Lý thuyết dao động - Chương mở đầu ppt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (470.41 KB, 15 trang )

Trờng đại học thuỷ lợi
Bộ môn cơ học ứng dụng
[\ [\

GS.TS Nguyễn Thúc An
PGS.TS Nguyễn Đình Chiều
PGS.TS Khổng Doãn Điền

Lý thuyết dao động

H Nội 2003

Lời nói đầu

Giáo trình Cơ học Lý thuyết II Lý thuyết Dao động Tác giả PGS. PTS Nguyễn
Thúc An, PTS Nguyễn Đình Chiều, PTS Khổng Doãn Điền, xuất bản tại Trờng Đại học
Thủy lợi, năm 1989, đã đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Công trình, ngành
Thuỷ điện và ngành Máy Xây Dựng những năm qua, trong đó đề cập đến các bài toán dao
động của hệ một bậc tự do, hai bậc tự do, vô số bậc tự do và giải quyết nguyên lý của bộ tắt
chấn động lực, triệt tiêu dao động của một vài trờng hợp cụ thể và cách giải quyết khi hệ
có nguy cơ xuất hiện hiện tợng cộng hởng.
Để đáp ứng yêu cầu giảng dạy cho sinh viên ngành Máy Xây Dựng & TBTL và các
học viên Cao học, Nghiên cứu sinh mà luận án có đề cập đến bài toán động lực, chúng tôi
biên soạn và đa vào thêm: Chơng IV (Va chạm của vật rắn vào thanh đàn hồi và áp dụng
Lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc); Chơng V (Cơ sở của Lý thuyết dao động phi
tuyến) và có đa vào những ví dụ gần với thực tế tính toán công trình cho ngành Thuỷ lợi.
Tài liệu dùng để giảng dạy Lý thuyết dao động cho sinh viên các ngành Công trình,
Thuỷ điện, Cấp thoát nớc, Trạm bơm và giảng dạy môn Dao động kỹ thuật cho sinh
viên ngành Máy Xây Dựng & Thiết Bị Thuỷ Lợi. Tài liệu này cũng có thể dùng làm tài liệu
ôn tập thi tuyển Cao học và Nghiên cứu sinh cho các ngành Công trình, Động lực và làm tài
liệu học tập và tham khảo cho Nghiên cứu sinh các ngành có liên quan.
Chúng tôi mong nhận đợc những đóng góp ý kiến của đồng nghiệp và bạn đọc để bổ
xung, sửa chữa cho tập giáo trình ngày một hoàn chỉnh hơn.

Hà Nội, tháng 10 năm 2003.

Các tác giả

1

Chơng mở đầu

Đ1. Một vi khái niệm v định nghĩa
1.1. Các quá trình thay đổi khác nhau của các đại lợng vô hớng đợc chia
thành hai dạng: Các quá trình dao động và các quá trình không dao động.
Quá trình dao động đợc đặc trng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của
các đại lợng biến đổi. Nó đợc mô tả bằng các phơng trình toán học.
Dao động trong đó các phơng trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính,
gọi là dao động tuyến tính. Ngợc lại, gọi là dao động không tuyến tính (phi tuyến).
1.2. Chuyển động dao động đợc đặc biệt quan tâm là những dao động có chu kỳ.
Hàm f
*
(t) mô tả quá trình dao động có chu kỳ, nếu nh tồn tại giá trị T > 0, thoả mãn
điều kiện sau:
)nTt(f )T2t(f)Tt(f)t(f
****

=
=

=

= (1)
Trong đó: T gọi là chu kỳ; n là số nguyên dơng.
Một dạng đặc biệt của dao động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao
động điều hoà. Về mặt động học dao động điều hoà đợc miêu tả bởi hệ thức:
)ktsin(Aq

+
= (2)
ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc
toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và đợc gọi là biên

độ dao động; (kt+) là Argument của sin gọi là pha dao động; là pha ban đầu; k là tần số
vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ T bởi hệ thức:

++=
+
+ 2kt)Tt(k , từ đó: )s/rad(
T
2
k

= (3)
Số lần dao động trong một đơn vị thời gian đợc tính theo công thức:

==
2
k
T
1
f
(4)
f đợc gọi là tần số; đơn vị thờng dùng là Hecz (Hz).

Đ2. Động năng của hệ

Xét hệ N chất điểm có n bậc tự do. Gọi toạ độ suy rộng xác định vị trí của hệ: q
1
, q
2

, q
n
(q
i
, i =
n,1
).
Với hệ chịu liên kết dừng, vị trí của một điểm M
k
bất kỳ đợc biểu diễn:

)q ,,q,q(rr
nkk 21
=

2
Từ đó:

=

==
n
1i
i
i
kk
k

q
q
r
dt
rd
v (5)
Động năng của hệ xác định bằng biểu thức:

=
=
n
1k
2
kk
vm
2
1
T

Thay (5) vào biểu thức trên với chú ý:
kk
2
k
v.vv =

Ta có:

=

=

n
1j,i
ji
ij
qqA
2
1
T
(6)
ở đây: A
ij
= A
ji
là các hệ số chỉ phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng. Khai triển chúng
theo chuỗi lũy thừa tại lân cận vị trí cân bằng
)n,1i;0q(
i
==
và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận đợc biểu thức động năng của hệ đã tuyến tính hoá:

=

=
n
1j,i
ji
ij
qqa

2
1
T
(7)
Trong đó: gọi là các hệ số quán tính (thực tế là khối lợng hoặc mômen
quán tính).
0ijjiij
)A(aa ==
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:
2
qa
2
1
T

= , trong đó a = A(0) (8)
Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc:

++=

2
2

22
21
12
2
1
11
2
2
1
qaqqaqaT (9)
ở đây:
022220121201111
)A(a;)A(a;)A(a
=
== . Các hệ số của dạng toàn phơng (7)
thoả mãn điều kiện Xin-vec-trơ (xác định dơng), nghĩa là:

0
a aa
a aa
a aa
;;0
aa
aa
;0a
nn2n1n
n22221
n11211
2221
1211

11
>>>

Đ3. Thế năng của cơ hệ.
Với liên kết dừng, thế năng của hệ cũng là hàm của các toạ độ suy rộng:

)q ,,q,q(
n21
=
Trong hệ bảo toàn, tại vị trí cân bằng
)n,1i;0q(
i
== , thế năng của hệ có giá trị cực
trị nên:

3

0
0
=

=
i
q
i
q
Với i =
n,1
(10)
Theo định lý Lagrăng-Điriclê thì: Tại vị trí cân bằng ổn định của hệ bảo toàn, thế
năng của hệ cực tiểu. Khai triển
theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng ổn định
)n,i;q(
i
10 ==
, ta có:

==
++

+=

n
1i
n
1j,i
jiiji
0
i
0
qqc
2
1
q
q
)(
(11)
Nếu chọn vị trí cân bằng ổn định của hệ làm gốc tính
thì 0)(
0
=

và do (10) nên số
hạng thứ hai trong (11) bằng không. Mặt khác với hệ tuyến tính sẽ không chứa trong khai
triển của thế năng các thành phần bậc cao hơn hai đối với toạ độ suy rộng. Do đó thế năng

của hệ khi tuyến tính hoá là dạng toàn phơng sau:

=
=
n

1j,i
jiij
qqc
2
1
(12)
ở đây:
0
ji
2
jiij
qq
cc

==
gọi là các hệ số cứng.
Nếu hệ có một bậc tự do (n = 1), ta có:

2
cq
2

1
=
, )0(c

=
(13)
Nếu hệ có hai bậc tự do (n = 2), ta đợc:
)qcqqcqc(
2
2222112
2
111
2
2
1
++= (14)
Trong đó:
0
2
2
2
22
0
21
2
12
0
2

1
2
11
q
c;
qq
c;
q
c

=

=

=

Tơng tự nh phần
Đ2, các hệ số c
ij
của dạng toàn phơng (12) thoả mãn điều kiện
xác định dơng.

Đ4. Hm hao tán.
Giả sử hệ chịu tác dụng lực cản (nhớt) phụ thuộc bậc nhất vào vận tốc:
kkk
v.R =

Trong đó: là hệ số cản (nhớt);
0
k
>
k
v là vận tốc của chất điểm thứ k thuộc hệ.

Gọi toạ độ suy rộng của của hệ:
)n,1i(q
i
= . Các lực suy rộng tơng ứng với lực cản
bằng:

i
k
n
1k
k
k
i
k
n
1k
ki
q
r
v
q
r
RQ

=

=

==

4
Khi sử dụng đồng nhất thức Lagrăng: ,
q
r
q
r
i
r
i
k

=

ta có:

=

=

=

=

2
v
qq
r
rQ
2
k
n
1k
k
ii
k
k
n
1k

ki
Hay:
i
i
q
Q

=
(15)
ở đây ta đặt:

=
=
n
1k
2
k
k
2
v
(16)
đợc biểu diễn ở (16) gọi là hàm hao tán. Ta có thể viết giống nh động năng T
trong tọa độ suy rộng:

=

=

n
1j,i
ji
ij
qqB
2
1
(17)
Trong đó: là các hàm chỉ của toạ độ suy rộng:
jiij
BB = )n,1i(q
i
= . Khai triển chúng
theo chuỗi luỹ thừa tại lân cận vị trí cân bằng
)n,1i(;0q
i
== và chỉ giữ lại số hạng đầu, ta
nhận đợc biểu thức của hàm hao tán đã tuyến tính hoá:

=

=
n
1j,i
ji
ij
qqb
2
1

(18)
ở đây:
0ijjiij
)B(bb
=
= là các hệ số cản suy rộng.
Khi hệ có một bậc tự do (n = 1):
0)0(Bb;qb
2
1
2
>==

(19)
Khi hệ có hai bậc tự do (n = 2):
)qbqqb2qb(
2
1
2
2
22
21
12
2
1
1

++= (20)
Trong đó:
022220121201111

)B(b;)B(b;)B(b
=
== .
Các hệ số của dạng toàn phơng (18) cũng thoả mãn tiêu chuẩn xác định dơng.
ij
b

Đ5. Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động.

5.1. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng trình Lagrăng II.
Cơ sở lý thuyết của nhiều công trình nghiên cứu dao động các hệ Hôlônôm nhiều bậc
tự do là việc áp dụng phơng trình Lagrăng loại II.
Phơng pháp thiết lập phơng trình vi phân chuyển động của hệ dao động bằng cách
sử dụng phơng trình Lagrăng loại II gọi là phơng pháp cơ bản.
Đối với hệ Hôlônôm, có n bậc tự do, xác định bởi các toạ độ suy rộng độc lập:
)n,i:q(q ,q,q
in
1
21
= , phơng trình Lagrăng loại II có dạng:
n,1i;Q
q
T
q
T
dt
d
i
i
i

==

(21)

5
5.1a. Nếu các lực tác dụng lên hệ chỉ là lực có thế.
Ta có: n,1i;
q
QQ
i
ii
=

==

Phơng trình (21) trở thành:
n,1i;
qq
T
q
T
dt
d
ii
i
=

=

(21a)
Đa vào hàm Lagrăng:

= TL
, ta đợc:
n,1i;0
q
L
q
L
dt
d
i
i
==

(21b)
5.1b. Nếu các lực tác dụng lên hệ bao gồm cả lực có thế và lực cản nhớt ta có:
n,1i;
q
q
QQQ
i
i
iii
=

=+=

Phơng trình (21) trở thành:
n,1i;
q
qq
T

q
T
dt
d
i
ii
i
=

=

(22)
Khi chú ý đến hàm Lagrăng L:
n,1i;0
q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
==

+

(22a)
5.1c. Nếu lực tác dụng lên hệ ngoài các lực có thế, và lực cản nhớt còn có các
ngoại lực khác (lực kích động) phụ thuộc vào thời gian t; lực suy rộng của nó ký hiệu
Q
i
P
, ta có:
n,i;QQQQ
P
iiii
1=++=

Và phơng trình (21) viết ở dạng:

n,i;Q
q
qq
T
q
T
dt
d
P
i

i
ii
i
1=+

=

(23)
Thí dụ 1:
Con lắc kép gồm hai thanh đồng chất: AB = BC = 2L, trọng lợng P
1

= P
2
= P nối với
nhau bởi bản lề B. Con lắc thực hiện dao động nhỏ trong mặt phẳng thẳng đứng xung quanh
vị trí cân bằng Ay; ngoài ra AB quay xung quanh trục A; BC quay xung quanh bản lề B
(Hình 1).

6
Bài giải
Giả thiết các thanh rắn tuyệt đối ; hệ có hai bậc tự do. Ta chọn
1
,
2
là các góc lệch của
thanh với phơng thẳng đứng Ay làm tọa độ suy rộng. Tại vị trí cân bằng thì
1
=
2
= 0.
Phơng trình Lagrăng II viết cho hệ khảo sát là:
Hình 1

A
x
B
D
C

y
P

1

P
2

1

2

2,1i;Q
TT
dt
d
i
i
i
==

(a)
Chọn hệ trục tọa độ Axy nh hình vẽ. Động năng
của hệ bằng:
2
2
Dz
2
D
2
D
BC
2
1
AzBCAB
J
2
1
yxm
2
1
J
2
1
TTT

+

++=+=

Ta có:
2
DzBC
2
Az
)L2(
g
P
12
1
J,
g
P
m,)L2(
g
P
3
1
J ===

+=
+=
)coscos2(Ly
)sinsin2(Lx
21D
21D
Ta có:

++=

)cos(34
g3
PL2
T
21
21
2
2
2
1
2

Xét dao động nhỏ:
1)cos(
21

, ta nhận đợc:

)34(
g3
PL2
T
21
2
2
2
1
2

++=
(b)
Thế năng của hệ bằng công trọng lợng các thanh khi hệ chuyển dịch từ vị trí khảo sát
(
1
;
2
) tới vị trí cân bằng thẳng đứng (
1
= 0 ;
2
= 0), ta có:

[
]
)cos1()cos1(2PL)cos1(PL
211

+

+=
Rút gọn:
)coscos34(PL
21

=
Với nhỏ:
21
,
2
1cos;
2
1cos
2
2
2
2
1
1

Ta có: )3(
2
PL
2
2
2
1
+= (c)
Thay (b) và (c) vào (a), ta nhận đợc phơng trình vi phân dao động nhỏ của hệ:

21
2
21
1
g3
L4
g
L2
;
g
L2
g3
L16
3

==

7
5.2. Thiết lập phơng trình vi phân chuyển động theo phơng pháp Đalămbe.
Theo nguyên lý Đalămbe: ở mỗi thời điểm các lực hoạt động tác dụng lên cơ hệ và
các phản lực liên kết cân bằng với các lực quán tính. Từ đó:

()

=

++

=++

kkk
qt
kOkO
a
kO
kk
qt
kk
k
a
k
FmNmFm
FNF
0
0
(24)
Trong đó:
kk
qt
k
WmF =
5.3. áp dụng phơng pháp lực để lập phơng trình vi phân dao động nhỏ
(trờng hợp riêng của phơng pháp Đalămbe).
Giả sử cho một dầm đàn hồi có gắn một số hữu hạn khối lợng tập trung
. Để lập phơng trình vi phân dao động (uốn) của dầm, thuận lợi hơn cả là
dùng phơng pháp lực. Khi này cần sử dụng khái niệm dịch chuyển đơn vị.
n
m ,,m,m
21

Các dịch chuyển theo hớng i do lực đơn vị tác dụng theo hớng k gây ra gọi là dịch
chuyển đơn vị, ký hiệu

ik
. Các dịch chuyển đơn vị
ik
còn gọi là các hệ số ảnh hởng (Hình 2).

k

ik
P
k
= 1
i

Hình 2
m
1
m
n
m
3
m
2

Đối với các hệ đàn hồi, theo hớng k hệ chịu tác dụng của lực P
k
thì dịch chuyển do
nó gây ra theo hớng i sẽ tỷ lệ với lực, nghĩa là:
y
i
= P
k

ik
.
Do đó, dới tác dụng đồng thời của các lực P
1
, P
2
, , P
n
dịch chuyển toàn phần xác
định theo công thức:
(25)
ik
n
1k
ki
Py =

=
Công thức (25) là cơ sở để thiết lập phơng trình vi phân dao động của hệ theo
phơng pháp lực.
Theo kết quả trong giáo trình SBVL, ta có các công thức xác định hệ số ảnh hởng

ik

sau đây:

8
5.3a. Xác định
ik
khi uốn của thanh:
Dùng công thức MO:

=
L
0
ki
ik
EJ
dx.M.M
(26)
Trong đó: EJ là độ cứng của thanh khi uốn;
)x(M
i
và )x(M
k
là các mômen uốn do lực
đơn vị và gây ra (Hình 3).
1P
i
= 1P
k

=

P i = 1
M i =(x)
x
M k =(x)
x
P k = 1

5.3b. Sử dụng phép nhân biểu đồ Vêrêsaghin:

EJ
M
*
k
i
ik

=
(27)
ở đây: là diện tích biểu đồ
i

*

ki
M,M là tung độ của biểu đồ
k
M tơng ứng hoành
độ trọng tâm của . Khi sử dụng công thức (27) cần chú ý chia chiều dài thanh sao cho
trong mỗi đoạn của
i

k
M
là đờng thẳng. Theo định lý Macxoen ta luôn có:
kiik
=
Thí dụ 2: Xác định các hệ số ảnh hởng trong trờng hợp dầm chịu các trọng tải tập
trung nh hình vẽ (Hình 4).

Hình 3

m
m
m
L/6 L/3 L/3 L/6
L/6 5L/6
P
1

= 1
M
1
5L
36

Hình 5a
Hình 4

9
Bài giải:
Để xác định các dịch chuyển đơn vị (hệ số ảnh hởng)
ik
(i, k = 1, 2, 3) ta xây dựng
các biểu đồ Mômen uốn
321
M,M,M tơng ứng với các lực đơn vị 1P,1P,1P
321
==
=
và
biểu diễn nh trên hình vẽ (Hình 5a, b, c).

L/2 L/2
P 2 = 1
4
M 2
L
Hình 5b
L/6
5L/6
M 3
P 3 = 1
36
5L
Hình 5c

Theo công thức nhân biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

+

== L
54
5
.L
36
5
.L
6
5
.
2
1
L
54
5
.L
36
5
.
6
L
.
2
1
EJ
1

3311

k75
EJ3888
L25
L
2
1
L
36
5
L
54
5
EJ
1
L
12
5
L
12
1
L
36
5
.L
54
5
.

EJ
1
3
===

+=
ở đây ta đặt:
EJ1296.9
L
k
3
=

k243
EJ1296.9
L
.243
EJ48
L
EJ96
L
.2
6
L
.

4
L
.
2
L
.
2
1
6
L
.
4
L
.
2
L
.
2
1
EJ
1
333
22
====

+=

Thực hiện tính toán một cách tơng tự, ta nhận đợc:
k117
EJ1296.9
L
117;k51
EJ1296.9
L
51
3
23322112
3
3113
========

Đ6. Xác định độ cứng của hệ dao động.
Các tính chất đàn hồi của hệ dao động trong mỗi trờng hợp cụ thể đợc đặc trng
bằng hệ số cứng C.
6.1. Thanh đàn hồi
6.1.1. Thanh đàn hồi không trọng lợng, chịu kéo nén (Hình 6).

10
Hình 6

P
L

L
Ta có:

EF
PL
L =

ở đây: E là môđun đàn hồi, F là diện tích tiết diện ngang.
Từ đó:
L.CL.
L
EF
P ==
Vậy, ta có:
L
EF
C =
(28)
6.1.2. Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu xoắn (Hình 7) thì:

p
x
GJ
LM
=

Trong đó: G là môđun trợt, J
P
là mômen quán tính độc cực của
mặt cắt ngang. Suy ra:

== .C
L

GJ
M
p
x

Vậy, nhận đợc:
L
GJ
C
p
= (29)

Hình 7 Hình 8

L
M
x

L

6.1.3. Thanh đàn hồi không trọng lợng chịu uốn. Khi này: Hệ số cứng C còn phụ

thuộc vào điều kiện biên. Ta xét thanh chịu uốn bị ngàm ở một đầu (Hình 8). Độ võng f
bằng:

EJ
PL
3
1
f
3
= , suy ra:
Cff
L
EJ3
P
3
==

ở đây: EJ là độ cứng chống uốn. Vậy độ cứng C bằng:
3
L
EJ3
C =
(30)
P

f

11
6.2. Hệ các lò xo.
6.2.1. Đối với hệ lò xo mắc song song (Hình 9).

Từ biểu thức tính lực đàn hồi, ta có:

CxxCxCF
21dh
=+=
C
C
1

C
2
Vậy, ta đợc: C = C
1
+ C
2
. Nếu hệ có n lò xo
mắc song song, tơng tự nhận đợc:
(31)

=
=
n
1i
i
CC
Hình 9
6.2.2. Đối với hệ lò xo mắc nối tiếp (Hình 10).
Biểu thức tính lực đàn hồi bằng:
Hình 10

C
1

C
2

C

2211dh
xCxCF +
=

ở hệ thay thế tơng đơng hệ số cứng C, lò xo
dãn một đoạn:
CxF;xxx
dh21
=
+=
Ta có:
21
dh
2
2
1
1
C
1
C
1

C
1
C
F
C
F
C
F
x +==+=

Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp, thì hệ số cứng
C của lò xo thay thế xác định bởi hệ thức:

=
=
n
1i
i
C
1
C
1
(32)
Nói chung độ cứng C đợc tính toán theo lý thuyết với các giả thiết nhất định và có
thể tra cứu trong các sổ tay kỹ thuật.
Ta thống kê một số công thức ở một số dạng cơ bản thờng dùng trong tính toán
(bảng 1).

Bảng 1. Công thức xác định các hệ số cứng tơng đơng

STT Sơ đồ Hệ số C
1

iD8
Gd
C
4
= Với G: môđun trợt của
vật liệu; d: đờng kính dây lò xo;
i, D: số vòng và đờng kính lò xo.
2

C = C
1
+ C
2
C
1

C
2

C
1

C