PH NG PHÁP 2: S D NG BĐT CAUCHYƯƠ Ử Ụ
1. B t đ ng th c CauChyấ ẳ ứ :
a) Cho
a+b
0, b 0
2
≥ ≥ ⇒ ≥a ab
. Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b
b) Cho
3
a+b+c
0, b 0, c 0
3
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥a abc
. Đ ng th c x y ra khi và ch khi ẳ ứ ả ỉ a= b = c
c) Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đ ng th c x y ra khi và ch khiẳ ứ ả ỉ
1 2
= = =
n
a a a
2. Ví dụ:

1) Cho 2 s d ng ố ươ a, b . Ch ng minh r ng:ứ ằ
a)
2+ ≥
a b
b a
b)
( ) ( )
1 4+ + ≥a b ab ab
2) Ch ng minh: ứ
( ) ( ) ( )
( )
3
3
1 1 1 1+ + + ≥ +a b c abc
v i ớ a, b, c không âm.
3) Ch ng minh: ứ
3 9
4
2 3 4 9+ + ≥a b c abc
4) Ch ng minh: ứ
+ + ≥ + +
xy yz zx
x y z
z x y
v i x, y, z > 0ớ
5) Ch ng minh:ứ a)
3
2
+ + ≥
+ + +

a b c
b c c a a b
v i a, b, c > 0ớ
b)
2 2 2
2
+ +
+ + ≥
+ + +
a b c a b c
b c c a a b
3. Bài t pậ :
1) Cho a, b, c > 0 . Ch nng minh:ứ
a)
( )
1 1
4
 
+ + ≥
 
 
a b
a b
b)
( )
1 1 1
9
 
+ + + + ≥
 

 
a b c
a b c
c)
2 2 2
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
d)
( )
( )
2 2 2
9+ + + + ≥a b c a b c abc
e)
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
f)
4 4 4 9
2 2 2
+ + ≥
+ + + + + + + +a b c a b c a b c a b c
g)
1 1 1
+ + ≥ + +
a b c
bc ca ab a b c
2) Cho
1 2
, , ,
n

a a a
là các s th c d ng tho ố ự ươ ả
1 2
. 1=
n
a a a
. Ch ng minh: ứ
( ) ( )
( )
1 2
1 1 1 2+ + + ≥
n
n
a a a
3) Cho x, y, z > 0. Ch ng minh ứ
2 2 2
2 2 2
+ + ≥ + +
x y z x y z
y z x
y z x
4) Ch ng minh: ứ
1
! ; n N
2
+
> ∈
n
n
n

5) Cho ba s d ng ố ươ x, y, z tho ả x + y + z =1 . Ch ng minh: ứ
( ) ( ) ( )
8
.
729
x y y z z x xyz+ + + ≤
6) Cho
1; b 1≥ ≥a
Ch ng minh r ng: ứ ằ
1 1− + − ≤a b b a ab
7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 tho a + b + c = 1. Ch ng minh: ả ứ
6+ + + + + ≤a b b c c a
8) Ch ng minh ứ
( ) ( ) ( )
8+ + + ≥x y y z z x xyz
v i x, y, z > 0ớ
9) Cho các s d ng ố ươ x, y, z tho ả xyz=1 và n là 1 s nguyên d ng. Ch ng minh ố ươ ứ
1 1 1
3
2 2 2
+ + +
     
+ + ≥
     
     
n n n
x y z
10) Cho x, y, z là 3 s d ng. Ch ng minh ố ươ ứ
3 2 4 3 5+ + ≥ + +x y z xy yz zx
11) Cho a, b, c là 3 s th c b t kỳ tho a+b+c = 0. Ch ng minh ố ự ấ ả ứ

8 8 8 2 2 2+ + ≥ + +
a b c a b c
12) Ch ng minh v i m i s th c ứ ớ ọ ố ự a, ta có:
2
4 4 8
3 3 2
− +
+ ≥
a a
13) Cho
, , 0x y z >
và th a ỏ
1x y z+ + =
. Ch ng minh r ng ứ ằ
18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+ + >
+
14) Cho a, b, c, d > 0 . Ch ng minh ứ
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +
a b c d
b c d a a b c d
15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không. Ch ng minh ứ
2 2 2 2 2 2

1 1 1 9
+ + ≥
+ +x y z x y z
16) Ch ng minh v i ứ ớ x, y là 2 s không âm tuỳ ý, ta luôn có: ố
3 3 2
3 17 18+ ≥x y xy
17) Ch ng minh ứ
( ) ( ) ( ) ( )
4
5 4 3 6
1
4
+ + − −
≤
+ + +
a b c d
a b c d
v i ớ
5, 4, 3, 6a b c d> − > − > >
18) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh ứ
( )
( )
2 2 2
1 1 1 3
2
 
+ + + + ≥ + +
 
+ + +
 

a b c a b c
a b b c c a
19) Cho x, y, z > 0 Ch ng minh ứ
1 1 1 8
 
  
+ + + ≥
   
  
 
x y z
y z x
20) Ch ng minh ứ
2
2
3
2
2
x
x
x
+
≥ ∀ ∈
+
¡
21) Ch ng minh ứ
8
6 >1
1
x

x
x
+
≥ ∀
−
22) Cho n s ố
1 2
, , ,
n
a a a
không âm tho ả
1 2
1+ + + =
n
a a a
. Ch ng minh ứ
1 2 1 3 1
1
. . .
2
−
−
+ + + ≤
n n
n
a a a a a a
23) Ch ng minh ứ
+
1
1 , 2

n
n n n
n
< + ∀ ∈ ≥¢
24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Ch ng minh : ứ
1 1 1
1 1 1 64
 
   
+ + + ≥
   
   
 
x y z
25) Cho
0, 0, 0≥ ≥ ≥x y z
và
1 1 1
1
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
. Ch ng minh ứ
1
8
≤xyz
26) Ch ng minh: ứ
1
1 1
1 1 ;

1
n n
n
n n
+
   
+ ≤ + ∀ ∈
   
+
   
¥
27) Ch ng minh ứ
( )
+
1.3.5 2 1
n
n n n− < ∀ ∈¢
28) Cho
2 2
1+ =x y
Ch ng minh ứ
2 2− ≤ + ≤x y
29) Cho 3 s th c ố ự x, y, z th a ỏ
3; y 4 ; z 2≥ ≥ ≥x
. Ch ng minh ứ
2 3 4
2 3 2 2 6
4 6
− + − + −
+ +

≤
xy z yz x zx y
xyz
30) Cho
( ) ( )
( ) 4 5= + −f x x x
v i ớ
4 5
− ≤ ≤
x
. Xác đ nh ị x sao cho f(x) đ t GTLNạ
31) Tìm GTNN c a các hàm s sau:ủ ố
a)
3
( ) = +f x x
x
v i x > 0ớ b)
1
( )
1
= +
−
f x x
x
v i x > 1ớ
32) Cho
0 4; 0 y 3≤ ≤ ≤ ≤x
. Tìm GTLN c a ủ
( ) ( ) ( )
3 4 2 3= − − +A y x y x

33) Tìm GTLN c a bi u th c:ủ ể ứ
2 3 4− + − + −
=
ab c bc a ca b
F
abc
v i ớ
3; b 4; c 2≥ ≥ ≥a
34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN c a ủ
1 1 1
= + +
+ + +
x y z
P
x y z
(ĐHNT-1999)
35) Cho 3 s d ng ố ươ a, b, c th a ỏ a.b.c=1. Tìm GTNN c a bi u th c:ủ ể ứ
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + +
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
(ĐHNN – 2000)
36) Ch ng minh các b t đ ng th c sau v i gi thi t ứ ấ ẳ ứ ớ ả ế
, , 0a b c >
:
1.
5 5 5
3 3 3

2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +
2.
5 5 5
3 3 3
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
3.
4.
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c a
b c a
+ + ≥ + +
5.
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
+ + ≥ + +
6.
3 3 3
2 2 2

1
( )
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +
7.
3 3 3
2 2 2
1
( )
4
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + +
8.
3 3 3
1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +

37) Cho
, ,x y z
là ba s d ng th a mãn ố ươ ỏ
1xyz =
. Ch ng minh r ng ứ ằ
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +
(ĐH 2005)
38) Cho
, ,x y z
là các s d ng. Ch ng minh r ng ố ươ ứ ằ
4 4 4
3 3 3
1
( )
2
x y z
x y z
y z z x x y
+ + ≥ + +
+ + +
(ĐH 2006)
39) Gi s ả ử
,x y
là hai s d ng thay đ i th a mãn đi u ki n ố ươ ổ ỏ ề ệ

5
4
x y+ =
. Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ
4 1
4
S
x y
= +
(ĐH 2002)
40) Cho
, ,x y z
là các s d ng và ố ươ
1x y z+ + ≤
. Ch ng minh r ng: ứ ằ
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + + ≥
(ĐH 2003)
41) Cho
, ,x y z
là các s d ng th a mãn ố ươ ỏ
1 1 1
4
x y z
+ + =
. Ch ng minh r ng:ứ ằ

1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
(ĐH 2005)
42) Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ
x
∈
¡
thì
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
     
     
(ĐH 2005)
43) Cho
, ,x y z
là các s d ng th a mãn ố ươ ỏ
1xyz =
. Ch ng minh r ng:ứ ằ
3 3 3 3
3 3
1 1
1

3 3
x y y z
z x
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ≥
(ĐH 2005)
44) Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ
, 0x y >
thì
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x
y
 
 
+ + + ≥
 
 
 
 
 
(ĐH 2005)
45) Cho
, ,x y z
th a mãn ỏ

0x y z+ + =
. Ch ng minh ứ
3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
(ĐH 2005)
46) Cho
, ,a b c
là ba s d ng th a mãn ố ươ ỏ
3
4
a b c+ + =
. Ch ng minh r ng:ứ ằ
3 3 3
3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤
(ĐH 2005)
47) Cho
, ,x y z
th a mãn ỏ
3 3 3 1
x y z− − −
+ + =
. Ch ng minhứ
9 9 9 3 3 3
4
3 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y+ + +
+ +
+ + ≥

+ + +
(ĐH 2006)
48) Tìm GTNN c a hàm s ủ ố
2
11 7
4 1 ( 0)
2
y x x
x
x
 
= + + + >
 
 
(ĐH 2006)
49) Cho
,x y
là hai s d ng th a mãn đi u ki n ố ươ ỏ ề ệ
4x y+ ≥
. Tìm GTNN c a bi u th c ủ ể ứ
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x
y
+ +
= +

(ĐH 2006)
50) Ba s d ng ố ươ
, ,a b c
th a mãn ỏ
1 1 1
3
a b c
+ + =
. Ch ng minh r ng: ứ ằ
(1 )(1 )(1 ) 8a b c+ + + ≥
(ĐH 2001)
51) Gi s ả ử
x
và
y
là hai s d ng và ố ươ
1x y+ =
. Tìm GTNN c a ủ
1 1
x y
P
x y
= +
− −
(ĐH 2001)
52) Cho hai s th c ố ự
0, 0x y≠ ≠
th a mãn ỏ
2 2
( )x y xy x y xy+ = + −

. Tìm GTLN c a bi u th c ủ ể ứ
3 3
1 1
A
x y
= +
(ĐH 2006)
53) Ch ng minh r ng n u ứ ằ ế
0 1y x≤ ≤ ≤
thì
1
4
x y y x− ≤
(ĐH 2006)