100 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC

1. Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh:
3
2
  
  
a b c
b c c a a b


2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
2 2 2
3
  
x y z .
Chứng minh :
3
  
xy yz zx
z x y

3. Cho x, y, z >0 thoả
1
x y z
  
. Chứng minh:
1 4 9

36
  
x y z


4. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh:
( )( )( )
      
xyz x y z y z x z x y


5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
Chứng minh :
1 1 1
1 1 1 1
   
      
   
   
a b c
b c a

6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1 .
Chứng minh :
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
  
  a b c b c a c a b



7. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn:
2
   
xyz x y z
.
Chứng minh :
3
2
  
x y z xyz

8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a
2
+b
2
+1 ab+a+b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
 a(b+c+d+e)
c) a

3
+b
3
 ab(a+b)
d) a
4
+b
4
 a
3
b+ab
3


9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)
2
 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2

) 6abc

10. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
 a
3
+b
3

b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 .
Chứng minh rằng: a
4
+b
4
+c
4
 a
3
+b
3
+ c
3



11.Cho a,b,c là các số dương,
Chứng minh rằng:


a b c
1 2
a b b c a c
   
  


12. Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh :


a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
    
       


13. Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a)
bc ac ab
a b c
a b c
    

b)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  

  

c)
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
    


14.Chứng minh rằng với a,b,c > 0 thì:
a)
2 2
2 2
a b a b
b a b a
  

b)
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    

c)
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
 

  
  


15. Cho
, , 0
x y z

và
1
xyz

. Chứng minh:

3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
  
     
x y z
y z z x x y


16. Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa
1
   
ab bc cd da
. Chứng minh:

3 3 3 3

1
3
   
       
a b c d
b c d c d a a b d a b c


17. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh:

2
1 1 1 27
( ) ( ) ( )
2( )
  
  
  
a a b b b c c c a
a b c d


18. Cho ba số dương x, y, z thỏa
2 2 2
3.
  
x y z Chứng minh:
3
  
xy yz zx
z x y





19. Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1. Chứng minh:

5 5 5 5 5 5
1
  
     
xy yz zx
x xy y y yz z z zx x


20. Cho
, , 0.

a b c
Chứng minh:

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
   
           
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd


21. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh:



3
2( )
1 1 1 2
 
 
  
    
  
 
  
 
x y z x y z
y z x
xyz


22. Cho ba số dương x ,y, z . Chứng minh:
3 3 3
    
x y z
x y z
yz zx zx


23.Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh
2 2 2
2( )
   
a b c ab ac




24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. Chứng minh:

2 2 2
3
2
1 1 1
  
  
a b c
b c a
.

25. Chøng minh r»ng :
a)
2
2 2
a b a b
2 2
 
 

 
 
;
b)
2
2 2 2
a b c a b c

3 3
   
 

 
 


26. Chøng minh m,n,p,q ta ®Òu cã
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1 m(n + p + q + 1)

27. Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc,
Chøng minh r»ng
a)
2
2
b
a ab
4
 

b)

2 2
a b 1 ab a b
    

c)


2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
       


28. Chøng minh r»ng:








10 10 2 2 8 8 4 4
a b a b a b a b
    


29. Cho x.y =1 vµ x.y = 1. Chøng minh
2 2
x y
x y




2 2


30. Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng
(a+b)(b+c)(c+a)

8abc

31. Cho a>b>c>0 vµ
2 2 2
a b c 1
  
. Chøng minh r»ng:

3 3 3
1
2
  
  
a b c
b c a c a b


32. Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng:








2 2 2 2
a b c d a b c b c d d c a 10
         



33. Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng:

2 2 2 2 2 2
(a c) (b d) a b c d
      


34. Cho 0 <a,b,c <1 . Chøng minh r»ng:

3 3 3 2 2 2
2a 2b 2c 3 a b b c c a
     


35. Cho a,b,c,d > 0 .Chøng minh r»ng

a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
    

       


36. Cho
a
b
<
c
d
vµ b,d > 0 . Chøng minh r»ng:
a
b
<
2 2
ab cd c
d
b d





37. Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng

1 1 1 1 3

2 n 1 n 2 n n 4
    
  



38. Chøng minh r»ng:



1 1 1
1 2 n 1 1
2 3 n
      
( Víi n lµ sè nguyªn dương)

39. Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c,chøng minh r»ng:
a, a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)

40. Cho a,b,c > 0 vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng

2 2 2
1 1 1
9
a 2bc b 2ac c 2ab
  
  

(1)



41. Chøng minh r»ng

2 2 2
1 1 1 1
2
n
1 2 n
    
( 1;



nNn )

42 . Cho Nn

vµ a+b> 0

Chøng minh r»ng
n
a b
2

 
 
 



n n
a b
2

(1)
43. Cho abc = 1 vµ
3
a 36

. Chøng minh r»ng:
2
a
3

b
2
+c
2
> ab + bc + ac
44. Chøng minh r»ng
a)
4 4 2 2
x y z 1 2x.(xy x z 1)
      

b)
2 2
a 5b 4ab 2a 6b 3 0

     

c)
2 2
a 2b 2ab 2a 4b 2 0
     



45. Cho x > y vµ xy =1 .Chøng minh r»ng



 
2
2 2
2
x y
8
x y





46. Cho xy

1 .Chøng minh r»ng

2 2

1 1 2
1 xy
1 x 1 y
 

 


47. Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1
Chøng minh r»ng
2 2 2
1
a b c
3
  


48. Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng:

3 3 3 2 2 2
2a 2b 2c 3 a b b c c a
     


49. Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng:

2 3
   
    
       

a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b


50. Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c
Chøng minh r»ng:

1 2
   
  
a b c
b c c a a b


51.Chøng minh:
a)
1 1 1 1

1.3 3.5 (2 1).(2 1) 2
   
 n n

b)
1 1 1
1 2
1.2 1.2.3 1.2.3
    
n



52.Chứng minh rằng:
, , 0
      
bc ca ab
a b c a b c
a b c


53.Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
0

      
a b c b c a
abc
b c a a b c


54. Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. CMR:
a)
 
 
 
1
8
p a p b p c abc
    ;
b)
1 1 1 1 1 1

2
p a p c a c
p b b
 
 
 
 
    
 



55. Cho ∆ ABC, a, b, c là số đo ba cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng:






b c a c a b a b c abc
      

56. Cho a>0, b>0. Chứng minh:
1 3
1 1 2
  
  
a b
a b b a



57.Chứng minh rằng:
2 2 2
, , 0
2
 
    
  
c a b a b c
a b c
a b b c c a


58. Cho
, , (0;1)
x y z

và
1
xy yz zx
  
. Chứng minh:

2 2 2
3 3
2
1 1 1
  
  

x y z
x y z

59. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c

   
     


60.Cho ∆ ABC. Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc

61. Cho ∆ABC. Chứng minh :

 
 
 
 
 
 
2 2 2

1 1 1
p
p a p b p c
p a p c
p b

  
 

  


62. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 va abc = 1 thì:

1 1 1
1
2 2 2
a b c
  
  



63. Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh
3 3 3
2 2 2
    
a b c
a b c
b c a


64.Cho a>0, b>0, c>0.
Chứng minh:
4 4 4 3 3 3
2 2 2

    
a b c a b c
b c a b c a



65. Cho a>0, b>0, c>0.
Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
1 1 1 1 1 1
    
a b c a b b c c a


66.Cho a>0, b>0, c>0.
Chứng minh:
4 4 4 3 3 3
1 1 1
    
a b c
b b c a b c



67. Cho a>0, b>0, c>0.
Chứng minh:
2 2 2
5 5 5 4 4 4
    
a b c a b c

b c a b c a


68.Cho a>0, b>0, c>0. Chứng minh:

2 2 2
5 5 5 3 3 3
1 1 1
a b c
b c a a b c
    



69.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:

2 2 2
1 1 1
a b c
b c a a b c



70.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:

3 3 3
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2( )
3






a b c
a b c
a b c abc


71.Cho a,b,c l 3 cnh ca 1 tam giỏc. Chng minh






4 4 4
( ) ( ) ( )



b c a c a b a b c
f ab bc ca
a a b c b b c a c c a b


72.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:
3 3 3 2 2 2


a b c ab bc ca



73.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:
4 4 4 3 3 3

a b c ab bc ca


74.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:
5 5 5 3 2 3 2 3 2

a b c a b b c c a



75.Cho a>0, b>0, c>0. Cho n,k l cỏc s nguyờn dng. Chng minh:



n k n k n k n k n k n k
a b c a b b c c a


76.Cho a>0, b>0.
Chng minh:
4
4 4
2 2






a b a b


77.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:

2
2 2 2
3 3





a b c a b c

78.Cho a>0, b>0, c>0. Chng minh:
3 3





n
n n n
a b c a b c



79. Cho a, b, c l ba s dng. Chng minh rng

3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b b c c a 9
2abc 2
c ab a bc b ac





80. Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:

1 1 1
1
1 1 1

x y y z z x


81. Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0. Chng minh raống :

3 4 3 4 3 4 6

x y z



82. Cho a, b, c l cỏc s thc khụng õm tha món
1
a b c

. Chng minh rng:


7
2
27
   ab bc ca abc .

83. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5
-x
+ 5
-y
+5
-z
= 1 .Chứng minh rằng:

  
 
  
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y


 

5 5 5
4
x y z


84. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

4 4
3
2 2
c a b
a b b c c a
  
  

85. Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh:

 
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
  
   
      
   
   
b c c a a b
a b c
a b c a b c


86. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

3
  
  
  
a b b c c a
a b c bc a ca b


87. Cho các số thực dương
, ,
x y z
. Chứng minh rằng:

5 5 5
3 3 3
2 2 2
    
x y z
x y z
y z x
.

88. Chứng minh rằng với mọi số thực dương
, ,
a b c
thỏa mãn
2 2 2

1
a b c
  
, ta có:

5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
     
  
  
a a a b b b c c c
b c c a a b
.


89. Cho a, b, c là c¸c số thực dương thoả m·n abc = 1. Chøng minh r»ng :

3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  


90. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3 3 3

2 2 2
3
3 3 3 4
a b c
b c a
  
  
.

91. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1
y
x z
x y y z z x x y z
    
  


92. Cho a, b,c là các số không âm. Chứng minh rằng

3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
( ) ( ) ( )
  
     
a b c
a b c b c a c a b


93. Cho các số dương
, , : 3.
  
a b c ab bc ca

Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
  
     
a b c b c a c a b abc



94. Cho các số thực dơng a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.
Chng minh rng :
2 2 2 2 2 2
2.



a b b c c a
b c c a a b


95. Cho 3 s dng a,b,c tho món: ab + bc + ca = abc. Chng minh:




1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 2
a a b b c c


96. Cho x, y, z > 0. Chng minh rng:

3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1


y
x z
x y y z z x x y z




97.Cho ba s thc dng a, b, c tha món abc = 1. Chng minh rng:



3 3 3
1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b




98. Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2
-x
+ 2
-y
+2
-z
= 1.Chứng minh rằng :

4 4 4
2 2 2 2 2 2
x y z
x y z y z x z x y





2 2 2
4
x y z



99. Cho a, b, c là những số dơng thoả mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng
10a 3b 2009 3
3b 2009c 2009c 10a 10a 3b 2





100. Cho ba s dng
, ,
x y z
. Chng minh rng:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9


x y z x y y z x z