VẬT LÝ SƠ CẤP PHẦN CƠ HỌC
Bài 1 : Một dây xích khối lượng M và chiều dài L được treo thẳng đứng, đầu dưới của xích tiếp
xúc với mặt cân. Thả cho xích rơi xuống mặt cân. Hỏi số chỉ của cân là bao nhiêu khi xích đã
rơi một đoạn có chiều dài là x xuống mặt cân? Bỏ qua kích thước của các mắc xích.
Bài 2: Một sợi dây được quấn quanh trục một khối trụ như hình P.1.2 . Có ma sát giữa dây và
khối trụ, hệ số ma sát trượt là µ; phần dây quấn vào khối trụ có hình dạng là một cung tròn với
số đo là θ
0
= π/3. Sợi dây có bề dày rất mỏng so với khối trụ. Một con mèo kéo một đầu dây với
lực kéo F, trong khi đó mười con chuột chỉ vừa đủ sức giữ cho dây không trượt với lực kéo tổng
cộng là f=F/10.
( Hình P.1.3)
a. Hỏi lực kéo nhỏ nhất cần thiết để giữ cho dây không trượt có phụ thuộc vào đường kính của
khối trụ không ?
b. Một con chuột nên quấn dây vào khối trụ thành cung tròn có số đo ∆ nhỏ nhất là bao nhiêu
để có thể kéo thắng con mèo trong trò chơi kéo dây này ?
Bài 3: Một cục nhựa hình lập phương đang trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang thì va
chạm với bức tường thẳng đứng, một trong các mặt của cục nhựa song song với bức tường. Hệ
số ma sát trượt giữa cục nhựa và tường là µ. Ban đầu góc hợp bởi vec tơ vận tốc cục nhựa với
tường là α. Hỏi sau khi va chạm, góc này là bao nhiêu? (xem hình P.1.3)
Bài 4 : Xét một quả banh bi-a đồng chất khối lượng m và bán kính R chuyển động trên mặt bàn
nằm ngang. Trọng lực tác dụng hướng từ trên xuống. Hệ số ma sát trượt giữa quả banh và mặt
bàn là µ, cho rằng không có sự tham gia của ma sát gây ra do chuyển động lăn của banh. Tại
thời điểm t=0, dùng một gậy chơi bi-a tác dụng vào banh một lực trong một khoảng thời gian
ngắn.
a) Điểm tiếp xúc giữa gậy và banh nằm trên "đường tròn xích đạo" và phương của lực tác dụng
đi qua tâm banh. Tìm thời điểm quả banh bắt đầu lăn không trượt. Vận tốc sau cùng của khối
tâm quả banh là bao nhiêu?
b) Để banh có thể lăn không trượt ngay sau khi tác dụng lực thì điểm tiếp xúc giữa gậy và
banh phải có độ cao h bằng bao nhiêu so với tâm quả banh? (xem hình P.1.4)

Bài 5: Một thanh mỏng, rắn có khối lượng M được đặt trên hai con lăn có trục đặt cách nhau
đoạn a. Ban đầu thanh được đặt không đối xứng ở trạng thái nghỉ như hình a
a) Cho rằng hai con lăn quay ngược hướng nhau. Hệ số ma sát trượt giữa thanh và con lăn là µ
Viết phương trình chuyển động của thanh và tìm độ dịch chuyển x (t) của khối tâm C của thanh
so với con lăn 1, cho x (0)= x
0
và x'(0)=0.
b) Bây giờ ta xét trường hợp hai con lăn quay theo hướng ngược lại so với câu trên, xem hình
b . Tìm lại độ dịch chuyển x (t) của khối tâm C, cho x (0)= x
0
và x'(0)= 0.

Bài 6 : Thiên nga và tôm phải dịch chuyển 1 cái chạn vừa dài ,vừa hẹp ,lại vừa thấp trên 1
quãng đường dài , hệ số ma sát giữa chạn và mặt đừong là µ =0,5 (hình vẽ P.1.6).Khối lượng
M của chạn là 150kg.Thiên nga có thể tạo ra lực lớn nhất là 700N, còn tôm có thể tạo ra lực tối
đa là 350N. tất nhiên, nếu kết hợp ,cả 2 có thể dịch chuyển cái hộp. Nhưng mỗi con lại nhất
định di chuyển cái chạn theo con đừong mình chọn , và chúng không thể nhất trí với nhau
được.Hãy chỉ ra cách giải quyết đối với mỗi con vật để chúng cóthể dịch chuyển cái chạn theo
hứong của mình chọn . chú ý: Các tên trong đề bài không phải là 1 sự trùng hợp ngẫu nhiên, nó
thể hiện khả năng của mỗi con vật trong việc giải quyết vấn đề (con tôm thì bò , con thiên nga
có thể bay)
Bài 7: Một chiếc xe bị sa lầy. Khi người lái xe cố dịch chuyển xe, anh ta đã làm bắn tóe bùn từ
vành của bánh xe có bán kính R quay với vận tốc dài V (với V>gR ).Bỏ qua sức cản của không
khí hãy chứng tỏ rằng không có bùn nào bắn lên cao hơn độ cao: R+(v
2
)/2g+(gR
2
)/(2v
2
) kể từ

mặt đất
Bài 8: Một chiếc xe trượt không ma sát xuống một cái dốc trơn và nhẵn được miêu tả bởi một
hàm theo độ cao h(x), hàm này có giá trị giảm khi x tăng từ 0 đến L. Đường dốc được kết nối
với một khung tròn có bán kính R. Gia tốc trọng trường có giá trị g không đổi và ngược hướng
với độ cao h
a) Nếu cho vận tốc bằng 0 tại điểm x=0, hỏi độ cao h
0
= h(0) có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu
để xe có thể trượt hết khung tròn mà không rời đường trượt? (Hình P.1.8)
b) Xét chuyển động trong đoạn 0 < x < L , phía trước khung tròn. Cho rằng xe luôn bám
đường trượt, chứng tỏ rằng vận tốc của xe theo phương x liên hệ với độ cao bởi công thức: x' =
0
2
2 ( ( ))
1 ( )
g h h x
dh
dt



c) Xét trường hợp
0
( ) 1 sin( )
2
h x h
L

 
 

 
 
. Chứng tỏ rằng thời gian trượt dốc từ điểm (h
0
,0) đến
điểm (0,L) có thể được biểu diễn theo công thức
0
. ( )
T L gh f a
 , trong đó a = πh
0
/(2L), hãy viết
f(a) dưới dạng 1 giá định xác định. Giá trị này là bao nhiêu trong trường hợp giới hạn h
0
>> L,
hãy giải thích ý nghĩa câu trả lời của bạn.

bài 9 : 1 vật khối lượng m được cột chặt vào đầu của 1 sợi dây.Vật dịch chuyển không ma sát
trên bàn,và dây được xuyên qua 1 lỗ nhỏ trên bàn (bỏ qua ma sát )( như hình vẽ P.1.9) , dưới đó
có 1 con chó kéo dây làm cho dây luôn bị căng. Ban đầu,vật chuyển động theo quỹ đạo tròn,với
động năng E . Dây đựoc kéo từ từ, cho đến khi bán kính của vòng giảm đi một nửa.tìm công mà
con chó đã thực hiện .
Bài 10 : Một đường hầm thẳng được đào từ New york đến San Francisco,khoảng cách giữa 2
bang là 5000km (đo trên mặt đất).1 chiếc xe lăn trên 1 đường ray sắt được thả tự do từ New
York , lăn trên suốt đoạn đường hầm tới San Francisco (Hình P.1.10)
a) Bỏ qua ma sát và sự quay của Trái đất,hỏi sau bao lâu thì nó đến nơi ? Gia tốc trọng trường
g = 9,80m/s
2
, bán kính Trái đất là R=6400Km
b) Giả sử rằng có ma sát tỉ lệ với vận tốc(nhưng vẫn bỏ qua sự quay của Trái Đất) .Hãy viết

phương trình quỹ đạo của xe.Tự đưa ra kí hiệu hợp cho hệ số tỉ lệ và kí hiệu cho khối lượng của
xe, hãy vẽ phác thảo dạng của quỹ đạo chuyển động theo thời gian .
c)bây giờ giả sử có tác dụng của sự quay.Hãy đánh giá độ lớn của lực li tâm và lực Coriolis
phụ thuộc vào lực hấp dẫn. Cho rằng New York và SanFrancisco đều ở cùng vĩ độ (xấp xỉ 40 độ
Bắc) .

Bài 11 : Tần số dao động của một sợi dây phụ thuộc độ dài L của nó , vào lực tác dụng lên mỗi
đầu dây T, và vào mật độ khối lượng dài của dây ρ. Dựa vào phép giải tích, hãy xác định sự phụ
thuộc đó .
Bài 12: Vệ tinh nhân tạo tự định hướng ổn định trên quỹ đạo dưới tác dụng của lực hấp dẫn của
Trái Đất lên vệ tinh (có dạng khác hình cầu) trên quỹ đạo tròn bán kính R. Xét một vệ tinh có
hình quả tạ gồm 2 vật khối lượng m, được nối với nhau bằng một thanh nhẹ ko khối lượng có
chiều dài 2l (2l < < R), thanh nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Sự định hướng của vệ tinh so với
trái đất được xác định bằng góc θ (Hình P.1.17)
a) Xác định góc θ ứng với vị trí cân bằng bền của vệ tinh.
b) Chứng minh rằng dao động nhỏ của vệ tinh quanh vị trí cân bằng bền có tần số góc bằng
3lần vận tốc góc của vệ tinh trên quỹ đạo.
Bài 13: Một vật có khối lượng m chuyển động trên đường tròn bán kính R dưới tác dụng của
lực hút xuyên tâm :
r
k
F e
r


 
a) Tìm điều kiện của $\alpha$ để có chuyển động tròn ổn định.
b) Ước tính tần số dao động nhỏ xuyên tâm của chuyển động tròn này là bao nhiêu?
Bài 14: Một vật khối lượng m
1

chuyển động với vận tốc đầu v
0
va chạm với hệ thống vật-lò xo
m
2
ban đầu ở trạng thái nghỉ nhưng có thể nén lại. Lò xo không khối lượng có hệ số đàn hồi là
k. Bỏ qua ma sát.

a) Hỏi độ nén cực đại của lò xo là bao nhiêu?
b) Sau một thời gian dài tính từ lúc va chạm, hai vật chuyển động theo cùng một hướng. Hỏi
vận tốc sau cùng V
1
và V
2
lần lượt của m
1
, m
2
là bao nhiêu?
Bài 15 : Một vật nhỏ khối lượng m chuyển động không ma sát bên trong một cái chén hình bán
cầu có bán kính R, trục của nó song song với vec tơ gia tốc trọng trường g. Xử dụng góc cực θ
(xem hình P.1.24) và góc phương vị φ để miêu tả vị trí của vật (xem như một chất điểm).
a) Viết phương trình La-grăng của chuyển động.

b) Tìm công thức tổng quát của mô men p
θ
và p
φ
.
c) Viết phương trình Hamilton cho chuyển động.

d) khai triển phương trình Hamilton cho chuyển động.
e) Bằng cách kết hợp các phương trình, hãy tìm ra một phương trình bậc hai khác của θ như
một hàm của thời gian.
f ) Cho θ = θ
0
và θ' =0, không phụ thuộc thời gian, tìm vận tốc (hướng và độ lớn)
g) Tại t=0, cho θ = θ
0
θ' =0 và φ' = 0, tính vận tốc tối đa của vật sau đó.
Bài 16. Một máy bay trực thăng cần một động cơ 100hp để có thể lơ lửng (100 hp=746W).Ước
lượng công suất tối thiểu cần thiết để giữ cho một mô hình máy bay nhỏ hơn mô hình này 10
lần lơ lửng (giả sử là chúng làm từ cùng vật liệu).
Bài 17. Một nhà du hành vũ trụ có khối lượng tổng cộng 110kg đang thực hiện một cuộc đi bộ
ngoài không gian thì động cơ của anh ta bị hỏng. Anh ta nhận ra rằng anh ta chỉ còn nối với con
tàu vũ trụ bằng một sợi dây có chiều dài L=100m. Lực căng tối đa mà sợi dây chịu được là 5N.
Hỏi anh ta có bị trôi dạt khỏi con tàu hay không. Giả thiết là độ cao của quỹ đạo con tàu là
không đáng kể so với bán kính Trái Đất R=6400km. Và giả thiết rằng phi hành gia và con tàu
luôn nằm trên một đường thằng nối từ tâm Trái Đất đến họ.( Hình P.1.13)

Bài 18. Một chất điểm thực hiện một chuyển động 2 chiều dưới ảnh hưởng của lực hướng tâm
được cho bởi thế năng V(r)=αr
p
+βr
q
. Tìm p, q sao cho chất điểm chuyển động dưới một quỹ
đạo có dạng r=c.θ
2
với c = const.
Bài 19. Một chất điểm có khối lượng m chuyển động với quỹ đạo tròn, bán kính R dưới ảnh
hưởng của lực hướng tâm

F( )
r

Tâm của lực C nằm tại một điểm trên vòng tròn. Hãy mô tả lực
này.(H .15)
Bài 20. a) Tìm lực hướng tâm khiến cho một vật chuyển động dưới quỹ đạo: r = a(1+ Cosθ)
b) Một vật có khối lượng m bị hút duy nhất bởi một lực có thế năng là U ~ r
-4
. Tìm tổng tiết
diện
mà vật này chiếm được khi đi từ vô cùng với vận tốc đầu
v

.
Bài 21. Xét một chất điểm thực hiện một chuyển động hai chiều giữa hai mặt phẳng phản xạ
hoàn
toàn với góc nhị diện là χ. Giả thiết khi vật phản xạ thì vận tốc của nó không đổi về độ lớn và
chiều
thì giống như phản xạ gương. Chất điểm bị hút đến gốc tọa độ bởi một lực có thế năng là:

 
3
U r
c
r
 
( c = const)( Hình P.1.19)

Chất điểm bắt đầu chuyển động ở khoảng cách R và nằm trên trục Ox so với gốc tọa độ và với
vận tốc

( , )
x y
v v v

. Giả thiết V
y
= 0, V
x
<0.
a) Xác định khoảng cách gần nhất giữa vật và gốc toạ độ.
b) Điều kiện nào thì vật sẽ đến được gốc toạ độ
c) Trong trường hợp nào nó sẽ đi ra vô cùng.
Bài 22. Tìm thời gian tối đa mà một sao chối C khối lượng m chuyển động theo một quỹ đạo
Parabol quanh Mặt Trời S trải qua khi đi phía trong quỹ đạo của Trái Đất E. Giả thiết quỹ đạo
Trái Đất là tròn và nằm trong cùng mặt phẳng với quỹ đạo của sao chổi.( Hình P.1.20)
Bài 23. Nơtron có thể dễ dàng xuyên qua những tấm chì dày, nhưng lại khó xuyên qua nước
hoặc các chất có thành phần Hydro cao. Chỉ sử dụng cơ học cổ điển, hãy giải thích hiệu ứng
này.( H.21)

Bài 24. Một quả bóng có khối lượng M chuyển động với vận tốc V
0
trên một mặt phẳng ngang
không ma sát chạm vào quả bóng đầu tiên của hệ hai quả bóng giống nhau, mỗi quả có khối
lượng m=2kg, được nối bởi một lò xo không khối lượng có độ cứng k =1kg/s
2
. Coi va chạm
xảy ra xuyên tâm, đàn hồi và tức thời.( H.23)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M sao cho quả cầu chạy đến va chạm với hệ hai quả cầu một lần
nữa.
b) Thời gian giữa hai lần va chạm là bao nhiêu.

Bài 25. Một vật bị ép chuyển động trên bề mặt nhẵn của một quả cầu bán kính R thì được
phóng theo phương ngang từ điểm có cùng độ cao với tâm quả cầu sao cho vận tốc góc của nó
so với trục là ω. Nếu ωR>>g, hãy chỉ ra rằng độ sâu tối đa z phía dưới độ cao của tâm mà quả
cầu đạt được là:
2
2
2
sin ( )
2
g t
z




Bài 26. Một vật có khối lượng M bị ép phải chuyển động trên một mặt phẳng ngang. Một vật
thứ hai có khối lượng m chuyển động trên đường thằng đứng. Hai vật được nối với nhau bằng
một sợi dây không khối lượng xuyên qua một cái lỗ trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua mọi ma sát.(
H.26)

a) Tìm phương trình Lagrange của hệ và dẫn ra phương trình chuyển động.
b) Chứng minh rằng quỹ đạo là ổn định đối với sự thay đổi nhỏ của bán kính và tìm tần số của
dao động nhỏ của hệ.
Bài 27. Một ống khói cao, mảnh, hình trụ có chiều cao L được đẩy nhẹ nhàng ra khỏi vị trí cân
bằng sao cho nó ngã về một bên, quay xung quanh đáy B đến khi nó bị gãy tại một điểm P. Chỉ
ra rằng giá trị có khả năng nhất cho khoảng cách $l$ từ P đến B là L/3. Giả thiết rằng ống khói
bị gẫy là do moment xoắn quá lớn và ống khói uốn cong rồi gãy.( H.27)
Bài 28. Một chiếc thang có khối lượng m và chiều dài 2
l
tựa vào một bức tường nhẵn và chân

cũng đứng trên một sàn nhẵn. Nếu thang bắt đầu chuyển động với góc ban đầu là α
0
thì góc
thang hợp với sàn khi rời khỏi tường là bao nhiêu.( H.28)

Bài 29. Một chất điểm khối lượng m được gắn vào một sợi dây dài, mảnh , không khối lượng.
Đầu còn lại của sợi dây được cột vào một hình trụ với bán kính R. Ban đầu sợi dây được quấn
chặt quanh hình trụ một vòng, và khối lượng m chạm vào hình trụ. Không có ngoại lực tác
dụng, trừ một xung lực lúc t=0 hướng ra ngoài theo phương bán kính để truyền cho m một vận
tốc ban đầu có độ lớn v
0
. Sau đó m chuyển động và tháo dần sợi dây ra. P là vị trí ban đầu của
m, và Q chỉ vị trí tức thời còn tiếp xúc giữa dây và khối trụ.( H.29a)
a) Tìm phương trình Lagrange và phương trình chuyển động trong hệ tọa độ suy rộng $\theta$
như là một hàm của thời gian, thoả mãn các điều kiện ban đầu.
b) Sử dụng phương trình trên, tìm moment động lượng góc của m đối với tâm của hình trụ.
Moment động lượng góc này có bảo hay không, tại sao. Năng lượng có được bảo toàn hay
không, vì sao.
c) Bây giờ ta xét trường hợp khác khi mà hình trụ trở nên rỗng và có khối lượng là M (cùng
bán kính là R), có thể quay tự do khi mà m chuyển động. Góc φ mới xác định vị trí P (vị trí mà
m đứng yên) được so với trục thằng đứng. Viết phương trình Lagrange trong hệ tọa độ suy rộng
θ và φ. Xác định hai đại lượng bảo toàn và biễu diễn chúng theo θ và φ.
d) Giải tìm θ. Hình trụ quay theo hướng nào.( H.29b)
Bài 30. Sáu thanh đồng chất có chiều dài bằng nhau được nối với nhau bằng những khớp không
ma sát tạo thành một hình lục giác đều và nằm trên bề mặt ngang không ma sát. Trung điểm P
của một thanh được truyền một vận tốc u vuông góc với thanh. Chứng minh rằng thanh đối diện
sẽ bắt đầu chuyển động với vận tốc v = u/10 ( H.30)

Bài 31. Một vật có khối lượng $m$ chuyển động trong một trường thế một chiều U(x)=A|x|
n

với
A=const. Tìm sự phụ thuộc của chu kỳ T vào năng lượng E theo n.
Bài 32. Giá của một con lắc đơn cứng khối lượng m quay xung quanh trục của nó với vận tốc
góc ω Góc giữa trục quay và con lắc là θ. Bỏ qua moment quán tính của giá và của thanh cứng
nối nó với vật m. Bỏ qua ma sát. Gia tốc trọng trường là g.( H.32)
a) Tìm phương trình vi phân cho θ.
b) Ở vận tốc góc ω
c
nào thì vị trí cân bằng tại θ = 0 là không bền.
c) Khi ω > ω
c
.Tìm giá trị của θ cho vị trí cân bằng bền.
d) Tìm tần số góc ω cho dao động nhỏ của hệ quanh vị trí này.
Bài 33. Xét một bộ điều chỉnh ly tâm trong một động cơ hơi nước. Hai quả bóng, mỗi quả có
khối lượng m được gắn bằng 4 cánh tay có khớp nối, mỗi cánh tay có chiều dài l và được gắn
vào hai thanh ngang để nối vào một thanh cứng thẳng đứng. Thanh ngang phía trên được gắn
chặt vào thanh thẳng đứng, thanh ngang phía dưới với khối lượng M có thể trượt lên xuống khi
mà hai quả cầu chuyển động ra vào. Hệ thanh cứng và quả bóng quay với vận tốc góc không đổi
ω.( H.33)

a) Thiết lập phương trình chuyển động, bỏ qua khối lượng của các cánh tay, thanh cứng thẳng
đứng và ma sát. Sử dụng khoảng cách giữa hai thanh ngang y như là một biến số.
b) Chứng minh rằng khi mà các quả bóng quay cân bằng, và:
21
1
M
g m

 
. độ cao z của thanh

ngang phía dưới ở phía trên vị trí thấp nhất của nó là:
0
2
2( )
21
n M g
z


 
c) Chỉ ra rằng tần số góc ω của dao động nhỏ của z quanh vị trí cân bằng z
0
là:
2
0
2
0 0
( ) sin
( 2 )sin ( ). os
n M g
m M lc


 



( với:
1
0

0
os (1 )
21
z
c


  )
Bài 34. Con lắc đơn kép bao gồm một quả nặng khối lượng m được treo bởi một sợi dây hoặc
thanh cứng không khối lượng chiều dài l và quả nặng thứ hai cùng khối lượng m được treo vào
quả cầu đầu tiên bằng thanh cứng như vậy và cũng có chiều dài l. ( H.34)


a) Viết phương trình Lagrange cho hệ với θ
1
, θ
2
< < 1.
b) Dẫn ra phương trình chuyển động. c) Tìm tần số dao động.
Bài 35. Một con lắc ba (triple pendulum) gồm các khối lượng αm, m và m được gắn vào một
sợi dây mảnh lần lượt ở các khoảng cách a, 2a và 3a từ điểm treo. ( H.35)
a) Xác định α sao cho tần số dao động của hệ bằng với tần số dao động của con lắc đơn chiều
dài a/2 và quả nặng khối lượng m.
b) Tìm mode dao động tương ứng với tần số này và nhận xét.
Bài 36. Ba quả cầu, mỗi quả có khối lượng m được nối liền với nhau bằng những lò xo giống
nhau không khối lượng và có độ cứng là k được đặt trong một vòng tròn nhẵn như hình vẽ. Cái
vòng
( H.36) được cố định trong không gian. Bỏ qua trọng lực và ma sát. Xác định tần số dao động tự
do của hệ.
Bài 37. a) Một máy dao động phi tuyến có thế V(x) được cho bởi công

thức:
 
2 3
1 1
V x
2 3
kx m x

 
với λ là tham số nhỏ. Tìm nghiệm của phương trình chuyển động theo bậc nhất của λ giả thiết t
= 0 thì x=0.
b) Giải thích theo nhiệt độ sự phụ thuộc của hệ số giãn nở vì nhiệt, nếu sự tương tác giữa các
nguyên tử trong chất rắn được mô tả bằng V(x) trong câu a).
Bài 38. Một đứa bé có khối lượng m trên một cái xích đu nâng trọng tâm của mình lên một
đoạn nhỏ b khi đi qua vị trí thẳng đứng và hạ trọng tâm của mình xuống một đoạn như vậy khi
ở vị trí ngoài cùng. Giả thiết dao động là nhỏ, tìm công thực hiện bởi đứa bé trong mỗi chu kỳ
dao động. Chứng minh rằng năng lượng dao động tăng theo hàm mũ theo dạng :
dE
E
dt

 và hãy
tìm α.
Bài 39. Một cánh cửa hình chữ nhật đồng chất khối lượng m với các chiều dài là a & b với b>a
(bỏ qua bề dày) quay với vận tốc góc ω không đổi quanh một đường chéo. Bỏ qua trọng lực.
CMR: cần tác động một moment quay:
2 2 2
2 2
( )
12( )

m b a
N
a b





, để giữ cho trục quay đứng yên.( H.39)

Bài 40. Một đồ chơi hình quả địa cầu quay tự do xung quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc ω.
Một con bọ bắt đầu di chuyển từ cực Bắc N xuống cực Nam S dọc theo một kinh tuyến với vận
tốc không đổi v. Trục quay của quả cầu được giữ cố định, M & R là khối lượng và bán kính của
quả cầu, moment quán tính đối với trục quay là:
2
2
5
I MR
 , m là khối lượng con bọ và T là thời
gian di chuyển từ N đến S. Chứng minh rằng trong suốt quá trình con bọ di chuyển, quả cầu
quay được một góc là:
0
2
2 5
R
M
v M m


 


. Sử dụng tích phân
sau:
2
2 2
2 2
0
2
( )
cos
dx
a b
a b x
a b


 




Bài 41: Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài 2L và có khối lựong M nằm trên hai gối đỡ A
và B khối tâm C của thanh nằm cách đều hai gối A và B (CA =CB =a) . áp lực trên mỗi gối
bằng P/2 . tính lượng thay đổi áp lực tại gối A tại thời điểm gối B bị gãy .

Bài 42: Một dây xích đồng chất dài L ,khối lựong M , nằm trên mặt bàn nhẵn . góc bàn được
coi như một phần tư vòng tròn,bán kính không đáng kể và hoàn toàn nhẵn . ban đầu dây xích
đựoc giữ yên ,có một đoạn l không nằm trên mặt bàn . hãy tính phản lực của góc bàn tác dụng
lên dây xích sau khi buông cho dây trượt .


Bài 43: Một bánh xe A có dạng đĩa tròn đồng chất ,có khối lựong 2m lăn không trựot trên mặt
phẳng ngang. Trục C của bánh A nối với vật B nhờ lò xo có độ cứng k ,vật B nằm trên mặt
phẳng ngang ,nhẵn .khối lượng của vật B là m .tại thời điểm đầu ,cả hệ nằm yên và lò xo dãn
một đoạn l . xác định vận tốc của trục C tại thời điểm độ biến dạng của lò xo bằng 0 .bỏ qua ma
sát lăn .
Bài 44 : Một ô tô chở thùng nứoc không nắp , hình trụ tròn bán kính R , đang chuyển động
thẳng đều trên đừong nằm ngang với vận tốc V . mặt thoáng của nứoc cách mặt trên của thùng
là h .
a . tính đoạn đường tối thiểu S
0
mà xe dừng hẳn lại sau khi phanh với lực không đổi để cho
nứoc không tràn ra ngoài .
b. nếu phanh gấp (tức là đoạn đừong hãm nhỏ hơn đoạn đừong tính trên câu a S < S
0
)thì thể
tích lượng nước tràn ra ngoài là bao nhiêu ?
Bài 45 : Xem một hành tinh đựoc cấu tạo bởi vật chất có mật độ đều . cho một hành tinh có
khối lựong M và thể tích V , có hình dạng bất kỳ . hỏi gia tốc trọng trừong ở bề mặt hành tinh
lớn nhất là bao nhiêu ? lúc đó thì hành tinh có hình dạng gì?
Bài 46 : Chiếc xe 2 bánh . bánh xe 1 lăn không trựot trên mặt phẳng nằm ngang , còn bánh xe 2
lăn có trựot . bán kính mỗi bánh xe đều bằng R . khối lựong tưong ứng mỗi bánh xe là m
1
và m
2

. bánh 1 chịu tác dụng của moment lực M , còn tâm bánh 2 chịu tác dụng của lực F không đổi
,nằm ngang hệ số ma sát trựot giữa bánh xe và mặt đừong là k . bỏ qua ma sát lăn và khối
lựong của khung 3 . các bánh xe xem như đĩa tròn đồng chất . xác định gia tốc của khung và gia
tốc góc của các bánh xe


Bài 47 :

Một cái hộp hình chữ nhật dựa vào một bức tường và sàn rất nhẵn như hình vẽ. Nó bắt đầu trượt
xuống. Khi nào thì hộp này sẽ mất tiếp xúc với bức tường? (Giả thiết là các kích thước của hộp
là đã biết).
Bài 48 : Một con lắc được treo trên trần nhà và được gắn vào một lò xo gắn vào sàn ở ngay
dưới điểm treo con lắc.Khối lượng quả nặng là m và chiều dài của con lắc là L.Độ cứng của lò
xo là k. Chiều dài lò xo không bị biến dạng là L/2 và khoảng cách từ trần nhà đến sàn nhà là
1.5L. Con lắc được kéo về một bên và làm một góc θ so với phương thẳng đứng. Sau đó nó
được thả ra.Hãy viết biểu thức vận tốc của quả nặng m khi mà θ=0
Bài 49 :

Một vận động viên leo núi leo lên một núi băng có hình chóp. Anh ta làm một sợi dây thòng
lọng không có "nút chạy" và ném qua đỉnh của ngọn núi như hình vẽ. Nếu ngọn núi đủ dốc, anh
ta sẽ lên tới đỉnh, nếu không thì sợi dây sẽ tuột khỏi đỉnh.Hãy tìm độ dốc tới hạn của ngọn núi.
Bài 50 : một quả cầu rắn có bán kính R và khối lựong riêng d ,đựoc treo vào một lò xo có độ
cứng K và đặt trong một chất lỏng trong suốt có khối lựong riêng d
0
,lò xo bị kéo một đoạn nhỏ
,quả cầu bắt đầu dao động .Sự dao động này có dừng lại không , vì sao ?
Bài 51:

Một tấm ván mỏng được đặt trên đỉnh của một bán trụ nằm ngang. Nếu tấm ván nghiêng nhẹ,
nó sẽ bắt đầu dao động. Tìm chu kì dao động . Cho rằng khối lượng và kích thước của các vật
đã biết.
Bài 52 : Một vật nhỏ tích điện bắt đầu chuyển động với vận tốc V
0
song song với 1 bản kim loại
rộng vô hạn tích điện cùng dấu với vật nhỏ.Điện trường E do bản tạo ra vuông góc với mặt bản.
Chuyển động của vật nhỏ có thể miêu tả theo hình parabon; sau một thời gian vật nhỏ đạt được

vận tốc V
1
theo phương thẳng đứng.
Bài 53 : Những thiên thạch rơi vào trái đất trong 1 tỉ năm nữa có ảnh hưởng (chồng chất ) gì
đến độ dài của ngày? Nó có trở nên dài ra hay ngắn lại ko? Sự thay đổi là bao nhiêu?
Bài 54 :

Một vật bắt đầu trượt không ma sát (từ trạng thái nghỉ) xuống một ngọn đồi có độ cao h. Tại
thời điểm ban đầu vật chỉ có thế năng, ko có động năng. Theo sự bảo toàn năng lượng :
mgh=
2
2
mv
vận tốc của vật ở chân đồi là:
2
v gh
 . Bây giờ xét quá trình trên trong hệ qui chiếu
chuyển động với vận tốc V sang phải so với mặt đất. Trong hệ qui chiếu này, lúc đầu vật có thế
năng mgh và động năng
2
2
mv
, cuối quá trình chuyển động cả hai dạng năng lượng trên đều
không còn. Năng lượng đã biến đi đâu? Cho biết chi tiết phần năng lượng mất đi là bao nhiêu.
Bài 55 : Một quả cầu đồng chất nổi trong một ly nước. Nó có thể cách trục đối xứng của ly
nước một khoảng bất kỳ (hình trên).Quả cầu sẽ ở vị trí nào nếu như ly nước quay với vận tốc
góc không đổi quanh trục của nó(hình phải)?
Bài 56 :

Một hòn gạch rơi từ độ cao 1m chạm vào một quả bóng tennis và nảy lên đến độ cao xấp xỉ 1m.

(Chúng ta giả thiết là khối lượng của quả bóng tennis là rất nhỏ so với hòn gạch. Va chạm xem
như đàn hồi , bỏ qua sự mất mát năng lựơng).Hỏi quả bóng tennis sẽ nảy lên đến độ cao nào?
Bài 57 : Hai con lắc có khối lượng m như nhau được nối với nhau bởi một lò xo có độ cứng là
k như hình vẽ. Ciều dài của con lắc bên trái là l trong khi chiểu dài của con lắc bên phải là l+ x,
(nó có thể thay đổi ) .Ở thời điểm ban đầu thì con lắc phải ngắn hơn con lắc trái (x<0). Kéo con
lắc trái lệch đi rồi thả ra. Hệ bắt đầu dao động. Bây giờ ta tăng dần chiều dài của con lắc phải
cho đến khi nó dài hơn con lắc trái. Mô tả chuyển động của hệ sau quá trình này kết thúc.( Hình
trên)
Bài 58 : Bằng cách đặt một viên gạch này lên một viên gạch khác ,ta có thể tạo được một trạng
thái như hình vẽ . khoảng cách từ mép của viên trên cùng đến mép của viên dưới cùng là h . ta
có thể làm cho h là tùy ý được không ? nếu không thì h có giá trị tối đa là bao nhiêu ?

Bài 59 : Tại sao khoảng thời gian từ thu phân đến xuân phân ở bắc bán cầu lại 6 ngày ngắn hơn
khoảng thời gian từ xuân phân đến thu phân ?
Bài 60 :

Một vật bắt đầu trượt dọc theo đường cong như trên hình vẽ. Vật bắt đầu trượt từ A với hệ số
ma sát k. Trình bày 1 phương pháp để xác định vị trí điểm B mà tại đó vật dừng lại.
bài 61 : Một con cá (hình bên trên) bơi bằng cách quạt đuôi qua trái, qua phải, trong khi một
sinh vật (hình bên phải) thì di chuyển bằng cách xoắn tròn đuôi của nó (hình vẽ). Hỏi tại sao
sinh vật không thể bơi giống như con cá ?
Bài 62 :

Một ống khối cao có chiều rộng là w, chiều cao là h bắt đầu đổ. Ống khối gãy tại 1 điểm nào đó
trên thân như hình (b). Hỏi ống khối bị gãy tại điểm có độ cao là bao nhiêu ?
bài 63 : Khi bạn ném một hòn đá sướt trên mặt nước, nó sẽ nẩy lên một vài lần trước khi chìm
xuống nước. Bạn có thể tăng số lần nẩy lên bằng cách thay đổi góc của vecto vận tốc hoặc độ
lớn vận tốc của hòn đá tại điểm ném được không ? Bạn có thể tăng số lần nẩy lên bằng cách
chọn một giá trị của khối lượng hoặc một hìnhdạng đặc biệt nào đó của hòn đá được không ?
Hỏi có tồn tại 1 giới hạn về số lần nẩy lên của hòn đá ko?

bài 64: Một quả cầu đặc ,đồng chất , lăn không trượt trên một chiếc bàn đang quay đều . quả
cầu chuyển động theo một quỹ đạo tròn ( đối với hệ quy chiếu phòng thí nghiệm ) . hãy chứng
minh tần số góc của chuyển động tròn của quả cầu bằng 2/7 lần tần số góc quay của bàn .
bài 65 : Có một khối cầu đồng chất khối lượng M và bán kính R , được thả cho chuyển động tự
do trên một mặt bàn trơn nhẵn , dưới tác dụng của trường trọng lực g xem là đều . Tại thời điểm
khối cầu đang quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc $\omega$ , ta chạm nhanh và
nhẹ vào quả cầu , làm cho trục quay của nó bị đảo với vận tốc góc $\phi$ , hãy xác định độ lớn
của$ \phi$
Bài 66: Hạt cườm có khối lượng m , ban đầu được đặt tại đỉnh của một vòng tròn có khối lượng
M và bán kính R.kích thích nhẹ cho 2 hạt cườm trượt về hai bên , tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số
m/M , để trong quá trình 2 hạt cườm trượt xuống thì vòng tròn bị nảy lên

Bài 68 : Vòng xoắn lò xo có bán kính r, khoảng cách giữa 2 vòng là d. 1 hạt nhỏ khối lượng
trượt trong vòng và sau 1 khoảng thời gian thì đạt được vận tốc v không đổi. Tính hệ số ma sát.
Bài 69: Cho hệ như hình Trên. 2 quả cầu có khối lượng m, thanh ngang có chiều dài l, thanh
dọc có chiều dài 3l và 2 thanh đều không có khối lượng. Dùng đinh đính hệ vào tường và hệ có
thể xoay không ma sát quanh pivot. Tính lực do thanh tác dụng lên pivot ngay lập tức sau khi ta
thả tay.
Bài 70: Bắn 2 viên đạn từ 1 khẩu súng vs khối lượng khác nhau và lực giống nhau lên 1 mp
nghiêng theo cùng phương mpn, hỏi viên nào chạm trước.

Bài 71: cho 2 bức tường thẳng đứng cách nhau 1 khoảng l.Một quả bóng được ném lên từ điểm
O chính giữa của 2 bức tường này với vận tốc ban đầu là v
0
.Sau khi va chạm hoàn toàn đàn hồi
1 lần với 2 bức tường thì nó lại trở về đúng vị trí cũ,tìm góc ném lên?( Hình vẽ trên)
Bài 72: Cơ học Hình trụ đặc đồng chất khối lượng m bán kính R nằm trên mặt phẳng nằm
ngang và tì vào tường . Tại độ cao OC= R/2 có gắn một vật nặng khối lượng 2m . Ban đầu hệ
chiếm vị trí cân bằng không bền và được kích thích chuyển động bằng cách kéo lệch một góc
rất nhỏ . Hãy xác định góc φ khi trụ rời khỏi tường . Bỏ qua mọi ma sát và kích thước vật nặng .

Bài 73: Con lắc eliptic cấu tạo bởi con trượt A và thanh đồng chất B . A khối lượng m có thể
trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang . Thanh B chiều dài 2
l
khối lượng 3m có thể
quay không ma sát quanh trục nằm ngang . Ban đầu thanh ở vị trí nằm ngang và buông nhẹ cho
chuyển động . Xác định sự phụ thuộc vận tốc góc của thanh vào góc quay α.