Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến!
Quan hệ vuông góc
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b
⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một
tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥
a
c
b

( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

a
b
P
a
P
b
( )
( )
a song song P
a b
b P

⇒ ⊥

⊥

∆
A
C

B
AB
BC
AC
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

c
a
b
P
b
,
c
cắt nhau ,
, ( )b c P⊂
,
,a b a c⊥ ⊥
⇒
( )a P⊥
Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến!
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông
góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu
đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì
đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó
 Lưu ý:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là
đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau.
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng
Các định lý:
1.
/ /
( ) 2. / /
( )
a b
a b
b a a b
a
b
α α
α
α
≠



⇒ ⊥ ⊥ ⇒
 
⊥



⊥

P
b
a
a
//
b
,
( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥
Q
P
b
a
( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
∩ =

⇒ ⊥

⊂ ⊥

P
(
β

)
(
α
)
∆
( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến!
3.
( ) / /( )
( ) 4.
/ /
a b a
a
a b a
β α α
β
α α α
⊥ ⊂

  
⇒ ⊥ ⇒
 

⊥ ⊥
  
5.
βα
β
α
βα
//⇒





⊥
⊥
≠
a
a
IV. Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng
A: Kiến thức cần nhớ
1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto có giá vuông góc với mặt phẳng
đó.
2. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với 2 mp đó.
3. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0

.
* Chú ý: Hai mp vuông góc với nhau thì chưa chắc mọi đường thẳng trong
mặt này sẽ vuông góc với mặt kia.
Các hệ quả:
1. Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm
trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng
vuông góc với mặt phẳng kia
Q
P
b
a
2. : Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
3. Nếu 2mp (P) và (Q) vuông góc với nhau, A là một điểm nằm trong (P) thì
đường thẳng a đi qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
( ) ( )
( ) ( )
( ),
P Q
A P a P
a Q A a
⊥


∈ ⇒ ⊂


⊥ ∈

B: Phương pháp chứng minh

C1: Chứng minh tích vô hướng của 2 vecto pháp tuyến của 2 mặt phẳng đó
bằng 0.
( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
∩ =

⇒ ⊥

⊂ ⊥

P
(
β
)
(
α
)
∆
( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆


⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến!
C2 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

C3(Hay dùng nhất): Cho hai mặt phẳng nếu có một đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia thì 2 mp đó vuông góc
với nhau.
V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Góc của hai đường thẳng
2. Góc của hai mặt phẳng
3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>
Góc giữa đường thẳng (a) và mặt phẳng (
α
) là góc giữa đường thẳng đó
và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
ϕ
y
x
β
α
∆
O
•
( ) ( )

α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))
α β
=
góc
·
( ; ) : 0 90
o
Ox Oy xOy
ϕ ϕ
= = ≤ ≤
•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
β

α
a
( )
( ) ( )
( )
a
a
β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
AOB
• Thường chọn điểm O
∈
a hoặc O
b
b'
a'
B
A
O

b
a
α
=
• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂


⊥ ∆

• Góc
( , )
α β

= Góc
( , )OA OB
=
·
AOB
ϕ
=
Chú ý: *
0 90
o
ϕ
≤ ≤

* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ
= −

β
α
B
O
A

ϕ
∆
Bin hc mờnh mụng ly chuyờn cn lm bn!
Tng quỏt: B1: Xỏc nh hỡnh chiu a ca a trờn mp (

)
B2: Xỏc nh gúc gia a v a
B3: Kt lun (a, (

)) = (a,a)
Xột trng hp a v (

) ct nhau ti mt im O.
>
Dựng cụng thc:
( , )
sin( , )
d A
a
OA



=
VI.KHOANG CACH
A. Lý thuyt


B
O

A

a


Chn im A thuc ng thng a.
Dng qua
( )AB


ti B.
Dng giao im O ca a v

nu cha cú.
( OB l hỡnh chiu ca a trờn mt phng (

))
Khi ú: Gúc
( ;( ))a

= Gúc
( , )OA OB
=
ã
AOB

=
.
Dựng MH




: d(M,

) = MH

M
H
Dựng: MH

(

), H thuộc (

) ta có: d(M,(

)) = MH

M
H
Chọn điểm M trên

1
, dựng MH



2
( H thuộc


2
) ta có d(

1
,

2
) = MH
//

1

2

2

1
M
H
Chọn điểm M thuộc

, dựng MH



( H thuộc (

)), ta có d(

,(


)) = MH

// (

)


H
M
Ta có: d((

),(

)) = d(

,(

)) = MH
(M thuộc

, MH

(

), H thuộc

)
(


) // (

),

chứa trong (

)
H
M



Khong cỏch t mt im
n mt ng thng
Khong cỏch t mt im
n mt mt phng
Khong cỏch gia hai
ng thng song song
Khong cỏch gia mt
phng v ng thng //
song song
Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Bin hc mờnh mụng ly chuyờn cn lm bn!
1. Dng mp cha t ny v song
2
vi t kia
2. Dng on vuụng gúc chung ca 2 t
3. Nu a, b chộo nhau v a vuụng gúc b
- Dng hoc tỡm mp(


) cha b v vuụng gúc vi a ti A.
- Trong (

), t A dng on AB

b ti B
- on AB l on vuụng gúc chung ca a v b
4. Dng cp mp song song ln lt cha
2 ng thng chộo nhau.T ú quy v bi toỏn tỡm khong cỏc gia 2
mp song song.
HèNH V MT S HèNH CHểP T BIT
A. Hỡnh choựp tam giaực ủeu

>
Hỡnh chúp tam giỏc u:


ỏy l tam giỏc u


Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn

>
c bit: Hỡnh t din u cú:


ỏy l tam giỏc u



Cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u

>
Cỏch v:


V ỏy ABC


V trung tuyn AI


Dng trng tõm H
V SH

(ABC)


Ta cú:


SH l chiu cao ca hỡnh chúp


Gúc gia cnh bờn v mt ỏy l:
ã
SAH

=
.



Gúc mt bờn v mt ỏy l:
ã
SIH

=
B.Hỡnh chúp t giỏc u


>
Hỡnh chúp t giỏc u:


Dựng mặt phẳng (

) chứa b & (

) // a


Dựng MH

(

), M thuộc a, H thuộc (

)

Dựng a' trong mặt phẳng (


), a' // a
đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B

Dựng

qua B và // MH,

cắt a tại A
Khi đó:
d(a,b) = d(a,(

))
= d(M,(

)) = MH =
AB

a và b chéo nhau

B
A
H
M
a'
b
a
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
h



I
C
A
H
S
B
Biển học mênh mông lấy chuyên cần làm bến!

∗
Đáy là hình vuông

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABCD

∗
Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD

∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)


•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp


∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SAH
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
C. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
ϕ
β
α
D
A
B
C
S

*** Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c
+ +
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
β
α
I
H
D
A
B
C
S
β
α
A
C
B

S
∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗

Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ
=