Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 1 -




VỀ HAI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN
Trần Xuân Đáng
(Giáo viên trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định)

Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số
:f
→
ℤ ℤ
sao cho với tất cả các
số nguyên
, ,
a b c
thỏa mãn
0
a b c
+ + =
, đẳng thức sau là đúng:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
(Ở đây
ℤ

ký hiệu tập hợp các số nguyên)
Bài toán 1 là bài toán 4 của đề thi IMO 2012 do Nam Phi đề nghị.
Sau đây là lời giải bài toán 1 của tác giả bài viết này:
Giả sử hàm
:f
→
ℤ ℤ
thỏa mãn điều kiện đề bài. Cho
0
a b c
= = =
, ta được
(0) 0
f
=
.
Cho
, , 0 ( )
a n b n c n
= = − = ∈
ℤ
ta được
( ) ( )
f n f n
− =
. Đặt
(1) ( )
f t t
= ∈
ℤ

.
Cho
2, 1, 1
a b c
= = − = −
ta có
(2) 0
f
=
hoặc
(2) 4
f t
=
.
* Trường hợp 1:
(2) 0
f
=

(3)
f t
⇒
=

Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
(4) (2) (2) 2 (2) (4) 2 (2) (4) 2 (2) (2) (4) 0
f f f f f f f f f f
+ + = + + ⇒ =


Giả sử
(2 ) 0, (2 1) (1 )
f i f i t i k
= + = ≤ ≤

( ) ( ) ( )
2 2 2
(2 2) (2 ) (2) 0 (2 2) 0
f k f k f f k
⇒ + + + = ⇒ + =

Ta có :
BÀI VIẾT THAM KHẢO SỐ 1
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 2 -
( ) ( ) ( )
2 2 2
(2 3) (2 ) (3) 2 (3) (2 3) (2 3) (3)
f k f k f f f k f k f t
+ + + = + ⇒ + = =

V
ậ
y
(2 ) 0, (2 1) ,
f i f i t i N
= + = ∀ ∈

(2 ) 0, (2 1) ,f i f i t i

⇒
= + = ∀ ∈
ℤ

* Tr
ườ
ng h
ợ
p 2:
(2) 4 ( , 0)
f t t t
= ∈ ≠
ℤ

Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
(3) (2) (1) 2 (1) (2) 2 (1) (3) 2 (2) (3)
f f f f f f f f f
+ + = + +

Suy ra
(3)
f t
=
ho
ặ
c
(3) 9
f t

=

a)
(3) 9
f t
=
,
(2) 4
f t
=
,
(1)
f t
=
.
Ta ch
ứ
ng minh
2 *
( ) ,f n n t n
= ∀ ∈
ℕ

Th
ậ
t v
ậ
y m
ệ
nh

đề

đ
úng v
ớ
i
1,2,3
n
=
.
Gi
ả
s
ử
m
ệ
nh
đề

đ
úng
đế
n
3
n
≥

Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2

( 1) ( ) (1) 2 (1) ( ) 2 (1) ( 1) 2 ( ) ( 1)
f n f n f f f n f f n f n f n
+ + + = + + + +

( )
2
2 2 2 2
( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0
f n t n f n t n
⇒
+ − + + + − =

2
( 1)
( 1)
f n
t n
+
⇒ = +
ho
ặ
c
2
( 1)
( 1)
f n
t n
+
= −


Gi
ả
s
ử

2
( 1)
( 1)
( 1)
f n
f n
t n
= −
+
= −

Ta có :
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
(2) ( 1) 2 (2) ( 1) 2 (2) ( 1) 2 ( 1)
( 1)
f f n f f n f f n f n
f n
+ + + = − + + + −
−
( ) ( )
2

(2) 2 (2) ( 1) ( 1)
f f f n f n
⇒ = − + +

2 2 2 2 2
16 8 .2( 1) 16 16 ( 1)
t t n t t t n
⇒ = − ⇒ = −
. Vô lý (vì
3
n
≥
).
V
ậ
y
2 * 2
( )
( ) , ,
f n
f n n t n n t n
⇒ =
= ∀ ∈ ∀ ∈
ℕ ℤ


b)
(3) , (0) 0, (1) , (2) 4
f t f f t f t
= = = =


( ) ( ) ( )
2 2 2
(4) (2) (2) 2 (2) (2) 2 (2) (4) 2 (2) (4)
f f f f f f f f f
+ + = + +
(4) 0
f
⇒
=
ho
ặ
c
(4) 16
f t
=

Gi
ả
s
ử

(4) 16
f t
=

Ta có :
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 3 -
( ) ( ) ( )

2 2 2
(4) (3) (1) 2 (1) (4) 2 (3) (4) 2 (1) (3)
f f f f f f f f f
+ + = + +

2 2 2 2 2
256 2 32 32 2
t t t t t
⇒
+ = + +

2
192 0
t
⇒
=
(vô lý).
V
ậ
y
(4) 0
f
=

Ta có :

( ) ( ) ( )
2 2 2
(5) (4) (1) 2 (1) (5)
f f f f f

+ + =

(5) (1)
f f t
⇒
= =
,

( ) ( ) ( )
2 2 2
(6) (4) (2) 2 (2) (6)
f f f f f
+ + =

(6) (2) 4
f f t
⇒
= =
,
( ) ( ) ( )
2 2 2
(7) (4) (3) 2 (3) (7)
f f f f f
+ + =

(7) (3)
f f t
⇒
= =
,


( ) ( ) ( )
2 2 2
(8) (4) (4) 0
f f f
+ + =

(8) 0
f
⇒
=

B
ằ
ng ph
ươ
ng pháp quy n
ạ
p toán h
ọ
c ta ch
ứ
ng minh
đượ
c

(4 1)
f i t
+ =


i N
∀ ∈
;
(4 3)
f i t
+ =

i
∀ ∈
ℕ

(4 ) 0
f i
=

i N
∀ ∈
;
(4 2) 4
f i t
+ =

i
∀ ∈
ℕ

Th
ậ
t v
ậ

y gi
ả
s
ử
:
(4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( )
f k f k t f k t f k t k N
= + = + = + = ∈

Ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
(4 1) (4 ) (1) 2 (1) (4 ) 2 (4 ) (4 1) 2 (1) (4 1)
f k f k f f f k f k f k f f k
+ + + = + + + +
(4 1) (1)
f k f
⇒
+ =

( ) ( ) ( )
2 2 2
(4 2) (4 ) (2) 2 (2) (4 ) 2 (4 ) (4 2) 2 (2) (4 2)
f k f k f f f k f k f k f f k
+ + + = + + + +
(4 2) (2) 4
f k f t
⇒
+ = =


( ) ( ) ( )
2 2 2
(4 3) (4 ) (3) 2 (3) (4 ) 2 (4 ) (4 3) 2 (3) (4 3)
f k f k f f f k f k f k f f k
+ + + = + + + +
(4 3) (3)
f k f t
⇒
+ = =

( ) ( ) ( )
2 2 2
(4 4) (4 ) (4) 2 (4) (4 ) 2 (4 ) (4 4) 2 (4) (4 4)
f k f k f f f k f k f k f f k
+ + + = + + + +
(4 4) (4) 0
f k f
⇒
+ = =
.
Suy ra:
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 4 -

(4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( , 0)f i f i t f i t f i t t t i
= + = + = + = ∈ ≠ ∀ ∈
ℤ ℤ

Ng
ượ

c l
ạ
i, gi
ả
s
ử
hàm
:f
→
ℤ ℤ
th
ỏ
a
mãn
(2 ) 0, (2 1) ( )
f i f i t t
= + = ∈
ℤ
v
ớ
i m
ọ
i
i
∈
ℤ

Gi
ả
s

ử

, , , 0
a b c a b c
∈ + + =
ℤ
. Suy ra trong 3 s
ố

, ,
a b c
có ít nh
ấ
t
m
ộ
t s
ố
ch
ẵ
n.
+ N
ế
u
, ,
a b c
cùng ch
ẵ
n thì
( ) ( ) ( ) 0

f a f b f c
= = =

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒ + + = + +
+
N
ế
u
a
ch
ẵ
n và
,
b c
l
ẻ
thì
( ) 0
f a
=
,
( ) ( )
f b f c t
= =



( ) ( ) ( )
2 2 2
2
( ) ( ) ( ) 2
f a f b f c t
⇒
+ + =

(
)
2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
f a f b f a f c f b f c t
+ + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒
+ + = + +
T
ươ
ng t
ự
n
ế
u
b
ch
ẵ

n
,
a c
l
ẻ
ho
ặ
c
c
ch
ẵ
n
,
a b
l
ẻ
thì ta c
ũ
ng có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
V
ậ
y hàm
:
f
→

ℤ ℤ
sao cho
(2 ) 0
f i
=
,
(2 1) ( )
f i t t
+ = ∈
ℤ
v
ớ
i
m
ọ
i
i
∈
ℤ
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đề
bài.

+ Xét hàm s
ố

:
f
→
ℤ ℤ
th
ỏ
a mãn
2
( ) ( , 0)f n n t t t n
= ∈ ≠ ∀ ∈
ℤ ℤ

Gi
ả
s
ử

, ,
a b c
∈
ℤ
th
ỏ
a mãn
0
a b c
+ + =


Ta có
2 2 2
( ) , ( ) , ( )
f a a t f b b t f c c t
= = =

Suy ra
( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2
4 4 4 2
( ) ( ) ( )
f a f b f c a b c t
+ + = + +

2 2 2
0 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
+ + =
⇒
+ + = − − −

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 81 -
kkfkfff 3399123)0()3())2((
−
=
⇒

−
=
=
hay
39893
=
k
(vô lý ),
v
ậ
y
.3)2( kf
≠

.
N
ế
u
Zkkf ∈+= ,13)2(
thì
3988
2)1(33)1()13())2((2
=
−
=
⇒
−
=
+
=

=
fkkfkfff
(vô lý ), v
ậ
y
.13)2(
+
≠
kf

Do
đ
ó
Zkkf ∈+= ,23)2(
(4).
T
ừ
(1), (2), (3), (4) ta có





≡∈−+
≠−
=
).3(mod2;,43
).3(mod2,3991
)(
nZknk

nn
nf

Thử lại ta thấy
)(nf
xác định như trên thoả mãn đề bài.

Bài tập tự luyện
1. Cho hàm
f
:
RN
→
*
thoả mãn các điều kiện sau
a)
1998
2)1( =f

b)
,))(()1()))((1(
22
nfnfnf =++
*Nn
∈
∀

Chứng minh rằng
1)(
≤

nf
, .1998
>
∀
n
2. Tìm tất cả các hàm
f
:
NN
→
*
thoả mãn các điều kiện sau
a)
),()()( nfmfmnf
+
=
*; Nnm
∈
∀

b)
0)30(
=
f

c)
0)(
=
nf
nếu

n
có chữ số tận cùng bằng 7.

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 80 -
Giải
Viết lại điều kiện b) ta có
;))((
nnff
=

3)3)((
−
=
+
nnff
,
Zn
∈
∀

suy ra
Znnfnfffnf
∈
∀
+
=
+
=
−

,3)())3)((()3(

hay
3)3()(
−
−
=
nfnf
,
Zn
∈
∀

Từ đó ta có
3)0()3(
−
=
ff

3)3()6(
−
=
ff

. . .
3)33()3(
−
−
=
tftf


suy ra
tftf
3)0()3(
−
=
,
Zt
∈
∀

Làm tương tự như trên ta có
;3)1()13(
tftf
−
=
+

.3)2()23(
tftf
−
=
+

Vì vậy ta được










∈+=−
∈+=−
∈≡−
=
.;23,3)2(
.;13,3)1(
.;3,3)0(
)(
Zttntf
Zttntf
Zttntf
nf
(1)
Do v
ậ
y
để
tính
)(
nf
ta tính
);0(
f
)1(
f
và

).2(
f

Vì
31995
⋮
theo (1) ta có
3991)0(19961995)0()1995(
=
⇒
=
−
=
fff
(2).
T
ừ
(2)
⇒
.0)3991()3991())0((
=
⇒
=
ffff

Mà
11330.33991
+
=
do

đ
ó
3990)1(03990)1()3991(
=
⇒
=
−
=
fff
(3)
.
N
ế
u Zkkf
∈= ,3)2(
thì
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 5 -
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 8 ( )
2 2 2 4 4
abc a b c
a b c a b b c a c a b b c a c
= + + +
⇒ + + + + + + +
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c a c
=
⇒ + + + +


( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
f a f b f c t t t
a b b c a c
⇒
+ + =
+ +

)
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) (
f a f b f b f c f c f a
= + +

V
ậ
y hàm
:
f
→
ℤ ℤ
sao cho
2
( ) ( , 0)f n n t t t n
= ∈ ≠ ∀ ∈
ℤ ℤ

th
ỏ
a
mãn
đề
bài.
+ Xét hàm
:
f
→
ℤ ℤ
th
ỏ
a mãn
(4 1) , (4 2) 4 , (4 3) , (4 ) 0 ( , 0)f i t f i t f i t f i t t i
+ = + = + = = ∈ ≠ ∀ ∈
ℤ ℤ

Gi
ả
s
ử

, ,
a b c
∈
ℤ
sao cho
0
a b c

+ + =

- N
ế
u
4 ( ) 0 (mod 4)
a i i b c
= ∈
⇒
+ ≡
ℤ

- N
ế
u
,
b c

đề
u chia h
ế
t cho 4 thì
( ) ( ) ( ) 0
f a f b f c
= = =

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 0)
f a f b f c f a f b f b f c f c f a

⇒
+ + = + + =

-N
ế
u
2(mod 4)
b
≡
và
2(mod 4)
c
≡
thì
( ) 0, ( ) 4 , ( ) 4
f a f b t f c t
= = =

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
( ) ( ) ( ) 32
f a f b f c t
=⇒
+ +

2
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
32
f a f b f b f c f c f a

t
+ + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒
+ + = + +
- N
ế
u
1(mod 4)
b
≡
và
3(mod 4)
c
≡
thì
( ) , ( )
f b t f c t
= =

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
( ) ( ) ( )
f a f b f c t

=⇒
+ +

2
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
f a f b f b f c f c f a
t
+ + =

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 6 -
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒
+ + = + +
- N
ế
u
1(mod 4)
a
≡
,
0(mod 4)
b
≡
và
3(mod 4)

c
≡
, t
ươ
ng t
ự
nh
ư

trên ta c
ũ
ng có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
- N
ế
u
1(mod 4)
a
≡
,
3(mod 4)
b
≡
và
0(mod 4)
c

≡
, t
ươ
ng t
ự
nh
ư

trên ta c
ũ
ng có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
- N
ế
u
1(mod 4)
a
≡
,
2(mod 4)
b
≡
và
1(mod 4)
c
≡


( ) , ( ) 4 , ( )
f a t f b t f c t
⇒
= = =

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
18
( ) ( ) ( )
f a f b f c t
=
⇒
+ +

2 2 2 2
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 8 2
8 18
f a f b f b f c f c f a t t
t t
+ + + + =
=

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒
+ + = + +

- N
ế
u
1(mod 4)
a
≡
,
1(mod 4)
b
≡
và
2(mod 4)
c
≡
, t
ươ
ng t
ự
nh
ư

trên ta c
ũ
ng có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
- N

ế
u
2(mod 4)
a
≡
,
0(mod 4)
b
≡
và
2(mod 4)
c
≡
ho
ặ
c
2(mod 4)
a
≡
,
1(mod 4)
b
≡
và
1(mod 4)
c
≡
; ho
ặ
c

3(mod 4)
a
≡
,
0(mod 4)
b
≡
và
1(mod 4)
c
≡
ho
ặ
c
3(mod 4)
a
≡
,
1(mod 4)
b
≡
và
0(mod 4)
c
≡
, t
ươ
ng t
ự
nh

ư
trên ta c
ũ
ng có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
+ + = + +
- N
ế
u
3(mod 4)
a
≡
,
3(mod 4)
b
≡
,
2(mod 4)
c
≡
thì
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 79 -
Ta ch
ứ
ng minh
f

tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đề
bài, ngh
ĩ
a là
Df
∈
.
Th
ậ
t v
ậ
y:
22
))2(())1()2())((1())2(()3()1( +−+−+++=+−++ nfnfnfbanfnfnfnf

22
))2(())1(()2()1()( +−+−+++= nfnfnfnfba

2
))1(())2()1())((2( +−+−+++= nfnfnfbanf


,))1(()()2(
2
+−+= nfnfnf
*
Nn
∈
∀

suy ra
22
))1(()()2())2(()3()1( +−+=+−++ nfnfnfnfnfnf



22
))2(()3())2(()1()3( fffff −=−=

T
ừ

đ
ó ta có
22
))2(()3())1(()2()( ffnfnfnf −=+−+


22
1)())2(()1()2()( aabafffba −−+=−−+=



.1997119981
=
−
=
−
=
ab

V
ậ
y ta
đượ
c
1997))1(()1()(
2
++=+ nfnfnf
hay
Df
∈

Ta có t
ươ
ng
ứ
ng, m
ỗ
i
Df
∈
v

ớ
i m
ộ
t giá tr
ị

1998|)2(
f
là m
ộ
t song
ánh gi
ữ
a
D
và t
ậ
p các
ướ
c d
ươ
ng c
ủ
a
1998
. Do
đ
ó s
ố
ph

ầ
n t
ử
c
ủ
a
D

là:
.16)11)(13)(11()37.3.2()1998(||
3
=+++=== ddD

Vì v
ậ
y có t
ấ
t c
ả
16 hàm s
ố
tho
ả
mãn
đề
bài.

Ví dụ 5.2
Xác
đị

nh t
ấ
t c
ả
các hàm
ZZf
→
:
tho
ả

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
a)
1996)1995(
=
f

b) V
ớ
i m
ọ

i
Zn
∈
n
ế
u
mnf
=
)(
thì
nmf
=
)(
;
.3)3(
−
=
+
nmf

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 78 -
⇒
.*,
)2(
)3()1(
)1(
)2()(
Nn
nf

nfnf
nf
nfnf
∈∀
+
+
+
+
=
+
+
+

Vì v
ậ
y ta có

)1(
)2()(

)3(
)4()2(
)2(
)3()1(
=
+
+
+
==
+

=
+
nf
nfnf
f
ff
f
ff

Đặ
t
)2(
)3()1(
f
ff
c
+
=
(1) suy ra
*),()1()2(
Nnnfncfnf
∈
∀
−
+
=
+

(2)
Ta ch

ứ
ng minh
.*
Nc
∈
Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u
q
p
c =
v
ớ
i
Nqp
∈
,
và
1),(
=
qp
thì t
ừ
(2) ta có
*),1())2()((
Nnnpfnfnfq

∈
∀
+
=
+
+

suy ra
*),1(|
Nnnfq
∈
∀
+
hay
*),2()(|
2
Nnnfnfq ∈∀+
và
.2
≥
n

Vì
(
)
.))1(()2()(1997
22
qnfnfnf
⋮
+−+=


Mà
1997
là s
ố
nguyên t
ố
nên
1
2
=q
hay
1
=
q
suy ra
*
Nc
∈

G
ọ
i
,)2(
af
=
do (1) ta có
)3(1
fac
+

=
suy ra
1997))2(()3()1()3(1
2
+===− ffffac


⇒
19971
2
+=−
aac
⇔
1998)(
=
−
aca

Ta
đượ
c
1998|
a
, hay
)2(
f
là m
ộ
t
ướ

c d
ươ
ng c
ủ
a 1998.
Ng
ượ
c l
ạ
i v
ớ
i m
ỗ
i
ướ
c d
ươ
ng
a
c
ủ
a
1998
ta xây d
ự
ng hàm
**:
NNf
→
nh

ư
sau
;1)1(
=
f

af
=
)2(

*
),()1()()2( Nnnfnfbanf ∈∀−++=+ ; trong
đ
ó
.*
1998
N
a
b ∈=

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 7 -
( ) ( ) , ( ) 4
f a f b t f c t
= = =
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
( ) ( ) ( ) 18

f a f b f c t
⇒
+ + =
;
2
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
18
f a f b f b f c f c f a
t
+ +
=

( ) ( ) ( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
f a f b f c f a f b f b f c f c f a
⇒
+ + = + +
V
ậ
y t
ấ
t c
ả
các hàm
:
f
→
ℤ ℤ
th

ỏ
a mãn
đề
bài là:
:
f
→
ℤ ℤ
:
(2 ) 0, (2 1) ( )
f i f i t t i
= + = ∈ ∀ ∈
ℤ ℤ

:f
→
ℤ ℤ
:
2
( ) ( , 0)f n n t t t n
= ∈ ≠ ∀ ∈
ℤ ℤ

:f
→
ℤ ℤ
:
(4 ) 0, (4 1) , (4 2) 4 , (4 3) ( , 0)
f i f i t f i t f i t t t i
= + = + = + = ∈ ≠ ∀ ∈

ℤ ℤ

Trong kỳ thi chọn HSG Quốc gia THPT năm 2012 của Việt Nam có
bài toán sau:
Bài toán 2:
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm
f
xác
đị
nh trên t
ậ
p s
ố
th
ự
c
ℝ
, l
ấ
y giá
tr
ị
trong
ℝ
và th
ỏ

a mãn
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
1)
f
là toàn ánh t
ừ

ℝ

đế
n
ℝ
.
2)
f
là hàm s
ố
t
ă
ng trên
ℝ

.
3)
(
)
( ) ( ) 12
f
f x f x x
= +
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c
x


(Bài toán 7 của đề thi VMO - 2012)

Trong tạp chí Kvant tháng 11 năm 1986 có bài toán sau:
Bài toán 3
: Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm liên t
ụ

c
:
f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn
(
)
( ) ( )
f f x f x x
= +
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
th
ự
c
x
.
Sau
đ
ây là l
ờ
i gi
ả

i c
ủ
a bài toán 3:
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 8 -
Gi
ả
s
ử
hàm
:
f
→
ℝ ℝ
là hàm liên t
ụ
c trên
ℝ
và th
ỏ
a mãn
(
)
( ) ( )
f f x f x x
= +
v
ớ
i m
ọ

i s
ố
th
ự
c
x
.
Tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ứ
ng minh
f

đơ
n ánh. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

2
1
,x x
∈

ℝ
sao
cho
1 2
( ) ( )
f x f x
=

Khi
đ
ó
(
)
(
)
1 2
( ) ( )
f
f x f f x
=

M
ặ
t khác
(
)
1 1 2
( ) ( )
f f x f x x
= +

và
(
)
2 2 2
( ) ( )
f f x f x x
= +
. T
ừ

đ
ó
suy ra
1 2
x x
=

Ta có
(
)
(0) (0)
f
f f
=
. Vì
f

đơ
n ánh nên
(0) 0

f
=

Đặ
t
(
)
0 1 1
( ) , ( ) ( ), ( ) ( )
n
n
f x x f x f x f x f f x
+
= = =

1
( ) ( )
n n
n
f x F x F f x
−
⇒
= +
v
ớ
i m
ọ
i
*
n

∈
ℕ
trong
đ
ó
(
)
n
F
là dãy
Phibônaxi
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i
0 1 2 1
0, 1, ( 0)
n
n n
F F F F F n
+ +
= = = + ≥

Th
ậ
t v
ậ
y m

ệ
nh
đề

đ
úng v
ớ
i
1, 2
n n
= =

Gi
ả
s
ử
m
ệ
nh
đề

đ
úng
đế
n
2
n k
= ≥

Ta có

(
)
(
)
(
)
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k k k
f x f f k f f f x f x f x
+ − −
= = = +

(
)
(
)
1
2 1 1 2 1
( )
( ) ( )
k k
k k k k k k
x F F f x
F x F f x F x F f x F F
−
− − − − −
+ + +
= + + + =
1

( )
k k
F x F f x
+
= +

V
ậ
y m
ệ
nh
đề
c
ũ
ng
đ
úng v
ớ
i
1
n k
= +
, t
ứ
c là
1
( ) ( )
n n
n
f x F x F f x

−
= +

v
ớ
i m
ọ
i
*
n
∈
ℕ

Vì
f
liên t
ụ
c và
đơ
n ánh nên
f

đồ
ng bi
ế
n ho
ặ
c
f
ngh

ị
ch bi
ế
n.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 77 -
M
ặ
t khác v
ớ
i
p
nguyên t
ố
mà
ppf
=
)(
thì
)())((
pfpff
=
nên
pp =
3
suy ra
1
=
p
mâu thu

ẫ
n v
ớ
i
p
là s
ố
nguyên t
ố
.
Còn n
ế
u
3
)( ppf =
thì
9333
))(()())(( ppfpfpffp ====
suy ra
1
=
p
m
ẫ
u thu
ẫ
n v
ớ
i
p

nguyên t
ố
. V
ậ
y
ppf
≠
)(
và
3
)( ppf ≠
. Khi
đ
ó ta xây d
ự
ng hàm
f
nh
ư
sau
Chia t
ậ
p s
ố
nguyên t
ố
thành vô h
ạ
n các c
ặ

p
);(
qp
)(
qp
≠
r
ờ
i nhau,
đặ
t
pqfqpf == )(;)(
3
ho
ặ
c
3
)(;)( pqfqpf ==
thì
f
luôn tho
ả
mãn
đề

bài (
để
ý r
ằ
ng có vô s

ố
hàm
f
tho
ả
mãn
đề
bài, ch
ẳ
ng h
ạ
n theo cách
xác
đị
nh trên).

V. Sử dụng một số tính chất của số học
Trong phần này, ta xét một số phương trình hàm giải được bằng
cách áp dụng các tính chất của số học như: tính chia hết, nguyên tố,
quan hệ đồng dư, phần nguyên
Ví dụ 5.1
Có bao nhiêu hàm
:
f

**
NN
→
tho
ả

mãn
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ề
u ki
ệ
n
sau
a)
1)1(
=
f

b)
,1997))1(9)2()(
2
++=+ nfnfnf
.*
Nn
∈
∀

Giải
G
ọ
i

D
là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố
f
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n bài toán.
Theo gi
ả
thi
ế
t b) ta có
1997))1(()2()(
2
++=+ nfnfnf
;

1997))2(()3()1(
2
++=++ nfnfnf

suy ra
1997))2(()3()1())1(()2()(
22
=+−++=+−+ nfnfnfnfnfnf

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 76 -
⇒

21
nn
=
t
ứ
c
f
là
đơ
n ánh.
V
ớ
i
1
=
n
thay vào (1) và do

f
là
đơ
n ánh ta có
)().(
mfamf
=
m
am
=
⇔

suy ra
1
=
a
thay vào (2) có
;))((
3
nnff =

*
Nn
∈∀

))(())(())()((
333
mnffmnmffnnfmff ===
⇒
)()()(

mnfnfmf
=

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
f
là hàm hoàn toàn nhân tính. Vì v
ậ
y ta ch
ỉ
c
ầ
n xét các
giá tr
ị
c
ủ
a
f
t
ạ
i các
đ
i
ể

m nguyên t
ố
.
G
ọ
i
p
là s
ố
nguyên t
ố
, gi
ả
s
ử

,)(
abpf
=

1
≥
≥
ba
, ta có
).()()())((
3
bfafabfpffp ===

X

ả
y ra các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
.

3
)( paf =
;
1)(
=
bf

⇒

.1
=
b

.
3
)( pbf =
;
1)(
=
af
⇒


.1
=
b

.

2
)(;)( pbfbaf ==
ho
ặ
c
2
)( paf =
;
pbf
=
)(

Xét tr
ườ
ng h
ợ
p
paf
=
)(
;
2
)( pbf =
, còn tr

ườ
ng h
ợ
p ng
ượ
c l
ạ
i làm
t
ươ
ng t
ự
. Ta có
)())((
bfaff
=
⇒
)(
3
pfa =
và
)())((
2
pfbff =
⇒
223
))(().()( pfppfpfb ===

suy ra
6233

)( aab ==
hay
2
ab
=
. V
ậ
y
3
)( abf =

N
ế
u
mn
a
=
thì
)()()()(
nfmfmnfafp
=
=
=
suy ra
1
=
m
ho
ặ
c

1
=
n
nên
a
là s
ố
nguyên t
ố
.
Do
đ
ó ta có v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
nguyên t
ố
p
thì
)(
pf
ho
ặ
c là s
ố
nguyên t
ố

ho
ặ
c
là l
ậ
p ph
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 9 -
Gi
ả
s
ử

f
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
ℝ

. Pt
đặ
c tr
ư
ng c
ủ
a dãy
(
)
n
F
là:
2
1 5
2
1 0
1 5
2
t
t t
t






+
=
− − = ⇔

−
=

Đặ
t
1 2
1 5 1 5
,
2 2
t t
+ −
= = T
ồ
n t
ạ
i các h
ằ
ng s
ố
A và B sao cho
1 2
,
n n
n
n
F At Bt
∀ ∈
= +
ℕ
.

Vì
0 1
0, 1
F F
= =
nên
1 2
1 2
0
( ) 1
1
A B
B A
A t t
At Bt



 



+ =
= −
⇒
− =
+ =

1 1 1 1 5 1 1 5
,

2 2
5 5 5 5
n n
n
A B F
   
   
   
   
+ −
⇒ = = − ⇒ = −

Gi
ả
s
ử

f
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n.
V
ớ
i
0
x
>
ta có

( ) 0
f x
<
(
)
( ) 0
f f x
⇒
>

( ) 0 0 ( ) ( )
x f x f x x f x x
⇒
+ >
⇒
> > −
⇒
<

V
ớ
i
0
x
<
ta có
( ) 0
f x
>
(

)
( ) 0
f f x
⇒
<

( ) 0 0 ( ) ( )
x f x f x x f x x
⇒
+ <
⇒
< < −
⇒
<

Trong c
ả
2 tr
ườ
ng h
ợ
p ta
đề
u có
( )
f x x
<
v
ớ
i m

ọ
i
0
x
≠
. Suy ra
( )
f x x
≤
v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
. V
ậ
y n
ế
u
x
là m
ộ
t s
ố
th
ự
c b

ấ
t k
ỳ
và
n
là
m
ộ
t s
ố
nguyên d
ươ
ng thì
(
)
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n
n n
f x f f x f x f x x
− −
= ≤ ≤ ≤ ≤
.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 10 -
C
ố

đị
nh

x
∈
ℝ

Ta có
1
( ) ( )
n n
n
f x F x F f x
−
= +

1
( )
( )
n n
n n
F
f x
x f x
F F
−
⇒ + =

Ta có
lim
n
n
F

→+∞
= +∞
và
( )
n
f x
b
ị
ch
ặ
n.
( )
lim 0
n
n
n
f x
F
→+∞
⇒ =

M
ặ
t khác
1
1
1 1
1 1
1 2
2 2 2

1
1 2
1 2
1
1 2
2
1
1 1
1 1
5 5
1 1
5 5
n
n n
n n
n
n
n n
n n
n
t
t t
t t t
F t t
F t t
t
t t
t
−
− −

− −
−
 
 
 
 
−
 
 
−
−
−
= = =
−
−

Vì
1
2
lim 0
n
n
t
t
→+∞
 
 
 
=


1
2
1 2 5 1 1 5
lim ( )
2 2
5 1
n
n
n
F
f x x
F t
−
→+∞
− −
⇒ = = = ⇒ =
+

Gi
ả
s
ử

f
đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ
.

Vì
f
không b
ị
ch
ặ
n và
f
liên t
ụ
c nên
Im f
=
ℝ
. M
ặ
t khác
f

đơ
n
ánh nên t
ồ
n t
ạ
i
hàm
:
g
→

ℝ ℝ
sao cho
(
)
( )g f x x x
= ∀ ∈
ℝ
và
(
)
( )f g x x x
= ∀ ∈
ℝ
(
g
là hàm ng
ượ
c c
ủ
a
f
),
g

đồ
ng bi
ế
n trên
ℝ


V
ớ
i
x
∈
ℝ
ta có
(
)
( ) ( )
x g g x g x
= +

Th
ậ
t v
ậ
y,
đặ
t
( ) , ( )
g x y g y t
= =
ta có
(
)
( ) ( ) ( )
g g x g y t y f t
=
= ⇒ =


Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 75 -
Theo ch
ứ
ng minh trên
f
là hàm
đơ
n ánh và là hàm hoàn toàn nhân
tính.
V
ớ
i
p
nguyên t
ố
mà
mnpf
=
)(
;
*,
Nnm
∈
∀
thì ta có
)()()())((
nfmfmnfpff
=

=


)()(
nfmfp
=

Suy ra
1)(
=
mf
ho
ặ
c
,1)(
=
nf
ngh
ĩ
a là
1
=
m
ho
ặ
c
1
=
n
. Vì v

ậ
y
)(
pf
là s
ố
nguyên t
ố
. Do
đ
ó
f
nh
ậ
n các giá tr
ị
nguyên t
ố
phân bi
ệ
t t
ạ
i
các
đ
i
ể
m nguyên t
ố
phân bi

ệ
t.
V
ớ
i
f
tho
ả
mãn trên thì
63.2)401()5()401.5()2005(
=
≥
=
=
ffff
.
Ta ch
ỉ
ra t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t hàm s
ố
tho
ả
mãn
đề

bài có
1)1(
=
f
và
6)2005(
=
f

đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau
1)1(
=
f
;
2)5(
=
f
;
5)2(
=
f
;
3)401(
=
f

;
,401)3(
=
f

,)(
ppf
=
p
∀
nguyên t
ố

{
}
,401,5,3,2
∉
p
do v
ậ
y giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t có th
ể

có

)2005(
f
là 6.
Nhận xét
:
Theo cách chứng minh trên ta có thể xác định giá trị nhỏ
nhất có thể có của
)(
nf
với mỗi giá trị cụ thể của
n
và hàm
f
thoả
mãn đề bài.

Ví dụ 4.3
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm
:
f

**
NN
→
tho
ả

mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
)())((
3
mfnnmff =
;
*,
Nnm
∈
∀
(1).
Giải
Đặ
t
af
=
)1(
. T
ừ
(1) cho
1
=
m
ta có
33

)1())(( anfnnff ==
(2)
N
ế
u *,
21
Nnn
∈
mà )()(
21
nfnf
=
suy ra
⇒
=
))(())((
21
nffnff
3
2
3
1
anan = do (2)
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 74 -
suy ra (6)
đ
úng v
ớ
i

,1
+
k
hay công th
ứ
c (6)
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
.*
Nk
∈
T
ừ

đ
ó ta có
.))((|
1
+kk
nfa

Ta ch
ứ
ng minh
),(|
nfa

th
ậ
t v
ậ
y
Gi
ả
s
ử
s
ố
m
ũ
c
ủ
a s
ố
nguyên t
ố

p
trong phân tích tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a
n
là
α
và s

ố
m
ũ
c
ủ
a
p
trong phân tích tiêu chu
ẩ
n c
ủ
a
)(
nf
là
β
. Khi
đ
ó
s
ố
m
ũ
c
ủ
a
p
trong phân tích tiêu chu
ẩ
n c

ủ
a
k
a
là
k
α
còn s
ố
m
ũ

c
ủ
a
p
trong phân tích tiêu chu
ẩ
n
1
))((
+
k
nf là
)1(
+
k
β
. N
ế

u
β
α
>
thì
luôn t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
0
k sao cho )
1
1(
0
k
+>
βα
. Suy ra
)1(
00
+
>
kk
β
α

hay
0
k
a
không là
ướ
c c
ủ
a
1
0
))((
+
k
nf mâu thu
ẫ
n (6).
V
ậ
y
β
α
≤
t
ứ
c là
).(|
nfa

Khi

đ
ó
đặ
t
*,
)(
)( N
a
nf
ng ∈=
ta có
1
)1(
)1( ==
a
f
g
;
a
a
a
a
ff
a
af
ag ====
2
))1(()(
)(


),(
)()()()(
)()(
22
mng
a
mnf
a
mnaf
a
nfmf
ngmg ====
*, Nnm
∈
∀

.
))((
))(())(())(()())((
2
am
a
ma
a
mff
mfgmaggmggagmgag ======

Suy ra
mmgg
=

))((

hay
2222
))(.(.))(())(()())(( mgnnmgnggmgngmg ===

Vì v
ậ
y
g
tho
ả
mãn
đề
bài và nó có giá tr
ị

)(
)(
)( nf
a
nf
ng <=
v
ớ
i
1
>
a
và

.1)1(
=
g
Do
đ
ó mu
ố
n tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
)2005(f
ta s
ẽ

tìm các hàm
f
tho
ả
mãn
đề
bài và có
.1)1(
=
=

af

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 11 -
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g x g g x t f t f f t f y x
⇒ + = + = = =

Ta ch
ứ
ng minh
(
)
1
1 ( ) ( )
n
n n
n
g x F x F g x
−
− = −
trong
đ
ó
(
)

n
F
là dãy
Phibônaxi
ở
trên,
(
)
0 1 1
( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
n
n
g x x g x g x g x g g x n
+
= = = ∈
ℕ

Th
ậ
t v
ậ
y m
ệ
nh
đề

đ
úng v
ớ
i

1, 2
n n
= =

Gi
ả
s
ử
m
ệ
nh
đề

đ
úng
đế
n
2
n k
= ≥

Ta có:
( )
(
)
(
)
1
1 1 2 1 1
( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1) ( )

k
k
k k k k k k k
g x g x g x F x F g x F x F g x
−
+ − − − −
= − = − − − − −

(
)
1 1 1 1
2 1 1 1
( 1) ( )( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( )
k k k k
k k k k k k
F x F x g x F F F x g x F
− − − −
− − − +
= − + − − + = − − −

1 1
1
( 1) ( 1) ( )
k k
k k
F x g x F
+ +
+
= − − −


1
1 1
( 1) ( ) ( )
k
k k k
g x F x F g x
+
+ +
⇒ − = −

Ta có
1 1
( ) ( ) ( ), (0) 0
n
n n
g x g x g x g
+ −
= − =

N
ế
u
0
x
>
thì
(
)
( ) (0) 0 ( ) 0 ( ) 0
g x g g g x x g x

> = ⇒ > ⇒ > >

N
ế
u
0
x
<
thì
(
)
( )( ) 0 ( ) 0 ( ) 0
g x x
g x g g x x g x
< <
< ⇒ ⇒ < < ⇒

Trong c
ả
2 tr
ườ
ng h
ợ
p ta
đề
u có:
*
*
( ) , ( )
( ) ( ) ,

nn
g x x x n N
g x x g x x n N
⇒
≤ ∀ ∈ ∈
< ⇒ < ∀ ∈
ℝ

C
ố

đị
nh
x
∈
ℝ

Ta có
1
( 1) ( ) ( )
n
n n
n
g x F x F g x
−
− = −

1
( 1) ( )
( )

n n
n n
F
g x
x g x
F F
−
−
⇒ = −

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 12 -
Vì
( )
n
g x
b
ị
ch
ặ
n và
lim
n
n
F
→+∞
= +∞

1
2

0 ( )
1 1 2 5 1 5 1
lim
2 2
1 5 1 5
2
n
n
n
x g x
F
F t
−
→+∞
⇒ = −
− −
= = = =
+ +
2
5 1
5 1
( ) ( )
2
5 1
2
x x
g x x f x
+
=
−

⇒ = ⇒ =
−

V
ậ
y có 2 hàm
f
th
ỏ
a mãn
đề
bài.
Đ
ó là hàm
5 1
,
2
( ) x xf x
+
∀ ∈
=
ℝ
và
1
5
,
2
( ) x xf x
−
∀ ∈

=
ℝ

Lời giải của bài toán 2 tương tự như lời giải của bài toán
3.
Sau đây là lời giải bài toán 2 của tác giả bài viết này:
Gi
ả
s
ử
t
ồ
n t
ạ
i hàm s
ố

f
th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n
đề
bài.
Vì

f
là toàn ánh t
ừ

→
ℝ ℝ
và
f
là hàm s
ố
t
ă
ng trên
ℝ
nên t
ồ
n t
ạ
i hàm
g
xác
đị
nh trên
ℝ
, t
ă
ng trên
ℝ
sao cho
(

)
( )
f g x x
=
và
(
)
( )
g f x x
=

v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
(
g
là hàm ng
ượ
c c
ủ
a
f
).
Ta ch
ứ

ng minh
( )
1 1
( ) ( ),
12 12
g g t t g t t
= − ∀ ∈
ℝ

Th
ậ
t v
ậ
y v
ớ
i
t
∈
ℝ
,
đặ
t
( )
g t y
=
ta có
( )
f y t
=


Đặ
t
( )
g y x
=
ta có
( )
f x y
=

(
)
( ) ( )
g g t g y x
⇒ = =

Ta có
(
)
( ) ( )
t f y f f x
= =
và
(
)
( ) ( ) 12
f f x f x x
= +

Suy ra

( ) ( )
1 1
( ) 12 ( ) ( ) ( )
12 12
t g t g g t g g t t g t
= + ⇒ = −

Đặ
t
(
)
*
0 1 1
)
( ) , ( ) ( ), ( ) ( ) (
n
n
g t t g t g t g t g g t n N
+
= = = ∈

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 73 -
Ví dụ 4.2
Xét hàm
:f

** NN
→
tho

ả
mãn
222
))(())(( mfnnfmf =
,
*, Nnm
∈
∀
(1)
Xác
đị
nh giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t có th
ể
có c
ủ
a
).2005(f

Giải
Đặ
t
0)1(
>
=

af
. T
ừ
(1) cho
1
=
m
⇒
nanff
2
))(( =
,
*Nn
∈
∀
(2)
T
ừ
(1) cho
1
=
n
⇒
22
))(()( mfamf =
,
*Nm
∈
∀
(3)

T
ừ
(1), (2), (3) ta có :
22222
))()(())(())(())()(( nfamfnfmfnfmf ==


) ()))(((
22222
maanfamffnf ==


222
))(())1()(()).(( amnffamnfamnaf ===

⇒
)()()( amnfnfmf
=

V
ậ
y
);()( nafanf
=

)()()()( nfmfmnfmnaf
=
=
(4)
T

ừ
(3) và (4) ta có
222
))(()()( nfnafanf ==
(5)
V
ớ
i m
ỗ
i
*Nn
∈
, ta ch
ứ
ng minh công th
ứ
c sau b
ằ
ng quy n
ạ
p
,))(()(
11
++
=
kkk
nfnfa
*Nk
∈
∀

(6)
V
ớ
i
1
=
k
công th
ứ
c (6)
đ
úng do có (5)
Gi
ả
s
ử
có
11
))(()(
++
=
kkk
nfnfa
. Khi
đ
ó ta có
)()( )(
222 +++
==
kkkkkk

anfanfaanfa
)().(.) (.
11
nfnfannafa
kkkk ++
==

21
))(()(.))((
++
==
kk
nfnfnf
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 72 -
N
ế
u
)( pf
là h
ợ
p s
ố
thì t
ồ
n t
ạ
i
*,, Nba
∈

1
>
≥
ba
sao cho
abbf
=
)(
.
Ta có
)()()())((
2
bfafabfpffp ==
x
ả
y ra các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
.
N
ế
u
2
)( paf =
thì
1)(
=
bf

suy ra
1
=
b
vô lý.
.
N
ế
u
2
)( pbf =
thì
1)(
=
af
suy ra
1
=
a
vô lý.
.
N
ế
u
pbfaf
=
=
)()(
do
f

đơ
n ánh thì
ba
=
suy ra
.)(
2
abf =

L
ạ
i xét, n
ế
u
nn
a
=
v
ớ
i
*, Nnm
∈
thì

222
))(()())(( afafpffp ===
và
)()()()( nfmfmnfafp
=
=

=

suy ra
1)(
=
mf
ho
ặ
c
1)(
=
nf
ngh
ĩ
a là
1
=
m
ho
ặ
c
1
=
n
, v
ậ
y
a
là s
ố


nguyên t
ố
.
T
ừ
ch
ứ
ng minh n
ế
u
p
là s
ố
nguyên t
ố
thì
)( pf
ho
ặ
c là s
ố
nguyên t
ố

ho
ặ
c là bình ph
ươ
ng c

ủ
a m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
.
M
ặ
t khác ta l
ạ
i có
.
N
ế
u
ppf
=
)(
thì
)())(( pfpff
=
suy ra
pp =
2
nên
1
=
p

mâu
thu
ẫ
n v
ớ
i
p
nguyên t
ố
.
.
N
ế
u
2
)( ppf = thì )())((
2
pfpff = suy ra
422
))(( ppfp == nên
1
=
p
mâu thu
ẫ
n v
ớ
i
p
là s

ố
nguyên t
ố
. Do
đ
ó
ppf
≠
)(
và
.)(
2
ppf ≠
Vì l
ẽ

đ
ó, ta có th
ể
xây d
ự
ng hàm s
ố

f
nh
ư
sau
G
ọ

i
i
p là s
ố
nguyên t
ố
th
ứ

i
trong dãy các s
ố
nguyên t
ố
.
, )7,5,2(
321
=
=
=
ppp
thì
kk
ppf
212
)(
=
−
;
2

122
)(
−
=
kk
ppf
v
ớ
i m
ọ
i
, 3,2,1
=
k

Hàm
f
xác
đị
nh nh
ư
trên tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n c

ủ
a bài toán.

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 13 -
Xét các dãy
(
)
n
u
và
(
)
n
v
sao cho

2 2 3 3
1 1 1 13
, , ,
12 12 144 144
u v u v= = − = − =

( )
2 1
1
( 2)
12
n
n n

u u u n
+ +
= − ≥
,
( )
2 1
1
( 2)
12
n
n n
v v v n
+ +
= − ≥

Ta ch
ứ
ng minh
đượ
c
4 1 3 1
( 2)
7 4 7 3
n n
n
u n
   
   
   
= + − ≥

và
12 1 12 1
( 2)
7 4 7 3
n n
n
v n
   
−
   
   
= − ≥

Ta ch
ứ
ng minh
( ) ( ), 2
n n n
g t u t v g t n
= + ∀ ≥

Th
ậ
t v
ậ
y m
ệ
nh
đề


đ
úng v
ớ
i
2
n
=

Ta có:
( ) ( )
3 2
( )
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 12 12 12 12 12
t g t
g t g g t g t g g t g t
 
= −
 
 
= = − −
3 3
2
1
( ) ( )
144
1 1
12 12
t g t u t v g t

 
 
 
= − + + = +

Gi
ả
s
ử
m
ệ
nh
đề

đ
úng
đế
n
3
n k
= ≥

Ta có:
( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 12 12 12
k k k k k k k
g t g t g t u t v g t u t v g t

+ − − −
= − = + − +

( ) ( )
1 1 1 1
1 1
( ) ( )
12 12
k k k k k k
t u u g t v v u t v g t
− − + +
= − + − = +
.
V
ậ
y m
ệ
nh
đề
c
ũ
ng
đ
úng v
ớ
i
1
n k
= +
.

Theo nguyên lý quy n
ạ
p toán h
ọ
c, (1)
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
2
n
≥

( ) ( ) ( 2)
n n n
g t u t v g t n
⇒
= + ≥

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 14 -
4 1 3 1 12 1 12 1
( ) ( )
7 4 7 3 7 4 7 3
n n n n
n
g t t g t
   

       
⇒ = + − + − −
   
       
       
   
   
1 4 12 1 3 12
( ) ( )
4 7 7 3 7 7
n n
t g t t g t
       
= + + − −
       
       

Ta có
f

đơ
n ánh và
(
)
(0) (0) (0) 0 (0) 0
f f f f g
= ⇒ = ⇒ =

Ta có
( )

1 1
( ) ( )
12 12
g g t t g t
= −

N
ế
u
0
t
>
thì
( )
2
1 1
( ) ( )
12 12
( ) 0 0
g t t g t t
g t g
<
⇒
<
> ⇒ <

B
ằ
ng ph
ươ

ng pháp quy n
ạ
p toán h
ọ
c ta ch
ứ
ng minh
đượ
c
2
1
0 ( ) , 0
12
k
k
g t t t
< < ∀ >

Xét
0
t
<
ta có
(
)
( ) (0), ( )) (0 0
g t g g g t g
< < =

B

ằ
ng ph
ươ
ng pháp quy n
ạ
p toán h
ọ
c ta ch
ứ
ng minh
đượ
c
*
0 ( 0)
( ) ,
n
t
g t n
<
< ∀ ∈
ℕ

Ta có
( ) ( )
1 1 1 1
0 ( ) ( ) ( )
12 12 12 12
g g t t g t t g g t t
> = − > ⇒ <


B
ằ
ng ph
ươ
ng pháp quy n
ạ
p toán h
ọ
c ta ch
ứ
ng minh
đượ
c
2
1
( )
12
k
k
g t t
<

*
k
∀ ∈
ℕ

V
ậ
y

2
,
1
( )
12
k
k
t
g t t
∀ ∈
≤
ℝ
(
*
k
∀ ∈
ℕ
)
Xét
t
∈
ℝ
ta có:
( )
2 2
11
0 11 ( ) lim 11 ( ) 0
12
k
k k

k k
k
g t t g t
→+∞
 
 
 
≤ ≤
⇒
=

M
ặ
t khác:
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 71 -
L
ạ
i có
nnbbnf ==
2
)(
nên
1
=
b
và
.)( nnf
=
Hàm s

ố
tho
ả
mãn
đề

bài là
,)( nnf
=
.Nn
∈
∀


IV. Sử dụng tính chất của hàm hoàn toàn nhân tính
Ta đã biết đối với hàm hoàn toàn nhân tính rất thuận lợi khi tính giá
trị của nó tại một điểm tuỳ ý đó là: Cho
k
k
pppn
α
αα

21
21
=
là sự phân
tích tiêu chuẩn của số tự nhiên
n
, nếu f là hàm số hoàn toàn nhân

tính thì
k
k
pfpfnf
α
α
))( ())(()(
1
1
=
. Do đó để xác định giá trị của
hàm
f
ta chỉ cần xác định giá trị của nó tại các điểm nguyên tố.
Ví dụ 4.1.
Tìm m
ộ
t hàm s
ố

:f

** NN
→
tho
ả
mãn
)())((
2
mfnnmff =

,
*; Nnm
∈
∀
(1).
Giải
T
ừ
(1) cho
1
=
m
ta có
),1())((
2
fnnff =
*Nn
∈
∀
.
N
ế
u *,
21
Nnn
∈
mà )()(
21
nfnf
=

thì
)1()1())(())((
2
2
2
121
fnfnnffnff =⇔=
Do
*)( Nnf
∈
nên
0)1(
≠
f
suy ra
21
nn
=
, v
ậ
y
f
là
đơ
n ánh.
T
ừ
(1) cho
1
=

=
nm
và do
f
là
đơ
n ánh ta có
)1())1(( fff
=

1)1(
=
⇔
f
.
suy ra
,))((
2
nnff =
.*Nn
∈
∀

M
ặ
t khác v
ớ
i m
ọ
i

*, Nnm
∈
ta
có ))(())(())()((
222
mnffmnmffnnfmff ===
⇒

)()()( mnfnfmf
=
.
T
ừ

đ
ó ta có
f
là hàm hoàn toàn nhân tính. Vì v
ậ
y ta quan tâm
đế
n giá
tr
ị
c
ủ
a
f
t
ạ

i các
đ
i
ể
m nguyên t
ố
.
G
ọ
i
p
là m
ộ
t s
ố
nguyên t
ố
tu
ỳ
ý
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 70 -
Nhận xét
:
Một số phương trình hàm được giải bằng cách kết hợp
nguyên lý quy nạp và nguyên lý thứ tự cùng với một số tính chất của
hàm số, ta xét ví dụ sau

Ví dụ 3.3.
Tìm t

ấ
t c
ả
các hàm
:f

NN
→
tho
ả
mãn
,)())(( nmfnfmf
+
=
+

.;. Nnm
∈
∀

Giải
Gi
ả
s
ử

0)0(
>
=
af


T
ừ
gi
ả
thi
ế
t cho
0
=
n
ta
đượ
c
)())0(( mffmf
=
+
suy ra
.),()( Nmafamf
∈
∀
=
+

Ch
ứ
ng t
ỏ

f

là hàm tu
ầ
n hoàn và nh
ư
th
ế
t
ậ
p giá tr
ị
c
ủ
a
f
là
{
}
)1(); 2();1();0(
−
=
affffA
G
ọ
i M là s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t trong A thì

,)( Mnf
≤
.Nn
∈
∀

M
ặ
t khác, t
ừ
gi
ả
thi
ế
t cho
0
=
m
ta có
+∞
→
+
=
+
=
nanfnff )0())((
khi
+∞
→
n


đ
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n
v
ớ
i
,)( Mnf
≤
Nn
∈
∀
nên ph
ả
i có
,0)0(
=
=
af
khi
đ
ó
.,))(( Nnnnff
∈
∀
=


N
ế
u
0)1(
=
f
thì
1))1(()0(0
=
=
=
fff
vô lý, v
ậ
y
0)1(
>
=
bf
.
Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p
,)( bnnf
=
Nn
∈
∀

(1)
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i
1;0
=
n
thì (1)
đ
úng.
Gi
ả
s
ử
có
,)( bnnf
=
khi
đ
ó
)())(( bnfnff
=
suy ra
).(bnfn
=


)1()1())(1()1(
+
+
+
=
+
=
+
=
+
nbbnbbnfbnffnf
, v
ậ
y (1)
đ
úng
v
ớ
i
1
+
n
.
Do
đ
ó
,)( bnnf
=
.Nn
∈

∀

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 15 -

2
11 4 12 11 3 12
( ) ( )
16 7 7 9 7 7
11 ( )
k k
k
k
t g t t g t
g t
       
+ + − −
       
       
=

và
11 4 12
lim ( ) 0
16 7 7
k
k
t g t
→+∞
   

   
   
+ =

11 3 12 1
lim ( ) 0 ( )
9 7 7 4
k
k
t g t g t t
→+∞
 
 
 
= +∞
⇒
− =
⇒
=
.
Suy ra
( ) 4 ,f t t t
= ∀ ∈
ℝ

Th
ử
l
ạ
i ta th

ấ
y hàm
:f
→
ℝ ℝ
sao cho
( ) 4 ,f x x x
= ∀ ∈
ℝ
th
ỏ
a
mãn
đề
bài.




PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN KHI GIẢI PT HÀM



PP th
ế
bi
ế
n có l
ẽ
là pp

đượ
c s
ử
d
ụ
ng nhi
ề
u nh
ấ
t khi gi
ả
i pt hàm.
Ta có th
ể
:
•

Ho
ặ
c cho các bi
ế
n x,y,… nh
ậ
n các giá tr
ị
b
ằ
ng s
ố
.

Th
ườ
ng các giá tr
ị

đặ
c bi
ệ
t là
0, 1, 2,
± ±

•

Ho
ặ
c th
ế
các bi
ế
n b
ằ
ng các bi
ể
u th
ứ
c
để
làm xu
ấ

t hi
ệ
n
các h
ằ
ng s
ố
ho
ặ
c các bi
ể
u th
ứ
c c
ầ
n thi
ế
t. Ch
ẳ
ng h
ạ
n,
n
ế
u trong ph
ươ
ng trình hàm có m
ặ
t
(

)
f x y
+
mà mu
ố
n
có
(
)
0
f
thì ta th
ế
y b
ở
i
x
−
, mu
ố
c có
(
)
f x
thì cho
0
y
=
, mu
ố

n có
(
)
f nx
thì th
ế

y
b
ở
i
(
)
1
n x
−
.
BÀI VIẾT THAM KHẢO SỐ 2
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 16 -
1.1 Thế ẩn tạo PTH mới:
Ví dụ 1:
Tìm
{
}
: \ 2f →
ℝ
ℝ
th
ỏ

a mãn
( )
2
2 1
2 1 1
1
x
f x x x
x
+
 
⇒ + ∀ ≠
 
−
 
.
Lời giải:

Đặ
t
{ }
1
2 1
\ 2
1
x
x
t t
x
MGT

≠
+
 
= ⇒ =
 
−
 
ℝ
(t
ậ
p xác
đị
nh
củ
a f). Ta
đượ
c:
1
t
x
t x
+
=
−
th
ế
vào (1):
( )
( )
2

2
3 3
2
t
f t t
t x
−
= ∀ ≠
−
. Th
ử
l
ạ
i th
ấ
y
đ
úng.
V
ậ
y hàm s
ố
c
ầ
n tìm có d
ạ
ng
( )
( )
2

2
3 3
t
f t
t x
−
=
−
.
Nhận xét:
+ Khi
đặ
t t, c
ầ
n ki
ể
m tra gi
ả
thi
ế
t
x
x D
t D
MGT
∈
⊃
. V
ớ
i gi

ả
thi
ế
t
đ
ó m
ớ
i
đả
m b
ả
o tính ch
ấ
t: “
Khi t ch
ạ
y kh
ắ
p các giá tr
ị
c
ủ
a t thì x=1 c
ũ
ng
ch
ạ
y kh
ắ
p t

ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a f
”.
+ Trong ví d
ụ
1,n
ế
u
:f
→
ℝ ℝ
thì có vô s
ố
hàm d
ạ
ng
( )
( )
( )
2
2
3 3
2
2
x
x

f x
x
a

−
≠

=
−



(V
ớ
i
a
∈
ℝ
tùy ý)

Ví dụ 2:
Tìm hàm
]
(
]
(
: ; 1 0;1f −∞ − ∪ →
ℝ
th
ỏ

a mãn:
(
)
( )
2 2
1 1 1 2
f x x x x x− − = + − ∀ ≥
.
Lời giải:

Đặ
t
( )
2 2
2
2
0
1 1
1
x t
t x x x x t
x x t
− ≥


= − − ⇔ − = − ⇔

− = −




2
2 2 2
1
1 2
2
x t
x t
t
x x xt t
x
t
≥

≥


⇔ ⇔
 
+
− = − +
=



.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 69 -
Ta có
)()()(

001
nfngng
<
<
hay
)()()(
011
nfngng
<
<
suy ra
Ang
∈
)(
1
và
),()(
01
ngng
<
mâu thu
ẫ
n v
ớ
i vi
ệ
c ch
ọ
n
).(

0
ng

V
ậ
y
,gf
≡

đ
ó chính là
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

Ví dụ 3.2.
Gi
ả
s
ử

:f

.** NN
→

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
))(()1( nffnf
>
+
,
*Nn
∈
∀
thì
,)( nnf
=
.*Nn
∈
∀

Giải
G
ọ
i
A
là t
ậ
p giá tr
ị

c
ủ
a hàm s
ố
. Khi
đ
ó
A
là t
ậ
p con khác r
ỗ
ng c
ủ
a
N

nên
A
có ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t.
T
ừ

gi
ả
thi
ế
t ta có
)),1(()2( fff
>
)).2(()3( fff
>

Vì v
ậ
y ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
A
không th
ể
là m
ộ
t trong các s
ố


), 4(),3(),2( fff
Mà ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
A
là
)1(f
và nó
đượ
c xác
đị
nh duy nh
ấ
t.
T
ừ

1)1(
≥
f
suy ra

,1)(
>
nf 1
>
∀
n

Vì v
ậ
y ta có th
ể
h
ạ
n ch
ế
hàm
f
trên
{
}
,1\*
N
{
}
{
}
1\*1\*:
NNf
→


L
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
)2(f
là ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a mi
ề
n giá tr
ị

c
ủ
a hàm này, nên ta có

)2()1( ff
<
suy ra
,2)2(
>
f 2
>
∀
n
.
L
ạ
i ti
ế
p t
ụ
c h
ạ
n ch
ế
hàm
f
trên
{
}
2;1\*
N

{
}

{
}
2;1\*2;1\*:
NNf
→

L
ậ
p l
ạ
i quá trình trên ta có
)3()2()1(
<
<
<
fff
d
ẫ
n
đế
n
f
là hàm
t
ă
ng và
,)( nnf
≥

*Nn

∈
∀
.
Gi
ả
s
ử

nnf
>
)(
v
ớ
i
n
nào
đ
ó,
Nn
∈
thì ta có
1)(
+
≥
nnf
suy ra
)1())((
+
≥
nfnff

, do
f
là hàm t
ă
ng,
đ
i
ề
u này mâu thu
ẫ
n v
ớ
i gi
ả

thi
ế
t
).1())((
+
<
nfnff

Vì v
ậ
y
nnf
=
)(
,

.*Nn
∈
∀

Đ
ó là
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 68 -

n
nf
−
−=
)1()(
n
ế
u
,0
<
n Zn
∈


.
1)(
=
nf
n
ế
u
0
≡
n
(mod 4)

1)(
−
=
nf
n
ế
u
2
≡
n
(mod 4)

0)(
=
nf
trong các tr
ườ
ng h

ợ
p còn l
ạ
i c
ủ
a
.
n

Nhận xét: Đối với các trường hợp 1 và 2 ta cũng có thể giải được
nhờ giải phương trình đặc trưng
.01)1(2
2
=+−
λλ
f


III. Sử dụng nguyên lý thứ tự
Định lý 1: Mọi tập con khác rỗng của
N
đều có phần tử nhỏ nhất.
Định lý 2: Mọi tập con khác rỗng và bị chặn của
N
đều có phần tử
lớn nhất và nhỏ nhất.
Ví dụ.3.1
Gi
ả
s

ử

:, gf NN
→
là các hàm tho
ả
mãn
f
là toàn ánh,
g
là
đơ
n ánh
và
),()( ngnf
≥
.Nn
∈
∀
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
gf
≡
.
Giải
Gi
ả

s
ử

)()( ngnf
≠
v
ớ
i
n
nào
đ
ó,
Nn
∈
. Khi
đ
ó xét t
ậ
p khác r
ỗ
ng
{
}
.)()(:)(
ngnfngA
≠
=

Theo
đị

nh lý (1)
ở
trên
A
có ph
ầ
n t
ử
nh
ỏ
nh
ấ
t. Gi
ả
s
ử

đ
ó là
),(
0
ng Nn
∈
0
. Vì
f
là toàn ánh nên v
ớ
i ),(
0

ng
t
ồ
n t
ạ
i
Nn
∈
1
sao
cho ).()(
01
ngnf
=
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t có )()()()(
0011
nfngnfng
≤
=
≤
(1).
Vì
Ang
∈

)(
0
nên )()(
00
nfng
≠
t
ừ
(1) ta có )()(
00
nfng
<
và
)()(
01
nfnf
≠
suy ra
01
nn
≠
.
Mà )()(
01
ngng
≤
và
g
là
đơ

n ánh nên ).()(
01
ngng
<

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 17 -
H
ệ
có nghi
ệ
m
2
1
1
0 1
2
t
t
x t
t
t
≤ −

+
⇔ ≥ ⇔

< ≤



]
(
]
(
; 1 0;1
t ∈ −∞ − ∪
. V
ậ
y
]
(
]
(
1
; 1 0;1
x
t D
MGT
≥
= = −∞ − ∪
.
V
ớ
i
2
1
t x x
= − −
thì
( )

2
1 1
1x x f t
t t
+ − =
⇒
=
th
ỏ
a mãn (2).
V
ậ
y
( )
1
f x
x
=
là hàm s
ố
c
ầ
n tìm.

Ví dụ 3:
Tìm
2
: \ ;3
3
f

 
→
 
 
ℝ ℝ
th
ả
o mãn:
( )
3 1 1
1, 2 3
2 1
x x
f x x
x x
− +
 
= ∀ ≠ ≠
 
+ −
 
.
Lời giải:

Đặ
t
( )
1
2
3 1 2 2 1

\ ;3
2 3 3
x
x
x t
t t x
x t
MGT
≠
≠
− +
 
= ⇒ = ⇒ =
 
+ −
 
ℝ th
ế
vào
(4) ta
đượ
c:
( )
4
3 2
t
f t
t
+
=

−
th
ỏ
a mãn (3). V
ậ
y hàm s
ố
c
ầ
n tìm là:
( )
4
3 2
t
f x
x
+
=
−


Ví dụ 4:
Tìm
(
)
(
)
: 0; 0;
f
+∞ → +∞

th
ỏ
a mãn:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
, 0; 4 .
xf xf y f f y x y= ∀ ∈ +∞

Lời giải:
Cho
(
)
1, 0;
y x
= ∈ +∞
, ta
đượ
c:
(
)

(
)
(
)
(
)
1 1
xf xf f f=
.
Cho
( )
1
1
x
f
= ta
đượ
c:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1 1 1f f xf x f xf
x
=
⇒
=

⇒
=
.
Đặ
t:
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 18 -
( ) ( )
(
)
( )
1
1
f
a
t xf f t f t
t t
=
⇒
=
⇒
=
(v
ớ
i
(
)
1
a f
=

). Vì
(
)
(
)
( )
(
)
0;
1 0; 0;
x
f t
MGT
∈ +∞
∈ +∞ ⇒ = +∞
.

Ví dụ 5:
Tìm hàm
(
)
(
)
: 0; 0;f
+∞ → +∞
th
ỏ
a mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 3

1 ; . . , 0;
2
f f xy f x f f y f x y
x y
 
 
= = + ∀ ∈ +∞
 
 
 
 
(5).
Lời giải:
Cho
1; 3
x y
= =
ta
đượ
c:
( )
1
3
2
f
=
.
Cho
(
)

1; 0;x y
= ∈ +∞
ta
đượ
c:
( )
3
f y f
y
 
=
 
 
. Th
ế
l
ạ
i (5) ta
đượ
c:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

2 , 0; 5'
f xy f x f y x y= ∀ ∈ +∞
. Thay y b
ở
i
3
x
ta
đượ
cL
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3 1
3 2
f f x f f x
x x
   
=
⇒
=
   
   
. Th
ử
l
ạ
i th
ấ

y
đ
úng.
V
ậ
y hàm s
ố
c
ầ
n tìm là:
( )
1
0
2
f x x
= ∀ >
.

Ví dụ 6:
Tìm hàm
:f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn:
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
2 2
( ) 4 , 6 .
x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = + ∀ ∈
ℝ
Lời giải:
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
6
1 1
4 4
x y f x y x y f x y
x y x y x y x y x y x y x y x y
⇔ − + − + − =

 
       
= + − − + + + − + + − − + − −
       
 
 

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 67 -
1)0()2(
−
=
−
=
ff

0)1()3(
=
−
=
ff

.1)2()4(
=
−
=
ff

CM quy n
ạ

p
,1)4(
=
mf

*;Nm
∈
∀
,0)14(
=
+
mf *Nm
∈
∀
(2)

,1)24(
−
=
+
mf *;Nm
∈
∀
,0)34(
=
+
mf *Nm
∈
∀
(3).

Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử
có
;1)4(
=
mf 0)14(
=
+
mf

(*)

;1)24(
−
=
+
mf 0)34(
=
+
mf

(**)

Khi

đ
ó
1)4()24()44())1(4(
=
=
+
−
=
+
=
+
mfmfmfmf
do
(*)

0)14)34()54()1)1(4(
=
+
=
+
−
=
+
=
+
+
mfmfmfmf
do
(*)


1)24()44()64()2)1(4(
−
=
+
=
+
−
=
+
=
+
+
mfmfmfmf
do
(**)

0)34()54()74()3)1(4(
=
+
=
+
−
=
+
=
+
+
mfmfmfmf
do
(**)


Ngh
ĩ
a là (2) và (3)
đ
úng v
ớ
i
1
+
m
, ta
đượ
c
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
V
ậ
y trong các tr
ườ
ng h
ợ
p hàm
f

đượ
c xác
đị
nh nh
ư
sau
,1)(
=
nf
n
ế
u
0
≡
n
(mod 4)
,1)(
−
=
nf
n
ế
u
2
≡
n
(mod 4)
0)(
=
nf

trong các tr
ườ
ng h
ợ
p còn l
ạ
i c
ủ
a
.
n

K
ế
t lu
ậ
n: V
ậ
y có 4 hàm s
ố
tho
ả
mãn
đề
bài
đ
ó là
.
,0)(
=

nf Zn
∈
∀
.
.
,1)(
=
nf Zn
∈
∀
.
.
n
nf )1()( −=
n
ế
u
,0
>
n Zn
∈


1)(
=
nf
n
ế
u
0

=
n

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 66 -
Cho
nk
=
t
ừ
a) ta có
1)(2)2(
2
−= nfnf
.
N
ế
u
2|)1(|
≥
f
thì
7|1)1(2||)2(|
2
≥−= ff
suy ra
97|1)2(2||)4(|
2
≥−= ff


V
ậ
y ta
đượ
c
+∞→)2(|
n
f
khi
+∞
→
n
hay
)2(
n
f
hkông b
ị
ch
ặ
n
mâu thu
ẫ
n v
ớ
i b), do
đ
ó
2|)1(|
<

f
nên
{
}
1;0;1)1(
−
∈
f
.
Tr
ườ
ng h
ợ
p 1:
1)1(
−
=
f

22
)1(11)1(2)2( −==−= ff

3
)1(112)1()1().2(2)3( −=−=+−=−= ffff

Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p

n
nf )1()( −=
,
.*Nn
∈
∀

Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

,1)2(
=
kf 1)12(
−
=
+
kf
. Khi
đ
ó
22
)1(112)2()1()12(2)22(
+
−==−=−+=+

k
kffkfkf

32
)1(1)12()1().22((2)32(
+
−=−=+−+=+
k
kffkfkf

suy ra
,)1()(
n
nf −=
.*Nn
∈
∀

Tr
ườ
ng h
ơ
p 2:
1)1(
=
f

11)1(2)2(
2
=−= ff


112)1()1().2(2)3(
=
−
=
−
=
ffff

. . .
.111.2)2()1()1(2)(
=
−
=
−
−
−
=
nffnfnf

Ta d
ễ
dàng ch
ứ
ng minh b
ằ
ng quy n
ạ
p
,1)(

=
nf *Nn
∈
∀

Tr
ườ
ng h
ợ
p 3:
0)1(
=
f

Thay vào (1) ta có
0)1()1(
=
−
+
+
kfkf
suy ra
)1()1(
−
−
=
+
kfkf
.
Cho

3;2;;1
=
k
ta
đượ
c
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 19 -
Đặ
t
u x y
v x y
= −


= +

ta
đượ
c:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
3 3 3 3
1

4
vf u uf v u v u v u v u v
vf u uf v u v v u v f u u u f u v
− = + − + − −
⇒
− = − ⇔ − = −

+ V
ớ
i
0
uv
≠
ta có:
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 3
* 3
, 0
f u u f v v f u u
u v a f u au u u
u v u
− − −
= ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = + ∀ ≠
ℝ


+ V
ớ
i
0; 0
u v
= ≠
suy ra:
(
)
(
)
(
)
3 3
0 0 0.
f u u f u u f
− = ⇔ = ⇒ =

Hàm
(
)
3
f u au u
= +
th
ỏ
a mãn
(
)

0 0
f
=
. V
ậ
y
(
)
3
f u au u u
= + ∀ ∈
ℝ

Hàm s
ố
c
ầ
n tìm là:
(
)
(
)
3
f u ax x a= + ∈
ℝ
. Th
ử
l
ạ
i th

ấ
y
đ
úng.


1.2. Thế ẩn tạo ra hệ PTH mới:
Ví dụ 1:
Tìm hàm
:f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn:
(
)
(
)
(
)
1 1
f x xf x x x+ − = + ∀ ∈
ℝ
.
Lời giải:
Đặ
t
t x
= −

, ta
đượ
c:
(
)
(
)
(
)
1 1
f t tf t t t− − − = − + ∀ ∈
ℝ
. Ta có h
ệ
:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
1
1
1
f x xf x x
f x
xf x f x x

+ − = +


⇒
=

− + − = − +


. Th
ử
l
ạ
i hàm s
ố
c
ầ
n tìm là:
(
)
1
f x
=
.


Ví dụ 2:
Tìm hàm s
ố

{
}
: \ 0,1f →

ℝ ℝ
Th
ỏ
a mãn:
( ) ( )
*
1
1 2
x
f x f x x
x
−
 
+ = + ∀ ∈
 
 
ℝ
.
Lời giải:

Đặ
t
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 2 1 .
x
x f x f x x
x
−

= ⇔ + = +

Đặ
t
( ) ( ) ( )
1
2 1 2 1
1
1
1
, 2 1 .
1
x
x f x f x x
x x
−
= = ⇔ + = +
−

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 20 -
Đặ
t
( ) ( ) ( )
2
3 2 2
2
1
, 2 1 .
x

x x f x f x x
x
−
= = ⇔ + = +

Ta có h
ệ

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1 2
2 1 1
3 2 2
1
1
1 1 1
1
2 2 1
1
f x f x x
x x x
f x f x x f x x
x x
f x f x x


+ = +

+ − +
 
+ = + ⇒ = = + +

 
−
 

+ = +

.
Th
ử
l
ạ
i th
ấ
y
đ
úng.
V
ậ
y hàm s
ố
c
ầ
n tìm có d

ạ
ng:
( )
1 1 1
2 1
f x x
x x
 
= + +
 
−
 
.

Ví dụ 3:
Tìm hàm s
ố

{
}
: \ 1;0;1f − →
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn:
( ) ( )
1
1 1 3 .
1
x

xf x xf x
x
−
 
+ = ∀ ≠ −
 
+
 

Lời giải: Đặ
t
( ) ( ) ( )
1 1
1
, 3 2 1.
1
x
x xf x f x
x
−
= ⇒ + =
+

Đặ
t
( ) ( ) ( )
1
2 1 1 2
1
1

1
, 3 2 1.
1
x
x x f x f x
x x
−
= = −
⇒
+ =
+

Đặ
t
( ) ( ) ( )
2
3 2 2 3
2
1
1
, 3 2 1.
1 1
x
x
x x f x f x
x x
−
+
= =
⇒

+ =
+ −

Đặ
t
( ) ( ) ( )
3
4 3 3
3
1
, 3 2 1.
1
x
x x x f x f x
x
−
= =
⇒
+ =
+

Ta có h
ệ

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( )
( )
1
2
1 1 2
2 2 3
3 3
2 1
2 1
4 1
.
5 1
2 1
2 1
xf x f x
x f x f x
x x
f x
x x
x f x f x
x f x f x

+ =

+ =

− +
⇒ =


−
+ =


+ =

Th
ử
l
ạ
i th
ấ
y
đ
úng.
V
ậ
y hàm s
ố
c
ầ
n tìm là:
( )
( )
2
4 1
.
5 1
x x
f x

x x
− +
=
−


Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 65 -
Ta ch
ứ
ng minh (1)
đ
úng v
ớ
i
{
}
.32;22;12;22
+
+
−
−
−
−
∈
kkkkn
Th
ậ
t v
ậ

y, theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p ta có
12)2(1)2(
+
=
−
−
=
−
kkkf
và
kkkf 2)12(1)12(
=
+
−
−
=
+
−

suy ra
)22(112)2)212(()22(
+
−
=

−
−
=
+
+
−
−
=
+
kkkffkf

)32(122)2)222(()32(
+
−
=
−
−
=
+
+
−
−
=
+
kkkffkf

)22(132))32(()22(
−
−
−

=
+
=
+
=
−
−
kkkffkf

)12(122))22(()12(
−
−
−
=
+
=
+
=
−
−
kkkffkf

Ch
ứ
ng t
ỏ
(1)
đ
úng v
ớ

i
{
}
.32;22;12;22
+
+
−
−
−
−
∈
kkkkn

V
ậ
y
,1)( nnf
−
=
Zn
∈
∀
là nghi
ệ
m c
ủ
a bài toán.

Ví dụ 2.4
Xác

đị
nh t
ấ
t c
ả
các hàm
:f ZZ
→
tho
ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
a)
),().(2)()( nfkfnkfnkf
=
−
+
+
Znk
∈
∀
;

b) T
ồ

n t
ạ
i s
ố
nguyên
N
sao cho
,|)(| Nnf
<
.Zn
∈
∀

Giải
Cho
0
=
=
kn
t
ừ
a) ta có
)0()0(
2
ff =
suy ra
0)0(
=
f
ho

ặ
c
.1)0(
=
f

.
N
ế
u
0)0(
=
f
t
ừ
a) cho
0
=
n
thì
,0)(
=
kf Zk
∈
∀
suy ra
0
≡
f
là

m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a bài toán.
.
N
ế
u
1)0(
=
f
, t
ừ
a) cho
0
=
k
ta có
),()( nfnf
−
=
Zn
∈
∀
, vì v
ậ
y

ta ch
ỉ
c
ầ
n xét hàm s
ố
trên t
ậ
p
.
*
N

V
ớ
i
1
=
n
t
ừ
a) ta có
)().1(2)1()1( kffkfkf
=
−
+
+
,
*Nk
∈

∀
(1)
Ta
đ
i xác
đị
nh
).1(f

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 64 -

3232
2
.
.
.
2
.
.
.
23)32(
−=−=
+−
v
ớ
i
)4(
+
n

s
ố
2,
đ
ó là
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh
T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
32)1981,4(
2
.
.
.
2
−=f
v
ớ
i 1984 s

ố
2.
Nhận xét: Nguyên lý quy nạp không còn đúng trong tập Z, nhưng
trong các bài toán ta có thể chia tập Z thành phần dương, âm và quy
nạp rời rạc, có thể làm như sau: Giả sử bài toán đúng với
nnn ; ;2;1;0;1; ;1;
−
+
−
−
ta chứng minh bài toán cũng đúng với
1
−
−
n
và
,1
+
n
chẳng hạn xét các ví dụ sau

Ví dụ 2.3
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm
:f ZZ
→
tho

ả
mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
a)
1)0(
=
f

b)
nnff
=
))((
,
Zn
∈
∀

c)
(
)
,2)2( nnff
=
+
+
.Zn

∈
∀

Giải
T
ừ
a) và b) ta có
),1())0((0 fff
=
=
v
ậ
y
1)0(
=
f
và
0)1(
=
f
. Cho
2
−
=
n
t
ừ
c) ta có:
2)2)0((
−

=
+
ff
suy ra
312)3(
−
=
−
=
f

Cho
3
=
n
t
ừ
b) ta có
3))3((
=
ff
suy ra
)2(13)2(
−
−
=
=
−
f


Cho
1
−
=
n
t
ừ
c) ta có
1)2)1((
−
=
+
ff
suy ra
211)2(
−
=
−
=
f

Cho
2
=
n
t
ừ
b) ta có
2))2((
=

ff
suy ra
)1(12)1(
−
−
=
=
−
f

Ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p
,1)( nnf
−
=
Zn
∈
∀
(1).
Đẳ
ng th
ứ
c (1)
đ
úng v
ớ
i

.2;1;0,;;2
−
−
=
n

Gi
ả
s
ử
(1)
đ
úng v
ớ
i
{
}
.12;2; ;1;0; ;12;2
+
+
−
−
∈
kkkkn

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 21 -
Ví dụ 4.
Tìm t
ấ

t c
ả
các hàm s
ố

:f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a
đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
(
)
2 4
1 2 2 ,x f x f x x x
+ − = − ∀ ∪
ℝ

Gi
ả
i: Thay
x

b
ở
i
1
x
−
ta
đượ
c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
1 1 2 1 1
x f x f x x x
− − + = − − −

Nh
ư
v
ậ
y ta có h
ệ

(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2 4
1 2 2

1 1 2 1 1
x f x f x x
x f x f x x x

+ − = −


− − + = − − −



Ta có
(
)
(
)
2 2
1 1
D x x x x
= − − − +
và
(
)
(
)
(
)
2 2 2
1 1 1
x

D x x x x x
= − − − − +
.
V
ậ
y
(
)
. ,
x
D f x D x
= ∀ ∈
ℝ
.
T
ừ

đ
ó ta có nghi
ệ
m c
ủ
a bài toán là
( )
2
4 2
1 : ,
:
2 : 2
x x a x b

f x c x a
a a a b

− ≠ ≠

= ∈ =


− − =

ℝ
(c là
h
ằ
ng s
ố
)
V
ớ
i a, b là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
1 0
x x
− − =


Nhận xét:
bài toán trên
đượ
c dùng m
ộ
t l
ầ
n n
ữ
a trong kì thi
VMO
2000, bảng B.

Ví dụ 5.
Tìm t
ấ
t các các hàm s
ố

:f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki

ệ
n
(
)
(
)
(
)
2 cos , ,f x y f x y f x y x y
+ + − = ∀ ∈
ℝ

Hint:
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 22 -
1.

Th
ế
2
y
π
→

1.

Th
ế
2
y y

π
→ +

2.

Th
ế

0
x
→

Đ
áp s
ố
:
(
)
(
)
cos sin ,f x a x b x a b= + ∈
ℝ


Ví dụ 6.

:f
→
ℝ ℝ
th

ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,f xy x y f xy f x f y x y
+ + = + + ∈
ℝ
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)

, ,f x y f x f y x y
+ = + ∀ ∈
ℝ

Hint:
1.

Tính
(
)
0
f

2.

Th
ế

1
y
= −
. Ch
ứ
ng minh
f
là hàm s
ố

3.


Th
ế

(
)
(
)
1 2 1 2 1
y f x f x
= ⇒ + = +

4.

Tính
(
)
(
)
2 1
f u v uv
+ + +
theo (3) và theo gi
ả
thi
ế
t
để
suy ra
(
)

(
)
(
)
2 2
f uv u f uv f u
+ = +

5.

Cho
1
,
2 2
y
v x
= − →
và
, 2
u y uv x
→ →

để
suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i

ch
ứ
ng minh

Ví dụ 7.
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố

:f
→
ℝ ℝ

đồ
ng th
ờ
i th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
(
)

(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 , 0
1 , , , , 0,0 ; 0
f x xf x x
f x f y f x y x y x y x y
= ∀ ≠
+ = + + ∀ ∈ ≠ + ≠
ℝ

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 63 -
Th
ậ
t v
ậ
y có
,52)32,1()),2(,1()1,2(
+
=
+
=
=
+
nnfnffnf
đ
ó là
đ
i

ề
u
ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
.
Tính
),3( nf

.5)1,2()0,3(
=
=
ff

.3213)5,2())0,3(,2()1,3(
31
−====
+
ffff

.3229)13,2())1,3(,2()2,3(
32
−====
+
ffff

Ch
ứ

ng minh quy n
ạ
p
32),3(
3
−=
+
n
nf
,
.Nn
∈
∀

Gi
ả
s
ử
có
32),3(
3
−=
+
n
nf
ta ch
ứ
ng minh
.32)1,3(
4

−=+
+
n
nf

Th
ậ
t v
ậ
y có
,323)32(2)32,2()),3(,2()1,3(
433
−=+−=−==+
+++
nnn
fnffnf
su
y ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
.
Tính
),4( nf


.1332)1,3()0,4(
4
=−== ff

.3232)13,3())0,4(,3()1,4(
2
2
216
−=−=== ffff

3232)32,3())1,4(,3()2,4(
2
2
216
2216
−=−=−== ffff
.
Ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p v
ớ
i
Nn
∈
thì
32),4(
2
.

.
.
2
−=nf
, trong
đ
ó có
)3(
+
n
s
ố
2.
Gi
ả
s
ử

32),4(
2
.
.
.
2
−=nf
v
ớ
i
)3(
+

n
s
ố
2. Ta ch
ứ
ng
minh
32)1,4(
2
.
.
.
2
−=+nf
v
ớ
i
)4(
+
n
s
ố
2.
Th
ậ
t v
ậ
y có

)32,3()),4(,3()1,4(

2
.
.
.
2
−==+ fnffnf
v
ớ
i
)3(
+
n
s
ố
2
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 62 -
Ví dụ 2.2

Cho hàm
),( nmf
v
ớ
i
Znm
∈
,
tho
ả
mãn

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
a)
1),0(
+
=
nnf

b)
)1,()0,1( mfmf
=
+

c)
(
)
;),1(,)1,1( nmfmfnmf
+
=
+
+
0,

≥
∀
nm
.
Hãy tính
).1981,4(f

Giải
Theo c) có
))1981,4(,3()1981,4( fff
=
. Ta
đ
i xác
đị
nh
),,3( nf
mu
ố
n
v
ậ
y ta ph
ả
i tính
),1( nf
và
),2( nf
.
.

Tính
),1( nf

.211)1,0()0,1(
=
+
=
=
ff

.312)2,0())0,1(,0()1,1(
=
+
=
=
=
ffff

.413)3,0())1,1(,0()2,1(
=
+
=
=
=
ffff

Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ

p
2),1(
+
=
nnf
,
.Nn
∈
∀

Gi
ả
s
ử
có
,2),1(
+
=
nnf
ph
ả
i ch
ứ
ng minh
3)1,1(
+
=
+
nnf
.

Th
ậ
t v
ậ
y có
,3)2,0()),1(,0()1,1(
+
=
+
=
=
+
nnfnffnf

đ
ó là
đ
i
ề
u
ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
.
Tính
),2( nf

.30.23)1,1()0,2(

+
=
=
=
ff

.31.25)3,1())0,2(,1()1,2(
+
=
=
=
=
ffff

.32.27)5,1())1,2(,1()2,2(
+
=
=
=
=
ffff

Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p
32,2(
+
=

nnf
,
.Nn
∈
∀

Gi
ả
s
ử
có
,32),2(
+
=
nnf
ph
ả
i ch
ứ
ng minh
.52)1,2(
+
−
+
nnf

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 23 -
Hint:
1.


Tính
(
)
(
)
0 , 1
f f
−

2.

Tính
1
a
+
v
ớ
i
( )
1 1
1 1
1 1
x
a f f f x
x x
+
   
= = = +
   

+ +
   
theo c
ả

hai
đ
i
ề
u ki
ệ
n.
Đ
áp s
ố
:
(
)
1
f x x
= +

Nxét: Th
ủ
thu
ậ
t này áp d
ụ
ng cho m
ộ

t l
ớ
p các bài toán g
ầ
n tuy
ế
n tính

Ví dụ 8.
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố

*
:f →
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn
( )
1
1
2
f
=
và
( ) ( ) ( )

3 3
, ,f xy f x f f y f x y
y x
+
 
 
= + ∀ ∈
 
 
 
 
ℝ

Hint:
1.

Tính
(
)
3
f

2.

Th
ế

3
y
→


Đ
áp s
ố
:
( )
1
2
f x
=


Ví dụ 9.
Tìm t
ấ
t các các hàm s
ố

*
:f →
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:

( )
*
1
2 3 ,f z f x x
y
 
+ = ∀ ∈
 
 
ℝ

Hint: Th
ế

1
x
x
→

Đ
áp s
ố
:
( )
2
f x x
x
= −



Ví dụ 10.
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố

{
}
: \ 0,1f →
ℝ ℝ
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( ) { }
1
2 , \ 0,1
x
f x f x x
x
−
 
+ = ∀ ∈

 
 
ℝ

Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 24 -
Hint: Th
ế

1 1
,
1
x
x x
x x
− −
→ →
−

Đ
áp s
ố
:
( )
1 1
1
x
f x x
x x
−

= + −
−


Ví dụ 11. (VMO 2002).
Hãy tìm t
ấ
t c
ả
c các hàm s
ố

(
)
f x
xác
đị
nh
trên t
ấ
p s
ố
th
ự
c
ℝ
và th
ỏ
a mãn h
ệ

th
ứ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
2002
2001. . , ,f y f x f x y y f x x y
− = − − ∀ ∈
ℝ
(1)
Gi
ả
i
a.

Th
ế

(
)
y f x
=
vào (1) ta
đượ

c
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2
2002
0 202. ,f f x f x f x x
= − − ∀ ∈
ℝ
(2)
b.

L
ạ
i thay
2002
y x
=
vào (1) thì
(
)
(
)
(
)
(
)

2002 2002
0 2001. . ,f x f x f x f x x
− = − ∀ ∈
ℝ
(3)
L
ấ
y (2) c
ộ
ng v
ớ
i (3) ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
2002
0,f x f x x x
+ = ∀ ∈
ℝ

T
ừ

đ
ây suy ra v

ớ
i m
ỗ
i giá tr
ị

x
∈
ℝ
thì ta có ho
ặ
c là
(
)
0
f x
=
ho
ặ
c là
(
)
2002
f x x
= −
. Ta s
ẽ
ch
ỉ
ra r

ằ
ng
để
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán thì b
ắ
t
bu
ộ
c ph
ả
i có
đồ
ng nh
ấ
t
(
)
0,f x x
≡ ∀ ∈
ℝ
ho
ặ
c
(
)
2002

,f x x x
≡ − ∀ ∈
ℝ
.
Th
ậ
t v
ậ
y, vì
(
)
0 0
f
=
trong c
ả
hai hàm s
ố
trên, nên không m
ấ
t tính
t
ổ
ng quát ta có th
ể
gi
ả
s
ử
t

ồ
n t
ạ
i
0
a
≠
sao cho
(
)
0
f a
=
và t
ồ
n t
ạ
i
0
b
>
sao cho
(
)
2002
f b b
= −
(vì ch
ỉ
c

ầ
n thay
0
x
=
vào quan h
ệ
(1) ta
nh
ậ
n
đượ
c hàm
f
là hàm ch
ẵ
n). Khi
đ
ó th
ế

x a
=
và
y b
= −
vào (1)
ta
đượ
c

(
)
(
)
2002
f b f a b
− = +

V
ậ
y ta nh
ậ
n
đượ
c dãy quan h
ệ
sau
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 61 -
Ví dụ 2.1
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm
**: NNf
→
tho
ả
mãn

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau
a)
1)1(
=
f

b)
,)()()( mnnfmfnmf
+
+
=
+
.*; Nnm
∈
∀

Giải
Cho
0
=
m

t
ừ
b) ta có
,1)()1(
+
+
=
+
nnfnf *Nn
∈
∀

(1)
⇒
nnfnf
+
−
=
)1()(
,
1,
>
∈
∀
nNn
(2).
Ta tính vài giá tr
ị
ban
đầ

u c
ủ
a
)(nf
.
1
=
n
t
ừ
a) suy ra
.
2
)11(1
1)1(
+
==f

2
=
n
t
ừ
(2) suy ra
.
2
)12(2
32)1()2(
+
==+= ff


3
=
n
t
ừ
(2) suy ra
.
2
)13(3
63)2()3(
+
==+= ff

Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p
*,
2
)1(
)( Nn
nn
nf ∈∀
+
=
(3).
V
ớ

i
1
=
n
thì (3)
đ
úng.
Gi
ả
s
ử

.
2
)1(
)(
+
=
nn
nf

Ta có
,
2
)2)(1(
1
2
)1(
1)()1(
+

+
=++
+
=++=+
nn
n
nn
nnfnf
t
ứ
c là
(3)
đ
úng v
ớ
i
1
+
n
nên (3)
đ
úng v
ớ
i m
ọ
i
*Nn
∈
. M
ặ

t khác do có (1)
nên n
ế
u
f
tho
ả
mãn
đề
bài thì
f
đượ
c xác
đị
nh duy nh
ấ
t. V
ậ
y hàm s
ố

c
ầ
n tìm là
2
)1(
)(
+
=
nn

nf
,
.*Nn
∈
∀



Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 60 -
T
ừ
(1) ta có
6
tan)(1
6
tan)(
)(
3
1
1
3
1
)(
)1(
π
π
nf
nf
nf

nf
nf
−
+
=
−
+
=+

⇒
6
tan)0(1
6
tan)0(
)1(
π
π
f
f
f
−
+
=

Do
đ
ó ta
đặ
t
α

tan)0(
=
=
cf
thì
)
6
tan()1(
π
α
+=f

)
6
2
tan(
6
tan)
6
tan(1
6
tan)
6
tan(
6
tan)1(1
6
tan)1(
)2(
π

α
ππ
α
π
π
α
π
π
+=
+−
++
=
−
+
=
f
f
f

Ta ch
ứ
ng minh quy n
ạ
p công th
ứ
c
),
6
tan()(
π

α
+=nf
Nn
∈
(2).
Th
ậ
t v
ậ
y, v
ớ
i
2;1;0
=
n
công th
ứ
c (2)
đ
úng.
Gi
ả
s
ử

).
6
tan()(
π
α

n
nf +=

Ta có
6
tan)
6
tan(1
6
tan)
6
tan(
6
tan)(1
6
tan)(
)1(
ππ
α
ππ
α
π
π
+−
++
=
−
+
=+
n

nf
nf
nf
,
6
)1(tan






++=
π
α
n
hay
(2)
đ
úng v
ớ
i
.1
+
n

Nghi
ệ
m c
ủ

a bài toán là
),
6
tan()(
π
α
nnf +=

.Nn
∈
∀


II. Sử dụng phương pháp chứng minh quy nap

Nguyên lý quy nạp: Cho
NT
⊂
;
T
∈
1
và nếu
Tn
∈
suy ra
Tn
∈
+
1

thì
.*NT
=

Khi giải các bài toán liên quan đến phương trình hàm ta có thể sử
dụng các phương pháp quy nạp khác nhau. Thông thường ta tìm
cách tính một vài giá trị ban đầu để phát hiện quy luật tổng
quát
)(nf
và chứng minh nó bằng quy nạp theo
n
.
Tài liệu tham khảo chọn lọc BDHSG Toán lớp 12 Chuyên đề: Phương trình hàm
- 25 -
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( )
(
)
2002 2002
002 2002
2002 2002 2002
0 0 0
0 b f b f b f a b
a b a b b
2

≠


≠− = = − = + =

− + − + <−


B
ằ
ng cách th
ử
l
ạ
i quan h
ệ
hàm ban
đầ
u ta k
ế
t lu
ậ
n ch
ỉ
có hàm s
ố

(
)
0,f x x
≡ ∀ ∈
ℝ

th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.

Ví dụ 12. (Hàn Quốc 2003)
Tìm t
ấ
t c
ả
các hàm s
ố

:f
→
ℝ ℝ
th
ỏ
a:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
, ,f x f y f x xf y f f y x y
− = + + ∀ ∈
ℝ
(4)
Nh
ậ
n th
ấ
y hàm
(
)
0
f x
≡
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán. Xét tr
ườ
ng h
ợ
p
(
)
0
f x
≠


a.

Th
ế

(
)
x f y
=
vào (4) ta
đượ
c
( ) ( ) ( )
(
)
2
2
0
0 2
2 2
f
x
f f z z f x= + → = − +
.
Hay
( )
( )
(
)

(
)
2
0
1 2
f x f
f f x = − +
.
b.

Th
ế

(
)
x f z
=
, v
ớ
i
z
là m
ộ
t s
ố
thu
ộ
c
ℝ
thì ta

đượ
c
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f f z f y f f z f z f y f f y
− = + +
.
V
ớ
i l
ư
u ý là
( )
( )

(
)
(
)
2
0
2 2
f y f
f f y = − + và
( )
( )
(
)
(
)
2
0
2 2
f z f
f f z = − +

Thay vào quan h
ệ
hàm
ở
trên ta
đượ
c
( ) ( )
( )

( ) ( )
(
)
( )
2
0
2
f z f y
f f z f y f
−
− = − +
. (5)