Gốc > Mục:Lịch sử Toán học >
a598447a >
title:TOÁN HỌC CỔ HY LẠP
date:13-03-2009
sender:Ninh Văn Quang

TOÁN HỌC CỔ HY LẠP ( Phần 1)
Toán học cổ Hy Lạp đã những đóng góp rất lớn vào sự phát triển toán học nói riêng và
khoa học nói chung. Engels đã từng viết rằng " Nếu các khoa học tự nhiên muốn tìm
hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay của nó thì
nhất thiết phải quay về cổ Hy Lạp ". Toán học với những lập luận chứng minh và bắt
đầu được trình bày một cách có hệ thống theo một phương pháp riêng biệt "phương
pháp tiên đề", phương pháp này đã sớm xuất hiện ở cổ Hy Lạp. Nhiều ý tưởng toán học
hiện đại như phép tính tích phân chẳng hạn cũng hiện hữu ngay trong Hy Lạp cổ. Đặc
biệt là có những trường phái toán học như trường phái Ioni, trường phái Pythagoras đã
hoạt động và đạt nhiều thành tựu toán học lớn lao .
Người ta ghi nhận rằng có ba con đường phát triển quan trọng và khác nhau trong
khoảng 300 năm đầu tiên của nền toán học cổ Hy Lạp. Trước hết là sự phát triển của các
tư liệu, nhờ nó mà về sau Euclid viết thành bộ" Cơ bản ". Các tư liệu này có được nhờ
những thành tựu của các môn sinh của Pythagoras và về sau có thêm Hippocrates,
Eudoxus, Theodorus, Theaetetus và một số người khác. Thứ hai là sự phát triển có liên
quan đến các vi phân và tích phân, đến các giới hạn và các quá trình lấy tổng khi mà
phép tính vi tích phân chưa được khám phá.Thuộc về hướng phát triển thứ hai là phương
pháp vét kiệt ( phương pháp tát cạn ) của Antiphon và Eudoxus, lý thuyết nguyên tử của
Democritus, các nghịch lý của Zéno. Các nghịch lý của Zéno có thể được phát biểu như
sau :
Phép lưỡng phân ( không thực hiện được chuyển động khi một đoạn thẳng chia nhỏ vô
hạn) : để đi từ đầu này của đoạn thẳng đến đầu kia thì phải đi đến trung điểm và để làm
được việc này phải đến điểm một phần tư , cứ như thế tiếp tục đến vô hạn. Suy ra rằng
chuyển động ấy không bao giờ thực hiện được .
Mũi tên : Nếu thời gian tạo bởi các khoảng nguyên tử không chia nhỏ được thì mũi tên

chuyển động luôn luôn đứng yên, vì ở bất kỳ khoảng thời gian nào mũi tên cũng ở vị trí
cố định. Và điều này đúng với mỗi khoảng thời gian nên suy ra rằng mũi tên không bao
giờ chuyển động cả.
Thứ ba là sự phát triển của liên quan đến hình học cao cấp hoặc hình học các đường
cong khác đường tròn và đường thẳng; hình học các mặt ngoài mặt cầu và mặt phẳng.
Đại bộ phận các kiến thức liên quan đến hình học cao cấp này nhằm giải ba bài toán
dựng hình bằng thước và compa nổi tiếng :
Bài toán 1( Tăng đôi một khối lập phương ) : Dựng cạnh của một hình lập phương có
thể tích gấp đôi một hình lập phương cho trước .
Bài toán 2 ( Chia ba một góc): Chia ba một góc bất kỳ thành ba phần bằng nhau .
Bài toán 3 ( Cầu phương một hình tròn): Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện
tích một hình tròn cho trước .
Chúng ta sẽ tìm hiểu tiểu sử và những đóng góp của một số nhà toán học trong lĩnh vực
toán học sơ cấp trong các phần tiếp theo của loạt bài viết về Toán học cổ Hy Lạp.
Toán học cổ Hy Lạp (Phần 2)
Thales (Talet)
Thales sinh ra ở Miletus, đã từng học ở Ai Cập và ở nơi đây ông đã nổi tiếng trong việc
tính chiều cao của một Kim tự tháp bằng cách dùng bóng nắng. Khi trở về Hy Lạp, ông
đã thể hiện là người có tài về nhiều mặt : chính khách, doanh nghiệp, kỹ sư, triết học,
toán học, thiên văn học .
Về mặt toán học, ông là người đầu tiên ý thức được việc chứng minh tính đúng đắn của
các mệnh đề toán học, và đã phát hiện ra những kết quả cơ bản sau đây :
Một đường tròn được phân đôi bởi một đường kính bất kỳ.
Các góc ở đáy của một tam giác cân là bằng nhau.
Các góc đối đỉnh của hai đường thẳng cắt nhau thì bằng nhau.
Một góc một tiếp trong nửa đường tròn là một góc vuông .
Hai tam giác bằng nhau khi có một cạnh bằng nhau kề với hai góc bằng nhau từng đôi
một .
Tính chất về đoạn thẳng tỉ lệ .
Toán học cổ Hy Lạp (Phần 3)

Pitago (Pythagoras) (khoảng 600 - 570 TCN)
Pythagoras ( Pitago) sinh vào khoảng năm 572 trước công nguyên, trên hòn đảo Aege
cuả Samos. Pythagoras sinh sau Thales khoảng 50 năm và đã học hỏi nhiều điều từ
Thales. Có khoảng thời gian ông sống ở Ai Cập, sau này ông định cư ở miền nam nước
Ý và chính tại nơi đây ông đã lập nên trường phái Pythagoras nổi tiếng và cũng trở
thành một viện nghiên cứu triết học, toán học và khoa học tự nhiên rồi phát triển thành
một hội nghiên cứu với những tôn chỉ bí mật. Do ảnh hưởng và khuynh hướng quí tộc
của hội quá lớn nên các lực lượng dân chủ ở miền nam nước Ý đã phá huỷ toà nhà của
học viện và bắt phải giải tán. Người ta nói rằng Pythagoras đã trốn về Metapontum và
chết ( có thể bị giết ) vào khoảng 75 đến 80 tuổi. Mặc dù bị tan rã song hội nghiên cứu
này vẫn tiếp tục tồn tại hơn hai thế kỷ nữa .
Pythagoras và số .
Con người đã làm quen với các sô tự nhiên , phân số và số hữu tỉ rất sớm và rất lâu dài.
Riêng đối với số vô tỉ, Pythagoras đã phát hiện ra sự tồn tại của nó khi nghiên cứu
đường chéo của hình vuông cạnh là một đơn vị. Họ phát hiện rằng đường chéo này
không thể biểu thị bằng số tự nhiên hay hữu tỉ.
Việc khám phá ra tính vô tỉ của số đã gây kinh hoàng trong hàng ngũ các môn sinh
Pythagoras. Không những nó đảo lộn giả định cho rằng mọi thứ đều phụ thuộc các số
nguyên mà còn làm cho một số lý thuyết tổng quát của họ trở nên vô giá trị. Vì vậy, mọi
môn đồ Pythagoras phải giữ kín nó , và có lưu truyền rằng một môn sinh của Pythagoras
tên là Hippasus ( hoặc một người nào đó) đã để lộ bí mật này ra ngoài đã bị giết ngoài
biển, hoặc ( theo một nguồn thông tin khác ) đã bị đuổi khỏi trường phái Pythagoras .
Đã có lúc được coi là số vô tỉ duy nhất. Về sau này, theo Plate thì Theodorus ở Cyrene
( khoảng 425 trước công nguyên ) đã chỉ ra rằng cũng đều là các số vô tỉ .
Trường phái Pythagoras có những quan niệm thần bí về số và họ tôn thờ những chữ số
và số. Trước khi vào nghe giảng bài, môn đồ của Pythagoras đã đọc những câu kinh như
sau :" Hãy ban ơn cho chúng tôi, hỡi những con số thần linh ".
Trường phái Pythagoras cho rằng :
Số 1 biểu thị lẽ phải,
Số lẻ là số nam, số chẵn là số nữ,

Số 5 biểu thị hạnh phúc gia đình vì là tổng của số nam và số nữ đầu tiên,
Số 7 biểu thị sức khoẻ,
Số 13 được coi là điềm xấu,
Trường phái đưa ra nhiều loại số khác nhau :
- Số hoàn chỉnh : là số mà bằng tổng các ước số thật sự của nó. Chẳng hạn, 6
( 6=1+2+3), 28, 496, 8128 là những số hoàn chỉnh và cũng nêu lên qui tắc tổng quát để
tìm các số loại này mà việc chứng minh đã có từ thời Euclid .
Nếu tổng 1+2+22 + +2n = p là số nguyên tố thì 2np là số hoàn chỉnh. Chẳng hạn
1+2+4 = 7 là số nguyên tố thì 4.7 = 28 là số hoàn chỉnh.
- Số bạn bè : hai số được gọi là số bạn bè khi mỗi số là tổng các ước số của số kia. Thí
dụ, 220 và 284 là hai số bạn bè .
Định lý Pythagoras và các bộ số Pythagoras .
Định lý về hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông: bình phương của cạnh
huyền của một tam giác vuông bằng tổng bình phương của hai cạnh là một khám phá
độc lập mà xưa nay người ta vẫn nhất trí xem là của Pythagoras và cho nó mang tên của
ông. Định lý này đã được người Babylon biết trước đó hơn một năm, nhưng có thể
chứng minh tổng quát đầu tiên cho định lý này là do Pythagoras thực hiện. Kể từ thời
Pythagoras đã có nhiều cách chứng minh khác nhau về định lý Pythagoras. Trong lần
xuất bản lần thứ hai cuốn sách "Mệnh đề Pythagoras" của mình, E.S. Loomis đã thu thập
và phân loại 370 cách chứng minh cho định lý nổi tiếng đó.
Có liên hệ mật thiết với định lý Pythagoras là bài toán tìm các số nguyên dương để
chúng có thể là độ dài của ba cạnh của một tam giác vuông. Bộ ba các loại số này được
gọi là bộ ba Pythagoras, người Babilon cổ đại đã biết cách tính các bộ ba đó .Trường
phái Pythagoras đã được công nhận là đã đưa ra công thức :, với m là số lẻ thì ba số
hạng trên của công thức trên cho ta một bộ số Pythagoras. Một công thức tương tự:
(2m)2 + (m2-1)2=(m2+1)2 trong đó m có thể là chẵn hay lẻ cũng được đưa ra với cùng
mục đích trên và được coi là của Plato ( khoảng 380 trước công nguyên). Chú ý rằng
không có công thức nào trong hai công thức trên cho ra tất cả các bộ số Pythagoras .
Hình học
Pythagoras đã đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, và thập

nhị diện đều. Các mặt của khối thập nhị diện đều là hình ngũ giác đều. Các đường chéo
của hình ngũ giác đều tạo nên hình ngũ giác sao. Hình này là biểu tượng của sức khoẻ
và cũng là dấu hiệu nhận biết của trường phái Pythagoras.
Pythagoras đã có một số kết quả khác như: định lý tổng các góc trong của một tam giác,
bài toán về chia mặt phẳng thành những đa giác đều ( tam giác đều, hình vuông, lục giác
đều). Ông đã nêu lên phương pháp cơ bản kết hợp hình học và số học, chẳng hạn giải
phương trình bậc hai, chứng minh bằng hình học rằng tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ
đơn vị là một số chính phương và mỗi số lẻ là hiệu các bình phương của hai số tự nhiên
liên tiếp ( 22-12=3,32-22=5, ).
Pythagoras quan tâm đến cả hình đồng dạng vì ông đã giải bài toán :" Cho trước hai
hình hãy dựng hình thứ ba tương đương với một trong hai hình và đồng dạng với hình
thứ ba".
Ngoài ra, trường phái Pythagoras đã khám phá ra sự phụ thuộc của chất lượng âm thanh
vào chiều dài của dây dẫn. Pythagoras cũng đưa ra giả thuyết về dạng cầu của trái đất và
cho rằng sao Mai và sao Hôm là cùng một ngôi sao ( sao Kim ).
Toán học cổ Hy Lạp (Phần 4)
EUDOXUS ( khoảng 408 - 355 trước công nguyên )
Eudoxus là một nhà toán học vùng Tiểu Á. Những kết quả nghiên cứu toán học của
Eudoxus được Euclid tiếp thu để làm cơ sở cho ba quyển 5, 6, 7 trong bộ " Cơ bản " của
mình. Thành tựu xuất sắc nhất của Eudoxus là tổng quát hoá lý thuyết của Pythagoras về
tỷ lệ .
Lý thuyết tỷ lệ của Pythagoras chỉ áp dụng cho đại lượng thông ước . Eudoxus đã khắc
phục hạn chế bằng cách đưa ra khái niệm số vô tỉ. Eudoxus đề xuất " phương pháp vét
kiệt "( hay phương pháp tát cạn) để tìm diện tích hình tròn thông qua diện tích đa giác
đều nhiều cạnh nội tiếp trong đường tròn. Cách làm này gần với phương pháp tính giới
hạn được phát triển sau này.
Ngoài nghiên cứu toán học, Eudoxus còn là nhà y học, triết học, địa lý học.
HIPPOCRATES ( 460 - 377 TCN).
Hippocrates là tác giả của công trình có hệ thống đầu tiên về hình học mà sau này trở
thành tư liệu cho Euclid viết nên bộ " Cơ bản " về hình học phẳng. Ông có công trình về

đại lượng tỉ lệ đối với các số hữu tỉ . Trong hình học ông biết rất rõ về khái niệm đồng
dạng , tính chất của lục giác đều
Hippocrates còn là một nhà y học lớn thời cổ Hy Lạp, ông được công nhận là thuỷ tổ
của y học Châu Âu. Nhiều châm ngôn và lời khuyên của ông có ý nghĩa sâu sắc và vẫn
được dùng cho đến nay. Ông đã đề nghị và biên soạn tiêu chuẩn về đạo đức của người
bác sĩ trong " Lời thề Hippocrates".
PLATON ( Plato) ( 427/428 - 347 TCN).
Platon là nhà toán học , triết học cổ Hy Lạp sinh tại Athens. Ông là học trò của Socrat và
đi nhiều nơi để trau dồi kiến thức. Khi trở về Athens năm 387 trước công nguyên ông đã
thành lập một học viện nổi tiếng đáp ứng có hệ thống các nhu cầu về toán học và khoa
học và chủ trì học viện này cho đến cuối đời. Hầu như toàn bộ các công trình toán học
của thế kỷ thứ tư trước công nguyên là do bạn bè và môn sinh của Platon thực hiện
khiến cho học viện của ông là chiếc cầu nối của trường phái toán học Pythagoras xa xưa
và trường phái toán học ở Alexandria. Anh hưởng của Platon về toán học không do
những khám phá của ông mà do lòng tin vào đầy nhiệt tình của ông rằng việc nghiên
cứu toán sẽ mang lại cho con người một nhãn quan được tôi luyện tinh tế nhất, và do đó
thật cần thiết trong việc tu dưỡng của các triết gia và cho những người cần phải điều
khiển trạng thái tư tưởng của mình. Điều này giải thích tại sao trên cổng vào học viện có
biển đề "Ai không thông thạo về hình học thì xin đừng vào !". Platon là trong những
người sáng lập ra phương pháp logic của toán học. Vì yếu tố logic của toán học và vì
ông cảm thấy việc nghiên cứu nó sẽ tạo nên tinh thần thuần khiết, nên với Platon toán
học dường như có một tầm quan trọng vô cùng và cũng chính vì vậy mà nó chiếm một
vị trí đáng kể trong chương trình của học viện. Platon cũng là một nhà hình học nổi
tiếng với việc tìm ra 5 hình đa diện đều. Platon cho rằng cần phải nghiên cứu thiên văn
học chính xác như nghiên cứu toán học nhờ vào các định lý. Người ta còn cho rằng vào
những năm cuối đời Platon đã có ý tưởng rằng Trái Đất tự quay xung quanh trục. Platon
cũng là người có những cố gắng nghiêm túc đầu tiên về triết học trong toán học .
TOÁN HỌC CỔ HY LẠP (Phần 5)
ARISTOTLE, EUCLIDE
ARISTOTLE ( 384 - 322).

Aristotle là nhà triết học và bác học bách khoa của cổ Hy Lạp .Ông là học trò của Platon
ở Athens . Trong những năm 343 - 335 ông là thầy dạy của Alexander đại đế . Năm 335
ông trở về Athens dạy học và nghiên cứu.
Những công trình của Aristotle bao gồm nhiều lĩnh vực. Ông phân loại kiến thức. Ông
đề xuất phương pháp quy nạp, đặt cơ sở triết học cho các ngành khoa học và đưa ra
nhiều quan niệm được coi là hợp lý trong suốt 18 thế kỷ .
Trong lĩnh vực toán ông cũng đề cập đến vấn đề vô hạn và liên tục . Trong lĩnh vực cơ
học ông phát biểu định luật đòn bẩy và biết hình bình hành vận tốc .
Aristotle có những đóng góp lớn cho ngành giải phẫu học và động vật học. Ông có ảnh
hưởng lớn đến sự phát triển khoa học của các nước Á Rập và Châu Âu.
EUCLID( khoảng 300 năm trước công nguyên )
Người ta biết rất ít về đời sống và con người của Euclid. Dường như ông được đào tạo
về Toán học theo trường phái Platon ở Athens. Và người ta biết chắc rằng ông là giáo sư
toán học ở trường Đại học Alexandria. Có vài câu chuyện truyền khẩu rằng Ptolemy yêu
cầu Euclid chỉ ra con đường tắt để đi tới những kiến thức về hình học, Euclid trả lời rằng
: " Không có con đường hoàng gia trong hình học "; một môn sinh theo Euclid học hình
học đã hỏi rằng liệu anh có thể kiếm được gì khi học môn này, thì ngay lúc đó Euclid ra
lệnh cho một nô lệ đưa cho anh ta một đồng xu " vì anh ta phải kiếm được lời từ những
điều anh ta học được ".
Bộ "Cơ bản" .
Vào khoảng 300 năm trước công nguyên, bộ "Cơ bản" của Euclid ra đời đã mang lại
một ý nghĩa lớn lao trong toán học. Tập "Cơ bản" đã tổng kết các công trình toán học
các các nhà toán học trước đó. Tập "Cơ bản " đã trình bày một cách có hệ thống các kiến
thức toán học. Nội dung tri thức toán học trong " Cơ bản " có giá trị rất lớn, song có điều
còn quan trọng hơn cả những nội dung đó là hình thức trình bày, cách sắp xếp các tri
thức đó. Sự đóng góp lớn lao nhất của Euclid là đưa ra cách trình bày một lý thuyết toán
học theo phương pháp tiên đề. Xuất phát từ một số mệnh đề không phải chứng minh gọi
là các tiên đề và một số khái niệm không phải định nghĩa gọi là các khái niệm cơ bản từ
đó suy diễn lôgic ra các mệnh đề khác. Phương pháp tiên đề ngày nay đã được sử dụng
trong hầu hết các lĩnh vực toán học, nó trở thành một trong những đặc trưng của toán

học hiện đại. Nhiều nhà toán học tin rằng tư duy tiên đề không phải chỉ là tư duy toán
học mà tư duy tiên đề chính là tư duy toán học.
Tập " Cơ bản "của Euclid gồm 13 quyển, gồm 465 mệnh đề.
Quyển 1, quyển 2 , quyển 3, quyển 3, quyển 4 và quyển 6 là về hình học phẳng .
Quyển 7, quyển 8, và quyển 9 viết về một lý thuyết tương đương với lý thuyết số hữu tỉ .
Quyển 10 viết về một số dạng số vô tỉ .
Quyển 11, 12, 13 viết về hình học không gian .
Trong lịch sử nhân loại, ngoài Thánh kinh ra không có một công trình nào được sử dụng
rộng rãi hơn, được ấn hành và được nghiên cứu nhiều bằng, và có lẽ không có công trình
nào gây được những ảnh hưởng lớn hơn về tư duy khoa học. Trên một ngàn lần xuất bản
tập " Cơ bản " của Euclid, công trình này đã thực sự ngự trị trong mọi sự giảng dạy về
hình học .
Ngoài tập "Cơ bản " Euclid còn để lại một số tác phẩm khác như - Về những sai lầm
trong toán học ;
Về thiết diện conic;
Quỹ tích bề mặt ;
Và một số tác phẩm về toán học ứng dụng như:
Nghiên cứu về phối cảnh ;
Lý thuyết về biểu diễn qua gương ;
Lý thuyết về âm nhạc ;
Thiên văn sơ cấp .

TOÁN HỌC CỔ HY LẠP (Phần 6)
ARCHIMEDES, APOLLONIUS, ERATOSTHENES
ARCHIMEDES (287-212)
Archimedes là nhà bác học vĩ đại thời cổ Hy Lạp và là một trong những nhà toán học vĩ
đại nhất của mọi thời đại. Ông sinh ra tại Syracuse ( Hy Lạp ), đảo Sicilia ( nay thuộc
nước Ý) , con trai của một nhà thiên văn học. Thời bấy giờ các gia đình giàu sang
thường tạo điều kiện cho con cái có nền học vấn toàn diện mà trọng tâm là triết học và
văn chương, còn toán học thì được xem là môn phụ. Thường họ chỉ học toán vì toán cần

cho triết học. Gia đình của ông lại khác, bố ông cho ông sang Alexandria để học sâu về
toán học và thiên văn học là những lĩnh vực mà sau này Archimedes có những sáng tạo
vĩ đại nhất.
Các công trình của Archimedes là những tác phẩm lớn về toán học giống như những bài
báo khoa học ngày nay với tầm khái quát đặc sắc và hiện đại . Chúng được viết một
cách cẩn thận, trau chuốt, gãy gọn, đầy tính sáng tạo và rất khéo léo trong tính toán và
chặt chẽ trong chứng minh. Khoảng mười luận văn còn lưu giữ cho đến nay như: Đo
lường hình tròn, Cầu phương parabol, Về các đường xoắn ốc, Về hình cầu và hình trụ,
Về conoid và phỏng cầu, Bàn tính cát, Về các cân bằng phẳng, Về các vật thể nổi và có
nhiều tác phẩm khác đã bị thất lạc như một tiểu luận về số học, một số luận văn về vật lý
toán, tác phẩm " Phương pháp " nói về các thông tin liên quan đến cách mà Archimedes
dùng để khám phá ra nhiều định lý của ông .
Từ các công trình của Archimedes, ta thấy rằng ông đã có những đóng góp rất lớn vào
sự phát triển của toán học. Ông đã phát hiện ra cách biểu diễn một số bất kỳ, đưa ra cách
tính số . Ông tính được diện tích nhiều hình kể cả những hình giới hạn bởi đường cong,
tính được thể tích của nhiều vật thể bằng một phương pháp rất đặc biệt, ngày nay gọi là
phép tính tích phân, một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại. Về mặt này ông đã
đi trước thời đại hàng 20 thế kỷ, vì mãi đến thế kỷ XVII phép tính vi tích phân mới thật
sự hình thành và phát triển với Newton và Leipniz.
Ông có những cống hiến lớn lao trong cơ học và thuỷ tĩnh học như sáng chế ra đòn bẩy,
bánh xe răng cưa, đinh vít, bộ ròng rọc. Ông tìm ra lý thuyết về đòn bẩy và lý thuyết về
trọng tâm. Ông tìm ra định luật về lực đẩy của chất lỏng ( định luật Archimedes) .
Ông không chỉ nghiên cứu điều kiện nổi của các vật mà còn nghiên cứu tính bền vững
của sự cân bằng các vật nổi có hình dạng khác nhau. Đó là vấn đề rất cần cho kỹ thuật
đóng tàu biển mà mãi đến thế kỷ 20 mới được phát triển và chứng minh chính xác.
Archimedes còn là nhà kỹ thuật đại tài. Với những kiến thức của mình, Archimedes còn
tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc. Ông đã sáng chế ra nhiều vũ khí độc đáo như máy
phóng đá, cần cẩu móc nhận chìm tàu chiến, kính hội tụ để đốt cháy tàu chiến.
Có nhiều giai thoại về Archimedes. Khi phát hiện ra qui tắc biểu diễn một số bất kỳ,
Archimedes hô lên rằng " Tôi có thể đếm được tất cả các hạt cát trong vũ trụ .", hay khi

phát hiện ra quy luật về đòn bẩy ông tuyên bố " Cho tôi một điểm tựa, tôi có thể làm cho
trái đất dịch chuyển ." Và cũng có câu chuyện rằng Archimedes được vua Hieron của
Syracuse giao cho kiểm tra chiếc vương miện bằng vàng có bị pha bạc hay không. Suy
nghĩ mãi mà không tìm ra giải pháp thì một hôm ông đi tắm, khi thả người vào bồn nước
ông thấy như có một lực nào đó đấy lên và đồng thời có một lượt nước tràn ra khỏi bồn
tắm. Ông sung sướng và quên tất cả vài điều cần thiết, chạy ra phố la to " Eureka !"
( Tìm ra rồi). Đó là lúc ông tìm ra nguyên lý vật nổi.
APOLLONIUS (262-180).
Apollonius sinh tại Perga, miền nam Tiểu Á. Thuở nhỏ ông sang Alexandria và học toán
với các học trò của Euclid.
Apollonius là một nhà thiên văn nổi tiếng, ông lập nên lý thuyết về chuyển động của mặt
trăng và để lại những bảng tính toán giúp tính vị trí của mặt trời và mặt trăng trong thời
gian nhật thực và nguyệt thực.
Apollonius là một nhà hình học nổi tiếng với tác phẩm " Các thiết diện conic". Khác với
các nhà toán học trược đó coi parabol và elip như thiết diện của conic tròn xoay,
Apollonius đã biểu diễn chúng như những thiết diện phẳng tuỳ ý của một đường bậc hai
bất kỳ. Ông đã tìm ra phương trình y2= px đối với parabol, ngày nay ta gọi là phương
trình chính tắc của parabol trong đó p là tham số tiêu. Trong công trình Các thiết diện
conic ông đã sử dụng đại số hình học khi nghiên cứu các tính chất của thiết diện conic,
đường kính, tiêu cự, pháp tuyến và tiếp tuyến của chúng. Ông cũng đã sử dụng các
phương pháp hình học xạ ảnh ( chiếu ). Ông đã có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển
hình học, thiên văn học và cơ học .
ERATOSTHENES ( 276-194)
Nhà khoa học bách khoa cổ Hy Lạp, là người gốc ở Cyrene trên vùng bờ biển phía nam
Địa Trung Hải và bạn đồng nghiệp trẻ của Archimedes ( chỉ kém Archimedes vài tuổi).
Lúc trẻ tuổi ông sống nhiều năm ở Athens và đến năm 40 tuổi thì ông được Ptolemy III
của Ai Cập mời đến Alexandria làm gia sư cho con trai và giữ chức trưởng thư viện ở
trường đại học Alexandria. Khi về già bị viêm mắt nặng hầu như không thấy gì cả và
ông tự nhịn đói cho tới chết.
Eratosthenes nghiên cứu nhiều lĩnh vực như triết học, thơ ca nhưng tập trung vào thiên

văn học, vật lý học, địa lý và toán học. Ông là người đầu tiên chia trái đất thành các đới
khác nhau và tính toán chu vi của nó. Eratosthenes sáng lập ra môn niên đại học, tức
cách xác định chính xác ngày tháng của các sự kiện lịch sử . Trong lĩnh vực toán học
ông nghiên cứu lý thuyết số , bài toán cầu phương đường tròn , chia ba một góc, và chia
đôi hình lập phương. Eratosthenes đã đưa ra phương pháp tìm các số nguyên tố gọi là "
sàng Eratosthenes".

TOÁN HỌC CỔ HY LẠP (Phần 7)
HERON, DIOPHANTUS, PAPPUS
HERON ( thế kỷ I -II sau công nguyên).
Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày sinh và ngày mất. Các
công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật lý học thì quá phong phú về nội
dung cũng như nhiều về số lượng tới mức mà người ta thường xem ông là một tác gia
bách khoa trong lĩnh vực này. Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập
được huấn luyện theo kiểu Hy Lạp. Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính
hữu dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự pha trộn
giữa Hy Lạp và phương Đông. Ông quan tâm đến việc xây dựng một nền móng khoa
học cho kỹ thuật và cho trắc địa .
Các công trình của Héron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công trình Metrica) và
cơ học. Các công trình về hình học nói đến các vấn đề đo lường còn các công trình về cơ
học thì mô tả các thiết bị cơ học rất khéo léo ( công trình Pneumatica, Dioptra và
Catotrica)
Công trình quan trọng nhất của Heron là "Metrica" về hình học gồm ba quyển và được
tìm thấy ở Constantinple bởi R. Schone vào năm 1896. Quyển I nói về việc đo diện tích
của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, các tứ giác đặc biệt khác
nhau, các đa giác đều , vòng tròn và các cung tròn, ellip, diện tích các hình trụ, hình nón,
hình cầu và đới cầu .Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được một công thức nổi tiếng
để tính diện tích một tam giác theo ba cạnh S=trong đó p=(a+b+c)/2. Heron còn đưa ra
cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số nguyên không chính phương. Quyển II của
Metrica nói về cách tính thể tích các hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp,

hình nón cụt, hình cầu, các đới cầu Quyển III nói về cách chia một số diện tích và thể
tích các thành phần theo các tỉ số cho trước .
DIOPHANTUS ( khoảng 250 sau công nguyên).
Diophantus có đóng góp to lớn trong sự phát triển của đại số học và cũng có rất nhiều
ảnh hưởng đến các lý thuyết số sau này của châu Âu .Người ta biết rất ít về ông, ngoài
sự kiện là ông đã thành đạt ở Alexandria.
Diophantus viết ba công trình : "Arithmetica",đó là công trình quan trọng nhất của ông
và hiện còn giữ 6 trong 13 quyển , "Về các số đa giác "chỉ còn giữ lại được một vài
đoạn, và "Porisms" đã bị thất lạc .
"Arithmetica " là một luận văn phân tích về lý thuyết đại số về số và cho thấy tác giả là
một thiên tài trong lĩnh vực này .
Diophantus đã đưa ra số âm và ký hiệu chữ. Ông đã đặt ra và giải nhiều bài toán dẫn đến
các phương trình xác định và bất định. Công trình của ông về lý thuyết số đã đặt cơ sở
cho những nghiên cứu sau này của Fermat và Euler. Các phương trình Diophantus là các
phương trình đại số với hệ số hữu tỉ, có nghiệm dưới dạng số nguyên và số hữu tỉ. Giải
tích Diophantus ( hay hình học Diophantus ) là lĩnh vực toán học nghiên cứu phương
trình Diophantus dựa trên phương pháp hình học đại số. Phép tính Diophantus là một
ngành lý thuyết số trong đó nghiên cứu sự gần bằng không các giá trị hàm số từ các đối
số.
PAPPUS
Những người kế tục trực tiếp Euclid, Archimedes và Apollonius đã kéo dài truyền thống
lớn lao của hình học Hy Lạp được một thời gian, nhưng rồi sau đó dần dần yếu đi và
những phát triển mới chỉ giới hạn ở thiên văn học, lượng giác học. Thế rồi vào cuối thế
kỷ thứ ba sau công nguyên, sau Apollonius 500 năm, Pappus của Alexandria đã ra đời,
một con người tài năng và nhiệt tình đã tìm mọi cách nhen nhúm lại chủ đề này như một
ngọn lửa đã nguội dần .
Pappus đã viết những bài bình giải về tập " Cơ bản " và về cả " Dữ kiện " của Euclid, về
"Almagest" và "Planispherium " cuả Ptolemy. Công trình thực sự to lớn của Pappus là
"Tuyển tập toán học " của ông, một cuốn sách vừa bình giải vừa hướng dẫn về các công
trình về hình học hiện hữu của thời ông. Tuyển tập toán học của Pappus thực sự là một

mỏ vàng giàu có về hình học. Những lời bình trong quyển sách ấy thật sự có giá trị
.Những hiểu biết của chúng ta về hình học Hy lạp là nhờ luận văn này, trong đó có trích
dẫn và nhắc đến các công trình của trên 30 nhà toán học khác nhau của thời cổ đại.
Sau Pappus, nền toán học Hy Lạp không còn là một đối tượng nghiên cứu tìm ra những
phát minh mới nữa mà người ta chỉ thấy những tác gia ít quan trọng và những nhà bình
giải toán học như Theon của Alexandria, Hypatia ( con gái của Theon ), Proclus,
Simplicius, và Eutocius. Họ đưa ra những quyển sách bình giải về các tác phẩm của
Euclid, Apollonius, Archimedes,