Bài 3. ƯỚC LƯỢNG
Ước lượng tham số. Có thể phát biểu
tổng quát bài toán ước lượng như sau:
Cho biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật
phân phối xác suất đã biết, nhưng chưa biết
tham số nào đó (chẳng hạn: kỳ vọng;
phương sai hay tỷ lệ)
θ
Ta phải xác định giá trị của dựa
trên các thông tin thu được từ mẫu quan sát
x
1
; x
2
;…; x
n
của X.
θ

Quá trình xác định được gọi là quá
trình ước lượng tham số.
θ
Có hai loại ước lượng: ước lượng điểm
và ước lượng khoảng.
3.1. Ước lượng điểm của tham số :
θ
3.1.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng:
Dùng trung bình mẫu để ước lượng cho
kỳ vọng (hay trung bình) của đám đông
3.1.2. Ước lượng điểm cho phương sai:

Dùng phương sai mẫu hay phương sai hiệu chỉnh
mẫu để ước lượng cho phương sai của đám đông

3.1.3.Ước lượng điểm cho tỷ lệ hay xác suất
Tần suất dùng ước lượng điểm
cho tỷ lệ hay xác suất của biến cố [ X=x
i
]
i
i
n
f
n
=
Ví dụ: Điều tra điểm môn Toán của lớp
KT3. Người ta chọn ngẫu nhiên 30 sinh
viên và được kết qủa sau:5;7; 8; 9; 10; 5; 3;
6; 1; 2; 9; 10; 2; 8; 7; 7; 8; 4; 3; 7; 2; 8; 5;
3; 9; 6; 6; 6; 9; 1.
Hãy ước lượng điểm trung bình và
phương sai của lớp. Tỷ lệ số sinh viên đạt
điểm 5.

3.2. Ước lượng khoảng:
3.2.1. Định nghĩa 1:
Khoảng được gọi là khoảng
ước lượng của tham số với độ tin cậy
nếu
.
1 2

( ; )
θ θ
θ
1
α
−
1 2
p[ ] 1
θ θ θ α
< < = −
3.2.2. Khoảng ước lượng cho kỳ vọng:
Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối
chuẩn với kỳ vọng a, phương sai , trong
đó a chưa biết.
2
σ

Từ một mẫu quan sát được x
1
; x
2
; ; x
n
.
Bài toán đặt ra là tìm khoảng tin cậy
cho a với độ tin cậy cho trước.
1 2
( ; )
θ θ
1

α
−
Lời giải:
Trường hợp I: đã biết.
2 2
0
σ σ
=
1 2
a
θ θ
< <
0 0
1 2
X t ; X t
n n
α α
σ σ
θ θ
= − = +
Trong đó: , tra bảng B.
1
(t )
2
α
α
ϕ
−
=
t

α

Trường hợp II: chưa biết.
2
σ
Thay phương sai hiệu chỉnh.
n 1
S
σ σ
−
= =
a) Nếu mẫu
n 30≥
Công thức như trên.
Thay phương sai hiệu chỉnh,
tra bảng C.
n 1
S
σ σ
−
= =
b) Nếu mẫu
n 30<
n 1
t t
α α
−
=

Ví dụ 1: Điều tra doanh thu trong một tháng

của những hộ kinh doanh một loại sản
phẩm ta có bảng số liệu sau.
X (triệu) 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 12.0
n
i
(số hộ) 10 15 20 30 15 10
Hãy ước lượng doanh thu trung bình
trong một tháng của một hộ kinh doanh loại
sản phẩm nói trên với độ tin cậy 95%. Giả
sử số doanh thu là biến ngẫu nhiên tuân
theo luật phân phối chuẩn.

Giải:
2
n 100 30,
σ
= ≥
chưa biết.
Đây là trường hợp II a). Với số liệu trên thì
ta tính được:
n 1
X 11.755, S 0.1438
σ
−
= = =
Độ tin cậy . Từ đó
1 0.95
α
− =
1

(t ) 0.475 t 1.96
2
α α
α
ϕ
−
= = ⇒ =
(Tra bảng B)

0
1
X t
n
α
σ
θ
= − =
0.1438
11.75 1.96 11.7268
100
− × =
0
2
X t
n
α
σ
θ
= + =
0.1438

11.75 1.96 11.7831
100
+ × =
Vậy kỳ vọng (doanh thu trung bình)
trong một tháng của một hộ nằm trong
khoảng (11.7268; 11.7831) với độ tin cậy
95%.
Ví dụ 2: Một lò bánh muốn ước lượng
trọng lượng trung bình của số bột dùng
trong ngày, (Giả sử lượng bột tuân theo luật

phân phối chuẩn). Với kết qủa thống kê của
14 ngày ta có ước lượng điểm của trọng
lượng bột trung bình là 17.3 kg và S=4.5
kg.
Hãy xây dựng khoảng tin cậy 99% cho
trọng lượng bột trung bình dùng trong ngày
Giải:
2
n 14 30,
σ
= <
chưa biết.
Đây là trường hợp II b). Ta có
n 1
X 17.3 kg, S 4.5kg
σ
−
= = =
Độ tin cậy . Từ đó

1 0.99
α
− =

0.01
α
=
n 1 13
0.01
t t 3.012
α
−
= =
Tra bảng C
n 1
1
S
X t
n
α
θ
−
= − =
4.5
17.3 3.012 13.677
14
− × =
n 1
2
S

X t
n
α
θ
−
= + =
4.5
17.3 3.012 20.922
14
+ × =
Vậy trọng lượng bột trung bình trong một
ngày phải dùng là (13.677; 20.922) với độ
tin cậy 99%.

Ví dụ 3: Một phân xưởng muốn ước lượng
thời gian trung bình để sản xuất 1 ram giấy,
giả sử lượng thời gian đó là đại lượng ngẫu
nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với độ
lệch chuẩn phút.
0.3
σ
=
Trên một mẫu gồm 36 ram thời gian
trung bình tính được là 1.2 phút/ram .
Hãy ước lượng khỏang thời gian trung
bình để sản xuất 1 ram giấy với độ tin cậy
95%.
Giải:

2 2

0.3
σ
=
đã biết.
Đây là trường hợp I. Với số liệu trên thì ta
có: phút.
X 1.2=
Độ tin cậy . Từ đó
1 0.95
α
− =
1
(t ) 0.475 t 1.96
2
α α
α
ϕ
−
= = ⇒ =
(Tra bảng B)
0
1
X t
n
α
σ
θ
= − =
0.3
1.2 1.96 1.102

36
− × =
0
2
X t
n
α
σ
θ
= + =
0.3
1.2 1.96 1.298
36
+ × =

Vậy khỏang thời gian trung bình để sản
xuất 1 ram giấy là (1.102 phút; 1.298 phút)
với độ tin cậy 95%.
3.2.3. Định nghĩa 2: Khỏang ước lượng
1 2
a
θ θ
< <
0 0
1 2
X t ; X t
n n
α α
σ σ
θ θ

= − = +
0
t
n
α
σ
ε
=
Đại lượng được gọi là độ chính xác
của trung bình a.

Nếu kích thước mẫu vẫn giữ nguyên
thì khi độ tin cậy tăng , độ chính xác
sẽ giảm
t
α
Z
ε
]
Ví dụ 4: Trở lại ví dụ 3 ở trên. Nếu muốn
độ chính xác tăng gấp đôi mà độ tin cậy vẫn
không đổi thì cần điều tra một mẫu có kích
thước tối thiểu là bao nhiêu ?
Giải: Với kết qủa ở trên thì độ chính xác là
0.3
1.96 0.098
36
ε
= × =
. Độ chính xác mới là

0.098
0.049
2 2
ε
ε
′
= = =

t 0.049
n
α
σ
ε
′
= =
0.3
1.96 0.049
n
⇒ =
144n⇒ =
Vậy mẫu tối thiểu là 144 ram.
3.2.4. Khỏang ước lượng cho tỷ lệ:
Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo
luật phân phối nhị thức với thành công A
chưa biết tỷ lệ. Bài tóan đặt ra là từ một
mẫu quan sát cho trước hãy ước lượng tỷ lệ
của A với độ tin cậy cho trước.
1
α
−

Giải:

Khỏang ước lượng tỷ lệ của A là:
1 2
p p p< <
1 2
(1 ) (1 )
. , .
n n n n
n n
f f f f
p f t p f t
n n
α α
− −
= − = +
f
n
là tỷ lệ thực nghiệm của mẫu.
t
α
tra bảng B.
Ví dụ 1: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm
của một Xí nghiệp người ta kiểm tra 400
sản phẩm thì thấy có 5 sản phẩm không đạt
yêu cầu. Hãy tìm khỏang ước lượng tỷ lệ
cho số sản phẩm không đạt yêu cầu với độ
tin cậy 90% .

Giải:

5 1
0.0125, ( ) 0.45 1.65
400 2
n
f t t
α α
α
ϕ
−
= = = = ⇒ =
1
(1 )
.
n n
n
f f
p f t
n
α
−
= −
0.0125(1 0.0125)
0.0125 1.65. 0.00334
400
−
= − =
2
(1 )
.
n n

n
f f
p f t
n
α
−
= +
0.0125(1 0.0125)
0.0125 1.65. 0.02166
400
−
= + =
Vậy tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu
năm trong khỏang (0.00334; 0.02166) với
độ tin cậy 90% .

Ví dụ 2: Phỏng vấn 400 người ở một khu
vực có 300 000 người thì thấy có 240 người
ủng hộ dự luật A. Với độ tin cậy 95% hãy
ước lượng số người ủng hộ dự luật A trong
khu vực.
Giải:
240 1
0.6, ( ) 0.475 1.96
400 2
n
f t t
α α
α
ϕ

−
= = = = ⇒ =
1
(1 )
.
n n
n
f f
p f t
n
α
−
= −
0.6(1 0.6)
0.6 1.96. 0.552
400
−
= − =
2
(1 )
.
n n
n
f f
p f t
n
α
−
= +
0.6(1 0.6)

0.6 1.96. 0.648
400
−
= + =

Vậy tỷ lệ người ủng hộ dự luật A là
0.552 < p < 0.648
Vậy có từ (0.552 * 300 000=165 600 người
đến 0. 648 * 300 000=194 400 người) ủng
hộ dự luật A với độ tin cậy 95%.
BÀI TẬP


4/Tại một nông trường, để điều tra trọng
lượng của một loại trái cây, người ta cân
thử một số trái cây và được kết quả cho
trong bảng sau
X
gam
45 50 55 60 65 70 75 80
n
i
8 13 15 25 28 26 20 12
Giả sử trọng lượng loại trái cây này tuân
theo luật phân phối chuẩn.

1) Ước lượng trọng lượng trung bình của
loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy
95%.
2) Để ước lượng trọng lượng trung bình của

loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy
95%, và độ chính xác 0.20g thì cần cân
thêm bao nhiêu trái cây nữa ?
3) Người ta qui ước những trái cây có trọng
lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II. Hãy
ước lượng tỷ lệ trái cây loại II với độ tin
cậy 98%.

3.2.5. Khoảng tin cậy cho phương sai:
Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo
luật phân phối chuẩn với kỳ vọng a;
phương sai chưa biết. Bài toán đặt ra là
từ một mẫu quan sát được x
1
; x
2
; ; x
n
hãy
tìm khoảng ước lượng cho với độ tin
cậy cho trước.
2
σ
2
σ
1
α
−
Giải:
Khoảng ước lượng cho phương sai

có hai trường hợp:
2
σ

a) Trường hợp đã biết kỳ vọng a:
2 2
2
2 2
n n
nS nS
1
2 2
σ
α α
χ χ
< <
   
−
 ÷  ÷
   
$ $
b) Trường hợp chưa biết kỳ vọng a:
2 2
2
2 2
n 1 n 1
(n 1)S (n 1)S
1
2 2
σ

α α
χ χ
− −
− −
< <
   
−
 ÷  ÷
   
Trong đó tra bảng D.
2
( )
n
χ α