Trêng ®¹i häc
Kinh doanh vµ c«ng nghÖ hµ néi
********

Phan ®øc ch©u





To¸n
tµi chÝnh














Hµ néi -2009

3
Lời nói đầu

Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải
quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng. Toán Tài chính xây dựng một cách có
hệ thống các công thức, phơng trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài
chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, t bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thơng phiếu,
Toán tài chính cũng còn đợc áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án
đầu t, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh toán các khoản
nợ thông thờng, nợ trái phiếu, đặc biệt đợc áp dụng trên thị trờng chứng khoán.
Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng,
Quản trị kinh doanh.
Cuốn sách này bớc đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính. Có một
số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn cha đợc áp dụng trong các ngân hàng ở
Việt Nam, nhng trong tơng lai không xa, sẽ đợc dùng phổ biến theo tập quán của các
ngân hàng trên thế giới.
Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị trờng chứng khoán cha đợc đề
cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài
chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này.
Cuốn sách này đợc dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và
sinh viên trờng Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Hy vọng cuốn sách đáp ứng
đợc yêu cầu đào tạo của Nhà trờng.
Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính. Đó là các bảng cho sẵn các giá trị
với 6 hoc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thờng dùng trong Toán tài chính, giúp cho
việc tính toán dễ dàng hơn.
Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự
đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc.

Ngời biên soạn

4
Mục lục


Chơng I. Lãi đơn 9
Đ1. Đại cơng 9
1. Định nghĩa 9
2. Lãi đơn 9
3. Giá trị thu đợc 10
4. Lãi suất trung bình 10
5. Lãi suất hiệu dụng 11
Đ2. Phơng pháp thực hành tính lãi đơn 11
1. Phơng pháp số và ớc số cố định 11
2. Trờng hợp năm dân sự 12

Chơng II. Chiết khấu theo lãi đơn 14
Đ1. Chiết khấu 14
1. Thơng phiếu 14
2. Chiết khấu 14
3. Chiết khấu thơng mại theo lãi đơn 14
4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15
5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thơng mại và chiết khấu hợp lý 16
Đ2. Thực hành chiết khấu 17
1. Chi phí chiết khấu (agio) 17
2. Giá trị ròng của thơng phiếu 18
3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18
Đ3. Sự tơng đơng của các thơng phiếu theo lãi đơn 20
1. Các định nghĩa 20
2. Định lý về sự tơng đơng 21

5
Đ4. Một số bài toán ứng dụng 23
1. Bài toán về thời hạn trả chung 23
2. Bài toán về thời hạn trả trung bình 23


Chơng III. Lãi gộp 25
Đ1. Đại cơng 25
Đ2. Công thức tính lãi gộp 25
1. Giá trị thu đợc 25
2. áp dụng 25
3. Trờng hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26
4. Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tơng đơng 29
Đ
3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30
1. Hiện tại hoá 30
2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30
3. Chiết khấu theo lãi gộp 31
Đ4. Sự tơng đơng của các thơng phiếu theo lãi gộp 32
1. Định nghĩa 32
2. Định lý cơ bản về sự tơng đơng của các thơng phiếu 33
3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34
4. Các ví dụ áp dụng 34
Đ5. So sánh các loại chiết khấu 37
1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp 37
2. So sánh E
c
và E
r
37
3. So sánh E
c
và e 37
4. So sánh E
r

và e 38
5. Tóm tắt 38


6
Đ 6. T bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38
1. T bản hoá liên tục 38
2. Hiện tại hoá liên tục 39

Chơng IV. Dãy niên kim 40
Đ1. Đại cơng 40
1. Định nghĩa 40
2. Các loại dãy niên kim 40
Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40
1. Số tiền thu đợc của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40
2. Các ví dụ áp dụng 41
3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44
Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45
1. Số tiền thu đợc 45
2. Giá trị hiện tại 45
Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46
1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46
2. Thời hạn trả trung bình 47
3. Sự tơng đơng của các dãy niên kim 48
Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 48
1. Tổng quát 48
2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49
3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49

Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu t 51

1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu t: NPV và IRR 51
2. Ví dụ 53

7
Chơng V. Thanh toán nợ thông thờng 55
Đ1. Đại cơng 55
1. Phơng thức vay vốn 55
2. Phơng thức và công thức thanh toán nợ thông thờng 55
3. Bảng thanh toán nợ 56
Đ2. Thanh toán nợ thông thờng 56
1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56
2. Các quy tắc cơ bản 58
3. Ví dụ 60
4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a
k
= a = const) 61
5. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m
k
= m = const) 63

Đ3. Một vài phơng thức thanh toán đặc biệt 64
1. Vay nợ với tiền lãi trả trớc 64
2. Thanh toán nợ gốc một lần 66

Chơng VI . Thanh toán nợ trái phiếu 67
Đ1. Đại cơng 67
Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67
1. Cơ sở dữ liệu 67
2. Các công thức 68
3. Một số trờng hợp thanh toán đặc biệt 70

4. Bảng thanh toán nợ 71
5. Tình hình thanh toán trái phiếu 73
Đ3. Một số đặc trng về thời hạn của trái phiếu 74
1. Median của trái phiếu 74
2. Thời hạn trung bình của trái phiếu 75

8
Đ4. Lãi suất đầu t và lãi suất giá thành 76
1. Khái niệm 76
2. Trờng hợp niên kim cố định 77
3. Trờng hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77
4. Ví dụ 78
5. Lãi suất đầu t của ngời mua trái phiếu 79


Chơng VII. Định giá các khoản nợ 81
Đ1. Định giá khoản nợ thông thờng 81
1. Định giá 81
2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81
3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82
4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền
sở hữu danh nghĩa đơn vị 82
5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trờng hợp đặc biệt 84
Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu 87
1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87
2. Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89
3. Các ví dụ 89

Bài tập 92


9
Chơng I
Lãi đơn

Đ1. Đại cơng

1. Định nghĩa
Tiền lãi là số tiền mà ngời đi vay phải trả thêm cho ngời cho vay, sau một khoảng thời
gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu. Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu.
Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g.
đang xét và số tiền đi vay. Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một
đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay. Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thờng
đợc tính bằng %.
Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị đợc xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt
đầu tính lãi.
Giá trị thu đợc (Số tiền thu đợc) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá
trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm
đang xét (thời hạn cho vay).

2. Lãi đơn
Lãi đơn là tiền lãi đợc tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất
cố định. Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay.
Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi
suất một năm. Khi đó
I = C.i.a
Thông thờng, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9).
Khi đó
100
C.t.a
I

(1)
Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có
1200
C.t.m
I
(2)
Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có
36000
C.t.n
I
(3)


10
3. Giá trị thu đợc
Gọi C là giá trị (số tiền) thu đợc của khoản vốn ban đầu C
sau n ngày, ta có
36000
C.t.n
CICC'
(4a)
sau m tháng, ta có C = C + I = C +
C.t.m
1200
(4b)
sau a năm, ta có C = C + I = C +
C.t.a
100
(4c)
Ví dụ:

Một khoản vốn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10. Tính số tiền thu đợc vào ngày
31/12, biết lãi suất là 9% năm.
Giải:
Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. Số tiền thu đợc tính theo công thức (4a) là

100.000.000x9x91
C' 100.000.000 102.275.000
36000

đ

4. Lãi suất trung bình
Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác
nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi.
Giả sử có p khoản vốn C
i
cho vay với là lãi suất t
i
và thời hạn cho vay n
i
tơng ứng. Gọi
T là lãi suất trung bình, ta có:




p
1i
iii
p

1i
ii
36000
.n.tC
36000
.T.nC

Từ đó, ta tìm đợc





p
1i
ii
p
1i
iii
nC
ntC
T
(5)
Ví dụ:
Một ngời cho vay 3 khoản vốn nh sau
Vốn Lãi suất Thời hạn cho vay
3800 USD 7,5% Từ 25/5 đến 15/7
6420USD 8,2% Từ 25/5 đến 31/7
780 USD 8,5% Từ 25/5 đến 31/8
Tính lãi suất trung bình.




11
Giải:
Tơng ứng với 3 khoản vốn trên, thời hạn cho vay là 51, 67, 98 ngày. Lãi suất trung bình
tính theo công thức (5) là
(3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98)
T 8,04
(3800x51) (6420x67) (780x98)




Lãi suất trung bình là 8,04%

5. Lãi suất hiệu dụng
Trờng hợp ngời cho vay đợc trả lãi trớc, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng
sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận.
Với số vốn C sau n ngày, ngời cho vay thu đợc một khoản lãi I. Do I đợc trả trớc,
nên thực tế vào thời điểm 0, ngời đó chỉ cho vay khoản tiền là (C-I). Số vốn (C-I) ban
đầu đã tạo nên số tiền lãi I. Gọi t là lãi suất hiệu dụng, khi đó:
36000
C.t.n
I
36000
I).t'.n(C




Từ đó suy ra
t
I
C
C
t'


(6)
Ta thấy ngay t> t.
Ví dụ:
Một ngời cho vay 20.000 USD trả lãi trớc với lãi suất thoả thuận 9%. Thời hạn cho
vay là 20 tháng. Tính lãi suất hiệu dụng.
Giải:
Số tiền lãi thu đợc
I =
3000
1200
20000x9x20
1200
C.t.m

(USD)
Vậy lãi suất hiệu dụng là:
10,589x
3000
20000
20000
t'




Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58%


Đ2. Phơng pháp thực hành tính lãi đơn

1. Phơng pháp số và ớc số cố định
Trong công thức
I =
36000
Ctn


12
ta chia cả tử và mẫu cho t và đợc
I =
t
36000
Cn

Kí hiệu N = Cn và D =
t
36000
, ta sẽ có
I =
D
N
(7)
Đại lợng N đợc gọi là số. Đại lợng D đợc gọi là ớc số cố định. Giá trị D sẽ ổn định

khi lãi suất cha thay đổi và đợc dùng chung cho các trờng hợp vốn và thời hạn khác
nhau.
Phơng pháp tính I qua công thức (7) gọi là phơng pháp số và ớc số cố định
Ví dụ:
Sử dụng phơng pháp số và ớc số cố định, tìm tổng lãi do đầu t các nguồn vốn sau với
lãi suất 9%:
5500 euro từ 1/3 đến 31/7
2625 euro từ 1/3 đến 31/8
870 euro từ 1/3 đến 30/9
Giải:
Thời hạn đầu t từng nguồn vốn lần lợt là n
1
= 152, n
2
= 183, n
3
= 213 (ngày)
Ước số cố định D =
4000
9
36000


Tổng lãi thu đợc:
euro97,216x213)50052625x183(5500x52
4000
1
)nCnCn(C
D
1

)NN(N
D
1
IIII
332211321321




2. Trờng hợp năm dân sự
Một năm dân sự có 365 ngày. Do đó khi sử dụng công thức tính lãi thơng mại (một
năm có 360 ngày) để tính lãi trong trờng hợp năm dân sự ta phải điều chỉnh nh sau:
Đặt D =
t
36500
thì số tiền lãi dân sự là I =
D'
N

Ví dụ:
Sự chênh lệch giữa lãi thơng mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu t với lãi suất
9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng. Tìm nguồn vốn C.


13
Gi¶i:
Tõ
1,14
36500
Cx9,5x72

36000
Cx9,5x72


ta cã
1,14
0
36000x3650
36000)36500Cx9,5x72x(



vµ t×m ®îc nguån vèn
C=
4.380
9,5x72x500
0x1,1436000x3650

triÖu ®ång







14
Chơng II
Chiết khấu theo lãi đơn



Đ1. Chiết khấu

1. Thơng phiếu
Thơng phiếu là chứng từ biểu thị một quan hệ tín dụng, một nghĩa vụ trả tiền, đợc lập
ra trên cơ sở các giao dịch thơng mại.
Thông thờng, thơng phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu.
Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một ngời (ngời ký phát) gửi cho một
ngời khác (ngời bị ký phát) để yêu cầu ngời này phải trả, vào một ngày xác định, số
tiền ghi trên hối phiếu cho chính ngời ký phát hoặc cho một ngời xác định (ngời
đợc hởng)
Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một ngời lập và ký tên, gửi cho một
ngời khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản tiền cho ngời đó
hoặc cho ngời đợc hởng.
Số tiền ghi trên thơng phiếu đợc gọi là mệnh giá của thơng phiếu.
Ngày mà ngời bị ký phát phải trả tiền đợc gọi là ngày đáo hạn của thơng phiếu.
Một thơng phiếu có thể đợc chuyển nhợng dễ dàng.

2. Chiết khấu
Khi cha đến ngày đáo hạn, ngời đợc hởng đem thơng phiếu đến ngân hàng yêu
cầu chiết khấu. Chiết khấu thơng phiếu là một nghiệp vụ tài chính thực hiện bằng việc
bán lại thơng phiếu cha đến hạn cho ngân hàng: ngân hàng trả một số tiền ghi trên
thơng phiếu sau khi đã trừ bớt một khoản tiền.
Khoản tiền bị trừ bớt đợc gọi là tiền chiết khấu.
Giá trị hiện tại của thơng phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu.
Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có
V = C - E (1)

3. Chiết khấu thơng mại theo lãi đơn
Số tiền chiết khấu thơng mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thơng phiếu,

thờng đợc kí hiệu là E
c.

15
Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu đợc gọi là ngày thỏa thuận. Gọi t là lãi suất chiết
khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn. Số tiền chiết
khấu thơng mại E
c
đợc tính nh công thức lãi đơn:
D
Cn
36000
Ctn
E
c

(2)
Khi đó giá trị hiện tại thơng mại sẽ là
V
c
= C - E
c
.
Vậy
36000
tn)C(36000
36000
Ctn
CV
c



(3)
hay
D
n)C(D
D
Cn
CV
c


(3)
Ví dụ:
Giá trị hiện tại thơng mại vào ngày 25/8 của một thơng phiếu chiết khấu với lãi suất
9% là 7.868 USD. Nếu thơng phiếu này đợc chiết khấu 30 ngày trớc ngày đáo hạn,
thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8. Tìm mệnh
giá và ngày đáo hạn của thơng phiếu.
Giải:
Khi chiết khấu 30 ngày trớc ngày đáo hạn, số tiền chiết khấu ít hơn 72 USD hay giá trị
hiện tại sẽ lớn hơn 72 USD so với giá trị hiện tại vào ngày 25/8.
Vậy giá trị hiện tại vào ngày đó là
7.868 + 72 = 7.940 (USD)
Theo công thức (3) ta có:
36000
9x30)C(36000
7940




suy ra
C = 8.000 (USD)
Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có
36000
8000x9xn
78688000
hay n = 66 (ngày)
Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8. Đó là ngày 30/10

4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn
Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thơng phiếu,
thờng đợc ký hiệu là E
r
. Giá trị hiện tại (hợp lý) đợc ký hiệu V
r



16
Vậy
E
r
=
D
nV
r

Từ
D
n)(DV

D
nV
VEVC
rr
rrr


, ta tìm đợc
V
r
= C
n
D
D

(4)
Mặt khác
E
r
= C - V
r
= C -
n
D
Cn
n
D
CD





ta có
n
D
N
n
D
Cn
E
r




(5)
Ví dụ:
Một thơng phiếu có mệnh giá 1.260 euro đợc chiết khấu 45 ngày trớc ngày đáo hạn
(thờng gọi: có thời hạn 45 ngày). Giả sử lãi suất chiết khấu là 6%, tìm
số tiền chiết khấu thơng mại và hợp lý,
giá trị hiện tại thơng mại và hợp lý của thơng phiếu.
Giải:
Ước số cố định D =
6000
6
36000


Chiết khấu thơng mại: E
c

=
(euro)9,45
6000
1260x45
D
Cn


Chiết khấu hợp lý: E
r
=
(euro)9,38
45

6000
45 x 1260
n
D
Cn





Giá trị hiện tại thơng mại: V
c
= C - E
c
= 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro)
Giá trị hiện tại hợp lý: V

r
= C - E
r
= 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro)

5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thơng mại và chiết khấu hợp lý
a) So sánh:
Từ E
c
=
D
N
và
r
N
E
D n


, ta có E
c
E
r

Chiết khấu thơng mại luôn luôn lớn hơn chiết khấu hợp lý.


17
Chú thích:
Khi tính theo lãi đơn, đại bộ phận các Ngân hàng sử dụng chiết khấu thơng mại, vì điều

đó có lợi cho Ngân hàng.
b) Chênh lệch:
Ta tính E
c
- E
r
n)D(D
Nn
nD
N
D
N
E - E
r
c





Vậy E
c
- E
r
=
D
nE
D
n
nD

N
r








(6)
hay E
c
- E
r
=
n
D
nE
n
D
n
D
N
c










(7)
Sự chênh lệch giữa chiết khấu thơng mại và chiết khấu hợp lý bằng chiết khấu thơng
mại của chiết khấu hợp lý, hoặc bằng chiết khấu hợp lý của chiết khấu thơng mại
c) Tỉ số
Ta tính
D
nD
n
D
N
D
N
E
E
r
c



(8)
d) Quan hệ giữa C, E
c
và E
r
Ta xét
Cn

n
N
n
N
D
N
nD
E
1
E
1
cr




Vậy
C
1
E
1
E
1
cr

(9)


Đ2. Thực hành chiết khấu


1. Chi phí chiết khấu (agio)
Khi một thơng phiếu đợc đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết
khấu, mà còn các khoản tiền khác, nh các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các
hoạt động tài chính. Tất cả các khoản tiền đó đợc gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio).
Nh vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau:
Tiền chiết khấu
Các loại hoa hồng

18
Thuế đánh vào các hoạt động tài chính
Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng. Chúng đợc phân thành các loại sau:
Tiền hoa hồng đợc tính tỉ lệ thuận theo thời hạn. Công thức tính các loại
hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhợng) tơng tự nh tính chiết
khấu nhng với lãi suất khác,
Tiền hoa hồng đợc tính không phụ thuộc vào thời hạn,
Tiền hoa hồng cố định. Đó là các lệ phí tính theo từng thơng phiếu nh lệ
phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấp
thuận chiết khấu,

2. Giá trị ròng của thơng phiếu
Giá trị ròng của thơng phiếu là số tiền mà ngời đợc hởng thực sự nhận đợc sau khi
đã khấu trừ agio. Vậy:
Giá trị ròng = Mệnh giá - agio
Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu

3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu
Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tăng lãi suất mà ngời đợc hởng phải gánh
chịu.
Lãi suất chiết khấu t thoả thuận đợc rút ra từ công thức:
E

c
=
Ctn
36000
.
Vậy
t =
c
E . 36000
Cn

Trên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải E
c
), vì vậy lãi suất thực tế
chiết khấu T sẽ đợc tính bởi công thức:
T =
agio . 36000
Cn
(10)
Khi thay mệnh giá bởi giá trị ròng, ta thu đợc công thức tính lãi suất giá thành chiết
khấu T
T =
agio . 36000
(Giỏ tri rũng) . n
(11)
Chú thích:
t < T < T

36000
n

T'
1
T
1

(12)

19
Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng.
Ví dụ 1:
Một thơng phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 đợc đem chiết khấu ngày 1/10.
Ngời đợc hởng chấp nhận các điều kiện sau:
Lãi suất chiết khấu: 8,60%
Lãi suất hoa hồng chuyển nhợng: 0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn)
Lệ phí phục vụ: 1 euro/1 thơng phiếu
Lệ phí báo có: 2,5 euro/1 thơng phiếu
Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60%
Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu.
Giải:
a) Tính agio
Từ 1/10 đến 30/11 có 60 ngày.
Tiền chiết khấu E
c
:


1000 x 8,60 x 60
36000

14,333

Hoa hồng chuyển nhợng:
1000 x 0,40 x 60
36000

0,666
Hoa hồng cố định: 1+2,5 = 3,500
Thuế 17,60% của 3,5 = 3,5 x 17,60% = 0,616
Vậy agio: 19,12 (euro)
b) Giá trị ròng: 1000 - 19,12 = 980,88 (euro)
c) Lãi suất chiết khấu thực tế:
T =
19,12 x 36000
11,47
1000 x 60

(%)
d) Lãi suất giá thành:
T =
19,12 x 36000
11,71
980,88 x 60

(%)
Ví dụ 2:
Ngày 1/10 một doanh nghiệp đa đến Ngân hàng một thơng phiếu để chiết khấu. Ngày
đáo hạn của thơng phiếu là 31/12. Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suất
giá thành chiết khấu.
Giải:
Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày.
Từ công thức

3600
n
T'
1
T
1

, ta có
36000.T
T.n36.000
36.000
n
T
1
T'
1




20

Vậy
T =
9,84
91 x 9,636000
9,6 x 36000
T.n - 36000
36000.T




(
%
)

Đ3. Sự tơng đơng của các thơng phiếu theo lãi đơn

1. Các định nghĩa
a) Sự tơng đơng của hai thơng phiếu
Hai thơng phiếu đợc gọi là tơng đơng tại một ngày nào đó, nếu cả hai thơng phiếu
đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng đợc chiết khấu cùng lãi suất
và cùng phơng thức.
Ngày mà hai thơng phiếu tơng đơng đợc gọi là thời điểm tơng đơng. Thời điểm
này phải xẩy ra trớc ngày đáo hạn của hai thơng phiếu.
Gọi C
1
, C
2
là mệnh giá của hai thơng phiếu, V
1
, V
2
là giá trị hiện tại của hai thơng
phiếu. Tại thời điểm tơng đơng, ta có
V
1
= V
2


C
1
- E
1
= C
2
- E
2

Thông thờng trong tính toán tơng đơng của các thơng phiếu, ta dùng chiết khấu
thơng mại.
Gọi n
1
và n
2
là thời hạn của hai thơng phiếu. Ta có sơ đồ sau:

Thời điểm tơng đơng n
1
n
2



V
1
= V
2
C
1

C
2

Tại thời điểm tơng đơng:
D
nC
C
D
nC
C
22
2
11
1

(13)
hay
D
)n - (DC
D
)n(DC
2211



Vậy
1
2
2
1

nD
nD
C
C



(14)


21

Chú thích:
n
1
< n
2


C
1
< C
2

Hai thơng phiếu cùng mệnh giá nhng thời hạn khác nhau, không thể tơng đơng
nhau (tơng tự, khi chúng khác mệnh giá nhng cùng thời hạn thì cũng không thể tơng
đơng nhau)
b) Sự tơng đơng của một thơng phiếu với nhóm nhiều thơng phiếu khác.
Một thơng phiếu đợc gọi là tơng đơng với một nhóm nhiều thơng phiếu khác vào
một ngày nào đó, nếu giá trị hiện tại của thơng phiếu bằng tổng các giá trị hiện tại của

cả nhóm thơng phiếu vào ngày đó, khi chúng đợc đem chiết khấu cùng lãi suất và
cùng phơng thức.
Gọi C là mệnh giá của thơng phiếu đang xét và {C
k
, k=1, ,p} là các mệnh giá của
nhóm các thơng phiếu. Gọi thời hạn tơng ứng của chúng là n và {n
k
, k=1, ,p}.
Tại thời điểm tơng đơng, ta có



p
1k
kk
k
)
D
.nC
(C
D
Cn
- C
(15)
c) Sự tơng đơng của hai nhóm thơng phiếu
Hai nhóm thơng phiếu đợc gọi là tơng đơng nhau vào một ngày nào đó, nếu tổng
các giá trị hiện tại của hai nhóm thơng phiếu bằng nhau vào ngày đó, khi chúng đợc
đem chiết khấu cùng lãi suất và cùng phơng thức.
Xét 2 nhóm: {C
k

, n
k
, k = 1, , p} và {B
j
, m
j
, j = 1, , q}
Vào thời điểm tơng đơng, ta có



p
1k
kk
k
)
D
.nC
(C
=



q
1j
jj
j
)
D
.mB

(B (16)
Chú thích:
Các công thức (13), (14), (15) đợc thiết lập theo phơng thức chiết khấu thơng mại

2. Định lý về sự tơng đơng
Định lý 1
Thời điểm tơng đơng của hai thơng phiếu khác nhau là duy nhất.
Chứng minh:
Vào thời điểm tơng đơng, ta có
1
2
2
1
nD
nD
C
C



(*)
Giả sử có một thời điểm tơng đơng khác, cách thời điểm tơng đơng ban đầu là p
ngày. Nếu p > 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra sau thời điểm thứ nhất, nếu p < 0 thì thời
điểm thứ 2 xảy ra trớc thời điểm thứ nhất.

22
Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trớc ngày đáo hạn của cả hai thơng
phiếu.
Tại thời điểm tơng đơng thứ 2, gọi n
1

và n
2
là thời hạn của hai thơng phiếu.
Khi đó n
1
= n
1
- p , n
2
= n
2
- p và
p)(nD
p) - (n - D
n'D
n'D
C
C
1
2
1
2
2
1





(**)

So sánh (*) và (**):
)pn - (D )pn - (D
p)n(D
p )n - (D
nD
nD
12
1
2
1
2








(n
1
-n
2
) p = 0
Vì hai thơng phiếu khác nhau nên n
1

n
2
, vậy p = 0 .

Đó là điều phải chứng minh.
Định lý 2
Thời điểm tơng đơng của một thơng phiếu với một nhóm các thơng phiếu
khác là duy nhất, trừ trờng hợp mệnh giá của thơng phiếu đó bằng tổng các
mệnh giá của các thơng phiếu trong nhóm. Trong trờng hợp này, nếu sự tơng
đơng đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tơng đơng luôn luôn xẩy ra tại
mọi thời điểm (trớc tất cả các ngày đáo hạn của mọi thơng phiếu).
Chứng minh:
Vào thời điểm tơng đơng, ta có

D
Cn
C
=



p
1k
kk
k
)
D
.nC
(C
(*)
Nếu có một thời điểm tơng đơng thứ 2 cách thời điểm tơng đơng ban đầu s ngày,
thì tại thời điểm tơng đơng này, ta có:





D
s)C(n
C











p
1k
kk
k
D
s)(nC
C




D
C


D
Cn
- C
s









D
nC
C
kk
k
p
1k
+


p
1k
D
sC
k






p
1k
k
p
1k
k
Cs Cs C
D
s

D
C

s


0s . C - C
p
1k
k











(**)
Nếu C
p
k
k=1
C


thì s = 0, hay thời điểm tơng đơng là duy nhất.
Nếu C
p
k
k=1
C


thì (**) đợc thoả mãn với mọi s.
Đó là điều phải chứng minh.

23
Chú thích:
Trong chứng minh trên, giả thiết (*) đã dẫn đến hệ thức (**). Vậy nếu chỉ có C



p
1k

k
C

thì không phải lúc nào cũng có (*).
Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tơng đơng đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào
đó rồi.


Đ4. Một số bài toán ứng dụng

1. Bài toán về thời hạn trả chung
Khi một ngời muốn thay thế một nhóm các thơng phiếu bằng một thơng phiếu duy
nhất, ngời ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung.
Giả sử thơng phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán
sau:
Biết C tìm n (n thờng đợc gọi là thời hạn trả chung)
Biết n tìm C
Việc tính toán trên thơng phiếu cũng đợc áp dụng cho trờng hợp thanh toán các
khoản nợ theo lãi suất đơn
Ví dụ:
Ngày hôm nay, một ngời đi vay muốn thay thế 3 khoản nợ: 10.000 euro, 20.000 euro,
30.000 euro với thời hạn trả nợ tơng ứng 30 ngày, 60 ngày, 90 ngày bằng một khoản nợ
trả sau 40 ngày. Tìm số tiền của khoản nợ đó, biết lãi suất là 6%.
Giải:
Ước số chung
36000
6000
6
D
. Gọi số tiền của khoản nợ thay thế là C.

Phơng trình tơng đơng là







6000
40
1C
= 10000






















6000
90
130000
6000
60
120000
6000
30
1

Từ đó tính đợc
C = 59697,98 euro

2. Bài toán về thời hạn trả trung bình
Trờng hợp thay thế một nhóm các thơng phiếu bằng một thơng phiếu duy nhất có
mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thơng phiếu đợc gọi là bài toán về thời
hạn trả trung bình.


24
Thời hạn n của thơng phiếu thay thế đợc gọi là thời hạn trả trung bình.
Vào ngày thay thế, phơng trình tơng đơng là










p
1k
kk
k
D
nC
C
D
Cn
C



p
1k
p
1k
kkk
nC
1
C
D
Cn
C
D


Vì C =


p
1k
k
C
, nên Cn =
k
p
1k
k
nC



Vậy n =




p
1k
k
p
1k
kk
C
nC
(16)

Chú ý:
Trong công thức (16), ta không cần sử dụng đến lãi suất.
Ví dụ:
Để thanh toán một khoản nợ 33.150 USD, ngời đi vay thoả thuận sẽ trả cho chủ nợ theo
cách sau:
Trả ngay: 20% khoản nợ,
Phần còn lại: trả hàng tháng một khoản tiền bằng nhau trong 18 tháng liên
tiếp, lần trả đầu tiên sẽ sau ngày thoả thuận 1 tháng,
Giả sử lãi suất 10%, tính:
Số tiền trả hàng tháng
Thời hạn trả trung bình
Giải:
a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = C
k
, k = 1, ,18)
Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD
Phơng trình tơng đơng:






















1200
Vx10x18
V
1200
Vx10x2
V
1200
Vx10x1
V26520

26520 = 18V -

18 21
1200
V10


26520 = 18V -
V
40
57


Ta tìm đợc
V = 1600 USD
b) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏa thuận
5,9
18
x
1600
18) x (1600 2) x (1600 1) x (1600
n




tháng

25
Chơng III
Lãi gộp

Đ1. Đại cơng

Một khoản vốn đợc gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số
tiền lãi thu đợc sẽ đợc gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốn
mới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục nh vậy cho
đến hết thời kỳ cuối cùng.
Quá trình tính giá trị tơng lai của một khoản vốn theo phơng thức tính lãi gộp đợc
gọi là quá trình lãi đợc vốn hóa hay t bản hoá.


Đ2. Công thức tính lãi gộp


1. Giá trị thu đợc
Gọi C
o
là số tiền ban đầu, n là số thời kỳ, i là lãi suất trong một thời kỳ, C
k
là giá trị thu
đợc sau k thời kỳ.
Ta tính lần lợt
C
1
= C
o
+ C
o
i = C
o
(1+i)
C
2
= C
1
+ C
1
i = C
1
(1+i) = C
o
(1+i)
2

C
3
= C
2
+ C
2
i = C
2
(1+i) = C
o
(1+i)
3


Bằng quy nạp, ta có công thức tính giá trị (số tiền) thu đợc sau n thời kỳ:
C
n
= C
o
(1+i)
n

(1)
Chú thích:
Dãy các giá trị thu đợc


n
C
tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i)

Tiền lãi I
n
thu đợc sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa C
n
và C
0
hay I
n
= C
n
- C
o
.
Vậy
I
n
= C
o
[(1+i)
n
-1]
(2)


2.
áp dụng

Công thức (1) có 4 đại lợng



ni,,C,C
no
. Các bài toán áp dụng yêu cầu tìm đại lợng thứ
4, khi đã cho biết 3 đại lợng.

26
Trong tính toán thực hành, thờng dùng Bảng tài chính. Đó là bảng cho sẵn các giá trị
của 5 hàm số sau:
Bảng
I II III IV V

Hàm số

(1+i)
n


(1+i)
-n

n
(1+i) - 1
i

-n
1 - (1+i)
i

-n
i

1 - (1+i)

Khi sử dụng các bảng tài chính, ta đối chiếu để tra tìm các số liệu. Vì các dữ liệu ban
đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thờng dùng
phơng pháp nội suy.
Hiện nay trong các Ngân hàng, song song với tra bảng, ngời ta còn sử dụng máy tính.
Ví dụ 1:
Tính số tiền thu đợc của một khoản vốn 100.000.000 đồng sau 10 năm với lãi suất 6
tháng là 3%, biết quá trình t bản hoá 6 tháng.
Giải:
Ta có C
o
= 100.000.000, n = 2x10 = 20, i = 0,03
Vậy C
20
= 100.000.000 (1+0,03)
20
Dùng bảng I, đối chiếu cột 3% và dòng n = 20, ta có 1,806111.
Đó chính là giá trị của (1+0,03)
20
.
Từ đó
C
o
= 180.611.100 đồng.
Ví dụ 2:
Giá trị thu đợc của một khoản vốn 100.000 USD cho vay trong 8 năm là 202.941,8
USD. Tìm lãi suất hàng năm.
Giải:
Ta có C

8
= C
0
(1+i)
8

202 941,8 = 100 000(1+i)
8



(1+i)
8
= 2,029418
Dùng bảng I, đối chiếu ở dòng 8, tìm số 2,029418. Số đó ở cột 9,25.
Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%.

3. Trờng hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên
Xét trờng hợp n = k+
v
u
, trong đó k


và 0 <
v
u
< 1
Có 2 cách tính C
n

:
a) Phơng pháp thơng mại
Để tính giá trị thu đợc C
n
ta vẫn sử dụng công thức (1) với