H PRÉPA
1
ANNÉE
RE
POUR S’ENTRAÎNER ET RÉUSSIR SA PRÉPA
• Plus de 300 exercices et extraits de concours corrigés
• Un rappel des connaissances essentielles
• Conseils, astuces et méthodes
EXERCICES ET
PROBLÈMES
PHYSIQUE
MPSI/PCSI/PTSI

HPRÉPA
PHYSIQUE
MPSI/PCSI/PTSI
Jean-Marie BRÉBEC
Tania CHABOUD
ThierryDESMARAIS
AlainFAVIER
Marc MÉNÉTRIER
Régine NOËL
EXERCICESET
PROBLÈMES
1
ANNÉE
RE
Composition et mise en page : Laser Graphie
Maquette intérieure : Véronique Lefebvre
Maquette de couverture : Guylaine Moi
Relecture : Anne Panaget

©Hachette Livre 2010, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15
www.hachette-education.com
Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.
Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5 d’une part, que
les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation
collective», et, d’autre part, que « les analyses et les courtes citations » dans un but d’exemple et d’illustration,
« toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses
ayants droit ou ayants cause, est illicite ».
Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit, sans autorisation de l’éditeur ou du Centre
français de l’exploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une
contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal.
I.S.B.N. 978-2-0118-1306-0
Quel est l’objet de cet ouvrage?
Nous avons élaboré cet ouvrage d’exercices de première année de classes préparatoires aux
grandes écoles avec deux objectifs principaux, l’assimilation du cours par la mise en pratique,
et la préparation aux interrogations écrites et orales, pendant l’année et aux concours :
– Les rappels de cours complets permettent de voir rapidement les résultats importants à connaî-
tre pour toute préparation d’épreuves oralse ou écrites, que ce soit une colle, ou un concours de
première ou deuxième Année.
– Les exercices, choisis pour leur contenu, préparent à toutes ces épreuves.
Comment travailler de manière optimale avec cet ouvrage?
À la suite de l’énoncé, il existe une partie «conseils »;les solutions sont présentées après l’en-
semble des énoncés. Comment utiliser de manière optimale cette disposition?
– Comme pour une épreuve d’écrit, il faut commencer par lire entièrement un énoncé : pour
résoudre une question donnée certaines informations peuvent être présentes dans les questions
suivantes.
– Après une période de réflexion «correcte », fructueuse ou non, il est possible de lire la partie
«conseils »:cette partie peut se présenter ainsi :
–
soit une idée de résolution est proposée;

– soit une question est posée pour la mise en évidence d’un phénomène;
– soit un théorème est énoncé,….
– Si l’aide ne permet pas de résoudre l’exercice, il faut alors s’aider de la solution, qu’il ne suf-
fit pas de lire : après lecture il faut essayer de refaire l’ensemble de l’exercice seul.
Dans un souci d’aide maximale à ces préparations, et à cette méthode de travail :
– Les exercices choisis sont conformes aux nouveaux programmes.
– Nous avons choisi des exercices «réalistes »:
–ayant une application en physique, soit fondamentale, soit industrielle,
– ou étant en relation avec l’explication d’un phénomène observable.
– Lors de la résolution d’un exercice, nous avons privilégié les arguments physiques, les sché-
mas et simulations (en faisant appel à la mémoire visuelle), aux arguments mathématiques; mais
lorsque les calculs sont nécessaires, l’ensemble des étapes intermédiaires est présenté.
– Lorsqu’un exercice peut être résolu par plusieurs méthodes intéressantes, ces méthodes sont
présentées et développées.
– Pour certains exercices nous mettons le lecteur en garde contre certaines erreurs que nous
voyons trop souvent lors d’épreuves écrites ou orales de concours.
Nous souhaitons que cet ouvrage puisse aider de manière efficace une majorité d’étudiants
Les auteurs
vant-propos
A
PARTIE 1
MÉCANIQUE
Chapitre 1
■
Cinématique du point – Changement de référentiel 9
Chapitre 2
■
Dynamique du point matériel 18
Chapitre 3
■

Puissance et énergie en référentiel galiléen 28
Chapitre 4
■
Oscillateurs 40
Chapitre 5
■
Théorème du moment cinétique 59
Chapitre 6
■
Forces centrales conservatives –
Interaction newtonienne 69
Chapitre 7
■
Mécanique en référentiel non galiléen 83
Chapitre 8
■
Référentiels non galiléens usuels 95
Chapitre 9
■
Système de deux points matériels 111
PARTIE 2
OPTIQUE
Chapitre 1
■
Les bases de l’optique géométrique –
Réflexion et réfraction 125
Chapitre 2
■
Formation d’images 134
Chapitre 3

■
Miroirs et lentilles 142
Chapitre 4
■
Instruments d’observation 164
Chapitre 5
■
Focométrie 181
Chapitre 6
■
Le prisme, utilisation en spectroscopie 190
PARTIE 3
THERMODYNAMIQUE
Chapitre 1
■
Équation d’état d’un fluide 201
Chapitre 2
■
Statique des fluides 215
Chapitre 3
■
Premier principe de la thermodynamique.
Bilans d’énergie 227
Chapitre 4
■
Second principe. Bilans d’entropie 250
Chapitre 5
■
Corps pur diphasé 266
Chapitre 6

■
Machines thermiques 279
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
4
OMMAIRE
S
PARTIE 4
ÉLECTRICITÉ
Chapitre 1
■
Réseaux linéaires en régime continu 301
Chapitre 2
■
Réseaux linéaires en régime variable 320
Chapitre 3
■
Réseaux linéaires en régime sinusoïdal forcé 346
Chapitre 4
■
Amplificateur opérationnel 363
Chapitre 5
■
Fonctions de transfert 383
PARTIE 5
ÉLECTROMAGNÉTISME
Chapitre 1
■
Distributions, champ et potentiel électrostatiques 413
Chapitre 2

■
Le champ magnétique permanent 438
Chapitre 3
■
Dipôles électrique et magnétique 462
Chapitre 4
■
Force de Lorentz 485
Annexes 510
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
5

7
1
Mécanique
1
■
■
Cinématique du point
–
Changement de référentiel 9
2
■
■
Dynamique du point matériel 18
3
■
■
Puissance et énergie en référentiel galiléen 28

4
■
■
Oscillateurs 40
5
■
■
Théorème du moment cinétique 59
6
■
■
Forces centrales conservatives –Interaction newtonienne
69
7
■
■
Mécanique en référentiel non galiléen 83
8
■
■
Référentiels non galiléens usuels 95
9
■
■
Système de deux points matériels 111
PARTIE
© Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.

1

Cinématique du point
Changementde
référentiel
ESSENTIEL
9
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
LES OBJECTIFS
• Préciser les caractéristiques d’un mouvement:
vitesse, accélération, trajectoiredans un référentiel
donné.
• Apprendreàchoisir le bon système de coordonnées
en fonction du problème étudié.
LES PRÉREQUIS
• Notions sur l’intégration des vecteurs vitesse et accé-
lération en tenant compte de conditions initiales.
LES OUTILS MATHÉMATIQUES
• Notions sur l’intégration vues en mathématiques.
Systèmesusuels de coordonnées
•Coordonnées cartésiennes •Coordonnées cylindriques
OM
—
➞
= xe
➞
x
+ye
➞
y
+ze

➞
z
;base (e
➞
x
, e
➞
y
, e
➞
z
)(doc. 1). OM
—
➞
= re
➞
r
+ze
➞
z
;base (e
➞
r
, e
➞
q
, e
➞
z
)(doc. 2).

x
y
e
r
H
θ
z
x
y
r
e
x
e
y
e
z
e
z
e
z
e
r
e
r
H
M
O
θ
r
e

θ
e
θ
e
θ
z
z
x
x
y
y
e
x
e
y
e
z
M
O
Doc. 1. Coordonnées cartésiennes(x,y,z):
OM
—
➞
= xe
➞
x
+ye
➞
y
+ze

➞
z
.
Doc. 2. Coordonnées cylindriques(r,q,z):
OH
—
➞
=re
➞
r
;OM
—
➞
=re
➞
r
+ze
➞
z
.
ESSENTIEL
Cinématique du point–Changementderéférentiel
1
10
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
•Coordonnées sphériques : OM
—
➞
= re

➞
r
;base (e
➞
r
, e
➞
q
, e
➞
j
)(doc. 3).
Représentations du mouvement
•Latrajectoire est constituée de l’ensemble des positionssuccessives OM
—
➞
(t)=
➞
r(t)dupoint mobile M
étudié.
•Dans l’espace des vitesses, l’ensembledes positions successives O
N
—
➞
(t)=v
➞
(t)constitue l’hodogra-
phe du mouvement.
•Dans l’espace des phases,lepoint P repéré par O
P

—
➞
=(OM
—
➞
, O
N
—
➞
)décrit la trajectoire de phase du
mobile. Pour un mouvement àundegré de liberté, le point de phase P se déplace dans le plan de phase:
O
P
—
➞
=(x(t), v(t)).
Vitesse d’un point
Soit O un point fixe du référentiel

.Levecteur vitesse de M par rapport àceréférentiel est:
v
➞
(M)
/ 
=

/
•
Expression en coordonnées cartésiennes: v
➞

(M)
/ 
=
·
xe
➞
x
+
·
ye
➞
y
+
·
ze
➞
z
.
•
Expression en coordonnées cylindriques : v
➞
(M)
/ 
=
·
re
➞
r
+r
·

qe
➞
q
+
·
ze
➞
z
.
Accélération d’un point
Le vecteur accélération de M par rapport àceréférentiel est:
•
Expression en coordonnées cartésiennes : a
➞
(M)
/ 
=
¨
xe
➞
x
+
¨
ye
➞
y
+
¨
ze
➞

z
.
•
Expression en coordonnées cylindriques : a
➞
(M)
/ 
=(¨r –r
·
q
2
)e
➞
r
+(r
¨
q+2
·
r
·
q)e
➞
q
+
¨
ze
➞
z
;
ou encore : a

➞
(M)
/ 
=(¨r–r
·
q
2
)e
➞
r
+(r
2
·
q)e
➞
q
+
¨
ze
➞
z
.
Mouvementcirculaire
Le point M se déplace sur un cercle de centre O,de rayon R ,d’axe (Oz).Ilest repéré par ses coor-
données polaires sur le cercle (r = R,q).
OM
—
➞
= Re
➞

r
;
1

r
d

dt
a
➞
()
d
2
d
/
M
OM
t
2

/  / / 






=
d
d

v (
M)
t
/ 






=
.
➞
dOM
—
➞

dt
e
z
O
z
x
y
r
M
H
ϕ
θ
e

r
e
x
e
y
u
e
ϕ
e
θ
ϕ
e
r
u
u
e
ϕ
e
ϕ
e
θ
r sin
y
H
H
M
x
z
θ
θ

r
Doc. 3. b. Plans:z=0 et j =cte .
Doc. 3. a.
ESSENTIEL
Cinématique du point–Changementderéférentiel
1
11
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
v
➞
(M)
/

= R
·
qe
➞
q
= w
➞
∧ OM
—
➞
,où w
➞
=we
➞
z
;

a
➞
(M)
/

=–R
·
q
2
e
➞
r
+R
¨
qe
➞
q
(doc. 4).
Si le mouvement est circulaire uniforme, v = R
·
q est constante, donc a
➞
(M)
/

est dirigée suivant – e
➞
r
;
elle est centripète(doc. 5).

θ
θ
e
x
e
r
a
(M)
e
e
y
= e
z
e
z
= e
x
e
y
y
x
z
v
M
A
M
ωω
O
M
a

v
Doc. 5. Si |v
➞
|=cte ,l’accélération du point Mest
dirigée suivant –OM
—
➞
:a
➞
=– e
➞
r
.
v
2

R
Doc. 4. Mouvement circulaired’un point Mdans
un cercle de rayon a:
v
➞
=R
·
qe
➞
q
et a
➞
=–R
·

q
2
e
➞
r
+R
¨
qe
➞
q
.
Conseils et pièges àéviter
•Lavitesse (ou l’accélération) d’un point M dans un référentiel R donné peut s’exprimer sur dif-
férents vecteurs de projections, mais c’est toujours la même vitesse (ou la même accélération) !
•Lors d’une trajectoirecourbe, il existe toujours une composante de l’accélération dirigéevers
l’intérieur de la concavité de la trajectoire.
yN
1
yN
2
M
2
M
1
y
a(M
1
)
ya(M
2

)
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Ascension d’un ballon sonde
Un ballon sonde aune vitesse d’ascension verticale v
0
indé-
pendante de son altitude.Levent lui communique une vitesse
horizontale
v
x
=
proportionnelle àl’altitude z atteinte.
1
•
Déterminer les lois du mouvement x(t )etz(t)ainsi que
l’équation de la trajectoire x(z).
2
•
Calculer le vecteur accélération du ballon.
Trajectoireethodographe
d’un mouvementplan
Un point M se déplace dans le plan (xOy)àlavitesse:
➞
v
=
v
0
(e
➞

x
+e
➞
q
), où e
➞
q
est le vecteur orthoradialdelabase
locale des coordonnées polaires (r,q ).
1
•
Établir les équations polaire et cartésienne de la trajec-
toire àcaractériser.
2
•
Faire de même pour l’hodographe.
3
•
Faire le lien entre l’angle q =(
j
e
➞
x
,
➞
r
)etl’angle
j =(
j
e

➞
x
,
➞
v
).
Alleretretour sur un fleuve
Un rameur s’entraînesur un fleuve en effectuant le parcours
aller et retour entre deux points A et B ,distants de .Il
rame àvitesse constante v par rapport au courant. Le fleuve
coulede A vers B àlavitesse u .Son entraîneur l’ac-
compagne àpied le long de la rive en marchant àlavitesse
v sur le sol, il fait lui aussi l’aller et retour entre A et B .
z
t
c
5
4
3
Une course automobile
Deux pilotes amateurs prennent le départ d’une course
automobile sur un circuit présentant une longue ligne droi-
te au départ. Ils s’élancent de la même ligne. Le premier, A,
démarre avec une accélération constante de 4m.s
–2
,le
deuxième, B, aune voiture légèrement plus puissante et
démarre avec une accélération constante de 5m.s
–2
. A a

cependant plus de réflexes que B et démarre une seconde
avant.
1
•
Quelle durée faudra-t-il à B pour rattraper A ?
2
•
Quelle distance auront-ils parcourue quand B dou-
blera A?
3
•
Quelle seront les vitesses àcet instant-là?
4
•
Représenter x(t)etv(t)etlatrajectoire de phase de A
et B,enprécisant la position de l’événement « B dépasse
A »sur ces représentations des mouvements.
Mouvementd’unpointmatériel
sur une parabole
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire
où a est une constante positive, q
variant
de – π à+π.
1
•
Montrer que la trajectoire de M est une parabole. La
construire.
2
•
On suppose de plus que le module du vecteur vitesse

est toujours proportionnel à r : v =kr,où k est une cons-
tante positive.
a. Calculer,enfonction de q ,les composantes radiale et
orthoradiale du vecteur vitesse de M .
b. Déterminer la loi du mouvement q(t)ensupposant
que q est nul àl’instant t =0 et que q croît.
On donne

q
0
dq
q
q
co
s
ln tan.=+






24
π
racos
2
2
q







=
2
1
12
Exercices
Conseils
Déterminer l’équation horaire du mouvement de
chaque voiture.
Conseils
Il suffit de passer du système de coordonnées carté-
siennes (x, y)ausystème de coordonnées polaires
(r,q ), et inversement, pour obtenir l’une ou l’autre des
équations recherchées.
Conseils
1) Penser àremplacer cos
2

q
2

par

1
2

(1 +cos q)et

àutiliser les relations entre (x , y)et(r,q)pour don-
ner l’équation de la trajectoireencoordonnées carté-
siennes.
2) La condition v =kr permet d’exprimer
·
q en
fonction de q ,donc de ne plus faire apparaîtreexpli-
citement le temps dans les équations, mais seule-
ment q .
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Seront-ils de retour en même temps au point de départ?Si
non, lequel des deux (rameur ou entraîneur) arrivera le pre-
mier en A ?Commenter.
Chasseur et oiseau
Un oiseau se trouve sur une branche d’arbre, àune hauteur
H au dessus du niveau du sol. Un chasseur se trouve sur le
sol àladistance D du pied de l’arbre. Il vise l’oiseau et
tire. Au moment du coup de feu, l’oiseau, voyant la balle
sortir du canon, prendpeur et se laissetomber instantané-
ment en chute libre. Àchaque instant, l’accélération de la
balle et de l’oiseau dans un référentiel fixe est – ge
➞
z
(l’axe
(Oz)est la verticale ascendante). L’oiseau est-il touché?
L’étude sera faite :
a. dans le référentiel fixe;
b. dans le référentiel lié àl’oiseau.
Quand il faut aller vite

Pour aller au secours d’un nageur en détresse,unmaître-
nageur part du poste de secours situé au point Apour aller
jusqu’au nageur situé en B. Sachant que le sauveteur court
à v
1
=2m.s
–1
sur la plage et nage à v
2
=1m.s
–1
dans
7
6
l’eau, en quel point Mdoit-il entrer dans l’eau pour attein-
dre au plus vite le nageur?Onsituera ce point àl’aide
d’une relation entre v
1
, v
2
, i
1
et i
2
indiqués sur le schéma.
Mouvementcalculé àpartir de
la trajectoireetdel’hodographe
(D’après ENAC 02)
Dans le plan (xOy)duréférentiel (O, e
➞

x
,e
➞
y
,e
➞
z
)unmobi-
le ponctuel P décrit la parabole d’équation cartésienne:
y
2
=2px avec p constante positive.
Sa vitesse
➞
v (P/R), de composantes X, Y est telle que l’en-
semble des points N(X, Y), hodographe du mouvement de
pôle O, apour équation cartésienne : X
2
=2qY avec q cons-
tante positive.
1
•
Exprimer X et Y en fonction de y.
2
•
Exprimer l’accélération
➞
a
(P/R)dupoint P en fonction
du vecteur position

➞
OP.Préciser la nature du mouvement
de P.
3
•
Établir les expressions de x et y en fonction du temps
t,sachant que le mobile passe en Oàl’instantinitial t =0.
8
yu
x
yu
y
i
2
i
1
M
A
B
O
EXERCICES
Cinématique du point–Changementderéférentiel
1
13
Conseils
Utiliser la composition des vitesses en faisant atten-
tion au sens des vecteurs vitesse.
Conseils
Déterminer les trajectoiresdel’oiseau et de la balle
dans le référentiel choisi et déterminer leur intersec-

tion.
14
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Mouvementd’unpointmatériel
surune parabole
1
•
Sachantque cos
2
=(1+cos q), l’équation polaire
s’écrit: r =2a–rcosq ;avec x = r cosq et y = r sinq,eten
élevant au carré: r
2
= x
2
+ y
2
=(2a–x)
2
,
ce qui donne:
x =,
parabole représentée ci-dessous.
2
•
a.
et
II reste àéliminer
·

q en utilisant :
.
q ∈ ]– π ;+π[, est positif et
·
q est positif par hypo-
thèse, donc:
·
q =kcos

et v
r
=ka ;v
q
=.
a.
·
q
2
⇔+













=+2
44
ln tan.
qπ
kctet
=






⇔






=kkdcos
cos
q
q
2
2
d
t
θ
q


2
sin


q
2



cos
2


q
2


ka

cos


q
2


cos
q
2







v == +=






krrr
a



222
3
2
q
q
q
cos
v
q
q
q
q==







r
a

cos
.
2
2
v
r
r
dr
d
a== =















θ
q
q
q
q
sin
cos
2
2
3
y
2a
– 2a
a
x
– y
2
+4a
2

4a
q

2
1

2

Corrigés
Une course automobile
1
•
Nous avons :
x
A
(t)= a
A
t
2
et x
B
(t)= a
B
(t–t
0
)
2
,
cette deuxième expression étant applicable à t  t
0
=1s.
Les deux voituressont au même niveau àl’instant t
1
,soit :
a
A
t
1

2
= a
B
(t
1
– t
0
)
2
ce qui donne:
t
1
= t
0
. ≈ 9,5 s.
2
•
Àl’instant t
1
:
d = x
A
(t
1
)=x
B
(t
1
)= a
A

t
1
2
≈1,8 . 10
2
m.
3
•
v
A
(t
1
)=a
A
t
1
≈38 m. s
–1
et v
B
(t
1
)=a
B
(t
1
–t
0
)≈42 m. s
–1

.
4
•
B
A
v
B
(t
1
)
v
A
(t
1
)
O
v
x
d
t
0
t
1
v
B
(t)
v
B
(t
1

)
v
A
(t
1
)
v
A
(t)
O
v
t
t
0
t
1
x
B
(t)
x
A
(t)
O
x
d
t
1

2
1


1–
2

a
a
A
B

1

2
1

2
1
q
d’où sa tangente est positive.
Si q = 0àt=0, la constante est nulle.
Donc
Ascension d’un ballon sonde
1
•
En coordonnés cartésiennes, v
➞
=
➞
u
x
+

➞
u
z
avec
et = v
0
.
Soit z = v
0
t car à t =0,z=0(le ballon décolle).
= v
0
donne x =ensupposant qu’à t =0,x=0.
En éliminant le temps t,onobtient :
x =.
La trajectoire est une parabole.
2
•
a
➞
=
➞
u
x
+
➞
u
z
.
D’où a

➞
=
➞
u
x
.
Trajectoireethodographe
d’un mouvementplan
1
•
➞
v
=
v
0
(e
➞
x
+e
➞
q
)=
v
0
(cosq e
➞
r
+(1–sinq ) e
➞
q

).
Le déplacement élémentaire dOM
—
➞
=d(re
➞
r
)=dr.e
➞
r
+rdq.e
➞
q
du point M est colinéaireauvecteur vitesse, donc :
=,soit := =dln

.
ce qui donne l’équation en coordonnées polaires:
r = r
0
=
où r est un paramètre (longueur) caractéristique de la trajec-
toire.
On en déduit: r = r + r sin
q,soit, avec x = r cos q et
y = r sinq,enélevant au carré: r
2
= x
2
+ y

2
=(r+y)
2
,cequi
donnefinalement :
y =
qui est l’équation d’une parabole d’axe (Oy).
2
0
v
z
t
c
1
2
t
t
c
x
2
– r
2

2
r
1–sinq
0

1– sinq
r


1–sinq
dr

rdq
cosq

1–sinq
dr

r
cosq dq

1–sinq
1–sinq
0

1– sinq
4
v
0
t
c
d
d
2
2
x
t
d

d
2
2
z
t
d
d
x
t
1
2
0
2
v
t
t
c
d
d
x
t
z
t
c
=
d
d
z
t
d

d
x
t
d
d
z
t
3
ln tan.
θπ
44 2
+=












kt
∈+ +∈]– ;[ ]; [ππ
θπ π
donc
44
0

2
2
•
v
➞
=
v
0
(e
➞
x
+e
➞
q
)=
v
0
((1 –sinq )e
➞
x
+cosq e
➞
y
), ce qui
donne l’équation cartésienne de l’hodographe:
(
v
x
–
v

0
)
2
+
v
2
y
=
v
0
2
qui permet d’identifierlecercle de rayon
v
0
et de centre de
coordonnées(
v
0
,0).
On remplace
v
x
=
v
cosj et
v
y
=
v
sinj dans l’équation car-

tésienne de l’hodographe, il vient:
v
=2
v
0
cosj
qui est l’équation polaire de l’hodographe.
3
•
On évite des calculs trigonométriquesenfaisant un sché-
ma:
Le vecteur = e
➞
x
+e
➞
q
est dirigé selon la bissectrice des
axes (O, e
➞
x
)et(O,e
➞
q
), donc :2j=+q,soit : j =+.
Alleretretour surunfleuve
Le rameur effectue l’aller àlavitesse v + u et le retour àla
vitesse v – u par rapport au sol.
v doit doncêtre évidemmentsupérieur à u pour que le rameur
puisse remonter le courant et ainsi revenir àson point de départ.

La durée de son trajet aller et retour est :
t
r
=+=.


v+u


v–u
2v

v
2
–u
2
5
π

2
π

4
q

2
v
➞

v

0
ye

ye
x
y
v
x
j
j
q
y
O
yv
N
ye
v
v
x
v
0
v
y
y
x
–r/2
– r
r
ye


yr

ye
r
CORRIGÉS
Cinématique du point–Changementderéférentiel
1
15
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Son entraîneur effectue l’aller et retour àlavitesse v par rap-
port au sol donc la durée de son trajet est t
e
=.Donc:
t
r
= t
e
 t
e
.
L’entraîneur est arrivé avant le rameur.
Le rameur perd plus de temps au retour qu’il n’engagne à
l’aller.Dans le cas extrême où la vitesse v est àpeine supé-
rieure à u ,letrajet du retour pour le rameur sera très long.
Chasseur et oiseau
a. On détermine les trajectoires de l’oiseau et de la balle dans
le référentiel lié au sol.
•
Oiseau: ¨z

o
= – g,d’où z
o
(la vitesse initiale de l’oiseau est nulle) ;
¨
x
o
= 0,d’où x
o
= D .
•
Balle: ¨z
b
= – g, +v
0
sinat ;
¨
x
b
= 0,d’où x
b
= v
0
cosat,
où v
0
est la vitesse initiale de la balle et a l’angle de tir :le
chasseur visant l’oiseau,tan a
Les deux trajectoiresserencontrent-elles?Sioui, au pointde
rencontre x

b
= D ,donc la rencontre alieu àl’instant :
Àcet instant, z
b
– z
o
= D tana – H = 0:l’oiseau est touché !
Attention : pour que l’oiseau soit effectivement touché, il faut
que la portée de la balle soit supérieure à D (sinon les deux
trajectoires ne se coupentpas). Pour cela, il faut une vitesse v
0
suffisante.
Plus précisément, la balle touche le sol àl’instant
donc en
Il faut que x
1
 D donc que:
v
0

Cette condition correspond à z(t
f
)  0.
b. Dans le référentiel lié àl’oiseau,laballe aune accélération
gD
sin( )
.
2α
x
v

g
1
0
2
2
=
sin( )
.
α
t
g
1
0
2
=
v sin α
t
D
f
=
v
0
cos
.
α
.α=
H
D
d'où zgt
b

=–
1
2
2
0
0,5
1
1,5
2
54321
x
position initiale
de l’oiseau
point de rencontre
y
α
=+–
1
2
2
gt H
6
1

1–

u
v
2
2


2

v
nulle donc une trajectoirerectiligne uniforme àlavitesse v
➞
0
,
toujours dirigée versl’oiseau qui est donctouché.
Conclusion:ilfaut dire aux oiseaux de toujours se percher sur
des branches basses.
Quand il faut aller vite
Le maître-nageur parcourt AM en t
1
=et
MB en t
2
=.
AM =[(x–x
A
)
2
+y
2
A
]
1/2
BM =[(x–x
B
)

2
+y
2
B
]
1/2
La durée totale du trajet est :
T = t
1
+ t
2
.
T =[(x–x
A
)
2
+y
2
A
]
1/2
+[(x–x
B
)
2
+y
2
B
]
1/2

.
On cherche x tel que T soit minimale.
=0
Soit =0 
Si on introduit i
1
et i
2
,ilvient :
.
 s’écrit alors .
Remarque: la valeur de x trouvée correspond bien àunminimum
pour T.Ladernière relation écrite est analogue àlaloi de
Descartes pour la réfraction en optique: n
1
sin i
1
= n
2
sin i
2
.
Mouvementcalculéàpartir de
la trajectoireetdel’hodographe
(d’après ENAC 02)
1
•
➞
v
(P/)=Xe

➞
x
+Ye
➞
y
avec
y
2
=2px.
On peut dériver par rapport au temps l’équation de la trajec-
toire.
Il vient :=soit yY = pX 
D’autre part :.
Si Y ≠ 0, on obtient ,soit
avec y ≠ 0.
Si Y =0,⇒X=0.
Si y =0,⇒X=0etpuisque X
2
=2qY Y =0.
XqY
y
p
Y
2
2==







22p
x
t
d
d
2
2
2
q
y
p
YY==
22
2
2
YY
qp
y
X
qp
y
===et
Xq
2
2==
22y
y
t
d

d
=
X
x
t
Y
y
t
==
d
d
et
d
d
8
sinsinii
1
1
2
2
vv
=
sin
–
sin
–
i
xx
AM
i

xx
BM
AB
12
==et
xx
AM
xx
BM
AB
––
vv
12
+
d
d
T
x
xx
xx y
xx
xx
A
AA
B
B
⇔
+
+
+

–
[( –) ]
–
[( –)
/
vv
1
2212
2
2
yy
B
212
]
/
1
1
v
1
2
v
MB
v
2
AM
v
1
7
CORRIGÉS
Cinématique du point–Changementderéférentiel

1
16
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2
•
➞
a
(P/)= e
➞
x
+ e
➞
y
.Onseplace en dehors du
point O.
et
et
Or donc
On peut alors écrire:
➞
a
(P/)=
➞
OP.
Le mouvement du point P est àaccélération centrale par rap-
port à O.
d
d
Y

t
qp
y
Y
qp
y
qp
y
y====
2488
2
3
24
5
24
6
–––.
dX
dt
qp
y
dy
dt
qp
y
Y
qp
y
====
2224

22
23
4
–––
–
8
24
6
qp
y
x
y
p
=
2
2
dX
dt
qp
y
x=–.
8
24
6
Y
qp
y
==
24
2

2
X
qp
y
==
22
d
d
X
t
d
d
Y
t
3
•
donc y
2
dy =2qp
2
dt .
On intègre  en tenant compte des conditions initiales t =0
y=x=0.
Il vient d’où

y =(6qp
2
t)
1/3
x

y
pp
qp t==
2
223
2
2
2
6()
/
1
3
2
32
yqpt=
Y
dy
dt
qp
y
==
2
2
2
CORRIGÉS
Cinématique du point–Changementderéférentiel
1
17
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.

2
Dynamique du point
matériel
LES OBJECTIFS
• Utiliserles lois de Newton pour :
–déterminer les caractéristiques d’un mouvement ;
–calculer certaines forces.
LES PRÉREQUIS
• Expressions des vecteurs vitesse et accélération dans
divers systèmes de coordonnées.
LES OUTILS MATHÉMATIQUES
• Notions sur l’intégration vues en mathématiques.
ESSENTIEL
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
18
Quantité de mouvement(ou impulsion)
La quantité de mouvement par rapport au référentiel R d’un point matériel M,demasse m,est
:
p
➞
(M)
/
= mv
➞
(M)
/ 
.
Lois de Newton
Les trois lois de Newton sont les lois fondamentales de la mécanique du point matériel.

•
Premièreloi :principe d’inertie
Il existe une classe de référentiels, appelés référentiels galiléens par rapport auxquels un point
matériel isolé est en mouvement rectiligne uniforme.
•
Deuxième loi :relation fondamentale de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées àunpoint M de masse
m et son accélération sont liées par :
F
→ M
==ma
➞
(M).
•
Troisième loi :principe des actions réciproques
Les forces d’interaction exercées par deux points matériels M
1
et M
2
l’un sur l’autre sont oppo-
sées et colinéaires àl’axe (M
1
M
2
).
d p
➞
(M)

dt

ESSENTIEL
Dynamique du pointmatériel
2
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Évolution d’un système mécanique
Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales données (déter-
minisme mécanique).
Pour un système autonome (ou libre), deux trajectoires de phase ne peuvent se couper.
Conseils et pièges àéviter
•Ilfaut toujours bien étudier les forces qui s’exercent sur un système, ici un point matériel.
19
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2
•
On rajoute une poulie.
La poulie P
2
est fixe, la poulie P
1
se déplace parallèlement
au plan incliné. Le fil est attaché en A.
Déterminer l’accélération du solide S
2
et les tensions des
fils.
Étude d’un pendule simple,
réactionaupointd’attache
Un pendulesimple (masse m,longueur )est lâché sans

vitesse initiale àpartir de la position
q
=:point matériel
M(m)etpoint de suspension sont alors dans le même plan
horizontal. (
IOM
= 
e
j à t =0). On demande de déterminer
les réactions R
x
(
q
)etR
y
(
q
)enO.Lefil est sans masse et
inextensible.
Un jeu d’enfant
Un enfant esquimau joue sur le toit de son igloo. L’enfant
se laisse glisser sans frottement depuis le sommet S de
l’igloo, qui alaforme d’une demi-sphèrederayon a et de
centre O.Laposition de l’enfant, assimilé àunpoint maté-
riel M,demasse m,est repérée par l’angle
q
=(Oz, OM),
(Oz)étant la verticale ascendante.
1
•

Àpartir de quelle position(repérée par l’angle
q
0
)
l’enfant perd-il le contact avec l’igloo (on négligebien sûr
les frottements).
4
S
2
α
S
1
S
2
P
2
P
1
S
1
α
3
π
2
Un peintreingénieux
Un peintre en bâtiment (de masse M =90kg) est assis sur
une chaise le long du mur qu’il doit peindre. Sa chaise est
suspendue àune corde reliée àune poulie parfaite.Pour
grimper,lepeintre tire sur l’autre extrémité de la corde
avec une force de 680 N. La masse de la chaise est

m =15kg.
1
•
Déterminer l’accélération du peintre et de la chaise.
Commenter son signe.
2
•
Quelle force le peintre exerce-t-il sur la chaise ?
3
•
Quelle quantité de peinture peut-il hisser avec lui ?
Plan inclinéetpoulies
Le solide S
1
,demasse m
1
,glisse sans frottements sur le
plan incliné. Le solide S
2
,demasse m
2
,sedéplace verti-
calement.Les solides en translation sont considérés
comme des points matériels. Les poulies sont idéales, les
fils sont inextensibles et sans masse.
Données :m
1
=400 g, m
2
=200 get

a
=30°.
1
•
On considère le dispositif ci-après en haut :
Déterminer l’accélération du solide S
2
et la tension du fil.
2
1
20
Exercices
Conseils
Faire un bilan des forces extérieures pour le système
{peintre +chaise}, puis pour le système {chaise seule}.
Conseils
1) Les deux solides ont la même accélération (en
norme).
1) et 2) En utilisant le caractèreparfait des poulies
(sans masse) et l’inextensibilité des fils, chercher une
relation simple entre les tensions des fils aux points
d’attache sur chacun des deux solides.
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
2
•
Quel est le mouvement ultérieur de l’enfant ?Quelle
est sa vitesse quand il retombe sur le sol ?Effectuer
l’application numérique avec m =30kg, a =2met
g=9,8 m . s

–2
.Commenter.
Équilibred’unpoint
Un point M de masse m est lié àuncercle fixe dans le plan
vertical, de centre O et de rayon R .Laliaison est supposée
sans frottements. Le point M est attiré par l’extrémité A du
diamètre horizontal AB par une force toujours dirigée vers
A et dont le module est proportionnel àladistance AM .La
position du point M est repérée par l’angle q =(AB, OM).
1
•
Déterminer les positions
q
=
q
e
d’équilibredupoint M
sur le cercle.
2
•
Quand le point n’est pas en équilibre, déterminer
l’équation différentielle vérifiéepar
q
en utilisant la rela-
tion fondamentale de la dynamique, puis le théorème du
moment cinétique en O.
3
•
On suppose que
q

reste proche de
q
e
et on pose
q
=
q
e
+ u avec u <<
q
e
.Déterminer alors l’équation dif-
férentielle vérifiée par u .Les conditions initiales sont
u = u
0
et
·
u =0.Déterminer entièrement u(t). Que peut-on
dire quant àlastabilité de la (des) position(s) d’équilibre
déterminée(s) au 1) ?Une position d’équilibre est stable si,
quand on écarte légèrement le point de cette position, il
tend àyrevenir,elle est instable dans le cas contraire.
5
z
x
M
O
A B
θ
Mouvementd’une masse

accrochée àunressort, impact
au pointd’attache
(oral TPE)
Un objet ponctuel de masse m,fixé àunressort de cons-
tante de raideur k et longueur àvide L
0
,attaché en O,se
déplace le long d’un plan incliné d’angle
a
.Onsuppose la
masse du ressort nulle, ainsi que sa longueur quand il est
comprimé.Laposition de la masse est x
e
àl’équilibre. On
négligeles frottements.
Àl’instant initial, on lance la masse, située en x
e
,avec une
vitesse v
0
vers O.Déterminer le mouvement x(t). Àquel-
le condition sur v
0
la masse frappe-t-elle le point O ?À
quel instant le choc a-t-il lieu et quelle est alors la vitesse
de la masse ?
Enroulementd’unfil
sur un cylindre
D’après Mines de Douai.
Un cylindre de révolution, d’axe vertical, de rayon R,

repose sur un plan horizontal et fixe par rapport àunréfé-
rentiel (Ox, Oy, Oz).
On attache une extrémité d’un fil parfaitement souple,
infiniment mince et de masse négligeable àlabase du
cylindre, et on l’enroule plusieurs fois dans le sens trigo-
nométrique autour de cette base. L’autre extrémité du fil
O
y
m
x
a
7
6
EXERCICES
Dynamique du pointmatériel
2
21
Conseils
1) L’enfant perd le contact avec l’igloo quand la réac-
tion de l’igloo s’annule. Il faut donc exprimer cette
réaction en fonction de
q
seulement. Pour cela, on
sera amené àmultiplierlaprojection de la relation
fondamentale de la dynamique sur e
➞
q
par
·
q

pour pou-
voir l’intégrer.
2) Attention aux conditions initialesdumouvement.
Conseils
Commencer par trouver l’expression de x
e
.
Déterminer x(t)enutilisant les conditions initiales
et en introduisant
.
ω
0
=
k
m
Conseils
1) Exprimer toutes les forces qui s’exercent sur le
point M dans la base des coordonnées polaires
(e
➞
r
, e
➞
q
), sans oublier de déterminer la distance AM
en fonction de R et de q .
2) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur la direction qui élimine la force inconnue (c'est-
à-dire la réaction du support).
3) Effectuer un développement limité au premier

ordre en u.Mettre en évidence la différence de com-
portement du mouvement du point autour de chacune
des deux positions d’équilibredéterminées plus haut.
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.
Le fil étant inextensible, donner la relation entre

,

0
, R
et
q
.
2
•
Exprimer les composantes de IOM suivant les vecteurs
unitaires
e
u
r
et
e
u
q
(cf. figure), en fonction de

0
, R et q .
3

•
En déduire les composantes de la vitesse
e
v de la parti-
cule M suivant les vecteurs
e
u
r
et
e
u
q
.
4
•
Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au
cours du mouvement.
5
•
Déduire des questions 3) et 4) la relation entre
q
,
·
q
,

0
, R et v
0
.

6
•
Exprimer
q
en fonction de t ,

0
, R et v
0
.
7
•
Déterminer l’instant final t
f
pour lequel le fil est entiè-
rement enroulé autour du cylindre. Effectuer l’application
numérique.
8
•
a) Déterminer la tension T du fil en fonction de t, m ,

0
, R et v
0
.
b) En réalité, il yarupture du fil dès que sa tension dépas-
se la valeur T
rup
=5.10
–3

N. Déterminerl’instant t
rup
et
l’angle
q
rup
lorsqu’intervient la rupture du fil. Effectuer
l’application numérique.
est fixée àune particule M de masse m ,astreinte àglisser
sans frottement sur le plan horizontal (Oxy).Lapartie
I
0
M non enroulée du fil est tendue.
Données :R=0,2 m;m=0,04 kg ;

0
= I
0
M =0,5 m;
v
0
=0,1 m. s
–1
.
1
•
Àl’instant t =0,oncommunique àlaparticule M une
vitesse v
➞
0

horizontale perpendiculaire à I
0
M et orientée
comme l’indiquent les deux figures ci-dessous :
On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement.À
l’instant t,onappelle
q
l’angle dont s’est enroulé le fil et

la longueur IM du fil non encore enroulé.
y
x
z
R
v
0
u
r
u
θ
θ
Vue de dessus àl’instant t
trace
du fil à t =0
I
0

I
M(t
=0)

M(t)
x
z
y
O
v
0
Vue en perspective àl’instant t =0

0
I
0
M(t
=0)
EXERCICES
Dynamique du pointmatériel
2
22
Conseils
4) Projeter la relation fondamentale de la dynamique
sur
e
u
r
après avoir soigneusement inventorié les for-
ces qui agissent sur le point matérielainsi que leur
direction.
5) Attention au signe des différentesexpressions.
6) En intégrant la relation obtenue àlaquestion 5),
établir l’équation du second degré vérifiéepar

q
.
La résoudre en remarquant qu’une seule des deux
racines de cette équation correspond àune fonction
q
(t)croissante.
8) Projeter la relation fondamentaledeladynamique
sur
e
u
r
.
Un peintreingénieux
1
•
Les forces appliquées au système {chaise +peintre} sont
le poids de l’ensemble, l’action du fil sur la chaise et l’action
du fil sur le peintre ;ces forces sont indiquées en bleu sur le
schéma ci-dessous.
Le fil étant inextensible et la poulie sans masse, les deux for-
ces T
➞
1
sont égales et sont, en norme, égales àlaforce que le
peintre exerce sur la corde (on notera T leur norme).
De même, T = F
fil-chaise
.
La relation fondamentale de la dynamique appliquée àcesys-
tème s’écrit, en projection sur la verticale ascendante (Oz):

(m+M)a=–(m+M)g+2T
Cette accélération est positive :partant du niveau du sol, le
peintre s’élève.
2
•
Les forces appliquées àlachaise seule sont son poids,
l’action du fil et l’action du peintre (
F
➞
= Fe
➞
z
).Larelation
fondamentale de la dynamique appliquée àlachaise seule,
projetée sur (Oz),donne :
ma = – mg + F + T ⇔ F = m(a + g)–T= T
=–486 N.
F <0:cette force est bien dirigée vers le bas, le peintre
«appuie »sur la chaise (il exerce une force équivalente au
poids d’une masse de 49,6 kg environ).
3
•
Le peintre et la chaise de masse m (peintures comprises)
montent si a  0, soit m –M=49kg, donc la peinture
n’excède pas 34 kg, ce qui est raisonnable.
(D’autre part, il faut aussi obtenir F  0, sinon le peintre
risque de monter sans la chaise et la peinture, soit mM,ce
qui est une condition moins contraignante que la précédente).
.
–2

m.s
2T

g
m – M

m + M
⇔= +
+
=ag
T
mM
–,
2
315
uT
1
uM
g
–uF
uT
1
uF
fil-chaise
z
O
u
F
fil-peintre
u

F
peintre-fil
uF

Rmg
1
Plan inclinéetpoulies
1
•
En utilisant la relation fondamentaledeladynamique, en pro-
jection sur z
1
ou z
2
pour chaque mobile, il vient (en notant T
1
et T
2
les tensions du fil, les normes de T
1
et T
2
):
m
1
¨
z
1
=–m
1

gsina + T
1
m
2
¨
z
2
= m
2
g – T
2
.
Le fil étant inextensible, on a:
.
z
1
=
.
z
2
.
Le fil étant de masse négligeable, et la poulie idéale : T
1
= T
2
.
Finalement, il vient :
¨
z
1

=
¨
z
2
= g
T
2
= g (1 +sina ).
Avec les valeurs numériques proposées :
¨
z
1
=
¨
z
2
=0(il ya
donc équilibre si la vitesse initiale est nulle), et T
2
=1,96 N.
2
•
En reprenant les écritures précédentes, on aici encore :
m
1
¨
z
1
=–m
1

gsina + T
1
m
2
¨
z
2
= m
2
g – T
2
Le fil 2est inextensible, donc
.
z
2
=
.
z
1(poulie mobile)
,
et le fil 1
étant inextensible, il vient encore
.
z
1(poulie mobile)
=.
D’autre part, négliger les inerties des fils et poulies conduit à
écrire : T
2
= T


2
et T

2
= T

1
+ T
1
et T
1
= T

1
,soit : T
2
=2T
1
.
On obtient donc :
2m
1
¨
z
2
=–m
1
gsina + T
1

et m
2
¨
z
2
= m
2
g –2T
1
.
Soit encore :
¨
z
2
= g
T
2
=(2+sina)g
et numériquement :
¨
z
2
=–1,1 m.s
–2
et T
2
=2,2 N.
2m
1
m

2

m
2
+4m
1
m
2
–2m
1
sina

m
2
+4m
1
z
1
2
2
m
1
yg
m
2
yg
iR
1
iT
1

iT
1
iT
2
iT
2
z
1
z
2
a
S
2
S
1
m
1
m
2

m
1
+m
2
m
2
–m
1
sina


m
2
+ m
1
m
1
yg
m
2
yg
iR
1
iT
1
iT
2
z
1
z
2
a
S
2
S
1
23
Corrigés
©Hachette Livre, H-Prépa Exercices et problèmes, Physique, MPSI-PCSI-PTSI
La photocopie non autorisée est un délit.