BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN ĐĂNG BÁU
VỀ VÀNH NỘI XẠ BÉ VÀ MỘT SỐ
MỞ RỘNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Văn Thuyết
HUẾ, Năm 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình
nào khác.
Họ tên tác giả
Nguyễn Đăng Báu.
i
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo sư tiến sĩ
Lê Văn Thuyết, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành
tốt luận văn này.
Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo trong khoa Toán,
trường Đại học Sư phạm Huế đã tận tâm truyền đạt kiến thức cho tôi trong
suốt quá trình học tập.
Tôi cũng xin cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, động viên của quý thầy cô
giáo và bạn bè trong suốt thời gian tôi làm luận văn.
Huế, ngày 15 tháng 09 năm 2013
Học viên thực hiện

Nguyễn Đăng Báu.
ii
MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun . . . . . . . 6
1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và một số vành nội xạ . .
11
1.3. Một số lớp vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Tổng quan về vành nội xạ bé . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1. Môđun nội xạ bé và vành nội xạ bé . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Môđun nội xạ bé chính và vành nội xạ bé chính . . 31
2.3. Môđun nội xạ bé hữu hạn và vành nội xạ bé hữu hạn.
34
2.4. Vành FJ-nội xạ đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 3. Một số mở rộng của vành nội xạ bé. . . . . . . . . . . 44
3.1. Một số mở rộng của môđun nội xạ bé . . . . . . . . . . . . 44
3.2. Mối liên hệ giữa vành nội xạ bé và vành PF, QF 48
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
BẢNG KÍ HIỆU
M
R
M là R-môđun phải
R

M M là R-môđun trái
J rad(R
R
) = rad(
R
R)
Z(M) môđun con suy biến của môđun M
Z
r
, Z
l
Z(R
R
), Z(
R
R)
S
r
, S
l
Soc(R
R
), Soc(
R
R)
E(M
R
) bao nội xạ của M
R
r

R
(X) linh hóa tử phải của X
l
R
(X) linh hóa tử trái của X
N ≤ M N là môđun con của M
N < M N là môđun con thực sự của M
N ≤
e
M N là môđun con cốt yếu của M
N ≤
⊕
M N là hạng tử trực tiếp của M
N  M N là môđun con bé của M
N ≤
max
N là môđun cực đại của M
M
(I)
Tổng trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M
M
I
Tích trực tiếp của |I| các bản sao của môđun M
End(M) Vành các tự đồng cấu của môđun M
2
MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun là một bộ phận của lý thuyết đại số kết hợp
đã và đang được phát triển khá mạnh mẽ. Việc nghiên cứu sâu về môđun và
vành hiện nay của nhiều tác giả đã làm cho hướng nghiên cứu này có điều
kiện phát triển hơn. Đặc biệt, với hướng nghiên cứu dùng phạm trù Mod-R

để đặc trưng vành, ta chú trọng đến các môđun nội xạ và xạ ảnh. Chính vì
thế việc mở rộng nội xạ đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học, trong đó phải kể đến Wisbauer R, Faith C, Nicholson W. K. và Yousif
M. F Và một trong những hướng mở rộng nội xạ khá phổ biến đó là dựa
vào tiêu chuẩn Baer. Từ việc mở rộng đó, người ta đã thu được các kết quả
về đặc trưng nhiều lớp vành quan trọng khác, chẳng hạn như vành PF, vành
QF.
Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuẩn
Baer là lớp môđun nội xạ bé (small injective module). Trong đó các khái
niệm môđun nội xạ bé hữu hạn phải (right small finitely injective, viết gọn là
SF-nội xạ) và nội xạ bé chính phải (right small principally injective, viết gọn
là SP nội xạ) là rất quan trọng. Môđun M
R
được gọi là nội xạ bé nếu mọi
đồng cấu từ một iđêan phải bé của R vào M
R
có thể mở rộng được thành một
R-đồng cấu từ R
R
vào M
R
. Vành R được gọi là nội xạ bé phải nếu môđun
phải R
R
là nội xạ bé. Môđun M
R
được gọi là nội xạ bé hữu hạn (small finitely
injective, viết gọn là SF-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và
hữu hạn sinh vào M
R

có thể mở rộng thành một R-đồng cấu từ R
R
vào M
R
.
Môđun M
R
được gọi là nội xạ bé chính (small principally injective, viết gọn
là SP-nội xạ) nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải bé và chính vào M
R
có thể
mở rộng thành một R-đồng cấu từ R
R
vào M
R
. Vành R được gọi là SF-nội
xạ phải (tương ứng SP-nội xạ) nếu R
R
là SF-nội xạ (tương ứng SP-nội xạ).
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể xét đến một lớp các môđun thỏa mãn điều
3
kiện sau: ∀B ∈ Mod − R, ∀A ≤
e
B mọi đồng cấu f : A −→ M có thể mở
rộng thành đồng cấu từ B vào M.
Việc nghiên cứu vành nội xạ bé được biết đến với Shen L. và Chen J. vào
năm 2005. Năm 2009, thông qua việc khảo sát một số tính chất của môđun
và vành nội xạ bé, Lê Văn Thuyết và Trương Công Quỳnh đã đưa ra một số
kết quả, đồng thời cũng đã mở rộng một số kết quả của Chen và Ding.
Năm 1966 Faith đã chứng minh R là QF nếu và chỉ nếu R là tự nội xạ phải

và thỏa mãn điều kiện dãy tăng đối với các linh hóa tử phải. Năm 1970 Bjork
đã chứng minh được rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là F-nội xạ phải và thỏa
mãn điều kiện dãy tăng đối với linh hóa tử phải. Năm 2009 Lê Văn Thuyết
và Trương Công Quỳnh đã chứng minh rằng R là QF nếu và chỉ nếu R là nửa
chính quy và SF-nội xạ phải thỏa ACC đới với các linh hóa tử phải cũng như
R là vành SF-nội xạ thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải và S
r
≤
e
R
R
.
Trong luận văn này chúng tôi tổng quan lại một cách hệ thống các kết
quả liên quan đến vành nội xạ bé, môđun SF-nội xạ cùng với vành SF-nội
xạ, môđun SP-nội xạ cùng với vành SP-nội xạ, áp dụng các kết quả trong
các trường hợp đặc biệt đồng thời chứng minh tường minh nhiều kết quả mà
trong các bài báo [13], [14], [15] được viết ngắn gọn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành ba chương trong đó nội dung chính được trình bày ở chương hai và
chương ba.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về vành
và môđun nhằm phục vụ cho những chứng minh của các chương sau.
Chương 2 Tổng quan về vành nội xạ bé.
Trong chương hai, chúng tôi nêu lên các định nghĩa, tính chất đặc trưng
của vành nội xạ bé và một số mối liên quan với các lớp vành khác như vành
nội xạ cực tiểu, vành linh hóa tử cực tiểu, vành F-nội xạ, vành P-nội xạ
4
Chương 3 Một số mở rộng của vành nội xạ bé.
Trong chương ba, chúng tôi trình bày mở rộng của vành nội xạ bé qua

định nghĩa và một số các tính chất của vành này. Chúng tôi cũng đã trình
bày các định lí liên quan đến vành QF, PF từ vành nội xạ bé.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trình bày
khó tránh khỏi các sai sót, mong độc giả góp ý thêm để luận văn được hoàn
thiện hơn.
5
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng
trong các chương sau, bao gồm một số khái niệm và kết quả cơ bản về vành
và môđun, về môđun nội xạ và các lớp vành liên quan.
1.1. Một số khái niệm cơ bản về vành và môđun
Trong luận văn này, vành được cho là vành có đơn vị và môđun được xét
là môđun unita.
1.1.1. Vấn đề linh hóa tử
Định nghĩa 1.1. Cho môđun phải M
R
.
(a) Giả sử X ⊆ M. Linh hóa tử phải (right anihilator) của X trong R là
r
R
(X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}.
(b) Giả sử A ⊆ R. Linh hóa tử trái (left anihilator) của A trong M là
l
M
(A) = {x ∈ M | xa = 0, ∀a ∈ A}.
Khi X = {x} hay A = {a}, ta viết gọn r
R
(x), l
M

(a). Với những linh hóa
tử trên R, nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể kí hiệu l, r cho gọn.
Mệnh đề 1.1.1 ([1], MĐ 1.2.3, p.153). Cho
R
M. X, Y ≤ M, A, B ≤ R
R
. Lúc
đó:
i) A ≤ B ⇒ r
M
(A) ≥ r
M
(B).
ii) X ≤ r
M
l
R
(X), A ≤ l
R
r
M
(A).
iii) l
R
(X) = l
R
r
M
l
R

(X), r
M
(A) = r
M
l
R
r
M
(A).
6
Mệnh đề 1.1.2 ([1], MĐ 1.2.4, p.153). Cho
R
M và (K
α
)
α∈A
, (I
α
)
α∈A
lần lượt
là các nhóm con của nhóm cộng M và R tương ứng. Khi đó:
i) l
R
(

A
K
α
) =


A
l
R
(K
α
).
ii) r
M
(

A
I
α
) =

A
r
M
(I
α
).
1.1.2. Căn và đế của vành
Mệnh đề 1.1.3 ([1], MĐ 1.1.1, p.101). Cho M = M
R
. Khi đó:
i)

AM
A =


B≤M
B =

ϕ∈Hom
R
(M,N)
Kerϕ
trong đó B là môđun con cực đại của M, còn N
R
là môđun nửa đơn tùy ý.
ii)

A≤
e
M
A =

B≤M
B =

ϕ∈Hom
R
(N,M)
Imϕ
trong đó B là môđun con đơn của M, còn N
R
là môđun nửa đơn tùy ý.
Định nghĩa 1.2. i) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (i) được gọi
là căn của M, kí hiệu là rad(M).

ii) Môđun con của M thỏa mãn Mệnh đề 1.1.3 (ii) được gọi là đế của M,
kí hiệu là soc(M).
Mệnh đề 1.1.4 ([3], Proposition 9.14, p.120). Cho M, N là các R-môđun
phải, f : M −→ N là một R-đồng cấu. Khi đó f(RadM) ≤ RadN.
Mệnh đề 1.1.5 ([6], Lemma 9.3.1). Cho A ≤ R
R
. Khi đó các mệnh đề sau
là tương đương:
i) A  R
R
.
ii) A ≤ rad(R
R
).
iii) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch phải trongR].
iv) ∀a ∈ A[1 − a khả nghịch trong R].
7
1.1.3. Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của các môđun
Trong lí thuyết môđun, ta không chỉ nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân
tích nó thành những môđun đơn giản mà còn xây dựng những môđun mới từ
các môđun đã cho. Đó chính là các cấu trúc của tích trực tiếp và tổng trực
tiếp các môđun.
Định nghĩa 1.3. (Tích trực tiếp). Cho một họ những R-môđun phải A
i
i∈I
với I = ∅. Khi đó tích Descartes

i∈I
A
i

= {(a
i
)
i
| a
i
∈ A
i
} cùng với phép cộng
và phép nhân vô hướng theo thành phần:
(a
i
)
i∈I
+ (b
i
)
i∈I
= (a
i
+ b
i
)
i∈I
;
r(a
i
)
i∈I
= (ra

i
)
i∈I
là một R-môđun phải, gọi là tích trực tiếp (direct product) của họ {A
i
}
i∈I
.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
I
.
Định nghĩa 1.4. Họ (a
i
)
i∈I
∈

i∈I
A
i
được gọi là có giá hữu hạn nếu a
i
= 0

tất cả trừ một số hữu hạn.
Định nghĩa 1.5. (Tổng trực tiếp ngoài). Môđun con S của

i∈I
A
i
với
S = {(a
i
)
i∈I
∈

i∈I
A
i
| (a
i
)
i∈I
có giá hữu hạn } được gọi là tổng trực tiếp
ngoài của họ {A
i
}
i∈I
, được kí hiệu là

i∈I
A
i

.
Trường hợp A
i
= A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

i∈I
A
i
= A
(I)
.
Với mỗi j ∈ I, đồng cấu η
j
: A
j
−→

i∈I
A
i
xác định bởi a
j
−→ (a
i
)
i∈I
=
( , 0, a
j
, 0, ) là một phép nhúng.

Định nghĩa 1.6. (Tổng trực tiếp trong). Một R-môđun phải M được gọi
là tổng trực tiếp trong của họ {M
i
}
i∈I
những môđun con của nó nếu
M =

i∈I
M
i
và M
i



j∈I,j=i
M
j
) = 0, ∀ i ∈ I.
8
Định nghĩa 1.7. (Hạng tử trực tiếp). Một môđun con K của M được gọi
là hạng tử trực tiếp (direct summand) của M, kí hiệu K ≤
⊕
M nếu tồn tại
một môđun con H của M sao cho K ⊕ H = M. Khi đó H được gọi là môđun
con phụ của K trong M.
Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng (idempotent) của R nếu e
2
= e.

Mệnh đề 1.1.6 ([1], MĐ 4.3.4, p.191). Iđêan phải I của vành R là một hạng
tử trực tiếp của R
R
khi và chỉ khi tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = eR.
Hơn nữa, nếu e là một phần tử lũy đẳng của R thì 1 − e cũng là một phần tử
lũy đẳng của R và (1 − e)R là phần phụ của eR, tức là R
R
= eR ⊕ (1 − e)R.
Định nghĩa 1.8. (Vành đơn - Vành nửa đơn).
i) Vành R khác không được gọi là đơn nếu R chỉ có hai iđêan là 0 và R.
ii) Vành R được gọi là nửa đơn nếu R
R
có một phân tích nửa đơn, nghĩa
là R
R
có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của một tập các môđun con
đơn của nó.
Bổ đề 1.1.7 ([5], Corollary 2.16). Vành R/J là nửa đơn nếu nó không chứa
tập vô hạn các lũy đẳng trực giao.
1.1.4. Iđêan nil, lũy linh và T-lũy linh
Định nghĩa 1.9. Iđêan nil, lũy linh và T-lũy linh.
i) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là nil nếu ∀a ∈ A, ∃ n ∈
N | a
n
= 0.
ii) Iđêan phải (trái, hai phía) của vành R được gọi là lũy linh nếu ∃ n ∈
N | A
n
= 0.
iii) Tập con I của vành R là T-lũy linh trái nếu mọi dãy a

1
, a
2
, . . . , trong
I tồn tại một số n sao cho a
n
. . . a
1
= 0.
9
Bổ đề 1.1.8 ([7], Brauer’s Lemma 10.22, p.172). Cho U là một iđêan trái
cực tiểu của vành R. Khi đó U
2
= 0 hoặc U = Re với e là phần tử lũy đẳng
nào đó thuộc U.
Chứng minh.
Giả sử U
2
= 0. Khi đó U.a = 0 với a ∈ U, suy ra U.a = U. Chọn e ∈ U
sao cho a = ea. Tập I = {x ∈ U | xa = 0} là iđêan trái chứa thực sự trong
U vì e /∈ I. Do đó I = 0. Mặt khác ta có e
2
− e ∈ U và (e
2
− e)a = 0, suy ra
e
2
− e = 0. Vì
R
U là cực tiểu ta suy ra U = Re. 

Bổ đề 1.1.9 ([10], Lemma 3.29, p.70). Nếu R là vành thỏa ACC đối với các
linh hóa tử phải thì Z
r
lũy linh.
Chứng minh.
Đặt Z = Z
r
. Ta có Z ≥ Z
2
≥ . . . nên ta có r(Z) ≤ r(Z
2
) ≤ . . Do R thỏa
ACC đối với các linh hóa tử phải nên tồn tại n sao cho r(Z
n
) = r(Z
n+1
). Ta
cần chứng minh Z
n
= 0 tức là chứng minh r(Z
n
) = R.
Giả sử Z
n
a = 0 với a ∈ R, chọn r(b) là cực đại trong {r(b) | Z
n
b = 0}.
Với z ∈ Z thì r(z) ≤
e
R

R
, do đó r(z) ∩ bR = 0. Suy ra 0 = br, zbr = 0. Do
đó r(b) < r(zb), theo cách chọn ta có Z
n
zb = 0. Vì z ∈ Z tùy ý nên ta có
Z
n+1
b = 0, khi đó b ∈ r(Z
n+1
) = r(Z
n
) (mâu thuẩn). Vậy Z
n
a = 0 suy ra
r(Z
n
) = R. 
1.1.5. Môđun con cốt yếu và đối cốt yếu
Định nghĩa 1.10. Môđun con cốt yếu - đối cốt yếu.
i) Môđun con K của M được gọi là cốt yếu (essential) trong M, kí hiệu
K ≤
e
M, nếu với mọi môđun con L ≤ M, K ∩ L = 0 ⇒ L = 0. Khi đó
ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của K.
ii) Môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu (hoặc bé) (coessential)
trong M, kí hiệu K  M, nếu với mọi môđun con L ≤ M, K + L =
M ⇒ L = M.
10
Mệnh đề 1.1.10 ([2], MĐ 8.21, tr.92). Cho M
R

và K ≤ N ≤ M, H ≤ M.
Khi đó:
1. K ≤
e
M ⇔ K ≤
e
N và N ≤
e
M.
2. H ∩ K ≤
e
M ⇔ H ≤
e
M và K ≤
e
M.
Mệnh đề 1.1.11 ([2], BĐ 8.2.4, tr.193). Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong
M khi và chỉ khi với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = xr ∈ K.
Định nghĩa 1.11. (Môđun suy biến). Cho M
R
.
Z(M
R
) = {m ∈ M | r(m) ≤
e
R
R
} ≤ M là tập tất cả các phần tử suy
biến phải của M và được gọi là môđun con suy biến phải của M.
Kí hiệu: Z

r
= Z(R
R
), Z
l
= Z(
R
R).
1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và một số
vành nội xạ
Chúng ta sẽ đề cập đến lớp môđun rất quan trọng trong lí thuyết vành kết
hợp, đó là các môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và một số các vành nội xạ.
Định nghĩa 1.12. (Môđun nội xạ - Môđun xạ ảnh).
i) Môđun phải M
R
được gọi là môđun nội xạ (injective) nếu với mọi đơn
cấu f : A
R
−→ B
R
và với mỗi đồng cấu g : B
R
−→ M
R
sao cho g = hf, nghĩa
là sơ đồ sau giao hoán
0
GG
A
f

GG
g

B
h
~~
M
ii) Môđun phải N
R
được gọi là xạ ảnh (projective) nếu mọi toàn cấu α :
B
R
−→ C
R
và với mỗi đồng cấu β : N
R
−→ C
R
luôn tồn tại một đồng cấu
γ : N
R
−→ B
R
sao cho β = αγ, tức là sơ đồ sau giao hoán
N
γ
~~
β

B

α
GG
C
GG
0
11
Mệnh đề 1.2.1. (Tiêu chuẩn Baer). Một môđun phải M
R
là nội xạ khi và
chỉ khi với mỗi iđêan phải U ≤ R
R
và mỗi đồng cấu f : U −→ M luôn tồn
tại đồng cấu u : R
R
−→ M sao cho f = uv với v là phép nhúng U vào R.
1.2.1. Vành tự nội xạ
Định nghĩa 1.13. (Vành tự nội xạ). Vành R được gọi là vành tự nội
xạ phải (right self-injective ring) nếu môđun phải R
R
là nội xạ. Một cách
tương đương, vành R được gọi là vành tự nội xạ phải nếu mọi R-đồng cấu
α : I −→ R đều có thể mở rộng thành tự đồng cấu của R, trong đó I là một
iđêan phải của R. Hay nói cách khác, α = a· là phép nhân trái tác động bởi
phần tử a ∈ R.
Iđêan phải I trong định nghĩa trên được gọi là iđêan mở rộng được (ex-
tensive ideal).
Nhận xét 1. Từ định nghĩa ta suy ra được:
i) Mọi vành nửa đơn đều là vành tự nội xạ phải.
ii) Nếu R là vành tự nội xạ phải thì E(R
R

) = R
R
.
Định nghĩa 1.14. (Vành F-nội xạ). Vành R được gọi là vành F-nội xạ
phải nếu mọi iđêan phải hữu hạn sinh đều mở rộng được.
Bổ đề 1.2.2 ([10], Lemma 1.36, p.21). Cho T và T’ là các iđêan phải của
vành R. Khi đó nếu l(T ∩T

) = l(T )+l(T

) và α : T +T

−→ R là R-đồng cấu
sao cho α|
T
: T −→ R và α|
T

: T

−→ R đều có thể mở rộng thành R −→ R
thì α cũng mở rộng thành đồng cấu từ R −→ R.
Chứng minh.
Do α|
T
: T −→ R và α|
T

: T


−→ R đều có thể mở rộng thành R −→ R
nên ta có thể giả sử α = b· trên T và α = c· trên T

tức là α(t) = bt, ∀t ∈ T
và α(t

) = ct

, ∀t

∈ T

. Với mọi y ∈ T ∩ T

suy ra y ∈ T và y ∈ T

. Do đó
12
α(y) = by = cy hay (b − c)y = 0 ⇒ b − c ∈ l(T ∩ T

) = l(T ) + l(T

). Từ đó ta
có thể viết b − c = d − d

với dT = d

T

= 0. Đặt a = b − d = c − d


∈ R thì:
at = (b − d)t = bt = α(t), ∀t ∈ T (vì dt = 0)
at

= (c − d

)t

= ct

= α(t

), ∀t

∈ T

(vì d

t

= 0).
Suy ra α(t + t

) = α(t) + α(t

) = a(t + t

) tức là α = a·, a ∈ R do đó α là
mở rộng được thành R −→ R.

1.2.2. Vành nội xạ cực tiểu
Định nghĩa 1.15. (Môđun nội xạ cực tiểu - Vành nội xạ cực tiểu).
i) Môđun M
R
được gọi là nội xạ cực tiểu (mininjective) nếu với mỗi iđêan
phải đơn K của R, mọi đồng cấu f : K −→ M đều mở rộng được
thành R-đồng cấu g : R −→ M. Hay nói cách khác, mọi R-đồng cấu
f : K −→ M đều được cho bởi phép nhân trái f = m·, với m ∈ M.
ii) Vành R được gọi là nội xạ cực tiểu phải nếu R
R
là môđun nội xạ cực
tiểu. Tức là mọi iđêan đơn phải là mở rộng được.
Nhận xét 2. Mọi vành R có đế phải bằng 0 (S
r
= 0) đều là vành nội xạ cực
tiểu phải.
Ví dụ 1. (i) Vành các số nguyên Z là vành nội xạ cực tiểu phải. (Do trong
Z không có iđêan phải cực tiểu nào nên soc(Z
Z
) = 0).
(ii) Mọi vành đa thức R[x] đều là vành nội xạ cực tiểu trái và phải. (Do
cả đế phải và đế trái của R[x] đều bằng không).
Định lý 1.2.3 ([10], Threorem 2.21, p.46). Cho R là vành nội xạ cực tiểu
phải, giả sử k ∈ R.
i) Nếu kR là một iđêan phải đơn thì Rk là một iđêan trái đơn.
ii) S
r
≤ S
l
.

13
Chứng minh.
i) Nếu kR là đơn và 0 = ak ∈ Rk, ta xác định tương ứng γ = a· : kR −→
akR. Khi đó γ là một R-đồng cấu và cũng là một song ánh nên γ là một đẳng
cấu. Mặt khác do R là vành nội xạ cực tiểu phải nên γ
−1
= c·, c ∈ R. Do đó
k = γ
−1
(ak) = cak ∈ Rak. Suy ra Rk là đơn.
ii) Giả sử x ∈ S
r
, x = k
1
R ⊕ . . . ⊕ k
n
R với mỗi k
i
R là đơn. Khi đó theo
(i) mỗi Rk
i
cũng là đơn nên x ∈ S
l
. Vậy S
r
⊆ S
l
. 
1.2.3. Vành nội xạ chính
Một trong các mở rộng tự nhiên của môđun nội xạ thông qua tiêu chuấn

Baer là lớp các môđun nội xạ chính (principlally injective module, viết tắt là
môđun P-nội xạ).
Định nghĩa 1.16. (Môđun P-nội xạ và vành P-nội xạ).
i) Môđun M
R
được gọi là môđun nội xạ chính (principlally injective mod-
ule, viết tắt môđun P-nội xạ) nếu mọi đồng cấu α : aR −→ M, a ∈ R
đều có thể mở rộng thành R-đồng cấu β : R −→ M. Nói cách khác, M
R
là P-nội xạ nếu α = m· là phép nhân trái tác động bởi phần tử m ∈ M.
ii) Vành R được gọi là vành nội xạ chính (right principlally injective ring,
viết tắt là vành P-nội xạ) nếu R
R
là một môđun P-nội xạ, tức là mọi
R-đồng cấu α : aR −→ R, a ∈ R đều có thể mở rộng thành R-đồng cấu
β : R −→ R. Hay nói cách khác α = m· trong đó m là một phần tử nào
đó của R.
Nhận xét 3. Từ định nghĩa ta suy ra:
i) Nếu M
R
là môđun nội xạ thì M
R
cũng là môđun P-nội xạ.
ii) Mọi vành tự nội xạ phải (trái) đều là vành P-nội xạ phải (trái).
iii) Mọi vành P-nội xạ phải (trái) đều là vành nội xạ cực tiểu phải (trái).
14
Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng. Ví dụ vành Z các số
nguyên là nội xạ cực tiểu phải nhưng không là vành P-nội xạ phải.
Bổ đề dưới đây sẽ cho chúng ta biết các đặc trưng quan trọng của vành
P-nội xạ phải.

Bổ đề 1.2.4 ([9], Lemma 11). Các khẳng định sau là tương đương đối với
vành R:
i) R là P-nội xạ phải.
ii) lr(a) = Ra với mọi a ∈ R.
iii) Nếu r(a) ≤ r(b) với a ∈ R, b ∈ R suy ra Rb ≤ Ra.
iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra với mọi a ∈ R, b ∈ R.
v) Nếu γ : aR −→ R, a ∈ R là một R-đồng cấu thì γ(a) ∈ Ra.
Chứng minh.
Tương tự Bổ đề 2.2.2.
1.3. Một số lớp vành liên quan
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa và các tính chất quen
thuộc của các lớp vành liên quan như: vành Kasch, vành PF, vành QF nhằm
mục đích mở rộng hơn các khái niệm này ở chương sau.
1.3.1. Vành Kasch
Định nghĩa 1.17. (Vật sinh - Vật đối sinh).
i) Môđun C
R
được gọi là vật sinh (generator) của phạm trù các R-môđun
phải nếu nó sinh ra mọi môđun phải. Hay nói cách khác, với mọi môđun
phải M
R
, luôn tồn tại toàn cấu C
(I)
−→ M.
15
ii) Môđun C
R
được gọi là vật đối sinh (cogenerator) của phạm trù các
R-môđun phải nếu nó đối sinh ra mọi môđun phải. Hay nói cách khác,
với mọi môđun phải M

R
, luôn tồn tại đơn cấu M −→ C
(I)
.
Bổ đề 1.3.1 ([10], Lemma 1.42, p.23). Cho E
R
là môđun nội xạ. Khi đó E
là vật đối sinh khi và chỉ khi mọi môđun phải đơn đều nhúng vào trong E.
Định nghĩa 1.18. (Vành Kasch). Vành R được gọi là vành Kasch phải nếu
mọi môđun đơn phải K đều nhúng được trong R hay nói cách khác R
R
đối
sinh ra K.
Mệnh đề 1.3.2 ([10], Proposition 1.44, p.24). Các khẳng định sau là tương
đương đối với vành R đã cho:
i) R là vành Kasch phải.
ii) Hom(M, R
R
) = 0 với mọi R-môđun phải hữu hạn sinh M.
iii) l(T ) = 0 với mọi iđêan phải cực đại T của R.
iv) rl(T ) = T với mọi iđêan phải cực đại T của R.
v) E(R
R
) là vật đối sinh.
Chứng minh.
(i ⇒ ii) Giả sử M
R
là một môđun phải hữu hạn sinh bất kỳ của R. Khi
đó M
R

có môđun con cực đại N. Do đó M/N là đơn và α : M −→ M/N
là một phép chiếu hay α(M) là môđun đơn. Theo giả thiết R là vành Kasch
phải nên tồn tại đơn cấu 0 = β : α(M) −→ R
R
. Như vậy βα : M −→ R
R
là
một đồng cấu khác 0 hay Hom(M, R
R
) = 0.
(ii ⇒ iii) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó R/T là một
iđêan phải hữu hạn sinh. Từ giả thiết (ii) suy ra tồn tại đồng cấu 0 = γ :
R/T −→ R
R
. Đặt γ(1 + T ) = a, lúc đó a = 0 và aT = γ(1 + T ).γ(0) = γ(0) =
0. Suy ra a ∈ l(T ). Vậy l(T) = 0.
16
(iii ⇒ iv) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Khi đó ta luôn có
T ≤ rl(T). Mặt khác theo giả thiết (iii) ta có l(T ) = 0 do đó rl(T ) = R. Vì
T là iđêan cực đại nên ta suy ra T = rl(T ).
(iv ⇒ v) Giả sử T là một iđêan phải cực đại của R. Theo giả thiết (iv)
ta có rl(T ) = T, suy ra l(T) = 0. Do đó tồn tại 0 = a ∈ l(T) suy ra
rl(T ) ≤ r(a) hay T ≤ r(a) = R. Mà T là cực đại nên T = r(a). Xét tương
ứng α : R/T −→ R xác định bởi α(r + T) = ar. Dễ thấy α là một ánh xạ và
là một R-đồng cấu. Ta có kerα = {r ∈ R | α(r + T) = 0} = {r ∈ R | ar =
0} = r(a) = T . Do đó α là đơn cấu hay R/T → R ≤ E(R). Theo bổ đề 1.3.1
ta có E(R
R
) là vật đối sinh.
(v ⇒ i) Giả sử K

R
là một môđun đơn bất kỳ của R. Từ giả thiết (v) ta
suy ra tồn tại đơn cấu α : K −→ E(R). Vì R ≤
e
E(R) và 0 = α(K) ≤ E(R)
nên R ∩ α(K) = 0. Do đó α(K) ≤ R tức là K được nhúng trong R
R
. Vậy R
là vành Kasch phải. 
Bổ đề 1.3.3 ([10], Lemma 1.49, p.26). Cho R là vành tự nội xạ phải, nửa
hoàn chỉnh và thỏa S
r
≤
e
R
R
. Khi đó R là vành Kasch phải và Kasch trái.
Mệnh đề 1.3.4 ([10], Corollary 7.32, p.182). Cho R là vành CS phải, Kasch
phải. Khi đó R có đế phải cốt yếu và hữu hạn sinh.
1.3.2. Một số lớp vành khác
Định nghĩa 1.19. Vành R được gọi là CS cực tiểu trái (left min-CS) nếu
mọi iđêan cực tiểu trái là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của R
R
.
Định nghĩa 1.20. (Vành chính quy). Vành R được gọi là vành chính quy
(von Neumann) nếu mọi phần tử của nó đều là phần tử chính quy, tức là với
mọi a ∈ R, tồn tại b ∈ R sao cho a = aba.
Bổ đề 1.3.5 ([11], Lemma 2.2). Cho R là vành, a, c ∈ R. Nếu b = a − aca là
phần tử chính quy của R thì a cũng là phần tử chính quy.
Chứng minh.

17
Vì b là phần tử chính quy nên tồn tại phần tử d ∈ R sao cho b = bdb.
Khi đó a − aca = bdb hay a = aca + bdb = aca + (a − aca)d(a − aca). Suy ra
a = a[c + (1 − ca)d(1 − ac)]a. Do đó a là phần tử chính quy. 
Định nghĩa 1.21. (Vành I-nửa chính quy phải). Cho I là một iđêan của
vành R. Vành R được gọi là vành I-nửa chính quy phải (right I-semiregular)
nếu với mọi a ∈ I, aR = eR ⊕ T với e
2
= e, T ≤ I
R
.
Định lý 1.3.6 ([10], Theorem B.58, p.283). Cho R là vành I-nửa chính quy
phải. Khi đó với mọi iđêan phải hữu hạn sinh T ≤ R, T = eR ⊕ S với
e
2
= e, S ≤ I là iđêan phải.
Chứng minh.
Giả sử T = a
1
R + a
2
R + . . . + a
n
R. Ta chứng minh quy nạp theo n. Với
n = 1 khẳng định trên là đúng.
Giả sử khẳng định trên đúng với n − 1, trong đó (n ≥ 2). Do R là I-nửa
chính quy nên tồn tại f
2
= f ∈ R sao cho a
1

R = fR ⊕ K với K ≤ I. Với
a
1
= fr + k thì a
1
− fa
1
= a
1
− f(fr + k) = a
1
− f
2
r − fk = a
1
− fr − fk =
k − fk ∈ I, do đó a
1
− fa
1
∈ I (với f ∈ a
1
R). Suy ra (1 − f)a
1
R ≤ I. Đặt
L = (1 − f)a
2
R + . . . + (1 − f)a
n
R. Vì f ∈ a

1
R nên ta có T = a
1
R + L.
Theo giả thiết quy nạp tồn tại g
2
= g ∈ L sao cho (1−g)L = L∩(1−g)R ≤
I. Vì g ∈ L nên g = (1 − f)a
2
r + . . . + (1 − f)a
n
r suy ra fg = 0, do đó đặt
e = f + g − gf thì e ∈ T và e
2
= e. Lúc đó ta có (1 − e) = (1 − g)(1 − f) và
(1 − f)L = L (vì (1 − f)(1 − f) = 1 − f). Suy ra
T ∩ (1 − e)R = (1 − e)T ≤ (1 − g)(1 − f)a
1
R + (1 − f)(1 − g)L
≤ (1 − g)I + (1 − g)L ≤ I.
Ta chọn S = T ∩ (1 − e)R ta được T = eR ⊕ S. 
Trong trường hợp I = J vành J-nửa chính quy còn được gọi là vành nửa
chính quy.
18
Định nghĩa 1.22. (Vành nửa chính quy). Vành R được gọi là nửa chính
quy (semiregular ring) nếu R/J là chính quy và các lũy đẳng nâng được lên
môdulô J.
Định lý 1.3.7 ([10], Theorem B.51, p.280). R là vành nửa chính quy nếu và
chỉ nếu mọi I iđêan phải hữu hạn sinh của R thì R = H ⊕ K với H ≤ I và
I ∩ K  R.

Định nghĩa 1.23. (Vành nửa địa phương). Vành R được gọi là vành nửa
địa phương (semilocal ring) nếu R/J là vành nửa đơn.
Bổ đề 1.3.8 ([8], Corollary 3.2). Cho R là vành, K là iđêan phải của R.
Nếu R là vành nửa địa phương thì tồn tại iđêan phải L của R thỏa R =
K + L, K ∩ L ≤ J.
Định nghĩa 1.24. (Vành hoàn chỉnh). Vành R được gọi là vành hoàn
chỉnh phải (right perfect ring) nếu R/J là nửa đơn và J là T -lũy linh phải.
Định nghĩa 1.25. (Vành nửa hoàn chỉnh). Vành R được gọi là vành nửa
hoàn chỉnh (semiperfect ring) nếu R là vành nửa địa phương và các lũy đẳng
nâng lên được môdulô J.
Nhận xét 4. Từ định nghĩa suy ra: Mọi vành nửa hoàn chỉnh đều là vành
nửa chính quy và nửa địa phương.
Bổ đề 1.3.9 ([10], Lemma 4.1, p.79). Cho R là vành Kasch trái với r(L) cốt
yếu trong một hạng tử của R
R
với mọi iđêan trái cực đại L của R, khi đó R
là nửa hoàn chỉnh.
Định nghĩa 1.26. (Vành nửa nguyên sơ). Vành R được gọi là nửa nguyên
sơ (semiprimary ring) nếu R/J là nửa đơn và J là lũy linh.
Bổ đề 1.3.10 ([11], Lemma 2.10). Cho R là vành thỏa ACC đối với các linh
hóa tử phải, giả sử l(S) là iđêan phải và trái của R. Khi đó R/l(S) thỏa ACC
đối với các linh hóa tử phải.
19
Bổ đề 1.3.11 ([11], Lemma 2.11). Cho R là vành nội xạ cực tiểu phải thỏa
ACC đối với các linh hóa tử phải, S
r
≤
e
R
R

. Khi đó R là nửa nguyên sơ.
Chứng minh.
Vì R là vành nội xạ cực tiểu phải nên theo Định lí 1.2.3 ta có S
r
≤ S
l
.
Mặt khác ta luôn có JS
l
≤ rad(S
l
) suy ra JS
r
≤ rad(S
l
) = 0 ⇒ J ≤ l(S
r
).
Theo giả thiết ta có S
r
≤
e
R
R
nên l(S
r
) ≤ Z
r
. Mặt khác do R thỏa ACC đối
với các linh hóa tử phải nên Z

r
lũy linh (theo Bổ đề 1.1.9). Suy ra Z
r
≤ J.
Vậy J = l(S
r
) = Z
r
nên J là lũy linh.
Tiếp theo ta chứng minh R/J chính quy. Thật vậy với a = 0, vì J = Z
r
nên Z
r
không cốt yếu trong R
R
, do đó tồn tại iđêan phải I ≤ R
R
sao cho
r(a) ∩ I = 0. Mà S
r
≤
e
R
R
nên tồn tại iđêan phải cực tiểu bR ≤ I sao cho
r(a) ∩ bR = 0. Khi đó ánh xạ
f : abR −→ bR
abr −→ f(abr) = br, ∀r ∈ R
là một R-đồng cấu. Do f là nội xạ cực tiểu phải và abR là iđêan phải cực
tiểu phải nên tồn tại c ∈ R sao cho f(abr) = cabr với mọi r ∈ R. Do đó

b = cab ⇒ ab = acab do đó b ∈ r(a − aca)\r(a).
Nếu a − aca ∈ J thì a là chính quy. Nếu a không chính quy, ta giả
sử a
1
= a − aca lúc đó tồn tại phần tử a
2
= a
1
− a
1
c
1
a
1
với c
1
∈ R và
r(a
1
) < r(a
2
). Lập lại quá trình trên ta có dãy tăng ngặt r(a
1
) < r(a
2
) . . .
(mâu thuẩn). Vậy R chính quy. Ngoài ra do J = l(S
r
) nên R/J = R/l(S
r

) và
R/l(S
r
) là thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải do đó R/J là nửa đơn. Vậy
R là nửa nguyên sơ. 
Bổ đề 1.3.12 ([9], Lemma 3.30, p.70). Cho R là vành nửa nguyên sơ với dãy
tăng các linh hóa tử phải, S
r
= S
l
là R-môđun trái hữu hạn chiều. Khi đó R
là Artin trái.
Định nghĩa 1.27. Vành R được gọi là vành đối xứng cực tiểu phải (right
20
minsymmetric) nếu với k ∈ R nếu kR là iđêan phải cực tiểu của R thì Rk là
iđêan trái cực tiểu của R.
Định nghĩa 1.28. (Vành CS - Vành CS-cực tiểu).
i) Vành R được gọi là CS trái (left CS) nếu mọi iđêan trái là cốt yếu trong
một hạng tử trực tiếp của
R
R.
ii) Vành R được gọi là CS-cực tiểu trái (left min-CS) nếu mọi iđêan trái
cực tiểu là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
R
R.
Trong phần tiếp sau đây, chúng tôi sẽ đề cập đến hai lớp vành khá quan
trọng trong lý thuyết đại số kết hợp, đó là vành PF và vành QF.
1.3.3. Vành PF
Định nghĩa 1.29. (Môđun trung thành - Vành PF). Cho vành R.
i) Môđun M

R
được gọi là trung thành (faithful) nếu r(M) = 0.
ii) Vành R được gọi là vành giả Frobenius phải (Pseudo-Frobenius, viết tắt
là PF) nếu mọi R-môđun phải trung thành là một vật sinh của phạm
trù các R-môđun phải.
Định lý 1.3.13 ([10], Threorem 1.56, p.32). (Azumaya-Kato-Osofsky-
Utumi Theorem). Cho R là một vành. Những khẳng định sau là tương
đương:
i) R là vành PF phải.
ii) Mọi vật đối sinh phải là vật sinh.
iii) R là tự nội xạ phải với đế phải S
r
là hữu hạn sinh và cốt yếu trong R
R
(tức là S
r
≤
e
R).
iv) R là tự nội xạ phải, nửa hoàn chỉnh với đế phải cốt yếu.
v) R là vật đối sinh, Kasch trái.
21
1.3.4. Vành QF
Định nghĩa 1.30. (Vành QF). Vành R được gọi là vành tựa Frobenius
(Quasi-Frobenius, viết tắt là QF) nếu R là tự nội xạ phải và trái, Artin phải
và trái.
Như vậy mọi vành nửa đơn đều là vành QF và mọi vành QF đều là vành
PF phải và trái. Đây là lớp vành rất quan trọng và được nhiều nhà toán học
quan tâm. Người ta thu được nhiều điều kiện yếu hơn nhưng vẫn tương đương
định nghĩa của vành QF.

Định lý 1.3.14 ([10], Threorem 1.50, p.27). Các khẳng định sau là tương
đương đối với vành R đã cho:
i) R là QF.
ii) R là tự nội xạ phải hoặc trái và Noether phải hoặc trái.
iii) R là tự nội xạ phải hoặc trái và Artin phải hoặc trái.
iv) R là tự nội xạ phải hoặc trái và thỏa ACC đối với các linh hóa tử phải.
v) R là Noether phải và trái, rl(T) = T với mọi iđêan phải T và lr(L) = L
với mọi iđêan trái L.
Định lý 1.3.15 ([10], Threorem 2.30, p.50). (Ikeda’s Theorem) Những
khẳng định sau là tương đương đối với vành R:
i) R là vành QF.
ii) R là nội xạ cực tiểu hai phía và Artin hai phía.
Định lý 1.3.16 ([10], Threorem 3.31, p.71). Cho R là vành nửa địa phương,
nội xạ cực tiểu phải và trái với dãy tăng các linh hóa tử phải, S
r
≤
e
R
R
. Khi
đó R là QF.
Chứng minh.
22