Chơng I
Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do


Đ1.1. Dao động tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do
1.1.1. Dao động tự do không cản
Xét hệ một bậc tự do, lực tác dụng lên hệ có thế. Toạ độ suy rộng xác định vị trí cơ hệ
là q. Phơng trình Lagrăng II có dạng:
qq
T
q
T
dt
d


=

Với dao động nhỏ thì:
2
2
1

= qaT;
2
cq
2
1
= : Thay vào phơng trình trên và rút gọn,
ta đợc: (1-1)
0qkq
2
=+

Trong đó:
a
c
k =
gọi là tần số vòng (riêng) của dao động, đơn vị thờng dùng rad/s,
nó phụ thuộc vào tính chất của hệ (khối lợng và độ cứng).
Phơng trình (1-1) là phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính
một bậc tự do.
NTQ của (1-1) tìm đợc ở dạng:
q = C

1
coskt + C
2
sinkt (1-2)
Đặt: C
1
= Asin; C
2
= Acos
Ta viết đợc nghiệm (1-2) dới dạng biên độ:
q = Asin(kt +
) (1-3)
ở đây:
2
2
2
1
CCA += là biên độ dao động; (kt +) là pha dao động; là pha ban đầu;
k là tần số vòng (tần số dao động riêng) của hệ.
Chu kỳ dao động T tính theo công thức:
c
a
2
k
2
T =

=
(1-4)
Gọi f là số dao động trong một đơn vị thời gian (tần số dao động), khi đó:


a
ck
T
f
2
1
2
1
===
(1-5)
Các hằng số A và
đợc xác định từ các điều kiện ban đầu. Giả sử tại t = 0: q(0) = q
0

và ta nhận đợc:
0
q)0(q

=
2
2
0
2
0
k
q
qA

+=

và
0
0
q
kq
arctg

=
. Do đó:

14










++=

0
0
2
2
0
2
0

q
kq
arctgktsin
k
q
qq
(1-6)
Nh vậy, dao động nhỏ tự do của hệ tuyến tính một bậc tự do là dao động điều hoà.
Trong thực tế, việc xác định tần số riêng k là nhiệm vụ quan trọng của bài toán nghiên
cứu dao động tự do. Bảng 2 thống kê một số công thức đối với k của một số hệ đơn giản.
Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của bài toán trên mặt phẳng pha (hệ tọa độ dịch chuyển -
vận tốc). Tại mỗi thời điểm trạng thái của hệ đợc đặc trng bằng dịch chuyển q và vận tốc
. Ta có trong trờng hợp khảo sát:

= qv





+==
+=

)ktcos(Akqv
)ktsin(Aq
(1-7)
Tập hợp các phơng trình này có thể khảo sát nh quỹ đạo pha cho ở dạng thông số.
Để nhận đợc phơng trình quỹ đạo pha cần khử t từ hệ (1-7) ta đợc:
1
k

A
v
A
q
22
2
2
2
=+ (1-8)
Nghĩa là phơng trình Ellíp (Hình 11a). Điểm biểu diễn ban đầu (từ đó chuyển động
đợc bắt đầu) tơng ứng với điều kiện đầu q(0) = q
0
và . Khi thay đổi điều kiện
ban đầu quỹ đạo pha biểu diễn trên Ellíp khác. Tập hợp trạng thái có thể của hệ đợc mô tả
bằng hệ các Ellíp (Hình11). Gốc toạ độ tơng ứng với trạng thái cân bằng của hệ (q
0
=0 và
). Điểm này là điểm kỳ dị và gọi là tâm.
0

q)0(q

=
0q
0
=



v

q
O
q
0
, v
0

O
q
v


Hình 11

Bảng 2: Tần số riêng của một số mô hình dao động


Stt Mô hình dao động Phơng trình k
2
1
Hệ khối lợng lò
xo đơn giản

0=+

x
m
C
x


(q = x)
m
C

x
m
C

15
2
Hệ khối lợng lò
xo trọng trờng

C

M
y


0=+

y
m
C
y
(q = y)
m
C

3 Con lắc toán học

L

O

0=+

L
g

(q = )
L
g

4 Con lắc vật lý

C

a
O

0
J
mga
O
=+


(q =

)

O
J
mga

5 Bàn quay


J
O
C

0
J
C
O
=+


(q = )
O
J
C

6
Hệ khối lợng vắt
qua ròng dọc

O
r
m

1
C


0y
m
C
rm
J
1
1
y
1
2
1
O
=
+
+


(q = y)
1
2
1
O
m
C
rm
J

1
1
+

7 Cơ cấu gõ nhịp


C
O
m
L

0
J
mgLC
O
=

+


(q = )
O
J
mgLC

8 Hệ con lăn lò xo
0x
m
C

mr
J
1
1
x
2
C
=
+
+


(q = x)
m
C
mr
J
1
1
2
C
+

9
Con lăn trên quỹ
đạo tròn

0
L
g

mr
J
1
1
2
C
=
+
+


(q = )
L
g
mr
J
1
1
2
C
+

m
m
J
O


y
x

C

O
r
J
m
C
L


J
C
C
m
r

16
10
Nửa đĩa tròn trên
mặt phẳng



r
C
m
r
C

0

)rr(mJ
mgr
2
CC
C
=
+
+

(q = )
m)rr(J
mgr
2
CC
C
+


1.1.2. Dao động tự do có cản.
ở trên ta coi sự hao tán năng lợng trong dao động không xảy ra và thiết lập đặc tính
không tắt dần của dao động tự do. Tuy nhiên các dao động gặp trong thực tế là tắt dần, do:
ma sát trong các bộ phận giảm chấn, phanh hãm, tiếp xúc với môi trờng xung quanh v.v
Giả sử lực tác dụng lên hệ ngoài lực có thế còn có lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất
vào vận tốc. Khi đó phơng trình Lagrăng II có dạng:







=















q
qq
T
q
T
dt
d

Với dao động nhỏ: T =
2
2
1

qa

;
2
2
1
cq
=
;
2
2
1

= qb
. Thay vào phơng trình và rút
gọn, ta đợc:
02
2
=++

qkqnq (1-9)
ở đây:
a
b
n
=2 ,
a
c
k
=
2


Phơng trình (1-9) là phơng trình vi phân mô tả dao động nhỏ tự do tắt dần của hệ
tuyến tính một bậc tự do. NTQ của (1-9) tìm đợc dới dạng: . Trong đó
đợc xác
định từ phơng trình đặc trng sau:
t
eq

=

2
+ 2n + k
2
= 0 (1-10)
Phơng trình (1-10) cho hai nghiệm số:
22
21
knn
,
= (1-11)
Ta khảo sát ba trờng hợp:
1.1.2a. Trờng hợp 1: n < k (lực cản nhỏ). Trong trờng hợp này phơng trình đặc
trng có nghiệm phức:

1
222
1121
=== i;nkk;ikn
,

Tích phân tổng quát của phơng trình (1-9) có dạng:

(
)
tksinCtkcosCeq
nt
1211
+=

(1-12)
Hay viết ở dạng biên độ: (1-13) )tksin(Aeq
nt
+=

1

17
Khi xét đến điều kiện đầu t = 0: q(0) = q
0
, Ta có:
0
0

= q)(q












+

==







+
+=+=


0
0
22
0
2
1
22
2
0
0
2
0
2

2
2
1

nqq
nkq
arctg
C
C
arctg;
nk
nqq
qCCA
Vậy:










+

+








+
+=



nqq
nkq
arctgtksine
nk
nqq
qq
nt
0
22
0
1
22
2
0
0
2
0
(1-14)
ở đây:
22
1

nkk = gọi là tần số dao động tắt dần. Chu kỳ dao động tắt dần đợc
xác định bằng:
22
1
1
nk
2
k
2
T


=

=
(1-15)
Với n khá nhỏ ta viết đợc:















+=














+









=
22
2
1

2
1
1
2
1
1
2
1
k
n
T
k
n
k
k
n
T
T
(1-16)
Nghiệm (1-13) của phơng trình (1-9) chỉ ra rằng: Độ lệch A
nt
e của hệ có cản giảm
theo thời gian với quy luật hàm số mũ. Nó tiệm cận tới không và do đó dao động là tắt dần
(Hình 1-1).

t
O

q


y

y
1
T
1
T
1






Hình 1-1

Trong thực tế để đặc trng cho sự giảm biên độ ngời ta thờng dùng một đại lợng,
ký hiệu
và gọi là độ suy giảm Lôgarit của dao động:
1
2

2
1
1








====
n
k
nT
y
y
lnln
(1-17)
Muốn xác định
bằng thực nghiệm, ta dùng công thức gần đúng:

18
y
y

y
y
y
y
ln
yy
y
ln
y
y
ln











+









+

+=

==
2
1
1 (1-18)
1.1.2b. Trờng hợp 2: n > k (Lực cản lớn). Trong trờng hợp này cả hai nghiệm của
phơng trình đặc trng đều thực và âm:
22
2221

knk,kn
,
==

Phơng trình (1-9) có NTQ dạng:
)eCeC(eq
tk
tk
nt
2
2
21
+= (1-19)
Khi tính điều kiện ban đầu nh trờng hợp 1, ta có:
2
0
20
1
2k
q)nk(q
C

++
=
;
2
0
20
2
k2

q)nk(q
C


=

Từ đó:











+
++
=


tk
2
0
20
tk
2
0

20
nt
2
2
e
k2
q)nk(q
e
k2
q)nk(q
eq (1-20)
Hệ qua vị trí cân bằng tại các thời điểm thoả mãn phơng trình:
0
22
2
0
20
2
2
0
20
22
=










+
++

+
k
q)nk(q
e
k
q)nk(q
e
tkt)nk(

Với giá trị của biểu thức trong dấu móc bất kỳ, vế trái của phơng trình
0 khi t .
Ta có chuyển động không tuần hoàn tắt dần.
1.1.2c. Trờng hợp 3: n = k (lực cản tới hạn). Trong trờng hợp này nghiệm của
phơng trình đặc trng là thực, âm và bằng nhau. NTQ của (1-9) có dạng:
)CtC(eq
21
nt
+=

(1-21)
Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động.
Trong một số tài liệu kỹ thuật trình bày về dao động ngời ta còn sử dụng khái niệm
độ cản Lehr - Độ cản Lehr ký hiệu là D, đợc xác định bởi hệ thức:
ac
b

ak
b
k
n
D
2
2
=== (1-22)
Phơng trình (1-9) có thể viết dới dạng:
02
2
=++

qkqDkq (1-23)
Do
222
1 Dknk =
, nên chuyển động của hệ đợc phân ra các trờng hợp:
D < 1: Độ cản nhỏ.
D > 1: Độ cản lớn.
D = 1: Độ cản tới hạn.

19
Nh thế, khi D < 1 chuyển động của hệ là dao động tắt dần.
khi D 1 chuyển động
của hệ là tắt dần không dao động.
Giữa độ cản Lehr D với độ suy giảm Lôgarit , có liên hệ bằng hệ thức sau:
2
1
2

D
D

=
(1-24)
Thí dụ 1-1:
Xét dao động nhỏ của con lắc toán học có độ dài L, khối lợng m (Hình 1-2). Lấy
làm tọa độ suy rộng. Tọa độ của khối lợng m bằng: x = Lsin; y = Lcos. Do đó:

2
2
22
2
2
1
2
1
2
1

=








+== mLyxmmvT

x
Thế năng của con lắc bằng công của trọng lợng
gmP =
thực hiện trên di chuyển của nó từ vị trí khảo sát
(hình vẽ) tới vị trí cân bằng (thẳng đứng).


O
L
)cos(mgL

= 1
m
Do bé, 1-cos

2
2
1

nên:
2
2
1
= mgL

y
Hình 1-2
Thay các kết quả vào phơng trình Lagrăng loại II:



=














TT
dt
d

Ta nhận đợc phơng trình dao động nhỏ của con lắc:
0=+

L
g

Đó là dao động điều hoà với tần số riêng
L
g
k
= và chu kỳ

g
L
2T =
.
Thí dụ 1-2:


Xét dao động xoắn nhỏ của đĩa gắn vào đầu mút dới của
thanh đàn hồi không trọng lợng dài L. Mút trên của thanh bị
ngàm (Hình 1-3). Gọi M là khối lợng của đĩa;
là bán kính
quán tính của đĩa đối với trục thanh; G là môđun trợt của vật liệu
thanh; J
P
là mômen quán tính độc cực của tiết diện ngang thanh.
L
Độ cứng của thanh khi xoắn bằng
L
GJ
C
P
=
. Lấy là góc
quay của đĩa đối với vị trí cân bằng ổn định. Động năng của đĩa
bằng:
2
2
M
2
1

T

= . Thế năng đàn hồi của nó khi nhỏ (tuân
Hình 1-3

20
theo định luật Hooke) là
2
2
1
= C. áp dụng phơng trình LagrăngII nh thí dụ 1-1, ta
nhận đợc phơng trình dao động nhỏ khi xoắn:
0
2
=+

CM
Đó là dao động điều hoà với tần số riêng
2

=
M
C
k
và chu kỳ
C
M
T
2
2


=
.
Thí dụ 1-3:
Ngời ta treo tải trọng trọng lợng P bằng một thanh tuyệt
đối cứng dài 2L.
ở giữa thanh có gắn hai lò xo đàn hồi có cùng
độ cứng C. Tải trọng đợc ngâm trong bình chứa chất lỏng nhớt.
Trong quá trình tải trọng thực hiện dao động nhỏ tự do chất lỏng
gây ảnh hởng làm giảm dao động lên hệ (Hình 1-4). Tìm hệ số
ma sát nhớt của hệ, nếu chu kỳ dao động tắt dần của hệ T
1
= 1s;
các tham số của hệ lấy các giá trị sau đây: P = 100 N; 2L = 30cm;
Đờng kính lò xo D = 2cm; đờng kính dây cuốn lò xo d = 2mm;
Môđun trợt của vật liệu làm lò xo G = 8.10
6
N/cm
2
; Số vòng
của mỗi lò xo i = 6.
L
C

C

Bài giải:
Hệ có một bậc tự do. Chọn toạ độ suy rộng q = là góc
lệch nhỏ của thanh so với phơng thẳng đứng. Phơng trình
Lagrăng II áp dụng cho trờng hợp này có dạng:







=













TT
dt
d

Ta có:
2
2
2
2
2

2
2
1
2
1

=






== L
g
P
L
g
P
V
g
P
T
;
2
C
2)cos1(L2.P
2

+=

= Lsin là độ co dãn của lò xo so với vị trí cân bằng
thẳng đứng của thanh (khi lò xo chứa biến dạng), với nhỏ: 1- cos
2
2

; sin ;
Do đó thế năng của hệ bằng:
2
)CLP(L +=
Gọi là hệ số ma sát nhớt của hệ (chất lỏng), hàm hao tán xác định bằng công thức:

2
2
1

=
Thay các giá trị tính đợc vào phơng trình Lagrăng II và rút gọn, ta nhận đợc:
0
22
=
+
+

+

PL
g)CLP(
PL
g


P

L


Hình 1-4

21
Chu kỳ dao động tắt dần là:
22
1
2
nk
T


= (a)
k là tần số dao động tự do (khi không có lực cản) bằng:
g.
PL
CLP
k
2
+
=
(b)
Gọi C là độ cứng lò xo và đợc tính theo công thức sau:
iD8
Gd
C

3
4
=
Thay số vào ta đợc: C = 33,3 N/cm. Do đó, từ (b) sẽ tính đợc: k=14rad/s.
Từ (a) giải đợc:
2
1
2
2
4
2
T
kn

= ; thay số vào ta có: 2n = 12,5rad/s.
Hệ số cản chuyển động tìm từ điều kiện:
g
nPL4
PL2
g
n2 =

= . Thay số ta đợc: = 76,5 NS.

Đ1.2. Dao động cỡng bức của hệ tuyến tính một bậc tự do

Dao động cỡng bức xảy ra khi hệ có tác dụng của các kích động ngoài. Các kích
động này có thể tuần hoàn hoặc va chạm.
Giả sử hệ khảo sát chịu tác dụng của các lực có thế, các lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc
nhất vào vận tốc và các lực kích động ngoài là hàm của thời gian t:

)t(P .
Gọi Q
P
là lực suy rộng của lực kích động ngoài. Phơng trình Lagrăng II trong trờng
hợp này có dạng:

P
Q
q
qq
T
q
T
dt
d
+





=


















Với dao động nhỏ:
2
2
2
qb
2
1
;cq
2
1
;qa
2
1
T

===
Đặt: Q(t) =
P
Q
a
1

. Thay vào phơng trình trên và rút gọn ta nhận đợc:
(1-25) )t(Qqkqnq =++

2
2
Phơng trình (1-25) là phơng trình vi phân mô tả chuyển động dao động nhỏ cỡng
bức của hệ tuyến tính một bậc tự do.
Trong trờng hợp lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-25 ) có dạng:

q)ksin(Aeq
nt
++=

1
(1-26)
Trong đó
q là NR của phơng trình (1-25). Các hệ số A, đợc xác định từ điều kiện
ban đầu.

22
Ta tìm NR q ở dạng: )t(Zeq
nt
= (1-27)
Thay (1-27 ) vào (1-25). Ta nhận đợc phơng trình đối với hàm Z(t):
(1-28)
nt
e).t(QZkZ =+

2
1

Nghiệm của phơng trình (1-28) đợc tìm bằng phơng pháp biến thiên hằng số
Lagrăng, ta đặt:
Z(t) = C
1
(t)sink
1
t+ C
2
(t)cosk
1
t (1-29)
Thay (1-29 ) vaò (1-28) ta suy ra:
(1-30)





=







=+


)t(Qetksin)t(Ctkcos)t(Ck

0tkcos)t(Ctksin)t(C
nt
1
2
1
1
1
2
1
1
Dùng quy tắc Crame giải hệ (1-30) ta có:

;tkcos
k
)t(Qe
)t(C
nt
1
1
1
=

;tksin
k
)t(Qe
)t(C
nt
1
1
2

=


Từ đó ta có:




=

t
n
d.kcos
k
)(Qe
)t(C
0
1
1
1
;



=

t
n
d.ksin
k

)(Qe
)t(C
0
1
1
2
(1-31)
Thay (1-31) vào (1-29) ta nhận đợc nghiệm của phơng trình (1-28):
=


d)t(ksin)(Qe
k
1
)t(Z
1
t
0
n
1
(1-32)
Vậy, NR
q của phơng trình (1-25) bằng:


==

t
0
1

)t(n
1
nt
d).t(ksin)(Qe
k
1
)t(Zeq (1-33)
NTQ của phơng trình (1-25) có dạng:


++=

t
0
1
)t(n
1
1
nt
d)t(ksin)(Qe
k
1
)tksin(Aeq (1-34)
Tích phân theo vế phải của (1-34) dẫn ra theo biến
. Vì vậy, khi tích phân coi t là
hằng số. Sau khi hoàn thành việc thay cận tích phân ta nhận đợc q là hàm của thời gian t.
1.2.1. Tính toán dao động cỡng bức không cản (n = 0).
Giả sử lực kích động ngoài biến đổi theo quy luật điều hoà: Q(t) = P
0
sinpt. Phơng

trình (1-25) trở thành:
ptsinPqkq
0
2
=+

(1-35)
Khi p
k, NTQ của (1-35) có dạng:

23
ptsin
pk
P
ktsinCktcosCq
22
0
21

++=
(1-36)
Lấy điều kiện đầu t = 0: q(0) = q
0
; ta có:
0
0

= q)(q
C
1

= q
0
;
)pk(k
pP
k
q
C
22
00
2

=

(1-37)
Từ đó:
ptsin
pk
P
ktsin
)pk(k
pP
ktsin
k
q
ktcosqq
22
0
22
00

0

+

++=

(1-38)
Trên cơ sở (1-38) ta có một số nhận xét sau:
1)
. Hai số hạng đầu của (1-38) ứng với dao động tự do tần số riêng k. Khi
, những dao động này không xảy ra. 000 ==

)(q)(q
Số hạng thứ ba cũng là dao động điều hoà với tần số riêng k, nhng biên độ phụ thuộc
vào lực kích động. Nó luôn xảy ra cùng dao động cỡng bức với điều kiện đầu tuỳ ý.
2)
. Số hạng cuối của (1-38) ký hiệu là q :
ptsin
pk
P
q
22
0

=
(1-39)
Biểu thị dao động cỡng bức thuần tuý. Ta chú ý một số tính chất sau:
a). Dao động cỡng bức xảy ra với tần số lực kích động p. Nó không phụ thuộc vào
điều kiện đầu của hệ.
b). Khi k > p thì dấu của độ lệch q cùng dấu với lực kích động Q, ta nói nó cùng pha.

Khi k < p chúng ngợc dấu nhau (ngợc pha). Ta có thể viết:

)ptsin(
pk
P
q
22
0
+

=
c. Trờng hợp k = p, biểu thức (1-39) và số hạng thứ ba trong (1-38) sẽ mất ý nghĩa.
Tuy nhiên nếu xét đồng thời thì có:








+
=

+


)pk(k
ptsinkktsinp
Pptsin

pk
P
ktsin
)pk(k
pP
22
0
22
0
22
0

Với k = p, nó có dạng
0
0
.
áp dụng quy tắc Lôpitan, lấy đạo hàm đối với p và cho
p k, ta thu đợc:


ktcos
k
tP
ktsin
k
P
kp
ptcosktktsin
Plim
)pk(k

ptsinkktsinp
P
kp
pk
2
2
2
0
2
0
0
22
0
=







+
=








+

=

Tích phân tổng quát của (1-38) trở thành:
ktcos
k
tP
ktsin
k
P
ktsin
k
q
ktcosqq
2
2
0
2
00
0
++=

(1-40)

24
Rõ ràng khi p = k các giá trị nguy hiểm của biên độ tăng theo quy luật tuyến tính với
thời gian t và trong khoảng thời gian hữu hạn nó không tiến tới vô hạn (Hình 1-5).
Sự trùng nhau giữa tần số của lực kích động p với
tần số riêng của hệ k và các hiện tợng xảy ra tiếp sau

gọi là hiện tợng cộng hởng.

q
Thực tế khi tính toán dao động cỡng bức không
cản thờng phân ra hai trờng hợp: Trờng hợp xa cộng
hởng (p k) và trờng hợp gần cộng hởng (p k).
Khi này nếu: p = k+2 ( là đại lợng vô cùng bé) ta có
hiện tợng phách, còn p = k ta có hiện tợng cộng
hởng.
O
t
Hình 1-5
Đối với các máy đợc thiết kế làm việc gần cộng hởng khi tăng vận tốc của máy qua
vùng cộng hởng phải khẩn trơng cho vợt qua đủ nhanh.
Thí dụ 1-4:
Động cơ điện đặt trên sàn m đợc đỡ bởi lò xo xoắn, trọng lợng tổng cộng của sàn và
động cơ bằng 327N. Lò xo có tính chất là: Chiều cao của nó ngắn đi 1 cm khi chịu lc
300N. Ngời ta gắn vào trục động cơ một tải trọng m
1
nặng 2N cách đờng tim trục một
khoảng r = 1,3cm. Vận tốc góc của động cơ p = 30 rad/s. Hãy viết phơng trình dao động
của sàn, giả thiết tại thời điểm đầu nó nằm yên; lấy g = 981 cm/s
2
(Hình 1-6a).
Bài giải:
Sàn và động cơ chuyển động theo phơng thẳng đứng. Gọi x là toạ độ khối tâm của
sàn và động cơ tính từ vị trí cân bằng ổn định.
Các lực tác dụng lên hệ dao động gồm: Lực đàn hồi của lò xo F = Cx; lực kích động
do lực quán tính ly tâm của khối lợng lệch tâm m
1

gây ra theo phơng Ox: F
x
=m
1
rp
2
cospt.
Đặt lực quán tính lên khối lợng dao động (Hình 1-6b).

= xmF
qt

O
m
1
m
r
m
F
x
m
1
r
p
2
=
pt

x
r

O
m
1
x
C








a) b)

Hình 1-6

25
Theo nguyên lý Đa-lăm-be, ta có:
ptcosrpmCxxm
2
1
=+


m
C
k;ptcos
m
rpm

xkx
2
2
1
2
==+


NTQ của pơng trình tìm ở dạng:
x = C
1
sinkt+ C
2
coskt + Bcospt
=> = C
1
kcoskt - C
2
ksinkt - Bpsinpt.

x
Điều kiện đầu của bài toán: t = 0 thì x(0) = 0; 00 =

)(x.
Ta suy ra: C
2
+B = 0; C
1
= 0;
2

22
1
mpC
prm
B

=
Do đó phơng trình dao động của sàn m là:
)ktcospt(cos
mpc
rpm
x

=
2
2
1

Vì
ps/radks/rad
/
/
m
C
k ==== 3030
981327
1300
222

Trong trờng hợp này hệ có cộng hởng. Vì vậy nghiệm của bài toán viết ở dạng:

mp
ptsinrtpm)ktcospt(cosrpm
limxlim
kpkp
2
2
2
11
+
=


Hay = 0,12t.sinpt = 0,12t.sin30t (cm).
kp
xlim

1.2.2. Tính toán dao động cỡng bức có cản (n

0).
Xét lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất với vận tốc, lực kích động ngoài biến đổi theo
quy luật điều hoà Q(t) = P
0
sinpt. Phơng trình (1-25) trở thành:
.ptsinPqkqnq
0
2
2 =++

(1-41)
Với lực cản nhỏ (n < k), NTQ của (1-41) có dạng:

22
11
nt
nkk;q)tksin(eAq =++=

(1-42)
Ta tìm nghiệm
q dới dạng: )ptsin(Bq = (1-43)
Chọn B, sao cho
q thỏa mãn đồng nhất phơng trình (1-42).
Từ đó ta nhận đợc:
(1-44)



=
=
sinPBnp
cosP)pk(B
0
0
22
2

26
Giải hệ (1-44), ta có:
22
22222
0
2

4
pk
np
tg;
pn)pk(
P
B

=
+
=
(1-45)
Tích phân tổng quát phơng trình (1-41) viết ở dạng:
)ptsin(
pn)pk(
P
)tksin(eAq
nt

+
++=

22222
0
1
4
(1-46)
Các hằng số A,
đợc xác định từ điều kiện ban đầu. Từ (1-46) ta cũng có một số
nhận xét sau:

1)
. Số hạng đầu của (1-46) ứng với dao động tự do có cản. Thực tế nó tắt dần theo thời
gian. Sau một khoảng thời gian nào đó có thể bỏ qua và xem hệ chỉ thực hiện dao động
cỡng bức thuần tuý:
)ptsin(
pn)pk(
P
q
+
=
22222
0
4
(1-47)
Phơng trình (1-47) xác định chế độ dao động bình ổn của hệ.
2)
. Dao động cỡng bức kể cả khi có cản vẫn xảy ra với tần số lực kích động p. Biên
độ của nó không phụ thuộc vào thời gian và không tắt dần vì lực cản. Khi xảy ra cộng
hởng (p = k) biên độ này vẫn hữu hạn và không phải là giá trị lớn nhất trong các giá trị của
biên độ. Ta tìm p để biên độ:

22222
0
pn4)pk(
P
B
+
=
đạt cực đại.
Từ điều kiện

0=


p
B
, ta suy ra: p
2

= k
2
- 2n
2

Vậy B = B
max

khi p
2
= k
2
- 2n
2
. Biên độ dao động cỡng bức đạt cực đại khi p nhỏ hơn
k một chút (trớc cộng hởng).
3)
. Trong dao động cỡng bức của hệ có cản luôn xảy ra độ lệch pha giữa pha dao
động với pha của lực kích động. Độ lệch pha
xác định bằng công thức:
22
2

pk
np
tg

=

Độ lệch pha
có giá trị cực đại khi cộng hởng (p = k) và bằng
2

.
4)
. Gọi độ lệch tĩnh của hệ là B
0
(bằng tỷ số biên độ lực kích động với hệ số cứng của
hệ; ở đây
2
0
0
k
P
B =
). Ta lập tỷ số giữa biên độ B và B
0
, ký hiệu là . Hệ số đợc gọi là hệ
số động lực và bằng:
4
22
2
2

2
0
k
pn
4
k
p
1
1
B
B
+









==
(1-48)

27
Khi không có cản (n = 0 ) hệ số động lực bằng:
2
2
1
1

k
p

=
(1-49)



0
0
0,5 1,0
1,5 2,0

0,5 1,0
1,5 2,0
1
2
3

2
1
4
2n/p=0
0,1
0,15
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1

2n/p=0

p/k











p/k
Hình 1-7
a) b)
Trên hình vẽ (Hình 1-7a) ta có các đờng cong cộng hởng. Những đờng này biểu
diễn quá trình biến đổi của giá trị tuyệt đối của hệ số động lực
phụ thuộc vào tần số của
lực kích động với một vài giá trị của hệ số cản.
Từ đồ thị rõ ràng là: Các lực cản (nhớt) có tác dụng rõ rệt trong vùng gần cộng hởng,
ở các vùng này thì có thể lấy
=
max
(Hình 1-7b).
Do đó, mặc dù biên độ dao động cỡng bức khi có cản là hữu hạn; nhng các chi tiết
của máy vẫn làm việc trong trờng hợp này thì luôn xảy ra nguy cơ phá huỷ do ứng suất
mỏi. Vì vậy, khi thiết kế cần chọn mối liên hệ các kích thớc và độ bền sao cho chế độ bình
thờng nằm xa chế độ cộng hởng.

Thí dụ 1-5:
Để ghi các quá trình dao động khi có tác động ngẫu
nhiên khác nhau (xô đập, va chạm) ngời ta thờng dùng
các chấn đồ tần số thấp có lắp thêm bộ giảm chấn (dạng
giảm chấn ma sát nhớt). Sơ đồ nguyên tắc của chấn đồ
này đợc mô tả trên hình vẽ (Hình 1-8).
ở đây chuyển
động của khối lợng m treo bằng lò xo với độ cứng C
đợc hãm lại bằng lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động
tơng đối của tải trọng, tức là bằng
trong đó y là độ
lệch của khối lợng m đối với nền. Tìm giá trị độ lệch
mà máy ghi lại nh hàm của thời gian t, nếu nền chuyển
động theo quy luật:

y

)t10sin2t(sinyy
01

+=
Khi giải bài toán lấy:
=

=== 020
2
010
22
,
m

n;,
m
C
k


C

m
y
1

Hình 1-8

28
Bài giải:
Chuyển động lên xuống của tải trọng m, nhờ ngòi bút gắn vào nó sẽ ghi những dao
động của máy lên bảng chia độ (Hình 1-8).
Chuyển động thẳng đứng y của tải trọng m là chuyển động tơng đối đối với khung
chấn đồ gắn với bảng chia độ.
Do móng và chấn đồ thực hiện chuyển động theo quy luật cho trớc:

)t10sin2t(sinyy
01

+
=
Nên lực quán tính kéo theo tải của trọng m trong chuyển động này bằng:

)t10sin200t(sinmyym

2
0
1
+=

Phơng trình vi phân mô tả dao động tơng đối của tải trọng m có dạng:

)t10sin200t(sinyykyn2y
2
0
2
+=++

Trong đó: y là dịch chuyển của khối lợng m đối với nền;
m
C
k;
m
n
=

=
2
2
Nếu bỏ qua dao động tự do, nghiệm của phơng trình trên trong trạng thái chuyển
động bình ổn của tải trọng m là:

)tsin(
n)k(
y

)tsin(
n)k(
y
y
2
22222
2
0
1
22222
2
0
100
400100
200
4

+

+
+

=

ở đây:
22
2
22
1
100

202
k
n
tg;
k
n
tg



=


=

Thay: ta nhận đợc dịch chuyển tơng đối của khối lợng m
do máy ghi ra:
== 020010
22
,n;,k

)tsin(y)tsin(
y
y
201
0
102
5
+=
Thí dụ 1-6:

Để đầm bê tông ở chân móng các công trình ngời ta thờng dùng một thiết bị đặc biệt:
Đó là chấn tử lệch tâm gồm một đế nặng khối lợng m, trên đó đặt hai đĩa quay khối lợng mỗi
đĩa bằng . Các đĩa quay trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiều ngợc nhau với vận tốc góc
. Trên mỗi đĩa ngời ta gắn một tải trọng m
0
cách trục quay một khoảng là e (Hình 1-9a). Sau
một thời gian đầm, ta có thể mô tả các tính chất của móng bê tông một cách gần đúng bởi
mô hình lu biến nh hình vẽ (Hình 1-9b).
1
m
Hãy thiết lập phơng trình dao động bình ổn của vỏ chấn tử. Tính biên độ dao động.
Biết rằng trong quá trình làm việc vỏ chấn tử không bao giờ tách rời khỏi khối lợng đang
đầm.
Bài giải:
Gọi x là toạ độ trọng tâm của vỏ chấn tử tính từ vị trí cân bằng tĩnh, áp dụng nguyên lý
Đa-lăm-be. Lực ly tâm do các đĩa gắn khối lợng lệch tâm chuyển động ngợc nhau tác
dụng theo phơng chuyển động của vỏ chấn tử (theo phơng x thẳng đứng) sẽ bằng:

29

tsinem2)t(P
2
0
=

P(t)









Mô hình tính hệ dao động đợc mô tả trên hình 1-9. Mô hình tính hệ dao động đợc mô tả trên hình 1-9.
Phơng trình vi phân chuyển động của vỏ chấn tử có dạng: Phơng trình vi phân chuyển động của vỏ chấn tử có dạng:
)t(PCxxxM
=++

)t(PCxxxM
=++


ở đây: ở đây: )mm(mM
10
2 + )mm(mM
10
2 +

+
= , hay có thể viết:

tsin
)mm(2m
em2
xkxn2x
10
2
0
2


++

=++


Trong đó:
)mm(m
C
M
C
k,
)]mm(m[M
n
10
2
10
2222 ++
==
++

=

=
Nếu gọi A
0
là độ lệch tĩnh của hệ do biên độ lực kích động tác dụng tĩnh lên hệ gây ra:

)]mm(2m[k
em2

C
em2
A
10
2
2
0
2
0
0
++

=

=

Ta có biên độ dao động cỡng bức của vỏ chấn tử bằng:
2
2
2
2
0
k
n2
k
1
A
A








+










=

1.2.3. Đệm đàn hồi của máy.
Ta xét một mô hình áp dụng kỹ thuật của lý thuyết dao động cỡng bức.
1.2.3a. Các máy quay có bộ phận không cân bằng sẽ truyền các lực kích động có chu
kỳ lên nền (móng) của nó, gây lên sự rung và tiếng ồn không mong muốn. Để giảm hiện
tợng này thờng áp dụng đệm đàn hồi.
Giả thiết máy có trọng lợng Q (Hình 1-10) và ký hiệu P là lực ly tâm xuất hiện do
phần quay không cân bằng với vận tốc góc
)s/rad(

. Nh đã chỉ trên hình vẽ (Hình 1-10a).
Các lực kích động thẳng đứng, nằm ngang tơng ứng là:
tsinP


và tcos
P
.
Nếu máy đợc bắt chặt với nền cứng thì lực kích động sẽ truyền hoàn toàn xuống nền.
Để giảm lực kích động lên nền (móng) ta đa vào đệm đàn hồi nh hình vẽ (Hình 1-10b), ở
đó ta hạn chế chuyển động ngang của máy bởi các liên kết. Khi này ta nhận đợc dao động

= t
e
m
0

m
1

m


M
x


C
Hình 1-9

30
cỡng bức của vật Q đặt trên lò xo theo phơng thẳng đứng với lực kích động . Nếu
chú ý đến biểu thức (1-39) ta có biên độ dao động cỡng bức khi này bằng:
tsinP

0


=










=
C
P
k
1C
P
A
2
2
(1-50)











t
Q
Q

t
P

P

C
a) b)
Hình 1-10

ở đây: C là hệ số cứng, k là tần số riêng của hệ, là hệ số động lực đợc xác định
theo (1-49 ). Khi > k
2 , hệ số nhỏ hơn đơn vị và hiệu ứng động lực bị giảm yếu. Nh
vậy, để làm giảm lực kích động truyền vào nền (móng) máy cần đặt trên các lò xo mềm sao
cho tần số riêng của hệ dao động nhỏ so với số vòng quay trong một đơn vị thời gian của
máy.
P(t)

1.2.3b. Trong phần trên ta mô tả đệm đàn hồi của máy
với giả thiết không tồn tại lực cản. Điều này chỉ gần đúng
trong trờng hợp đối với các lò xo xoắn bằng thép. Nếu sử
dụng các nhíp lá hoặc bản bằng cao su thì lực cản là đáng kể
và không thể bỏ qua. Khi đó đệm đàn hồi máy quy đổi thành

mô hình tính gồm lò xo độ cứng C và giảm chấn có hệ số cản
b (hình 1-11).
ứng lực động lực truyền cho nền biểu thị bằng:
b
C
i


+= qbCqR (1-51)
Thay (1-47) vào (1-51), ta tìm đợc:

Hình 1-11

22
)b(CBR
Max
+=
Hay:
4
22
2
2
2
2
22
max
k
n4
k
1

k
n4
1
C
P
R

+











+
=

Khi chú ý tới (1-48) ta có:
C
P
k
n
C
P
R

*
max
=

+=
2
22
4
1
(1-52)

31
Trong đó:
2
22
4
1
k
n
*

+=
,
*
thờng
gọi là hệ số động lực gia tăng. Sự phụ thuộc hệ
số này với
k

trong các giá trị

k
n
2
khác nhau chỉ
ra trên hình vẽ (Hình 1-12).
Tất cả các đờng cong đi qua một điểm
có hoành độ
2
và tung độ bằng 1. Trong
miền
k

< 2 sự tắt dần là có lợi vì làm giảm hệ
số truyền lực, trong miền
k

> 2 với sự tăng
của lực cản, hệ số truyền lực tăng. Vì vậy, trong
các trờng hợp: Khi chế độ làm việc nằm ở
vùng sau cộng hởng lực truyền cho nền (móng) tăng do hệ quả của giảm chấn.
ý nghĩa vật
lý của hiện tợng này là ở chỗ: Các dao động truyền cho nền móng thực hiện bằng hai lực:
Theo con đờng đàn hồi và con đờng nhớt. Khi lực kích động có tần số cao xảy ra vận
tốc lớn và tơng ứng với lực cản nhớt tăng lên.
1
2
2 3
0
1
2

3

/k

*

Hình 1-12
0,5
0,4
0,3
0,2
2n/p=0,1
0,5
0,4
0,3
0,2
n/p=0,1

1.2.4. áp dụng phép biến đổi Laplace tính toán dao động cỡng bức
1.2.4a. định nghĩa phép biến đổi Laplace.
Giải sử: f(t) là hàm liên tục từng khúc trên khoảng [0; +

). Phép biến đổi Laplace là
một phép biến đổi tích phân biến đổi hàm gốc f(t) của biến số thực thành hàm ảnh F(s) của
biến số phức nhờ hệ thức:
(1-53)



==

0
st
dt)t(fe)]t(f[L)s(F
Trong đó ký hiệu: L gọi là toán tử Laplace. Phép biến đổi Laplace ngợc, ký hiệu theo
toán tử L
1
sẽ đợc xác định bởi hệ thức:
(1-54)
)]s(F[L)t(f
1
=
Toán tử L và toán tử L
-1
có tính chất:
(1-55)
[]
{}
)t(f)t(fLL
1
=

Trong bảng dới đây (bảng 3) ta giới thiệu một số hàm f(t) thông dụng và hàm ảnh
F(s) của nó qua phép biến đổi Laplace.
Thí dụ 1-7:
Tìm các hàm ảnh của các hàm gốc f(t) =1, f(t) = e
at
bằng phép biến đổi Laplace.
Bài giải:
áp dụng công thức định nghĩa (1-53) ta lần lợt có:


32

)s(F
ss
e
dtedt)t(fe][L
st
stst
=====







1
11
0
00


)0s(;
as
1
e
as
1
dtedtee]e[L
0

)as(t
0
t)as(at
0
stat
>

=


===








1.2.4b. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Ta nêu một số tính chất cơ bản (không chứng minh) của phép biến đổi Laplace.
a)
. Định lý cộng tác dụng: Nếu L[f
1
(t)] =

F
1
(s); L[f
2

(t)] =

F
2
(s) thì:
L[C
1
f
1
(t)+C
2
f
2
(t)] =

C
1
F
1
(s)+C
2
F
2
(s) (1-56)
Từ đó: C
i
là các hằng số.

==
=







n
i
ii
n
i
ii
);s(FC)t(fCL
11
b)
. Định lý vi phân: Nếu L[y(t)]= Y(s) thì:
L[y
(n)
(t)]=s
n
Y(s) s
n-1
y
0
s
n-2
0
s
n-2
y

0
(n-2)
y
0
(n-1)
(1-57)

y
Trong đó: y(t)
(k)
là đạo hàm bậc k của hàm y(t) theo t:
)t(ylim)0(yy
)k(
0t
)k()k(
0
+

==
c)
. Định lý đồng dạng: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: )as(aF)]
a
t
(f[L = (1-58)
d)
. Định lý cản: Nếu L[f(t)]=F(s) thì: L [e
-at
f(t)]=F(s+a) (1-59)
e)
. Định lý trễ: Nếu L[f(t)]= F(s) thì: L[f(t-a)] =e

-as
F(s) (1-60)
Một số công thức cơ bản của phép biến đổi Laplace đợc trình bày trong Bảng 3.
ơ
Bảng 3 - Hàm f(t) và hàm ảnh F(s) qua phép biến đổi Laplace.

STT f(t)
F(s) =



0
st
dt)t(fe
Ghi chú
1 1 1/s
2 t 1/s
2

3
tn
t
et
e



1/(s+
)
1n

)s(
!n
+
+

n nguyên
4
)e(
t


1
1

)s(s +
1



33
5
12
21


tt
ee

)s)(s(
21

1
++


6
)te(
t
1
1
2
+



)s(s +
2
1


7
sin
t
22

+

s


8

cos

t
22
s
s
+


9
tsine
t



22
++

)s(


10
tcose
t



22
++


+
)s(
s


11
tsin
t
222
2
)s(
s
+



12
tcos
t
222
22
)s(
s
+



13
sin
2

t
)s(s
22
2
4
2
+



14
cos
2
t
)s(s
s
22
22
4
2
+
+


15
sh
t
22
s




16
ch
t
22
s
s



17
tsh
t
222
)s(
s2




18
tch
t
222
22
)s(
s

+




1.2.4c. áp dụng phép biến đổi Laplace tính dao động cỡng bức.
Cho phơng trình vi phân mô tả dao động cỡng bức ở dạng.
)t(f
m
qkqnq
1
2
2
=++

(1-61)
Tìm nghiệm của phơng trình (1-61) ứng với các điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = q
0
,
.
0
q)0(q

=

34
Để giải (1-61) bằng phép biến đổi Laplace, trớc hết ta lập phơng trình ảnh của
phơng trình (1-61), ta có:
)]t(f[L
m
qkqnqL
1

2
2
=






++


)]t(f[L
m
]q[Lk]q[nL]q[L
1
2
2
=++


)s(F
m
1
)s(Qk]q)s(sQ[n2]qsq)s(Qs[
2
0
0
0
2

=+++


m
)s(F
qnq2sq)s(Q)kns2s(
0
00
22
+++=++

(1-62)
Đặt: D(s)= s
2
+2ns +k
2
; (1-63)
0
000
qnq2sq)s(N

++=
Nghiệm của phơng trình ảnh có dạng:
)s(mD
)s(F
)s(D
)s(N
)s(Q
0
+= (1-64)

Dạng nghiệm (1-64) là tổng hai số hạng: Số hạng đầu
)s(D
)s(N
0
phụ thuộc vào các điều
kiện ban đầu và tơng ứng với nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; số
hạng thứ hai
)s(mD
)s(F
phụ thuộc vào hàm lực kích động f(t) và tơng ứng với NR của phơng
trình vi phân có vế phải.
Nghiệm của phơng trình vi phân gốc (1-61) sẽ có dạng:






+






==

)s(mD
)s(F
L

)s(D
)s(N
L)]s(Q[L)t(q
1
0
11
(1-65)
Thí dụ 1-8:
Trên hệ dao động tuyến tính có cản (Hình 1-13) tác dụng lực f(t) nh sau:

f(t)












/2
b
C
m
t
P
0

O
f(t)
Hình 1-13

35











>



<
=
tkhi0
t0khitsinP
0tkhi0
)t(f
0

Xác định dao động của hệ khi t > 0, biết rằng t
0 hệ đứng yên.

Bài giải:
Phơng trình vi phân biểu thị dao động cỡng bức của hệ có dạng:
)t(fqkqnq
1
2
2
=++

.
m
ở đây ký hiệu: 2n
m
b
= , k
2
=
m
C

Từ điều kiện ban đầu t = 0: q(0) = 0 ; Do đó theo (1-63): N
0
(s)=0. Trong
miền
00 =

)(q .



t0 nghiệm của phơng trình ảnh khi áp dụng công thức (1-64) có dạng:

)s(F

)s(mD
)s(Q
=
Trong đó:
22
22
0
0
kns2s)s(D;
s
P
]t[sinLP)]t(f[L)s(F ++=

+

===
Đến đây nói chung có thể dùng bảng để tìm ảnh ngợc và khi đó có nghiệm q(t).
ở
đây ta dùng cách phân tích các phân thức vế phải để có nghiệm của bài toán.
Giả sử trong trờng hợp tổng quát hàm F(s) là phân thức dạng:

)s(M
)s(N
)s(F
= (1-66)
ơng trình ảnh là: Khi đó nghiệm của ph
)s(Dm
)s(N

)s(D
)s(N
)s(D)s(mM
)s(N
)s(N
)s(Q
0
=+=

)s(D
0
+ (1-67)
Với
)s(D
=M(s)D(s). Nếu D(s) và
)s(D
là những đa thức có nghiệm đơn. Ta gọi s
k
là
nghiệ a Dm củ (s)=0 và
j
s

là nghiệm của )s( =0, khi đó có thể phân tích các phân thức D
)s(D
)s(N
0
và
)s(D
)s(N

thành các phân thức tối giản:

==



=



=
1j
jj
j
1k
kk
k00
ss
1
)s(Dm
)s(N
)s(Dm
)s(N
;
ss
1
)s(D
)s(N
)s(D
)s(N

(1-68)

36

37
ở đây và
)s(D

)s(D

là đạo hàm của và )s(D )s(D theo biến s. Vậy, nghiệm ph
trình ảnh bây giờ có dạng:

ơng

=
j
k0
1
)
1
)s(N
(1-69)
==


+


1j

jj
1k
kk
ss)s(Dm
s(N
ss)s(D
)s(Q
á ợc nghiệm phơng trình gốc:

p dụng bảng, ta tìm đ

==


1j
j
1k
k
)s(Dm
)s(D
+=
ts
j
ts
k0
j
k
e
)s(N
e

)s(N
)t(q (1-70)
Trở lại bài toán đang xét, chú ý tới (1-66) ta có:
22
0
s)s(M;P)s(N +==
)knss)(s()s(D)s(M)s(D
2222
2 +++==
Từ đó:
Phơng trình có bốn nghiệm:
)nkin(s;is
,,
22
4321
== 0)s(D =

=


=
4
1j
j
ts
0
Ta có biểu thức nghiệm q(t) theo (1-70) có dạng sau:
)s(D
e
m

P
)t(q
j

),j(s
j
41= vào, sau khi biến đổi, ta nhận đợc: thay



+

+


+
2222
D4)1(
C


=


nt
22222
1
2
1
222

1
2
0
e
)D1(D4)D21(
tsin)D1)(D21(tcosD2
tcosD2tsin)1(
P
)t(q

Với:
k
;
k
n
D;nk

===
22
1

Trong miền t >
hệ thực hiện dao động tự do có cản ứng với điều kiện đầu:
. Trong miền này ta có:
Biểu thức nghiệm có dạng:
)/(q)t(q);/(q)t(q
00
==

0)s(N);/(q)/(nq2)/(sq)s(N

0
=++=

() ()










=
q
D
)t(q
2
1









+


























tsin/q
k
tcos/
e
tn

11
1


Với
1

=
n
.

tg