CHƯƠNG 2: BIẾN ĐỔI pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (274.22 KB, 12 trang )
CHƯƠNG 2
BIẾN ĐỔIZ
BIẾN
ĐỔI
Z
21Môtả tá h ủ lấ ẫ
2
.
1
Mô
tả
t
o
á
n
h
ọc c
ủ
a
lấy
m
ẫ
u
2.2 Biến đổi z
23Tí h hấtbiế đổi
2
.
3
Tí
n
h
c
hất
biế
n
đổi
z
2.1 MÔ TẢ TOÁN HỌC LẤY MẪU
Lấ ẫ là biế đổití hiệ
Lấ
y m
ẫ
u
là
biế
n
đổi
tí
n
hiệ
u
liên tục theo thời gian thành
tín hiệurờirạctheothờigian.
tín
hiệu
rời
rạc
theo
thời
gian.
(*) )().()(* tstxtx
=
Trong đó
s(t)
là chuỗi xung dirac:
Trong
đó
s(t)
là
chuỗi
xung
dirac:
∑
∞
−∞=
−=
k
kTtts )()(
δ
Thay s(t) vào (*) và giả sử x(t) = 0
∀
t <0, ta có:
∑
+∞
=
−=
0
)().()(*
k
kTttxtx
δ
∑
∞
+
=
−=⇒
0
)().()(*
k
kTtkTxtx
δ
Biến đổi Laplace 2 vế của phương trình cuối slide trước, ta được :
+∞
∑
+∞
=
−
=
0
).()(*
k
kTs
etxsX
Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bị méo dạng thì tầnsố lấymẫuphảithỏamãnđiềukiện:
mà
không
bị
méo
dạng
thì
tần
số
lấy
mẫu
phải
thỏa
mãn
điều
kiện:
c
f
T
f 2
1
≥=
( f
c
là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu)
T
Trong hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
ể ổ ấ
lượng tử hóa thì các khâu chuy
ể
n đ
ổ
i A/D chính là các khâu l
ấ
y
mẫu.
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian
thành tín hi
ệ
u liên t
ụ
c theo thời
g
ian.
ệ ụ g
Có nhiều dạng: đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các
hệ điều khiểnrờirạclà
khâu giữ bậc0(Zero
-
Order Hold
-
ZOH)
hệ
điều
khiển
rời
rạc
là
khâu
giữ
bậc
0
(Zero
-
Order
Hold
-
ZOH)
Nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là
xung vuông có độ rộng bằng T:
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)
{
}
{
}
e
T
t
u
t)
u
t)
c
s
C
Ts−
−1
)
(
(
(
)
(
L
L
{
}
{
}
s
T
t
u
t)
u
t)
c
s
C
=
−
−
=
=
)
(
(
(
)
(
L
L
Theo định nghĩa:
Theo
định
nghĩa:
(
**
)
11)(
)
(
1
zesC
s
G
Ts −−
−
=
−
=
=
()
)(
)
(
sssR
s
G
Z
O
H
=
=
=
(
**
)
là hàm tru
yề
n của khâu
g
iữ b
ậ
c 0.
() y g ậ
Trong hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng
tử hóa
thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc0
tử
hóa
thì
các
khâu
chuyển
đổi
D/A
chính
là
các
khâu
giữ
bậc
0
2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
Định nghĩa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:
+
∞
{
}
∑
−∞=
−
=
=
k
k
zkxk)xzX )(()( Z
K
ý
hi
ệ
u:
trong đó: z = e
Ts
(s là biến Laplace)
)
(
)
(
X
k
Z
ý ệ
)
(
)
(
z
X
k
x
⎯
→←
Z
Nế
u
x(
k
)
= 0,
∀
k < 0 thì bi
ể
u thức định n
g
hĩa trở thành:
()
g
{}
∑
+∞
=
−
==
0
)(()(
k
k
zkxk)xzX Z
=
0
k
Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.
Ý ế ổ
Ý
nghĩa của bi
ế
n đ
ổ
i Z
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta
đượcchuỗirờirạc
x(k) = x(kT)
∑
+∞
=
−
=
0
)()(
k
k
zkxzX
∑
+∞
=
−
=
0
).()(*
k
kTs
ekTxsX
được
chuỗi
rời
rạc
x(k)
=
x(kT)
.
=
0
k
Biểu thức biến đổi Z
Do z = e
Ts
nên vế phải của hai biểu thức trên như nhau, do đó bản chất
=
0
k
Biểu thức lấy mẫu x(t)
của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó.
Phép biến đổi Z ngược
Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z):
∫
−
=
k
d
z
z
z
X
j
k
x
1
)
(
2
1
)
(
∫
C
j
)
(
2
)
(
π
(C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ)
Tính tuyến tính
Tính chất
)
(
)
(
X
k
⎧
→
←
Z
)()()()(
)()(
)
(
)
(
22112211
22
11
zXazXakxakxa
zXkx
z
X
k
x
+⎯→←+⇒
⎩
⎨
⎧
⎯→←
⎯
→
←
Z
Z
Dờitrongmiềnthờigian
Tiề ZhâX()ới
k
thì
Dời
trong
miền
thời
gian
T
rong m
iề
n
Z
n
hâ
n
X(
z
)
v
ới
z
-
k
0
thì
tương đương với trong miền thời
g
i
a
n l
à
tr
ễ
tín hi
ệu
x
(
k
)
k
0
c
h
u
k
ỳ
ga à ễ ệu()
0
cu ỳ
lấy mẫu.
)
(
)
(
)()(
0
z
X
z
k
k
x
zXkx
k
−
→
←
⇒
⎯→←
Z
Z
)
(
)
(
0
0
z
X
z
k
k
x
⎯
→
←
−
⇒
z
–1
được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu.
Tỷ lệ trong miền Z
Tính chất
z
k
Z
Z
ề
)()( )()(
a
z
X
k
x
a
z
X
k
x
k
⎯
→
←
⇒
⎯
→←
Z
Z
Đạo hàm trong mi
ề
n Z
d
z
zdX
zkkxzXkx
)(
)( )()( −⎯→←⇒⎯→←
ZZ
Định lý giá trị đầu
)(lim)0( )()( zXxzXkx
z ∞→
=⇒⎯→←
Z
Định lý giá trị cuối
(
)
)
(
1
lim
)
(
)
(
)
(
1
z
X
z
x
z
X
k
x
−
−
=
∞
⇒
⎯
→
←
Z
(
)
)
(
1
lim
)
(
)
(
)
(
1
z
X
z
x
z
X
k
x
z→
∞
⇒
→
←
Tên hàm Mô tả toán học Hình minh họa và biến đổi Z
Biến đổi Z của các hàm cơ bản
Hàm xung
⎧
∀
0
0
k
δ
(k)
1
đơn vị
(hàm dirac)
⎩
⎨
⎧
=
≠
∀
=
0,1
0
,
0
)(
k
k
k
δ
{
}
1( =k)
δ
Z
k
0
Hàm nấc
đơnvị
⎧
≥
0
1
k
khi
đơn
vị
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
0 ,0
0
,
1
)(
kkhi
k
khi
ku
{
}
)
1
(
1
(
ROC
z
k)
Z
{
}
)
1
:
(
11
(
1
>
−
=
−
=
−
z
ROC
zz
k)
u
Z
Tên hàm Mô tả toán học Hình minh họa và biến đổi Z
Biến đổi Z của các hàm cơ bản
Hàm dốc
đơn vị
(RAMP)
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
0
,
0
0 ,
)(
k
khi
kkhikT
kr
(RAMP)
⎩
<
0
,
0
k
khi
{
}
)
1
(
(
1−
ROC
T
z
T
z
k)
Z
{
}
(
)
()
)
1
:
(
1
1
(
22
1
>
−
=
−
=
−
z
ROC
z
z
k)
r
Z
⎧
kT
Hàm mũ
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
0 ,0
0,
)(
kkhi
k
khie
kx
k
a
T
{}
(
)
1
1
(
1
aT
aT
ez
z
z
e
k)x
−
−
−
=
−
=Z
(
)
)1:(
1
aTaT
ezzeROC
z
e
−
>⇔>
Các phương pháp biến đổi Z ngược
Phép biến đổiZngược trình bày trong slide 7 rấtphứctạp. Thựctế,
Phép
biến
đổi
Z
ngược
trình
bày
trong
slide
7
rất
phức
tạp.
Thực
tế,
ta hay dùng các cách sau đây:
ổ
9 Cách 1 - Phân tích X(z) thành t
ổ
ng các hàm cơ bản, sau đó
tra bảng biến đổiZ
tra
bảng
biến
đổi
Z
9 Cách 2 - Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa
9 Cách 3 - Tính x(k) bằng công thức đệ qui
Á
9 Cách 4 -
Á
p dụng công thức thặng d
ư
