1
Đề BI:


S
2
S
3
S
1
EJ=Const
M
2M
M
A
B
a a
a a a

YÊU CầU:
1, Xác định tần số v dạng dao động riêng?
2, Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao động riêng? Khi hệ chịu
véctơ xung bên ngoi tác dụng vo hệ l:

{}
S
5,1
1
1
S
S

S
S
3
2
1










=










=

3, Xác định véctơ chuyển vị tại các khối lợng?
4, Xác định véctơ lực đn hồi (tơng ứng với trạng thái động) ?

5, Xác định mô men uốn tại A, B theo thời gian?
6, Vẽ đồ thị mô men uốn theo thời gian tại điểm A: M
A
(t) khi hệ chịu tác dụng
xung trong khoảng thời gian t = 2T
1
(T
1
l chu kỳ dao động riêng dạng thứ nhất)
Số liệu:
S = 1 KNs
E = 2,1.10
4
KN/cm
2

J = 8880 cm
4
M = 1 KNs
2
/m = 1.10
-2
KNs
2
/cm
a = 2 m= 2.10
2
cm




2
Bi lm


1. Xác định tần số và dạng dao động riêng:

a, Xác định ma trận khối lợng
[]
M
v ma trận mềm
[]
F
:
Ta thấy, hệ có 3 bậc tự do nên:
Ma trận khối lợng
[]
M sẽ l:
[]










=











=
100
020
001
M
m00
0m0
00m
MM
3
2
1

V ma trận mềm
[]
F :
[]














=













=
1161,01025,00294,0
1025,01682,00587,0
0294,00587,01226,0
EJ
a

F
3
333231
232221
131211

Trong đó: Các chuyển vị đơn vị
ki

đợc xác định theo công thức nhân
biểu đồ Vêrêsaghin từ các biểu đồ mô men đơn vị (Hình 1):
(
)
(
)



















++
++++
++
=
==
)a0011,0*a0011,0a0832,0*
3
2
*a0832,0(a
2
1
a0836,0*
3
2
*a0836,0*a
2
1
a0011,0*a*a0011,0a0857,0
3
2
*a0857,0*a
2
1
a
0857,0*a0857,0*a
)a1704,0*
3

2
*a1704,0a04148*
3
2
*a04148,0(a
2
1
a04148*
3
2
*a04148,0*a
2
1
EJ
1
MM
1111
=0,1226
EJ
a
3

(
)
(
)
=



















++
+++
+++
=
==
)a0358,0*
3
2
*a0358,0a3290,0*
3
2
*a3290,0(a
2
1
a0358,0*a0358,0*a

a3664,0*
3
2
*a3664,0*a
2
1
)a2314,0
3
2
*a2314,0
a4022,0*
3
2
*a4022,0(a
2
1
a2314,0*a2314,0*aa1157,0*
3
2
*a1157,0,0*a
2
1
a1157,0*
3
2
*a1157,0*a
2
1
EJ
1

MM
2222
=0,1682
EJ
a
3


3

(
)
(
)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜

⎝
⎛
−+
+++
+−+
=
==δ
)a2970,0
3
2
*a2970,0a4955,0*
3
2
*a04955,0(a
2
1
a00896,0*a*a0896,0a0274,0
3
2
*a2074,0*a
2
1
)a0896,0*
3
2
*a0896,0a1176,0*
3
2
*a1176,0(a
2

1
a1176,0*
3
2
*a1176,0*a2*
2
1
EJ
1
MM
3333

=0,1161
EJ
a
3
()()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−−+−
++−
−−−
==δ=δ
a3290,0*a0832,0*a
2
1
a0358,0*a0857,0*a
2
1
a0857,0*
3
2
*a3664,0*a
2
1
a0857,0*a4022,0*a
2

1
a0587,0*
a2314,0*a*
2
1
a4022,0*
3
1
*a0857,0*a
2
1
)a3664,0*
3
2
*a0857,0*a
2
1
()a1157,0*a1704,0*a
2
1
a1157,0*a4148,0*a
2
1
(
)a1704,0
3
2
*a1157,0a4148,0*
3
1

*a1157,0(a
2
1
a4148
,0*
3
2
*a1157,0*a
2
1
EJ
1
MM
212112

=-0,0587
EJ
a
3

(
)
(
)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+−
−−+−
+−+
+−−
==δ=δ
a0832,0*
3

2
*a4955,0*a
2
1
a0832,0*
3
1
*a2970,0*a
2
1
a0896,0*a0857,0*a
2
1
0857,0*
3
1
*a2074,0*a
2
1
a0857,0*
a0896,0*a
2
1
a0857,0*a1176,0*a
2
1
a1704,0*
3
1
*a0896,0*a

2
1
a0847,0*
2
1
*a1176,0*a
3
2
)a0589,0*a1704,0a0589,0*a4148,0(a
2
1
a1704,0
3
2
*a0589,0*a
2
1
a4148,0*
3
1
*a0589
,0*a
2
1
a0589,0*
3
2
*a4148,0*a
2
1

EJ
1
MM
313113
= - 0,0294
EJ
a
3



4
(
)
(
)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜

⎜
⎜
⎝
⎛
−++
+−+
−+
==δ=δ
a2970,0*a
3
1
a4955,0*
3
2
(a329,0*a
2
1
a2074,0*
3
1
*a4022,0*a
2
1
a896,0*a4022,0*a
2
1
)a896,0*a2314,0*
3
1
a0896,0

*a4022,0*
3
2
a11176,0
3
1
*a4022,0a1176,0*
3
2
*a2314,0(a
2
1
a2314,0*
3
2
*a1176,0*a2*
2
1
EJ
1
MM
323223

= 0,1025
EJ
a
3

P
1

=1
P
2
=1
P
3
=1
O,2314
0,1157
0,4022
0,3290
0,1176
0,0896
0,2970
0,4955
0.0589
0,1704
0,4148
0,0857
0,0011
0,0832
0,0358
M
1
M
2
M
3



H×nh 1: BiÓu ®å m« men ®¬n vÞ


5
b, Xác định tần số dao động riêng

:
Phơng trình tần số viết ở dạng ma trận:

[][ ] []
0*
1
*
2
= EMF


Thay số vo cho ta:

u116143,0205080,00293788,0
102540,0u336349,00586946,0
029378,0117389,0u122576,0
EJ
Ma
3



= 0 ;
Với:

23
Ma
EJ
u

=
(1)
Khai triển định thức ta đợc:
-u
3
+ 0,57507u
2
- 0,065747u + 0,0018275 = 0
Giải phơng trình ny cho ta nghiệm:






=
=
=
0423,0u
0998,0u
4330,0u
3
2
1


Thế các giá trị u vừa tìm đợc vo biểu thức (1) cho ta các giá trị

tơng
ứng cần tìm:






=
=
=
3746,73
8126,152
7919,234
3
2
1
(s
-1
)
Với:
E = 2,1.10
4
KN/cm
2

J = 8880 cm
4

M = 1 KNs
2
/m = 1.10
-2
KNs
2
/cm
a = 2m = 2.10
2
cm

c, Xác định dạng dao động riêng
[]

:
+ Dạng dao động riêng đợc xác định dới dạng ma trận theo công thức:

{}
[]
{}
1
1
11
*
BB
i

=



Thay số vo cho ta:
6

{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=ϕ
−
0293788,0

0586946,0
u116143,0205080,0
102540,0u336349,0
1
*
i

(2)
* i=1; thay u
1
= 0,9111 vμo biÓu thøc (2), cho ta:

{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=ϕ
5527,1
2555,2
*
1


⇒
{}

⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=ϕ
5527,1
2555,2
1
1
(*)
* i=2; thay u
2
= 0,3048 vμo biÓu thøc (2), cho ta:

{}
⎭
⎬
⎫

⎩
⎨
⎧
=ϕ
2964,0
1197,0
*
2


⇒

{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=ϕ
2964,0
1197,0
1
2
(**)
* i=3; thay u

3
= 0,049 vμo biÓu thøc (2), cho ta:

{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=ϕ
9211,4
9156,1
*
3


⇒

{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
−
=ϕ
9211,4
9156,1
1
3
(***)
+ Ma trËn c¸c d¹ng dao ®éng:
Gép vμo ma trËn c¸c d¹ng dao ®éng riªng cña hÖ;
Tõ (*),(**),(***):

[]
{}{}{}
[]
==Φ
321
ϕ
ϕ
ϕ
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

−−
−
9211,42964,05527,1
9156,11197,02555,2
0000,10000,10000,1

7
+ KiÓm tra ®iÒu kiÖn trùc giao c¸c d¹ng dao ®éng riªng:

{}
[]
{}
21
ϕϕ
M
T
=
{}
0000008724,0
2964,0
1197,0
0000,1
M
100
020
001
5527,12555,20000,1 ≈−=
⎪
⎭
⎪

⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−


{}
[]
{}
31
ϕϕ
M
T
=
{}
000005624,0

9211,4
9156,1
0000,1
M
100
020
001
5527,12555,20000,1 ≈−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−



{}
[]
{}
1
T
2
M ϕϕ =
{}
0000008724,0
5527,1
2555,2
0000,1
M
100
020
001
2964,01197,0000,1 ≈=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−

−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

{}
[]
{}
1
T
3
M ϕϕ =
{}
000005624,0
5527,1
2555,2
0000,1
M
100
020
001
9211,49156,1000,1 ≈−=
⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−

{}
[]
{}
3
T
2
M ϕϕ

=
{}
0000005018,0
9211,4
9156,1
0000,1
M
100
020
001
2964,01197,0000,1 ≈=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡

{}
[]
{}
2
T
3
M ϕϕ
=
{}
0000005018,0
2964,0
1197,0
0000,1
M
100
020
001
9211,49156,1000,1 ≈=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−


=> Nh− vËy ®iÒu kiÖn trùc giao ®−îc tháa m·n.
+ ThÓ hiÖn c¸c d¹ng dao ®éng riªng b»ng h×nh vÏ (H×nh 2):

8
ϕ
1
1,00
2,255
1,552
B

B
ϕ
2
1,00
0,119

0,296

B
ϕ
3
1,00
1,915
4,921

H×nh 2: BiÓu ®å c¸c d¹ng dao ®éng riªng
d/ ChuÈn hãa c¸c d¹ng dao ®éng riªng:
{}
[]
{}{ }
M5851,13
5527,1
2555,2
0000,1
M
100
020
001
5527,12555,20000,1Ma
1
T
1
2
1
=
⎪

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=ϕϕ=

⇒
M6858,3a
1
=

{}
[]

{}{ }
M1143,1
2964,0
1197,0
0000,1
M
100
020
001
2964,01197,0000,1Ma
2
T
2
2
2
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=ϕϕ=

⇒
M0566,1a
2
=

9
{}
[]
{}{ }
M5562,32
9211,4
9156,1
0000,1
M
100
020
001
9211,49156,1000,1Ma
3
T
3
2

3
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=ϕϕ=
⇒
M7058,5a
3
=

+ D¹ng dao ®éng riªng chuÈn:

{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=ϕ
4213,0
6119,0
2713,0
M
1
5527,1
2555,2
0000,1
M6858,3
1
5527,1
2555,2
0000,1
a
1
1
ch,1

{}
⎪
⎭
⎪
⎬

⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=ϕ
2805,0

1133,0
9464,0
M
1
2964,0
1197,0
0000,1
M0566,1
1
2964,0
1197,0
0000,1
a
1
2
ch,2

{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=

⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=ϕ
8625,0
3357,0
1753,0
M
1
9211,4

9156,1
0000,1
M7058,5
1
9211,4
9156,1
0000,1
a
1
3
ch,3


[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−=Φ⇒
8625,02805,04213,0
3357,01133,06119,0
1753,09464,02713,0
M

1
ch

+ KiÓm tra ®iÒu kiÖn trùc chuÈn:
[][][]
M
100
020
001
8625,02805,04213,0
3357,01133,06119,0
1753,09464,02713,0
M
1
8625,03357,01753,0
2805,01133,09464,0
4213,06119,02713,0
M
1
M
ch
T
ch
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
=ΦΦ


=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
00000,100000,0000000,0
00000,000000,100000,0
00000,000000,000000,1

VËy ®iÒu kiÖn trùc chuÈn ®−îc tháa m·n.






10
2. Xác định ma trận xung khai triển theo các dạng dao động riêng:

Khi hệ chịu véctơ xung bên ngoi tác dụng vo:

{}
S
5,1
1
1
S
S
S
S
3
2
1











=










=
Với S = 1 KNs
Xác định véctơ xung khai triển từ ma trận các dạng dao động riêng đã
đợc chuẩn hóa.
a, Véctơ xung khai triển vo các dạng dao động riêng:
Đợc xác định theo công thức:

{}
{}
{}
[]
{}
chi
T
chii
MSS
,,


=

- Với i = 1 ta có:
{}
{}
{}
[]
{}
ch
T
ch
MSS
,1,11

=

{}

































=
4213,0
6119,0
2713,0
M
1
M
100
020
001

S
5,1
1
1
4213,06119,02713,0
M
1

Với S = 1 KNs thì:
{}
1
S











=
4097,0
1902,1
2639,0

- Với i = 2 ta có:
{}

{}
{}
[]
{}
ch
T
ch
MSS
,2,22

=

{}































=
2805,0
1133,0
9464,0
M
1
M
100
020
001
S
5,1
1
1
2805,01133,09464,0
M
1


Với S = 1 KNs thì:
{}
2
S










=
4152,0
3353,0
4010,1

- Với i = 3 ta có:
{}
{}
{}
[]
{}
ch
T
ch
MSS

,3,33

=

{}
































=
8625,0
3357,0
1753,0
M
1
M
100
020
001
S
5,1
1
1
8625,03357,01753,0
M
1

Với S = 1 KNs thì:
{}
3
S













=
6751,0
5256,0
1372,0

11
b, Ma trận xung khai triển:

[]













=










=
6751,0
5256,0
1372,0
4152,0
3353,0
4010,1
4097,0
1902,1
2639,0
SSS
SSS
SSS
S
333231
232221
131211
KTr


c, Kiểm tra ma trận xung khai triển theo hng k:

321
3
1
kkk
i
kik
SSSSS ++==

=

Với i = 1:

199999,0)1372,04010,12639,0(SSSS
1312111
=+=++=

Với i = 2:

00000,1)5256,03353,01902,1(SSSS
2322212
=+=++=

Với i = 3:

5,1)6751,04152,04097,0(SSSS
3332313
=++=++=


Nh vậy l ma trận xung khai triển đúng.

3, Xác định véctơ chuyển vị tại các khối lợng:

Véctơ chuyển vị tại các khối lợng đợc xác định theo công thức:
()
{}
[][ ]
(){}
tKSMy
aiKTrt
1
=

Trong đó:
+
[]
M l ma trận khối lợng:

[]











=










=
100
020
001
M
m00
0m0
00m
MM
3
2
1

+
[]
KTr
S l ma trận xung khai triển:
[]













=










=
6751,0
5256,0
1372,0
4152,0
3353,0
4010,1

4097,0
1902,1
2639,0
SSS
SSS
SSS
S
333231
232221
131211
KTr

+
(){}
tK
ai
l véctơ có các phần tử l K
ai
(t), i = 1, 2, 3
K
ai
(t)=
i
i
t


sin

* i = 1;

1
1
s7919,234

=
ta có:
K
a1
(t)=
7919,234
t7919,234sintsin
1
1
=



12
* i = 2;
1
2
s8186,152

= ta có:
K
a2
(t)=
8186,152
t8186,152sintsin
2

2
=



* i = 3;
1
3
s3746,73

=
ta có:
K
a3
(t)=
3746,73
t3746,73sintsin
3
3
=



K
ai
(t) =
()
()
()



















=










3746,73
t3746,73sin

8186,152
t8186,152sin
7919,234
t7919,234sin
tK
tK
tK
3a
2a
1a

Từ đó:
()
{
}
t
y
=
1
100
020
001
























6751,0
5256,0
1372,0
4152,0
3353,0
4010,1
4097,0
1902,1
2639,0



















3746,73
t3746,73sin
8186,152
t8186,152sin
7919,234
t7919,234sin














++
+
+
=
t792,234sin287524,0t813,152sin271722,0t3746,73sin558358,0
t792,234sin111920,0t813,152sin109716,0t3746,73sin811071,0
t792,234sin058271,0t813,152sin916836,0t3746,73sin359603,0

Kết luận: Véctơ chuyển vị tại các khối lợng l:
()
{
}
t
y
=
()
()
()










ty

ty
ty
3
2
1










++
+
+
=
t792,234sin287524,0t813,152sin271722,0t3746,73sin558358,0
t792,234sin111920,0t813,152sin109716,0t3746,73sin811071,0
t792,234sin058271,0t813,152sin916836,0t3746,73sin359603,0


4, Xác định véctơ lực đàn hồi:


Véctơ lực đn hồi đợc xác định theo công thức:

(){}

tP
d
=
[]
KTr
S
(){}
tK
i

Trong đó:
+
[]
KTr
S l ma trận xung khai triển:
13
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
6751,0
5256,0
1372,0
4152,0
3353,0
4010,1
4097,0
1902,1
2639,0
SSS
SSS
SSS
S
333231
232221
131211
KTr

+

(){}
tK
i
lμ vÐct¬ cã c¸c phÇn tö lμ K
i
(t), i = 1, 2, 3
K
i
(t) =
t
ii
ω
ω
sin

* i = 1;
1
1
ts7919,234
−
=ω ta cã:
K
1
(t) = t
11
sin
ω
ω
= 7919,234 sin t7919,234
* i = 2;

1
2
s8186,152
−
=ω ta cã:
K
2
(t) =
t
22
sin
ω
ω
= 8186,152 sin 8186,152 t
* i = 3;
1
3
s3746,73
−
=ω
ta cã:
K
3
(t) =
t
33
sin
ω
ω
=

3746,73
sin
3746,73
t
⇒ K
i
(t) =
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨

⎧
t3746,73sin3746,73
t8186,152sin8186,152
t7919,234sin7919,234
tK
tK
tK
3
2
1

Tõ ®ã:
(){}
tP
d
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
6751,0
5256,0

1372,0
4152,0
3353,0
4010,1
4097,0
1902,1
2639,0
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
t3746,73sin3746,73
t8186,152sin8186,152
t7919,234sin7919,234


⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
++
−+
−+−
=
t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19

KÕt luËn: VÐct¬ lùc ®μn håi lμ:
(){}
tP
d
=
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
tP
tP

tP
3d
2d
1d
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
−+
−+−
=
t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19










14
5, X¸c ®Þnh m«men uèn t¹i A,B:

P
1
=1
P
2
=1
P
3
=1
O,2314
0,1157
0,4022
0,3290
0,1176
0,0896
0,2970
0,4955
0.0589
0,1704
0,4148
0,0857
0,0011
0,0832
0,0358
M
1
M

2
M
3

H×nh 3: BiÓu ®å m« men ®¬n vÞ
a, M« men uèn t¹i A:

()
{}
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
tP
tP
tP
MMMtM
3d
2d
1d

3A2A1AA

Trong ®ã:
*
(){}
tP
d
=
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
tP
tP
tP
3d
2d
1d
⎪
⎭
⎪

⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
−+
−+−
=
t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19

* C¸c gi¸ trÞ
()
1A
M ,
(
)
2A
M
,
()
3A
M
lμ c¸c gi¸ trÞ m« men uèn t¹i ®iÓm A ®−îc x¸c
®Þnh tõ biÓu ®å m« men ®¬n vÞ (H×nh 3):
15

()
a0857,0M
1A
−= ;
(
)
a4022,0M
2A
= ;
()
a0896,0M
3A
=
() { }
*a0896.0a4022,0a0857,0tM
A
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
−+
−+−

t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19

Thay a = 200 vμo cho ta kÕt qu¶:

()
t792,234sin59,6533t813,152sin27,1589t3746,73sin63,7895tM
A
+−−=

b, M« men uèn t¹i B:
Hoμn toμn t−¬ng tù t¹i A, m« men uèn t¹i B ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:

()
{}
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

tP
tP
tP
MMMtM
3d
2d
1d
3B2B1BB

Trong ®ã:
*
(){}
tP
d
=
()
()
()
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
tP
tP

tP
3d
2d
1d
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
−+
−+−
=
t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19

* C¸c gi¸ trÞ
()
1B
M ,
()
2B
M ,
()

3B
M
lμ c¸c gi¸ trÞ m« men uèn t¹i ®iÓm B còng ®−îc
x¸c ®Þnh tõ biÓu ®å m« men ®¬n vÞ (H×nh 3):
()
a0832,0M
1B
=
;
()
a3290,0M
2B
−=
;
()
a4955,0M
3B
−=

() { }
*a4955,0a3290,0a0832,0tM
B
−−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩

⎪
⎨
⎧
++
−+
−+−
t792,234sin304,158t813,152sin4518,63t3746,73sin0611,30
t792,234sin397,123t813,152sin2411,51t3746,73sin3334,87
t792,234sin2092,32t813,152sin097,214t3746,73sin3604,19

Thay a = 200 vμo cho ta kÕt qu¶:
()
t)*2sin(234.79*8124.18t)*3sin(152.81*6097.16t)*6sin(73.374*9047.76tM
B
++=









16
6, Vẽ đồ thị mô men uốn M
A
(t) theo thời gian tại điểm A:
Khi hệ chịu tác dụng xung trong khoảng thời gian t = 2T
1

(T
1
l chu kỳ
dao động riêng dạng thứ nhất) tại điểm A có Đồ thị mô men uốn động M
A
T
(t)
đợc thể hiện nh hình sau (Hình 4)

Hình 4: Mô men M
A
(t) tại A theo thời gian