CHỦ ĐỀ 1.
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Giải phương trình vô tỉ bằng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ
quả.
A. Lý thuyết:
1)



=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
2) Dạng:
CBA =+
3) Dạng:
DCBA +=+
.
* Nếu A+B = C+D (hoặc A.B = C.D) thì bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương.
* Nếu A+C = B+D (hoặc A.C = B.D) thì phải đưa phương trình về dạng:
BDCA −=−
sau đó bình phương hai vế, tìm nghiệm sau đó thử lại để chọn nghiệm.
4) Dạng:
3
33
CBA =+

* Lập phương hai vế ta được:
CBAABBA =+++ )(.3
333
.
Sau đó thay thế:
3
33
CBA =+
vào phương trình, ta được:
CABCBA =++
3
.3
Chú ý: sự thay thế này có thể dẫn đến nghiệm ngoại lai, vì vậy phải thử lại nghiệm.
B. Bài tập:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
xxx 41143
2
−=+−
2)
98214 +=+++ xxx
3)
1321533 +=−−+ xxx
4)
1352134
22
−=+−+−−
xxxxx
Bài 2. Giải các phương trình:
1)

8434312 ++−=+++ xxxx
2)
xxxx −++=−+− 4233256
3)
3
2
1
1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
4)
1321
1
32
2
+=+−−+
−
+
xxx
x
x
Bài 3. Giải các phương trình:
1)
1334
33

=−−+ xx
2)
333
3221 −=−+− xxx
3)
333
13112 +=−+− xxx
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1)
xx
x
x
−=−−
−
123
23
2
2)
2
2
12
5
1
x
xx
+
=−+
3)
16
40

16
2
2
+
=++
x
xx
4)
x
x
x
x
x =−+−
22
2
77
II. Giải phương trình vô tỉ bằng cách trục căn thức.
* Áp dụng cho các trường hợp sau:
- Đưa được về dạng đơn giản hơn.
- Nhẩm được phương trình có một nghiệm x = x
0
.
Bài tập:
Giải các phương trình sau:
1)
165
7212
4
−=
−−+

x
xx
2)
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x
− + − − = − − − − +
3)
23132
22
−++=++− xxxxx
III. Phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 1. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
xxxx 271105
22
−−=++
2)
211
2
4
2
=+++++ xxxx
3)
2)3)(1(31 =−+−−++ xxxx
4)
2311121
2
−+−=−−+ xxxx

Bài 2. Giải các phương trình
1)
224222
2
+−−=+−− xxxx
2)
352163132
2
+++−=+++ xxxxx
Bài 3. Giải các phương trình:
1)
8
2
73
)2(3
2
=
−
+
−−+
x
x
xxx
2)
0122152
3
5
)3(
2
=−−++

+
−
+ xx
x
x
x
Bài 4. Giải các phương trình:
1)
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x
2)
2222
4.344 xxxx −+=−+
Bài 5. Giải các phương trình:
1)
3
1
2
2
2
1

=
+
+
−
+
+
x
x
x
x
2)
4
2
5.556 xxxx −=−+
Bài 6. Giải các phương trình:
1)
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
2)
2 4 23
2 1x x x x+ − = +
(HD: Chia cả hai vế cho x )
Dạng 2. Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác:
* Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một
đoạn [a; b]
Giải các phương trình:
1)

3 2
4 3 1x x x− = −
2)
2 2 2
4 3 1x x x− = −
(Chia 2 vế cho x
3
)
3)
3 2 2
4 12 9 1 2x x x x x− + − = −
(Đặt (x-1) = sint)
4)
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − = + −
5)
3
6 1 2x x+ =
(lập phương 2 vế)
6)
[ ]
3262
)1(8135 xxx −+=−+
Dạng 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
312
2323

=−++++ xxxx
2)
35212
3
=−−+ xx
3)
3111
44
4
2
=++−+− xxx
4)
3118
44
=−+− xx
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
3
3
12.21 −=+ xx
,(y =
3
12 −x
) 2)
332
2
+=−− xxx
, (y-1 =
3+x
)

3)
826
2
+=−− xxx
, (y-3 =
8+x
) 4)
263
3
4
2
−−=
+
xx
x

IV. Một số bài toán về phương trình vô tỉ có chứa tham số:
A. Lý thuyết :
* Phương trình : f(x) = m có nghiệm trên tập D
)()(min xfMaxmxf
D
D
≤≤⇔
* Chú ý : Xét bài toán : tìm m để phương trình f(x,m)=0 có nghiệm, ta có thể làm
như sau :
Bước 1 : Tìm ĐK tồn tại của phương trình, giả sử x thuộc tập D (tập D là
khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
Bước 2 : Đưa phương trình f(x,m) = 0 về dạng g(x) = m.
Bước 3 : Xét sự biến thiên, tìm GTLN và GTNN nếu có, của g(x) trên tập D.
Bước 4 : Lâph BBT, từ BBT suy ra ĐK có nghiệm của phương trình.

* Thường thì đây là các bài toán ta phải đặt ẩn phụ (như các dạng đã được nêu trong phần
giải phương trình vô tỉ trên đây), Chú ý rằng ĐK của ẩn phụ phải chính xác.
Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
127
3
−=+− xmxx
Giải:
Với ĐK
2/1
≥
x
, phương trình đã cho
1447
23
+−=+−⇔ xxmxx
⇔
x
3
– 4x
2
– 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1)
Xét hàm số f(x) trên






+∞;
2

1
, ta có
f ’(x) = 3x
2
– 8x – 3 ; f ‘(x) = 0



−=
=
⇔
)(3/1
3
loaix
x
f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.
* BBT (hình bên).
Từ BBT suy ra (1) có nghiệm trên






+∞;
2
1
(tức phương trình đã cho có nghiệm)
1919 ≤⇔−≥−⇔ mm
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2
11
2215)53(
2
−≤−++−++ mxxxxm
(1)
Hướng dẫn:
* ĐK:
53
≤≤−
x
* Đặt
xxt −++= 53
,
422 ≤≤ t
Suy ra:
2
8
215
2
2
−
=−+
t
xx
Nên (1) trở thành:
mtgm
t
t
m

t
mt 2)(2
2
3
2
11
2
2
8
22
−≤⇔−≤
−
+
⇔−≤
−
+
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn
[ ]
4;22
,
* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.
B. Bài tập:
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình
3
2 2
1 x 2 1 x m- + - =

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực.
x
f’(x)

f(x)
1/2
3
+
_
0-
+
-27/8
-19
+
_
Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - =
.
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1+ - = -

có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình
1 1
x x x m
2 4
+ + + + =
có nghiệm thực.
Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2

m
16 x 4 0
16 x
- - - =
-
có nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =
+ -
có nghiệm thực.
Bài 7. Tìm điều kiện của m để phương trình
4
2
x 1 m x 1 2 x 1 0+ - - + - =
có nghiệm
thực (A-2007).
Bài 8. Chứng minh mọi m > 0 phương trình
)2(82
2
−=−+ xmxx
(B-2007)
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình
mxxxx =−+−++ 626222
44
có hai nghiệm
thực phân biệt (A-2008)

Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình
x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - =
có nghiệm thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ - + - - =
có
nghiệm thực.
Bài 12. Tìm m để phương trình
x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - =
có nghiệm thực.
Bài 13. Tìm m để phương trình
4
4 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =
có nghiệm thực.
Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình
2
3x 1
2x 1 mx
2x 1
-
= - +
-
luôn có nghiệm thực với mọi
giá trị của m.
Bài 15. Tìm m để phương trình

x 1
(x 3)(x 1) 4(x 3) m
x 3
+
- + + - =
-
có nghiệm thực.
Bài 16. Tìm m để phương trình
3
3
1 x 1 x m- + + =
có nghiệm thực.
Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
( )
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - -
có nghiệm thực.
Bài 18. Tìm m để phương trình
2
m x 2 x m+ = +
có 2 nghiệm thực phân biệt.