > N-dim A.
1.5 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay
Khái niệm dãy đối chính quy cho một môđun tuỳ ý được nghiên cứu
bởi A. Ooishi [13], ở đó ông đã đưa ra một số tính chất cơ bản của dãy đối
chính quy khi môđun là Artin. Các khái niệm và tính chất này theo một
nghĩa nào đó đối ngẫu với các khái niệm và tính chất của dãy chính quy

cho môđun hữu hạn sinh trên vành Noether.
Định nghĩa 1.5.1. Cho M là một R-môđun tuỳ ý. Một dãy các phần tử
x
1
, . . . , x
r
trong R được gọi là dãy đối chính quy của M (hay M-dãy đối
chính quy) nếu thoả mãn các điều kiện sau.
(i) (0 :
M
(x
1
, . . . , x
r
)R) = 0.
(ii) x
i
(0 :
M
(x
1
, . . . , x
i−1
)R) = (0 :
M
(x
1
, . . . , x
i−1
)R), với 1  i  r.

Đặc biệt, phần tử x ∈ R gọi là phần tử M-đối chính quy nếu xM = M.
Chú ý rằng, đối với môđun Artin A khác không trên vành giao hoán R,
nếu các phần tử x
1
, . . . , x
n
∈ J
A
, thì điều kiện (0 :
A
(x
1
, . . . , x
r
)R) = 0
trong Định nghĩa 1.5.1 luôn được thoả mãn.
Cho A là R-môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho (0 :
A
I) = 0.
Khi đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy
đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài. Vì thế ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.5.2. Độ rộng của A trong I, ký hiệu là Width
I
A, là độ
dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I. Đặc biệt, nếu I = m thì
ta gọi Width
m
A là độ rộng của A trong m và ký hiệu là Width A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17

Mệnh đề 1.5.3. (xem [19, Mệnh đề 1.12]).
(i) Width
I
(A) = inf{n : Tor
R
n
(A; R/I) = 0}.
(ii) Nếu x ∈ J
A
là phần tử A-đối chính quy thì
N-dim(0 :
A
xR) = N-dim A −1.
Do đó, mỗi A-dãy đối chính quy là một phần hệ tham số của A và vì thế
Width
J
A
(A)  N-dim A.
Khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay được giới thiệu bởi [19, Định
nghĩa 2.12] trên vành tựa địa phương như sau.
Định nghĩa 1.5.4. Cho (R, m) là vành tựa địa phương. Một R-môđun
Artin A được gọi là môđun đối Cohen-Macaulay nếu
Width A = N-dim A.
Lớp môđun này cũng có những đặc trưng qua dãy đối chính quy, số bội,
đồng điều địa phương (xem [3, Mệnh đề 4.8], [4, Hệ quả 5.6], [19, Mệnh
đề 2.15]).
Định lý 1.5.5. Cho A là một môđun Artin trên vành địa phương (R, m).
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay.
(ii) Tồn tại một hệ tham số của A là A-dãy đối chính quy.

(iii) Tồn tại một hệ tham số của A sao cho e(x; A) = (0 :
A
xR).
(iv) H
m
i
(A) = 0, với mọi i = N-dim A.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Chương 2
Môđun Cohen-Macaulay dãy
Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu (R, m) là vành địa phương
Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Mục
đích của chương này là giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay dãy
và một số tính chất của lớp môđun này. Kết quả chính của chương là đưa
ra đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay dãy qua đối đồng điều địa
phương.
2.1 Môđun Cohen-Macaulay
Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng và chúng đã được
biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của
Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 2.1.1. Một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđun
Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M.
Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay thông qua
chiều, dãy chính quy và địa phương hoá.
Mệnh đề 2.1.2. Cho M là môđun Cohen-Macaulay trên vành địa phương
(R, m), với dim M = d. Khi đó
(i) dim(R/p) = dim M với mọi p ∈ Ass
R
M

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
(ii) Nếu (x
1
, . . . , x
t
) là một dãy chính quy của M thì M là Cohen-
Macaulay nếu và chỉ nếu M
t
= M/(x
1
, . . . , x
t
)M cũng là Cohen-Macaulay.
(iii) M
p
là Cohen-Macaulay, với mọi p ∈ Supp
R
M.
Tiếp theo là đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay qua hệ tham số và
đối đồng điều địa phương.
Định lý 2.1.3. Cho M là R-môđun, với dim M = d. Khi đó các mệnh đề
sau tương đương:
(i) M là R-môđun Cohen-Macaulay.
(ii) Mọi hệ tham số của M đều là dãy chính quy.
(iii) H
i
m
(M) = 0 với mọi i = d.
2.2 Môđun Cohen-Macaulay dãy

Môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầu tiên bởi R. P. Stanley
[18, Định nghĩa 2.9] cho các môđun phân bậc hữu hạn sinh. Sau đó, khái
niệm này được giới thiệu cho trường hợp môđun trên vành địa phương.
Các kết quả trong tiết này được trích từ [6] và [15].
Định nghĩa 2.2.1.
(i) Một lọc 0 = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t
= M các môđun con của M được
gọi là lọc chiều của M nếu M
i−1
là môđun con lớn nhất của M
i
và có chiều
nhỏ hơn thực sự dim M
i
với mọi i = 1, . . . , t.
(ii) Một lọc 0 = N
0
⊂ N
1
⊂ . . . ⊂ N
t
= M các môđun con của M được
gọi là một lọc Cohen-Macaulay nếu
(a) Mỗi thương N
i

/N
i−1
là Cohen-Macaulay.
(b) dim(N
1
/N
0
) < dim(N
2
/N
1
) < . . . < dim(N
t
/N
t−1
).
Định nghĩa 2.2.2. Ta nói M là một môđun Cohen-Macaulay dãy nếu
tồn tại một lọc Cohen-Macaulay của M.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Bổ đề sau cho thấy lọc chiều luôn tồn tại và ta có thể tính toán các
môđun con trong lọc chiều thông qua phân tích nguyên sơ của môđun con
0 của M.
Bổ đề 2.2.3. [6, Bổ đề 4.4] Những khẳng định sau là đúng.
(i) Lọc chiều luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa, giả sử M có một lọc
chiều 0 = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M

t
= M, với dim M
i
= d
i
. Khi đó
M
i
=

dim R/p
j
>d
i
N
j
,
với mọi i = 1, . . . , t − 1, trong đó 0 =
n

j=1
N
j
là một phân tích nguyên sơ
của 0 trong M với N
j
là p
j
-nguyên sơ với j = 1, . . . , n.
(ii) Giả sử M có một lọc Cohen-Macaulay. Khi đó nó là duy nhất và

trong trường hợp này, nó chính là lọc chiều của M.
Chứng minh. (i) Đặt M
0
= 0. Kí hiệu Ω là tập tất cả các môđun con của
M có chiều nhỏ hơn dim M = d. Khi đó Ω = ∅ vì 0 = M
0
⊂ M. Vì M là
Noether nên Ω có phần tử cực đại, chẳng hạn là M
t−1
. Ta chứng minh M
t−1
là môđun con lớn nhất trong Ω. Thật vậy, giả sử N là một phần tử tuỳ ý
của Ω, khi đó dim N < d. Từ dãy khớp 0 −→ M
t−1
∩N −→ M
t−1
⊕N ta
có dim(M
t−1
∩N)  dim(M
t−1
⊕N) < dim M = d. Do đó, M
t−1
∩N ∈ Ω.
Vì M
t−1
là phần tử cực đại nên N ⊆ M
t−1
. Khi đó M
t−1

là môđun con lớn
nhất trong Ω. Tương tự như vậy, ta tìm được M
t−2
là môđun con lớn nhất
của M
t−1
có tính chất dim M
t−2
< dim M
t−1
. Tiếp tục quá trình trên, ta
tìm được M
2
, M
1
. Vậy lọc chiều của M luôn tồn tại và duy nhất.
Mặt khác, đặt a
i
=

p∈Ass M,dim R/pd
i
p. Khi đó, theo [15]
M
i
= H
0
a
i
(M) = Γ

M
(a
i
) =

n≥0
(0 :
M
a
i
n
) =

dim R/p
j
>d
i
N
j
với mọi i = 1, . . . , t −1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
(ii) Giả sử 0 = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M

t
= M là lọc chiều của M và

0 = N
0
⊂ N
1
⊂ . . . ⊂ N
t
= M là lọc Cohen-Macaulay của M. Khi đó
dim(N
1
/N
0
) < dim(N
2
/N
1
) < . . . < dim(N
t
/N
t−1
).
Do có dãy khớp ngắn 0 −→ N
0
−→ N
1
−→ N
1
/N
0
−→ 0 nên ta có
dim N

1
= max{dim N
0
, dim N
1
/N
0
}, vì N
0
= 0 nên dim N
0
= −1, suy ra
dim N
1
= dim N
1
/N
0
. Tương tự, từ dãy khớp ngắn
0 −→ N
1
−→ N
2
−→ N
2
/N
1
−→ 0
ta có dim N
2

= max{dim N
1
, dim N
2
/N
1
}, từ chứng minh trên ta có
dim N
1
= dim N
1
/N
0
< dim N
2
/N
1
do đó dim N
2
= dim N
2
/N
1
. Vậy
dim N
1
< dim N
2
. Tiếp tục quá trình trên ta được dim N
i−1

< dim N
i
, với
mọi i = 1 . . . , t. Từ định nghĩa lọc chiều, ta có M
t

−1
là môđun con lớn nhất
của M sao cho dim M
t

−1
< dim M = d do đó M
t

−1
⊇ N
t−1
. Vì M/N
t−1
là Cohen-Macaulay, do đó các môđun con của M/N
t−1
hoặc bằng không
hoặc có chiều d. Mà M
t

−1
/N
t−1
⊆ M/N

t−1
và dim(M
t

−1
/N
t−1
) < d,
do đó M
t

−1
/N
t−1
= 0 tức là M
t

−1
= N
t−1
. Chứng minh tương tự ta
được M
t

−2
= N
t−2
, M
t


−3
= N
t−3
, . . Do đó t = t

và M
i
= N
i
với mọi
i = 0, . . . , t.
Sau đây là một số ví dụ về môđun Cohen-Macaulay dãy.
Ví dụ 2.2.4. (i) Mọi môđun Cohen-Macaulay đều là môđun Cohen-Macaulay
dãy với lọc Cohen-Macaulay là 0 = M
0
⊂ M
1
= M.
(ii) Mọi môđun M có chiều 1 đều là môđun Cohen-Macaulay dãy.
Chứng minh. (ii) Ta có 0 = M
0
⊂ M
1
= H
0
m
(M) ⊂ M
2
= M là lọc
Cohen-Macaulay của M. Thật vậy, vì H

0
m
(M) là môđun có độ dài hữu hạn
nên dim M
1
= dim H
0
m
(M) = 0, vì vậy ta có
−1 = dim M
0
< dim M
1
= 0 < dim M
2
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Hơn nữa, M
1
/M
0
= H
0
m
(M) luôn là Cohen-Macaulay. Ta chỉ cần chứng
minh M = M/H
0
m
(M) là Cohen-Macaulay. Thật vậy, từ dãy khớp

0 −→ H
0
m
(M) −→ M −→ M/H
0
m
(M)
và dim H
0
m
(M) = 0, ta có dim M = dim M/H
0
m
(M) = 1. Mặt khác
H
0
m
(M) = H
0
m
(M/H
0
m
(M)) =

n≥0
(0 :
M/H
0
m

(M)
m
n
) = 0,
do đó 0 < depth M  dim M. Suy ra depth M = 1. Vậy ta chứng
minh được depth M = dim M, nghĩa là M là Cohen-Macaulay. Vậy M là
Cohen-Macaulay dãy.
Nhắc lại rằng với mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương
(R, m) và iđêan q của R sao cho 
R
(M/qM) < ∞, hàm độ dài 
R
(M/q
n+1
M)
luôn là đa thức theo n và có bậc dim M với hệ số hữu tỷ khi n  0. Ta
có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng

R
(M/q
n+1
M) =
e(q; M)
d!
n
d
+ đa thức có bậc nhỏ hơn d,
khi n  0, trong đó e(q; M) là số nguyên dương. Đa thức trên được gọi
là đa thức Hilbert - Samuel và e(q; M) được gọi là số bội của M ứng với
iđêan q. Một số tính chất sau của số bội cho môđun Noether được đưa ra

nhằm phục vụ cho việc chứng minh mệnh đề tiếp theo.
Bổ đề 2.2.5. Cho x = (x
1
, . . . , x
t
) là một hệ bội của M và n
1
, . . . , n
t
là
các số nguyên dương. Đặt x(n) = (x
n
1
1
, . . . , x
n
t
t
). Khi đó ta có các tính chất
sau.
(i) e(x(n); M) = n
1
. . . n
t
e(x; M).
(ii) Cho dãy khớp các R-môđun Noether 0 −→ M

−→ M −→ M

−→ 0.

Khi đó x là một hệ bội của M nếu và chỉ nếu x là một hệ bội của M

và
M

và ta có e(x; M) = e(x; M

) + e(x; M

).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
(iii) Ta luôn có 0  e(x; M)  (M/xM). Hơn nữa e(x; M) > 0 nếu và
chỉ nếu t = d = dim M.
Sau đây là một lớp ví dụ khác về môđun Cohen-Macaulay dãy.
Mệnh đề 2.2.6. Tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun Cohen-Macaulay
dãy là Cohen-Macaulay dãy.
Chứng minh. Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh khẳng định đúng với
tổng trực tiếp của hai môđun Cohen-Macaulay dãy. Giả sử dim M = d và
M = M

⊕M

, trong đó M

và M

là các môđun Cohen-Macaulay dãy.
Ta chứng minh M là môđun Cohen-Macaulay dãy bằng quy nạp theo d.
Với d = 0, khẳng định đúng. Với d = 1, theo Ví dụ 2.2.4 (ii), khẳng định

đúng.
Với d > 1. Kí hiệu N, N

và N

tương ứng là các môđun con lớn
nhất của M, M

và M

có chiều nhỏ hơn thực sự d. Khi đó M

/N

và
M

/N

bằng không hoặc là Cohen-Macaulay. Trước tiên ta cần chứng
minh N = N

⊕N

. Thật vậy, nếu dim N

⊕N

< d, ta có N ⊇ N


⊕N

.
Cho a ∈ N. Khi đó a = b + c, trong đó b ∈ M

và c ∈ M

. Nếu
dim Rb = d thì tồn tại p ∈ Ass M

sao cho dim R/p = d và p = Ann(rb)
với mỗi r ∈ R. Ta có p ⊇ Ann(ra) và do đó dim Ra  dim R/p = d. Điều
này dẫn đến mâu thuẫn, vì a ∈ N. Vậy dim Rb < d. Tương tự dim Rc < d.
Khi dó Rb ⊕ Rc ⊆ N

⊕ N

. Do đó a ∈ N

⊕ N

tức là N ⊆ N

⊕ N

.
Vậy N = N

⊕ N


Tiếp theo, ta chứng minh M/N là Cohen-Macaulay. Cho x là một hệ
tham số của M, vì dim N < d, dim N

< d, dim N

< d, theo Bổ đề 2.2.5
ta có
e(x; M/N) = e(x; M) = e(x; M

)+e(x; M

) = e(x; M

/N

)+e(x; M

/N

).
Ta có dãy khớp
0 −→ ker f −→
M

⊕ M

(xM

⊕ xM


) + N
f
−→
M

/N

x(M

/N

)
−→ 0,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
trong đó f(b + c) = c + N

, với mọi b ∈ M

, c ∈ M

. Do đó
(
M

⊕ M

(xM

⊕ xM


) + N
)  (
M

/N

x(M

/N

)
) + (ker f).
Rõ ràng rằng ker f = (M

⊕(xM

+ N

))/((xM

⊕xM

) + N). Hơn nữa,
ta có toàn ánh
p : (M

/N

)/x(M


/N

) −→ (M

⊕ (xM

+ N

))/((xM

⊕ xM

) + N)
cho bởi p(b + N

) = b + 0, với mọi b ∈ M

. Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5 ta có
((M/N)/x(M/N)) = ((M

⊕ M

)/((xM

⊕ xM

) + N)))
 ((M


/N

)/x(M

/N

)) + ((M

/N

)/x(M

/N

))
= e(x; M

/N

) + e(x; M

/N

)
= e(x; M/N).
Vậy M/N là Cohen-Macaulay. Do N = N

⊕N

, và N


, N

là các môđun
Cohen-Macaulay dãy cộng với dim N < d, nên áp dụng giả thiết quy nạp
cho N, ta có N là Cohen-Macaulay dãy. Vì vậy M là Cohen-Macaulay
dãy.
Tiếp theo là tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy khi chuyển qua
địa phương hoá.
Mệnh đề 2.2.7. Nếu M là Cohen-Macaulay dãy thì M
p
cũng là Cohen-
Macaulay dãy với mọi p ∈ Supp M.
Chứng minh. Cho 0 = M
0
⊂ M
1
⊂ . . . ⊂ M
t−1
⊂ M
t
= M là lọc chiều
của M. Vì M là Cohen-Macaulay dãy, theo Bổ đề 2.2.3 (ii) ta có M
i
/M
i−1
là Cohen-Macaulay với mọi i = 1, . . . , t. Ta cần chứng minh
0 = M
0
⊂ (M

1
)
p
⊂ . . . ⊂ (M
t−1
)
p
⊂ (M
t
)
p
= M
p
(∗)
là lọc Cohen-Macaulay với mọi p ∈ Supp M, nghĩa là hoặc (M
i
)
p
/(M
i−1
)
p
bằng không hay (M
i
)
p
= (M
i−1
)
p

, hoặc dim(M
i−1
)
p
< dim(M
i
)
p
. Không
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên