Ở đây đạo hàm bậc hai theo
)(0f
′′
là
1
χ
. Sử dụng (5.6.4), ta tìm được
00
1
1
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
= )(',
sin
sin
)(
)(ln
)(' f
c
c
D
V
f

h
h
h
h
h
χ
χ
χ
χ
χ
χ
,
m
h
h
h
h
D
V
f
χ
χ
χ
χ
χ
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
= ctg
)(
)(ln
)(" 0
. (5.6.15)
Nếu thế (5.6.12-15) vào (5.6.3) và lấy cận trên bằng vô cùng, ta nhận
được
})]([exp{)sin()]("[
//
0202
1
0
21321
2
1
frDfrp +−=
−

=
−
βχπ
χ
. (5.6.16)
Định luật suy yếu một lần nữa lại trở thành
ưng với một sự suy
yếu bổ sung do hấp thụ ở đáy.
Công thức (5.6.16) sẽ không đúng đối với
ớn, khi đó chỉ có một
hay một số ít các thức còn giữ lại. Giá trị ước l ủa
ực đại
cho phép được thực hiện chỉ trong trường hợp lớp đồng nh ng các
giá trị có nghĩa của
23/−
r , nh
r l
ượng c
m
rr =
c
ất. Khoả
1
χ
trong công thức ước lượng khoảng (5.6.3) có bậc
là
ổng số các thức xấp xỉ bằng
[]
21
0

/
)(
−
′′
fr
. T
λ
/h2
. Trong khoảng các
giá trị có nghĩa sẽ có
ức. Đòi hỏi rằng số này
phải lớn hơn nhiều so với đơn vị quyết định điều kiện
[]
)/()(
/
πλ
hfr 40
21−
′′
th
)("
)/(
0
4
2
f
h
r
m
πλ

<< . (5.6.17)
Chúng tôi phải nhận xét rằng (5.6.16) cũng sẽ không đúng nếu như
nguồn và máy thu nằm ở cùng một độ sâu. Khi đó
183 184

∞→
χ
sin
1
khi
0
1
→
χ
. Weston [5.9] đã có những nghiên cứu tỉ mỉ về các định luật suy
yếu trung bình.




















Chương 6
KÊNH ÂM NGẦM
Kênh âm ngầm (USC) là một ống dẫn sóng tự nhiên điển hình.
Những kiểu phân tầng đại dương dẫn tới sự hình thành kênh âm ngầm đã
được đưa ra ở mục 1.2. Lý thuyết truyền âm trong kênh âm ngầm sẽ được
giới thiệu ở đây.
6.1. LÝ THUYẾT TIA ĐƠN GIẢN CỦA KÊNH ÂM NGẦM: HỆ SỐ
BẪY SÓNG CỦA KÊNH ÂM NGẦM
Chúng ta bắt đầu bằng việc rút ra biểu thức cho hệ số
bẫy năng
lượng âm của một nguồn điểm đa hướng - một đặc trưng quan trọng của
kênh âm ngầm.
Giả sử tốc độ âm tại các biên của kênh âm ngầm là
dụ,
trường hợp biểu diễn trên hình 1.2) và ại độ sâu nguồn. Tất
cả các tia rời khỏi nguồn với các góc mở trong k
b
c
(ví
hb
cc =
ở
1
c
t

hoảng
),(
mm
χ
χ
−
sẽ bị
bẫy bởi kênh âm ngầm. Ở đây
m
χ
là góc mở cực đại xác định bằng định
luật Snell
b
m
c
c
1
=
χ
cos
. 6.1.1
Năng lượng âm bị bẫy bởi kênh âm ngầm liên hệ với năng lượng phát
tổng cộng như là góc khối
liên hệ với góc khối tổng cộng
∫∫
−
=
m
m
m

dd
χ
χ
π
χπϕχχ
2
0
4 sincos

.
π
4
Vậy, hệ số bẫy là
m
K
χ
sin=
. (6.1.2)
Vì
m
χ
luôn l
21
1
2
/
)(
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
−
≈≈
b
b
m
c
cc
K
χ
. (6.1.3)
ỏ, tức nguồn càng nằm gần trục kênh, thì hệ số bẫy
1
c
càng nh
K

K
càng lớn. Ngược lại, khi nguồn tiến sát các biên của kênh
tiến tới 0. Trong các trường hợp thực
cc
b
)( →
1

K
nhỏ, thường là
b

b
c
cc
1
−
nhỏ hơn
hoặc xấp xỉ bằng 0,03 và do đó,
m
χ
nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng 15
o
,
K

nhỏ hơn hoặc xấp xỉ bằng ẳ. Tuy nhiên, các sóng âm lan truyền trong
kênh âm ngầm có thể được ghi nhận tại những khoảng cách nhiều nghìn
kilômet cách các nguồn.
6.1.1. Mô hình “tuyến tính” của kênh âm ngầm
Các đặc trưng của kênh âm ngầm được xác định bằng trắc diện tốc
độ âm
ất nhiều kiểu trắc diện như vậy. Tuy nhiên, nhiều đặc
điểm tr âm trong kênh âm ngầm có thể có thể nhận được trên cơ sở
các trắ
ô hình” đơn giản. Các bức tranh tia đối với một số
trắc diện như ã được phân tích kỹ trong bài báo của Pedersen và
White [6.1]. chúng ta sẽ xét mô hình đơn giản nhất, giả thiết rằng
tốc độ âm tă ến tính với độ sâu từ bề mặt xuống tới đáy. Một mô
hình như thế mô tả định tính về những đặc điểm chính của sự
truyền âm trong kênh âm ngầm, bởi vì tốc độ âm thực tế tăng tuyến tính
với độ sâu ở các vùng khơi đại dương tại những độ sâu lớn (ví dụ, ở Đại

Tây Dương t ng độ sâu hơn 1,5 km). Mô hình tuyến tính lần đầu
tiên được đề xu 6.2] để mô tả kênh âm ngầm ở biển Nhật Bản do các
nhà khoa học ện năm 1946 [6.3] độc lập với các nhà khoa
học Mỹ
, nhữ ười trước đó đã phát hiện kênh âm ngầm ở Đại Tây
Dương. Ở biể t Bản phụ thuộc tuyến tính
được quan trắc thấy
từ những độ sâu 200-300 m đến đáy (khoảng 2 km ở các vùng khơi). Sự
)(zc
. Có r
uyền
c diện
)(zc
“m
thế đ
Ở đây
ng tuy
cho phép
ại nhữ
ất [
Liên Xô phát hi
ng ng
n Nhậ
)(zc

uôn nhỏ,
185 186

phân tầng tương tự có mặt ở biển Hắc Hải. Mô hình tuyến tính còn có ích
trong lý thuyết về kênh âm mặt.


Hình 6.1. Các tham số để tính tia đối với trắc diện tốc độ âm tuyến tính
Giả sử độ sâu đại dương là

(6.1.4)
Như thường lệ,
độ sâu của nguồn, còn
ần tự là các tốc độ âm tại độ sâu nguồn và tại đáy
ệu
h
và
hzazczc ≤≤+= 01
0
),()(
.
1
z
là
)(
101
1 azcc +=
và
)( ahcc
b
+= 1
0
tu
(hình 6.1a). Ta ký hi
10
χ

χ
,
và
χ
là các góc mở của một tia tại các
tầng mặt, nguồn và máy thu (hình 6.1b). Theo định luật Snell, chúng liên
hệ với nhau bằng các phương trình
ccccs /cos/cos/
χ
χ
χ
==
1100
. (6.1.5)
Ta sẽ xác định
độ sâu xuyên xuống cực đại của một tia, bằng
cách thay thế
m
z
,
χ
và
c
trong (6.1.5) bằng các giá trị của chúng tại
tức 0
m
zz =
,
=
χ

và
)(
m
azcc += 1
0
, điều này cho
Do đó ta được
1
1
1
1
11
−−
+=+ )(cos)(
m
azaz
χ
.
[
]
1
1
1
2
11
1
11
221
χχχχ
−−

+=−+= cos)/(sincos)cos( azazaz
m

(6.1.6)
Đôi khi sẽ có ích nếu biểu diễn
ố hạng của
m
z
thành các s
0
χ
. Đặt
0
1
=z
và
01
χ
χ
=
trong công thức cuối cùng, ta được
(6.1.7)
Vì
[]
)/(sin)cos/( 22
0
2
0
χχ
az

m
= .
1
χ
thường nhỏ cho nên
1
1
≈
χ
cos
và
22
11
//sin
χ
χ
≈
, ta có một
cách gần đúng
(6.1.8)
Các tia với
ị bẫy bởi ống dẫn sóng; chúng ta sẽ gọi những tia đó
là “các tia kênh”. Các tia không bị bẫy, truyền đi kèm theo những lần
phản xạ từ yếu mạnh và tại những khoảng cách lớn có thể bỏ
qua được. T óc cực đại của
)/( azz
m
2
2
11

χ
=− .
1≤
m
z
b
đáy, bị suy
ừ (6.1.80 g
1
χ
đối với các tia kênh là
(6.1.9)
Như chúng ta thấy, đây cũng là biểu thức đối với hệ số bẫy
[]
21
1
2
/
)( zha
m
−=
χ
.
K
.
Mỗi tia truyền đi kèm theo những lần phản xạ từ bề mặt nước.
Khoảng cách
D
giữa hai lần phản xạ liên tiếp nhau, gọi là độ dài chu
trình, nhận được từ công thức (2.4.1); nếu ta đặt

iii
DD 20
01
===
−
,,
χ
χ
χ
, (6.1.10)
thì
0
2
χ
tg
a
D =
. (6.1.11)
Ta đã bỏ đi chỉ số
i với mở
i
đố
i
a
. Góc
0
χ
càng lớn thì độ dài chu trình
càng lớn. Độ dài chu trình cực đại là
(6.1.12)

21
0
222
/
maxmax
)/()(tg)/( ahaD ≅=
χ
.
187 188

Với m (vùng khơi đại dương) và đien tốc
độ thủy tĩnh)
.
Có nhiều tia với số chu trình khác nhau có thể đi tới điểm máy thu.
Do đó, nếu nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước và cách nhau một
khoảng cách
ẽ nối với nhau bởi những tia nào rời nguồn
với một góc thỏa mãn phương trình
5=h
k
15
1021
−−
⋅= m,a (gra
657,
max
=D
km
r , thì chúng s
∞== ,,,,tg)/( 212

0
NaNr
N
χ
, (6.1.13)
do đó
N
ar
N
2
0
arctg=
χ
. (6.1.14)
Số các chu trình
N
càng nhiều thì tia càng bám sát vào bề mặt và trong
giới hạn
∞→
N
tia truy
năng lượ
ền dọc theo bề mặt. Do đó, sự tập trung các tia
và mật độ ng âm tăng lên được quan sát thấy ở gần bề mặt. Thật
vậy, theo (6.1.7), tất cả các tia rời khỏi nguồn với những góc mở giữa 0
và
0
χ
ở lại trong một lớp với độ dày
a

z
m
2
2
0
χ
≅
. Năng lượng âm trong
phạm vi lớp này giảm như là
0
χ
giảm, tức là chậm hơn so với ỷ số
giữa năng lượng phát vào lớp và độ dày tăng lên khi
m
z
. T
0
χ
giảm theo
0
1
χ
/
.
Sự tập trung năng lượng gần biên như vậy hoàn toàn tương tự như hiệu
ứng “các ba công thì thầm” có lẽ được thấy lần đầu tiên tại thánh đường
Saint Paul ở Luân đôn. Hiệu ứng này đã được Rayleigh giải thích, đó là
sự tăng mật độ năng lượng âm lân cận một bề mặt cong. Sự khác biệt duy
nhất đó là ở hiện tượng các ban công thì thầm thì biên là mặt cong và các
tia thì thẳ

ng, còn ở trường hợp hiện tại thì ngược lại. Tuy nhiên, có thể
chỉ ra rằng vấn đề ở đây chỉ là độ cong tương đối của các tia và biên.
Nếu một nguồn không nằm gần bề mặt
)( 0
1
≠z
, thì khi cho
0
1
=
χ

trong (6.1.5) và chú ý rằng
ận được biểu thức cho
góc mở cực đại gần bề mặt
(6.1.15)
và từ (6.1.11) biểu thức cho độ dài chu trình cực đại
(6.1.16)
)(
101
1 azcc +=
, ta nh
21
10
2
/
min
)()( az≅
χ


21
1
22
/
min
)/( azD ≅ .

Hình 6.2. Hệ thống các tia và vùng tụ tia trong kênh âm
với tốc độ âm phụ thuộc tuyến tính vào độ sâu. Các giá trị
không thứ nguyên của
ar
và az10 được ghi dọc các trục
Mặc dù sự đơn giản của định luật tuyến tính đối với ức tranh
tia toàn phần sẽ khá phức tạp. Trên hình 6.2 biểu diễn bứ h này cho
trường hợp
đại lượng không thứ nguyên
được ghi dọc theo các trục. Những đường đậm nét biểu diễn hình bao của
các họ tia (vùng tụ tia).
6.1.2. Thời gian truyền
Phát xạ xung, chẳng hạn, thường được dùng trong khi khảo sát kênh
âm ngầm. Khi một xung đơn được phát ra, thì một số xung về đích tại
điểm quy chiếu, chúng truyền đi dọc theo các tia khác nhau và có những
thời gian truyền khác nhau. Trước hết, ta xác định thời gian truyền đi dọc
)(zc
, b
c tran
0120
1
,=az
. Các

az
và
ar

189 190

theo một tia giữa các độ sâu tùy ý ời gian truyền đi dọc theo
một phần tử tia
1
z
và
2
z
. Th
χ
sin/dzds =
sẽ là
]sin)(/[)(/
χ
zcdzzcdsdt ==
.
)
Nếu sử dụng quan hệ
biểu diễn
()( azczc += 1
0
và
dz
qua
χ

d
bằng
cách lấy vi phân (2.2.2), ta tìm được thời gian truyền đi
∫
=
2
1
0
1
χ
χ
χ
χ
cos
d
ac
t
,
ở đây
)(
11
z
χ
χ
≡
và
)(
22
z
χ

χ
≡
. Đây là tích phân quen thuộc, nên ta có
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
−
+
=
2
2
1
1
0
1
1
1
1
2
1
χ
χ

χ
χ
sin
sin
ln
sin
sin
ln
ac
t
. (6.1.17)
Cho
0
201
==
χ
χ
χ
,
, ta nh
quay trở lại của tia (ký hi
ận được thời gian truyền từ bề mặt nước đến
điểm ệu bằng
2
/
t∆
)
0
0
0

1
1
2
1
2
χ
χ
sin
sin
ln
−
+
=
∆
ac
t
.
Thời gian truyền đối với chu trình đầy đủ là
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++≅
−
+
=∆
sin
sin

ln
4
0
2
0
0
0
0
0
0
24
1
6
1
1
2
1
1
1
χχ
χ
χ
χ
acac
t . (6.1.18)
Để dơn giản, ta chấp nhận rằng nguồn và máy thu nằm gần bề mặt nước.
Khi đó, thời gian truyền tổng cộng từ nguồn đến máy thu dọc theo tia có
N
chu trình sẽ xấp xỉ bằng (bỏ qua các số hạng
4

0
χ
, ).
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
0
0
0
6
1
1
2
χ
χ
ac
N
t
N
. (6.1.19)
Theo (6.1.14),
)/(arctg Nar 2
0
=
χ

. Nếu khai triển vế phải thành chuỗi
lũy thừa của
N
ar 2
/
, rồi thế kết quả vào (6.1.19) đối với
0
χ
và bỏ qua
các lũy thừa bậc bốn và cao hơn của ận được
)/( Nar 2
, ta nh
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
2
22
0
24
1
N
ra
c
r

t
N
. (6.1.20)
Như vậy, một xung truyền đi dọc theo một tia gồm số lượng chu trình ít
nhất và tiếp đáy sát nhất sẽ có thời gian truyền ngắn nhất. Một tia càng
thường xuyên bị phản xạ từ bề mặt hơn thì xung truyền đi dọc theo tia sẽ
về đích càng chậm hơn. Xung truyền dọc theo đường nằm ngang về đích
chậm nhất. Các khoảng thời gian giữa các lầ
n về đích kế cận nhau giảm
liên tục khi
N
tăng lên. Trên băng ghi sự tăng về cường độ âm được
nhận thấy ở về phía đoạn cuối vì sự tập trung các lần xung về đích. Bức
tranh thực nghiệm điển hình đối với nguồn và máy thu tại một khoảng
cách lớn và gần trục kênh là như nhau: tăng cường độ âm từ đoạn đầu đến
đoạn cuối của băng ghi và tắ
t đột ngột tại đoạn cuối. Sự tắt này xuất hiện
sau khi tia sau cùng về đích, tức tia gần trục kênh nhất. Chỉ có những tia
bị đáy chặn về đích muộn hơn, nhưng chúng có cường độ thấp tại những
khoảng cách lớn.
Hình 6.3 là băng ghi tín hiệu âm tại một khoảng cách 1880 km kể từ
nguồn ở trung tâm Đại Tây Dương. Âm (vụ nổ của 25 kg TNT) đượ
c
phát ra tại độ sâu 700 m và máy nghe được đặt tại độ sâu 1200 m. Áp
suất âm được ghi trên trục thẳng đứng bằng thang tỉ lệ tuyến tính với đơn
vị tùy ý nào đó. Sự tăng chậm của cường độ tín hiệu tại đoạn đầu và giảm
đột ngột tại đoạn cuối của tín hiệu là hoàn toàn rõ ràng.
Bây giờ chúng ta sẽ xác định độ dài tổng cộng
T
của tín hiệu, chỉ

tính đến các tia kênh. Theo (6.1 20)
()
22
0
32
24
−−
−=
maxmin
NN
c
ra
T
, (6.1.21)
trong đó
ố lượng cực tiểu và cực đại các chu trình đối
với các tia về đích ại những khoảng cách lớn
min
N
và
max
N
là s
điểm thu. T
minmax
NN >>

191 192

và số hạng thứ hai trong cặp dấu ngoặc có thể bỏ qua. Theo (6.1.130,

ết quả là từ (6.1.21), ta
222
21
0
/)(])([/
/
maxmin
−
== ahartgarN
χ
. K
được
r
c
ah
T
0
3
=
.
Đôi khi
(6.1.22)
T
được gọi là thời gian lan tỏa tín hi
tăng lên tỷ lệ với khoảng cách.
ệu, như chúng ta thấy, nó

Hình 6.3. Hình dạng của tín hiệu âm ở trung
tâm Đại Tây Dương tại khoảng cách 1880 km
6.2. KÊNH ÂM NGẦM CHUẨN

Munk [6.4] đã đề xuất trắc diện
(6.2.1)
nó hội được những đặc điểm hiện thực của kênh âm ngầm một cách rất
sát;
ốc độ âm tại trục kênh
)(zc

[]
)(/)( 1
00
−−=−
ηε
η
ecczc
0
c
là t
==
η
,
0
zz

Bzz /)(
0
2 −
(trục
z

hướng lên trên),

B
là độ rộng hiệu dụng của kênh âm,
độ tăng tốc độ đoạn nhiệt từng phần trên một độ
sâu tỷ lệ.
2
101412
−
⋅= ,)/( B
ε
là

Hình 6.4. Trắc diện
ủa kênh âm chuẩn theo Munk (bên trái).
Các nửa chu trình trê à dưới của các tia (bên phải) rời nguồn
với những góc mở
oooo
Đường cong đi
qua các điểm đỉnh t đối với mô hình
này [6.4]
Đối với trường hợp
)(zc
c
n v

14121214
0
, ,,, −−=
χ
.
ia gần như là đường thẳng

z
lệch nhiều về phía trên kể từ trục kênh
)( 1>>
η
, ta có
η
ε
ecczc
00
≅−)( , t
ệch nhiều về phía d
ức tốc độ âm tăng theo hàm mũ. Đối
với trường hợp l ưới
)( 1>>−
η
,
η
ε
00
cczc −≅−)(
,
ải biên một chút so tức tốc độ âm tăng tuyến tính với độ sâu. Hình 6.4 (c
với trong [6.4, hình 2]) biểu diễn trắc diện
đối với
, s. Munk gọi dạng kênh âm ngầm này là
kênh âm chuẩn. Ở bên phải biểu diễn các nửa chu trình thứ nhất của các
cung tia khi nguồn nằm tại trục kênh. Các tia rời nguồn với những góc
)(zc
(bên trái)
31

0
,−== Bz
km
1492
0
=c
m/
193 194

oooo
14121214
0
, ,,, −−=
χ

điểm đỉnh gần như là một đường th
Độ dài của nửa chu trình phía trên
được vẽ. Lưu ý rằng đường cong nối các
ẳng.

hía dưới )(
+
D và p )(
−
D là
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
++=
±

ˆˆ
2
0
12
1
3
22
1
φφ
π
mDD
, (6.2.2)
trong đó 2
độ dài nửa chu trình của một tia ở tại trục
(ở hình 6.
ở đây ốc độ âm tại
điểm quay trở lại của tia. Như vậy, độ dài của nửa chu trình phía trên nhỏ
hơn và độ dài của nửa chu trình phía dưới lớn hơn so với độ dài của nửa
chu trình của tia trục kênh.
Thời gian truyền dọc theo các nửa chu trình trên
ưới
là
21
0

/
/−
=
πε
BD là
4
723
0
,=D
km); )/()
ˆ
(
ˆ
00
ccc
εφ
−= ,
c
ˆ
là t
)(
+
t và d )(
−
t
0
0
c
D
t +=

±±
τ
, (6.2.3)
trong đó
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−±=
±

ˆˆ
43
0
24
1
9
22
φφ
π
ττ
, (6.2.4)
)(
/
0
21

0
2cB
πετ
= và
1370
0
,=
τ
s đối với trắc diện ví dụ biểu diễn trên
hình 6.4. Thời gian truyền qua toàn chu trình là

ˆ
+−=+=
−+ 4
0
0
12
φ
τ
c
D
ttt , (6.2.5)
trong đó
độ dài chu trình của một tia tại trục (
0
2DD =
là ≅
D
50 km
ội t


đối với ví dụ trên hình 6.4), hay khoảng cách giữa các vùng h ụ, như
chúng ta sẽ thấy dưới đây. Từ (6.2.5) suy ra rằng tia tại trục
ề
đích sau cùng.
)
ˆ
( 0=
φ
v

Hình 6.5. Biểu đồ
z,
τ
đố
ục kên
i với kênh âm chuẩn
với nguồn nằm ở tr h (
Biểu đồ
31
0
,−=z
km) [6.5]
195 196

z,
τ

tại kho
để xác định thời gian tới đích của các tia ở những độ

sâu khác nhau ảng cách 1000 km trong kênh âm chuẩn được biểu
diễn trên hình 6.5 [6.5]. Độ sâu
z
được ghi trên trục thẳng đứng. Nguồn
nằm tại trục kênh (
). Đại lượng
31
0
,−=z
km
0
tt −=
τ
(t và
0
t
là các
thời gian về đích tuần tự của tia đang xét và tia tại trục,
0<
τ
)
ằng m
ố
ục kênh, cò
các thờ
được ghi
trên trục ngang. Mỗi nhánh của hình vẽ được đánh dấu b ột dấu và
hai số. Dấu cộng (trừ) chỉ tới tia rời nguồn đi lên phía trên (xu ng dưới).
Số thứ nhất chỉ số điểm quay hướng của một tia phía trên tr n
số thứ hai - số điểm ở phía dưới trục kênh. Ví dụ, để tìm i gian về

đích của các tia tại m
ột máy thu nằm ở độ sâu
52,−=
z
km, chúng ta cắt
đồ thị vẽ tại đường thẳng nằm ngang
52,−=
z
km và nhận được rằng tia
ề đích trước nhất (
1515,+
v
522,−=
τ
s), sau đó đến tia
(
1615,−

250,−=
τ
s) và tiếp tục. Các tia
1818,+
(
260,−=
τ
s) và
1918,−

(
250,−=

τ
s) về đích cuối cùng. Cùng bức tranh như vậy chắc chắn sẽ
được thấy khi máy thu nằm tại trục kênh và nguồn tại độ sâu 2,5 km. Đồ
thị này cho thấy sự giảm khoảng thời gian giữa những lần về đích kế cận
nhau ở đoạn cuối của tín hiệu. Số lượng các chu trình là cực đại nếu
nguồn và máy thu nằm tại trục kênh và bằng 20 đối vớ
i trường hợp đã
xét.
6.3. CÁC VÙNG HỘI TỤ
Sự truyền âm trong vùng khơi đại dương từ một nguồn nông kèm
theo một hiện tượng lý thú, sự hình thành những vùng hội tụ.
Chúng ta sẽ xét trắc diện khái quát
ểu diễn ở nửa bên trái
hình 6.6. Ta giả sử rằng (như đã thấy trên hình này), ức tốc độ
âm tại độ sâu nguồn nhỏ hơn so với tại đáy. Kênh âm ng tia nào
rời nguồn với các góc mở thỏa mãn điều kiện
)(zc
bi
h
cc <
1
, t
bẫy nhữ
)/arccos(
h
cc
11
≤
χ
.

ải của hình 6.6) chiếu Những tia này làm thành một chùm (nửa bên ph
sáng không gian ngoại trừ các vùng tối
ỉ có các
tia phản xạ từ đáy (không chỉ ra trên hình) về đích t g này.
Do đó, nếu chúng ta rời xa dần khỏi nguồn nhưng du ột độ sâu
không đổi, ví dụ
ường âm yếu tương đối ở các vùng
ẽ thấy trường âm tăng lên đáng kể ở các vùng
ng này thường bắt đầu với những khoảng tụ tia
được biểu diễn bằng những đường đậm nét trên bức
6) và được đặc trưng bởi giá trị cao của nhân tử tiêu
ực tế đó, những vùng này được gọi là “các vùng hội
ủa các vùng hội tụ (tại mực
ũng chính là độ dài
của các đoạn
ăng lên với khoảng cách, trong khi chiều
rộng của các vùng tối giữa chúng giảm.
Nguồn càng nằm xa trục kênh thì chiều rộng của các vùng hội tụ
càng nhỏ. Nếu
ông có những vùng như vậy. Nếu tốc độ âm
tại bề mặt nhỏ hơn so với tốc độ âm tại đáy, các vùng hội tụ sẽ lấn tới bề
mặt và bao gồm một phần những tia phản xạ từ bề mặt.
, AA
′
và
, BB
′
Ch
ại những vùn
y trì tại m

1
zz =
, thì sau tr
AA
′
,
v.v ta s
2211
DDDD
′′
,
v.v Các vù
(các đoạn của nó
tranh tia ở hình 6.
điểm. Do chính th
tụ”. Chiều rộng c
1
zz =
, c
2211
DDDD
′′
,
) t
h
cc ≥
1
thì kh

Hình 6.6. Sơ đồ hình thành các vùng hội tụ


Hình 6.7. Sơ đồ tia trong kênh âm ngầm thực
minh họa sự hình thành những vùng hội tụ
Hình 6.7 biểu diễn trắc diện ơ đồ tia (bên phải)
điển hình đối với vùng nhiệt đới Đạ Dương. Để thuận tiện, tỷ lệ của
các độ sâu
đã bị nén lại. Những đường liền nét biểu diễn các tia
rời nguồn trong hướng đi lên trên và những đường gạch nối - trong hướng
)(zc
(bên trái) và s
i Tây
1>z
km
197 198

đi xuống dưới. Sự hình thành các vùng hội tụ có thể thấy rõ. Ví dụ, tại độ
sâu
hững vùng đó mở rộng trên các khoảng cách 55-70 và
110-1
150=z
m n
40 km.

Hình 6.8. Phân bố lý thuyết (đường gạch nối) và thực nghiệm (đường liền
nét) của cường độ âm trong vùng hội tụ thứ nhất đối với trắc diện tốc độ
tương tự như trắc diện ở hình 6.7, độ sâu nguồn và máy thu
150== zz
m
6.8 đường liền nét biểu diễn sự phụ thuộc thực nghiệm
của dị thường cường độ âm

ư lượng so với định luật cầu
1
Trên hình
A
(d
2
1 r
/
) vào
ủy vkhoảng cách ở trong vùng hội tụ thứ nhất đối với điều kiện th ăn
tương tự như điều kiện của hình 6.7 [6.6]. Tần số âm là 1,2 kHz. Các độ
sâu của nguồn và máy thu như nhau: Đường gạch nối
cho giá trị lý thuyết của cùng đại lượng nhận được trên cơ sở lý thuyết tia
và tổng hợp không hiệp biến các tia. Có thể thấy rằng có một sự trùng
hợp nào đó giữa các đường cong lý thuyết và thực nghiệm. Những mực
trung bình của các đường cong và sự phụ thuộc tổng quát của chúng vào
khoảng cách là tương tự. Tuy nhiên, nhiều đặc điểm của các đường cong
khác nhau. C
ụ thể, vùng hội tụ thực nghiệm nằm gần nguồn hơn so với
vùng hội tụ lý thuyết khoảng 1 km. Nguyên nhân của điều đó có thể là sự
thiếu chính xác của phép xấp xỉ tia, độ chính xác chưa đủ của phép đo
trắc diện
ại những độ sâu lớn, hoặc do việc xấp xỉ chưa thỏa mãn
của trắc di ấp nhận để tính toán.
Đôi khi một cách đơn giản ước lượng cường độ âm trung bình trong
toàn vùng h có thể rất hữu ích [6.7]. Giả sử
150
1
== zz
m.

)(zc
t
ện ch
ội tụ
m
χ
−
đến
m
χ
là kho
ội t
ảng
các góc mở của các tia tại nguồn hình thành nên các vùng h ụ. Năng
lượng âm phát vào khoảng này sẽ là
m
W
χ
(mục 6.1), ở đây
W
là năng
lượng đầu ra của nguồn đa hướng, và giả sử rằng
1<<
m
χ
. Ta ký hiệu
chiều rộng của một vùng hội tụ trên hướng
ằng r b
δ
và khoảng cách

trung bình từ nó đến nguồn bằng
đó năng lượng này sẽ được phân
bố trong một vòng khuyên với di
r . Khi
ện tích
δ
π
r2. C
ăng lượ
hướng vu
ùng tại
ường độ âm trung bình
(riêng) trong vùng này bằng tỷ phần của n ng vận chuyển tới diện
tích hình chiếu của vòng khuyên đó lên ông góc với các tia. Giả
sử góc mở trung bình nào đó trong v độ sâu của máy thu là
)( 1<<
rr
χ
χ
. Khi đó diện tích của vùng vuông góc với các tia là
δ
χ
π
r
r2
. Cường độ âm trung bình trong vùng là
)(/
δ
π
χ

χ
rm
WI 2=
.
Đối với nhân tử tiêu điểm
đó
0
IIf /=
, trong )(/
2
0
4 rWI
π
= , ta có
)(/
δ
χ
χ
rm
rf 2=
. (6.3.1)
Chúng ta áp dụng công thức này vào trường hợp trên hình 6.8. Ở đây máy
thu và nguồn nằm ở cùng độ sâu; vậy các góc mở là như nhau tại nguồn
và máy thu. Do đó,
2/
mr
χ
χ
≈
và từ (6.3.1) ta nhận được

δ
π
/4=f
.
Như có thể thấy từ hình 6.8, vùng hội tụ (vùng mà
ở rộng xấp xỉ
từ 55 đến 65 km, tức

1>f
) m
10=
δ
km và . Vậy ị thường
cường độ âm
Đối chiếu với hình 6.8 cho thấy rằng
giá trị này hơi quá lớn, nhưng bậc đại lượng là đúng.
6.4. TRƯỜNG CỦA MỘT NGUỒN ĐIỂM TRONG KÊNH ÂM NGẦM

60=r
km
24≈f
và d
1410 == fA log
dB.
199 200

NHƯ TỔNG CỦA CÁC SÓNG (THỨC) CHUẨN
Lý thuyết tia có những ứng dụng hạn chế. Nó không áp dụng trong
các vùng tối và lân cận các vùng tụ tia. Vì các vùng tụ tia rộng dần ra khi
tăng khoảng cách, nên chúng hạn chế tính áp dụng của lý thuyết tia tại

những khoảng cách lớn. Lý thuyết tia cũng không thể sử dụng đối với
những tần số thấp, khi bước sóng âm trở nên so sánh được với quy mô
thẳng đứng của biên thiên t
ốc độ âm. Vì vậy, trong thực tế người ta cuối
cùng buộc phải dựa vào nghiệm sóng của bài toán.
Trong mục này chúng ta giới thiệu những kết quả của Ahluwalia và
Keller [6.8] và rút ra một biểu thức cho trường âm như một tổng của các
sóng chuẩn (thức). Biểu thức này sẽ hạn chế ở trường hợp đại dương có
đáy phản xạ lý tưởng. Tuy nhiên, nếu chúng ta quan tâm tới trường tại
những kho
ảng cách lớn kể từ nguồn, thì phần lớn các thức có ý nghĩa sẽ
là những thức không tương tác với đáy (chúng suy yếu nhanh với khoảng
cách) và do đó các điều kiện biên tại đáy không còn quan trọng nữa.
Ta xem xét đại dương phân tầng phương ngang với trắc diện tốc độ
âm
ở đây ới hạn bởi bề mặt tự do ở bên trên và bởi
mặt phẳng ngang c cứng tuyệt đối ở bên dưới. Áp suất âm
ủa nguồn điểm đặt tại điểm ới một đặc
điểm
ại
)(zc
(
hz <<0
) gi
ủa đáy
),( zrpp =
c
,0=r

1

zz =
v
212
1
2
1
/
])([,/ zzrRRp −+== t
∞→
R
được mô tả bằng
phương trình Helmholtz
)()()( rzz
r
pzk
z
p
r
p
r
r
p
δδ
1
2
2
2
2
2
21

−−=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
(6.4.1)
với những điều kiện biên
000 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
z
p
rp ,),( .
=hz
Nghiệm của dạng đồng nhất của (6.4.1) có thể tìm bằng phép tách
các biến. Nghiệm mô tả một sóng đi ra từ nguồn có dạng
),()(H),(
)(
ξψξ

zrzrp
1
0
= , (6.4.3)
ở đây )(H
)(
r
ξ
1
0
là hàm Hankel loại một bậc không và hàm
),(
(6.4.2)
ξ
ψ
z
thỏa
mãn phương trình
[]
0
22
2
2
=−+
ψξ
ψ
)(zk
dz
d
(6.4.4)

và các điều kiện biên
dz
d
h
ψ
ψξψξψ
≡
′
=
′
= ,),(,),( 000
. (6.4.5)
Giả sử hai nghiệm độc lập tuyến tính của (6.4.4) là
),(
ξ
ψ
z
1
và
),(
ξ
ψ
z
2
. Khi đó
),(),(),(
ξ
ψ
ξ
ψ

ξ
ψ
zBzBz
2211
+=
, (6.4.6)
trong đó
ằng số.
Thế (6.4.6) vào (6.4.5), ta được phương trình đặc trưng đối với
những giá trị riêng
21
BB ,
là các h
l
ξ

000
1221
=Ψ
′
Ψ−Ψ
′
Ψ ),(),(),(),(
ξ
ξ
ξ
ξ
hh
, (6.4.7)
và quan hệ giữa

i với một
1
B
và
2
B
đố
l
ξ
tùy ý
),(/),(
ll
BB
ξ
ξ
00
1221
ΨΨ−=
.
Bây giờ ta biểu diễn nghiệm của phương trình không đồng nhất
(6.4.1) như tổng của các thức chuẩn
.4.8)
Để tìm các hệ số kích thích
ủa các thức chuẩn, ta thế (6.4.80 vào
(6.4.1) và sử dụng phương trình đã biết đối với hàm Hankel
),()(,)()(H),(
)(
ll
l
lll

zzzrAzrp
ξψψψξ
≡=
∑
1
0
. (6
l
A
c
201 202

)(
i
)(
)(
r
r
rH
dr
d
r
dr
d
ll
δ
π
ξξ
21
1

0
2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++ .
Kết quả là chúng ta nhận được
)(i)(
1
zzzA
l
l
l
−=
∑
δ
π
ψ
. (6.4.9)
Nếu nhân (6.4.9) với
)(z
m

ψ
, tích phân theo
z
từ 0 đến ử dụng
tính trực giao của các thức chuẩn
ta được
h
và s
∫
≠=
h
ml
mldzzz
0
0,)()(
ψψ
,
∫
=
h
l
l
l
dzz
z
A
0
2
1
)(

)(i
ψ
ψπ
. (6.4.10)
Trong (6.4.8) ta có thể sử dụng hàm chuẩn hóa
)( z
l
ψ
sao cho tích phân
ở mẫu số của (6.4.10) sẽ bằng đơn vị. Kết quả là, ta có
(6.4.11)
6.5. BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA TRƯỜNG ÂM TRONG KÊNH
ÂM NGẦM
Bây giờ chúng ta thiết lập những biểu diễn tích phân của trường
trong kênh âm ngầm đúng đối với những đặc trưng đáy tùy ý.
Nghiệm của (6.4.1) có thể được biểu diễn như là tích phân Fourier-
Bessel
(6.5.1)
Một hàm
∑
=
l
lll
rzzzrp )(H)()(i),(
)(
ξψψπ
1
01
.
∫

∞
=
0
0
ξξξξ
drzpzrp )(J),(
~
),( .
c xác định bằng phép biến đổi nghịch
(6.5.2)
Nếu nhân (6.4.1) với
),(
~
ξ
zp
đượ
∫
∞
=
0
0
drrrzrprp )(J),(),(
~
ξξ
.
rdrr)(J
ξ
0
và lấy tích phân theo ừ 0 đến
nhận được (xem chi tiết [6.8, phụ lục 3.3A])

r t ∞ , ta
[
]
)(
~
)(
~
1
22
2 zzpzkp −−=−+
′′
δξ
(6.5.3)
trong đó dấu phảy trên chỉ đạo hàm theo
z
.
Hàm
ỏa mãn phương trình đồng nhất
(6.5.4)
với tất cả

p
~
th
0
22
=−+
′′
pzkp
~

])([
~
ξ

z
ngoại trừ Để tìm những điều kiện mà ải thỏa mãn
tại
phân (6.5.3) theo
1
z
.
p
~
ph
1
zz =
, ta tích
z
từ đến đặt
ận được
(6.5.5)
Vậy
điểm gián đoạn tại ự nó, như ta có thể dễ
dàng chứng minh, là hàm liên tục
(6.5.6)
Ta ký hiệu
là hai nghiệm của (6.5.4), chọn chúng
sao cho
ỏa mãn điều kiện tại bề mặt tự do của đại dương
(6.5.7)

và
ỏa mãn các điều kiện biên tại đáy.
Nghiệm của (6.5.3) thỏa mãn tất cả những điều kiện cần thiết là

∆−
1
z

∆+
1
z
và
0→∆
, nh
2
00
11
−=
′
−
′
−+ zz
pp )
~
()
~
( .
p
′
~

có
1
zz =
. Hàm
p
~
t
00
11
−+
=
zz
pp )
~
()
~
( .
)(
~
zp
1
và
)(
~
zp
2
18
)(
~
zp

1
th
00
1
== zp ,
~

)(
~
zp
2
th

18
Tham số
ξ
trong đối số của các hàm ã bỏ đi cho ngắn gọn. )(
~
zp
1
và )(
~
zp
2
đ
203 204

1
112
1

112
2
0
zz
w
zpzp
zz
w
zpzp
zp
>=
≤≤=
,
)(
~
)(
~
,
)(
~
)(
~
)(
~
(6.5.8)
trong đó
)(
~
)(
~

)(
~
)(
~
)( zpzpzpzpww
2121
′
−
′
==
ξ
(6.5.9)
là Wronskian.
Nếu thế (6.5.8) vào (6.5.1) và biến đổi tích phân với hàm Bessel
)(J r
ξ
0
thành một tích phân với hàm Hankel đó các cận
là từ
n ư ở mục 4.3), ta được
)(H
)(
r
ξ
1
0
trong
∞− đế ∞ (nh
∫
∫

∞
∞−
∞
∞−
>=
≤≤=
1
1
0
112
1
1
0
112
0
zzdr
w
zpzp
zrp
zzdr
w
zpzp
zrp
,)(H
)(
~
)(
~
),(
,)(H

)(
~
)(
~
),(
)(
)(
ξξξ
ξξξ
(6.5.10)
Các công thức (6.5.10) cho biểu diễn tích phân của trường âm của một
nguồn điểm trong kênh âm ngầm. Các tích phân này có được tính bằng
những phương pháp khác nhau, bao gồm cả tính toán số trực tiếp. Thông
thường có thể tách ra bộ phận chính của các tích phân này - các thức
chuẩn không suy yếu hoặc ít suy yếu. Bộ phận đó của
ọi là
phổ gián đoạn, quyết định về cơ bản trường âm tại những khoảng cách
lớn. Bộ phận khác (phổ liên tục) nếu cần, có thể cũng được ước lượng
bằng một phương pháp nào đó.
6.6. BIẾN ĐỔI BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN THÀNH TỔNG CÁC THỨC
CHUẨN
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp đáy cứng tuyệt đối, khi
(6.6.1)
biểu thức (6.4.11) đối với các thức chuẩn suy ra từ các tích phân (6.5.10).
Ta di chuyển quãng đường lấy tích phân trong (6.5.10) ở mặt phẳng
phức
),( zrp
, còn g
0
2

=
′
)(
~
hp

ξ
từ trục số thực đến nửa vòng tròn vô cùng trong nửa không gian
phía trên. Tích phân theo nửa vòng tròn này bằng không và, kết quả là,
các tích phân trong (6.5.10) được giản hóa thành tổng của các phần dư tại
các cực đơn của biểu thức dưới dấu tích phân. Các cực là những nghiệm
của phương trình
0=)(
l
w
ξ
. (6.6.2)
Do đó, ví dụ, đối với trường ở vùng
ừ (6.5.10) chúng ta
có
1
0 zz ≤≤
t
∑
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
l
llll
r
w
zpzpzrp
l
ξξ
ξ
ξξπ
ξ
)(H),(
~
),(
~
i),(
)(1
0
1
112
2 . (6.6.3)
Bởi vì Wronskian bằng không tại
l
ξ
ξ

=
, tồn tại mối phụ thuộc tuyến
tính giữa
ức
2
p
~
và
1
p
~
, t
llll
AzpAzp ),,(
~
),(
~
ξ
ξ
12
=
là một hằng số. Vì
vậy, từng
),(
~
l
zp
ξ
1
và

),(
~
l
zp
ξ
2
th
ức là, chúng t
ỏa mãn cả phương trình (6.4.4) và các
điều kiện biên (6.4.5), t ỷ lệ với
)( z
l
ψ
. Do đó, ta có thể đặt
)(),(
~
),(),(
~
zAzpzzp
lllll
ψ
ξ
ψ
ξ
==
21
. (6.6.4)
Vì Wronskian (6.5.9) không phụ thuộc vào
z
, ta có thể xác định nó

tại
z
nào đó, chẳng hạn ớ rằng ữ
0=z
. Luôn nh
00
1
=)(
~
p
và gi
ξ
trong
đối số, ta có từ (6.5.9)
).,(
~
),(
~
),(
~
),(
~
),,(
~
),(
~
)(
ξ
ξ
ξ

ξ
ξξ
ξ
ξξξ
0
000
00
2
1
2
21
21
p
z
pp
z
p
w
ppw
∂∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
′

=
(6.6.5)
Số hạng thứ hai trở thành không nếu
l
ξ
ξ
→
bởi vì
=),(
~
l
p
ξ
0
2

00 =)(
ll
A
ψ
và kết quả là từ (6.6.4) ta được
205 206

)(H
)()(
)()(i),(
)(
r
ddz
zzzrp

ll
l
l
l
ll
ξξ
ξ
ξξ
ψψπ
1
0
1
1
1
00
2
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
∂
=
∑

(6.6.6)
Trong khi đạo hàm theo
ξ
,
)(0
l
ψ
được giả thiết là được xác định như
một hàm của
ξ
theo quan hệ
ll
Ap /),(
~
)(
ξ
ψ
00
2
=
(
ểu thức (6.6.6) đối v
xem ví dụ với ống
dẫn sóng tuyến tính dưới đây). Bi ới
p

không thay
đổi khi
z
bị thay thế bằng ược lại, và thích hợp đối với
1
z
và ng
z

)( hz ≤≤0
b
tiện để sử dụ
chuẩn với biên
ất kỳ. Tuy nhiên, biểu thức này không phải luôn luôn thuận
ng. Cụ thể, nếu trục ống dẫn sóng nằm sâu, có một số thức
độ hàm mũ nhỏ
)(0
l
ψ
t
hức (6.4.1
đích đó, ta xét (
ại bề mặt. Trong trường hợp đó,
thuận tiện hơn cả là sử dụng biểu t 1), biểu thức này cũng có thể
nhận được từ (6.6.3). Nhằm mục 6.4.4) đối với
l
ψ
và một
cách tương tự (6.5.4) đối với
),(

~
ξ
zp
2
. Nhân phương trình thứ nhất với
ương trình thứ hai với
2
p
~
ph
l
ψ
, trừ hai kết quả cho nhau và tích phân
theo
z
từ 0 đến ằng
h
, chú ý r
)(
~~
′′
−
′
=
′′
−
′′
2222
pppp
llll

ψ
ψ
ψ
ψ
. Kết quả
là ta nhận được
Ở đây
∫
−−=
′
−
′
h
ll
h
ll
dzppp
0
2
22
022
~
)(]
~~
[
ψξξψψ
.
000
2
==

′
=
′
)(,)(
~
)(
ll
hph
ψ
ψ
. Sử dụng (6.6.5) đối với
)(
ξ
w
, ta
tìm
∫
+=
−
′
′
h
ll
l
l
dzp
w
p
0
2

1
0
0
~
)(
)(
)(
~
)(
ψξξ
ξξ
ξ
ψ
.
Chấp nhận
l
ξ
ξ
→
, ta có
()
)(/)(
l
l
ww
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ

−∂∂=
, vì
0=)(
l
w
ξ
.
),()
Ngoài ra, như đã cho thấy ở trên, ta có
(
~
zzp
l
ψ
→
1

)()(
~
zAzp
ll
ψ
→
2
và do
∫
=
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
h
lll
dzA
w
l
0
2
2
ψξ
ξ
ξ
. (6.6.7)
Ở đây tích phân bằng đơn vị nếu các hàm
l
ψ
được chuẩn hóa. Khi đó
(6.4.11) rút ra từ (6.6.3).
6.6.1. Dẫn sóng tuyến tính
Ta áp dụng lý thuyết tổng quát đã phát triển ở trên cho trường hợp
dẫn sóng bề mặt với sự phụ thuộc tuyến tính
(6.6.8)
Đối với tốc độ âm ta có
.6.9)

Chúng ta chủ yếu quan tâm tới những thức chuẩn bậc
ấp mà năng
lượng của chúng tập trung gần biên
điều kiện đó ta nhận
thấy rằng đối với
9) khá gần với định luật tuyến tính
(6.1.4) đối với tốc độ âm.
Phương trình (6.5.4) trong trường hợp đang xét được viết thành
)(zn
2
:
)(/,)( azazzn 21021
2
≤≤−= .
)(/)(),(,)()(
/
znczcccazczc
00
21
0
021 =≡−=
−
. (6
l
th
0=z
. Trong
12 <<az
, (6.6.
0

0
22
0
021
c
w
kpazkp ==−−+
′′
,
~
])([
~
ξ
. (6.6.10)
Ta đưa ra một biến mới thay cho
z
,
)(,)(,/
/ 2
0
22
0
312
00
2 kHtakHHztt −==+=
−
ξ
. (6.6.11)
Khi đó (6.6.10) trở thành
)(

~
)(
~
tpt
dt
tpd
=
2
2
. (6.6.12)
Các nghiệm của phương trình này là những hàm Airy. Vì những hàm này
thường được dùng trong lý thuyết truyền sóng âm và điện từ, và đã từng
đó
207 208

được sử dụng trước đây trong mục 4.5 và sẽ được dùng sau này trong
chương 8, chúng tôi liệt kê một số dữ liệu thích hợp chủ yếu theo gương
Fock [6.9]. Có thể tìm thấy sự giới thiệu kĩ hơn về vấn đề này trong công
trình của Jeffreys và Swirles [6.10].
Ta xét tích phân
dzztztZ
∫
Γ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=

3
3
11
exp)(
π
, (6.6.13)
trong đó quãng đường tích phân
Γ
trong mặt phẳng
z
phức đi dọc theo
một cung tia
32
/
π
−=z
từ vô cùng đến không và sau đó dọc theo trục số
thực từ
n vô cùng. Tích phân này hội tụ đối với tất cả các giá trị
phức củ ỏa mãn (6.6.12). Thật vậy, ta có
0=z
đế
a t và th
0
3
1
3
11
3
11

33
32
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=−
∫
∫

Γ
Γ
ztzdztz
dzztztzttZtZ
dt
d
exp
exp)()()(
π
π

vì
0
3
3
1
→− )(exp ztz
tại cả hai cận.
Giả sử rằng hực, ta tách phần thực và phần ảo trong
đặt
(6.6.14)
với
ững nghiệm độc lập tuyến tính của (6.6.12) được
gọi là hàm Airy.
19

Trong những trích dẫn đã đề cập ở trên đã chỉ ra rằng
c cho
baởi tích phân (4.5.23), còn những biểu thức khai triển tiệ đối với
ại ớn cũng có thể thu được. Ta sẽ viết ra những khai


t là t
)(tZ
,
)(i)()( tvtutZ +=
,
)(tu
và
)(tv
là nh
)(tv
đượ
m cận
)(tu
và
)(tv
t t l

19
Những hàm )()/()(i tvtA
π
1≡ và )()/()(i tutB
π
1≡ thường được gọi là
các hàm Airy [6.10]
triển, giữ lại hai số hạng chính. Đối với đặt 0>t ,
23
3
2
/

tv ≡
, ta có
)(exp)(
, )(exp)(
/
/
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
−
−
v
vttv
v
vttu
72
5
1
2

1
72
5
1
41
41
(6.6.15)
Đối với
đặt
0<t
,
23
3
2
/
)( tv −≡
, ta được
cossin)()(
, sincos)()(
/
/
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+−=
−
−
472
5
4
472
5
4
41
41
ππ
ππ
v
v
vttv
v
v
vttu
(6.6.16)
Hàm
được vẽ trên hình 2.7. Các điểm bằng không của nó
m và bằng đó
ếu ta ký hiệu
)(tv

,,,
321

ttt
â
,,, 21
1
=−= lyt
l
trong
=
1
y

338112,
,
087954
2
,=y
và
520565
3
,=y
. N
=
l
v

,,,))(/(
/
2132
23
=− lt

l
, thì

)(
,,
+
−
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
3
14
083280
14
0884190
4
1
l
l
lv
l
π
. (6.6.17)

Khi số
ăng lên, công thức này trở thành chính xác hơn.
Để tìm vị trí bằng không của hàm
ến đổi tích phân
(6.6.13). Ta thay thế ằng

l
t
)(tZ
, ta bi
t b
)/i(exp 3
π
t
và chia tích phân trên đường
Γ
thành hai tích phân, một từ
)/i(exp 32
π
−∞
đến 0 và tích phân khác
từ 0 đến
đưa ra biến tích phân mới ∞ . Ta
)/iexp( 6
π
±= zs
, trong đó
lấy dấu cộng cho tích phân thứ nhất và dấu trừ cho tích phân thứ hai. Khi
đó ta nhận được
dsststZ

⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
∞
−
)/i(
/
iexp)/i(exp)]/i(exp[
6
0
321
3
1
63
π
πππ


209 210

Phương trình (6.6.6) trong trường hợp đang xét có thể viết thành
⎭
⎬
⎫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
∫
∞
dssts
)/i(
i-exp
6
0
3
3
1

π
.
Ở đây quãng đường tích phân trong cả hai tích phân có thể được di
chuyển trên trục số thực và kết quả là, nếu tính đến biểu thức dưới dấu
tích phân (4.5.23), ta được đối với
)(tv

[]
)/i(exp)()/i(exp 623
π
π
tvtZ −=
. (6.6.18)
Do đó những điểm bằng không của hàm
Z
nằm trên cung tia 3
/
π
=t
tại các điểm
)/iexp( 3
π
l
y
.
Bây giờ chúng ta trở lại biểu thức đối với các thức chuẩn (6.6.6),
cho hàm
),(
l
zv

ξ
triệt tiêu tại
∞→
z
đối với
)( z
l
ψ
. Các giá trị riêng
được tìm từ phương trình
00
0
=)(hay),( tvv
l
ξ
.
Nghiệm của phương trình cuối cúng, như ta đã thấy, là
đó
từ (6.6.11) ta tìm được
l
yt −=
0
. Khi
2
2
0
2
H
y
k

l
l
−=
ξ
. (6.6.19)
Tại
l
l
k
H
y
ξ
,
2
0
2
<
là số thực, tức các thức không suy yếu.
Ta ký hiệu
llll
y
H
z
ty
H
z
t −=−=
1
1
, , (6.6.20)

ở đây
ư ở trên, là tọa độ của một nguồn. Ngoài ra, ta chú ý rằng,
theo (6.6.11)
1
z
, nh
t
H
tHz ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
ξ
ξ
2
2
1
,
.
[]
∑
−
′
=

l
l
lll
yv
rtvtv
H
zrp
2
1
01
)(
)(H)()(
i
),(
)(
ξ
π
. (6.6.21)
Hình 6.9 biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ ba thức chuẩn đầu tiên vào
z
. Tọa độ không thứ nguyên
H
z
/
được ghi dọc theo trục thẳng đứng.
Chúng ta thấy rằng đại lượng
H
quyết định chiều rộng của ống dẫn sóng
tới một bậc đại lượng.
Tốc độ pha

ủa các thức chuẩn là
l
v
c
[]
21
2
00
1
/
)(/
−
−== Hkycv
l
l
l
ξ
ω
. (6.6.22)
Tốc độ nhóm là
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂

=
∂
∂
=
ll
l
k
cu
ξξ
ω
0
0
. (6.6.23)
Chú ý tới quan hệ (6.6.11) giữa
0
k
và
l
ξ
(tham số
H
cũng phụ thuộc
vào
ận được
6.6.24)
Trong kênh bề mặt đại dương định luật tuyến tính (6.6.18) được
quan sát thấy tới một độ sâu nhất định
0
k
), ta nh

[][ ]
1
22
0
21
2
00
3211
−
−−= )(/)(/
/
HkyHkycu
lll
. (
z
, phía dưới nó đầu
giảm chậm hơn với độ sâu và sau đó bắt đầu tăng. Kibble hite và
Denham [6.11] đã thực hiện tính toán các đặc trưng truy đối với
trắc diện tuyến tính kép
ự giảm tuyến tính của đổi
thành tăng tuyến tính tại một độ sâu nào đó.
)( zn
lúc
w
ền âm
)(zn
2
- khi s )(zn
2


211 212


Hình 6.9. Phụ thuộc của biên độ ba thức chuẩn đầu tiên vào tọa độ không
thứ nguyên
i với trường hợp kênh âm tuyến tính dưới bề mặt
6.7. CÁC THỨC CHUẨN TRONG PHÉP XẤP XỈ WKB: TÍCH PHÂN
PHA
Ta đặt
ng đó ố sóng tại độ sâu cố định nào
đó ường là tại trục kênh). Phương trình (6.5.4) bây giờ là
(6.7.1)
Chúng ta sẽ xét trường hợp các tần số cao và, do đó,
ớn. Khi đó,
nghiệm gần đúng của (6.7.1) có thể tìm trên cơ sở ý t Ta ký
hiệu

Hz / đố
)()( znkzk
0
=
, tro
0
k
là s
0
zz =
(th
[]
21

2
0
222
0
0
/
)/()(,
~
)(
~
kznpzkp
ξγγ
−==+
′′
.
0
k
l
ường sau.
Z
là quy mô thẳng đứng đặc trưng của biến thiên của Đối với
)( zn
.
Z
k
<<=
0
0
2
π

λ
, m
Nếu môi trường là th
ôi trường có thể được xem như đồng nhất địa phương.
ực và đồng nhất ( const=
γ
), các nghi
)
ệm của
(6.7.1) có thể là những hàm mũ
i(exp zk
γ
0
±
. Đối với trường hợp môi
trường đồng nhất địa phương của chúng ta, người ta có thể hy vọng nhận
được một nghiệm hợp lý dưới dạng
(6.7.2)
trong đó
được biểu diễn như một chuỗi lũy thừa của ắt đầu
với lũy thừa bậc không. Sẽ tiện lợi nếu chấp nhận
[]
)(iexp)(
~
zMkzp
0
=
,
)( zM


0
1 k/
, b
∫
∑
∞
=
=
z
z
v
v
v
dz
k
zy
zM
0
0
0
)(
)(
, (6.7.3)
trong đó
ững hàm chưa biết mới.
Bây giờ thế (6.7.2) vào (6.7.1). Ta có
)( zy
v
là nh
[

]
∑∑
∞
=
∞
=
′
=
′′
=
′
′
−
′′
=
′′
0
0
0
0
0
22
00
v
vv
v
vv
kyMkyM
MkMkMkp
./,/

),i(exp)(i
~

Cho hệ số của các lũy thừa
ằng không dẫn tới một
loạt các phương trình
Từ đó ta có
0
2
0
kk , và
0
0
k b
0202
1
2
120010
22
0
=
′
+−−=
′
+−= yyyyyyyzy i,i),(
γ
.
)(,)(lni),(
///
′′

±=
′
=±=
−− 2121
2
21
10
2
1
γγγγ
yyzy
.
Giới hạn ở hai số hạng đầu của chuỗi trong (6.7.3), ta tìm được từ (6.7.2)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∫
z
z

dzk
z
z
zp
0
0
21
0
γ
γ
γ
iexp
)(
)(
)(
~
/
. (6.7.4)
Biểu thức cuối cùng này được gọi là xấp xỉ WKB (Wentzel-Kramers-
Brillouin) đối với nghiệm của (6.7.1).
Nếu ta tính tới số hạng với
ển (6.7.3) thì một nhân
tử bổ xung
2
y
trong khai tri
⎪
⎭
⎪
⎬

⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
±
∫
−
z
z
dz
k
0
21
0
21
2
/
/
)(

iexp
γ
γ
(6.7.5)
213 214

xuất hiện. Để cho xấp xỉ WKB được đúng, thì cần (nhưng hoàn toàn
không đủ) sao cho biểu thức trong cặp dấu ngoặc vuông phải nhỏ hơn
đơn vị, điều này kéo theo những hạn chế về giá trị của các đạo hàm của
)( z
γ
theo
z
.
Biểu thức (6.7.4) biểu diễn một sự xếp chồng hai sóng truyền không
tương tác trên các hướng ngược nhau. Trong phép xấp xỉ này không có sự
phản xạ trong môi trường không đồng nhất, điều này không bất ngờ bởi
vì phép xấp xỉ WKB là một dạng của âm hình học (xem dưới đây). Tích
phân ở biểu thức mũ trong (6.7.4) cho sự thay đổi pha khi sóng truyền
giữa các độ sâu
0
z
và
z
. Nhân t
n
ử ở phía trước của hàm mũ khẳng định
rằng định luật bảo toàn ăng lượng đối với mỗi sóng được thục hiện
(thông lượng năng lượng trên hướng
z

là hằng số). Phép xấp xỉ WKB đã
được sử dụng ở mục 3.5.
Công thức (6.7.4) hiển nhiên là không đúng tại một độ sâu
z
bằng
hoặc gần một
đó, nơi
z
′
nào
0=
′
)(z
γ
, đó là tại độ sâu gọi là độ sâu
quay trở lại hoặc ở lân cận độ sâu đó.
Chúng ta sẽ không sử dụng phép xấp xỉ WKB để phân tích trường
âm trong ống dẫn sóng. Trong trường hợp đó ta phải luôn nhớ rằng có thể
có loại thức chuẩn tùy thuộc vào khu vực các độ sâu mà một thức chuẩn
đã cho tập trung vào (những độ sâu, nơi
)(
ll
ξ
γ
γ
=
là số thực):
1)
ực bị giới hạn bởi bề mặt nước từ phía trên và
độ sâu qua ại đó

l
zz
′
<<0
. Khu v
y trở lại
l
z
′
, t
0=
′
)(
ll
z
γ
từ phía dưới.
2)
ực bị giới hạn bởi hai độ sâu quay trở lại
ll
zzz
′
<<
′′
. Khu v
0=
′′
=
′
)()(

llll
zz
γ
γ
. Tại đáy và tại bề mặt nước trường của một thức
chuẩn nhỏ theo hàm mũ.
3)
ực bị giới hạn bởi độ sâu quay trở lại ừ
phía trên và bởi đáy từ phía dưới.
4)
vực mở rộng từ bề mặt tới đáy đại dương. Như
đã nói ở trên, chỉ có hai loại thức đầu tiên không tương tác với đáy sẽ là
đáng quan tâm đối với chúng ta.
Nếu sử dụng (6.7.4), nghiệm tổng quát đối với loại thức thứ hai ở
trong các khu vực không có sóng âm
hzz
l
<<
′′
. Khu v
l
z
′′
t
hz <<0
. Khu
zzz
′
<<
′′

(
γ
là số thực) và
zz
′
>
(
γ
là số ảo) có thể viết dưới dạng
(6.7.6)
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∫
′
−
z
z
dzkCzp
γγ
01
21
iexp)(

~
/

zzzdzkC
z
z
′
<<
′′
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
∫
′
,iexp
γ
02

zzdzkCzp
z
z
′
>

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
′
−
,exp)(
~
/
γγ
03
21
. (6.7.7)
Người ta có thể lấy một giá trị
z
cố định bất kỳ khác làm cận dưới của
các tích phân thay vì
ởi vì chỉ có những hằng số tùy ý
thay đổi giá trị. Nếu ta đặt
ũng trở thành áp dụng được
cho loại thức thứ nhất.
Hai số hạng trong (6.7.6) tương ứng với các sóng truyền trong
hướng
z
′
, b

21
CC ,
và
3
C

0=
′′
z
, (6.7.6) c
z
d
ũ khi
ương hoặc âm. Biểu thức (6.7.7) mô tả một sóng suy yếu theo
hàm m
z
tăng. Các hằng số ể được biểu diễn qua
ếu sử dụng điều kiện liên tục của các trường cho bởi (6.7.6) tại
ụ, có thể thực hiện điều đó bằng cách mô tả một trường trong
ần với
ằng các hàm Airy. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không
làm điều đó ở đây viết ngay kết quả (xem [6.12, mục 24], ở đó
thay cho
1
C
và
2
C
có th
3

C
n
zz
′
=
. Ví d
khu vực g
z
′
b
, mà
4
C

3
C
)
)/i(exp),/i(exp 44
3231
π
π
−== CCCC
. (6.7.8)
Phương trình (6.7.7) không phải là không đáng quan tâm đối với chúng
ta, và (6.7.6) có thể viết thành
215 216

⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
−=
∫
′
−
42
0
21
3
/cos)(
~
/
πγγ
z
z
dzkCzp , (6.7.9)
trong đó
ẫn chưa được xác định.
Để nhận được các thức chuẩn
3
C
v
)( z
l
ψ
từ biểu thức sau cùng đối với
điều kiện biên phải được thỏa mãn tại i với thức loại
thứ nhất và tại

i với thức loại hai. Ở trường hợp thứ nhất chúng
ta phải đòi hỏi
thu được
(6.7.10)
trong đó, theo (6.7.1)
)(
~
zp
các
0=z
đố
zz
′′
=
đố
00 =)(
~
p
để
,,,),/( 32141
0
0
=−=
∫
′
lldzk
l
z
l
πγ


21
2
0
2
2
/
)(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
k
zn
l
l
ξ
γ
. (6.7.11)
Biểu thức ở vế trái của (6.7.10) được gọi là tích phân pha, do đó, nhờ
biểu thức này mà phương trình cho các cực được viết trong phép xấp xỉ
WKB.
Để nhận được một phương trình tương tự cho thức loại hai, ta giả sử
ức độ sâu quay trở lại đủ xa bề mặt để cho các thức chuẩn
ông tương tác. Điều kiện biên tại

hể được phát
biểu như sau (mục 3.5): một sóng phản xạ tại độ chậm pha một
lượng
1
0
>>
′′
zk
, t
hoàn toàn kh
zz
′′
=
có t
sâu này
2
/
π
sau một sóng tới. Ta biểu diễn cosin trong (6.7.9) thành một
tổng của hai hàm mũ
.
i
iexp
i
iexpcos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫
∫∫
′
′′
42
1
42
1
4
0
00
π
γ
π

γ
π
γ
z
z
z
z
z
z
dzk
dzkdzk

z
âm, tức
một sóng tới từ phía dưới ở độ sâu
mũ thứ hai mô tả một
sóng lan truyền trong hướng
zz
′
=
. Hàm
z
d
m
ương (sóng phản xạ). Đòi hỏi rằng tỷ số
của hàm mũ thứ nhất và hàm ũ thứ hai tại
ằng
zz
′′
=

b
)/iexp( 2
π

nhân với
)iexp( l
π
21 =
(
l
là một số nguyên hoặc số không) sẽ cho
phương trình
(6.7.12)
Bây giờ từ (6.7.9) ta nhận biểu thức cho các hàm riêng (các thức
chuẩn)
,,,,)/()( 21021
0
=+=
∫
′
′′
lldzzk
l
l
z
z
l
πγ
.
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∫
′
−
4
2
0
21
3
π
γγψ
z
z
lll
dzkCz cos)(
/
, (6.7.13)
ở đây
)( z
ll
γ
γ
=
được xác định thông qua
l

ξ
từ (6.7.11), và
l
ξ
được
tìm từ (6.7.10, 12) tuần tự đối với các loại sóng thứ nhất và thứ hai.
Hằng số
được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
Tuân theo những giả thiết của ở trên, chúng ta có thể thực hi
ở đây, nếu ta đặt các cận gần đúng của tích phân bằng kho
với thức loại một. Do đó
3
C
1
0
2
=
∫
h
l
dz
ψ
.
ện tích phân
ảng 0,
l
z
′
đối
[]

1
4
4
0
0
2
1
2
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∫∫
′
−
l
zz
z
ll
dzdzkzC
π
γγ
cos)( .
Giả sử rằng trong phạm vi một chu kỳ của cosin
)( z

l
γ
có thể xem như
một hằng số (bậc
ủa một sóng càng cao thì giả thiết này càng tốt),
chúng ta có thể thay hế bình phương của cosin bằng 1/2 - giá trị trung
bình của nó trong chu kỳ). Nếu tính đến giá trị
l
c
t

)( z
l
γ
từ (6.7.11), ta nhận
được
12
0
21
2
0
2
22
3
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎣
⎡
−
∫
′
−
dz
k
znC
l
z
l
/
)(
ξ
. (6.7.14)
Ở đây hàm mũ thứ nhất là một sóng lan truyền trong hướng
217 218

Tích phân này có một ý nghĩa vật lý đơn giản nếu chúng ta tham chiếu tới
các phép biểu diễn tia. Nếu biểu diễn
θ
thông qua góc mở
θ
π
χ
−= 2/
l
, chúng ta nhận được từ (2.3.2)

(6.7.15)
đó là độ dài chu trình của tia đi từ độ sâu
ới góc
∫
′
−
−=
z
lll
dznD
0
2122
2
/
)cos(cos
χχ
,
0=z v
)/arccos(
0
k
ll
ξ
χ
=
(xem
được
ll
DC /cos
χ

=
2
3
hình 3.8). Nếu so sánh (6.7.14) và (6.7.15), ta
Thế (6.7.13) vào (6.4.11) và chú ý tới giá trị của
được
.
3
C
, ta
[]
∑
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
′
l
z
z
l
lll
ll
l
dzk
zzDk

rH
zrp
4
4
0
21
10
1
0
π
γ
γγ
ξξ
π
cos
)()(
)(
i),(
/
)(

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−×
∫
′

4
1
0
π
γ
l
z
z
l
dzkcos
. (6.7.16)
Biểu thức này cũng đúng đối với thức loại hai, nhưng cận dưới ở các tích
phân trong (6.7.14, 15) phải lấy bằng
ứ không phải là ất cả
các thức chuẩn có một đóng góp đáng kể vao giá trị của
g
(6.7.16) phải được tính đến. Đối với những thức loại mộ ững
thức chuẩn mà
Đối với thức loại hai một điều kiện tương tự là
Chúng ta lại tham chiếu tới sự dẫn sóng tuyến tính cho bởi định luật
(6.6.8). Nếu thế biểu thức này vào phương trình của các cực (6.7.10), đặt
l
z
′′
ch
0=z
. T
),( zrp
tron
t, đó là nh


l
zzz
′
<
1
,
.
ll
zzz
′
<<
′′
,
ll
zzz
′
<<
′′
1
.
ll
k
χ
ξ
cos
0
=
và chú ý rằng ận được sau một tích
phân cơ bản

(6.7.17)
Mặt khác, trong lý thuyết chính xác về kênh âm tuyến tính, từ (6.6.19),
nếu lại biểu diễn
)()( znkzk
0
=
, ta nh
)/)(/(sin 413
0
3
−= lka
l
πχ
.
l
ξ
thông qua
l
χ
, ta có
23
0
3
2
/
)/(sin
ll
yka=
χ
. (6.7.18)

Phương trình (6.7.17) sẽ phù hợp với (6.7.18) nếu trong (6.6.17) đối với
ỉ có số hạng thứ nhất của một chuỗi được giũa lại.
Ta thấy từ (6.6.17) rằng phép gần đúng WKB cho những giá trị
chính xác hơn của các cực
23
1
32
/
)/(
l
yv = ch
l
ξ
đối với ớn hơn. Thậm chí đối với
giá trị xấp xỉ này cũng khá tốt. Mặt khác, đối với những
đủ lớn thậm
chí một sai số nhỏ trong
l
l
1=l

r
l
ξ
dẫn đến một sai số trong pha của một sóng
r
l
ξ
. Do đó, đối với một thức chuẩn của số ớn bất kỳ có một khoảng
ại đó phép gần đúng WKB bị phá vỡ. Phân tích đầy đủ hơn về vấn

đề này có trong [6.12, mục 48.5].
Một cách tương tự, chúng ta có thể chỉ ra rằng (6.6.21) đối với
những thức chuẩn trong ống dẫn sóng tuyến tính sẽ phù hợp với (6.7.16)
nếu trong (6.6.21) chúng ta sử dụng một biểu diễn tiệm cận của hàm
tại
6)
l
l
r
mà t
)(tv

0<t (6.6.1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−=
−
43
2
2341
π
//
)(sin)()( tttv ,
⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
+−−=
′
−
−
43
2
2341
π
//
)(cos)()( tttv , (6.7.19)
và lưu ý điều đó trong (6.7.16), theo (2.3.2), trong trường hợp đã xét
chúng ta có
ll
aD
χ
sin)/(1=
. (6.7.20)
6.7.1. Các thức chuẩn và các tia
Về ý nghĩa, phép gần đúng WKB là một hình thức khác của âm hình
học. Để minh họa khẳng định này, chúng ta chỉ ra ràng mỗi thức chuẩn
trong (6.7.16) tương ứng với một hệ thống các tia. Thật vậy, nếu các hàm
219 220

cosin trong (6.7.16) được thay thế bởi một tổng của các hàm mũ, và hàm
Hankel bởi biểu diễn tiệm cận của nó, thì một biểu thức cho mỗi thức
chuẩn sẽ chứa bốn số hạng. Pha của từng số hạng là (bỏ qua một số hằng
số bổ sung)

(6.7.21)
Theo định nghĩa, các tia là những đường trực giao với các front
sóng, tức với các bề mặt mà ở đó
∫∫
′′
±±=
z
z
l
z
z
lll
dzkdzkrzzr
1
001
γγξϕ
),,(
.
const=
l
ϕ
. Nói một cách khác đi,
vectơ đơn vị
ếp tuyến với một tia có cùng hướng như e ti
l
ϕ
∇

l
l

ϕ
ϕ
∇
∇
=
e
.
Nhưng từ (6.7.21) ta có
[]
21
22
000
/
cos)(,cos
llllll
znkkzkr
χγϕχξϕ
−±=∇==∇ m ,
)(/cos),( zneznk
lr
χϕ
==∇
0
. (6.7.22)
Ta ký hiệu
)( z
l
χ
là góc giữa một tia và độ sâu
z

(góc mở). Rõ ràng là
rl
ez =)(cos
χ
hay nếu chú ý tới (6.7.22)
ll
zzn
χ
χ
cos)(cos)( =
. (6.7.23)
Kết quả là chúng ta có định luật Snell quen thuộc cho một tia. Hình 6.10
biểu diễn một hệ thống các tia tương ứng với thức chuẩn thứ
l
.

Hình 6.10. Hệ thống các tia tương ứng với thức chuẩn bậc
Người ta có thể xét vấn đề về sự tương đương của các tia và các
thức chuẩn từ quan điểm khác và cho thấy rằng một tia có thể được biểu
diễn như một sự xếp chồng các thức chuẩn có bậc lân cận nhau. Thật vậy,
hãy giả sử rằng tại một điểm nào đó
ức ức lân cận có pha
gây nên cực đại địa phương của trường âm (“sự giao thoa tích cực”). Nếu
ta rời khỏi điểm đó giữ nguyên tại cùng độ sâu
l
),( zr
th
l
và th
z

, thì c
hác nhau, và m
ác thức chuẩn trở
thành khác pha do các tốc độ pha của chúng k ức âm sẽ
thấp hơn. Tuy nhiên, nếu thay đổi cả
z
, chúng ta có th
ứng m
ỹ tích m
ể đạt đích tại điểm,
nơi các thức lại trùng pha. Ta sẽ ch inh, tuân theo công trình của
Tindle và Guthrie [6.13], rằng một qu à đó các thức trùng pha
sẽ là một tia. Nếu số lượng thức lớn, đó là trườ ợp phép gần đúng
WKB được áp dụng, thì thay đổi pha
tại
ng h
),,(
1
zzr
l
ϕ
theo
l
có thể được ước
lượng bằng đạo hàm
l
l
∂
∂
ϕ

. Các thức sẽ giao thoa tích cực nếu chênh lệch
pha giữa các thức
ằng
l
và
1+l
b m
π
2− , với ố nguyên, tức
m
là s
m
l
l
π
ϕ
2−=
∂
∂
.
Nếu sử dụng
l
ϕ
từ (6.7.21) và
l
γ
từ (6.7.11), bằng cách lấy đạo
221 222

hàm, ta được

[]
{
∫
′
−
−±
z
z
ll
l
dzznr
dl
d
21
22
/
cos)(cos
χχ
ξ

[]
}
mdzzn
z
z
ll
πχχ
2
21
22

−=−±
∫
′
−
/
cos)(cos (6.7.24)
trong đó, giống như ở trên, ta đã sử dụng ký hiệu
0
k
l
l
ξ
χ
=cos .
Mặt khác, nếu lấy đạo hàm phương trình đối với các cực (6.7.12)
theo
để xác định, ta xét các thức loại hai), nhận được
l
(
∫
′
′′
−
−=−
z
z
ll
l
dzzn
dl

d
πχχ
ξ
2122 /
]cos)([cos . (6.7.25)
Các tích phân trong (6.7.24, 25), như đã thấy khi so sánh với (2.3.2), sẽ
cho độ dài theo phương ngang của các đoạn khác nhau do một tia đi
được, cụ thể (hình 6.11)
(6.7.26)
trong đó
độ dài của chu trình tia, ảng cách phương
ngang
[]
[]
[]
2
21
22
21
22
21
22
1
/coscos
,coscos
,coscos
/
/
/
l

z
z
ll
BCAB
z
z
ll
EFDE
z
z
ll
Ddzn
rrdzn
rrdzn
=−
==−
==−
∫
∫
∫
′
′′
−
′
−
′
−
χχ
χχ
χχ


l
D
là
AB
r
là kho
A
B , v.v Đến đây, từ (6.7.25, 26) chúng ta có một công thức
quan trọng
l
l
Ddl
d
π
ξ
2
−= . (6.7.27)
Ý nghĩa vật lý của kết quả này sẽ được giải thích sau. Phương trình
(6.7.24) bây giờ có thể viết lại thành
(6.7.28)
Trên hình 6.11 biểu diễn một biểu thức giải tích cho tia đối với trường
hợp
ổ hợp các dấu trong trường hợp này sẽ là:
+ + nếu nguồn ở điểm
áy thu ở điểm
+ - nếu nguồn ở điểm
áy thu ở điểm
- + nếu nguồn ở điểm
áy thu ở điểm

- - nếu nguồn ở điểm
áy thu ở điểm
Các phương pháp tia hay thức chuẩn được dùng rộng rãi để mô tả sự
truyền âm dẫn sóng trong đại dương. Nhưng nếu bước sóng âm nhỏ so
với độ sâu đại dương, số thức có nghĩa trở nên rất lớn, tạo ra những khó
khăn về phương diện tính toán. Tại những khoảng cách lớn kể từ nguồn
số lượng tia đạt tới máy thu vẫn còn lớn. Hiệu quả củ
a các phương pháp
tăng lên nếu chúng được sử dụng một cách kết hợp chứ không
phải là riêng lẻ. Ý tưởng cơ bản củ ương pháp tia - thức lai ghép như
vậy l tia tớ của
thứ g ng
ục kênh âm ngầm (các góc mở nhỏ) là bé,
trong khi số lượng tia là lớn. Cách xa trục thì ng
ược lại. Cho nên, nếu chú
ý rằng
DEABl
rrmDr ±±=
.
1=m
. T
),(
A 1
zr
, m
),(
F
zr

),(

A 1
zr
, m
),(
D
zr

),(
C 1
zr
, m
),(
F
zr

),(
C 1
zr
, m
),(
D
zr
.
này có thể
a ph
mà mật độ góc của các đạt i áy thu và các giá trị riêng các
c không như nhau tron nhữ miền góc khác nhau. Số lượng các
thức lan truyền ở lân cận của tr
ll
k

χ
ξ
cos=
, t
ận
l
và
1+l
ừ (6.7.27) ta nhận được hiệu giá trị riêng của hai
thức lân c

ll
kD
ll
χ
π
χ
sin
,
2
1
=∆
+
, (6.7.29)
tứ là, độ dài chu trình
óc mở
l
D
và g
l

χ
càng bé thì
1+
∆
ll,
χ
càng lớn, và
do đó, mật độ góc của các thức càng nhỏ.
Một cách tương tự, từ (6.1.14) đối với hiệu góc của hai tia đạt tới
máy thu tại một khoảng cách
ồm tuần tựr và g
N
và
1+
N
chu trình, ta
tìm được rằng (với
1>>
N
)
223 224

2
2
2N
ar
χ
χ
cos
=∆


hay, nếu chú ý rằng
Dr
N
/~ ,
22
2 Dra )/cos(
χχ
=∆ , (6.7.30)
tức
χ
∆ tăng nhanh khi độ dài chu trình
D
tăng lên (mật độ góc của các
tia giảm). Điều này diễn ra đối với các điểm quay ngoặt hướng nằm ở các
khoảng cách xa kể từ trục kênh âm ngầm.

Hình 6.11. Biểu diễn một tia như là sự xếp chồng các thức chuẩn
Như vậy là trường sóng mà những điểm quay ngoặt hướng của nó
nằm ở lân cận ở lân cận trục kênh âm ngầm có thể được tính toán bằng
ôhuwng pháp thức, còn phương pháp tia nên sử dụng nếu như các điểm
quay ngoặt nằm xa trục kênh âm ngầm. Tổng số các thức và tia trong
phương pháp lai ghép thường nhỏ hơn so với trường hợp các thức và các
tia được dùng riêng rẽ.
Phương pháp lai ghép còn có một ưu
điểm nữa. Như đã biết, phương
pháp tia không thành công ở lân cận các điểm tụ tia hoặc nếu như các góc
mở tại độ sâu nguồn và máy thu rất nhỏ. Trong những trường hợp đó sẽ
có lợi nếu thay thế một nhóm tai bằng các thức. Ngược lại, tính các giá trị
riêng đối với một nhóm thức tạo nên trường âm tại khoảng cách nào đó

có thể đơn giản hơn nhi
ều so với xác định phổ thức toàn phần. Sau đó
phần còn lại của trường âm được tính bằng phương pháp tia.
Một số ví dụ áp dụng thực tế phương pháp lai ghép tia - thức để tính
toán trường âm trong đại dương được giới thiệu trong [6.16, 17].
6.7.2. Các chu kỳ không gian của sự giao thoa
Các đặc trưng quan trọng của trường âm trong đại dương là quy mô
biến thiên trong phương ngang và thẳng đứng của nó.
Biến thiên phương ngang chủ yếu là do sự giao thoa với nhau của
các thức chuẩn khác nhau. Quy mô biến thiên ngang lớn nhất (khoảng
cách giữa các vùng hội tụ kế cận nhau hoặc tương tự, độ dài của chu trình
tia) là do sự giao thoa của các thức có bậc kề cận nhau. Thật vậy, để xác
định cường độ âm
2
p
chúng t
ểu di
a số ki
a phải lấy bình phương tổng (6.7.16). Sau
khi sử dụng cách bi ễn tiệm cận của hàm Hankel, ta nhận được các số
hạng chứa các thừ ểu
])[(exp r
ll
′
−
ξ
ξ
. Mỗi số hạng đó dao động
dọc theo
ới chu kỳ r v

ll
ll
′
′
−
=Λ
ξξ
π
2
,
. Chu kỳ lớn nhất ứng với hiệu
ll
′
−
ξ
ξ
bé nhất, tức khi trường hợp đó,
1+=
′
ll
. Trong
l
lll
∂∂=−
′
/
ξ
ξ
ξ
, và nếu chú ý tới (6.7.27), ta tìm được Λ

,
tức chu kỳ giao thoa này trùng với độ dài của chu trình tia toàn phần.
Trong trường âm còn có những chu kỳ giao thoa khác ngắn hơn.
Chu kỳ ngắn nhất ứng với hiệu
l
D=
+1
,
ll
)cos(cos
llll
k
′′
−=−
χ
χ
ξ
ξ
0
lớn nhất
xảy ra đối với
l
χ
cực tiểu (
0≈
l
χ
nếu nguồn nằm tại trục kênh) và
l
′

χ

cực đại ứng với tia ngoài cùng bị bẫy bởi kênh âm. Nói cách khác,
khoảng góc của các sóng bị bẫy bởi kênh âm càng rộng thì chu kỳ giao
thoa cực tiểu càng ngắn.
225 226

Các chu kỳ biến thiên thẳng đứng của cường độ âm ngắn hơn một
cách đáng kể và do sự giao thoa các sóng truyền trong các hướng
z

dương và âm làm nên thức bậc
đối với thức đó đại lượng
l
. Vì
)( zk
l
γ
0

là số sóng phương thẳng đứng, chu chỳ giao thoa sẽ là
[]
21
22
00
/
cos)(
−
−=
l

l
zn
kk
χ
π
γ
π
.
l
χ
càng lớn, tức góc mở của một tia so với phương ngang càng rộng, thì
chu kỳ giao thoa thẳng đứng càng nhỏ. Tuy nhiên, nó thường bằng bước
sóng âm tới một bậc đại lượng.
Sơ đồ giao thoa trong các tọa độ khoảng cách và tần số rất quan
trọng. Nó đã được quan trắc trong các thí nghiệm và tỏ ra khá ổn định
[6.18].
Theo (6.4.11) cường độ âm tại những khoảng cách lớn kể từ nguồn
)( 1>>r
l
ξ
có thể biểu diễn bằng
∑
ℵ==
ml
mlml
rBBzrpzrI
,
*
)(cos),,(),,(
2

ωω
, (6.7.31)
ở đây
mlml
ξ
ξ
−=ℵ và phụ thuộc của
I
vào
z
được gộp vào các biên
độ của các thức.
Theo gương [6.19], trước tiên ta xét sự giao thoa chỉ của hai thức.
Nếu ta bỏ qua sự phụ thuộc (thường là yếu) của các hệ số
ần
số âm, điều kiện để cường độ âm cực đại đối với sự giao thoa ủa các
thức
ml
B
,
vào t
c
l
và
m
là
,,,, 212 ==ℵ NNr
ml
π
(6.7.32)

Đây là một quan hệ hàm giữa tần số
ω
và khoảng cách ọc theo các
đường cường độ cực đại. Rõ ràng rằng khoảng cách giữa hai cực đại liên
tiếp dọc theo trục
ằng chu kỳ giao thoa
r d
r b
mlml
ℵ=Λ /
π
2. Giữa các
cực đại cường độ âm
),,( zzI
ω
biến đổi dọc theo trục ật
hình sin, nhưng dọc theo trục
r tuân theo lu
ω
thì những biến thiên cường độ âm được
xác định bởi hàm
)(
ω
lm
ℵ
, và khô
ọng đố
độ cực đạ
ng tuần hoàn do sự tản mạn dẫn sóng.
Tham số quan tr i với việc bàn luận của chúng ta - độ dốc của

các đường cường i trong mặt phẳng
),( r
ω
- nhận được bằng
cách lấy đạo hàm (6.7.32) theo
ω

ω
ω
drddr
d
ml
ml
/ℵ
ℵ
−=
. (6.7.33)
Giá trị của đạo hàm
drd /
ω
giảm khi khoảng cách ừ nguồn âm tăng
lên, còn dấu của nó được xác định bằng d ủa đạo hàm
r t
ấu c
mlml
uudd /// 11 −=ℵ
ω
, ở đây
ll
ddu

ξ
ω
/=
là hợp phần phương
ngang của tốc độ nhóm của thức
Ví dụ, xét đại dương đồng nhất với đáy phản xạ hoàn toàn. Đối với
một số thức đầu tiên thỏa mãn điều kiện
l
.
2
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+l
kh
π
1<< (các góc
mở bé), từ (5.3.5) ta nhận được một cách gần đúng
ω

π
1
2
1
2
1
2
22
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=ℵ lm
h
c
lm
. (6.7.34)
Bây giờ, đặt (6.7.32) vào (6.7.30), ta được
rlm
Nh
c
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
22
2
2
1
2
1
4
π
ω
,
tức, trong phép gần đúng này các đường cường độ cực đại là thẳng và độ
dốc của chúng trong mặt phẳng

r−
ω
bằng
r
dr
d
ω
ω
=
. (6.7.35)
227 228

Sử dụng các kết quả của Chuprov [6.18], bây giờ ta xét sơ đồ giao
thoa đối với một nhóm thức. Các gia số tần số
ω
d
và khoảng cách
chúng không làm thay đổi mức cường độ âm
dr
,
const,),,( =zrI
ω
được
tìm từ phương trình
ω
ω
∂∂
∂∂
−=
/

/
I
rI
dr
d
. (6.7.36)
Ta biểu diễn
r
I
∂
∂
và
ω
∂
∂ I
ở lân cận khoảng cách ần số r và t
ω
. Lại
bỏ qua sự phụ thuộc yếu của các biên độ thức vào r và
ω
, từ
(6.7.31) ta được
,sin
,sin
,
*
,
*
∑
∑

ℵ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
∂
∂
ℵ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
∂
∂
ml
lm
ml
ml
ml
lm

ml
ml
r
uu
BBr
I
r
vv
BB
r
I
11
11
ω
ω
(6.7.37)
trong đó
l
l
v
ξ
ω
=
là hợp phần phương ngang của tốc độ pha của thức
Bây giờ, hãy chú ý rằng trường âm tại một khoảng cách cố định trong
dương phân tầng chủ yếu hình thành bởi một nhóm thức với những s
hiệu gần nhau [5.4, mục 2]. Trong phạm vi một nhóm như vậy, tốc
pha
ốc độ nhóm ần bằng những giá trị trung bình nào đó mà
chúng ta tuần tự chấp nh

i ra, các tốc độ pha và nhóm
liên quan với nhau bởi một mối ph uộc hàm,
phép
gần đúng WKB và đôi khi cả trong lời giải chính xá ệ này không
phụ thuộc vào số hiệu thức cũng như tần số âm. N i những lập
luận này, ta có thể khai triển
ở lân cận
l
.
đại
ố
độ
l
v
và t
l
u
g
ận là
v
và
u
. Ngoà
ụ th
)(vuu =
. Trong
c, quan h
ếu chú ý tớ
l
uI /


u
I
/
thành một chuỗi lũy
thừa của
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
vv
l
11
, và ch
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+=
vv
v

d
u
d
uu
ll
11
1
1
11
. (6.7.38)
Sau đó, nếu sử dụng (6.7.36-38), ta thấy rằng đại lượng
du
dv
v
u
u
d
v
d
dr
dr
2
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

−=−=≡
ω
ω
β
(6.7.39)
là một bất biến nào đó của một sơ đồ giao thoa trong phạm vi một nhóm
thức xác định cường độ âm tại điểm
ần số
),( zr
và t
ω
. Như từ (6.7.39)
suy ra,
β
chỉ liên hệ với giá trị trung bình của đạo hàm
đối với một nhóm thức đang xét. Bất biến
)/(/)/( vdud 11

β
được đưa ra lần đầu tiên
trong [6.20].
Trong trường hợp riêng đại dương đồng nhất với đáy phản xạ hoàn
toàn, các tốc độ pha và nhóm của các thức liên hệ với nhau theo (5.3.14).
Khi đó, đối với một thức số hiệu bất kỳ ta được (bỏ qua chỉ số
l
)
u
v
du
dv

−=
.
Chú ý tới các quan hệ
,cos,
cos
χ
χ
cu
c
v ==

các quan hệ này đúng đối với trường hợp dẫn sóng đang xét, ta tìm được
χβ
2
cos==
u
,
v
ở đây
χ
là góc mở của thức
l
. Với các góc mở nhỏ 1≈
β
. Cùng một kết
quả như vậy có thể trực tiếp nhận được từ (6.7.35).
ỉ giữ lại hai số hạng đầu tiên
229 230

2

Đối với kênh âm bề mặt có )( zn
2
phụ thuộc tuyến tính (6.6.8), các
tốc độ pha và nhóm của các thức được cho bằng (6.6.22) và (6.6.23). Rõ
ràng là đối với một thức số hiệu bất kỳ, ta có

2
0
2
3v
u =
.
)/( cv
+
(6.7.40)
Khi đó, từ (6.7.39) ta tìm được
2
0
2
3
)/( cv−
−=
β
. (6.7.41)
Tại những tần số khác xa với tần số cắt, ta có
đó
0
cv ≈
và do
3−≈

β
. Dấu trừ có nghĩa rằng nếu tại khoảng cách ột cực đại
giao thoa tại tần số
r
có m
ω
, thì một gia lượng của tần số bằng
ω
d
sẽ dịch
chuyển cực đại đó một lượng
ề phía nguồn âm.
Các kết quả tính toán bằng số về trường âm trong biển nông (độ sâu
30 m) được biểu diễn trên hình 6.12. Mỗi đường cong biểu diễn sự phụ
thuộc vào
ảng gián đoạn 10 đến 11 km) của cường độ âm tại một
tần số cố Để thuận tiện, các đường cong kế liền nhau được dịch
chuyển tươ đối so với nhau một lượng bằng 2 dB. Đường cong thấp
nhất ứng v Hz, đường cong cao nhất - với 307,5 Hz. Tổng số các
đường con à 26 (độ gián đoạn tần số là 0,3 Hz). Tốc độ âm trong lớp
nước
được c ấp nhận bằng 1,5 km/s, và đáy là một nửa không gian lỏng
với tốc độ bằng 1,8 km/s, mật độ bằng 1,6 g/cm
3
. Nguồn và máy thu
nằm tại độ . Chỉ những thức lan truyền không suy giảm mới
được xem xét trong khi tính toán. Với những giá trị tham số như thế, số
thức là 3. Sau khi tìm được các giá trị của
dr
v

r
(kho
định.
ng
ới 300
g l
h
âm
sâu 15 m
rr
/
∆ và
ω
ω
/
∆
từ đồ thị, ta
nhận được từ (6.7.39) rằng 1≈
β
.
Sơ đồ giao thoa của trường âm được tính cho các điều kiện của Địa
Trung Hải (mục 1.2), nơi kênh âm bề mặt có građien tốc độ âm không đổi
từ mặt biển tới tận độ sâu tồn tại, được biểu diễn trên hình 6.13. Một số
thức suy yếu cũng đã được tính tới. Trong trường hợp này giá trị
β
là
3−
, nó phù h
dẫn sóng tu
ợp với một ước lượng lý thuyết thu được cho trường hợp

yến tính. Hãy lưu ý rằng sau khi tìm được
β
đối với một
nhóm thức và sử dụng (6.7.39), ta có thể xác định khoảng cách giữa
nguồn và điểm quan trắc.
Nên lưu ý rằng (6.7.39) là biểu thức gần đúng về hai khía cạnh. Khi
rút ra nó, chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc của biên độ thức vào tần số, và
đã dùng khai triển (6.7.38) chỉ đúng cho một nhóm thức hạn chế chủ yếu
đối với
r và
ω
đang xét. Nếu r và
ω
thay đổi, trường âm sẽ được
quyết định bởi nhóm thức khác mà i v
ể có
một dạng khác. iều này dẫn tới một thay đổi
đố ới chúng hàm
)(
ll
vu
có th
Đ
β
. Nhưng nếu hàm
ư nhau đối với tất cả các thức, như đối với ví dụ trong
h âm bề mặt, thì
)(
ll
vu

là nh
trường hợp kên
β
sẽ không thay đổi do sự thay đổi của
r
và
ω
.
β
là b
Một số tính toán và thí nghiệm khác cho thấy rằng
ất biến là
khá hữu ích để phân tích về đặc điểm chung của sơ đồ giao thoa của
trường âm trong đại dương [6.18]. Các kết quả khảo sát toàn diện về cấu
trúc giao thoa của âm băng rộng trong đại dương được giới thiệu trong
sách [6.21].
Trong một kênh dẫn sóng đại dương phụ thuộc yếu vào khoảng
cách, nơi không có sự chuyển đổi năng lượng âm giữa các thức (phép gần
đúng
đoạn nhiệt), pha của thức
)(
ξ
,
l
là
∫
r
l
drr
0

ở đây
)(r
l
ξ
là một giá trị riêng địa phương. Trong trường hợp này bất
231 23