ễn thi i hc Nguyn Hu Quớ
Phn 1: HAM Sễ VA THI
CH ấ 1: XẫT TNH N IU V TèM CC TR HAM Sễ
1. Xột tớnh n iu ca hs y = f(x) nh o hm:
Hm s y = f(x) ng bin (hoc nghch bin) trờn khong (a; b)
0 ( 0) ( ; )y y x a b
 Â
" Ê ẻ
(y= 0 ch xy ra ti mt s hu hn im thuc khong (a; b))
2. Phng phỏp tỡm cc tr ca hm s y = f(x):
* PP1: B1: Tỡm TX
B2: Tỡm y v cỏc im ti hn
0
x

B3: Lp bng bin thiờn
B4: Tỡm cc tr nu cú
* PP2: B1: Tỡm TX
B2: Tỡm y v cỏc im ti hn
0
x
B3: Tỡm y, y(
0
x
) v tỡm cc tr nu cú.
Ham sụ y = f(x) co n im cc tri y = 0 cú n nghim l.
0
0
0
( ) 0
.

( ) 0
f x
x x
f x
ỡ
Â
ù
=
ù
=ị
ớ
ÂÂ
ù
<
ù
ợ
Cẹ

0
CT 0
0
( ) 0
.
( ) 0
f x
x x
f x
ỡ
Â
ù

=
ù
=ị
ớ
ÂÂ
ù
>
ù
ợ
f(x) co ao ham va at cc tri bng c tai
0
0
0
( ) 0
( )
f x
x x
f x c
ỡ
Â
ù
=
ù
= ị
ớ
ù
=
ù
ợ
* BI TP:

1) Tỡm khong n iu v cc tr ca cỏc hm s sau:
1) y =
4 3
8 5x x+ +
2) y = 16x + 2x
2

3 4
16
3
x x-
3) y =
2 3
(1 )x-
4)y =
2
( 1) (5 )x x+ -

5) y = (x + 2)
2
(x 3)
3
, 6) y =
2
1
8
x
x
+
+

7) y =
3
2
.( 5)x x -
8) y =
3
2
6.x x-

9) y =
2
2
1
x
x x
-
+ +
10) y =
4
48x
x
+
11) y =
3
(7 ). 5x x- +
12) y =
.( 3)x x -
13) y =
2
2x 3x - -

14) y =
2
25 x-
15) y =
2
20x x- -
16) y =
100
x
x +
17) y =
3
2
x
6x -
18) y =
2
10
x
x-
19) y = cosx sinx 20) y =
sin 2x

2) Chng minh bt ng thc:
a) tanx > x
0
2
x
p
ổ ử

ữ
ỗ
ữ
< <
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
b) tanx > x +
3
3
x
(0 < x <
2
p
) c) sinx + tanx > 2x (0 < x <
2
p
)
d)
3
1
2 sin t an
2
2 2 2
x
x x
+

+ >
(0 < x <
2
p
) e)
2
1
1 1 1 ( 0);
2 8 2
x x
x x x+ - < + < + >
g) a
3
6
a
< sina < a (a > 0)
3) Cho hm s: y =
3 2
x mx m- +
(m: tham s)
a) Tựy theo m, hóy xột s bin thiờn ca y. b) Tỡm m hm s nghch bin trong khong (1; 2)
4) Tỡm m hm s:
a) y =
3
2
( 2) (2 7) 3
3
x
m x m x m- + + + -
ng bin trờn (0; +

Ơ
)
b) y =
3 2
2
(3 1) (2 2 )
3 2
x x
m m m x m- + - - - +
ng bin trờn khong (0; 2)
1
Các chuyên đề ôn thi Đại học
5) Tìm m để hàm số:
a) y =
2
(2 1) 2 2
1
m x m
mx m
+ - -
+ -
nghịch biến trên từng KXĐ của nó
b) y =
2 2
2 4x mx m
x m
- - +
+
nghịch biến trong khoảng (0; 2)
c) y =

2 2
(2 1) 1
1
x m x m
x
+ - + +
-
đồng biến trong khoảng (−
¥
; −1)
6) Tìm m để hs:
a) y =
3
2 2 2
( 2) (3 1)
3
x
m m x m x m- - - + - + -
đạt cực trị tại x = −2
b) y =
2 4 2 2
( 1) 3 x 8m x m m- + + -
có ba điểm cực trị
c) y =
3 2 2
1
( 1) 1
3
x mx m m x- + - + +
đạt cực đại tại x = 1

d) y =
2
1x mx
x m
+ +
+
đạt cực tiểu tại x = 2
7) Tìm a, b để hs: y = x
4
+ ax
2
+ b có một cực trị bằng
3
2
khi x = 1
8) Cho hàm số
3 2
1
1 ( )
3
m
y x mx x m C= - - + +
.
a) CMR: với mọi m hàm số đã cho ln có cực trị .
b) Hãy xác định m sao cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất
9) Cho hàm số
4 2 4
2 2y x mx m m= - + +
. Tìm m để hàm số ln có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của
tam giác đều

10) Tìm m để hàm số
4 2
( 1) 1y x m x m= + - + -
có một cực trị
11) Cho hàm số
4 2
2y x mx m= - +
. Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn
a) Lập thành một tam giác đều b) Lập thành một tam giác vng
c) Lập thành một tam giác có diện tích bằng 4
12) Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
mx
+ -
=
-
. Xác định m để
a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hồnh độ thoả mãn x
1
+ x
2
= 4x
1
x
2
c) Hàm số có cực đại, cực tiểu có hồnh độ dương.

13) Cho hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=
+
. Xác định m để: a) Hàm số có cực trị
b) Hàm số có cực tiểu trong khoảng (0; m) (m > 0) c) Hàm số có cực đại tại x = 2
14) Cho hàm số
2 2
x mx m
y
x m
- + -
=
-
. Xác định m để hàm số có cực trị. Với m vừa tìm được hãy viết phương
trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.
15) Cho hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
- +
=
-

. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại, cực
tiểu nằm ở hai phía của trục Ox.
16) Cho hàm số
2
8
1
x mx m
y
x
+ - +
=
-
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 điểm cực đại , cực
tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng có phương trình 9x – 7y – 1 = 0.
2
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
17) Cho hàm số
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
. Xác định m để
a) Hàm số có cực trị b) Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.
18) Tìm a; b để hs: y =
2 3 2

5
2 9
3
a x ax x b+ - +
có cực đại, cực tiểu là những số dương và
0
5
9
x = -
là điểm
cực đại.
19) Cho hàm số: y =
2 3 2
( 1) 2 x - m 2
( )
m x m m
f x
x m
+ - + +
=
-
(m
¹
−1)
a) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu.
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (0 ; 2).
20) Cho hàm số: y =
2
3
1

x
x
+
+
a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b) Tùy theo m, biện luận số nghiệm của pt: x + 3 = m
2
1x +

21) Cho hàm số: y =
2
1
x m
x
+
+
a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b) Tùy theo m, biện luận số nghiệm của pt: x + m = m
2
1x +
22) Tìm a để hàm số: y =
4 3 2
8 3(1 2 ) 4x ax a x+ + + -
chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
23) Xác định hàm số a sao cho hàm số: y = −2x + 2 + a
2
4 5x x- +
có cực đại
24) Cho hàm số: f(x) =
( )

n n
x c x+ -
trong đó c > 0, n là một số nguyên dương lớn hơn 1
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
b) Từ kết quả trên hãy chứng minh:
( )
2 2
n n
n
a b a b+ +
£
với
, ; 0, .a b a b n
+
+Î ³ Ρ ¢
Xét xem
đẳng thức khi nào xảy ra.
25) CMR pt:
2 1 2
( 1) 3( 2) 0
n n n
n x n x a
+ + +
+ - + + =
không có nghiệm khi n chẵn và a > 3.
26) Biện luận theo a số nghiệm của pt:
2 2 2
0
2 2 2 2
n n

x x x
a
n n
+ +
+ + + =
+ +
27) Chứng minh:
2 2
2 2
3( ) 8( ) 10 32
x y x y
y x
y x
+ - + + ³
với x.y < 0
28) Cho x, y, z dương thỏa
2 2 2
1x y z+ + =
. Chứng minh:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
x y z
y z z x x y
+ + ³
+ + +
CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
* HÀM BẬC BA:
3 2
( ) ( 0)y f x ax bx cx d a= = + + + ¹

(C)

2
( ) 3 2y f x ax bx c
¢ ¢
= = + +
.
Để Hs có cực trị thì y′ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:
( )
1 2
; 0
y
x x
¢
>D
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được
/
( ) ( ). ( )y f x f x q x x
a b
= = + +
3
Các chuyên đề ôn thi Đại học
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
là hai điểm cực trị, ta có:
1 1

2 2
y x
y x
a b
a b
ì
ï
= +
ï
í
ï
= +
ï
ỵ
Suy ra: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
y x
a b
= +
.
* HÀM HỮU TỈ:
2
1
1 1
( 0)
ax bx c
y aa
a x b
+ +
= ¹
+

Ta có:
2
1 1 1 1
2
1 1
2
( )
aa x ab x bb a c
y
a x b
+ + -
¢
=
+
Hàm số có cực trị khi phương trình
2
1 1 1 1
( ) 2 0g x aa x ab x bb a c= + + - =
có hai nghiệm phân biệt khác
1
0
0
1
0
( ) 0
b
x
g x
a
ì

¢
ï
>D
ï
-¹ Û
í
ï
¹
ï
ỵ
Gọi
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;x y x y
là hai điểm cực trị, ta có:
1
1
1
2
2
1
2
2
ax b
y
a
ax b
y
a
ì

ï
+
ï
=
ï
ï
ï
ï
í
ï
+
ï
=
ï
ï
ï
ï
ỵ
Suy ra: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:
1
2ax b
y
a
+
=
* BÀI TẬP:
29) Tìm cực trị của các hàm số sau: a) y =
3
2
2 1

3
x
x x- + +
b) y =
2
2 3
1
x x
x
+ +
-
30) Cho hàm số: y =
3 2
3 9 3 5x mx x m- + + -
. a) Xác định m để đồ thị có 2 điểm cực trị. b)
Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị.
31) Cho hàm số: y =
2
( 1) 1x m x m
x m
+ + - +
-
a) Chứng minh rằng với mọi m, hàm số ln có cực đại, cực tiểu.
b) Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu.
c) Viết p.trình đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
32) Cho hàm số: y =
2
3
4
x x m

x
- + +
-
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn:
ax min
4
m
y y- =
33) Cho hàm số: y =
2
2 3x x m
x m
- +
-
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn:
ax min
8
m
y y- >

34) Cho hàm số: y =
3 2
6 3( 2) 6x x m x m- + + - -
. Xác định m để:
a) Hàm số có 2 cực trị. b) Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
c) Phương trình
3 2
6 3( 2) 6x x m x m- + + - -
= 0 có ba nghiệm phân biệt.
35) Cho

3 3 3
( ) ( ) ( )y f x x a x b x= = + + + -
a) Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Chứng minh với mọi a, b p.trình:
3 3 3
( ) ( ) 0x a x b x+ + + - =
khơng thể có 3 nghiệm phân biệt.
CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C): y = f(x)
1/ Phương pháp tìm tiệm cận: Đứng; Ngang; Xiên.
2/ BÀI TẬP:
36) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
4
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
a)
2
2 5 1
2
x x
y
x
- +
=
-
b)
2
2 1y x x= + +
c)
2
1y x x= + +
d)

3
2
3 4
( 1).( 2)
x
y
x x
+
=
- -
e)
2
2 2
1
x x
y
x
- +
=
-
g)
2
3 1
1
x
y
x x
+
=
+ +

37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a)
2
2
4
x
y
x x m
+
=
- +
b)
2 2
2 3
1
m x mx
y
x
- -
=
+
38) Tìm m để đồ thị hs:
a)
2 2
2 ( 1) 3 2
2
mx m m x m m
y
x
- - - + -

=
+
có tiệm cận xiên đi qua điểm A(−1; −3).
b)
2
1
1
x mx
y
x
+ -
=
-
có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
c)
2
3 4
4
x mx
y
x m
- + +
=
+
có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0
39) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số:
2
2 3 6
2
x x

y
x
+ +
=
+
đến hai tiệm
cận không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó.
40) Cho hàm số:
2
1
1
x x
y
x
- +
=
-
có đồ thị (C). Tìm M
Î
(C) sao cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận
đạt giá trị nhỏ nhất
41) Tìm a, b, c để hàm số:
2
2
ax bx c
y
x
+ +
=
-

có một cực trị bằng 1 khi
1x =
và tiệm cận xiên vuông góc với
đường thẳng y =
1
2
(1 − x)
CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(x)
B1: Tập xác định
B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có)
B3: Chiều biến thiên: (Tìm y
′
; nghiệm của y
′
; lập bảng biến thiên)
B4: Điểm uốn (Tìm y
′′
; xét dấu y
′′
; suy ra khoảng lồi lõm và điểm uốn)
B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị)
CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ
Cho 2 đường: (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x).
Pt hoành độ giao điểm của hai đường là: f(x) = g(x) (*)
Số nghiệm của Pt (*) là số giao điểm của hai đường (C
1

) & (C
2
)
Điều kiện tiếp xúc: Để (C
1
) tiếp xúc (C
2
), điều kiện là hệ pt:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
ì
ï
=
ï
í
¢ ¢
ï
=
ï
î
có nghiệm
* BÀI TẬP:
42) Cho (C): y = x
4
− 5x
2
+ 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P): y = x

2
+ m. Tìm tọa độ tiếp điểm
5
Các chuyên đề ôn thi Đại học
43) Cho (C): y = x
4
− (m
2
+ 10)x
2
+ 9. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m = 0
b) CMR với m
¹
0, đồ thị ln cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm
trong khoảng (−3; 3) và có hai điểm nằm ngồi khoảng (−3; 3)
(44) Cho (C
m
): y = 2x
3
+ 3(m – 3)x
2
+ 11 – 3m
a) Tìm pt các đường thẳng qua A(19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C
2
) của hs
b) Tìm m để (C
m
) có 2 cực trị, đồng thời các điểm cực trị M
1
; M

2
và B(0;−1) thẳng hàng
(45) Cho (C): y = 2x
3
− x
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) tại ba điểm có hồnh độ x
1
; x
2
; x
3
. Tính tổng:
2 2 2
1 2 3
x x x+ +
?
(46) Cho (C): y =
2 1
1
x
x
+
- +
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m − 1 cắt (C) tại hai điểm trên cùng một nhánh.
(47) Cho hs: y =
1
-1

x
x
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR (d): 2x – y + m = 0 ln cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C)
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất.
(48) Cho (C): y =
2 1
1
x
x
- +
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB =
2 2
. Tìm tọa độ của
A; B.
(49) Cho (C): y =
2 1
2
x
x
+
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + 5 cắt (C) tại hai điểm phân biệt
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
. Tìm

hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m
(50) Cho hàm số
2
2 4
2
x x
y
x
- +
=
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d
m
: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
(51) Cho (C): y =
2
x x m
x m
- + +
+

a) Tìm m để tiệm cận xiên đi qua điểm M(2; 0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs với m tìm được.
b) Tìm m để đường thẳng y = x – 1 ln cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x y B x y
. Tìm hệ thức giữa

1 2
,y y
khơng phụ thuộc vào m.
(52) Cho (C): y =
2
2
2
x x
x
+ -
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Gọi A là điểm cực đại của (C). Tìm m để đường thẳng (d): x + 2y – 2m = 0 cắt (C) tại hai điểm B; C
sao cho
D
ABC vng ở A.
(53) Cho (C): y =
2
2 3
2
x x
x
- -
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm A; B sao cho đường thẳng AB cùng phương với y = −x ; đồng thời độ dài AB
ngắn nhất
(54) Cho (C): y =
2
2 2 1

2 1
x x
x
- +
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
6
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho
D
OAB có diện tích bằng
10
9
(đvdt)
7
Các chuyên đề ôn thi Đại học
CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x)
1. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hs: y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
(C) tiếp xúc với (C’)
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
ì
ï
=
ï
Û
í
ï

=
ï
ỵ
có nghiệm x
0
(x
0
là hồnh độ tiếp điểm)
2. Các dạng bài tập về Phương trình tiếp tuyến (pttt):
Dạng 1: Viết pttt với (C): y = f(x) tại điểm
0 0 0
( ; )M x y
PPG: - Tìm
0 0 0
( ) P tt t: ( ) .k y x y k x x y
¢
= = - +Þ
Dạng 2: Viết pttt với (C): y = f(x) biết tt đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
PPG: - Pttt có dạng:
( ) .
A A
y k x x y= - +
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
( ) .( )
( )
A A
f x k x x y

f x k
ì
ï
= - +
ï
í
¢
ï
=
ï
ỵ
để tìm k  Pttt
Dạng 3: Viết pttt với (C): y = f(x) biết tt có hệ số góc bằng k
PPG: - Pttt có dạng: y = k.x + b
- Áp dụng điều kiện tiếp xúc
( ) .
( )
f x k x b
f x k
ì
ï
= +
ï
í
¢
ï
=
ï
ỵ
để tìm b  Pttt

* BÀI TẬP:
(55) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thi (C) của
a. Hàm số
3 2
3 2y x x= - +
, biết tiếp tuyến vng góc với
: 3 5 4 0x y- - =D
b. Hàm số
4 2
2y x x= + -
, biết tiếp tuyến song song với
: 6 1 0x y+ - =D
c. Hàm số
4 2
1 1
2 2
y x x= -
, kẻ từ gốc toạ độ.
d. Hàm số
2
2
x
y
x
+
=
-
, đi qua điểm A(−6; 5) với đồ thị của hàm số.
(56) Cho hàm số
3( 1)

2
x
y
x
+
=
-
(C).
a. Viết pttt đi qua điểm O(0; 0) với đồ thị của hàm số.
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số ngun.
(57) a. Cho hàm số
2
3 4
1
x x m
y
x
+ +
=
+
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vng góc với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất?
b. Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +

=
+
sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với tiệm
cận xiên của (C).
c. Cho hàm số
3
3 , ( )y x x C= -
. Tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm mà từ đó
1) Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) ; 2) Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) ; 3) Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)
d. Cho hàm số
4 2
2 1,( )y x x C= - -
. Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó
d1. Kẻ được 1 tiếp tuyến với (C) d2. Kẻ được 2 tiếp tuyến với (C)
d3. Kẻ được 3 tiếp tuyến với (C) d4. Kẻ được 4 tiếp tuyến với (C)
(58) Cho hàm số
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
m
y x x C= - +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2
8
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
b) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng – 1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m

) tại điểm M song
song với đường thẳng 5x – y = 0.
(59) Cho hs y =
3
4 3 1x x- +
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) tại điểm A(−
3
2
; 1) và tìm giao điểm B (khác A) của
(d) và (C).
(60) Cho hàm số
4 2
1 5
3
2 2
y x x= - +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ
.
M
x a=
Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt (C) tại hai
điểm khác M.
(61) Cho hs: y =
3 2
2 3 1x x- -
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) CMR qua điểm A(−
2

27
; −1) ta kẻ được ba tiếp tuyến với (C), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với
nhau.
(62) Cho hs: y =
3 2
3x x+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với (C); trong đó có hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau
(63) Cho hs: y =
3 2
3 2x x- +
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Lập Pttt với (C) đi qua điểm A(
23
9
; −2)
c) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
(64) Cho hs: y =
3 2
3 1x x mx+ + +
có đồ thị là (C
m
). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C
vuông góc với nhau

(65) Cho hs: y =
3 2
3 2x x- + -
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm điểm M
Î
(C) sao cho qua M ta kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C)
(66) Cho hs: y =
2
1
x
x
-
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs b) Viết Pttt (
D
) với (C) tại điểm A(a ; y) với a
¹
−1
c) Tính khoảng cách từ M(−1 ; 1) tới (
D
). Tìm a để khoảng cách đó lớn nhất
(67) Cho hs: y =
3
1
x
x
+
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs

b) Tiếp tuyến tại điểm S
Î
(C) cắt hai tiệm cận tại P và Q. Chứng minh S là trung điểm của PQ
(68) Cho 2 hs: y =
3
1
3
3
x x m- +
và y = x
2
a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc nhau. b) Viết Pttt chung của hai đồ thị ứng với m tìm được.
(69) Cho hs: y =
2
2 xx m m
x m
- +
+
a) CMR nếu đồ thị hs cắt Ox tại x = x
0
thì hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là: k =
0
0
2 2x m
x m
-
+
b) Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 2 điểm và hai tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
9
Các chuyên đề ôn thi Đại học

CHỦ ĐỀ 7: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT: F(x, m) = 0 BẰNG ĐỒ THỊ
* Chú ý: Số nghiệm của pt: f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
(70) Cho hs: y =
3 2
2x x x- +
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm của Pt:
3 2
2 0x x m- - =
(71) Cho hs: y =
2
( 1) ( 4)x x- + +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt:
2 2
( 1) ( 4) ( 1) ( 4)x x m m+ + = + +
(72) Cho hs: y =
2
( 1) (2 )x x+ -
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của Pt:
2
( 1) (2 )x x+ -
=
2
( 1) (2 )m m+ -
CHỦ ĐỀ 8: ĐỒ THỊ HÀM SỚ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TỤT ĐỚI
Từ đồ thị (C) của hàm sớ
( )y f x=
, suy ra:

1. Đờ thị hàm số (C
1
):
1
( )y f x=
.
Ta có
1
( ) ( )y f x f x= = -
: đây là hàm sớ chẵn nên (C
1
) nhận trục tung làm trục đới xứng.
Đờ thị (C
1
) được suy ra từ đờ thị (C) bằng cách:
• Giữ ngun phần đờ thị (C) nằm bên phải trục Oy
• Bỏ phần đờ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đới xứng phần bên phải của (C) qua trục Oy.
2. Đờ thị hàm số (C
2
):
1
( )y f x=
Ta có:
nếu
nếu


1
( ) 0
( ) 0

y f x
y
y f x
ì
ï
³
ï
=
í
ï
- £
ï
ỵ
; Vì
1
0y ³
nên (C
1
) ở phía trên của trục Ox.
Đờ thị (C
2
) được suy ra từ đờ thị (C) bằng cách:
Giữ ngun phần đờ thị (C) ở phía trên trục Ox
Bỏ phần đờ thị (C) nằm phía dưới trục Ox và lấy đới xứng của phần đờ thị này qua trục Ox
3. Đờ thị hàm số
1
( )y f x=
Nếu
1 1 3
0 ( ) : (C ) (C)y y f x=³ Þ º

ở trên trục Ox.
Nếu
1 1 3
0 ( ) : (C )y y f x=> = -£
đới xứng với (C) ở trên trục Ox qua Ox.
Đờ thị (C
3
) được suy ra từ (C) bằng cách
Giữ ngun phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox
Bỏ phần đồ thị ở dưới Ox và lấy đới xứng phần đồ thị của (C) ở trên trục Ox qua trục Ox.
4. Cho hàm sớ
( )
( )
P x
y
Q x
=
có đờ thị (C)
a. Vẽ đờ thị (C
1
):
nếu
nếu

1
( )
( ) 0
( )
( )
( )

( )
( ) 0
( )
P x
Q x
P x
Q x
y
P x
Q x
Q x
Q x
ì
ï
ï
>
ï
ï
ï
= =
í
ï
ï
- <
ï
ï
ï
ỵ
Đờ thị (C
1

) được suy ra từ đờ thị (C) bằng cách:
Phần đờ thị (C) ở miền
( ) 0Q x >
giữ ngun
Bỏ phần đờ thị (C) ở miền
( ) 0Q x <
và lấy đới xứng của phần này qua trục Ox.
10
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
b. Vẽ đồ thị (C
2
):
neáu
neáu

2
( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
( ) 0
( )
P x
P x
P x
Q x
y
P x

Q x
P x
Q x
ì
ï
ï
>
ï
ï
ï
= =
í
ï
ï
- <
ï
ï
ï
î
Đồ thị (C
2
) được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
Phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x ³
giữ nguyên
Bỏ phần đồ thị (C) ở miền
( ) 0P x £
và lấy đối xứng của phần này qua trục Ox.
* BÀI TẬP:
(73) Cho hs: y =

3
x
− 3x + 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt:
3
3 1x x- +
− 2m
2
+ m = 0 có 6 nghiệm phân biệt
(74) Cho hs: y =
4 2
2x x- +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt: 1 − 3m
3
+ 2m
2
− (1 − x
2
)
2
= 0 có 4 nghiệm phân biệt
(75) Cho hs: y =
4 2
2x x- - +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt:
4 2 2
2 3x x m m+ - + +

= 0 có 4 nghiệm phân biệt
(76) Cho hs: y = x
3
− 3mx
2
+ (m – 1)x + 2
a) Tìm m để hs có cực tiểu tại x = 2. khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm được
b) Biện luận số nghiệm của Pt: (x
2
− 2x – 2).
1x -
= k theo tham số k.
(77) Cho hs: y =
1
2 1
x
x
-
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm m để Pt: 2m
2
4 4 1x x+ +
= x − 1 có đúng một nghiệm
(78) Cho hs: y =
3 1
x - 2
x +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs
b) Tìm trên (C) hai điểm M; N đối xứng nhau qua điểm A(−2 ; −1)

c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y =
3 1
2
x
x
+
-
(79) Cho hs: y =
2
2
2
x x
x
- + +
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs. Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng
b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên
c) Từ (C) suy ra đồ thị hs y =
-

2
2
2
x x
x
- -
+
11
Các chuyên đề ôn thi Đại học
CHỦ ĐỀ 9: BIỆN ḶN SỚ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH

I. Hàm số bậc ba :
3 2
( , )y f x m ax bx cx d= = + + +
(C)
1. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
PP1: Ycbt
có hai nghiệm
1 2
1 2
0 ;
( ). ( ) 0
y x x
f x f x
ì
¢
ï
=
ï
Û
í
ï
<
ï
ỵ
. Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đốn nhận x
0
là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x − x
0

) đưa (1) về dạng: (x − x
0
).g(x) = 0 ;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa
0
0
( ) 0g x
ì
ï
>D
ï
í
ï
¹
ï
ỵ
. Giải hệ này tìm m.
2. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương
PP1: Ycbt
có hai nghiệm
1 2
1 2
1 2
0 ;
( ). ( ) 0
0
. (0) 0
y x x
f x f x
x x

a y
ì
¢
ï
=
ï
ï
ï
<
ï
ï
Û
í
ï
< <
ï
ï
ï
<
ï
ï
ỵ
Giải hệ này tìm m.
PP2: - Đốn nhận x
0
>0 là một nghiệm của f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x − x
0
) đưa (1) về dạng: (x − x
0

).g(x) = 0;
trong đó g(x) là một tam thức bậc hai thỏa:
0
0
0
0
( ) 0
P
S
g x
ì
ï
>D
ï
ï
ï
>
ï
ï
í
ï
>
ï
ï
ï
¹
ï
ï
ỵ
Giải hệ này tìm m.

3. Tìm m để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm
có hai nghiệm
1
x
2
max min
1 2
0
. 0
. (0) 0
0
y x
y y
a y
x x
ì
¢
ï
= <
ï
ï
ï
<
ï
ï
Û
í
ï
>
ï

ï
ï
< <
ï
ï
ỵ
4. (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành đợ lớn hơn
a

có hai nghiệm
1
x
2
max min
1 2
0
. 0
. ( ) 0
y x
y y
a y
x x
a
a
ì
¢
ï
= <
ï
ï

ï
<
ï
ï
Û
í
ï
<
ï
ï
ï
< <
ï
ï
ỵ
* (C) cắt Ox tại 3 điểm có hoành đợ nhỏ hơn
a

có hai nghiệm x
1 2
max min
1 2
0
. 0
. ( ) 0
y x
y y
a y
x x
a

a
ì
¢
ï
= <
ï
ï
ï
<
ï
ï
Û
í
ï
>
ï
ï
ï
< <
ï
ï
ỵ
* (C) cắt Ox tại 3 điểm, trong đó có hai điểm có hoành đợ âm
có hai nghiệm x
1 2
max min
1
0
. 0
. (0) 0

0
y x
y y
a y
x
ì
¢
ï
= <
ï
ï
ï
<
ï
ï
Û
í
ï
<
ï
ï
ï
<
ï
ï
ỵ
12
ễn thi i hc Nguyn Hu Quớ
* (C) ct Ox tai 3 iờm, trong o hai iờm co hoanh ụ dng
coự hai nghieọm x

1 2
max min
2
0
. 0
. (0) 0
0
y x
y y
a y
x
ỡ
Â
ù
= <
ù
ù
ù
<
ù
ù

ớ
ù
>
ù
ù
ù
>
ù

ù
ợ
5. Tỡm m (C) ct Ox ti 2 im phõn bit
PP1: K
coự 2 nghieọm
1 2
1 2
0 ;
( ). ( ) 0
y x x
f x f x
ỡ
Â
ù
=
ù

ớ
ù
=
ù
ợ
. Gii h ny tỡm m.
PP2: - oỏn nhn x
0
l mt nghim ca f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x x
0
) a (1) v dng: (x x
0

).g(x) = 0 ;
trong ú g(x) l mt tam thc bc hai tha
hoaởc
0 0
0 0
( ) 0 ( ) 0g x g x
ỡ ỡ
ù ù
= >D D
ù ù
ớ ớ
ù ù
=ạ
ù ù
ợ ợ
Gii h tỡm m.
6. Tỡm m (C) ct Ox ti 1 im
PP1: K

1 2
1 2
0
0 c ú 2 ;
( ). ( ) 0
y
o
y n x x
f x f x
Â
ộ

D Ê
ờ
ờ
ỡ
Â
ù
=

ờ
ù
ớ
ờ
ù
>
ờ
ù
ợ
ở
. Gii tỡm m.
PP2: - oỏn nhn x
0
l mt nghim ca f(x; m) = 0 (1)
- Chia f(x; m) cho (x - x
0
) a (1) v dng: (x - x
0
).g(x) = 0 ;
trong ú g(x) l mt tam thc bc hai tha
hoaởc
0

0
0
( ) 0g x
ỡ
ù
=D
ù
<D
ớ
ù
=
ù
ợ
Gii h tỡm m.
7. Tỡm m (C) co hai iờm cc tri
1 1 1 2 2 2
( ; ); ( ; )M x y M x y
nm khac phia ụi vi ng thng (d):
0A x By C+ + =

coự 2 nghieọm
1 2
1 1 2 2
0 ;
( )( ) 0
y x x
A x By C A x By C
ỡ
Â
ù

=
ù

ớ
ù
+ + + + <
ù
ợ
8. Tỡm m ham sụ at cc tri tai
1 2
;x x
thoa man hờ thc

1 2
( ; ) 0 (1)F x x =
iờu kiờn ờ ham sụ co cc ai, cc tiờu la:
0y
Â
=
co hai nghiờm phõn biờt
1 2
;x x

0
0
y
a
Â
ỡ
ù

ạ
ù

ớ
ù
>D
ù
ợ
iờu kiờn cua tham sụ m

1
x
va
2
x
thoa man hờ thc (1)
1 2
1 2
1 2
.
( ; ) 0
b
x x
a
c
x x
a
F x x
ỡ
ù

ù
+ = -
ù
ù
ù
ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
ù
=
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
Giai hờ suy ra m. So sanh iờu kiờn nhõn hay loai gia tri cua m
Chu y: tinh
max min
;y y
ta nờn lam theo th t sau:
Viờt phng trinh ng thng i qua hai iờm cc tri cua ham sụ
y x
a b
= +
Nờu

1 2
;x x
n gian thi tinh thng
1 2
;x x
. Khi o
max min 1 2
. ( )( )y y x x
a b a b
= + +
13
Các chuyên đề ôn thi Đại học
Nếu
1 2
;x x
phức tạp thì sử dụng định lí Viet
2 2
max min 1 2
. ( )( )y y x x P S
a b a b a ab b
= + + = + +
II. HÀM SỚ TRÙNG PHƯƠNG :
4 2
y ax bx c= + +


3 2
4 2 2 (2 )y ax bx x ax b
¢
= + = +

. Cho
2
0 2 (2 ) 0y x ax b
¢
= + =Û



2
0 (1)
2 0 (2)
x
ax b
é
=
ê
Û
ê
+ =
ê
ë
• Hàm sớ có 3 cực trị ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ a.b < 0
• Hàm sớ có 1 cực trị ⇔ (2) VN hoặc có 1 nghiệm bằng 0 hoặc có mợt nghiệm kép

0 & 0
0 & 0
a b
a ab
é
= ¹

ê
Û
ê
¹ ³
ê
ë
III. HÀM SỚ HỮU TỈ
2
ax bx c
y
b x c
+ +
=
¢ ¢
+
2
0 ( ) 2 ( 0)y g x ab x ac x bc cb b x c
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
= = + + - +Û ¹
1. Hàm sớ có cực đại và cực tiểu ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
0
g
ab
ì
¢
ï
¹
ï
Û

í
ï
>D
ï
ỵ
2. Hàm sớ khơng có cực trị ⇔ y′ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
3. Đ.thị có 2 cực trị nằm cùng phía với Ox
o
có 2n phân biệt
max min
0 0
0 0
. 0 0
g g
ab ab
y y y
ì ì
ï ï
¢ ¢
¹ ¹
ï ï
ï ï
ï ï
> >Û D Û D
í í
ï ï
ï ï
> =
ï ï
ï ï

ỵ ỵ
4. Đ.thị có 2 cực trị nằm 2 phía với Ox
vơ
o
max min
0
0
0
0 n
. 0
g
ab
ab
y
y y
ì
ï
¢
¹
ï
ì
¢
ï
ï
¹
ï
ï
> < =>Û D
í í
ï ï

=
ï ï
ỵ
<
ï
ï
ỵ
* BÀI TẬP:
(80) a. Tìm m để hs: y =
1
3
m -
x
3
+ mx
2
+ (3m – 2)x cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
b. Tìm m để pt: x
3
+ 3x
2
− 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
(81) a. Tìm m để hs: y = x
3
− 3x
2
− 9x + m cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp
số cộng. Tìm cấp số cộng đó
b. Tìm a, b để pt: x
3

+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Tìm CSC đó.
(82) a. Giả sử pt: x
3
− x
2
+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. CMR: a
2
+ 3b > 0
d. Tìm a để pt: x
3
− x
2
+ 18ax – 2a = 0 có 3 nghiệm dương phân biệt
b. Tìm a để pt: x
3
− 3x
2
+ a = 0 có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 1
c. Cho HS: y = x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3
điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1.

e. Cho HS: y = x
3
− 3mx
2
+ 3(m
2
− 1)x – m
2
+ 1 (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ âm
(83) Cho HS: y = x
3
− mx
2
+ (2m + 1)x – (m + 2) (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt A(1;
0); B; C thỏa: (OA/OB)
2
+ (OA/OC)
2
= 19/48.
(84) Cho HS:
3 2

1 2
3 3
y x mx x m= - - + +
(C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có
hồnh độ x
1
; x
2
; x
3
thỏa:
2 2 2
1 2 3
x x x+ +
> 15
14
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
(85) Cho HS: y = 2x
3
− 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6 (C
m
)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = −1. b) Tìm m để (C
m

) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
(86) Cho hs: y = (x + a)
3
+ (x + b)
3
− x
3
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi a = 1, b = 2
b) Tìm điều kiện đối với a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu
c) CMR
"
a, b phương trình (x + a)
3
+ (x + b)
3
− x
3
= 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt
(87) Cho hs: y = x
4
− 2(m + 1)x
2
+ 3(m – 1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp
số cộng đó
(88) Cho hs: y = − x
4
+ 2(m + 1)x

2
− 2m – 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs khi m = 0
b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Tìm cấp
số cộng đó.
CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
1. Các công thức:
* Khoảng cách giữa hai điểm A(x
1
; y
1
) ; B(x
2
; y
2
) là: AB =
2 2
2 1 2 1
( ) ( )x x y y- + -
- Nếu AB // Ox thì AB =
2 1
x x-
- Nếu AB // Ox thì AB =
2 1
y y-
* Khoảng cách từ M(
0 0
;x y
) tới đường thẳng (
D

): Ax + By + C = 0 là: d =
0 0
2 2
A x By C
A B
+ +
+
2 . BÀI TẬP:
(89) Cho hs:
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
Î
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé nhất.
(90) Cho hs:
1
1
x
y
x
+
=
-

. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) CMR đường thẳng 2x – y + m = 0 luôn cắt đồ thị tại hai điểm A, B trên 2 nhánh của (C)
c) Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
(91) Cho hs:
1
1
x
y
x
-
=
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
Î
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất
(92) Cho hs: y =
2
3
2
x
x
-
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
Î
(C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé nhất
(93) Cho y =
2

2
2
x x
x
- -
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Tìm điểm M
Î
(C) và cách đều hai trục tọa độ
(94) Cho hs: y =
2 1
1
x
x
+
-
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm điểm M
Î
(C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (
D
): y = 1 − x/3 đạt giá trị bé nhất.
Trong trường hợp này, chứng minh (
D
) song song với tiếp tuyến của (C) tại M.
15
Các chuyên đề ôn thi Đại học
(95) Cho hs: y = x
3
+ 3x

2
− 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Gọi A, B là hai điểm cực trị của (C). Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng
(
D
): 3mx + 3y + 2m + 2 = 0 đạt GTLN, NN.
CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ
1. Kiến thức liên quan:
- Tập D được gọi là đối xứng nếu x
Ỵ
D thì –x
Ỵ
D
- Hàm số y = f(x) được gọi là hs chẵn nếu thỏa 2 ĐK:
1. Tập xác định D đối xứng
2. f(–x) = f(x)
- Hàm số y = f(x) được gọi là hs lẻ nếu thỏa 2 ĐK:
1. Tập xác định D đối xứng
2. f(–x) = – f(x)
- Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng
2 . BÀI TẬP:
(96) Xác định tính chẵn, lẻ của hs:
a) y = (x – 1)
2010
+ (x + 1)
2010
b) y = log
2011
1
1

x
x
ỉ ư
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-
è ø
c) y = sinx + cosx
(97) CM đồ thị hs:
a) y = ax
2
+ bx + c (a
¹
0) có trục đối xứng là đường thẳng x = −
2
b
a
b) y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2

a b+
c) y = (x – a)
2010
+ (x – b)
2010
có trục đối xứng là đường thẳng x =
2
a b+
d/ y = (x – a)
2011
+ (x – b)
2011
có tâm đối xứng là I(
2
a b+
; 0)
e/ y = x
4
−4x
3
−2x
2
+12x −1 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. Tìm giao của đồ thị với trục hồnh
g/ y = x
4
−4x
3
+ 8x + 3 có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. Tìm giao của đồ thị với trục hồnh
(98) Cho hs: y =
1

1
x
x
-
+
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) CMR đường thẳng (d): y = x + 2 là trục đối xứng của (C)
(99) Cho hs: y =
2
1
x
x -
. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs.
b) Tìm trên (C) hai điểm A; B đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x − 1
(100) Cho các đường: (C): y =
2
2 2
1
x x
x
- +
-
; (D
1
): y = x + 3 ; (D
2
): y = −x + m.
Tìm m để (D
2
) cắt (C) tại hai điểm A; B đối xứng nhau qua (D

1
)
MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH:
Câu 1: (A08) Cho hàm sớ
(1),
2 2
(3 2) 2
3
mx m x
y
x m
+ - -
=
+
với m là tham sớ thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = 1
b. Tìm các giá trị của tham sớ m để góc giữa hai đường tiệm cận của đờ thị hàm sớ (1) tạo với nhau mợt
góc bằng 45
o
.
16
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
HD: b. Tìm hai đường tiệm cận:
1
2
: 0
: 0
ax by c
a x b y c
ì

ï
+ + =D
ï
í
¢ ¢ ¢
ï
+ + =D
ï
î

1 2
2
cos( ; )
2
=Þ D D
Câu 2: (B08) Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= - +
(2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(− 1;− 9)
Câu 3: (D08) Cho hàm số
3 2
3 4y x x= - +
(3)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (3)
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > −3) đều cắt đồ thị (C) tại ba
điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
HD: b) Gọi d là đường thẳng đi qua I và có hệ số góc k
Lập phương trình hoành độ giao điểm của d với (C)

Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện
2
A B I
x x x+ =
Câu 4: (A07) Cho hàm số
(1),
2 2
2( 1) 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
với m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = − 1
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị của đồ
thị cùng với góc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; - Giải phương trình
. 0OA OB =
uuur uuur
⇒ m là giá trị cần tìm.
Câu 5: (B07) Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1 (1),y x x m x m= - + + - - -
m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc
tọa độ.

HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B. Giải phương trình
OA OB=
⇒ m là giá trị cần tìm.
Câu 6: (D07) Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, B và tam
giác OAB có diện tích bằng ¼.
HD: Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y CÎ
⇒ tọa độ điểm A, B ⇒
1 1
.
2 4
A O OB =
⇒ điểm M
Câu 7: (A06) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x= - + -

b. Tìm tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3

2
2 9 12x x x m- + =
HD: Vẽ đồ thị của hs
3
2
2 9 12y x x x= - +
, biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = m
Câu 8: (B06) Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ +
=
+
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thi
Câu 9: (D06) Cho hàm số
3
3 2y x x= - +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại ba
điểm phân biệt.
Câu 10: (A05) Cho hàm số
1
(1),y mx
x

= +
m là tham số. a) Khảo vẽ khi
1
4
m =
17
Các chuyên đề ôn thi Đại học
b) Tìm m để hàm sớ (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
2
HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên của (C
m
) ⇒
( , ) 1 / 2d M d =
Câu 11: (B05) Cho hàm sớ
2
( 1) 1
(1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = 1
b. Chứng minh rằng với mọi m đờ thị (C
m
) ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai
điểm đó bằng
20
Câu 12(D05) Cho hàm sớ
3 2
1 1
,(1)
3 2 3
m
y x x= - +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = 2
b. Gọi M là điểm tḥc (C
m
) có hoành đợ bằng – 1. Tìm m để tiếp tún của (C
m
) tại điểm M song song với
đường thẳng 5x – y = 0.
Câu 13: (A04) Cho hàm sớ
2
3 3
(1)
2( 1)
x x
y
x
- + -
=

-
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1)
b. Tìm tham sớ m để đường thẳng y = m cắt đờ thị hàm sớ (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1
Câu 14: (B04) Cho hàm sớ
3 2
1
2 3 (1)
3
y x x x= - +
a) Khảo vẽ đờ thị của hàm sớ (1)
b) Viết phương trình tiếp tún
D
của (C) tại điểm ́n và chứng minh rằng
D
là tiếp tún của (C) có
hệ sớ góc nhỏ nhất.
HD:b) - Tìm tiếp tún
D
- Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y CỴ
, chứng minh
/
0
( )f x hsg³ D
Câu 15: (D04) Cho hàm sớ
3 2
3 9 1(1)y x mx x= - + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = 2
b. Tìm m để điểm ́n của đờ thị hàm sớ (1) tḥc đường thẳng y = x + 1

Câu 16(A03) Cho hàm sớ
2
(1)
1
mx x m
y
x
+ +
=
-
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = −1
b. Tìm m để đờ thị hàm sớ (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành đợ dương.
Câu 17(B03) Cho hàm sớ
3 2
3 (1)y x x m= - +
a. Tìm m để đờ thị hàm sớ (1) có hai điểm phân biệt đới xứng nhau qua gớc tọa đợ O
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1) khi m = 2
HD: a) Gọi A(x;y) => B(
−
x;
−
y) .Vì A,B tḥc (C) suy ra hệ pt ⇒ m
Câu 18: (D03) Cho hàm sớ
2
2 4
(1)
2
x x
y
x

- +
=
-
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1)
b) Tìm m để đường thẳng dm:
2 2y mx m= + -
cắt đờ thị hàm sớ (1) tại hai điểm phân biệt.
Câu 19: (DBA03) Cho hàm sớ
2
2 4 3
(1)
2 2
x x
y
x
- -
=
-
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đờ thị của hàm sớ (1)
b. Tìm m để phương trình
2
2 4 3 2 1 0x x m x- - + - =
có hai nghiệm phân biệt.
Câu 20: (DBA03) Cho hàm sớ
2 2
(2 1) 4
2( )
x m x m m
y
x m

+ + + + +
=
+
a. Tìm m để hàm sớ có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đờ thị hàm sớ
18
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
Câu 21(DBB03) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
-
=
-
(1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
c. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M
vuông góc với đường thẳng IM.
Câu 22: (DBD03) cho hàm số
2 2
5 6
(1)
3
x x m
y
x
+ + +
=

+
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số đồng biến khoảng
(1; )+ ¥
HDb): ĐK
x 1
/
0y "³ ³
; Đs:
2 2
1
min ( ) , 1 16
x
g x m x m
³
" < =>³ ³ £
Câu 23: (DBA04) Cho hàm số
4 2 2
2 1(1)y x m x= - +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân.
HDb) ĐK:
. 0OA OB =
uuur uuur
Câu 24: (DBA05) Cho hàm số
2 2
2 1 3
(1)
x mx m
y

x m
+ + -
=
-
có (C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
HDb) ĐK:
/
0y =
có hai nghiệm phân biệt thỏa:
1 2
0 0x x P< < < => <
19
Các chuyên đề ôn thi Đại học
Phần 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HS
I. PP sử dụng Đạo hàm:
1/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x) liên tục trên [a; b]:
- Tìm y′ và các nghiệm x
i
Ỵ
[a; b] của pt y′ = 0
- Tính f(a); f(b); f(x
i
), từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x) trên [a; b]
2/ Tìm GTLN; GTNN của hs y = f(x):
- Tìm TXĐ
- Tìm y′ và các nghiệm x

i
của pt y′ = 0
- Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra GTLN; GTNN của hs y = f(x)
* BÀI TẬP:
(1) Tìm GTLN; GTNN của hs:
a) y =
2
1
1
x
x x
+
+ +
b) y =
2 2
(1 2 )(1 )x x+ -
c) y = x +
2
12 3x-
s/ y =
2
1
cos cos 2x x+ +
d/ y = x
4
+ (1 – x)
4
e/ y =
4
4

1 1x x- + +
f/ y = 3cos2x +6|sin x|
g/ y = cos3x + 2cos2x + 3cosx – 2 trên [0 ;
2
3
p
] h/ y = sin2x + 2sinx trên [0 ;
3
2
p
]
i/ y = 1 + cosx +
1
2
cos2x +
1
3
cos3x k/ y = (1 − cosx)(2 − cosx)(3 − cosx)(4 − cosx)
l/ y = cosx – sinx – sin2x +1 m/ y = (1 + cosx).sinx HD: Đặt t = tan
2
x
n/ y = 2sin2x + 3(sinx + cosx) – 3 trên [0 ;
2
p
] o/ y =
sin cosx x+
trên [0 ;
2
p
]

p/ y =
2
2 cos cos 1
cos 1
x x
x
+ +
+
q/ y =
2
sin 1
sin sin 1
x
x x
+
+ +
r/ y =
1 1
2 sin 2 cosx x
+
+ -
(2) Cho 2 số thực x, y
¹
0. Tìm GTNN của biểu thức:
a) A =
2 2
2 2
3
x y x y
y x

y x
ỉ ư
÷
ç
÷
+ - +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
HD: đặt t =
x y
y x
+
(t
£
−2 v t
³
2) rồi tìm minA(t)
b) B =
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
y x
y x y x
ỉ ư
÷
ç

÷
+ - + + +
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
HD: đặt t =
x y
y x
+
(t
£
−2 v t
³
2) rồi tìm minA(t)
(3) Cho 2 số thực a, b khơng âm thỏa: a + b = 1. Tìm GTLN, NN của biểu thức:
C =
1 1
a b
b a
+
+ +
HD: thay b = 1 – a, tìm maxC(a); minC(a)
(4) Cho 2 số thực a, b > 0 thỏa: a + b = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
D =
2 2
1 1
a b

a b
ỉ ư ỉ ư
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ + +
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
HD: đặt a =x, b = 1 − x, x
Ỵ
(0;1) ⇒ tìm minD(x)=
25
2

(5) Cho 3 số thực a, b, c > 0 thỏa: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2 2 2 2
a b c
b c c a a b
+ +

+ + +
HD: thay b
2
+ c
2
= 1 − a
2
; c
2
+ a
2
= 1 − b
2
; a
2
+ b
2
= 1 − c
2

Xét maxf(x) trog (0;1) ⇒ minE
(6) Cho 2 số thực a, b khơng âm. Tìm GTNN của biểu thức: y =
( )
2
x a b
x a b ab
+ +
+ +
20
ễn thi i hc Nguyn Hu Quớ

(7) Gi s x, y l nghim ca h pt:
2 2 2
2 1
2 3
x y a
x y a a
ỡ
ù
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù
ù
ợ
. Tỡm a biu thc P = xy t GTNN
(8) Gi s x, y l nghim ca h pt:
2 2 2
1
2 2
x y a
x y a
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ

ù
+ = -
ù
ù
ợ
. Tỡm a biu thc P = xy t GTLN
(9) Gi s x, y l nghim ca h pt:
2 2 2
2 1
4
x y a
x y a a
ỡ
ù
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ = +
ù
ù
ợ
. Tỡm GTLN,NN ca biu thc P = xy
(10) Gi s x, y l nghim ca h pt:
2
a -1
7a 14
x y
xy a

ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
= - +
ù
ù
ợ
. Tỡm a biu thc F = x
2
+ y
2
a) t
GTLN; b) t GTNN
(11) Cho ng cong (C): y =
2
9x +
v ng thng (
D
): 4x 5y 32 = 0. Tỡm ta M
ẻ
(C)
khong cỏch d(M;
D
) ngn nht
(12) Cho ng cong (C): y =
3

1
1
4 3x
+
v A(0;1). Tỡm M
ẻ
(C) di on AM ngn nht
(13) Cho pt: x
4
2x
2
2a + 2 = 0. Tỡm GTNN ca a pt cú nghim
(14) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m PT sau cú nghim: x
4
+ mx
3
+ x
2
+ mx + 1 = 0
(15) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m BPT sau nghim ỳng vi mi x: sin
4
x + cos
4
x + sinx.cosx

m
(16) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m BPT sau nghim ỳng
2x"
: x
3

2x
2
(m 1)x + m


1
x
(17) Cho Bpt: 4
(4 )(2 )x x- + Ê
x
2
2x + m 18
a) Gii Bpt khi m = 6 b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m BPT sau nghim ỳng
"
x
ẻ
[2; 4]
(18) Cho pt: (x 3)(x + 1) + 4(x 3)
1
3
x
x
+
-
= m (1)
a) Gii pt khi m = 3 b) Tỡm m pt (1) cú nghim
(19) Cho pt:
2
2x ( 2) 8m x- + +
= 2 x (1)

a) Gii pt khi m = 7 b) Tỡm m pt (1) cú nghim
(20) Cho BPT: 2x + 1

a.
( )
1 1x - +
(1)
a) Gii Bpt khi a = 1 b) Tỡm a Bpt (1) cú nghim
(21) Cho Bpt: cos2x + (m 1)cosx + 3m 2

0
a) Tỡm m Bpt cú nghim b) Tỡm m Bpt nghim ỳng vi mi x
(22) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m BPT sau cú nghim 4
x
m.2
x
+ m + 3
Ê
0
(23) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m PT sau vụ nghim
a)
2
2
2
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ
+ 2(m 2).
2
2
1
x
x +
+ m = 0 b) 5.16
x
+ 2.81
x
= m.36
x
(24) Cho pt:
2
3 1
2 1
2 1
x
x ax
x
-
= - +

-
. a) Gii pt khi a = 0 b) Tỡm a pt cú nghim duy nht
(25) Cho Pt: cos4x + 6sinx.cosx = m
a) Gii pt khi m = 1 b) Tỡm m pt cú hai nghim phõn bit trờn on
0; / 4
p
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
(26) Trong tt c cỏc khi nún cú ng sinh bng a, tỡm khi nún cú th tớch ln nht. Tớnh ng cao khi
nún ú
21
Các chuyên đề ôn thi Đại học

II. PP dùng Miền giá trị hàm:
• B1: Xem y = f(x) là phương trình ẩn x và tham số y
• B2: Tìm điều kiện của y để phương trình y = f(x) có nghiệm
• B3: Kết luận min y và max y.
* Hs y =
2
2
ax bx c
a x b x c
+ +
¢ ¢ ¢
+ +
có TXĐ: D =
¡
được biến đổi về dạng: Ax
2

+ Bx + C = 0 (1)
- Với A = 0, tìm nghiệm x của pt (1)
- Với A
¹
0, ĐK để Pt có nghiệm là
D
³
0, suy ra m
£
y
£
M
min
max
y m
y M
ì
ï
=
ï
Þ
í
ï
=
ï
ỵ
* Hs y = f(sinx ;cosx) có TXĐ D =
¡
và được biến đổi về dạng a.cosx + b.sinx = c (2)
ĐK để Pt (2) có nghiệm là

2 2 2
a b c+ ³
. Từ đó suy ra m
£
y
£
M
min
max
y m
y M
ì
ï
=
ï
Þ
í
ï
=
ï
ỵ
* BÀI TẬP:
(27). Tìm GTLN; GTNN của hs:
a) y =
2
1
1
x
x x
+

+ +
b) y =
2
2
2 4 5
1
x x
x
+ +
+
c) y =
2 cos
2 cos sin
x
x x
+
- -
d/ y =
2 sin 3 cos 1
sin 2
x x
x
+ -
+
(28) Tìm a, b để hs y =
2
2
2x x + b
x 1
a

x
+
- +
có GTLN bằng 5 và GTNN bằng 1
(29) Tìm m để hs y =
. cos sin 3
cos 2 sin 4
m x x
x x
+ -
- +
có GTNN bằng −2
(30) Tìm m để BPT
. cos 1
1
3 cos sin
m x m
x x
+ -
<
+ +
nghiệm đúng
x" Ỵ ¡

(31) Cho pt: sin
2
x + (m – 1)sin2x – (m + 1)cos
2
x = m
a) Giải pt khi m = −2 b) Tìm m để pt có nghiệm

III. PP dùng Bất đẳng thức:
1/ Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số dương a
1
, a
2
, …, a
n
ta có:
a
1
+ a
2
+ … + a
n
³
n
1 2
.
n
n
a a a

* Nếu tích
1 2
.
n
a a a
= p khơng đổi thì tổng a
1
+ a

2
+ … + a
n
đạt GTNN bằng n.
n
p

⇔ a
1
= a
2
= … = a
n
=
n
p
* Nếu tổng a
1
+ a
2
+ … + a
n
= S khơng đổi thì tích
1 2
.
n
a a a
đạt GTLN bằng
n
S

n
ỉ ư
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø

⇔ a
1
= a
2
= … = a
n
=
S
n
2/ Bất đẳng thức Bunhiacơpski: (AC + BD)
2
£
(A
2
+ B
2
)(C
2

+ D
2
)
Trong đó: A
2
+ B
2
= k
2
; C
2
+ D
2
= m
2
, với k, m đều là hằng số dương
max( )
min( )
A C BD km
A C BD km
ì
ï
+ =
ï
Þ
í
ï
+ = -
ï
ỵ

với đk:
A B
C D
=
Chú ý: Phải xét dấu = xảy ra trong tất cả các bất đẳng thức đã dùng trong quá trình giải.
22
ễn thi i hc Nguyn Hu Quớ
* BI TP:
(32) Cho 2 s thc a, b > 0. Tỡm GTNN ca biu thc:
A = (1 + ab)
1 1
a b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
; B = (a + 4)(b + 4)
1 1
a b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ

+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
; C =
1
m
a
b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
1
m
b
a
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

;m ẻ Â
D =
3
2
( )a b
a b
+
(33) Cho 3 s thc a, b, c > 0. Tỡm GTNN ca biu thc:
D = (a + b + c)
1 1 1
a b c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ +
ỗ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố ứ
; G =
1
a
b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
1
b
c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

ố ứ
1
c
a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

H =
( )( )( )a b b c c a
abc
+ + +
; K =
b c c a a b
a b c
+ + +
+ +
(34) Cho 2 s thc a, b > 0. Tỡm GTNN ca biu thc:
a) y =
( )( )x a x b
x
+ +

trờn min (0; +
Ơ
)b) y = ax +
b
x a+
trờn min (a; +
Ơ
)
(35) Cho 2 s x, y tha 0
Ê
x
Ê
1 ; 0
Ê
y
Ê
2. Tỡm GTLN ca biu thc: M = (1 x)(2 y)(4x + y)
(36) Cho 2 s dng x, y tha x + y = 2. Tỡm GTNN ca biu thc: N = 3
x
+ 3
y
+ 1
(37) Cho 3 s dng a, b, c tha a + b + c = 1. Tỡm GTLN ca biu thc: P =
1
1
a
ổ ử
ữ
ỗ
ữ

+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
1
1
b
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
1
1
c
ổ ử
ữ
ỗ
ữ

+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
(38) Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: Q = ax + by + c. Trong ú a, b, c l cỏc s cho trc v 2 s x, y tha
x
2
+ y
2
= 1
(39) Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc: S = y 4x + 8. Trong ú x, y l hai s tha: 4x
2
+ y
2
=
1
4
(40) Cho 3 s khụng õm a, b, c tha a + b + c = 1. Tỡm GTLN ca biu thc:
U =
a b c+ +
; V =
4 4 4
a b c+ +
(41) Tỡm GTLN, GTNN ca hs: y =
2
2
cos sin . cos

1 sin
x x x
x
+
+
IV. PP dựng Ly tha vi s m chn:
1/ Nu f(x) = C + A
2n
+ B
2m
, trong ú C l hng s; n, m
ẻ
Â
f(x)

C minf(x) = C
0
0
A
B
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
2/ Nu f(x) = C


A
2n

B
2m
, trong ú C l hng s; n, m
ẻ
Â
f(x)
Ê
C maxf(x) = C
0
0
A
B
ỡ
ù
=
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
* BI TP:
(42) Tỡm GTNN ca biu thc: A = 2x
2
+ 2y
2

+ 2xy 2x + 2y + 1
(43) Tỡm GTLN ca biu thc: B = 4 5x
2
2y
2
+ 2xy + 8x + 2y
(44) Tỡm GTNN ca biu thc: C = 4sin3x + cos2x cos6x + 5
(45) Tỡm GTNN ca biu thc: D = cosx + cosy +
1
2
cos(x + y)
11
2
23
Các chuyên đề ôn thi Đại học
Phần 3: P.TRÌNH VÀ BẤT P.TRÌNH SIÊU VIỆT
* CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa và các cơng thức của luỹ thừa, logarít.
2. Tính chất của hàm số mũ và hàm lơgarít.
3. Các phương trình và bất phương trình mũ và lơgarít
• Với mọi số dương m thì
log (0 1)
x
a
a m x m a= = <Û ¹
log , 1
log , 0 1
ax
a
x m a

a m
x m a
é
> >
ê
> Û
ê
< < <
ê
ë
• Với mọi số thực m thì
log
m
a
x m x a= =Û
, 1
log
, 0 1
m
m
a
x a a
x m
x a a
é
> >
ê
> Û
ê
< < <

ê
ë
Trường hợp:
, log
x
a
a m x m< <
xét tương tự như các trường hợp trên
4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI THƯỜNG GẶP
 Phương pháp đưa về cùng cơ số:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= =Û
log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0
a a
f x g x f x g x= = >Û
( ) ( )
( ) ( ), 1
( ) ( ), 0 1
f x g x
f x g x a
a a
f x g x a
é
> >
ê
> Û
ê
< < <

ê
ë
( ) ( ) 0, 1
log ( ) log ( )
0 ( ) ( ), 0 1
a a
f x g x a
f x g x
f x g x a
é
> > >
ê
> Û
ê
< < < <
ê
ë
 Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Mục đích đặt ẩn số phụ là đưa các phương trình hay bất phương trình về dạng phương trình
hay bất phương trình hữu tỷ mà ta đã biết cách giải .
Dạng:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x f x
a b a b c c+ ± - = >
Với
( )( ) 1a b a b+ - =
Ta đặt
( )
( )

f x
t a b= +
Dạng:
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( ) . 0
f x f x f x
a u b uv c v+ + =
Ta chia hai vế phương trình cho
2 ( )f x
v
rồi đặt
( )
( )
f x
u
t
v
=
.
Khi biến đổi phương trình về dạng:
2
. ( ) . ( ) 0a f x b f x c+ + =
( > 0) với
( )
( )
g x
f x m=
hoặc
( ) log ( )
m

f x g x=
, ta đặt t = f(x) để đưa phương trình hay BPT về bậc hai ẩn t.
 Phương pháp Lơgarit hố:
Phương pháp Lơgarit hố rất có hiệu quả khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa
nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.
( )
( ) log (0 1, 0)
f x
a
a b f x b a b= = < >Û ¹
( ) ( ) ( ) ( )
log log ( ) ( ). log
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b= = =Û Û
Hoặc lấy lơgarit hai vế của pt hay bpt theo cơ số b.
 Phương pháp nhẩm nghiệm và c/m duy nhất nghiệm:
Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Nếu PT có 1 nghiệm x
0
, một vế của PT là đồng biến , còn một
vế là nghịch biến (hoặc là hàm hằng) thì nghiệm x
0
là duy nhất.
24
Ôn thi Đại học Nguyễn Hữu Quí
* BÀI TẬP:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)
2
8 1 3

2 4
x x x- + -
=
2)
2
5
6
2
2 16 2
x x- -
=
3)
1 2 5
2 .5 2.10
x x x+ +
=
4)
1 2
2 .3 .5 12
x x x- -
=
5) 7. 3
1x +
− 5
2x +
= 3
4x +
− 5
3x +
6) 3

1x +
+ 3
2x -
− 3
3x-
+ 3
4x -
= 750; 7)
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x- - - -
+ + = - +
8)
1 3
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
-
- = -
9) 7
3x
+ 9.5
2x
= 5
2x
+ 9.7
2x

10) 2
2
1x -
− 3
2
x
= 3
2
1x -
− 2
2
2x +
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) 3
2 -5x
= 4 2) 2
2
x
. 3
x
= 1 3)
2
4 2
2 3
x x+ -
=
4) 5
x
. 8
1x

x
-
= 500
5) 5
x
.
1
8
x
x
+
= 100 6) 3
x
. 8
2
x
x +
= 6 7)
4
4
x
x x x=
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1)
2.16 15.4 8 0
x x
- - =
2)
2 6 7
2 2 17 0

x x+ +
+ - =
3)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
- + =
4)
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
- + =
5)
2 2
2 2 1
9 7.3 2
x x x x x x- - - - -
- =
6)
3.49 2.14 4 0
x x x
+ - =
7)
3.16 2.8 5.36
x x x
+ =
8)
8.3 3.2 24.6

x x x
+ =
9)
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
10)
1 1 1
2.4 6 3.9
x x x
- - -
- =
11) 3
x
+ 3
3 2x-
= 6 12)
( )
5
3
x
+
( )
10
10
3
x-
= 84
13)

(4 15) (4 15) 62
x x
+ + - =
14)
2 3 2 3 4
x x
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + + =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
15)
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ - - + =
16)
3
(3 5) 16.(3 5) 2
x x x+
+ + - =
Bài 4: Giải các phương trình sau:
1)
3 4 0
x
x+ - =
2) 7

6 x-
= x+2 3)
3 4 5
x x x
+ =
10) x
2
− (3 − 2
x
).x + 2(1 − 2
x
) = 0
5)
2 2
5 3 2.5 2.3
x x x x
= + +
6)
2 1 2 2 1 1 2
2 3 5 2 3 5
x x x x x x- + + +
+ + = + +
7)
2
3
x
= cosx
8) 3. 25
2x -
+ (3x – 10). 5

2x-
+ 3 – x = 0 9) 3. 4
x
+ (3x – 10). 2
x
+ 3 – x = 0; 4)
2
3 1 2
x
x
+ =
Bài 5: Giải các phương trình sau:
1)
2
1
2
( 1) 1
x
x x
-
- + =
2)
2
2 4
( 2 2) 1
x
x x
-
- + =
3)

( )
2
2
1
x
x x
-
- =
4)
3
( 1) 1
x
x
-
+ =
5)
2
2xx
x
-
= 1 6)
2
3
x x
x
-
-
= (x – 3)
2
7)

2 1 2 2 1
x x
- + - =
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1)
5 5 5
log log ( 6) log ( 2)x x x= + - +
2)
5 25 0.2
log log log 3x x+ =
3)
2
log (2 5 4) 2
x
x x- + =
4)
2
3
log( 2 3) log 0
1
x
x x
x
+
+ - + =
-
5)
3 1
3
log (2 1) log (3 ) 0x x+ - - =

6)
3
4
log ( 1)
2
x
x
+ =
+
7)
1
log(5 4) log 1 2 log 0,18
2
x x- + + = +
8)
2 2
log 10 log 6 0x x+ + =
9)
2 2
log (4.3 6) log (9 6) 1
x x
- - - =
10)
5
3 3 log
x
x= -
11)
2
2

log 16 log 64 3
x
x
+ =
12)
16 2
3 log 16 4 log 2 log
x
x x- =
13)
3
log(log ) log(log 2) 0x x+ - =
14)
3 9
1
log (log 9 ) 2
2
x
x x+ + =
15)
2
3 3
log log
3 162
x x
x+ =
16)
2
log( 6) 4 log( 2)x x x x+ - - = + +


17)
3 5
log ( 1) log (2 1) 2x x+ + + =
18)
5
log ( 3)
2
x
x
+
=

25