trường phân tầng phương ngang a có
)(znn =
chúng t
1=
V
tại mọi
Nếu chỉ số khúc xạ có dạng
vế phải của (7.4.24) tỉ lệ với
t .
),()(),( rzznrzn
µ
+=
2
0
2
,
µ
. Đối với những điều kiện đại dương điển
hình,
µ
là một đại lượng nhỏ đó, hàm )(~
2
10
−
và do
V
rất gần với đơn
vị.
Bây giờ, nếu khai triển các hàm
lân
cận một chuỗi lũy thừa của

ho các số hạng cùng
bậc bằng nhau, ta nhận được một hệ truy ệ số
của chuỗi khai triển của
ốn hệ số đầu tiên (bỏ qua các đối số
của chúng) [7.14] là:
33
. (7.4.25)
ủa chỉ số khúc xạ
xuất hiện trong số hạng thứ ba.









Chương 8
SỰ TRUYỀN ÂM PHẢN DẪN SÓNG
n âm phản dẫn sóng diễn ra
khi một tia rời khỏi nguồn không bao giờ trở lại độ sâu của nguồn. Một ví
dụ về truyền phản dẫn sóng được cho trên hình 1.8. Ở đây chúng ta sẽ xét
kiểu truyền âm này đối với hai trường hợp khác nhau, tức tùy thuộc
građien tốc độ
ại một trục phản dẫn sóng không bằng không
(mục 8.1) hay bằng không (mục 8.2, 3).
8.1. KÊNH PHẢN DẪN SÓNG TUYẾN TÍNH LÂN CẬN BỀ MẶT
NƯỚC
Giả sử rằng trong nửa không gian

ới hạn bởi mặt nước tự
do tại
phương của chỉ số khúc xạ được cho bằng luật tuyến
tính
(8.1.1)
Tại
ần tương ứng với luật tuyến tính đối với tốc độ âm
(mục 6.6). Phương trình (6.5.4) với
ản ước thành
(6.6.12) nếu chúng ta đặt
trong đó
(8.1.2)
Trường âm tại một điểm bất kỳ lại một lần nữa được mô tả bằng (6.6.6)
với những hàm riêng được chọn đúng dắn
),(),,,( ztFzrtV
và ),( tzn
2
ở
rt = thành
)( rt −
và c
hồi cho các h ),(
)(
zrV
m

),,( zrtV
. B
2210
21211 rVrVV /,/,

)()()(
=−== ,
rnkrV ∂∂+−=
−
/
)( 2
0
Ta thấy rằng sự hiệu chỉnh liên quan tới sự biến thiên c
Ngược lại với truyền dẫn sóng, sự truyề
dzdc/
t
0>z gi
0=z , bình
azzn += 1
2
)( .
az
bé, nó g
)(zc

)()( znkzk
0
=
gi
Hztt /−=
0
,
312
0
2

0
22
0
/
)(),(
−
=−= akHkHt
ξ
.
)(z
l
ψ
.
Đối với các điều kiện phản dẫn sóng, những hàm này tại
265 266

∞→
z

phải biểu diễn các sóng đi ra. Điều kiện này được thỏa mãn bởi hàm Airy
)(tZ
(mục 6.6), biểu diễn tiệm cận của hàm này khi
∞→
z
theo (6.6.14,
16) sẽ là
[]
23
0
41

3
2
4
/
/
,)/(iexp)(~)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=+−
−
t
H
z
vvttZ
π
. (8.1.3)
Điều i
ặt nước tự
do)
kiện biên đòi hỏi rằng hàm này bằng không tạ
0=z (m
0
0
=
=z
tZ )(

hay
0
0
=)(tZ
, (8.1.4)
điều này cho phương trình đối với các giá trị riêng
l
ξ
.
Nếu chú ý tới các kết quả thu được ở mục 6.6, nghiệm của (8.1.4) có
thể được viết như sau
)/iexp( 3
00
π
ll
ytt =≡
. (8.1.5)
Nếu sử dụng quan hệ giữa
t
và
0
ξ
(8.1.2), ta được
)/i(exp)/( 3
22
0
2
πξ
Hyk
ll

+= . (8.1.6)
Vậy tất cả
l
ξ
là
s
số phức và do đó, tất cả các sóng
23
suy giảm. Sự suy yếu
tăng lên theo ố hiệu thức
Nếu ta chú ý rằng
l
.
t
H
tHz ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
2
2
1
ξ
ξ

,
,
áp suất âm tại điểm ể được viết nếu sử dụng (6.6.6) như sau
),( zr
có th
∑
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂−
=
l
l
t
ll
rH
t
Z
tZtZ
H
zrp
l
)()()(
i
),(

)(
ξ
π
1
0
2
1
0
, (8.1.7)
HzttHzttyt
llllll
/,/),/iexp(
10100
3 −=−==
π
.
Như mọi khi, nguồn âm được giả thiết nằm tại điểm
Chúng ta cần xem xét diễn biến tiệm cận của (8.1.7) đối với
),( z0
.
1
1
>>>>
l
Hzz
ξ
,,
. Trong trường hợp này , và các mô đun
củ a hàm
Hankel và của hàm 3), ta có

4

l
t
và
l
t
1
âm
a chúng lớn. Do đó, nếu sử dụng các biểu diễn tiệm cận củ

)(tZ
(8.1.
41
1
21211
0
1
2
///)(
)()()()()(
−−
=
llllll
ttrrHtZtZ
πξξ

[
(iexp
1

]
)/
π
ξ
+r
l
, (8.1.8)
trong đó
(8.1.9)
Bây giờ hàm mũ trong (8.1.8) sẽ là
++× vv
ll
lll
tHzHzzHtHzv
0
212323
0
23
32132
////
)/()/)(/()/()/)(/( −≈−= ,
ll
tHzHzv
0
21
1
23
11
32
//

)/()/)(/( −≅ ,
12
000
212
0
2
0
2
−
+≈+= )()/(
/
HktkHtk
lll
ξ
.
[
]
23
1
23
01
32
//
)/()/()/( HzHzrkrvv
lll
++=++
ξ

)()(
ml

rrHkt −+
−12
00
2 , (8.1.10)
trong đó
a
zz
r
m
)(
1
2 +
= . (8.1.11)
Trên hình 8.1 OAAA’ là tia giới hạn tiếp tuyến với bề mặt nước
Ở bên trái của đường AA’ có một vùng có âm do các tia trực tiếp và các
tia phản xạ từ bề mặt nước (các tia OE và OCC’). Ở bên phải của AA’ có
một vùng tối hình học, nơi đây không có các tia trực tiếp và các tia phản
xạ từ bề mặt đạt tới, và áp suất âm trong phép xấp xỉ hình học bằng
không.
)( 0=z
.
267 268

ở đây

23
Vì những nguyên nhân sẽ rõ trong mục 8.2, những sóng này được gọi là các
tựa thức.

Hình 8.1. Sự hình thành một vùng tối hình học và các tia khúc xạ

Dễ dàng chứng minh rằng ảng cách phương ngang do tia
giới hạn OAA’ đi qua đối v
m
r
là kho
ới các
z
và
1
z
(hình 8.1). Thật vậy,
ở đây ững hình chiếu lên phương
ngang của OA và AA’.
ể tìm từ (2.4.1) nếu ta chú ý rằng đối
với
1) tương ứng luật tuyến tính của
ậy, (2.4.1) phải được đặt s
AAOA
′
+= rrr
m
,
OA
r
và
AA
′
r
là nh
OA

r
có th
<<az
, (8.1.
)(zc
,
)/()( 21
0
azczc −≈
. Vì v ao cho
20
1
/,,,
OA
aarD
iliii
====
−
χ
χ
χ
và ta nh
=
OA
r
1
2
ận được
χ
sin)/( a

. Bây giờ, nếu nhớ rằng
1
χ
bé và sử dụng công thức
ợp đang xét công thức này cho (2.2.3), trong trường h
=
1
χ
21
1
/
)(az , ta
nhận được
ảng cách ẽ nhận được từ
bằng cách thay thế
ằng
21
1
2
/
OA
)/( azr = . Kho
AA'
r
s
OA
r


1

z
b
z
, và ta được biểu thức (8.1.11) cho
Bây giờ, nếu sử dụng giá trị của
m
r
.
H
từ (8.1.2), ta viết biểu diễn tiệm
cận của (8.1.7) dưới dạng
[]
{}
∑
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+++×
rki
0
exp
[
]

)()()i)(/(exp
/
ml
rraky −×−×
312
0
34 . (8.1.12)
Có thể thấy rằng, bắt đầu tại biên của vùng tối hình học mỗi sóng suy yếu
theo khoảng cách tuân theo luật
)](exp[
ml
rr −−
β
, trong đó
)/())(/(
//
0
2221312
0
2343 kHyyak
lll
−
⋅==
β
. (8.1.13)
Đối với
ỉ có sóng thứ nhất trong (8.1.12) có thể được
xét, với són
Đối với
Hrr

m
>>− )(
, ch
g này
23382,=
l
y
.
Hrr
m
≤−
, tức trong vùng
chuyển tiếp có bề rộng
H
trên m
ưu ý r
ề rộ
ặt cắt AA’ của tia giới hạn, phải tính tới
nhiều sóng. Cũng cần l ằng biểu diễn tiệm cận (8.1.12) sẽ không
đúng trong lớp có một b ng cỡ
H
kề cận mặt nước.
Trường âm trong vùng tối hình học có thể được mô tả dựa trên các
biểu diễn tia nếu chúng ta đưa ra khái niệm về các tia khúc xạ theo gương
Keller và nnk (ví dụ, xem [8.1]) và Brekhovskikh [8.2, mục 54]. Để nhận
được các tia khúc xạ người ta phải hình dung rằng tia giới hạn OAA’ trên
hình 8.1 bị tách tại điểm A thành các tia AA’ và AB, tia AB đi dọc theo
biên và tại mỗi điểm tạo nên các tia khúc xạ (một trong số chúng, tia BB’
được biểu diễn trên hình vẽ
) lan truyền trong môi trường tuân theo các

quy luật tia bình thường. Trong giới hạn
độ của các tia
khúc xạ trở thành bằng không.
8.2. SỰ PHẢN DẪN SÓNG ĐỐI XỨNG: CÁC TỰA THỨC
24

Những đặc điểm chính của trường hợp đã xét ở mục trước là:
građien của chỉ số khúc xạ có một giá trị hữu hạn tại trục kênh phản dẫn
sóng (trùng với bề mặt nước
Đặc điểm của sự truyền sẽ rất khác
khi građien đó bằng không (hình 8.2a). Cụ thể, tia giới hạn và vùng tối

∞→
0
k
biên
0=z
).
≈
l
t
l
t
Z
zzak
zzkarzrp
2
23
1
2321

0
41
1
61
0
21
0
432
2
/)()/(
)()/()/(),(
///
///
π
π

269 270


24
Các tác giả cảm ơn A.G. Voronovich đã giúp phát triển mục này và mục tiếp
theo.
vắng mặt trong trường hợp này (hình 8.2b). Tia với góc mở bằng không
tại trục tiếp cận trục này một cách tiệm cận (tại
ư chúng ta có
thể thấy, ví dụ từ (2.3.2) nếu người ta cho
∞→r
), nh
)(cos 0
1

n=
χ
ở đó và khai
triển
một chuỗi của
)()( 0
22
nzn − thành
z
(bắt đầu với g
trườ
2
z
). Tron
ng hợp này ta được
0→z và
∞→r
là
zln
.

Hình 8.2. (a iện
a ản dẫn
sóng đối với
à (b) biểu đồ tia
Ta xét trường hợp khi số sóng bình phương được mô tả bằng một
hàm đối xứng so với mặt phẳng
) Trắc d
)(zc
củ kênh ph

00 =)('c
v
0=z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
bz
A
kzk
2
2
1
2
1
ch
)( . (8.2.1)
Khi ±∞→
z
, ta có
1
kzk →)(
. Đại lượng hịch đảo với bề rộng của
kênh phản dẫn sóng.
Chúng ta sẽ bắt đầu từ công thức chung (6.5.10) đối với áp suất âm
của một nguồn điểm. Các hàm
b

ng
)(
~
zp
1
và
)(
~
zp
2
khi ±∞→
z
phải tương
ứng với các sóng đi ra tại vô cùng. Nếu ký hiệu
b
k
2122
1
/
)(
ξ
µ
−
=
(8.2.2)
ta có
.),i(exp)(
~
,),i(exp)(
~

+∞→→
−∞→−→
zbzzp
zbzzp
µ
µ
2
1
(8.2.3)
Giá trị căn trong (8.2.2) được chọn sao cho
{}
0≥
µ
Im
. (8.2.4)
Điều ữu hạn của này đảm bảo những giá trị h
1
p
~
và
2
p
~
khi ±∞→
z
. Các
hàm
ãn (6.5.4). Nếu ký hiệu
(8.2.5)
thì phương trình này có thể được viết thành


)(
~
zp
và
)(
~
zp
phải thỏa m
1 2
22
1
bAkM /=
0
2
22
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+ p
bz
M
bp
~
cosh
"

~
µ
. (8.2.6)
Điều này có thể chứng minh bằng cách thế trực tiếp, nên nghiệm của
(8.2.6) là
,
th
),;i,,F()iexp()(
~
2
1
11
111
bz
ssbzzp
+
=−−+−=
ςςµµ
(8.2.7)
trong đó
);,,F(
ζ
cba
là hàm hype hình học thỏa mãn phương trình [8.3]
0
11
1
2
2
=

−
−
−
−++
− F
)(
F
)(
)(F
ζζζζζ
ζ
ς
ab
d
dcba
d
d
. (8.2.8)
Hàm F được biểu diễn bằng một chuỗi

)(
))((
);,,( +
+⋅⋅
++
+
⋅
⋅
+=
2

121
11
1
1
ζζζ
cc
baa
c
ba
cbaF
. (8.2.8’)
Tham số
s
trong (8.2.7) là một nghiệm bất kỳ của phương trình
ẽ lấy
01 =++ Mss )(
. Ta s
271 272

21
4
1
2
1
/
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
−−−= Ms , (8.2.9)
trong đó đặt với
ự thỏa mãn
điều kiện th ởi vì
2121
414141
//
)/(i)/(,/ ==−> MMM . S
ứ nhất của (8.2.3) là hiển nhiên b
101
1
→→−→ F,,th
ζ
bz
khi
−∞→
z
. Với tư cách nghiệm độc lập
thứ hai, ta lấy
);i,,F()iexp()(
~
)(
~
212
11
ζ
µ
µ
−−+=−= ssbzzpzp

,
2
1
2
bzth−
=
ζ
. (8.2.10)
Biểu thức sau cùng thỏa mãn điều kiện thứ hai trong (8.2.3). Như ta thấy
từ công thức (6.5.10), cần phải biết toán tử Wronski
phụ
thuộc vào
w
. Vì nó không
z
, ta tính nó đối với
−∞→
z
, lấy (8.2.3) cho Để tìm
ử dụng các công thức đã biết đối với các hàm hype hình học
1
p
~
.
)(
~
−∞
2
p
, ta s

(
)( x
Γ
là hàm gamma)
);,,F(
)()(
)()(
);,,F(
ζζ
−+−+
−Γ−Γ
−−
Γ
Γ
= 11cbaba
bcac
bacc
cba

)()(
)()(
)(
ba
cbac
bacc
ΓΓ
−+ΓΓ
−+
−−−
ζζ

1
1

);,,F(
ζ
−+−−−−× 1111 bacba
. (8.2.11)
Khi
−∞→
z
ta có
1
2
→
ζ
và từ (8.2.11), nếu sử dụng (8.2.9) và công
thức
x
xx
π
π
sin
)()( =−ΓΓ 1
[8.3], ta tìm được khi
−∞→
z

)iexp(
sin
sin

i)iexp(
)i()i(
)i()i(
~
bz
s
bz
ss
p
µ
πµ
π
µ
µµ
µµ
−+
+−Γ−−Γ
−Γ−Γ
→
1
1
2

(8.2.12)
Bây giờ, nếu chú ý tới quan hệ
)i(i)i(
µ
µ
µ
−

Γ
−=−
Γ
1
, ta nhận được cho
toán tử Wronski
)i()i(
)i(
~~~~
ss
b
ppppw
+−Γ−−Γ
−Γ
=
′
−
′
=
µµ
µ
1
12
2
1221
. (8.2.13)
Nhân tiện, hãy lưu ý rằng nếu xem số hạng thứ nhất trong (8.2.12) như
một sóng phẳng tới lớp xác định bởi (8.2.1), số hạng thứ hai như một
sóng phẳng phản xạ từ lớp đó và
được cho bằng (8.2.3) như một sóng

truy các biểu thức cho hệ số phản xạ
2
ền qua lớp, ta có thể nhận được
p
~

V

và hệ số truyền qua
W
đối với lớp
w
b
W
w
sb
V
µ
πµ
π
µ
i
,
sh
sin
2
2
−
==
. (8.2.14)

Nếu sử dụng giá trị của
ừ (8.2.13), từ (6.5.10) ta thu được cho áp
suất âm
w
t
ξξξ
µ
ξ
ξ
µµ
dr
zpzp
ssbzrp )(H
)i(
),(
~
)(
~
)i()i()(),(
)(1
0
2
121
1
1
12
∫
∞
∞−
−

−Γ
++−Γ−−Γ=

(8.2.15)
Chúng ta tính tích phân bằng cách làm biến dạng quãng đường lấy tích
phân nguyên gốc thành một nửa đường tròn vô hạn trong nửa mặt phẳng
phía trên mà trên đó tích phân bằng không (điều này có thể dễ dàng
chứng minh). Biểu thức dưới dấu tích phân là một hàm trị số kép của
ξ

do giá trị căn
đường tích phân trong (8.2.15)
đi qua khiên “cao”, n 4) được thỏa mãn. Để phân biệt các
khiên “cao” (
bk /)(
/ 2122
1
ξµ
−= . Quãng
ơi điều kiện (8.2.
0>}Im{
µ
) và “dưới” (
0<}Im{
µ
), chúng ta tạo ra những
lát cắt từ các điểm
1
k±=
ξ

dọc theo các đường
0=}Im{
µ
. Nếu giả thiết
rằng
lát cắt được biểu diễn bởi các đường gợn
sóng
8.3.
1
k
có một phần ảo bé, các
1
C
và
'
1
C trên hình
273 274










Hình 8.3. Các lát cắt trong
mặt phức

ξ

1
k
đi ra từ các
điểm
Bây giờ ta khảo sát những điểm kỳ dị của biểu thức dưới dấu tích
phân trong (8.2.15). Vì các hàm
±=
ξ

)i(/);i,,F()iexp(
)i(
)(
~
µζµµ
µ
−Γ−−+−=
−Γ
′
111
1
1
ssbz
zp

và
)i(/)(
~
µ

−
Γ
1
2
zp

không có các điểm kỳ dị trong mặt phẳng
ξ
,
25
các điểm kỳ dị duy nhất
có thể là các cực được xác định bằng những phương trình
,,,i,i 2101 =−=++−−=−− llsls
µ
µ
(8.2.16)
trong đó một hàm
Γ
nào đó ở tử số trong biểu thức dưới dấu tích phân
(8.2.15) là vô cùng. Nghiệm của phương trình thứ nhất là
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=−== lMls
l
21
4
1
2
1
/
i)(i
µµ
. (8.2.17)
Với 41
/
<
M
khi
µ
là ảo thuần túy, cũng như với 41
/
>
M
khi

25
Nếu sử dụng một chuỗi (8.2.8’), có thể dễ dàng chứng minh rằng hàm

)(/);,,F( ccba
Γ
ζ
là hàm giải tích ở mọi nơi theo tham số c .
2121
4141
//
)/(i)/( −=− MM , ta có
{}
0<
l
µ
Im
, t
y có thể ch
ức các cực nằm trên
khiên thấp. Theo cách tương tự điều nà ứng minh đối với họ
cực thứ hai, đối với chúng
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
−−−=++−== lMls
21
1
4
1
2
1
1
/
i)(i
µµ
. (8.2.18)
Như vậy, biểu thức dưới dấu tích phân trong (8.2.15) không có các cực ở
trong khiên cao. Do đó, nghiệm của bài toán của chúng ta chỉ có một phổ
liên tục (tích phân đường rẽ nhánh) và không bao gồm các thức chuẩn.
Tuy nhiên, để tính tích phân đường rẽ nhánh, hợp lý hơn cả là dịch
chuyển quãng đường lấy tích phân từ lát cắt
n lát cắt ),
bởi vì, như chúng ta sẽ thấy dưới đây, tích phân trên các rìa của lát cắt
sau dễ tính bằng phương pháp giảm nhanh. Trong trường h y quãng
đường lấy tích phân đi từ rìa phải của
ơi một mũi tên chỉ hướng
đường đi lên) qua một khiên cao đến
ết. Ngược lại,
quãng đường lấy tích phân từ rìa trái c
đi trong quá trình biến dạng
đến

ấp (nơi
1
C
đế
2
C
(hình 8.3
ợp nà
1
C
(n
2
C
không có các v
ủa
1
C

2
C
trên khiên th
0<}Im{
µ
) và chúng ta ph
ực nằm ở
ải thêm vào
nghiệm những phần dư tại các c khiên thấp giữa
Điều này cho phép chúng ta tách một số sóng trong nghiệm tương tự như
các thức chuẩn, được gọi là các tựa thức hay các thức khuếch tán (hay các
thức không chuẩn, thức không quy tắc).

Tiếp tục phân tích các cực, có thể dễ thấy rằng với 4
1
C
và
2
C
.
1
/
<
M
không
có các cực nằm giữa
ật vậy, trong trường hợp này
1
C
và
2
C
. Th
l
µ
trong
(8.2.17) đơn thuần ảo; do đó
Với 4
222
1
2
bk
ll

µξ
−=
2
1
k> .
1
/
>
M
(8.2.17) được viết thành
/
)
l
. (8.2.19)
Ta s
21
4121 /()/(i −++−= Ml
µ
ẽ chứng minh rằng trong trường hợp này một số hữu hạn các cực có
275 276

thể nằm giữa
1
C
và
2
C
. Với mục đích đó, ta xét hình 8.4a trong mặt
phẳng
ξ

. Hình này biểu diễn các đại lượng
2
)(, bb
µµ
(cả hai trong lũy
thừa bốn),
22
1
2
)( bk
µξ
−= và
ξ
như các vectơ (chỉ số
l
bị bỏ đi).
Trong trường hợp này
1
k<}Re{
ξ
và do đó, ằm g ữa
điều đó đúng nếu điều kiện
một cực n i
1
C
và
2
C
. Tuy nhiên,
{} {}

µ
µ
ImRe −>
tức .2.20)
Trường hợp ngược lại (
)/()/(
/
2141
21
+>− lM (8
được thực hiện.
o
45>}arg{
µ
) được biểu diễn trên hình
8.4b. Ở đây
ở trong lũy thừa ba, nó dẫn tới bất đẳng thức
22
b
µ

{}
1
k>
ξ
Re
và một cực nằm ở phía phải của đó chúng ta không
quan tâm.
2
C

và do

Hình 8.4. Phân tích các cực trong mặt phẳng
ξ
phức
Theo cách này, có thể chứng minh rằng tất cả các cực của họ
(8.2.18) nằm ở phía phải của
ết quả là, chúng ta thấy rằng các tựa
thức sẽ được cho bởi những phần dư tại các cực (8.2.19) ngoại trừ rằng
(8.2.20) được thực hiện. Biểu thức sau cùng xác định số lượng cực đại
các tựa thức
(8.2.21)
trong đó cặp dấu ngoặc
ỉ số nguyên bé nhất lân cận. Vậy, rõ ràng
rằng những điều kiện sau là cần thiết để tồn tại một tựa thức (
2
C
. K
m
l

{}
2141
21
/)/(
/
−−= Ml
m
,
{}


ch
đây
0=l
):
21
/
>
M
hay
1
2
2
2
1
>
b
Ak
, (8.2.22)
có nghĩa là
A
không thể quá bé và bề rộng của kênh phản dẫn sóng
thể là rất bé so với bước sóng.
Nếu tính toán các phần dư tại các cực bằng cách sử dụng liên tiếp
quan hệ cơ bản đối với các hàm
b/1

không

Γ


),()/()( 11 +
Γ
=
Γ
zzz

người ta có thể thu được
0
11
11
1
→
−
=
−+−−
+Γ
≈−Γ x
xlxxlxlx
x
lx
l
,
!
)(
)) ()((
)(
)( .
Áp dụng kết quả này cho
[]

ls
l
−−−
Γ
=−−
Γ
)(i)i(
µ
µ
µ
trong (8.2.15)
ở lân cận của cực
l
µ
và đặt
)(i
l
x
µ
µ
−−=
, ta nhận được ở lân cận này
l
l
l
s
µµ
µ
−
−

≈−−Γ
11
!
)(
i)i(
. (8.2.23)
Bên ngoài lân cận đó người ta có thể đặt
)(i ls
l
−==
µ
µ
tron
hân theo một bi
g
(8.2.15). Khi ước lượng các phần dư, chúng ta tích p ến
µ

sử dụng quan hệ
khi dùng
các ký hiệu
µξµµµξξ
dbdddd
llll
)/()/(
2
−== . Sau
)()(
)(
! lsls

ls
l
A
l
−Γ+−Γ
+−
Γ
≡
1
121
, (8.2.24)
277 278

0
[]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−+−+−=≡
2
1
11
1
bz
lsssbzlszpz
ll

th
;,,F)(exp),(
~
)(
ξψ
,

)(),(
~
),(
~
zzpzp
lll
−=−=
ψ
ξ
ξ
12
, (8.2.25)
chúng ta thu được từ (8.2.15) đối với trường được xác định bởi một tổng
các phần dư
.2.26)
∑
−−=
l
llll
l
rzzAbzrp )(H)()()(i),(
)(
ξψψπ

1
01
1
. (8
Sử dụng (8.2.11) với
1
ζ
ζ
=
cho bởi (8.2.7), có thể chứng minh rằng
)(z
l
ψ
là một hàm chẵn theo
z
đối với
l
chẵn và là một hàm lẻ đối với
ẻ. Khi đó (8.2.16) đố ự ức có thể viết thành
(8.2.27)
Biểu thức này đối xứng theo
l
l i với tổng các t a th
∑
=
l
llll
rzzAbzrp )(H)()(i),(
)(
ξψψπ

1
01
.
z
và
1
z
và do đó, đúng đối với ũng
như
ạng của biểu thức này hoàn toàn tương tự với (6.4.11) đối
với tổng của các thức chuẩn trong kênh dẫn sóng. Nhưng mỗi tựa thức
trong (8.2.27) là một thành tạo khá đặc biệt. Vậy theo (8.2.3) ta có
1
zz <
c
1
zz >
. D
)iexp()(, bzzz
ll
µ
ψ
−→−∞→

nhưng, như chúng ta đã thấy,
{}
0<
l
µ
Im

và do đó,
l
ψ
tăng theo hàm
mũ khi
−∞→
z
. Có thể dễ dàng chứng minh rằng
l
ψ
diễn biến theo
cùng cách khi
+∞→
z
. Vậy năng lượng chứa trong mỗi thức là vô hạn.
Thay vì vậy, các hàm đó thường tỏ ra tiện dụng [8.4-6].
Các tựa thức luôn sinh ra nếu sự thấm năng lượng từ một kênh xảy
ra. Chẳng hạn, các sóng đã xét ở mục 8.1 là những tựa thức.
Nếu chúng ta sử dụng biểu diễn tiệm cận của hàm Hankel trong
(8.2.26), ta sẽ thấy rằng biên độ của mỗi tựa thức giả
m theo khoảng cách
quy luật r tuân theo
{}()
l
r
ξ
Imexp −
. Nếu chú ý rằng
ta nhận được đối với
ử dụng giá trị của

222
1
2
bk
ll
µξ
−= ,
l
bé (
21/
Ml <<
), s
l
µ
từ
(8.2.19)
(8.2.28)
Hệ số suy giảm không phụ thuộc vào tần số và tăng lên khi
ăng.
Trong [8.2, mục 55] đã chứng minh đối với
ý rằng khi trục
kênh phản dẫn sóng trùng với bề mặt nước, trong p ấp xỉ WKB hệ số
đánh số hiệu của
chúng ta) bằng
26
Chỉ số khúc xạ ở
đây quy tỷ lệ theo trục kênh phản dẫn
đã giả thiết rằng
ễ dàng chứng minh rằng biểu thức sau cùng trùng với
i với

đối với ang xét ở đây.
Đối với những tần số đủ cao, trường trong kênh phản dẫn có thể
được tính toán bằng phương pháp tia. Các hình 8.5 và 8.6 biểu diễn
những biểu đồ tia trong tọa độ
đối với trường hợp
ể chứng minh một cách dễ dàng nhất
đối với trường hợp
ằng trường nhận được như là một tổng
của các tựa thức hoàn toà g hợp với trường theo phép xấp xỉ tia
trong miền mà phép x ụng được. Tích phân đường rẽ nhánh
trên
ể bỏ qua. Ngoài ra, tổng của các tựa thức sẽ mô tả trường
trong m
ột cách tổng quát hơn so với
trường hợp được xét ở đây. Do đó, trong trường hợp truyền âm trong một
ựa thức s
ẽ
tươn
{}
[]
)/()/(Im
/
211
21
+−= lAA
l
ξ
.

l

t
)(zn
tùy
hép x
suy giảm đối với tựa thức thấp nhất (
1=l
theo cách
21
023
/
)]()[/( n
′′
.
)(/)()( zcczn 0=

0=z
, và
00 =
′
)(n
. D
(8.2.28) đố
1=l
và
)(zn
đ
br
và
bz


20
11
== bzz ,
và 040,=A . Có th
0
1
== zz
r
n trùn
ấp xỉ tia áp d
1
ột số trường hợp khi lý thuyết tia không áp dụng được, ví dụ tại
các điểm tụ tia. Kết quả này tỏ ra đúng m
C
có th
lớp chất lỏng nằm bên trên một nửa không gian lỏng, thì các t
279 28
g ứng với các tia có phản xạ một phần tại mặt phân cách với nửa
không gian [8.7].

26
Khi xác định
a
[8.2, phương trình (55.17)] đã mắc lỗi số thay vì 1/2 đã viết
số 1.

Hình 8.5. Sơ đồ tia đối với
Để tổng kết mục này, chúng ta lưu ý rằng các biểu thức (8.2.25, 26)
đối với các tựa thức còn có thể sử dụng khi bề mặt rắn lý tưởng hay bề
mặt tự do nằm ở

g trường hợp thứ nhất, trường sẽ là một tổng
của (8.2.26) và tr ủa một nguồn ảo nằm đối xứng ở phía khác của
mặt phẳng
ết quả là trường sẽ được cho bằng một tổng kép của
các t ứ hai, trường sẽ là một
tổ

0400
1
,, == Az

0=z
. Tron
ường c
0=z
. K
ựa thức chẵn (8.2.26). Trong trường hợp th
ng kép của các tựa thức không chẵn.

Hình 8.6. Như hình 8.5 đối với
8.3. SỰ PHẢN DẪN SÓNG ĐỐI XỨNG: SÓNG RÌA
uả tích phân trong (8.2.15) dọc theo đường rẽ nh
ọi là sóng rìa. Để tránh những phức tạp toán học chúng ta xét
sóng rìa đối với một trường hợp khi nguồn và máy thu nằm trên trục kênh
phản dẫn sóng
ả thiết rằng 1
2
1
=bz


Kết q
8.2) được g
ánh
2
C
(hình
)( 0
1
== zz
và gi >>
M
. Những giản ước
này không ảnh hưởng tới sự nhận thức về bản chất của sóng rìa và tầm ý
nghĩa của nó.
Theo các định nghĩa (8.2.7, 10) và công thức đối với hàm hype hình
học [8.3]
1
211
22
2
2
1
−
⎥
⎦
⎢
⎣
⎟
⎠
⎜

⎝
Γ
⎟
⎠
⎜
⎝
ΓΓ=
⎟
⎠
⎜
⎝
− ccaaF
c
)(;,,
/
π

11
−
⎤⎡
⎞
⎛
−+
⎞
⎛
+
⎞
⎛
acca
281 282


),,,( 210 −−≠c
,
ta có
)/;i,,F()(
~
)(
~
211100
21
µ
−−+== sspp

1
21
2
1
2
2
12
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
−−
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
Γ−Γ=
µµ
µπ
µ
ii
)i(
/i
ss
. (8.3.1)
Bây giờ nếu dùng “công thức nhân đôi” đối với các hàm
Γ

)/()()(
/
2122
1221
+ΓΓ=Γ
−−

zzz
z
π

ta nhận được từ (8.2.15) biểu thức đối với sóng rìa
)( 0
1
== zz

∫
−
=
ξξξµφ
drbp
at
)(H)()(
)(1
0
1
1
4
, (8.3.2)
trong đó
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+

Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
Γ
=
2
2
2
1

2
1
2
µµ
µµ
µφ
ii
ii
)(
ss
ss
(8.3.3)
và tích phân được lấy dọc theo các cạnh của đường rẽ nhánh
8.3). Vì giá trị của biểu thức dưới dấu tích phân tại điểm như nhau trên
các khiên khác nhau chỉ khác nhau bởi dấu của
2
C
(hình
µ
, nên tích phân (8.3.2)
có thể viết thành
(8.3.4)
ở đây
[]
∫
∞+
−
−−=
i
)(

)(H)()()(
1
1
1
0
1
1
4
k
k
at
drbp
ξξξµφµφ
,

{}
0>
µ
IM
.
Nếu khai triển hàm
)(
µ
φ
thành một chuỗi và sử dụng các thuộc tính
đã biết của hàm
Γ
sẽ cho
(8.3.5)
trong đó

)(i)()(
3
4
µµµφµφ
OB +=−− ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Γ
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
Γ
−=
2
2
2
1
2
1
2
2
ss
ss
s
B
π
π
sin
. (8.3.6)
Ta đưa vào (8.3.4) một biến tích phân mới
s
sao cho
2
1
sk i+=

ξ
,
∞<<
s
0 . Đối với
s
bé ta có
ex))(/(
/
21
21
1
µ
−≈ skb
)/ip(
4
π
− .
Nếu sử dụng biểu diễn tiệm cận đối với hàm Hankel, ta thu được trong
(8.3.4) tích phân
∫
∞
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=−

0
232122
4
1
//
)exp( rdssrs
π
. (8.3.7)
Bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng lát cắt
2
C
trên hình 8.3 thực sự là một
quãng đường suy giảm đột ngột. Trong tích phân (8.3.4),
µ
và
s
bé sẽ
đáng kể tại
ớn. Kết quả là ta được
(8.3.8)
ững nét điển hình như một sóng rìa trong trường hợp của
ẫn sóng, cụ thể là, nó truyền với tốc độ
r
l
)iexp()(i: rkbrBkpzz
at 1
2
111
0
−

−=== ;
lat
p
có cùng nh
một kênh d
11
kc /
ω
=
b
giảm the
ằng tốc độ
âm bên ngoài kênh phản dẫn sóng và biên độ của nó o
2
1 r
/
tại
những khoảng cách lớn.
Tại những khoảng cách ngắn từ nguồn, các tựa thức có đóng góp lớn
cho trường. Nhưng vì tất cả chúng suy giảm theo hàm mũ với khoảng
cách, nên trường của sóng rìa sẽ áp đảo tại
ở đây ột
khoảng cách “chuyển tiếp” nào đó. Chúng ta sẽ ước lượng kho
đó cho trường hợp
t
rr >
,
t
r
là m

ảng cách
0
1
== zz
, =
M
>>
2
1
)/( bkA , t
c lượng
ức khi kên phản dẫn
sóng là rộng so với bước sóng. Để ướ
B
trong (8.3.6), chúng ta
283 284

Γ
cho bdùng biểu diễn tiệm cận đối với hàm ởi
(8.3.9)
Khi đó, vì
ba
xbxaxx
−
→+Γ+Γ∞→ )(/)(, .
121
21
>>−−≈
−
sMs ,i/

/
, ta được
(8.3.10)
Việc ước lượng trường của các tựa thức có thể thực hiện với sóng
suy yếu ít nhất
ếu sử dụng biểu diễn tiệm cận của hàm
)exp(i
// 2121
2 MMB
ππ
−−≈
−
.
)( 0=l
. N
Γ

∞→−→Γ
−
xxxx
x
,)exp()()(
// 2121
2
π
, ta thu được từ (8.2.24) bậc
đại lượng
4121
0
2

//
~)(~ MsA
.
Nếu chú ý rằng
)(0
l
ψ
là có bậc đơn vị, và biểu diễn tiệm cận c
Hankel và (8.2.27) đối với
được ước lượng bậc đại lượng đối
với trường của các tựa thức
(8.3.11)
So sánh (8.3.11) và (8.3.8) có sử dụng (8.3.10) cho thấy rằng
khoảng cách có thể lấy làm ước lượng thô đối với
ại đó các biểu
thức ở trong các hàm mũ bằng nhau
ủa hàm
0=l
, ta
)/exp()(
////
2
214121
1
23
rbAMrkb −
−
π
.
t

r
mà t
2121
2
1
//
MrbA
t
π
≅

hay, nếu chú ý rằng
ằng
(8.3.12)
Vậy
ằng khoảng cách mà tại đó bề rộng của kênh phản dẫn sóng
trùng với bề rộng của đới Fresnel.
Hình 8.7 biểu diễn sự phụ thuộc vào khoảng cách của biên độ tựa
thức thứ nhất (và là tựa thức duy nhất đối với những điều kiện này)
(đườn cong
3). Những dao ao thoa của tựa
th
ức của chúng trở nên
bằng nhau là
Ước lượng theo (8.3.12) cho
đây có thể xem là sự trùng hợp thỏa mãn.
)(
//
bkAM
1

2121
≅ , b
2
1
2 bkr
t
/
π
= .
t
r
b
g cong 1), sóng rìa (đường cong 2) và tổng của chúng (đường
động trên đường cong 3 gây nên bởi sự gi
và sóng rìa. Khoảng cách mà tai đó các biên độ
725
1
=≡ rkR
.
628
1
=
t
rk
,

Hình 8.7. Phụ thuộc của biên độ tựa thức thứ nhất (đường 1), sóng rìa
(đường 2) và tổng của chúng (đường 3) vào khoảng cách







285 286