Chuyên đề:
phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình
và hệ bất phơng trình
Biên soạn :trịnh xuân tình
Phần I: Phơng trình vô tỉ
Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:
1/
( ) ( )
f x g x=
( )
( ) ( )
2
g x 0
f x g x




=


2/
( ) ( ) ( )
f x g x h x+ =
Bình phơng hai vế
1-(ĐHQGHN KD-1997)
16x 17 8x 23+ =
2-(ĐH Cảnh sát -1999)
2 2
x x 11 31+ + =
3-(HVNHHCM-1999)

2
x 4x 2 2x
+ + =
4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt:
2
m x 3x 2 x + =
5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
x mx 2 2x 1+ + = +
6-(ĐGKTQD-2000)
5x 1 3x 2 x 1 0 =
7-(ĐHSP 2 HN)
( ) ( )
2
x x 1 x x 2 2 x + + =
8-(HVHCQ-1999)
x 3 2x 1 3x 2+ =
9-(HVNH-1998)
3x 4 2x 1 x 3+ + = +
10-(ĐH Ngoại thơng-1999)
2 2
3 x x 2 x x 1 + + =
Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ:
Dạng 1: Pt dạng:
2 2
ax bx c px qx r+ + = + +
trong đó
a b
p q

=
Cách giải: Đặt
2
t px qx r= + +
ĐK
t 0
1-(ĐH Ngoại thơng-2000)
( ) ( )
2
x 5 2 x 3 x 3x+ = +
2-(ĐH Ngoại ngữ -1998)
( ) ( )
2
x 4 x 1 3 x 5x 2 6+ + + + =
3-(ĐH Cần thơ-1999)
2
(x 1)(2 x) 1 2x 2x+ = +
4-
2 2
4x 10x 9 5 2x 5x 3+ + = + +
5-
3
2 2
18x 18x 5 3 9x 9x 2 + = +
1
6-
2 2
3x 21x 18 2 x 7x 7 2+ + + + + =
D¹ng 2: Pt D¹ng:
P(x) Q(x) P(x).Q(x) 0α +β + γ =


( )
0
αβγ ≠
C¸ch gi¶i: * NÕu
( )
P x 0
=
( )
( )
P x 0
pt
Q x 0
=


⇒ ⇔

=


* NÕu
( )
P x 0
≠
chia hai vÕ cho
( )
P x
sau ®ã ®Æt
( )

( )
Q x
t
P x
=

t 0≥
1-(§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm:
4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1− + + = −
2-
( )
2 3
2 x 3x 2 3 x 8− + = +
3-
( )
2 3
2 x 2 5 x 1+ = +
D¹ng 3: Pt D¹ng :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
P x Q x P x Q x
2 P x .Q x 0 0
α + +β ±

± α + γ = α +β ≠
C¸ch gi¶i: §Æt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
t P x Q x t P x Q x 2 P x .Q x= ± ⇒ = + ±
1-(§HQGHN-2000)
2
2
1 x x x 1 x
3
+ − = + −
2-(HVKTQS-1999)
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2− + − = − + − +
3-(Bé quèc phßng-2002)
2
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16+ + + = + + + −
4-
2
4x 3 2x 1 6x 8x 10x 3 16+ + + = + + + −
5-(C§SPHN-2001)
2
x 2 x 2 2 x 4 2x 2
− − + = − − +
D¹ng 4: Pt D¹ng:
( ) ( )
a cx b cx d a cx b cx n+ + − + + − =
Trong ®ã
a,b,c,d,n
lµ c¸c h»ng sè ,

c 0,d 0> ≠
C¸ch gi¶i: §Æt
( )
t a cx b cx( a b t 2 a b= + + − + ≤ ≤ +
1-(§H Má-2001)
2 2
x 4 x 2 3x 4 x+ − = + −
2-
( ) ( )
3 x 6 x 3 x 6 x 3+ + − − + − =
3-(§HSP Vinh-2000) Cho pt:
2

( ) ( )
x 1 3 x x 1 3 x m+ + + =
a/ Giải pt khi
m 2=
b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm
4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt
1 x 8 x (1 x)(8 x) a+ + + + =
a/Gpt khi
a 3=
b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm
5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1 3 x (x 1)(3 x) m + + =
6-(ĐH Ngoại ngữ-2001)
x 1 4 x (x 1)(4 x) 5+ + + + =
Dạng 5: Pt dạng:
2 2

x a b 2a x b x a b 2a x b cx m+ + + + = +
Trong đó
a,b,c, m
là hằng số
a 0
Cách giải : Đặt
t x b=
ĐK:
t 0
đa pt về dạng:

2
t a t a c(t b) m+ + = + +
1-(ĐHSP Vinh-2000)
x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1 + =
2-(HV BCVT-2000)
x 2 x 1 x 2 x 1 2+ =
3-(ĐHCĐ KD-2005)
2 x 2 2 x 1 x 1 4+ + + + =
4-(ĐH Thuỷ sản -2001)
x 5
x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
2
+
+ + + + + + =
5-
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
+

+ + =
6- Xét pt:
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ + =
a/ Giải pt khi
m 23=
b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm
II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số:
1-
( )
2 2
6x 10x 5 4x 1 6x 6x 5 0 + + =
2-(ĐH Dợc-1999)
( )
2 2
x 3 10 x x x 12+ =
3-(ĐH Dợc-1997)
( )
2 2
2 1 x x 2x 1 x 2x 1 + =
4-
( )
2 2
4x 1 x 1 2x 2x 1 + = + +
5-
( )
2 2

2 1 x x x 1 x 3x 1 + + =
3
6-(ĐHQG-HVNH KA-2001)
2 2
x 3x 1 (x 3) x 1+ + = + +
III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt:
Dạng 1: Pt Dạng:
n
n
x a b bx a+ =
Cách giải: Đặt
n
y bx a=
khi đó ta có hệ:
n
n
x by a 0
y bx a 0

+ =


+ =


1-(ĐHXD-DH Huế-1998)
2
x 1 x 1 = +
2-
2

x x 5 5+ + =
3-
2
x 2002 2002x 2001 2001 0 + =
4- (ĐH Dợc-1996)
3 3
x 1 2 2x 1+ =
Dạng 2: Pt Dạng:
( )
2
ax b r ux v dx e+ = + + +
trong đó
a,u, r 0
Và
u ar d, v br e= + = +
Cách giải: Đặt
uy v ax b+ = +
khi đó ta có hệ:
( )
( )
2
2
uy v r ux v dx e
ax b uy v

+ = + + +


+ = +



1-(ĐHCĐ KD-2006)
2
2x 1 x 3x 1 0 + + =
2-
2
2x 15 32x 32x 20+ = +
3-
2
3x 1 4x 13x 5+ = +
4-
2
x 5 x 4x 3+ =
5-
2
x 2 x 2= +
6-
2
x 1 3 x x = +
Dạng 3: PT Dạng:
( ) ( )
n m
a f x b f x c + + =
Cách giải: Đặt
( ) ( )
n m
u a f x , v b f x= = +
khi đó ta có hệ:
n m
u v c

u v a b
+ =


+ = +

1-(ĐHTCKT-2000)
3
2 x 1 x 1 =
2-
3 3
x 34 x 3 1+ =
3-
3
x 2 x 1 3 + + =
4-
4
4
97 x x 5 + =
5-
4
4
18 x x 1 3 + =

Ph ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp:
Dạng 1: Pt Dạng:
( ) ( )
f x a f x b+ =
Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ:
( ) ( )

( ) ( )
f x a f x b
f x a f x a b

+ =


+ =


m
4
1-
2 2
4x 5x 1 4x 5x 7 3+ + + + + =
2-
2 2
3x 5x 1 3x 5x 7 2+ + − + − =

3- 3- (§H Ngo¹i th¬ng-1999 )
2 2
3 x x 2 x x 1− + − + − =
4-(§H Th¬ng m¹i-1998)
2 2
x 3x 3 x 3x 6 3− + + − + =
5-(HVKTQS-2001)
1 1
1
x 4 x 2 x 2 x
+ =

+ + + + +
D¹ng 2: Pt D¹ng:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
f x g x m f x g x± = −
1-(HVBCVT-2001)
x 3
4x 1 3x 2
5
+
+ − − =

2-(HVKTQS-2001)
3(2 x 2) 2x x 6+ − = + +
Ph ¬ng ph¸p 4:Ph ¬ng ph¸p ®¸nh gi¸:
1-
2
x 2 4 x x 6x 11− + − = − +
2-
2 2 2
x x 1 x x 1 x x 2
+ − + − + = − +
3-(§HQGHN-Ng©n hµng KD-2000)
2
4x 1 4x 1 1− + − =
4-(§H N«ng nghiÖp-1999)
2
x 2x 5 x 1 2− + + − =
Ph ¬ng ph¸p 5:Ph ¬ng ph¸p ®k cÇn vµ ®ñ:
1-T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt:

x 2 x m+ − =
2- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt
x 5 9 x m− + − =
3- T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm duy nhÊt
4 4
x 1 x x 1 x m+ − + + − =

Ph ¬ng ph¸p 6: Ph ¬ng ph¸p hµm sè (Sö dông ®¹o hµm)
1-(§HC§ KB-2004) - T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm :

(
)
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − −
2- - T×m m ®Ó c¸c pt sau cã nghiÖm :
1*/
2
4 x mx m 2− = − +
2*/
x 1 x 1 5 x 18 3x 2m 1+ + − − − − − = +
3 (§HC§ KA-2007) T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm:

4
2
3 x 1 m x 1 2 x 1
− + + = −

4-(§HC§KB-2007) CMR
m 0∀ >
pt sau cã 2nghiÖm pb:

2
x 2x 8 m(x 2)+ − = −

5- 1*/
x x 5 x 7 x 16 14+ − + + + + =
2*/
3
x 1 x 4x 5− = − − +
3*/
2
2x 1 x 3 4 x− + + = −

6-(HVAn ninh KA-1997)T×m m ®Ó pt sau cã nghiÖm:
2 2
x 2x 4 x 2x 4 m+ + − − + =
5

Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ
Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:
1/
2
g(x) 0
f (x) 0
f (x) g(x)
g(x) 0
f (x) g (x)
<








>





>



2/
2
g(x) 0
f (x) g(x) f (x) 0
f (x) g (x)

<

<


<

3/
f (x) g(x) h(x)
Bình phơng hai vế bpt

1-(ĐHQG-1997)
2
x 6x 5 8 2x + >
2-(ĐHTCKT Tphcm-1999)
2x 1 8 x
3-(ĐH Luật 1998)
2
x 2x 1 1 x
+ >
4-(ĐH Mỏ-2000)
(x 1)(4 x) x 2+ >
5-(ĐH Ngoại ngữ)
x 5 x 4 x 3+ + > +
6-(ĐHCĐKA-2005)
5x 1 x 1 2x 4 >
7-(ĐH Ngoai thơng-2000)
x 3 2x 8 7 x+ +
8-(ĐH Thuỷ lợi -2000)
x 2 3 x 5 2x+ <
9-(ĐH An ninh -1999)
5x 1 4x 1 3 x
10-(ĐHBK -1999)
x 1 3 x 4+ > +
11-(ĐHCĐ KA-2004)
2
2(x 16)
7 x
x 3
x 3 x 3



+ >

Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng
1/
f (x) 0
f (x)
0
g(x) 0
g(x)
>

>

>

hoặc
f (x) 0
g(x) 0
<


<

2/
f (x) 0
f (x)
0
g(x) 0
g(x)

>

<

<

hoặc
f (x) 0
g(x) 0
<


>

6
Lu ý: 1*/
2
B 0
A
1
B
A B
>

>

>

2*/
B 0

A
1
A 0
B
<

<



hay
2
B 0
A 0
A B

>




<

1-(ĐHTCKT-1998)
2
51 2x x
1
1 x

<


2-(ĐHXD)
2
3x x 4 2
2
x
+ + +
<


3-(ĐH Ngoại ngữ -1998)
2
1 1 4x
3
x

<
4-(ĐHSP)
2 x 4x 3
2
x
+


Ph ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:
1-(ĐHSP Vinh-2001)
( )
2
2
x

x 4
1 1 x
>
+ +
2-(ĐH Mỏ-1999)
( )
2
2x
x 21
3 9 2x 2
< +
+

3-
2 2
4(x 1) (2x 10)(1 3 2x)
+ < + +
Ph ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế:
1-(ĐH An ninh -1998)
2 2 2
x x 2 x 2x 3 x 4x 5+ + + +
2-(ĐHBK-2000)
2 2 2
x 3x 2 x 6x 5 2x 9x 7+ + + + + + +
3-(ĐH Dợc -2000)
2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18 + + + +
4-(ĐH Kiến trúc -2001)
2 2
x 4x 3 2x 3x 1 x 1 + +

Ph ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:
1-(ĐH Văn hoá)
2 2
5x 10x 1 7 x 2x+ +
2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000)
2 2
2x 4x 3 3 2x x 1+ + >
3-(HV Quan hệ qt-2000)
2
(x 1)(x 4) 5 x 5x 28+ + < + +
4-(ĐH Y-2001)
2 2
2x x 5x 6 10x 15+ > +
5-(HVNH HCM-1999)
2 2
x(x 4) x 4x (x 2) 2 + + <
6-ĐH Thái nguyên -2000)
3 1
3 x 2x 7
2x
2 x
+ < +
7
7-(ĐH Thuỷ lợi)
2 1
4 x 2x 2
2x
x
+ < + +
8-(HV Ngân hàng 1999)

x 2 x 1 x 2 x 1 3 2+ + >
9- Cho bpt:
2
4 (4 x)(2 x) x 2x a 18 + +
a/ Giải bpt khi
a 6=
b/Tìm a để bpt nghiệm đúng
[ ]
x 2;4
10-Xác định
m
để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :

2
(4 x)(6 x) x 2x m+ +
trên
[ ]
4;6

Ph ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số:
1-(ĐH An ninh-2000)
2
7x 7 7x 6 2 49x 7x 42 181 14x+ + + + <
2-
2
x x 7 2 x 7x 35 2x+ + + + <
3-
2
x 2 x 5 2 x 7x 10 5 2x+ + + + + + <
4- Xác định

m
để bpt sau có nghiệm: a/
4x 2 16 4x m +
b/
2
2x 1 m x
+

Phần III: Hệ Phơng trình
A- một số hệ pt bậc hai cơ bản
I-hệ pt đối xứng loại 1
1*/ Đ ịnh nghĩa:
f (x; y) 0
g(x; y) 0
=


=

Trong đó
f (x; y) f (y;x),g(x; y) g(y;x)= =
2*/ Cách giải: Đặt
S x y, P xy= + =
ĐK:
2
S 4P
Dạng 1: Giải ph ơng trình
1-(ĐHQG-2000)
2 2
x y xy 11

x y 3(x y) 28
+ + =


+ + + =

2-
x y y x 30
x x y y 35

+ =


+ =


3-(ĐHGTVT-2000)
2 2
x y xy 11
x y y x 30
+ + =


+ =

4-(ĐHSP-2000)
2 2
4 4 2 2
x y xy 7
x y x y 21


+ + =


+ + =


8
5- (§H Ngo¹i th¬ng-1997)
2 2
2 2
1 1
x y 5
x y
1 1
x y 9
x y

+ + + =




+ + + =


6-(§H Ngo¹i th¬ng -1998)
2 2
4 2 2 4
x y 5

x x y y 13

+ =


− + =


7-(§HC§KA-2006)
x y xy 3
x 1 y 1 4

+ − =


+ + + =



D¹ng 2: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm:
1-(§HC§KD-2004) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
x y 1
x x y y 1 3m

+ =


+ = −



2- T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
2 2
x y xy a
x y a
+ + =


+ =

3-Cho hÖ pt:
2 2
x y x y 8
xy(x 1)(y 1) m

+ + + =

+ + =

a/ Gi¶i hÖ khi
m 12=
b/ T×m
m
®Ó hÖ cã nghiÖm
4-Cho hÖ pt:
2 2
x xy y m 1
x y y x m
+ + = +



+ =


a/ Gi¶i hÖ khi m=-2
b/ T×m
m
®Ó hÖ cã Ýt nhÊt mét nghiÖm
( )
x; y
tho¶ m·n
x 0, y 0> >
5- T×m m ®Ó hÖ cã ®óng hai nghiÖm:
( )
2 2
2
x y 2(1 m)
x y 4

+ = +


+ =


6-(§HC§KD-2007) T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:
3 3
3 3
1 1
x y 5
x y

1 1
x y 15m 10
x y

+ + + =




+ + + = −


D¹ng 3: T×m §K ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
9
1-(HHVKTQS-2000) Tìm
m
để hệ sau có nghiệm duy nhất
2 2
x y xy m 2
x y y x m 1
+ + = +


+ = +

2-(ĐHQGHN-1999) Tìm
m
để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
x xy y 2m 1

xy(x y) m m
+ + = +


+ = +

3- Tìm
m
để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 2
x y y x 2(m 1)
2xy x y 2(m 2)

+ = +

+ + = +

Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số :
Nếu ba số
x, y,z
thoả mãn
x y z p, xy yz zx q, xyz r+ + = + + = =
thì chúng là
nghiệm của pt:
3 2
t pt qt r 0 + =
1-Giải các hệ pt sau :
a/
3 3 3
x y z 1

xy yz zx 4
x y z 1

+ + =

+ + =


+ + =

b/
2 2 2
3 3 3
x y z 1
x y z 1
x y z 1
+ + =


+ + =


+ + =

c/
x y z 9
xy yz zx 27
1 1 1
1
x y z



+ + =


+ + =



+ + =


2- Cho hệ pt:
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4

+ + =

+ + =

Giả sử hệ có nghiệm duy nhất
CMR:
8 8
x, y,z
3 3


II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2
1*/ Định nghĩa

f (x; y) 0
g(x; y) 0
=


=

trong đó :
f (x; y) g(y; x),f (y;x) g(x; y)= =
2*/ Cách giải: Hệ pt
f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0
f (x; y) 0 f (x; y) 0
= =



= =


x y 0
f (x; y) 0
=



=

hay
h(x; y) 0
f (x; y) 0

=


=

Dạng 1: Giải ph ơng trình:
10
1-(ĐHQGHN-1997)
y
x 3y 4
x
x
y 3x 4
y

=




=


2-(ĐHQGHN-1998)
3
3
x 3x 8y
y 3y 8x

= +



= +


3-(ĐHQGHN-1999)
1 3
2x
y x
1 3
2y
x y

+ =




+ =


4-(ĐH Thái nguyên-2001)
3
3
x 1 2y
y 1 2x

+ =



+ =


5-(ĐH Văn hoá-2001)
x 1 7 y 4
y 1 7 x 4

+ + =


+ + =


6-(ĐH Huế-1997)
2
2
8
7x y 0
x
8
7y x 0
y

+ =




+ =



Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:
1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm
m
để hệ có nghiệm:
x 1 y 2 m
y 1 x 2 m

+ + =


+ + =


2- Tìm
m
để hệ có nghiệm:
2x y 3 m
2y x 3 m

+ =


+ =


Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất
1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
( )
2

2
x 1 y a
(y 1) x a

+ = +


+ = +


2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
xy x m(y 1)
xy y m(x 1)

+ =


+ =


3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
x y axy 1
y x axy 1

+ = +



+ = +


III - Hệ ph ơng trình đẳng cấp:
*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng
2 2
ax bxy cy d+ + =
*/ Cách giải: Đặt
x ty=
11
*/ Lu ý: Nếu
(a;b)
là nghiệm của hệ thì
(b;a)
cũng là nghiệm của pt.
Dạng 1: Giải ph ơng trình:
1-(ĐHPĐ-2000)
2 2
2 2
2x 3xy y 12
x xy 3y 11

+ + =


+ =


2-(ĐHSP Tphcm-2000)

2 2
2 2
x 2xy 3y 9
2x 2xy y 2

+ + =


+ + =



3-(ĐH Mỏ-1998)
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35

+ =


+ =


Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất
1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm
m
để hệ sau có nghiệm :
2 2
2 2

3x 2xy y 11
x 2xy 3y 17 m

+ + =


+ + = +


2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:
2 2
2 2 4 3 2
x 2xy 3y 8
2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105

=


+ + = + +


3-Tìm
m
để hệ sau có nghệm diuy nhất:
2 2 2
2 2 2
x mxy y m 3m 2
x 2xy my m 4m 3

+ = +



+ + = +



B- Một số ph ơng pháp giải hệ pt :
Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp thế:
1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt:
2 2 2
x y m 1
x y y x 2m m 3
+ = +


+ =

1/ Giải hệ khi
m 3=
2/Tìm
m
để hệ trên có nghiệm
2-(ĐHCĐKB-2002)
3
x y x y
x y x y 2

=



+ = + +


3-(HVQY-2001)
2 2 2 2
x y x y 2
x y x y 4

+ =


+ + =


4-(ĐH Huế-1997) Tìm
k
để hệ sau có nghiệm:
2 2
x y 1
x y k

+ =

=

5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt:
2 2
x my m
x y x 0
+ =



+ =

a. GiảI hệ khi
m 1=
b. Biện luận số nghiệm của pt
c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt
1 1 2 2
(x ; y );(x ; y )
tìm m để :
12

2 2
2 1 2 1
A (x x ) (y y )= +
đạt giá tri lớn nhất
6-(SP TPHCM-1999) Tìm
m
để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt:
3 3
x y 1
x y m(x y)
+ =


=

Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:
1-(ĐHGTVT TPHCM-1999)

2 2
xy 3x 2y 16
x y 2x 4y 33
=


+ =

HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau
2-(ĐHThơng mại-1997)
x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9
+ + =


+ + =


+ + =

3-(ĐHBKHN-1995)
2 2 2
2
x y z 7
x y z 21
xz y
+ + =



+ + =


=

4-(ĐHSPHN-2000)
2 2
2 2 2
y xy 6x
1 x y 5x

+ =


+ =


HD:chia cả hai vế của2pt cho
2
x
Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:
1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)
x 16
xy
y 3
y 9
xy
x 2

=





=


2-(ĐH Công đoàn-2000)
2 3
2
x x
( ) ( ) 12
y y
(xy) xy 6

+ =



+ =

3-(ĐH Hàng hải-1999)
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78

+ = +




+ =


(x 0, y 0)> >
4-(ĐH Thuỷ sản-2000)
x 1 y 1 3
x y 1 y x 1 y 1 x 1 6

+ + + =


+ + + + + + + =


Phần:IV Hệ Bất Phơng trình
A- Hệ bpt một ẩn số:
Cho hệ:
( )
1
2
f x 0(1)
f (x) 0(2)
>


>

(I) Gọi

1 2
S ,S
Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2)
S là tập nghiệm của (I)
1 2
S S S =
Tìm
m
để hệ sau có nghiệm:
13
1-(HVQH Quèc tÕ-1997)
2
2
x (m 2)x 2m 0
x (m 7)x 7m 0

− + + <


+ + + <


2-(§H Th¬ng m¹i-1997)
2
2 2
x 2x 1 m 0
x (2m 1)x m m 0

− + − ≤



− + + + ≤


3-
2
2
x (m 2)x 2m 0
x (m 3)x 3m 0

− + + ≤


− + + ≥


4-(§H Thuû lîi-1998)
2
x 2mx 0
x 1 m 2m

− <


− + ≤


5-(§H Th¬ng m¹i-1998)
2
3 2

x 3x 4 0
x 3x x m 15m 0

− + ≤


− − − ≥


T×m
m
®Ó hÖ sau v« nghiÖm:
1-
2
2
x 1 0
(m x )(x m) 0

− ≤


− + <


2-
2
2 2
x 6x 5 0
x 2(m 1)x m 1 0


− + ≤


− + + + ≤


3-
2
2
x 7x 8 0
m x 1 3 (3m 2)x

+ − <


+ > + −


T×m
m
®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:
1-
2
2
x 3x 2 0
x 6x m(6 m) 0

− + ≤



− + − ≥


2-
2
2
x 2x a 0
x 4x 6a 0

+ + ≤


− − ≤



3-
2 2
4 2
x (2m 1)x m m 2 0
x 5x 4 0

+ + + + − =


− + <


B- HÖ bpt hai Èn sè:
T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm:

1-(§HGTVT-2001)
x y 2
x y 2x(y 1) a 2
+ ≤



+ + − + =


2-
2 2
x y 2x 2
x y a 0

+ − ≤

− + =

3-
2 2
4x 3y 2 0
x y a
− + ≤


+ =


T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:

14
1-
2 2
x y 2x 1
x y a 0

+ + ≤

− + =

2-
x y 2xy m 1
x y 1

+ + + ≥


+ ≤




Phó xuyªn ngµy 15 th¸ng 07 n¨m 2007

trÞnh xu©n t×nh
15