Đề thi Olympic lớp 7 năm 2014 huyện Thanh Oai Môn: Toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (92.16 KB, 3 trang )
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7
Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014
(Thời gian 120 phút )
Câu 1. (5điểm )
1. Cho c
2
=ab Chứng minh rằng:
a ;
b
a
cb
ca
=
+
+
22
22
b;
22
22
ca
ab
+
−
=
a
ab −
2. Ba phân số có tổng bằng
70
213
, các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các
mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó.
Câu 2. (6 điểm )
1. Cho đa thức:
f(x) = x
17
- 2000x
16
+ 2000x
15
- 2000x
14
+….+ 2000x – 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn.
Câu 3.(2 điểm ).
Tìm số tự nhiên x để phân số
32
87
−
−
x
x
có giá trị lớn nhất.
Câu 4. (7 điểm ).
1. Cho tam giác ABC cân tại A,
B∠
= 50
0
.Gọi K là điểm trong tam giác
sao cho
KBC∠
=10
0
,
KCB∠
= 30
0.
a, Chứng minh BA=BK
b, Tính số đo
BAK∠
2. Cho
∠
xAy = 60
0
có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH
vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay
,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh :
a, K là trung điểm của AC
b,
∆
KMC là tam giác đều
c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh
∆
AKM
- Hết-
Duyệt của BGH Người ra đề
Nguyễn Thị Lan Hương
1
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC
Môn: Toán 7( Năm 2013-2014)
Câu 1 . (5đ)
1.(2đ) a, Từ c
2
=a.b
⇒=⇒
b
c
c
a
( )
( )
b
a
bab
baa
bba
baa
bc
ca
b
c
c
a
=
+
+
=
+
+
=
+
+
== .
.
.
2
2
22
22
2
2
2
2
b, Theo câu a ta có
a
b
ca
cb
b
a
bc
ca
=
+
+
⇒=
+
+
22
22
22
22
2
2
a
ab
ca
ab
a
b
ca
cb
a
b
ca
cb −
=
+
−
⇒⇒−=−
+
+
⇒=
+
+
22
22
22
22
22
22
11
2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c =
70
213
Và a : b : c =
2
5
:
1
4
:
5
3
= 6 : 40 : 25 ……….
Suy ra a =
35
9
; b =
7
12
; c =
14
15
Câu 2.(6điểm )
1. (3đ)
f(x) =x
17
– 1999x
16
– x
16
+ 1999x
15
+ x
15
– 1999x
14
- x
14
+…+1999x + x – 1
f(1999) = 1999
17
- 1999
17
- 1999
16
+ 1999
16
+ 1999
15
- 1999
15
- 1999
14
+…
+1999
2
+1999 – 1
= 1999 – 1 = 1998.
2.(3đ)
Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = … = 2m + 2n – 3
Với m, n
∈
N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số
5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn.
Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn.
Câu 3 . (2 đ)
.Đặt A=
)32(2
5
2
7
)32(2
5)32(7
)32(2
)87(2
32
87
−
+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
xx
x
x
x
x
x
Đặt B=
)32(2
5
−x
Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất
……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2
Câu 4;(7 đ)
1.(4đ)
2
a,-vẽ tia phân giác
ABK∠
cắt CK ở I …. .Ta có
IBC∆
cân nên IB=IC
…
CIABIA ∆=∆
(ccc)
…nên
=∠BIA
CIA∠
=120
o
Do đó
BIKBIA ∆=∆
(gcg)
BKBA =⇒
b, …… Từ phần a ta tính được
o
BAK 70=∠
2.(3đ)
V ẽ h ình , GT _ KL
a,
∆
ABC cân tại B do
·
·
·
( )CAB ACB MAC
= =
và BK là đường cao
⇒
BK là đường
trung tuyến
⇒
K là trung điểm của AC
b,
∆
ABH =
∆
BAK ( cạnh huyền + góc
nhọn )
⇒
BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK =
1
2
AC
⇒
BH =
1
2
AC
Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH =
1
2
AC
⇒
CM = CK
⇒
∆
MKC là tam giác cân ( 1 )
Mặt khác :
·
MCB
= 90
0
và
·
ACB
= 30
0
⇒
·
MCK
= 60
0
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
∆
MKC là tam giác đều
c) Vì
∆
ABK vuông tại K mà góc KAB = 30
0
=> AB = 2BK =2.2 = 4cm
Vì
∆
ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có:
AK =
2 2
16 4 12AB BK
− = − =
Mà KC =
1
2
AC => KC = AK =
12
∆
KCM đều => KC = KM =
12
Theo phần b) AB = BC = 4
AH = BK = 2
HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật)
=> AM = AH + HM = 6
3
