Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý

do

chọn đề

tài
- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học
sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.
- Với đề thi trắc nghiệm đại học,cao đẳng như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp và máy
móc kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về
phương pháp giải các dạng toán này.
- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ Phân loại và phương pháp giải một số dạng
toán cực trị trong mạch điện xoay chiều” nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị
của bài toán này phục vụ cho công tác dạy học.
II. Đ ối

t ượng

nghiên

c ứu
- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu
điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L,
theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc ω
III. Nhiệm

v ụ

nghiên

c ứu
- Vận dụng được các phương trình toán học (như bất đẳng thức cô si, phương pháp
khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác…) để ứng dụng trong việc khảo sát các
dạng toán cực trị điện xoay chiều
- Hướng dẫn và đưa ra phương pháp giải một số dạng toán đặc trưng
- Các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải.
IV. Phương

pháp

nghiên

c ứu
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh
- Phương pháp mô tả.
V. Khảo sát thực tế giảng dạy.
- Qua quá trình giảng dạy nhiều thế hệ Học sinh trước và khảo sát trực tiếp năm học
2011-2012, bằng cách thăm dò, quan sát và thông qua công tác kiểm tra đánh giá thì
việc ứng dụng phương pháp cực trị trong việc giải bài tập vật lí 12 đạt những kết quả
sau:
+ Đa số Học sinh đều dễ dàng tiếp cận nắm vững được phương pháp giải và từ đó thấy
tự tin và yêu thích môn học hơn.
+ Khắc sâu kiến thức cho Học sinh từ đó Học sinh nhớ kiến thức lâu hơn và rất thuận
tiện trong việc giảng dạy Vật lí 12 .
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
VI. Quy trình thực hiện.

1.Giới thiệu phương pháp, thứ tự các bước giải
2.Cho Học sinh vận dụng tập dượt một số bài tập minh hoạ cụ thể để rèn luyện kỹ
năng.
3.Kiểm tra đánh giá kết quả vận dụng của Học sinh thông qua các hình thức ( kiểm tra
miệng, kiểm tra 15’, kiểm tra 1 tiết…)
.
B.NỘI DUNG
*MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
1. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
2. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax
3. Có hai giá trị L
1
và L
2
cho cùng giá trị U
L
,giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1

và L
2
.
4. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
1. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
2. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax
3. Có hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng giá trị U
L
và giá trị Z
C
để U
Cmax
tính theo C
1
và C
2
.
4. Giá trị Z
C

để hiệu điện thế U
CRrmax
IV. Sự thay đổi ω trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị ω làm cho P
max
2. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
Lmax
3. Giá trị ω làm cho hiệu điện thế U
cmax
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
**HƯỚNG DẪN PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ
công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và
mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu
cho tử số chẳng hạn )
Lưu ý:
• Bất đẳng thức Côsi : Cho hai số không âm a, b khi đó
2
2
a b
ab a b ab
+
≥ ⇔ + ≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b
• Hàm số bậc hai y=ax
2
+bx+c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
4ac b '

; y
2 4 4
b
x
a a a a
− −∆ − −∆
= = = =
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
1. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có:
( ) ( )
2 2
2
td td
2 2
2
td L C L C
td
td
U U
P R I R
R Z Z Z Z
R
R
= = =
+ − −
+
- Đặt
( )

2
2
L C
td
td
U
Z Z
R
R
A =
−
+
, áp dụng bất đẳng thức Côsi
cho A

( )
( )
2
2
L C
td L C
2
td
L C
td
td
Z Z
U
2 R 2 =Z Z
R

Z Z
R
R
A const
−
= ≥ = − =
−
+
- Ta thấy rằng P
max
khi A
min
=> “ = ” xảy ra. Vậy:
dt L C
R Z Z= −
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
( ) ( )
2 2 2
max
L C
td1 td2
1 0 2 0
U U U
P
2 Z Z
2 R .R
2 R R R R
= = =
−
+ +

Với R
1td
và R
2td
là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
R
2 2 2 2
0 L C 0 L C
U U
P RI R
R R Z Z R R Z Z
R
= = =
+ + − + + −
- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0 L C 0 L C
0
R R Z Z Z Z
2
R
A R R

R R
+ + − + −
= = + +
- Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho A ta được:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
0 L C 0 L C
2
0 0 L C 0
Z Z Z Z
2 2 2 2 Z Z 2
o
R R
A R R R R R R const
R R
+ − + −
= + + ≥ + = + − + =
- Ta thấy rằng P
Rmax
khi A
min
nghĩa là dấu “ = ” phải xảy ra, khi đó:
( )
2
2
L C
Z Z

o
R R= + −
- Công suất cực đại của biến trở R là:
( )
2
max
2
2
0 L C 0
2 Z Z 2
U
P
R R
=
+ − +
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu
điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :


2 2 2
â 0 0
; ;
d y d L C C
P R I U I L R U IZ= = + =

2 2
0
( ) ( )
L C

U
I
R R Z Z
=
+ + −
- Vì R
0
; Z
L
; Z
C
và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ
cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng
I
max
khi giá trị của biến trở R = 0.
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được,điện áp hai đầu mạch là:
4
2 1
150 2 os(100 ) , ( ), .10 ( )
1,25
u c t V L H C F
π
π π
−
= = =
.
Tìm R để :
a. Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ hiệu dụng trong
mạch khi đó.

b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax
*Hướng dẫn giải
Ta có:
200 , 125 , 150
L C
Z Z U V= Ω = Ω =
a. Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R:
2 2
2 2 2 225
25
2 2 2
150
90 90 90 150 90.75 0
75
R
R
U R
P I R R R R
Z R
= Ω
= Ω

= ⇔ = ⇔ = ⇔ − + = ⇒

+
• Với
2 2
0
0
150 2 2

225 225 75 75 10
75 10 5
U
R Z I A
Z
= Ω ⇒ = + = Ω ⇒ = = =
Độ lệch pha của u va i thỏa mãn
1 1
L C
Z Z
75 1 1 1
tan tan tan
225 3 3 3
u i i
R
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
−
   
= = = ⇒ = = − ⇒ = −
 ÷  ÷
   
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
Biểu thức cường độ dòng điện là
1
2 1
os(100 tan )
3
5
i c t A

π
−
 
= −
 ÷
 
• Với
2 2
0
0
U
150 2 6
25 25 75 25 10 I
25 10 5
R Z A
Z
= Ω ⇒ = + = Ω ⇒ = = =
Độ lệch pha của u va i thỏa mãn
( ) ( )
1 1
L C
Z Z
75
tan 3 tan 3 tan 3
R 25
u i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
−
= = = ⇒ = = − ⇒ = −

Biểu thức cường độ dòng điện là
( )
1
6
os(100 t-tan 3 )
5
i c A
π
−
=
b.
2 2 2 2
2
2
2 2 2
( )
( )
L C
L C
U U U U
P I R R R
Z Z
Z R Z Z y
R
R
= = = = =
−
+ −
+
với

2
( )
L C
Z Z
y R
R
−
= +
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
2 2
min
( ) ( )
2 2 2
L C L C
L C L C
Z Z Z Z
y R R Z Z y Z Z
R R
− −
= + ≥ = − ⇒ = −
Dấu bằng xảy ra khi
2
( )
75
L C
L C
Z Z
R R Z Z
R
−

= ⇒ = − = Ω
Khi đó công suất cực đại của mạch
2 2 2
ax
min
150
150W
2 2.75
m
L C
U U
p
y Z Z
= = = =
−
Vậy khi
75R = Ω
thì
ax
150W
m
p =
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R
người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

2
2
2 2

P=R R
( )
td td
td L C
U
I
R Z Z
=
+ −
; với
0
R
td
R R= +
- Đạo hàm P theo biến số R
td
ta có:
2 2
' 2
2 2 2
( )
( )
( ( ) )
L C td
td
td L C
Z Z R
P R U
R Z Z
− −

=
+ −
Khi
' 2 2
0
( ) 0 ( ) 0 R
td L C td td L C L C
P R Z Z R Z Z R Z Z R= ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ = − −
Bảng biến thiên :
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
Đồ thị của P theo R
td
:
II. Mạch điện xoay chiều RLC có L thay đổi
1. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng Z
L
- Ta có công suất toàn mạch là:
2
2 2
P R
( )
L C
U
R Z Z
=
+ −
, với R, C là các hằng số, nên công
suất của mạch là một hàm số theo biến số Z
L
- Đạo hàm của P theo biến số Z

L
ta có:
' 2 '
2
2 2
( ) 2 ( ) 0
( )
C L
L L
L C
Z Z
P Z RU P Z
R Z Z
−
= ⇒ =
 
+ −
 
khi
L C
Z Z=
-Bảng biến thiên
- Đồ thị của công suất theo Z
L
:
O
R
tđ
R
tđ

=
P
P
max
P
P
max
P
0
O
Z
L
Z
L
=Z
C
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
- Nhận xét đồ thị:
+ Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
+ Công suất của mạch cực đại khi
L1 L2
L C
Z Z
Z Z
2
+
= =
, với Z
L1,
Z

L2
là hai giá trị của cảm
kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của Z
L
sẽ cho
phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZ
L
. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự
thay đổi của công suất theo giá trị của Z
L
trong một số bài toán.
2. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
Lmax
-
Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
( )
L L L
2
2
L C
U IZ Z
R Z – Z
U
= =
+

, trong đó R;

Z
C
và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này
theo biến số là Z
L
. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương
pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.
- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :
sin( ) sin
L
U U
α β γ
=
+
- Vì
2
2 2
sin os ons
R
RC
C
U R
c c t
U
R Z
γ β
= = = =
+
, suy ra
sin( ) sin( )

sin os
L
U U
U
c
α β α β
γ β
= + = +
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
-Do
osc
β
và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế
U
Lmax
khi
sin( ) 1
2
π
α β α β
+ = ⇒ + =
- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
2
RC L C
U U U=
, từ đó suy ra
2 2
L C C
Z Z R Z= +
- Tóm lại:

· Khi
2 2
C
L
C
R Z
Z
Z
+
=
thì
2 2
ax
C
Lm
R Z
U U
R
+
=
· Khi U
Lmax
thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn u
RC
một góc 90
0
.
3. Có hai giá trị L
1
và L

2
cho cùng giá trị U
L
, giá trị L để U
Lmax
tính theo L
1
và L
2
.
- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
1 2
1 2 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2
( ) ( )
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U Z I Z I
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:

2 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2

2 2
L L
C L L C C L L C
Z Z
R Z Z Z Z R Z Z Z Z
=
+ + − + + −
- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại
thì
2 2
L C C
Z Z R Z= +
với giá trị Z
L
là giá trị làm cho U
Lmax
. Thay vào biểu thức trên:

2 2
1 2
2 2
1 1 2 2
2 2
L L
L C L L C L C L L C
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
=
+ − + −
- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:


2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 ( )
L L L L L L L
Z Z Z Z Z Z Z− = −
- Đơn giản biểu thức trên ta thu được:
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
L L
L
L L
Z Z L L
Z L
Z Z L L
= ⇔ =
+ +
4. Giá trị Z
L
để hiệu điện thế U
LRrmax
- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( ) ( )
L

LR L
L C L C
L
U R Z
U
U I R Z
R Z Z R Z Z
R Z
+
= + = =
+ − + −
+
- Đặt
2 2
2 2
( )
L C
L
R Z Z
M
R Z
+ −
=
+
, ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số Z
L
để tìm
giá trị của Z
L
sao cho M

min
khi đó giá trị của U
Lrmax
. Đạo hàm của M theo biến số Z
L
ta
thu được :

2 2 2 2
'
2 2 2
2( )( ) 2 ( )
( )
( )
L C L L L C
L
L
Z Z R Z Z R Z Z
M Z
R Z
 
− + − + −
 
=
+
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
- Cho M’(Z
L
) = 0 ta có :
2 2 2

0
C L C L C
Z Z Z Z Z R− − =
. Nghiệm của phương trình bậc hai này
là:
2 2
1
2 2
4
1
2
4
2
C C
L
Z R Z
C
C
Z
L
Z R Z
Z
− +
=
+ +
=





Lập bảng biến thiên ta có:
L
Z
0
2 2
1
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=
+
∞

'
( )
L
M Z
_
0 +
( )
L
M Z

2
2 2
4

2
C C
R Z Z
R
 
+ −
 ÷
 ÷
 
- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng mẫu thức đạt giá trị nhỏ nhất nên U
LR
đạt giá trị lớn
nhất. Ta thu được kết quả sau:
Khi
2 2
1
4
2
C C
L
Z R Z
Z
+ +
=
thì
ax
2 2
2
4
RLm

C C
UR
U
R Z Z
=
+ −
Bài toán tổng quát:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được. Tìm giá trị của L để:
a. Cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại
b. Công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị P
max
c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại
* Hướng dẫn giải
a. Cường độ hiệu dụng

ax min
2
2 2
1
0
( )
m L C
L C
U U
I I Z Z Z L
Z C
R Z Z
ω
= = ⇒ ⇔ ⇒ − = ⇔ =
+ −

Vậy:
2
1
L
C
ω
=
thì I
max
và giá trị
axm
U
I
R
=
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch
2
P RI=
. Do R không đổi nên

ax ax
2
1
0
m m L C
P I Z Z L
C
ω
⇔ ⇔ − = ⇒ =
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều

Giá trị:
2
2
ax axm m
U
P I R
R
= =
c. Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là
ax min
2 2 2 2
2 2
2 2
( )
( )
1
L L L L L m
L C
L C C
L L L L
U U U U U
U IZ Z Z U y
Z
y
R Z Z
Z Z Z
R R
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒ ⇔
+ −

   
−
+ + −
 ÷  ÷
   
Với
2
2
2
1
C
L L
Z
R
y
Z Z
 
= + −
 ÷
 
, đặt
2 2 2 2 2 2
1
(1 ) ( ) 2 1
C C C
L
x y R x Z x R Z x Z x
Z
= ⇒ = + − = + − +
Do hệ số

2 2
0
C
a R Z= + >
hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất khi:
2 2
2 2 2 2
2
1
2 2( ) ( )
C C C
L
C L C C
Z Z R Z
b
x Z
a R Z Z R Z Z
− +
= − = − ⇔ = ⇒ =
+ +
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y là:
2 2 2
' 2
min
2 2 2 2
( )
4
C C
C C
Z R Z

R
y
a a R Z R Z
− +
∆ ∆
= − = − = − =
+ +
2 2
ax
2
min
2 2
( )
L m C
C
U U U
U R Z
R
y
R
R Z
= = = +
+
Vậy :
2 2
2 2
ax
( )
C
L m C L

C
R Z
U
U R Z khiZ
R Z
+
= + =
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó
4
10
100 3 ,
2
R C F
π
−
= Ω =
. Cuộn dây thuần
cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là
u = 200cos(100πt) (V). Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau:
a. Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
b. Hệ số công suất của mạch cosφ =
3
2
.
c. Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại.
* Hướng dẫn giải
Ta có
1
200
C

Z
C
ω
= = Ω
a. Hệ số công suất
4
2
2
1 1 2
os 1 1
10
(100 ) .
2
L C
R
c R Z Z Z L
Z C
ϕ
ω π
π
π
−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = = =
H
b. Khi
2 2 2 2 2 2
3 3
os 2 3 4 3 3 ( ) 3( )
2 2
L C L C

R
c R Z R Z R Z Z R Z Z
Z
ϕ
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = = + − ⇔ = −
 
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
3
300
100 1
3
L
L
L H
Z
L C Z
L H
R
Z Z
π
π
=
= Ω
= Ω
=


− = ± ⇔ ⇔




c. Theo chứng minh trên ta được khi
2 2
2 2
(100 3) 200 35
350
200 1
C
L
C
R Z
Z L H
Z O
π
+
+
= = = Ω ⇒ =
thì điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt
cực đại. Giá trị cực đại:
2 2 2 2
max
100 2 100 42
(100 3) 200
3
100 3
L C
U
U R Z V
R

= + = + =
Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
170 2 os(100 )u c T V
π
=
. Các giá trị
4
10
80 ,
2
R C F
π
−
= Ω =
. Tìm L để:
a. Mạch có công suất cực đại. Tính P
max
b. Mạch có công suất P = 80W
c. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải
Ta có
80 , 200
C
R Z= Ω = Ω
a. Công suất của mạch P = I
2
.R. Do R không đổi nên:
ax min
2
0 200

m L C L C
P Z Z Z Z Z L H
π
⇔ ⇔ − = ⇔ = = Ω ⇒ =
Khi đó:
2 2 2
2
ax ax
2
170
W
80
m m
U U
P I R R
R R
= = = =
b.
2 2
350
2
50
2 2 2
170 .80
80 80 80
80 ( 200)
L
L
Z
Z

L
U
P I R R
Z Z
= Ω
= Ω

= = ⇔ = ⇔ = ⇔

+ −
Từ đó ta tìm được hai giá trị của L thỏa mãn đề bài là:
3,5
1
2
L H
L H
π
π
=
=



c. Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi
2 2
2 2
80 200 232
232
200 100
C

L
C
R Z
Z L H
Z
π
+
+
= = = Ω ⇒ =
.
Giá trị cực đại
2 2 2 2
max
170
80 200 85 29
80
L C
U
U R Z V
R
= + = + =
III. Mạch điện xoay chiều RLC có C thay đổi
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu
ổn định :
0
os( )
u
u U c t
ω ϕ
= +

R là điện trở L là một
cuộn dây thuần cảm không đổi và C có giá trị thay đổi .
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
Nhậnxét: Vì trong công thức tổng trở
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z= + − = + −
do đó ta thấy
rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi
thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
1. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
C
Z
0
L C
Z Z=
+
∞

'
( )
C
P Z
+ 0 _

( )
C
P Z


2
axm
U
P
R
=
2
2 2
P=R
L
U
R Z+
0
- Đồ thị của công suất theo giá trị của Z
C
:
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
2. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
Cmax
- Khi
2 2
L
C
L
R Z
Z
Z

+
=
thì:
·
2 2
max
L
C
U R Z
U
R
+
=
và
2 2 2 2
maxC R L
U U U U= + +
· u
RL
vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
3. Có hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng giá trị U
C
,giá trị Z
C
để U
Cmax

tính theo C
1
và C
2
- Khi có hai giá trị C = C
1
hoặc C = C
2
cho cùng giá trị U
C
thì giá trị của C làm cho
U
Cmax
khi
1 2
1 2
1 1 1 1
( )
2 2
C C C
C C
C
Z Z Z
+
= + ⇒ =
4. Giá trị Z
C
để hiệu điện thế U
RCmax
- Khi

2 2
4
2
L L
C
Z R Z
Z
+ +
=
thì
max
2 2
2
4
C
L L
UR
U
R Z Z
=
+ −
( Với điện trở R và tụ điện mắc gần
nhau)
Ví dụ 4: Cho mạch điện RLC có
1
100 ,R L
π
= Ω =
, C thay đổi. Điện áp hai đầu đoạn
mạch

100 2 os(100 )u c t V
π
=
. Tìm C để:
a. Mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b. Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính P
max
c. U
C max
* Hướng dẫn giải
Ta có:
100 , 100
L
R Z= Ω = Ω
a.
2 2
0
2
200
2 2 2
100 .100
50 50 50
100 (100 )
C
C
Z
Z
C
U
P I R R

Z Z
=
= Ω

= = ⇔ = ⇔ = ⇔

+ −
Nhận nghiệm Z
C
= 200Ω ta được
4
10
2
C F
π
−
=
b. Công suất của mạch P = I
2
.R. Do R không đổi nên:
4
ax ax
10
0 100
m m L C L C
P I Z Z Z Z C F
π
−
⇔ ⇔ − = ⇔ − = Ω ⇒ =
Khi đó:

2 2 2
2
ax ax
2
100
=100W
100
m m
U U
P I R R
R R
= = = =
c. Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi:
2 2
2 2 4
100 100 10
200
100 2
L
C
L
R Z
Z C F
Z
π
−
+ +
= = = Ω ⇒ =
Khi đó:
2 2 2 2

max
100
100 100 100 2
100
C L
U
U R Z V
R
= + = + =
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L
và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả. Vậy nên trong trắc
nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả với C hoặc L.
2 2
2 2
max
L
C L C
L
R ZU
U R Z khiZ
R Z
+
= + =
2 2
2 2
max
C
L C L
C

R Z
U
U R Z khiZ
R Z
+
= + =
IV. Mạch điện xoay chiều RLC có tần số f hay ω thay đổi
Bài toán tổng quát:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được. Tìm ω để :
a. Cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
c. Điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại
* Hướng dẫn giải
a. Cường độ hiệu dụng:
ax min
2 2
1 1
0
( )
m L C
L C
U U
I I Z Z Z L
Z C
LC
R Z Z
ω ω
ω
= = ⇒ ⇔ ⇒ − = ⇔ = ⇒ =
+ −

Vậy: khi
1
LC
ω
=
thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị
axm
U
I
R
=
.
b. Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I
2
.R.
Do R không đổi nên
2
ax ax
1 1
0
m m L C
P I Z Z
LC
LC
ω ω
⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇒ =
Giá trị:
2
2
ax axm m

U
P I R
R
= =
c. Điện áp hiệu dụng đạt cực đại
• U
R
đạt cực đại
ax ax
1
. ( )
R R m m
U I R U I
LC
ω
= ⇒ ⇔ ⇔ =
Khi đó:
ax ax
( )
R m m
U I R U= =
• U
L
đạt cực đại
2
2 2
2
2 2 2
.
1

1
( )
(1 )
L L L
U U L U U
U IZ Z
Z
y
R
R L
C
L LC
ω
ω
ω
ω ω
= = = = =
+ −
+ −
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
Với:
2
2
2 2 2
1
(1 )
R
y
L LC
ω ω

= + −
,
Đặt:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2
(1 ) ( ) 1
R x R
x y x x x
L LC L C L LC
ω
= ⇒ = + − = + − +
Do hệ số
2
2 2
2
min
2 2
2 2
2
1 2
0
2
2 2
R
b LC R C
LC L
a y x
L C a

L C
−
−
= > ⇒ ⇔ = − = =
2 2
2 2 2
1 2 2
2 2
LC R C
LC R C
ω
ω
−
= ⇔ =
−
Vậy U
L
đạt cực đại khi:
2 2
2
2LC R C
ω
=
−
• U
C
đạt cực đại
2 2 2 2 2
2 2
1

( 1)
( )
C C C
U U U U
U IZ Z
Z
y
R C LC
C R L
C
ω ω
ω ω
ω
= = = = =
+ −
+ −
Với :
2 2 2 2 2
( 1)y R C LC
ω ω
= + −
Đặt:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1) ( 2 ) 1x y R C x xLC L C x R C LC x
ω
= ⇒ = + − = + − +
Do hệ số
2 2 2 2
2 2 2
min

2 2 2 2
2 2 2
0
2 2 2 2
b LC R C L R C L R C
a L C y x
a L C L C L C
ω
− − −
= > ⇒ ⇔ = − = = ⇒ =
Vậy U
C
đạt cực đại khi tần số góc
2
2
2
2
L R C
L C
ω
−
=
Nhận xét:
- Do vai trò của f và ω là như nhau nên nếu f thay đổi thì bằng phép thay
2 f
ω π
=
ta sẽ
giải quyết được lớp bài toán mà có f thay đổi.
- Do việc tính toán để tìm các giá trị U

Lmax
hay U
Cmax
là tương đối phức tạp nên những
bài toán dạng này chỉ dừng lại ở việc tìm giá trị ω ( hay f ) để cho điện áp hiệu dụng
đạt cực đại.
Ví dụ 5: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100Ω, cuộn dây thuần
cảm có độ tự cảm
1
L H
π
=
, tụ điện có điện dung
4
10
2
C F
π
−
=
, mắc nối tiếp. Mắc hai đầu
M, N vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời
120 2 os(2 )
MN
u c ft V
π
=
, tần số f của
nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được.
a. Khi f = f

1
= 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tiêu thụ
P
1
trên đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong
đoạn mạch đó.
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
b. Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f
2
sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn
mạch điện MN lúc đó là P
2
= 2P
1
. Hãy xác định tần số f
2
của nguồn điện khi đó. Tính
hệ số công suất.
* Hướng dẫn giải
a.Khif=f
1
=50Hz
{
100
2 2
200
100 100 100 100 2
L
C
Z

Z
Z
ω π
= Ω
= Ω
⇒ = ⇒ ⇒ = + = Ω
Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là:

120 1,2
( )
100 2 2
U
I A
Z
= = =
Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện là:

2 2
1
1,2
( ) .100 72
2
P I R W= = =
Độ lêch pha của u và i trong mạch:
100
tan 1
100 4 4
L C
u i i
Z Z

R
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
−
−
= = = − ⇒ = − = − ⇒ =
Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là:

1,2cos(100 )
4
i t A
π
π
= +
b. Khi thay đổi f để P
2
= 2P
1
tức P
2
= 144W
Ta có:
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
1 1

144 144 ( ) 0
1
( )
U R
P I R L
C
LC
R L
C
ω ω
ω
ω
ω
= = ⇔ = ⇔ − = ⇒ =
+ −
Đây là trường hợp xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta tìm được:
4
1 1
50 2( )
2
1 10
2 .
2
f Hz
LC
π
π
π π
−
= = =

Hệ số công suất khi đó:
os 1
R
c
Z
ϕ
= =
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
***BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1: Cho mạch điện RLC;
30 2 os(100 )u c t V
π
=
.R thay đổi được. Khi mạch có
R = R
1
= 9Ω thì độ lệch pha giữa u và i là φ
1
. Khi mạch có R = R
2
= 16Ω thì độ lệch
pha giữa u và i là φ
2
. biết
1 2
2
π
ϕ ϕ
+ =
.

a. Tính công suất ứng với R
1
và R
2
b. Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R
1
, R
2
c. Tính L biết
4
10
2
C F
π
−
=
d. Tính công suất cực đại của mạch
Bài 2: Cho mạch điện RLC;
200 2 os(100 )u c t V
π
=
,
200 3R =
Ω;
4
10
4
C F
π
−

=
.L có thể
thay đổi được
a. Khi
2
L H
π
=
viết biểu thức của i tính P
b. Tìm L để U
Lmax
. Tính U
Lmax
c. Tính L để P
max
, Tìm P
max
Bài 3: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:
120 2 os(100 )u c t V
π
=
, R = 240Ω,
3, 2
L H
π
=
. Tìm C để:
a. I = I
max
, P = P

max
. Tính I
max
, P
max
. Tính U
L
khi đó.
b. U
C
= U
C max
. Tính U
C max
Bài 4: Một mạch điện xoay chiều RLC có R = 100Ω, L = 1/π(H) và C = 10-4/2π (F)
mắc nối tiếp. Đoạn mạch được mắc vào một hiệu điện thế xoay chiều có tần số f có
thể thay đổi. Khi hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần số f có
giá trị là bao nhiêu?
Bài 5: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch
gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều
chỉnh R thì tại hai giá trị R
1
và R
2
công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết
điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R
1
bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa
hai đầu tụ điện khi R = R
2

. Các giá trị R
1
và R
2
là:
Phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện xoay chiều
C. KẾT LUẬN
Trên đây là phân loại và phương pháp giải một số dạng toán cực trị trong mạch điện
xoay chiều, nó rất thuận tiện trong việc giảng dạy và truyền đạt của giáo viên, cũng
như Học sinh rất dễ tiếp cận và lĩnh hội để giải bài tập một cách có hiệu quả hơn. Đây
chỉ là một phần nội dung rất nhỏ so với kiến thức mênh mông rộng lớn của chương
trình vật lí phổ thông, vì vậy rất mong quý thầy cô đồng nghiệp chia sẽ bổ sung để cho
nội dung càng thêm phong phú và đạt hiệu quả cao nhất nhằm phục vụ cho công tác
dạy học trong tương lai.