Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


1

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.



CHUYÊN ĐỀ TOÁN:




PHONG CÁCH LÀM CHUẨN CHO 1
BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ,
HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY ĐẸP VÀ
CỤ THỂ ĐẦY ĐỦ CÁC BƯỚC KHẢO
SÁT.

 Chuyên đề đi giải đáp thắc mắc khi các em trình bày toán
khảo sát hàm số, đầy đủ các trường hợp và mỗi loại hàm
số.
 Các ví dụ đều năm trong sách giáo khoa cơ bản.
 Các em hãy đọc và cho ý kiến đóng góp và chỉ giáo qua
nick fb: Gia sư khoa học:


MỤC LỤC:

- Hàm số bậc 3………………………………………………….2->7.
- Hàm trùng phương……………………………………………7->9.
- Hàm số dạng đa thức bậc nhất trên bậc nhất…………………9->11
- Hàm số dạng đa thức bậc 2 trên bậc nhất…………………….11->HẾT.



Trần Mậu Tú-TMT

Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


2

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.
CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ CHO PHONG CÁCH TRÌNH BÀY.

Hàm bậc 3.
Bài 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y =3

+ 3

− 4
Lời giải:
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên.
- Chiều biến thiên:
+ Đao hàm
y' = 3


+ 6
y' = 0 <=>
0
2
x
x



 


Ta có dấu của y’:

:
+ Do đó: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞,−2)à(0, +∞)
Hàm số nghịch biến trên (-2,0).
- Cực trị của hàm số:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = -2, y
CĐ
= 0.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y
CT
= -4
- Giới hạn hàm số:
+
3 2 3
3
3 4

lim lim( 3 4) lim (1 )
x x x
y x x x
x x
  
       

+
3 2 3
3
3 4
lim lim( 3 4) lim (1 )
x x x
y x x x
x x
  
       

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên.

Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


3

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.
3. Đồ thị của hàm số:
- Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

+ Giao diem cua ham so voi truc Ox
y = 0 <=> x = -2 ; x = 1
+ Giao diem cua ham so voi truc Oy
x = 0 <=> y = -4
- Nhan xet:
+ Do thi ham so nhan diem uon E( 0 ; -4 ) lam tam doi xung
- Ve do thi ham so:
Lời bình: Phương pháp trình bay trên là cách trình bày chuẩn và đầy đủ nhất cho
bài toán, khi đọc các em có thể thấy hơi dài, nhưng khi đã làm thành thạo và nhớ
các bước thì các em thường làm bài này trong vòng 5 phút là xong. Ngoài ra khi vẽ
đồ thị các em có thể tìm thêm các điểm ngoài nháp để vẽ đồ thị cho dễ không cần
trình bày vào bài làm, trên đó là cách trình bày rất chuẩn rồi.
Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


4

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.


Bài 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y =




+ 

− 2 −





Lời giải:

1. TXĐ: D = R.
2. Sự biến thiên :
- Chiều biến thiên:
+ Đào hàm:
y’ = 

+ 2 − 2
y’=0< => 

+ 2 − 2 = 0 <=>
1 3
1 3

 

 



Ta có dấu của y’:

+ Do đó: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, −1 + √3)à(−1 +
√
3, +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1 −

√
3, −1 + √3)
- Cực trị của hàm số:
+Hàm số đạt cực đại tại x = −1 −
√
3 và y
CĐ
= y(−1 −
√
3) = 2 + 2√3
+Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 +
√
3 và y
CT
= y(−1 +
√
3) = 2 − 2√3
- Giới hạn hàm số:
+
3 2 3
2 3
1 2 1 1 2 2
lim lim( 2 ) lim ( )
3 3 3 3
x x x
y x x x x
x x x
  
         


+
3 2 3
2 3
1 2 1 1 2 2
lim lim( 2 ) lim ( )
3 3 3 3
x x x
y x x x x
x x x
  
         
.
- Hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên.

3. Đồ thị của của hàm số:
Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


5

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.
- Đồ thị giao với các trục:

+ Giao với ox:





+ 

− 2 −


= 0 có 3 nghiệm , do đó đồ thị cát ox
tại 3 điểm phân biệt.
+ Giao với oy: x= 0 => y = −


, do đó hàm số cắt trục oy tại điểm ( 0, −


)

- Hàm số nhận (-1,2) làm điểm uốn.
- Ta có đồ thị hàm số .





Lời bình: Bài toán này đưa ra nhằm cung cấp cho các em về việc 1 số bài
toán cho số liệu không được đẹp thì các em không nhất thiết phải tìm ra kết
quả, ví dụ như ở phần tìm giao điểm của đồ thị với ox, các em chỉ cần nói nó
cắt trục ox tại 3 điểm phân biệt là được, và ở phần cực trị hàm số cũng vậy
các em không cần tìm ra kết quả là y
CĐ
= y(−1 −
√

3) = 2 + 2√3à y
CT
=
y(−1 +
√
3) = 2 − 2√3,chỉ cần viết
y
CĐ
= y(−1 −
√
3)ày
CT
= y(−1 +
√
3) cũng được các em ạ.
Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


6

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.


Bài 3: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y= 

− 3

+ 3 + 1
Lời giải:


1. TXĐ: D=R
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+ Đạo hàm:
y’ = 3

− 6 + 3
y’ = 0 <=> 3

− 6 + 3 = 0  x = 1.
Suy ra y’ = 3
(
 − 1
)

≥ 0, ∀ ∈ .
Do đó hàm số luôn đồng biến trên R.
- Hàm số không có trực trị.
- Giới hạn:
+
2
3 2 3
3
3 3 1
lim lim ( ) l3 3 1 im (1 )
x x x
y x
x
x x

x x
x
  
        

+
2
3 2 3
3
3 3 1
lim lim( ) l3 3 1 im (1 )
x x x
y x
x
x x
x x
x
  
        

- Hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên.



3. Đồ thị của hàm số.
- Đồ thị giao với các trục tọa độ.
+ Giao với ox: 

− 3


+ 3 + 1 = 0ó1ℎệ,
đóđồℎịắụ0ạℎấ1đểm
+ Giao với oy: x = 0=> y = 1, do đó đồ thị cắt oy tại điêm (0,1)
- Đồ thị h/s nhận điểm ( 1, 2) làm tâm đối xứng.
- Ta có đồ thị của hàm số.



Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


7

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.









Lời bình: Trên đó là 3 bài toán với 3 trường hợp hoàn toàn khác nhau, các em thấy
được sư trình bày đầy đủ và theo tuần tự như thế, đó là 3 bài toán điển hình cho
việc khảo sát hàm số bậc 3.
Sau đây chúng ta chuyển sang hàm số mới.









Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


8

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.

HÀM TRÙNG PHƯƠNG.

Bài 4. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = −

+ 2

− 2

Lời giải:

1. TXĐ: D=R
2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+ Đạo hàm:
y’ = −4


+ 4
y’ = 0  −4

+ 4 = 0
0
1
1
x
x
x



 


 


Ta có dấu của y’:

+ Do đó: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, −1)à(0,1)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,0) và (1,+∞)
- Cực trị của hàm số.
+ Hàm số đạt cực đại tại 2 điểm có hoành độ x = -1, y
CĐ
=-1.Và x = 1,y
CĐ
=-1

+Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0, y
CT
=-2.
- Giới hạn hàm số:
+
4 4
2 4
2
2 2)
2 2
lim lim ( lim ( 1 )
x x x
y xx
x x
x
  
    
 

+
4 4
2 4
2
2 2)
2 2
lim lim( lim ( 1 )
x x x
y xx
x x
x

  
      

- Hàm số không có tiệm cận.
- Bảng biến thiên:

Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


9

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.


3. Đồ thị của hàm số.
- Giao diem cua do thi voi cac truc toa do
+ Giao diem cua ham so voi truc Ox
y = 0 <=> Vo nghiem, ham so khong cat truc Ox
+ Giao diem cua ham so voi truc Oy
x = 0 <=> y = -2, do đo ham so cắt oy tạo điểm (0,-2)
- Nhan xet
+ Ham so da cho la ham so chan nen do thi nhan truc tung lam truc doi
xung
-Ve do thi ham so.


Lời bình: Các bài toán hàm trùng phương đều có cách trình bày như thế, các
em trình bày và làm nhiều thì sẽ thành thạo và làm rất nhanh, các trường hợp
số liệu không đẹp thì các em cũng làm theo hướng dẫn của anh ở trang thứ 5

của chuyên đề này.
Tiếp theo ta sang dạng hàm số khác.



Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


10

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.


HÀM SỐ DẠNG ĐA THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT.

Bài 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y
=


.

Lời giải:

1. TXĐ: D = R
1
\
2
 


 
 
.

2. Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+ Đạo hàm:
y’
=

(

)

,
ta thấy

y’ >0, ∀ ∈ .
+ Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng (-
∞, −


)à(−


, +∞).

- Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn hàm số:
1 1

( ) ( )
2 2
1 1
( ) ( )
2 2
2 1
lim lim
2 1 2
2 1
lim lim
2 1 2
2
lim lim
2 1
2
lim lim
2 1
x x
x x
x x
x x
x
y
x
x
y
x
x
y
x

x
y
x
 
 
     
     
   
   

  


  


    


    


- Tiệm cận của hàm số:
Do:
1
lim lim
2
x x
y y
 

 
, nên hàm số có tiệm cận ngang là đt y=


.
Do:
1
( )
2
1
( )
2
lim
lim
x
x
y
y


 
 
  
  
nên hàm số có tiện cận đứng là đt x = -




Trần Mậu Tú-TMT-

CLB GIA SƯ KHOA HOC:


11

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.

- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm số:
- Đồ thị giao với các trục tọa độ.
+ Trục ox: tại điểm (2,0)
+ Trục oy tại điểm (2,0)
- Đồ thị nhận giao điểm (−


,


) làm tâm đối xứng.
- Ta có đồ thị của hàm số.


Lời bình: Trên đó là cách trình bày của dạng hàm số trên, các em hoàn toàn làm
tuần tự như thế cho các bài toán khác.


Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:



12

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.
HÀM SỐ DẠNG ĐA THỨC BẬC 2 TRÊN BẬC NHẤT


Bài 6: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y =






Lời giải:

Ta có: y =




=  + 1 +




1.
TXĐ: D = R

 

\ 1
.

2.
Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
+ Đạo hàm:
y’ =
1 −

(

)

.
y’ = 0 
1 −

(

)

= 0
0
2
x
x





 


Ta có dấu của y’:

+ Do đó: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, −2)à(0,+∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2,0).
- Cực trị của hàm số:
+ Ham so dat cuc dai tai diem x = -2; gia tri cuc dai cua ham so la y = -2
+ Ham so dat cuc tieu tai diem x = 0; gia tri cuc tieu cua ham so la y = 2
- Giới hạn của hàm số:
( 1)
2
( 1)
(
2
1) ( 1
2
)
2
2 2
1
2
lim lim
lim lim
lim lim
lim li
2
1

2 2
1
2
m
2
1
x x
x x
x x
x x
y
y
y
x x
x
x x
x
x x
x
x
y
x
x
 
 
   
   
   
   


 
 

 
 

 
 

 

 

 


 


Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


13

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.
- Tiệm cận của đồ thị hàm số.
Đồ thị hs không có tiệm cận ngang.
Do:
( 1 )

( 1 )
lim
lim
x
x
y
y


 
 
 

 
  

nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1.
Gọi tiệm cận xiên là y = a. x+b.
Trong đó a =
2
2 2
1
(
lim li
)
m
1
x x
xy
x

x
x x
   
 




b =
2
2 2
lim( . ) lim( l
2
)
1
im 1
1
x x x
x x x
y a
x
x
x
x
  
 
 

 
 


Do đó đồ thị hs có tiệm cận xiên y = x +1
- Bảng biến thiên:


3.
Đồ thị của hàm số.
- Giao diem cua do thi voi cac truc toa do
+ Giao diem cua ham so voi truc Ox
y = 0 <=> Vo nghiem, ham so khong cat truc Ox
+ Giao diem cua ham so voi truc Oy
x = 0 <=> y = 2
- Nhan xet
+ Do thi ham so nhan giao diem C (-1;0) cua 2 tiem can lam tam doi xung
- Ve do thi ham so:







Trần Mậu Tú-TMT-
CLB GIA SƯ KHOA HOC:


14

VIỆC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC-KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI.




Lời bình: Như vậy chúng ta đã trải qua các ví dụ để tiếp cận được phương pháp và
cách trình bày loại toán khảo sát hàm số.
Mong các em đóng góp ý kiến qua nick fb: Gia Sư Khoa Học.



-HẾT-