1
Mục lục
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Danh mục các từ viết tắt 3
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài 4
2. Mục đích nghiên cứu 5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 6
4. Đối tượng nghiên cứu 6
5. Phạm vi nghiên cứu 6
6. Phương pháp nghiên cứu 6
7. Cấu trúc đề tài 6
NỘI DUNG
Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Định nghĩa và các bước giải chung 7
1.1.1. Định nghĩa và phân loại 7
1.1.2. Phương pháp chung giải bài toán quỹ tích 7
1.2. Các quỹ tích cơ bản 10
1.2.1. Tập hợp điểm là đường trung trực 10
1.2.2. Tập hợp điểm là tia phân giác 11
1.2.3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song 12
1.2.4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song 13
1.2.5. Tập hợp điểm là cạnh của một góc 14
1.2.6. Tập hợp điểm là đường tròn 16
1.2.7. Tập hợp điểm là cung chứa góc 17
1.3. Giải bài toán bằng phương pháp tổng hợp 19
1.3.1. Phương pháp giải chung 19
1.3.2. ví dụ 20

1.4. Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ 21
1.4.1. Phương pháp giải chung 21
2
1.4.2. Ví dụ 21
1.5. Giải bài toán bằng phương pháp vectơ 23
1.5.1. Phương pháp giải chung 23
1.5.2. Ví dụ 24
1.6. Giải bài toán bằng phương pháp biến hình 27
1.6.1. Phương pháp giải chung 27
1.6.2. Ví dụ 27
Chương 2 - MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Bài toán có quỹ tích là đường thẳng 29
2.1.1. Dạng chứng minh quỹ tích 29
2.1.2. Dạng tìm quỹ tích 31
2.2. Bài toán có quỹ tích là đường tròn 33
2.2.1. Dạng chứng minh quỹ tích 33
2.2.2. Dạng tìm quỹ tích 36
2.3. Sử dụng nhiều phương pháp giải bài toán quỹ tích 37
2.3.1. Bài toán có nhiều cách giải 37
2.3.2. Khai thác bài toán quỹ tích 44
2.4. Một số bài tập kiến nghị 51
KẾT LUẬN
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
3
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt Ý nghĩa
HS
ĐHSP
NXB

GV
SGK
SBT
THCS
Sđ


∽
∥
⊥
≡
ΔABC
∈
∉
⇒
Học sinh
Đại học sư phạm
Nhà xuất bản
Giáo viên
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Trung học cơ sở
Số đo cung AB
Cung AB
Góc ABC
Đồng dạng
Song song
Vuông góc
Trùng
Tam giác ABC

Thuộc
Không thuộc
Suy ra
MỞ ĐẦU
4
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tiễn cuộc sống, Toán học giữ vị trí rất quan trọng. Những tri thức
và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong Toán học trở
thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của
nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để tiến hành những hoạt động trong
đời sống thực tế. Vì vậy toán học là một thành phần không thể thiếu của nền văn
hóa phổ thông của con người mới.
Từ thuở xa xưa, người ta đã biết vận dụng Toán học để xây dựng những công
trình lớn như: Kim Tự Tháp, vườn treo Babilon,… Người Ai Cập cổ đại đã biết
được một tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 thì tam giác đó là tam giác vuông và
định lí này được áp dụng rộng rãi trong việc xây dựng nhà cửa. Ngày nay với sự
phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ta càng thấy tầm quan trọng của Toán
học, có thể nói nó là nền móng cho nhiều ngành khoa học khác như Vật lý, Hóa
học, Sinh học…
Ngoài ra, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách con người, có tác
dụng góp phần phát triển năng lực, trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát
hoá, trừu tượng hoá,… rèn luyện những đức tính phẩm chất của người lao động như
tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc
thẩm mỹ.
Tuy nhiên trong chương trình toán hiện nay thì học sinh (HS) được làm quen
với nhiều dạng toán từ dễ đến khó về cả đại số và hình học, xong riêng với phân
môn đại số thì mỗi bài toán có một cách giải riêng, còn đối với phân môn hình học
thì không có cách giải nào cụ thể cho từng bài, nó đòi hỏi người học phải vận dụng
nhiều phương pháp, định lý, khái niệm, tính chất để giải, làm cho học sinh thường e
ngại khi học hình học. Một trong những dạng bài toán khó của hình học là bài toán

tìm quỹ tích, tuy không phải là dạng toán khó nhất nhưng đối với học sinh việc giải
một bài toán quỹ tích là cả một vấn đề vì tính trừu tượng của nó và cũng gây cho
người dạy không ít khó khăn khi dạy bài liên quan đến quỹ tích. Trong khi đó, bài
quỹ tích là một trong những chủ điểm bồi dưỡng HS giỏi ở phổ thông.
5
Ở bậc Trung học cơ sở (THCS) hiện nay bài toán quỹ tích được đề cập lần
đầu tiên ở lớp 7 dưới tên gọi tập hợp điểm và không được định nghĩa tường minh.
Đối với bài tập, sách giáo khoa (SGK) chỉ có một bài tập đơn giản, được gợi ý khá
chi tiết. Sách bài tập (SBT) có bổ sung thêm hai bài cũng đơn giản. Đến lớp 8, học
sinh được học thêm một quỹ tích cơ bản: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng
cố định một khoảng không đổi.
Bài tập về quỹ tích ở lớp 8 có nhiều hơn (SGK có 4 bài) nhưng được cho
dưới dạng hỏi điểm X di chuyển trên đường nào. Yêu cầu như thế là rất cụ thể:
không hỏi tìm quỹ tích, tập hợp với chứng minh phần thuận phần đảo gì cả. Chỉ cần
chỉ ra X thỏa điều kiện đề bài thì chạy trên đường nào, nêu lên giới hạn nếu có. Ở
lớp 9, khi giới thiệu quỹ tích cơ bản: quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn đoạn thẳng
AB cho trước dưới góc α thì từ quỹ tích mới được dùng và bài toán được chứng
minh đầy đủ phần thuận, phần đảo. Sau đó SGK khái quát thành cách giải bài toán
quỹ tích.
Ý đồ của SGK đã rõ ràng: ở lớp 7, 8 chỉ giới thiệu làm quen. Lên lớp 9 bài
toán quỹ tích mới được giải một cách bài bản nhưng cũng chỉ giới hạn với vài bài
tập khá đơn giản. Có lẽ trong tình hình học tập hiện nay của học sinh cấp THCS, ý
đồ giảm tải này của SGK là hợp lý và cần được tôn trọng. Với số đông học sinh,
thời gian học ở lớp hiện nay còn chưa đủ để các em thực sự nắm được cái cơ bản
hơn là luyện tập cách chứng minh các định lý hình học đơn giản, vì vậy yêu cầu cao
hơn về giải các bài toán quỹ tích là không nên. Tuy nhiên để bồi dưỡng cho các em
HS giỏi thì việc tìm hiểu kỹ hơn về quỹ tích là một công cụ rất bổ ích vì khi giải bài
toán quỹ tích đòi hỏi HS phải huy động nhiều kiến thức đã học như các định lý, tính
chất,…và cũng giúp cho HS phát triển tư duy bởi tính trừu tượng của nó. Vì thế
trong quá trình học tập và tìm hiểu tài liệu nhóm chúng tôi quyết định chọn đề tài

“Mối quan hệ giữa các phương pháp giải bài toán quỹ tích” nhằm góp phần nhỏ
vào biên soạn tài liệu bồi dưỡng HS giỏi cho trường chúng tôi đang công tác và
cũng nhằm giúp HS không còn thấy khó khi giải bài toán quỹ tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi tìm hiểu các tài liệu về bài toán quỹ tích. Từ đó, nhóm nghiên cứu
tổng hợp lại các dạng bài toán quỹ tích thường gặp và cách giải chúng, đưa ra các ví
dụ, bài tập minh họa.
6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu các dạng bài toán quỹ tích và phương pháp giải chúng.
- Tìm mối quan hệ giữa các phương pháp giải, đưa ra bài tập về quỹ tích
dùng làm tài liệu bồi dưỡng HS giỏi.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các dạng bài toán quỹ tích.
5. Phạm vi nghiên cứu
Các dạng bài toán có quỹ tích là đường thẳng và đường tròn.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp sưu tầm, tra cứu tài liệu.
- Phương pháp trao đổi với chuyên gia.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung còn lại của đề tài được trình bày
trong hai chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Định nghĩa và các bước giải bài toán quỹ tích
1.2. Một số quỹ tích cơ bản
1.3. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tổng hợp
1.4. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tọa độ
1.5. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ
1.6. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình

Chương 2. Xây dựng một số bài toán quỹ tích
2.1. Bài toán có quỹ tích là đường thẳng
2.2. Bài toán có quỹ tích là đường tròn
2.3. Sử dụng nhiều phương pháp giải bài toán quỹ tích
7
NỘI DUNG
Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Định nghĩa và các bước giải chung
1.1.1. Định nghĩa và phân loại
a. Định nghĩa
Một hình H được gọi là quỹ tích (tập hợp điểm) của những điểm M thỏa mãn
tính chất A khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A.
Ví dụ 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB là tập
hợp các điểm cách đều hai mút A, B của đoạn thẳng AB.
Nếu ta kí hiệu d là đường trung trực của đoạn
thẳng AB thì chúng ta có:
MA = MB
⇒
M
∈
d
M
∈
d
⇒
MA = MB
Ví dụ 2: Đường tròn (O; R) là tập hợp các điểm cách
điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R.
Ta có:
OM = R

⇒
M
∈
(O; R)
M
∈
(O; R)
⇒
OM = R
b. Phân loại: Bài toán quỹ tích được chia làm 2 loại:
Loại 1: Chứng minh quỹ tích: Cho ta biết trước hình dạng quỹ tích, có khi cho
biết cả vị trí và độ lớn của nó, yêu cầu ta phải chứng minh hình đó là quỹ tích của
một điểm nào đó. Bài toán này được cho dưới dạng “chứng minh rằng quỹ tích
những điểm M có tính chất A là hình H”.
Loại 2: Tìm quỹ tích: Yêu cầu ta phải tìm quỹ tích của một điểm chuyển động
mà hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích đều chưa biết. Bài toán này thường được
phát biểu dưới dạng “Tìm quỹ tích các điểm M có tính chất A”.
1.1.2. Phương pháp giải bài toán quỹ tích
1.1.2.1. Phương pháp giải
Để tìm quỹ tích điểm M có tính chất A, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm cách giải
Hình 1.2
Hình 1.1
8
- Xác định yếu tố cố định (thường là các điểm) và không đổi (độ dài đoạn
thẳng, độ lớn góc, diện tích của hình).
- Xác định điều kiện của M.
- Dự đoán quỹ tích: phác họa vài vị trí đặc biệt của điểm M hoặc bằng cách
dựa vào sự chuyển động của điểm M (M có thể chạy xa vô tận thì quỹ tích là đường
thẳng) hoặc dựa vào tính chất đối xứng của quỹ tích để dự đoán quỹ tích là thẳng

hay tròn. Ta thường gặp 2 dạng đây:
+ Quỹ tích có dạng thẳng (đường thẳng, đoạn thẳng, tia) ta có thể sử dụng
một số quỹ tích cơ bản như: quỹ tích đường trung trực, quỹ tích đường phân giác,
quỹ tích đường thẳng song song cách đều, nối điểm chuyển động M với một điểm O
cố định rồi chứng minh OM song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cố
định hoặc OM tạo với đường thẳng cố định một góc α không đổi.
+ Quỹ tích có dạng tròn (đường tròn, cung tròn) có thể chọn một trong các
cách chứng minh là: chứng minh điểm M luôn cách một điểm cố định O một
khoảng không đổi đó là đường tròn tâm O bán kính OM, dựa vào quỹ tích cung
chứa góc, chọn 3 điểm A, B, C cố định. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp suy ra
M thuộc đường tròn đi qua A, B, C.
Bước 2: Trình bày lời giải
1. Chứng minh phần thuận: Chứng minh điểm M thuộc hình H.
Giới hạn (nếu có): Căn cứ vào vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M
chỉ thuộc một phần B của hình H (nếu được), vẽ hình B và H.
2. Chứng minh phần đảo: Lấy điểm M bất kì thuộc hình H, ta cần chứng minh
điểm M có tính chất A.
3. Kết luận quỹ tích: Tập hợp các điểm M là hình B. Nêu rõ hình dạng và cách
xác định hình B.
* Chú ý
- Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển
động là khâu chủ yếu giúp ta giải được bài toán tập hợp điểm.
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu “điểm M chuyển động trên đường nào?” thì chỉ
trình bày phần thuận và kết luận.
- Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về một trong các tập hợp
cơ bản đã học.
9
- Để khỏi vẽ lại hình, trong giải phần đảo tên các điểm, chúng ta nên giữ
nguyên như ở phần thuận.
* Cách xác định giới hạn

- Phương pháp phần giao: sau khi xác định M phải thuộc hình H là tập hợp các
điểm cơ bản, dựa vào giả thiết bài toán xem điểm M phải thuộc miền nào của mặt
phẳng. Phần giao của hình H với miền này sẽ cho ta tập hợp điểm M.
- Phương pháp vị trí giới hạn: Trong bài toán nếu ta có điểm A nào đó chuyển
động kéo theo sự chuyển động của điểm M cần tìm tập hợp điểm, thì từ các vị trí
giới hạn của A ta tìm ra vị trí tương ứng của điểm M trên hình H.
1.1.2.2. Ví dụ: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ đường thẳng (d) vuông
góc với AB tại I (I∈AB). Gọi M là điểm chuyển động trên đường tròn (O; R), MA
và MB lần lượt cắt (d) tại C và D. Tìm tập hợp tâm J của đường tròn đi qua ba điểm
A, D, C.
Giải
+ Phần thuận
Gọi E là điểm đối xứng của B qua (d) nên E cố
định
Suy ra = (1)
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
= (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
(2)
Từ (1), (2) suy ra: =
Mà + = 180
0
⇒ + = 180
0

⇒ Tứ giác EDCA nội tiếp đường tròn.
⇒ Đường tròn qua ba điểm A, D, C đi qua hai điểm cố định E, A.
Vậy tâm J của đường tròn qua ba điểm A, D, C thuộc đường thẳng cố định là
đường trung trực của đoạn thẳng AE.

* Giới hạn
Khi M ≡ M’ thì J ≡ J’(M’ là trung điểm cung AB, J’M’

⊥ OM’; J’∈(d)).
Khi M ≡ M’’ thì J ≡ J’’ (M’’ là trung điểm cung AB, J’’M’’⊥ OM’’; J’’∈(d)).
Do đó J chuyển động trên tia J’x, J’’y của đường trung trực của đoạn thẳng AE.
+ Phần đảo
Hình 1.3
10
Lấy điểm J bất kì trên tia J’x (hoặc J’’y). Vẽ đường tròn (J; JA) cắt (d) tại C, D.
AC cắt BD tại M. Ta cần chứng minh M nằm trên đường tròn (O).
Ta có: JE = JA (J thuộc đường trung trực của AE) nên E∈(J; JA).
= (EDCA nội tiếp (J; JA)).
= (B, E đối xứng qua (d)).
Suy ra: = nên tứ giác ICMB nội tiếp đường tròn.
Mà = 90
0
⇒ = 90
0
suy ra M thuộc đường tròn (O).
+ Kết luận
Tập hợp các tâm J của đường tròn đi qua ba điểm A, D, C là đường trung trực
của đoạn thẳng AE.
1.2. Các tập hợp điểm cơ bản
1.2.1. Tập hợp điểm là đường trung trực
Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A,
B cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ví dụ: Cho góc vuông xOy, A là điểm cố định trên tia
Ox, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.
Giải

+ Phần thuận
Xét AOB có = 90
0
Do OM là trung tuyến của AOB
nên OM = MA = MB = .
OM = MA và O, A cố định.
Suy ra M thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng OA.
* Giới hạn
Khi B ≡ O thì M ≡ M’ (M’ là trung điểm của OA).
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M’z thuộc đường
trung trực của đoạn thẳng OA.
+ Phần đảo
Lấy M∈M’z (M’z là đường trung trực của OA). AM cắt Oy tại B. Ta cần chứng
minh M là trung điểm của AB.
Do M thuộc đường trung trực của OA nên OM = MA
Hình 1.4
Hình 1.5
11
Suy ra = (1)
Xét AOB có = 90
0
nên + = 90
0
(2)
Mà + = 90
0
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: = hay =
⇒ BMO cân tại M nên OM = MB.

Suy ra MA = MB hay M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
+ Kết luận
Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường trung trực của đoạn thẳng
OA và thuộc miền trong của góc xOy.
1.2.2. Tập hợp điểm là tia phân giác
Định lý: Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy,
khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân
giác của góc xOy.
Hệ quả: Tập hợp điểm M cách đều hai đường thẳng
cắt nhau xx’ và yy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo
thành, bốn tia phân giác này tạo thành hai đường thẳng
vuông góc với nhau tại O.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A. Tìm tập hợp tâm các đường
tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó.
Giải
+ Phần thuận
Gọi xx’ và yy’ là hai đường thẳng cắt nhau tại A. Đường tròn (O; R) tiếp xúc
với hai đường thẳng tại B và C (B∈xx’; C∈yy’).
Ta có OB ⊥ xx’, OC ⊥ yy’, OB = OC (= R) suy ra O thuộc hai đường thẳng cắt
nhau zz’, tt’ là bốn tia phân giác của bốn
góc tạo thành bởi đường thẳng xx’ và yy’.
* Giới hạn
O là điểm tuỳ ý trên hai đường thẳng
zz’, tt’ đều vẽ được đường tròn (O) tiếp xúc
với hai đường thẳng xx’ và yy’.
y
x
z
O
M

K
H
Hình 1.6
Hình 1.7
12
+ Phần đảo
Lấy O bất kì thuộc đường thẳng zz’. Kẻ OB vuông góc với xx’ tại B, OC vuông
góc với yy’ tại C, ta có OB = OC suy ra đường tròn (O; OB) tiếp xúc với hai đường
thẳng xx’ và yy’.
Chứng minh tương tự khi lấy O bất kì thuộc đường thẳng tt’.
+ Kết luận
Tập hợp các tâm O của các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng xx’ và yy’
cắt nhau tại A là hai đường thẳng zz’, tt’ chứa bốn tia phân giác của bốn góc tạo
thành bởi hai đường thẳng xx’ và yy’.
1.2.3. Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song
Định lí: Tập hợp các điểm M cách một đường
thẳng d cho trước một khoảng bằng a (a > 0) cho
trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng
đã cho và cách đường thẳng đã cho một khoảng cách
bằng a.
Ví dụ: Cho một đường thẳng xy. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn có bán
kính 2cm và tiếp xúc với đường thẳng xy.
Giải
+ Phần thuận
Gọi O là tâm của đường tròn bán kính 2cm tiếp
xúc với đường thẳng xy. Ta có khoảng cách từ O
đến xy luôn bằng 2cm. Do đó O thuộc hai đường
thẳng d và d’ song song với xy và cách xy một
khoảng bằng 2cm.
* Giới hạn

O là điểm tuỳ ý trên hai đường thẳng d và d’ đều vẽ được đường tròn (O; 2cm)
tiếp xúc với đường thẳng xy.
+ Phần đảo
Lấy O bất kì thuộc hai đường thẳng d và d’.
Hình 1.8
Hình 1.9
13
Vẽ OH ⊥ xy (H∈xy), ta có OH = 2cm.
Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn (O; OH) có bán kính 2cm và tiếp xúc với
đường thẳng xy.
+ Kết luận
Tập hợp các tâm O của các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng xy là hai
đường thẳng d và d’ song song với xy và cách xy một khoảng bằng 2cm.
1.2.4. Tập hợp điểm là một đường thẳng song song
Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường
thẳng song song cho trước là một đường thẳng song
song và cách đều hai đường thẳng đã cho.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng song song d và d’ cách
nhau một khoảng bằng 4cm, A là điểm chuyển động trên đường thẳng d, B là điểm
chuyển động trên đường thẳng d’. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
Giải
+ Phần thuận
Vẽ MH ⊥ d (H∈d) , MK ⊥ d’ (K∈d’)
Ta có: MH ⊥ d và d∥d’ suy ra MH ⊥ d’.
MH ⊥ d’, MK ⊥ d’ suy ra M, H, K thẳng hàng,
KH = 4cm.
AMH có KB∥AH (d∥d’), suy ra: = = 1.
⇒ MK = MH.
Do đó: MK = MH = = 2cm.
d∥d’ và cách nhau một khoảng bằng 4cm. Do đó M thuộc đường thẳng a song

song và nằm giữa hai đường thẳng d và d’ cách d và d’ một khoảng bằng 2cm.
* Giới hạn
A chuyển động trên d và B chuyển động trên d’ nên M thuộc đường thẳng a.
+ Phần đảo
Lấy M bất kì thuộc đường thẳng a. Ta cần chứng minh M là trung điểm của AB.
Qua M kẻ đường thẳng cắt d, d’ lần lượt tại A, B và vẽ MH ⊥ d (H∈d), MK ⊥d’
(K∈d’). Ta có H, M, K thẳng hàng và MH = MK = 2cm.
a
d
b
l
l
H
M
H
Hình 1.10
Hình 1.11
14
AMH có KB ∥AH (d∥d’) suy ra = = 1.
⇒ MB = MA. Vậy M là trung điểm của AB.
+ Kết luận
Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường thẳng song song và nằm
giữa hai đường thẳng d và d’ cách hai đường thẳng d và d’ một khoảng bằng 2cm.
1.2.5. Tập hợp điểm là cạnh của một góc
Định lí: Tập hợp các điểm M ở trên một đường
thẳng d đi qua một điểm cố định A và hợp với một
đường thẳng m một góc không đổi là đường thẳng d.
Ví dụ: Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố
định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên Oy. Vẽ tam giác đều ABC (C và O khác
phía đối với đường thẳng AB).

a/ Tìm tập hợp các điểm C.
b/ Tìm tập hợp trung điểm M của BC.
Giải
a/ Tìm tập hợp điểm C
+ Phần thuận
Vẽ OAD đều (D nằm trong góc xOy), ta có D là điểm cố định.
Xét OAB và DAC, ta có:
OA = DA (OAD đều)
= = 60
0
(OAD đều)
AB = AC (ABC đều)
Do đó OAB = DAC (cạnh – góc – cạnh)
Suy ra = .
Mà = 90
0
, đường thẳng AD cố định nên C
thuộc tia cố định Dz vuông góc với AD tại D.
* Giới hạn
Khi B ≡ O thì C ≡ D.
Khi B chạy xa vô cực trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Dz.
Vậy C chuyển động trên tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD tại D.
+ Phần đảo
Lấy điểm C bất kì trên tia Dz, vẽ tia At sao cho = 60
0
, At cắt tia Oy tại B.
Hình 1.12
Hình 1.13
15
Xét OAB và DAC, ta có:

= = 90
0
OA = OD (OAD đều)
= = 60
0
(OAD đều)
Do đó OAB = DAC (góc – cạnh – góc)
Suy ra AB = AC. Vậy ABC cân tại A.
ABC cân tại A có = 60
0
nên ABC đều.
+ Kết luận
Tập hợp các điểm C là tia Dz của đường thẳng vuông góc với AD tại D.
b/ Tìm tập hợp điểm M
+ Phần thuận
ABC đều, AM là trung tuyến nên AM ⊥ BC
Suy ra = = 90
0
. Do đó tứ giác OBMA nội tiếp
được trong một đường tròn
Suy ra = .
Mà = 60
0
nên = 60
0
.
Suy ra M thuộc đường thẳng hợp với Ox một
góc bằng 60
0
.

* Giới hạn
Khi B ≡ O thì C ≡ D nên M ≡ E (E là trung
điểm OD).
Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa trên vô tận trên Dz nên M chạy xa
vô tận trên tia ED.
Vậy M chuyển động trên tia ED.
+ Phần đảo
Lấy điểm M bất kì thuộc tia ED. Vẽ đường thẳng vuông góc với AM tại M và
cắt tia Oy tại B, vẽ ABC đều.
= = 90
0
suy ra tứ giác OBMA nội tiếp được trong một đường tròn.
⇒ = .
Mà = 60
0
⇒ = 60
0
.
= 60
0
, = 60
0
suy ra B, M, C thẳng hàng.
ABC đều và AM ⊥ BC suy ra M là trung điểm của BC.
Hình 1.14
16
+ Kết luận
Tập hợp các trung điểm M của BC là tia ED thuộc đường thẳng hợp với Ox một
góc bằng 60
0

.
1.2.6. Tập hợp điểm là đường tròn
Định lí: Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước
một khoảng cách không đổi (r > 0) là đường tròn tâm O,
bán kính r.
Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB; C là điểm chuyển động trên
đường tròn (O; R). Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm tập
hợp các điểm D.
Giải
+ Phần thuận
= 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AC ⊥ BD
CD = CB (giả thiết)
Do đó: ABD cân tại A nên AD = AB = 2R
(không đổi) và A cố định. Do đó D thuộc đường tròn
cố định (A; 2R).
* Giới hạn: Điểm C chuyển động trên đường tròn (O; R) nên điểm D chuyển động
trên (A; 2R)
+ Phần đảo
Lấy điểm D bất kì thuộc đường tròn (A; 2R), ta có AD = 2R và BD cắt (O; R)
tại C.
Ta có: AD = AB = 2R suy ra ABD cân tại A.
Mặt khác: = 90
0
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
ABD cân tại A và AC ⊥ BD suy ra AC là trung tuyến của ABD.
Vậy C là trung điểm của BD.
+ Kết luận

Tập hợp các điểm D là đường tròn (A; 2R).
1.2.7. Tập hợp điểm là cung chứa góc
Hình 1.15
Hình 1.16
17
Định lí: Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho
trước một góc AMB có số đo không đổi a ( 0
0
< a < 180
0
) là hai cung tròn đối xứng
nhau qua AB.
Ví dụ: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, DC là dây cung chuyển
động trên nửa đường tròn sao cho CD = R. AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại M.
a. Tìm tập hợp các điểm N.
b. Tìm tập hợp các điểm M.
Giải
a. Tìm tập hợp điểm N
+ Phần thuận
CD là dây cung của đường tròn (O; R), CD = R ⇒
CD là cạnh của hình vuông nội tiếp trong đường tròn
(O; R) ⇒ sđ = 90
0
.
sđ = (sđ + sđ ) = (90
0
+ 180
0
) = 135
0

.
AB cố định, do đó N thuộc cung chứa góc 135
0
dựng trên đoạn thẳng AB.
* Giới hạn
Khi C ≡ A thì D ≡ D’ ( D’ là điểm chính giữa cung AB) và N ≡ A.
Khi D ≡ B thì C ≡ D’ và N ≡ B.
Vậy N chuyển động trên cung chứa góc 135
0
dựng trên đoạn thẳng AB.
+ Phần đảo
Lấy điểm N bất kì thuộc cung chứa góc 135
0
dựng trên đoạn thẳng AB. Vẽ AN
cắt (O) tại D, BN cắt (O) tại C.
Ta có: sđ = 135
0
, sđ = (sđ + sđ )
Suy ra: 135
0
= (sđ + 180
0
) ⇒ sđ = 2.135
0
- 180
0
= 90
0
.
Mà CD là dây cung của (O; R) nên CD là cạnh của hình vuông nội tiếp (O; R)

⇒ CD = R.
+ Kết luận
Tập hợp các điểm N là cung chứa góc 135
0
dựng trên đoạn thẳng AB.
b/ Tìm tập hợp điểm M
+ Phần thuận
CD là dây cung của (O; R) và CD = R
CD là cạnh của hình vuông nội tiếp (O; R) suy ra sđ = 90
0
.
Hình 1.17
Hình 1.18
18
sđ = (sđ - sđ ) = (180
0
- 90
0
) = 45
0
, AB cố định.
Do đó M thuộc cung chứa góc 45
0
dựng trên đoạn thẳng AB.
* Giới hạn
Khi C ≡ A thì D ≡ D’ (D’ là trung điểm của cung AB) và M ≡ M’ (M’ là giao
điểm của BD’ và cung chứa góc nói trên).
Khi D ≡ B thì C ≡ D’ (D’ là trung điểm của cung AB) và M ≡ M’’ (M’’ là giao
điểm của CD’ và cung chứa góc nói trên).
Vậy M chuyển động trên cung M’M’’ của cung chứa góc 45

0
dựng trên đoạn
thẳng AB.
+ Phần đảo
Lấy điểm M bất kì thuộc cung M’M’’.
MA, MB lần lượt cắt nửa đường tròn (O; R) đường kính AB tại C, D.
Ta có: sđ = 45
0
, sđ = (sđ - sđ )
Suy ra: 45
0
= (180
0
- sđ ) ⇒ sđ = 180
0
- 2.45
0
= 90
0
.
sđ = 90
0
và CD là dây cung của (O; R)
Nên CD là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R) suy ra CD = R.
+ Kết luận
Tập hợp các điểm M là cung M’M’’ là một phần của cung chứa góc 45
0
dựng
trên đoạn thẳng AB.
1.3. Giải bài toán bằng phương pháp tổng hợp

1.3.1. Phương pháp giải chung
* Bước 1: Đọc kĩ đầu bài xác định yếu tố cố định (điểm, đường thẳng,…), yếu
tố không đổi (số đo góc, số đo cung, độ dài đoạn thẳng,…), các yếu tố thay đổi (đặc
biệt là điểm cần tìm quỹ tích).
* Bước 2: Dự đoán tập hợp là gì? Khi tìm các vị trí của điểm mà ta cần xét tập
hợp, nên xét thêm một số trường hợp đặc biệt gọi là trường hợp giới hạn vì việc này
không những làm cho việc tìm các vị trí được đơn giản mà còn có tác dụng quan
trọng là cho biết điểm cần xét có thể thay đổi trong giới hạn nào.
* Bước 3: Dự đoán tập hợp có thể là hình gì? Cần liên hệ đến các tập hợp cơ
bản đã học để nối điểm mà ta cần tìm tập hợp vào những yếu tố thích hợp rồi tìm
cách chứng minh mệnh đề thuận. Cần chú ý vẽ hình trong trường hợp tổng quát và
nêu giới hạn (nếu có) của sự thay đổi của điểm mà cần tìm quỹ tích.
19
* Bước 4: Chứng minh mệnh đề đảo.
* Bước 5: Kết luận quỹ tích.
1.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B
chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn AB luôn bằng một đoạn a cho trước. Tìm
quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Giải
+ Phần thuận
Nối OI, tam giác AOB vuông mà OI là
trung tuyến nên:
OI = AB = (không đổi).
Điểm O cố định, điểm I cách O một
khoảng không đổi bằng nên I nằm trên
đường tròn tâm O bán kính .
* Giới hạn
Khi A ≡ O thì B ≡ B’, I ≡ I’ (I’ là trung điểm của OB’).
Khi B ≡ O thì A ≡ A’, I ≡ I’’ (I’’ là trung điểm của OA’).

Vậy khi AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn I’I’’ thuộc
đường tròn tâm O bán kính .
+ Phần đảo
Lấy điểm I thuộc cung tròn I’I’’, vẽ cung tròn tâm I, bán kính cắt Ox tại A,
cắt Oy tại B. Ta cần chứng minh I là trung điểm của AB.
Ta có: ΔOAI cân nên =
Do vậy = 180
0
- ( + ) = 180
0
- 2 (1)
Tương tự ta có ΔOIB cân nên =
Suy ra: = 180
0
- ( + ) = 180
0
- 2 (2)
(1) + (2) ta được: + = 360
0
- 2( + ) = 360
0
- 2.90
0
= 180
0
.
Suy ra ba điểm A, I, B thẳng hàng.
Ta lại có: IA = IB = suy ra AB = a và I là trung điểm của AB.
+ Kết luận
Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung tròn I’I’’ thuộc đường tròn

tâm O bán kính .
Hình 1.19
20
1.4. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp tọa độ
1.4.1. Phương pháp chung
* Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn.
* Bước 2: Tọa độ hóa các yếu tố đã cho và điểm cần xác định quỹ tích.
* Bước 3: Giải và kết luận.
1.4.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B và đường thẳng ∆∥AB. Một điểm C thay đổi trên
∆. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Giải
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn xOy sao cho trục Ox qua A, B còn trục Oy là trung
trực của đoạn thẳng AB.
Giả sử tọa độ của các điểm là A=(-a; 0) , B=(a; 0), đường thẳng ∆ có phương
trình là y = c. Điểm C nằm trên ∆ nên có tọa độ C=(m; c), với m là số thực tuỳ ý.
Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi:
. = 0 và . = 0 (1)
Ta có:
= (x - m; y - c); = (2a; 0) ; = (x - a; y) ; = (m + a; c)
(1) tương đương với:
⇔
Ta có liên hệ x
2
- a
2
+ cy = 0, đây là phương trình của parabol.
4
2
-2

-4
-5
5
L
1
d
C'
O
H
H'
Hình 1.20
21
Vậy quỹ tích của điểm H là một parabol đi qua hai điểm A, B và có đỉnh là
điểm H’ (H’ là trực tâm của tam giác ABC’, cân tại C’).
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B và một số thực dương k. Tìm quỹ tích những điểm
M trong mặt phẳng sao cho MA = kMB.
Giải
Đặt A, B vào hệ trục tọa độ với AB nằm trên Ox và đường trung trực của AB
trùng với Oy, AB = 2a. Khi đó A(-a, 0), B(a, 0). Với điểm M(x, y) bất kỳ, ta có
MA = kMB

⇔
MA
2
= k
2
MB
2



⇔
(x + a)
2
+ y
2
= k
2
((x - a)
2
+ y
2
)

⇔
(k
2
- 1)x
2
– 2a(k
2
+ 1)x + (k
2
- 1)y
2
+ (k
2
- 1)a
2
= 0 (*)
Nếu k = 1 thì quỹ tích M là đường thẳng x = 0.

Nếu k ≠ 1 thì phương trình (*) được viết lại thành
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2a(k + 1) a(k + 1) 2ka
x - x + y + a = 0 x - + y =
k - 1 k - 1 k - 1
 
 
⇔
 ÷
 ÷
 
 

Suy ra quỹ tích M là đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB (đường tròn
trên được gọi là Appolonius).
1.5. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ
1.5.1. Phương pháp chung
Dạng 1: Quỹ tích của điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ hoặc độ dài vectơ
* Bước 1: Biến đổi các đẳng thức đã cho trước về một trong các dạng quỹ tích
cơ bản theo 2 hướng: chứng minh biểu thức vectơ bằng một vectơ không đổi hoặc
dùng tâm tỉ cự.
* Bước 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu
cầu bài toán.
Một số bài toán quỹ tích cơ bản:
+ = k (k ≠ 0), A cố định, không đổi. Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua A
cùng phương với .

+ =với A, B cố định. Quỹ tích điểm M là trung trực của AB.
+ = với A cố định, không đổi. Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm A, bán kính
R = .
Dạng 2: Quỹ tích của điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng hay tích độ dài
22
* Bước 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng .= k, bằng phép phân tích thành
nhân tử, đặt nhân tử chung, trong đó các vectơ , có thể là tổng hoặc hiệu các vectơ
nào đó.
* Bước 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức vectơ không đổi hoặc tâm tỉ
cựđể biến đổi đẳng thức .= k về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về
quỹ tích cần xác định.
Một số quỹ tích cơ bản:
+ .=k, với A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I (với
I là trung điểm của AB), bán kính R =, nếu

+ k ≥ 0.
+ . = k với A, B là các điểm cố định, k không đổi. Quỹ tích điểm M là đường
vuông góc với AB tại điểm H trên đường thẳng AB thỏa = .
+ AM
2
= k, với A cố định, k ≥ 0 không đổi. Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm
A bán kính R = .
1.5.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
3+= 2++ (1)
Giải
Gọi I là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC:
3+= 2++
⇔ 32 = 22+
⇔ 32= 22+2++

⇔ 32= 23
⇔ MI = MG
Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng GI.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm N trong các trường hợp sau:
a/ + = - (1)
b/ 4++ = 2 (2)
Giải
a) Gọi M là trung điểm BC, ta có:
23
+ = -⇔ 2 = ⇔ NM =
Vậy tập hợp điểm N là đường tròn tâm M, bán kính R =
BC
2
b) Với M là trung điểm của BC.
Gọi I là điểm thỏa mãn 4++= , ta có:
4++= 2
⇔ 6= 2-2 ⇔ 6= 2 ⇔ NI = MA = const.
Vậy tập hợp điểm N là đường tròn tâm I, bán kính R =
1
3
MA.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp những điểm I thỏa mãn:
a/ k - k + = (1)
b/ (1 - k) - K + = (2)
Giải
a) (1) ⇔ = k ( - ) = k

⇔
I thuộc đường thẳng qua C song song với AB
b) (2) ⇔ - k - k + =

⇔ + - k ( - ) = (3)
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta có:
(3) ⇔ + + + - k( + + + ) =
⇔ 2 - 2k =
⇔ k =
⇔ I thuộc đường trung bình MN của
∆
ABC.
Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng MN. Tìm quỹ tích điểm I trong mỗi trường hợp sau:
a/ . =
b/ 2
2
= .
Giải
a/ . =
⇔ . - = 0
⇔ .( - ) = 0 ⇔
IM = 0
IM MN


⊥

uuur
Vậy quỹ tích điểm I là đường thẳng vuông góc với MN tại M.
b/ 2 = . ⇔ 2 - . = 0
24
⇔ (2 - ) = 0 (*)
Gọi J là điểm thỏa mãn 2 - = 0 thì 2 - =
(*) ⇔ . = 0 ⇔ ⊥

Vậy quỹ tích điểm I là đường tròn đường kính MJ.
1.6. Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình
1.6.1. Phương pháp chung
* Bước 1: Tìm một phép biến hình (tịnh tiến T
v
r
, đối xứng trục Đ
a
, đối xứng
tâm, phép quay
O
Q
α
, phép vị tự
k
O
V
) biến điểm M di động thành điểm M’.
* Bước 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm M.
* Bước 3: Kết luận tập hợp các điểm M’ là ảnh của (H) trong phép biến hình
(tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự) trên.
1.6.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B.
Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ
tích N sao cho + = .
Giải
Ta có: + = ⇒ = - =

⇒
N là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Vậy quỹ tích điểm N là đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép
tịnh tiến theo vectơ .
Ví dụ 2: Trên đường tròn (O; R), lấy hai điểm A, B cố định và một điểm C di
động. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải
Gọi I là trung điểm của AB nên I cố định.
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên =
⇒
1
3
( )
I
C V G=
Vậy tập hợp các điểm G là ảnh của đường tròn
(O;R) trong phép vị tự tâm I, tỉ số
1
3
Hình 1.21
Hình 1.22
25
Dựng O’ sao cho =
Dựng
';
3
R
O
 
 ÷
 
ảnh của (O; R).