Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
1

CHNG 1. HÀM S VÀ CÁC VN  LIÊN QUAN
A. Tóm tt lí thuyt
I. Tính đn điu ca hàm s
1. nh ngha :
Gi s
K
là mt khong , mt đon hoc mt na khong . Hàm s
f

xác đnh trên
K
đc gi là :
·

ng bin trên
K
nu vi
1 2 1 2
, ,
x x K x x
" Î <

(
)
(
)
1 2

f x f x
Þ <
·

Nghch bin trên
K
nu vi
1 2 1 2
, ,
x x K x x
" Î <

(
)
(
)
1 2
f x f x
Þ > .
2. iu kin cn đ hàm s đn điu :
Gi s hàm s
f
có đo hàm trên khong
I
.
·

Nu hàm s
f
đng bin trên khong

I
thì
(
)
' 0
f x
³
vi mi
x I
Î

·

Nu hàm s
f
nghch bin trên khong
I
thì
(
)
' 0
f x
£
vi mi
x I
Î

3. iu kin đ đ hàm s đn điu :
nh lý
:

Gi s
I
là mt khong hoc na khong hoc mt đon ,
f
là hàm
s liên tc trên
I
và có đo hàm ti mi đim trong ca
I
( tc là đim
thuc
I
nhng không phi đu mút ca
I
) .Khi đó :

·
Nu
(
)
' 0
f x
>
vi mi
x I
Î
thì hàm s
f
đng bin trên
I


·

Nu
(
)
' 0
f x
<
vi mi
x I
Î
thì hàm s
f
nghch bin trên
khong
I

·

Nu
(
)
' 0
f x
=
vi mi
x I
Î
thì hàm s

f
không đi trên
khong
I
.
Chú ý :
·

Nu hàm s
f
liên tc trên
;
a b
é ù
ë û
và có đo hàm
(
)
' 0
f x
>
trên
khong
(
)
;
a b
thì hàm s
f
đng bin trên

;
a b
é ù
ë û

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
2
·

Nu hàm s
f
liên tc trên
;
a b
é ù
ë û
và có đo hàm
(
)
' 0
f x
<
trên
khong
(
)
;

a b
thì hàm s
f
nghch bin trên
;
a b
é ù
ë û
.
·

Ta có th m rng đnh lí trên nh sau
Gi s hàm s
f
có đo hàm trên khong
I
. Nu
'( ) 0
f x
³
vi
x I
" Î
( hoc
'( ) 0
f x
£
vi
x I
" Î

) và
'( ) 0
f x
=
ti mt s hu
hn đim ca
I
thì hàm s
f
đng bin (hoc nghch bin) trên
I
.
II. Cc tr hàm s
1. Khái nim cc tr hàm s :
Gi s hàm s
f
xác đnh trên tp hp
(
)
D D Ì
¡
và
0
x D
Î

0
)
a x


đc gi là mt đim cc đi ca hàm s
f
nu tn ti mt
khong
(
)
;
a b
cha đim
0
x
sao cho:
(
)
( ) { }
0 0
;
( ) ( ) ; \
a b D
f x f x x a b x
ì
Ì
ï
í
< " Î
ï
î
. Khi đó
(
)

0
f x
đc gi là giá tr
cc đi ca hàm s
f
.
0
)
b x

đc gi là mt đim cc tiu ca hàm s
f
nu tn ti mt
khong
(
)
;
a b
cha đim
0
x
sao cho:
(
)
( ) { }
0 0
;
( ) ( ) ; \
a b D
f x f x x a b x

ì
Ì
ï
í
< " Î
ï
î
. Khi đó
(
)
0
f x
đc gi là giá tr
cc tiu ca hàm s
f
.
Giá tr cc đi và giá tr cc tiu đc gi chung là cc tr
Nu
0
x
là mt đim cc tr ca hàm s
f
thì ngi ta nói rng hàm s
f
đt cc tr ti đim
0
x
.
Nh vy : im cc tr phi là mt đim trong ca tp hp
(

)
D D Ì
¡

2. iu kin cn đ hàm s đt cc tr:
nh lý 1: Gi s hàm s
f
đt cc tr ti đim
0
x
. Khi đó , nu
f
có
đo hàm ti đim
0
x
thì
(
)
0
' 0
f x
=
.
Chú ý :
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
3

·

o hàm
'
f
có th trit tiêu ti đim
0
x
nhng hàm s
f
không
đt cc tr ti đim
0
x
.
·

Hàm s có th đt cc tr ti mt đim mà ti đó hàm s không có
đo hàm .
·

Hàm s ch có th đt cc tr ti mt đim mà ti đó đo hàm ca
hàm s bng
0
, hoc ti đó hàm s không có đo hàm .

3. iu kin đ đ hàm s đt cc tr:
nh lý 2: Gi s hàm s
f
liên tc trên khong

(
)
;
a b
cha đim
0
x
và
có đo hàm trên các khong
(
)
0
;
a x
và
(
)
0
;
x b
. Khi đó :
)
a

Nu
(
)
(
)
( ) ( )

0 0
0 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
ì
< Î
ï
í
> Î
ï
î
thì hàm s đt cc tiu ti đim
0
x
.
x

a

0
x

b

(
)
'
f x


-

+

(
)
f x

(
)
f a

(
)
f b


(
)
0
f x


)
b

Nu
(
)

(
)
( ) ( )
0 0
0 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
ì
> Î
ï
í
< Î
ï
î
thì hàm s đt cc đi ti đim
0
x
.
x

a


0
x

b


(
)
'
f x

+

0
-

(
)
f x

(
)
0
f x


(
)
f a

(
)
f b

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
4
nh lý 3: Gi s hàm s
f
có đo hàm cp mt trên khong
(
)
;
a b
cha đim
0
x
,
(
)
0
' 0
f x
=
và
f
có đo hàm cp hai khác
0
ti
đim
0
x
.
)

a

Nu
(
)
0
'' 0
f x
<
thì hàm s
f
đt cc đi ti đim
0
x
.
)
b

Nu
(
)
0
'' 0
f x
>
thì hàm s
f
đt cc tiu ti đim
0
x

.
Chú ý : Nu
0
x
là mt đim cc tr ca hàm s
f
thì đim
0 0
( ; ( ))
x f x
đc gi là đim cc tr ca đ th hàm s
f
.
III. Tim cn
1. ng tim cn đng và đng tim cn ngang:
·

ng thng
0
y y
=
đc gi là đng tim cn ngang ( gi tt là
tim cn ngang) ca đ th hàm s
(
)
y f x
= nu
(
)
0

lim
x
f x y
®+¥
=
hoc
(
)
0
lim
x
f x y
®-¥
=
.
·

ng thng
0
x x
=
đc gi là đng tim cn đng ( gi tt là
tim cn đng) ca đ th hàm s
(
)
y f x
= nu
(
)
0

lim
x x
f x
-
®
= +¥
hoc
(
)
0
lim
x x
f x
+
®
= +¥
hoc
(
)
0
lim
x x
f x
-
®
= -¥
hoc
(
)
0

lim
x x
f x
+
®
= -¥
.

2. ng tim cn xiên:
ng thng
(
)
0
y ax b a
= + ¹
đc gi là đng tim cn xiên (
gi tt là tim cn xiên) ca đ th hàm s
(
)
y f x
= nu
(
)
(
)
(
)
lim 0
x
f x f x ax b

®+¥
é ù
= - + =
ë û
hoc
(
)
(
)
(
)
lim 0
x
f x f x ax b
®-¥
é ù
= - + =
ë û
.
Trong đó
(
)
( )
lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x
®+¥ ®+¥
é ù

= = -
ë û
hoc
(
)
( )
lim , lim
x x
f x
a b f x ax
x
®-¥ ®-¥
é ù
= = -
ë û
.
Chú ý : Nu
0
a
=
thì tim cn xiên tr thành tim cn ngang.

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
5
IV. Bài toán giao đim
nh lí
: S giao đim ca hai đ th hai hàm s

( )
y f x
=
và
( )
y g x
=

chính là s nghim ca phng trình:
( ) ( )
f x g x
=
.
T đnh lí này s dn ti hai bài toán giao đim sau
Bài toán 1: Bin lun s nghim ca phng trình:
( , ) 0
F x m
=
(m là
tham s)
Phng pháp gii:
* Ta bin đi phng trình
(
)
, 0
F x m
=
v dng
(
)

(
)
f x g m
= , trong
đó ta đã bit đ th (C) ca hàm s
(
)
y f x
= hoc có th d dàng v
đc
*  bin lun s nghim ca phng trình, ta chuyn v bin lun s
giao đim ca (C) và đng thng song song vi Ox:
(
)
y g m
=

Bài toán 2:Bin lun s giao đim ca hai đ th
( ) : ( )
C y f x
=
và
( ') : ( )
C y g x
=

Phng pháp gii:
Xét phng trình hoành đ giao đim ca (C) và (C’):
( ) ( ) (*)
f x g x

=
.
S giao đim ca (C) và (C’) chính là s nghim ca phng trình (*)

V. Tip tuyn ca đ th hàm s
1.nh ngha: Cho hàm s
(
)
y f x
= . Mt cát tuyn
0
MM
đc gii
hn bi đng thng
0
M T
khi
M
dn ti
0
M
thì
0
M T
gi là tip
tuyn ca đ th.
0
M
gi là tip đim.
nh lí 1: o hàm ca

(
)
f x
ti
0
x x
=
là h s góc ca tip tuyn
ti
(
)
(
)
0 0
;
M x f x
.
Nhn xét: H s góc ca mi tip tuyn đu có dng
(
)
0
'
f x
.

2. Các bài toán v phng trình tip tuyn:
Bài toán 1: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s
(
)
y f x

=
ti đim
0 0
( ; ( ))
M x f x
.
Phng pháp:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
6
* Tip tuyn ca đ th hàm s
( )
y f x
=
ti
0 0
( ; )
M x y
là:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= - +
vi
0 0
( )
y f x
= .

Bài toán 2: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s
( )
y f x
=
,
bit tip tuyn có h s góc
k
.
Phng pháp:
* Gii phng trình
'( )
f x k
=
gii phng trình này ta tìm đc các
nghim
1 2
, , ,
n
x x x
.
* Phng trình tip tuyn:
'( )( ) ( ) ( 1, 2, , )
i i i
y f x x x f x i n
= - + = .
Chú ý: i vi bài toán này ta cn lu ý mt s vn đ sau:
* S tip tuyn ca đ th chính là s nghim ca phng trình
'( )
f x k
=

.
* Cho hai đng thng
1 1 1
:
d y k x b
= +
và
2 2 2
:
d y k x b
= +
. Khi đó
i)
1 2
1 2
tan
1 .
k k
k k
a
-
=
+
, trong đó
·
1 2
( , )
d d
a
= .

ii)
1 2
1 2
1 2
/ /
k k
d d
b b
ì
=
ï
Û
í
¹
ï
î

iii)
1 2 1 2
. 1
d d k k
^ Û = -
.

Bài toán 3: Vit phng trình tip tuyn ca đ th hàm s
( )
y f x
=
,
bit tip tuyn đi qua đim

( ; )
A A
A x y
.
Phng pháp:
Gi
0 0
( ; )
M x y
là tip đim. Khi đó tip tuyn có dng:
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= - +

Vì tip tuyn đi qua A nên ta có:
0 0 0
'( )( )
A A
y f x x x y
= - +
, gii
phng trình này ta tìm đc x
0
suy ra phng trình tip tuyn.

Chú ý: S tip tuyn là s nghim ca phng trình
0 0 0
'( )( ) ( )
A A

y f x x x f x
= - + (vi n là x
0
).

B. Các ví d
I. Tính đn điu ca hàm s
Ví d 1.1. Tìm m đ hàm s sau đng bin trên
R

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
7
3
2 2
( 2) ( 2) (3 1)
3
x
y m m x m x m
= + - + - - + .
Li gii:
Hàm s xác đnh trên
R
.
Ta có:
2
' ( 2) 2( 2) 3 1
y m x m x m

= + - + - +
.
Hàm s đng bin trên
' 0
R y x R
Û ³ " Î

2
( 2) 2( 2) 3 1 0
m x m x m x R
Û + - + - + ³ " Î
(1)
Và lúc này ta chuyn bài toán đn điu v bài toán du tam thc bc
hai. C th là tam thc không đi du trên
R
, do đó ta cn nhc li
chút xíu v du ca tam thc bc hai.
Nhc li: Cho tam thc
2
( ) , 0
f x ax bx c a
= + + ¹
có
2
4
b ac
D = -

* Nu
0 . ( ) 0

a f x x R
D < Þ > " Î

* Nu
0 . ( ) 0
a f x x R
D = Þ ³ " Î
và . ( ) 0
2
b
a f x x
a
= Û = -
* Nu
0 ( )
f x
D > Þ
có hai nghim
1 2
x x
<
.

·

1 2
. ( ) 0 ( ; ) ( ; )
a f x x x x
> Û Î -¥ È +¥



·

1 2
. ( ) 0 ( ; )
a f x x x x
< Û Î .
T đnh lí v du ta có ngay:
0 ( 0)
( ) 0 ( ( ) 0)
0
a a
f x f x x R
ì
> <
ï
³ £ " Î Û
í
D £
ï
î
.
Tr li bài toán: iu mà các bn hay nhm ln là áp dng ngay kt
qu trên vào (1). Lu ý VT ca (1) cha phi là tam thc bc hai vì h
s
2
a m
= +
nhn giá tr 0. Do đó ta cn chia làm hai trng hp.
TH 1: Nu

2
m
= -
khi đó
(1) 7 0
Û ³
luôn đúng vi mi
x
2
m
Þ = -
tha bài toán
TH 2: Nu
2
m
¹ -
khi đó (1) tha vi mi
2 0 2 0
' ( 2)(4 1) 0 4 1 0
a m m
x R
m m m
ì ì
= + > + >
ï ï
Î Û Û
í í
D = + + £ + £
ï ï
î î


1
2
4
m
Û - < £ -
.
Kt hp c hai trng hp, ta có:
1
2
4
m
- £ £ -
là nhng giá tr cn
tìm.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
8
Nhn xét: Li gii trên xem ra có v đúng và hp lí, tuy nhiên v mt
lí lun thì trình bày nh trên là cha tha đáng? Các bn th ngh
xem cha tha đáng  ch nào ? Ta nên trình bày th nào cho cht
ch ?.

Ví d 2.1. Tìm
m
đ hàm s
2 sin 1
y x m x

= + -
nghch bin trên
R
.
Li gii. Hàm s xác đnh trên
R
.
Ta có:
' 2 cos
y m x
= +

* Nu
2 2 ' 0
m y x R
- < < Þ > " Î Þ
hàm s đng bin trên
R

* Nu
2 2 2 cos 0
m x x R
= ± Þ ± ³ " Î
và
' 0
y
=
ti vô hn đim,
do đó ta cha kt lun đc hàm s tng trên
R

.
Ly hai giá tr
1 2
x x
<
, khi đó s có khong
( ; )
a b
cha
1 2
,
x x
và
' 0
y
=
ch ti hu hn đim trên (a;b) nên
hàm đng bin trên
1 2
( ; ) ( ) ( )
a b y x y x
Þ < Þ
hàm s đng bin trên
R
.
Vy
| | 2
m
£
là nhng giá tr cn tìm.

Ví d 3.1. Tìm m đ hàm s sau đng bin trên
)
2;
é
+¥
ë

3 2 2
( 1) (2 3 2) (2 1)
y x m x m m x m m
= - + - - + + -
.
Li gii. Hàm s xác đnh trên R.
Ta có
2 2
' 3 2( 1) (2 3 2)
y x m x m m
= - + - - +
.
Hàm đng bin trên
)
2;
é
+¥
ë
' 0
y
Û ³

2

x
" ³

2 2
( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0 [2; )
f x x m x m m x
Û = - + - - + ³ " Î +¥

Vì tam thc
( )
f x
có
2
' 7 7 7 0
m m m
D = - + > "
Nên
( )
f x
có hai nghim:
1 2
1 ' 1 '
;
3 3
m m
x x
+ - D + + D
= = .
Vì
1 2

x x
<
nên
1
2
( ) 0
x x
f x
x x
é
£
³ Û
ê
³
ê
ë
.
Do đó
2
( ) 0 [2; ) 2 ' 5
f x x x m
³ " Î +¥ Û £ Û D £ -

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
9
2 2
5 5

3
2
2
' (5 ) 2 6 0
m m
m
m m m
ì ì
£ £
ï ï
Û Û Û - £ £
í í
D £ - + - £
ï ï
î î
.
Vy
3
2
2
m
- £ £
là nhng giá tr cn tìm.
Ví d 4.1. Tìm m đ hàm s
3 2
1
( 1) 3( 2) 1
3
y mx m x m x
= - - + - +


đng bin trên
(2; )
+¥
.
Gii. Vì hàm s liên tc trên
R
nên:
Hàm s đng bin trên
(2; )
+¥ Û
hàm s đng bin trên
[2;+ )
¥
.
Ta có :
2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
= - - + -
.
C 1. Hàm đng bin trên
[2; )
+¥
' 0 [2; )
y x
Û ³ " Î +¥

2
( ) 2( 1) 3( 2) 0 [2; )

f x mx m x m x
Û = - - + - ³ " Î +¥
(3)
TH 1:
0
m
=
khi đó (3) ch đúng vi mi
3
x
³
.
TH 2:
0
m
<
ta thy trng hp này không tn ti m nên không tha
mãn yêu cu bài toán.
TH 3:
0
m
>
,
( )
f x
có
2
' 2 4 1
m m
D = - + +


* Nu
2 6
' 0
2
m
+
D £ Û ³ (do
0
m
>
)
( ) 0
f x x
Þ ³ " Î
¡

* Nu
2 6
' 0 0
2
m
+
D > Û < < (*).
Khi đó
( )
f x
có hai nghim
1 2
x x

<
và
1
2
2
( ) 0 ( ) 0 2 2
x x
f x f x x x
x x
é
£
³ Û Þ ³ " ³ Û £
ê
³
ê
ë

2
1 ' 2
2 ' 1 3 2 0
3
m
m m m m
m
- + D
Û £ Û D £ + Û - ³ Û ³

Kt hp vi (*)
2 2 6
3 2

m
+
Þ £ < . Vy
2
3
m
³
là nhng giá tr cn
tìm.
C2: Hàm đng bin trên [2;+∞)
' 0 [2; )
y x
Û ³ " Î +¥

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
10
2
2( 1) 3( 2) 0
mx m x m
Û - - + - ³

[2; )
x
" Î +¥
2
6 2
( ) [2; )

2 3
x
m g x x
x x
-
Û ³ = " Î +¥
- +
.
Xét hàm s
( )
g x
, ta có :
2
2 2
2( 6 3)
'( )
( 2 3)
x x
g x
x x
- +
=
- +
'( ) 0 3 6 ( 2)
g x x vi x
Þ = Û = + ³
và
lim ( ) 0
x
g x

®+¥
=
.
Lp bng bin thiên ta có
2
2
max ( ) (2)
3
x
g x g
³
= =

2
2
( ) [2; ) max ( )
3
x
m g x x m g x
³
Þ ³ " Î +¥ Û ³ =
.
II. Cc tr hàm s
Ghi nh:
Cho hàm s
( )
y f x
=
, xác đnh trên
D

.
*
0
x D
Î
là đim cc tr ca khi và ch khi ti
0
x
đo hàm trit tiêu
hoc không xác đnh và qua đó đo hàm đi du.
*
0 0
( )
y f x
= : Cc tr hàm s
* im
0 0
( ; )
x y
: im cc tr ca đ th hàm s.
Ví d 5.1. Tìm m đ hàm s:
3 2
3 ( 1) 1
y mx mx m x
= + - - -
cc tr.
Li gii. Hàm s xác đnh trên R
Ta có:
2
' 3 6 1

y mx mx m
= + - +
. Hàm s có đo hàm ti mi đim
nên
0
x
là đim cc tr ca hàm s thì đo hàm ti đó phi bng 0. Vy
hàm s có cc tr khi và ch khi
' 0
y
=
phi có nghim và y’ đi du
qua nghim đó.
* Nu
0 ' 1 0
m y x R
= Þ = > " Î Þ
hàm s không có c tr
* Nu
0
m
¹
. Khi đó
'
y
là mt tam thc bc hai nên
' 0
y
=
có

nghim và đi du khi qua các nghim
' 0
y
Û =
có hai nghim phân
bit hay
2
1
' 12 3 0 0 v
4
m m m m
D = - > Û < >
.
Vy
1
0 v
4
m m
< >
là nhng giá tr cn tìm.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
11
Nhn xét: Nu
'
y
là mt tam thc bc hai hoc trit tiêu và cùng du
vi mt tam thc bc hai thì hàm có cc tr

Û
phng trình
' 0
y
=

có hai nghim phân bit thuc TX.
Ví d 6.1. Tìm m đ hàm s
2
1
x mx
y
x m
+ +
=
+
đt cc tiu ti
1
x
=
.
Li gii. Hàm s xác đnh vi mi
x m
¹ -

Ta có:
2
1 1
' 1
( )

y x y
x m
x m
= + Þ = -
+
+
. Vì hàm s có đo hàm
ti mi đim
x m
¹ -
nên đ hàm đt cc tiu ti
1
x
=
thì trc ht
2
1
'(1) 1 0 0; 2
(1 )
y m m
m
= - = Û = = -
+
.
Mà
3
1
''
( )
y

x m
=
+
nên
*
0 ''(1) 1 0 1
m y x
= Þ = > Þ =
là đim cc tiu
0
m
Þ =
tha
yêu cu bài toán.
*
2 '(1) 1 0 1
m y x
= - Þ = - < Þ =
là đim cc đi
2
m
Þ = -

không tha yu cu bài toán.
KL:
0
m
=
.
Nhn xét: Nhiu bn đã gii bài toán trên bng cách s dng điu

kin sau
Hàm s đt cc tiu ti
'(1) 0
1
''(1) 0
y
x
y
ì
=
ï
= Û
í
>
ï
î
(*) !
Các bn lu ý là du hiu hai ch phát biu khi
0
''( ) 0
y x
¹
. Các bn
s thy rõ hn bng cách gii bài toán sau:
1. Tìm m đ hàm s
4 2 2
3
y x mx m m
= + + +
đt cc tiu ti

0
x
=

2. Tìm m đ hàm s
3 2
3( 2) ( 4) 2 1
y x m x m x m
= - + - + - + -
đt
cc đi ti
1
x
= -
.
Tuy nhiên trong mt s bài toán ta khng đnh đc
0
''( ) 0
y x
¹
thì ta
s dng (*) đc. Chng hn  ví d trên chúng ta có th trình bày
nh sau:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
12
Ta có:
2

1 1
' 1
( )
y x y
x m
x m
= + Þ = -
+
+
,
3
1
'' 0
( )
y x m
x m
= ¹ " ¹ -
+
nên :
Hàm s đt cc tiu ti
'(1) 0
1
''(1) 0
y
x
y
ì
=
ï
= Û

í
>
ï
î
.
Hoc  ví d sau:
Ví d 7.1. Tìm m đ hàm s
2
2 2 4 5
y x m x x
= - + + - +
có cc
đi.
Li gii: Hàm s xác đnh trên
¡
.
Ta có
2 3/2
2
2
' 2 ; "
( 4 5)
4 5
x m
y m y
x x
x x
-
= - + =
- +

- +
.
* Nu
0
m
=
thì
' 2
y
= -
nên hàm s không có cc tr.
*
0
m
¹
vì du ca
''
y
ch ph thuc vào m nên đ hàm có cc đi thì
trc ht
" 0
y
<
0
m
Û <
. Khi đó hàm s có cc đi Û Phng
trình
' 0
y

=
có nghim.
Ta có:
2
' 0 2 ( 2) 1 ( 2)
y x m x
= Û - + = -
(1) .t
2
t x
= -
thì
(1) tr thành
2
2
2 2
2
0
0
2 1 (1)
1
( 4) 1
4
t
t
mt t
t
m t
m
ì

£
ì
£
ï ï
= + Û Û Þ
í í
=
- =
ï ï
î
î -
có nghim
2
4 0 2
m m
Û - > Û < -
(Do
0
m
<
). Vy
2
m
< -
thì hàm s có
cc đi.
Ví d 8.1. Tìm m đ hàm s
= - - - -
2
( )( 3 1)

y x m x x m
có cc đi
và cc tiu tho
=
Ð
. 1
C CT
x x .
Li gii. Hàm s xác đnh trên
¡
.
Ta có
= - + + -
2
' 3 2( 3) 2 1
y x m x m
Þ = Û - + + - =
2
' 0 3 2( 3) 2 1 0 (1)
y x m x m

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
13
Hàm s có hai đim cc tr tha mãn
=
Ð
. 1

C CT
x x Û (1) có hai
nghim
1 2
,
x x
tha mãn:
=
1 2
| . | 1
x x

ì
D = + >
é
=
ï
Û Û
ê
í
-
= -
= = =
ê
ï
ë
î
2
' 7 0
2

2 1
1
| | | | | | 1
3
m
m
c m
m
P
a
. Vy
=
2
m
hoc
= -
1
m

là giá tr cn tìm.
Nhn xét. Chúng ta đã gii quyt bài toán liên quan đn hoành đ
ca đim cc tr. Ghi nh rng các hàm đa thc hay phân thc hu t
luôn có đo hàm ti mi đim thuc tp xác đnh nên hoành đ đim
cc tr bao gi cng là nghim ca phng trình
' 0
y
=
. Thng thì
các bn ch gp nhng hàm s mà
'

y
là mt tam thc bc hai hoc
trit tiêu và cùng du vi mt tam thc bc hai, do đó nhng bài toán
liên quan đn đim cc tr ca đ thi hàm s thng chuyn v bài
toán liên quan đn nghim cu mt phng trình bc hai và đnh lí
Viet là công c tt nht đ gii quyt.
Ví d 9.1. Cho h đng cong
= + - -
3 2
( ) : 2 12 13
m
C y x mx x .
Tìm m đ (C
m
) có đim cc đi và cc tiu và các đim này cách đu
trc tung.
Li gii. Hàm s xác đnh trên
¡

Ta có = + - Þ = Û + - =
2 2
' 2(3 6) ' 0 3 6 0 (2)
y x mx y x mx

Vì (2) luôn có hai nghim phân bit nên đ th hàm s luôn có hai cc
tr. Gi
1 2
,
x x
là hoành đ hai cc tr, hai đim cc tr cách đu trc

tung
Û = Û = - Û + =
1 2 1 2 1 2
| | | | 0
x x x x x x
(vì
¹
1 2
x x
)
- -
Û = = = Û =
0 0
3
b m
S m
a
. Vy
=
0
m
là giá tr cn tìm.
Ví d 10.1. Cho hàm s
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1
y x x m x m
= - + + - - -

(1)
.

Tìm
m
đ đ th hàm s (1) có cc đi, cc tiu và các đim cc tr
ca đ th hàm s (1) cách đu gc ta đ
O
.
Li gii. Ta có
(
)
2 2
' 3 6 3 1
y x x m
= - + + -

Hàm s có cc đi và cc tiu
Û

(
)
2 2
'( ) 3 6 3 1 0
g x x x m
= - + + - =
có hai nghim phân bit .
2
' 9 0 0
m m
Û D = > Û ¹
. Gi
,

A B
là các đim cc tr ta có :
3
(1 ; 2 2 );
A m m
- - -
3
(1 ; 2 2 )
B m m
+ - +
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
14
im
O
cách đu hai đim
,
A B

Û

OA OB
=

( )
3
1

8 2 0
2
m m m m Û = Û = ± ¹ .
III. Bài toán giao đim
Ni dung liên quan ca bài toán này là da vào đnh lí sau
nh lí: S nghim ca hai đ th
( ) : ( )
C y f x
=
và
( ') : ( )
C y g x
=

chính là s nghim ca phng trình
( ) ( )
f x g x
=
(1). Nghim ca phng trình chính là hoành đ ca các
giao đim nên nó còn đc gi là phng trình hoành đ giao đim.
T đnh lí trên s ny sinh ra hai bài toán ngc nhau.
Bài toán 1: Da vào đ th (C):
( )
y f x
=
, bin lun s nghim ca
phng trình :
( , ) 0
F x m
=

.
Bài toán 2: Bin lun s giao đim ca hai đ th
( ) : ( , )
C y f x m
=
và
( ') : ( , )
C y g x m
=
.
Ví d 11.1. (Khi A – 2006 ) Cho hàm s:
3 2
2 9 12 4
y x x x
= - + -

có đ th là (C).
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C).
2. Tìm
m
đ phng trình sau có 6 nghim phân bit :
3 2
2 9 12
x x x m
- + =
(1).
Li gii .
1. Các bn t làm.
2. t
, 0

t x t
= ³
. Khi đó (1) tr thành:
3 2 3 2
2 9 12 2 9 12 4 4
t t t m t t t m
- + = Û - + - = -
(2)
Phng trình (1) có 6 nghim phân bit
(2)
Û
có 3 nghim dng
phân bit
Û
đng thng
4
y m
= -
ct đ th hàm s
3 2
2 9 12 4
y t t t
= - + -
ti ba đim phân bit có hoành đ dng
0 4 1 4 5
m m
Û < - < Û < <
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com

Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
15

Lu ý: 1)  bài toán trên ta có th gii theo cách sau
Ta có:
3 3
2 2
2 9 12 2 9 12 4 4
x x x m x x x m
- + = Û - + - = -

S nghim ca phng trình đã cho bng s giao đim ca đng
thng
4
y m
= -
vi đ th hàm s (C’):
3
2
2 9 12 4
y x x x
= - + -
.
Vì hàm s
3
2
2 9 12 4
y x x x
= - + -

là hàm s chn nên
( ')
C
nhn
Oy
làm trc đi xng. Do đó đ vè (C’) ta ch cn v mt nhánh bên
phi trc
Oy
ri ly đi xng qua
Oy
ta có nhánh còn li.
Vi
0 ( ') ( )
x C C
³ Þ º Þ
ta có đ th (C’) nh sau (hình v)
T đ th hàm s
3
2
2 9 12 4
y x x x
= - + -
ta có phng trình đã
cho có 6 nghim phân bit khi và ch
khi
0 4 1 4 5
m m
< - < Û < <
.
2) Trong bài toán 1 thng dn ti bài toán suy đ th

Cho đ th (3):
(
)
y f x
= .T đ th (3) suy ra cách v đ th (C’)
ca hàm s :
(
)
| |
y f x
= nh sau:
Ta thy hàm s
(
)
| |
y f x
= là mt hàm s chn nên đ th ca nó là
hai nhánh đi xng nhau qua truc Oy :
Mt khác:
( ) 0
( ) 0
f x khi x
y
f x khi x
ì
³
ï
=
í
- <

ï
î
, suy ra vi
0
x
³
thì (3) và (C’)
trùng nhau. Vy ta có cách v (C’) nh sau:
B 1:Gi nguyên phn đ th (3) ng vi phn
0
x
³
(Phn nm v
phía bên phi trc Oy)
y
-4
O
1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
16
B 2: Ly đi xng qua trc Oy phn va v  bc 1 ta có đ th
(C’).
Ví d 12.1. Cho hàm s
3
( ) 2
y f x x x
= = - - +

, có đ th là (C).
1. Kho sát s bin thiên và v (C).
2. Bin lun theo m s nghim ca phng trình:
3
| 2 |
x x m
+ - =

(1)
Li gii.
1. Các bn t làm.
2. Xét đ th
3
( ') : ( ) 2 ( )
C y g x x x f x
= = + - = . Khi đó s nghim
ca phng trình (1) chính là s giao đim ca đ th (C’) và đng
thng
:
y m
D =
.
Ta có:
( ) khi ( ) 0
( )
( ) khi ( ) 0
f x f x
g x
f x f x
ì

³
ï
=
í
- <
ï
î
suy ra

*
Nu
( ) 0
f x
³
(Tc là phn đ th (3) nm trên truc Ox) thì (C’) và
(3) trùng nhau.
* Nu
(
)
0
f x
<
, khi đó mi đim
'
M
thuc (C’) thì
(
)
(
)

’ ;
M x f x
- còn
M
thuc
(3) thì
(
)
(
)
;
M x f x
Þ

M
và
'
M
đi xng nhau qua trc Ox hay là
(3) và (C’)
đi xng nhau qua trc Ox.
Cách v:
B 1 : Gi nguyên đ th (3) ng vi phn
( ) 0
f x
³
(Phn đ th nm
trên Ox).
B 2 : Ly đi xng qua trc Ox đ th (3) phn
( ) 0

f x
<
(Phn nm
phía di Ox).
Ta có đ th (C’) (hình 1.4). Da vào đ th (C’) ta có :

·
Nu
0
m
< Þ D
và (C’) không ct nhau
(1)
Þ
vô nghim

·
Nu
0
m
= Þ D
ct (C’) ti mt đim
(1)
Þ
có mt nghim

·
Nu
0
m

> Þ D
ct (C’) ti hai đim
(1)
Þ
có hai nghim.
Ví d 13.1. Tìm m đ đng thng
: 2
d y x m
= +
ct đ th (C):
2 2
1
x
y
x
-
=
+
ti 2 đim phân bit
,
A B
sao cho
5
AB
= .
Li gii.
y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu

Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
17
Phng trình hoành đ giao đim ca
d
và
( )
C
:
2 2
2
1
x
x m
x
-
= + Û
+
(
)
(
)
2
2 2 0 , 1 1
x mx m x+ + + = ¹ -
d
ct
( )
C
ti 2 đim phân bit
Û

(1) có 2 nghim phân bit khác
1
-

2
4 4 2
8 16 0
4 2 4
m
m m
m
é
£ -
ê
Û - - > Û
ê
³ +
ë
(*).
Gi
1 2
,
x x
là hai nghim ca (1)
(
)
1 1 2 2
; 2 , ( ;2 ).
A x x m B x x m
Þ + +

Theo đnh lí Viét ta có :
1 2 1 2
2
;
2 2
m m
x x x x
+
+ = - = .
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 ( ) 4( ) 5 ( ) 4 1
AB x x x x x x x x
= Û - + - = Û + - =

2
8 20 0 10; 2
m m m m
Û - - = Û = = -

i chiu (*), ta có
10; 2
m m
= = -
là nhng giá tr cn tìm.
Ví d 14.1. Cho hàm s
3 2
3 4
y x x
= - +

(C).
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s
2. Gi
k
d
là đng thng đi qua
(3;4)
A
và có h s góc
k
. Tìm
k
đ
k
d
ct (C) ti ba đim phân bit
, ,
A M N
sao cho hai tip tuyn ca
(C) ti
,
M N
vuông góc vi nhau.
Li gii.
Phng trình
: ( 3) 4
k
d y k x
= - +
. Ta có PTH giao đim ca (C) và

k
d
:
2
2
3
( 3)( ) 0
x
x x k
x k
é
=
ê
- - = Û
=
ê
ë
.
k
d
ct (C) ti ba đim A,M,N
0
9
k
k
ì
>
ï
Û
í

¹
ï
î
.
Khi đó
;
M N
x k x k
= = -
.
Tip tuyn ti M và N vuông góc vi nhau
'( ). '( ) 1
y k y k
Û - = -

2
6 37
9 36 1 0
3
k k k
+
Û - - = Û = .
Ví d 15.1. Cho hàm s
2 1
2
x
y
x
+
=

+
(C)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
18
1. Kho sát s bin thiên và v đ th (C).
2. Chng minh rng đng thng
:
d y x m
= - +
luôn ct (C) ti hai
đim phân bit A,B. Tính đ dài đon
AB
theo
m
.
Li gii. Xét PTH giao đim ca d và (C):
2
2 1
(4 ) 1 2 0 (*)
2
x
x m x m x m
x
+
= - + Û + - + - =
+


Vì (*) có
2 2
4 12 ( 2) 8 0
m m m
D = - + = - + >
và
2
-
không là
nghim ca (*) nên (C) và d luôn ct nhau ti hai đim phân bit A,B.
Gi x
1
, x
2
là hai nghim ca (*). Khi đó :
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
A x x m B x x m
- + - +
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2( ) 2( ) 8
AB x x x x x x
Þ = - = + - .
Áp dng đnh lí Viét :
2 2 2
2( 4 12) 2( 4 12)
AB m m AB m m
= - + Þ = - + .
Chú ý:  bài toán trên ta có th gii quyt mt s bài toán liên quan

đn đ dài đon
AB
nh :
AB
nh nht,
5
AB
=
,…

IV. Bài toán tip tuyn
nh lí: Tip tuyn ca đ th hàm s
( ) : ( )
C y f x
=
ti
0 0
( ; ) ( )
M x y C
Î có phng trình :
0 0 0
'( )( )
y f x x x y
= - +
(1).
Vy đ vit phng trình tip tuyn ca đ th, ta cn đi xác đnh giá
tr
0
x
.

Lu ý:
0
'( )
f x
: h s góc ca tip tuyn.
Ví d 16.1. Cho hàm s
2 2
1
x
y
x
+
=
-
có đ th (C).
1. Vit phng trình tip tuyn ca đ th (C), bit tip tuyn có h s
góc
4
k
= -
.
2. Vit phng trình tip tuyn ca đ th (C), bit tip tuyn ct hai
trc ta đ ti hai đim
,
A B
sao cho tam giác
OAB
là mt tam giác
vuông cân.
3. Vit phng trình tip tuyn ca đ th (C) ti

M
, bit
IM
vuông
góc vi tip tuyn, trong đó
(1;2)
I
.
4. Vit phng trình tip tuyn ca đ th (C), bit tip tuyn đi qua
(1;5)
A
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
19
Li gii.
Gi
0 0
( ; )
M x y
l tip im, khi ú tip tuyn
D
cú phng trỡnh:
0
0
2
0
0

2 2
4
( )
1
( 1)
x
y x x
x
x
+
-
= - +
-
-

1. Gi thit ca bi toỏn cho h s gúc bng
3
-
nờn ta cú
0
'( ) 3
f x
= -
. T õy ta tỡm c
0
x
ị
tip tuyn
Theo gi tit ta cú:
0

0
2
0
0
0
4
'( ) 4 4
2
( 1)
x
y x
x
x
ộ
=
-
= - = -
ờ
=
-
ờ
ở

*
0
0 : 4 2
x y x
= ị D = - -

*

0
2 4 14
x y x
= ị = - +

2. Cỏch 1: Gi thit ca bi toỏn cho
AOB
D
vuụng cõn nờn ta khai
thỏc tớnh cht ca tam giỏc vuụng cõn
Vỡ tam giỏc
AOB
cõn ti
O
nờn phõn giỏc ca gúc
ã
AOB
(chớnh l
ng thng
y x
=
hoc
y x
= -
) vuụng gúc vi ng thng
BC

(Chớnh l tip tuyn) nờn tip tuyn cú h s gúc
1
k

=

0
'( ) 1
y x
=
. Do
0
0
2
0
0
3
4
' 0 '( ) 1 1
1
( 1)
x
y y x
x
x
ộ
=
-
< ị = - = -
ờ
= -
-
ờ
ở

.
*
0
3 : 7
x y x
= ị D = - +

*
0
1 : 1
x y x
= - ị D = - -

Cỏch 2: Gi
2
0 0
2 1
( ;0)
2
x x
A Ox A
+ -
= D ầ ị
,
2
0 0
2
0
2 4 2
0;

( 1)
x x
B Oy B
x
ổ ử
+ -
ỗ ữ
= D ầ ị
ỗ ữ
-
ố ứ

Vỡ tam giỏc
AOB
cõn ti
2 2
0 0 0 0
2
0
2
0
2 1 2( 2 1)
( 1) 4
2
( 1)
x x x x
O OA OB x
x
+ - + -
ị = = - =

-

Gii tip ta c kt qu nh trờn.
Nhn xột:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
20
Cỏch 1 cho chỳng ta li gii ngn gn hn. Tuy nhiờn cỏch 2 cú ý
ngha tng quỏt hn. Khi thay bi bng cỏc cõu hi khỏc liờn quan
n tam giỏc
OAB
(Chng hn
2
OA OB
=
hoc
AOB
D
cú din
tớch bng
k
) thỡ li gii th nht khụng cũn hiu qu na, trong lỳc
ú cỏch gii th hai ta vn ỏp dng c.

3. Tip tuyn
D
cú VTCP:
2

0
4
1;
( 1)
u
x
D
ổ ử
ỗ ữ
= -
ỗ ữ
-
ố ứ
uur
v
0
0
4
( 1; )
1
IM x
x
= -
-
uuur
. Ta cú:
. 0
IM u IM
D
D ^ =

uur uuur

4
0
0 0
3
0
0
3
16
( 1) 0 ( 1) 16
1
( 1)
x
x x
x
x
ộ
=
- - + = - =
ờ
= -
-
ờ
ở

T ú ta c hai tip tuyn l:
7
y x
= - +

v
1
y x
= - -
.
4. Vỡ
0 0
0
2
0 0
0
2 2 2 6
4
5 (1 ) 5
1 1
( 1)
x x
A x
x x
x
+ +
-
ẻ D ị = - + =
- -
-

0
11
3
x = . Vy

9 89
:
16 16
y xD = - + .
Vớ d 17.1. Cho hm s
3 2
3 1
y x mx mx
= - + +
(
m
C
). Tỡm tt c
cỏc giỏ tr ca
m
:
1. Tip tuyn ca th
( )
m
C
ti im cú honh
1
x
= -
to vi
ng thng
:
d
1
y x

= +
mt gúc
0
45

2. Trờn
( )
m
C
cú ỳng bn im m tip tuyn ca
( )
m
C
ti ú to
vi hai trc ta mt tam giỏc vuụng cõn.
Li gii.
Ta cú:
2
' 3 6
y x mx m
= - +

1. Vi
0 0 0
1 4 , '( ) 7 3
x y m y x m
= - ị = - = +

Phng trỡnh tip tuyn
D

ti im cú honh
1
x
= -
:
(7 3) 3 3
y m x m
= + + +
(1;7 3)
u m
D
ị = +
uur
v
(1;1)
d
u =
uur

0 0
.
2 2
( , ) 45 cos( , ) cos 45
2 2
.
d
d
u u
d d
u u

D
D
ị D = D = = =
uur uur
uur uur

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
21
2 2 2
7 4 1 (7 3) (7 4) 1 (7 1)
m m m m + = + + + = + +
1
3
m
= -
.
2. Tip tuyn ti
M
to vi hai trc ta mt tam giỏc vuụng cõn
nờn h s gúc ca tip tuyn
1
k
=
.
Xột phng trỡnh:
2
' 1 3 6 1 0

y x mx m
= - + - =
(1) cú
2
' 9 3 3 0
m m m
D = - + > "

Pt:
2
' 1 3 6 1 0
y x mx m
= - - + + =
(2) cú
2
' 9 3 3
m m
D = - -

trờn
( )
m
C
cú ỳng bn im m tip tuyn ti ú to vi hai trc
ta tam giỏc vuụng cõn thỡ phng trỡnh (2) cú hai nghim phõn
bit v khụng cú nghim chung vi (1).
(2) cú hai nghim phõn bit
2
1 13
3 1 0

12
m m m
-
- - > <
hoc
1 13
12
m
+
> .
Gi s
0
x
l nghim chung ca (1) v (2)
2
0 0
2
0 0
3 6 1 0
3 6 1 0
x mx m
x mx m
ỡ
- + - =
ù
ị
ớ
- + + =
ù
ợ

vụ nghim .
Vy
1 13 1 13
; ;
12 12
m
ổ ử ổ ử
- +
ỗ ữ ỗ ữ
ẻ -Ơ ẩ +Ơ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
l nhng giỏ tr cn tỡm.
Vớ d 18.1. Cho hm s
4 2
2 4 1
y x x
= - +
(C).
1. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn i qua
(1; 1)
A
-
.
2. Tỡm nhng im thuc (C) m tip tuyn ca (C) ti ú ct (C) ti
ba im phõn bit
3. Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn ú tip xỳc vi
(C) ti hai im phõn bit.
Li gii.
Gi

0 0
( ; )
M x y
l tip im
ị
phng trỡnh tip tuyn
3 4 2
0 0 0 0 0
: (4 4 )( ) 2 4 1
y x x x x x x
D = - - + - +

1. Ta cú
3 4 2
0 0 0 0 0
(8 8 )(1 ) 2 4 1 1
A x x x x x
ẻ D - - + - + = -

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
22
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
4( 1)( ) ( 1) 0 ( 1)( 3 4 1) 0
x x x x x x x
- - + - = - - + - =


0 0
1
1;
3
x x
= =
.
*
0
1 : 1
x y
= ị D = -

*
0
1 64 37
:
3 27 27
x y x= ị D = - +
2. Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v
:
D

4 2 3 4 2
0 0 0 0 0
2 4 1 (8 8 )( ) 2 4 1
x x x x x x x x
- + = - - + - +

2 2 2 2 2 2 3

0 0 0 0 0 0
( )( ) 2( ) 4( )( ) 0
x x x x x x x x x x
- + - - - - - =

2 2 3
0 0 0 0 0
( ) ( )( ) 2 4 2 0
x x x x x x x x x
ộ ự
- + + - - + =
ờ ỳ
ở ỷ

2 2 2
0 0 0
( ) ( 2 3 2) 0
x x x x x x
- + + - =

0
2 2
0 0
2 3 2 0 (*)
x x
x x x x
ộ
=
ờ


+ + - =
ờ
ở

Yờu cu bi toỏn
(*)

cú hai nghim phõn bit khỏc
0
x

2
0
0
2
0
0
1 1
' 2 2 0
1
6 2 0
3
x
x
x
x
ỡ
- < <
ỡ
D = - + >

ù ù

ớ ớ
ạ
- ạ
ù ù
ợ
ợ
.
3. Gi s
D
tip xỳc vi (C) ti
( ; )
N n m M
ạ

3 4 2
: (8 8 )( ) 2 4 1
y n n x n n n
ị D = - - + - +

2 2
3 3
0 0
0 0
2 2
4 2 4 2
0 0
0 0
1 0

8 8 8 8
( ) 3( ) 2 0
6 4 1 6 4 1
n nx x
n n x x
n x n x
n n x x
ỡ
ỡ
+ + - =
- = -
ù ù
ị
ớ ớ
ộ ự
+ + - =
- + + = - + +
ù ù
ờ ỳ
ợ
ở ỷ
ợ

2 2
0 0
0
1 0
(I)
0
n nx x

n x
ỡ
+ + - =
ù

ớ
+ =
ù
ợ
hoc
2 2
0 0
2 2
0
1 0
(II)
3( ) 2 0
n nx x
n x
ỡ
+ + - =
ù
ớ
+ - =
ù
ợ

Ta cú : (I)
0
0

2
: 1
1
1
n x
n x
y
n
n
ỡ
= -
ỡ
= -
ù ù
ị D = -
ớ ớ
=
=
ù
ù
ợ
ợ
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
23

2 2 2

0
0
0 0
2 4
( )
1
3 3
(II)
1 1
3
3 9
n x n x
n x
nx nx
ỡ ỡ
+ = + =
ù ù
ù ù
= =
ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
(loi ).
Vy
: 1
y
D = -
l tip tuyn cn tỡm.


V. Tỡm im thuc th.
Bi toỏn : Tỡm tt c cỏc im
M
thuc th (C) :
( )
y f x
=
, bit
M

tha món tớnh cht
T
cho trc
Phng phỏp :
( ) ( ; ( ))
M C M m f m
ẻ ị
. Da vo tớnh cht
T
ca
M
ta tỡm c
m
.
Vớ d 19.1. Cho th
2
( ) :
1
x

C y
x
+
=
-
.
1. Tỡm nhng im
M
thuc (C), sao cho khong cỏch t
M
n
ng thng
: 2 2 0
x y
D + - =

a) Bng
6
5
b) Nh nht
2. Tỡm hai im
,
A B
thuc hai nhỏnh ca (C) sao cho
AB
nh nht.
3. Tỡm
( )
N C
ẻ

sao cho khong cỏch t
N
n
Ox
gp ụi khong
cỏch t
N
n
Oy
.

Li gii.
1. Gi
2
;
1
m
M m
m
ổ ử
+
ỗ ữ
-
ố ứ

( )
2
2
2 2
2 3 4

1
,
5 5 | 1 |
m
m
m m
m
d M
m
+
+ -
- +
-
ị D = =
-
.
a)
2
6
( , ) 2 3 4 6 | 1 |
5
d M m m m
D = - + = -

2
2
5
2;
2 9 10 0
2

1
2 3 2 0
2;
2
m m
m m
m m
m m
ộ
ộ
= =
ờ
- + =
ờ

ờ
ờ
+ - =
ờ
= - =
ở
ờ
ở
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu – Trng Lê Hng Phong – Biên Hòa
24
Vy

1 5
, , 2
2 2
m m m
= = = ±
là nhng giá tr cn tìm.
b) Xét hàm s
2
2 3 4
( )
1
m m
f m
m
- +
=
-
, ta có
2
2
2 4 1
'( )
( 1)
m m
f m
m
- -
=
-
;

2 6
'( ) 0
2
f m m
±
= Û =
2 6
( ) ( ) 1 2 6
2
2 6
( ) ( ) 1 2 6
2
f m f
f m f
é
+
³ = +
ê
ê
Þ
ê
-
£ = -
ê
ë

( , ) ( ) 2 6 1
d M f m
Þ D = ³ -
.

Vy
( , )
d M
D
nh nht
2 6
2
m
-
Û = .
2. Gi
3
(1 ;1 )
A a
a
+ +
,
3
(1 ;1 )
B b
b
- -
vi
, 0
a b
>
,
A B
Þ
nm v hai

nhánh ca (C).
2 2
2 2
3( ) 9
( ; ) ( ) 1
a b
BA a b AB a b
ab
a b
é ù
+
= + Þ = + +
ê ú
ë û
uuur

Do
2 2
2 2
9 9
( ) 4 4 (1 ) 4( ) 24
a b ab AB ab ab
ab
a b
+ ³ Þ ³ + = + ³
.
2 6
AB
Þ ³ . ng thc xy ra
3

9
a b
a b
ab
ab
ì
=
ï
Û Û = =
í
=
ï
î

(1 3;1 3), (1 3;1 3)
A B
Þ + + - - là hai đim cn tìm.
3. Gi
0
0 0 0
0
2
( ; ) ( )
1
x
N x y C y
x
+
Î Û =
-

.
Theo bài ra :
0 0
0 0
0 0
2
( , ) 2 ( , ) | | 2 | |
2
x y
d N Ox d N Oy x y
x y
é
=
= Û = Û
ê
= -
ê
ë
.
*
2
0
0 0 0 0 0
0
2 4
2 3 4 0
1
x
x y x x x
x

+
= Û = Û - - =
-

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyn Tt Thu
Nguyn Tt Thu Trng Lờ Hng Phong Biờn Hũa
25
0 0
0 0
1
1
2
4 2
x y
x y
ộ
= - ị = -
ờ

ờ
= ị =
ờ
ở
.
*
2
0
0 0 0 0 0

0
2 4
2 4 0
1
x
x y x x x
x
- -
= - = + + =
-
vụ nghim.
Vy
1
1
( 1; )
2
N
- -
v
2
(4;2)
N
l hai im cn tỡm.
Vớ d 20.1. Cho hm s
3 2
(3 1) 2 1
y x m x mx m
= - - + + +

( )

m
C
.
1. Tỡm trờn th
2
( )
C
nhng cp im i xng qua
O

2. Tỡm
m
trờn
( )
m
C
tn ti mt cp im i xng nhau qua
Oy

Li gii.
1. Vi
3 2
2
2 ( ) : 5 6 3
m C y x x x
= ị = - + +

Gi
3 2 3 2
( ; 5 6 3), B( ; 5 6 3)

A a a a a b b b b
- + + - + +
l hai im thuc
(C) v i xng nhau qua
Oy

3 2 3 2
2
3
5 6 3 5 6 3
5
a b
a b
a a a b b b
a
ỡ
= -
ỡ
= -
ù ù
ị
ớ ớ
- + + = - + - -
=
ù ù
ợ
ợ

Vy hai im thuc (C) i xng nhau qua O l :
3 33 3

;
5 5 5
A
ổ ử
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
v
3 33 3
;
5 5 5
B
ổ ử
ỗ ữ
- -
ỗ ữ
ố ứ
.
2. Gi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
M x y N x y
l hai im thuc (C)
,
M N
i xng nhau qua
1 2
1 2
1 2
, 0

x x
Oy x x
y y
ỡ
ạ
ù
= -
ớ
ù
=
ợ
1 2
1 2
2
1
, 0
2 0 (*)
x x
x x
x m
ỡ
ạ
ù
ù
= -
ớ
ù
+ =
ù
ợ


Yờu cu bi toỏn
(*)

cú hai nghim phõn bit
2 0 0
m m
- > <
.
Vy
0
m
<
l nhng giỏ tr cn tỡm.
Vớ d 21.1. Cho hm s
3
( 2) 3( 2) 7
y m x m x m
= + - - + +
(
m
C
)
Chng minh rng h ng cong
( )
m
C
luụn i qua ba im c nh
v ba im ny nm trờn mt ng thng.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com