TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Chuyên đề: Giới hạn – Đạo hàm của hàm số
PHẦN 1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
Chú ý. + Thuật chia Hoocne:
+ Biểu thức liên hợp:
2 2
( )( )A B A B A B− + = −

2 2 3 3
( )( )A B A B AB A B− + + = −
+ Giới hạn:
0
a
→ ∞
,
0
a
→
∞
+ Hằng đẳng thức:
2 2
( )( ).a b a b a b− = − +

Dạng 1. Giới hạn của hàm số khi
0
x x→
.
Phương pháp 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)

2
2
2 3 2
lim
2
x
x x
x
→
− −
−
b)
3 2
2
1
3 5 3
lim
1
x
x x x
x
→
− + −
−
c)
2
2
2
2
lim

4 4
x
x x
x x
→−
+
+ +
d)
3 2
4 2
3
5 3 9
lim
8 9
x
x x x
x x
→
− + +
− −
e)
4
3 2
1
1
lim
2 3
x
x
x x

→−
−
− +
f)
3 2
2
1
1
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − +
− +
g)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
h)

3
2
2
3 2
lim
4
x
x x
x
→−
− +
−
i)
6 5
2
1
4 5 1
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
Phương pháp 2. Nhân liên hợp.
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a)
4
5 3

lim
4
x
x
x
→
+ −
−
b)
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − −
c)
2
7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−
d)

2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x
→
+ −
−
e)
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
+ −
+ −
f)
4
3 5
lim
1 5
x
x
x

→
− +
− −
g)
1
2 3 2
lim
3 3
x
x x
x
→−
+ − +
+
h)
3 2
1
2 7 4
lim
4 3
x
x x
x x
→
+ + −
− +
i)
2
1
lim

1
x
x x
x
→
−
−
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
a)
3 3
0
lim
8 8
x
x
x x
→
− − +
b)
5 3
3
1
2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +

+

c)
3
0
lim
1 1
x
x
x
→
− −
d)
2
3
2
0
1 1
lim
2
x
x
x
→
+ −
Phương pháp 3. Thêm bớt số hạng, biểu thức.
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a)
3
2

4
4
lim
5 4
x
x x
x x
→
+ −
− +
b)
3
2
3
5 2 10
lim
9
x
x x
x
→−
− + +
−
c)
3
2
10 2
lim
2
x

x x
x
→
− − +
−
d)
3
2
2
6 2
lim
4
x
x x
x
→
+ − +
−
e)
3
2
2
8 11 7
lim
3 2
x
x x
x x
→
+ − +

− +
BTVN.
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
1
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Tính các giới hạn sau:
1)
1
1
lim
3 2
x
x
x
→
−
+ −
2)
2
2
lim
4 1 3
x
x x
x
→
+ −
+ −
3)

1
3 2 7
lim
3 2
x
x
x
→
− +
+ −
4)
2
1
1 1
lim
1
x
x x
x
+
→
− + −
−
5)
3
2
1
3 2
lim
1

x
x x
x
→
− −
−
6)
2 3
1
3 3
lim
1
x
x x x
x
→
+ + −
−
7)
2
1
3 3
lim
2 1
x
x
x x
+
→
−

− +
9)
2
3
2
4
lim
(2 3 10)( 2)
x
x
x x x
−
→
−
− − −
10)
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −

11)

2
2
lim
7 3
x
x
x
→
−
+ −
12)
2
3
3
lim
2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
13)
3
0
(1 ) 1
lim
x
x
x

→
+ −

14)
5
5
lim
5
x
x
x
→
−
−
15)
2
2
5 3
lim
2
x
x
x
→−
+ −
+
16)
1
1
lim

3 2
x
x
x
→
−
+ −

17)
2 2
0
1 1
lim ( 1)
1
x
x x
→
−
+
18)
3
2
2
8
lim
11 18
x
x
x x
→−

+
+ +
19)
3 2
3 2
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x
→
− − −
− + −

20)
3
0
( 3) 27
lim
x
x
x
→
+ −
21)
2 4
0
3

lim
2
x
x x
x
→
+
22)
2
( 2)
2
lim
3 2
x
x x
x x
+
→ −
+
+ +

23)
3
1
1 3
lim( )
1 1
x
x x
→

−
− −
24)
3
3
1 1 1
lim( )
3 ( 3)
x
x x
→
−
−
25)
4
2
( 2)
4 3
lim
2 3 2
x
x
x x
+
→ −
−
+ −

26)
2 2

2
3
2 6 2 6
lim
4 3
x
x x x x
x x
→
− + − + −
− +
27)
2
3
3
lim
3 6
x
x
x x
−
→
−
− −


28)
3
0
1 2 1

lim
x
x x
x
→
+ − +
29)
3
1
2 1
lim
2 1
x
x x
x x
→
− −
− −
30)
3
0
3 8 2
lim
5
x
x
x
→
+ −


Dạng 2. Giới hạn của hàm số khi
x → ∞
.
Phương pháp 1. Chia cho x mũ cao nhất.
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
2 10
lim
2 1
x
x x
x x
→+∞
− +
+ −
b)
2
3
2 2 3
lim
3 1
x
x x
x x
→−∞
+ −
− −
c)

4 2
3
2 5
lim
2 16
x
x x
x x
→+∞
+ −
− +
c)
4 2
lim (2 5 6)
x
x x
→+∞
− +
d)
3
lim ( 3 5 7)
x
x x
→−∞
− + −
e)
3
lim ( 4)
x
x x

→+∞
− + −
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a)
6
3
2
lim
2 1
x
x
x
→+∞
+
−
b)
6
3
2
lim
3 1
x
x x
x
→−∞
+
−
c)
2
3

2
2
lim
8 3
x
x x
x x
→+∞
+
− +
a)
2
lim
2 1
x
x x
x x
→+∞
− +
b)
2
lim 3 5
x
x x
→−∞
−
c)
3
5 2
2

lim
3
x
x x
x
x x
→+∞
+
− +
Phương pháp 2. Nhân liên hợp và thêm bớt số hạng.
Bài 3. Tính các giới hạn sau:
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
2
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
a)
lim ( 1 )
x
x x
→+∞
+ −
b)
2 2
lim ( 4 )
x
x x x
→−∞
+ − +
c)
2

2
lim
2 3
x
x x x
x
→+∞
+ −
+
d)
2
lim ( 5 )
x
x x x
→+∞
+ −
e)
3 2 2
3
lim ( 4 3 )
x
x x x
→+∞
+ − +
f)
2
2
lim
2 3
x

x x x
x
→+∞
+ −
+
BTVN.
Tính các giới hạn sau:
1)
3 2
lim( 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
2)
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
3)
2 2
4 1
lim

3 2
x
x x x
x
→−∞
− − +
−
4)
2
lim( 4 2 )
x
x x x
→−∞
− +
5)
3
3
1 2 3
lim
9
x
x x
x
→+∞
− +
−
6)
2 5
7
( 1)(1 2 )

lim
1
x
x x
x x
→−∞
− −
+ −
7)
2
3
lim
2
x
x x
x
→−∞
−
+
8)
2
lim( 1)
x
x x x
→±∞
+ − +
9)
2 2
lim( 1)
x

x x x
→±∞
− − +

10)
2 3
lim
1 3
x
x
x
→+∞
−
−
11)
3 2
6 5
2 7 3
lim
3 2 3
x
x x
x x
→−∞
− +
+ −
12)
2
2 3
lim

2 3
x
x
x
→−∞
+
−

13)
3 2
2 1
lim
3 2
x
x
x
x x
→+∞
+
+ +
14)
3
3
lim 1000
x
x x
→−∞
−
15)
4

2
2 1
lim
2
x
x x
x x
→−∞
− −
+ +

16)
2
5 2
lim
2 1
x
x x
x
→−∞
− +
+
17)
2
3
(2 5)(1 )
lim
3 1
x
x x

x x
→+∞
− −
− +
18)
2
2
(2 1) 3
lim
5
x
x x
x x
→−∞
− −
−

19)
4 2
3
2
lim
( 1)(3 1)
x
x x
x x
→+∞
+ +
+ −
20)

2
2 3
lim
1
x
x
x x
→−∞
−
+ −
21)
3
1
lim( 2)
x
x
x
x x
→+∞
−
+
+

PHẦN 2. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.
I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Chú ý. +
0
sinx
lim 1.
x

x
→
=
+
2
2sin 1 cos .
2
x
x= −

sin sin 2sin os .
2 2
a b a b
a b c
+ −
+ =
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)
0
sinx
lim
2
x
x
→
b)
2
1
s ( 1)
lim

1
x
in x
x
→
−
−
c)
2
2
0
s
2
lim
x
x
in
x
→
d)
0
1 cos
lim
.sin
x
x
x x
→
−
e)

2
2
0
1 sin cos
lim
sin
x
x x
x
→
+ −
f)
4
sin cos
lim
4
x
x x
x
π
π
→
−
−
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a)
0
cos( ) cos( )
lim
x

a x a x
x
→
+ − −
b)
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
x x
x x
→
+ −
− −
c)
2
cos
lim
2
x
x
x
π
π
→
−
d)
2
6

2sin 1
lim
4cos 3
x
x
x
π
→
−
−
.
II. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM
0
x
.
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
3
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Chú ý. + Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm
0
x
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
⇔ =
.

+ Nếu
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
+ −
→ →
= =
thì
0
lim ( ) .
x x
f x L
→
=
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
3
2
6
2
2
( )
11
2
3
x x
khi x
x x
f x

khi x
− −

≠


− −
=


=


, tại
0
2x =

b)

+
≠


=


=


x -

khi x
x
f x
khi x
1 1
0
( )
1
0
2
, tại
0
0.x =
Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
3
2
1
( )
1
7 3 1
x x
khi x
f x
x
x khi x
+ −

>


=
−


− ≤

, tại
0
1.x =
b)
3
3
0
2
( )
1 1
0
1 1
x khi x
f x
x
khi x
x

+ ≤


=

+ −


>

+ −

, tại
0
0.x =
Bài 5. Tìm a để hàm số sau liên tục tại
0
x
:
a)
3
2
2 3
1
( )
1
1
x x
khi x
f x
x
a khi x
+ −

≠

=

−


=

, tại
0
1x =
.
b)
1 1
0
( )
4
0
2
x x
khi x
x
f x
x
a khi x
x

− − +
<


=


−

+ ≥

+

,tại
0
0x =
.
III. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TOÀN BỘ
¡
.
Bài 6. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn bộ
¡
:
a)
2
2
3 10
khi x 2
4
2x 3
( ) khi 2 x 5
x 2
3x 4 khi x 5
x x
x
f x
+ −


<

−

+

= ≤ ≤

+

− >



b)
1 2x 3
khi x 2
f (x)
2 x
1 khi x 2

− −
≠

=

−

=


Bài 7. Tìm a để hàm số sau liên tục trên
¡
:
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
4
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406

3
3 2 2
2
2
( )
1
ax+ 2
4
x
khi x
x
f x
khi x

+ −
>


−
=



≤


Dạng 3. Ứng dụng của tính liên tục để xét nghiệm của pt
( ) 0f x =
.
Chú ý. Pt
( ) 0f x =
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) nếu:
+ f(x) liên tục trên đoạn [a,b].
+ f(a).f(b) < 0.
Bài 8. Chứng minh phương trình
3
1 0x x+ + =
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
Bài 9. Chứng minh phương trình
cos3 3 1x x= −
có nghiệm.
BTVN.
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a)
0
lim
x
tgx
x
→
b)
0

s 5
lim
3
x
in x
tg x
→
c)
0
1 cos
lim
.sin
x
x
x x
→
−
d)
0
1 cos
lim
1 cos3
x
x
x
→
−
−
e)
3

0
sin
lim
x
tgx x
x
→
−
f)
2
0
cos cos3
lim
sin
x
x x
x
→
−
g)
3
0
1 cos
lim
.sin 2
x
x
x x
→
−

h)
4
0
1 cos
lim
.sin3
x
x
x x
→
−
i)
3
2
0
1 cos
lim
sin
x
x
x
→
−
k)
2
0
1 cos cos2
lim
x
x x

x
→
−
l)
0
1 1
lim( )
sin
x
x tgx
→
−
m)
0
1 1 1
lim( )
sin sin3
x
x x x
→
−
n)
2
0
1 cos
lim
x
x
tg x
→

−
p)
3
0
1 cos2
lim
.sin
x
x tg x
x x
→
− +
q)
4
2sin 1
lim
2 cos 1
x
x
x
π
→
−
−
r)
4
1
lim
1 cot
x

tgx
gx
π
→
−
−
s)
2
1
lim( )
cos
x
tgx
x
π
→
−
t)
2
lim(1 cos2 )
x
x tgx
π
→
+
u)
0
sin( ) sin( )
lim
( ) ( )

x
a x a x
tg a x tg a x
→
+ − −
+ − −
v)
2
2
0
( ) ( )
lim
x
tg a x tg a x tg a
x
→
+ − −

z)
6
2sin 1
lim
2cos 3
x
x
x
π
→
−
−

w)
3
3
3
lim
cos( )
6
x
tg x tgx
x
π
π
→
−
+
.
Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a)
3
2
2 3
khi x 1
( )
1
5 khi x 1
x x
f x
x
+ −


≠

=
−


=

, tại
0
1x =
b)
3
2
3 2
khi x >1
1
( )
2
khi x 1
3
x x
x
f x

− −


−
=


−

≤


, tại
0
1x =
.
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
5
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
c)
3
2
1 cos2
khi 0
sin
2
( ) khi 0
3
1 1 1
khi 0
6
x
x
x
f x x

x
x
x

−
>



= =



+ −
+ <


, tại
0
0x =
.
Bài 3. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên toàn bộ
¡
:
a)
3
2
2
1
khi x >1

1
( ) ax b khi -3 x 1
4 3
khi x <-3
9
x
x
f x
x x
x

−

−


= + ≤ ≤


+ +

−


b)
2sin khi
2
( ) sin khi
2 2
cos khi

2
x x
f x a x b x
x x
π
π π
π

− ≤



= + − < <



≥


Bài 4. Chứng minh phương trình
3
2 6 1 0x x− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
PHẦN 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
I. Đạo hàm của hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm số chứa căn.
Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số :
3
y x=
. Từ đó, nêu công thức tính đạo
hàm của hàm số

n
y x=
.
Bài 2. Cho hàm số
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x
f x
x
khi x
− +

≠

=
−


=

. Tính
'(2).f
Bài 3. Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số

3 2 9

0
( )
1
0
3
x
khi x
x
f x
khi x

− +
>


=


≤


tại x = 0.
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
4 3 2
3 2
4 3 5
x x x
y x= − + + −
c)

3
( 3 1)(1 2 )y x x x= − + −
b)
2
3
2
5 1
3
x
y x x= − + −
d)
4 2 2
( 3 2)(2 5)(3 2 )y x x x x= + − − −
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:
a)
' 0y ≥
với
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
b)
' 0y <
với
2

2
3 4
1
x x
y
x x
− +
=
− +
.
Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
6
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
a)
3 2
1
x
y
x
+
=
−
b)
2 32
( )y x x= −
c)
2
1x

y
x
+
=
d)
3
5
5
( )
1
x x
y
x
+
=
−
.
Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
5 3
(2 3)
1 2
x
y x
x
−
= +
−
b)

3 4
( ) . 1 2y x x x= − −
c)
2
3 5
( 1)(3 2 )
( )
x x
y
x x
+ −
=
−
d)
2 3
4
2 1
(3 5)
x x
y
x
+
=
+
BTVN.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số:
a)
4 3
1
2 2 5

3
y x x x= − + −
b)
3 2
( 2)(1 )y x x= − −

c)
2 1
1 3
x
y
x
+
=
−
d)
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
e)
2
2
1
1

x x
y
x x
+ −
=
− +

f)
2
2 5 2y x x= − +
g)
2
( 2) 3y x x= − +
g)
( )
3
1 1 2y x= + −
.
Bài 2. Cho hàm số
2
( ) 2f x x x= −
. Hãy giải các bất phương trình sau:
a)
'( ) 0.f x ≤
b)
'( ) ( ).f x f x≤
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 5
1

( 1)
y
x x
=
− +
b)
2 3 2 2
( 1) ( 1)y x x x x= − + + +
; c)
2
1
y x
x
 
= −
 ÷
 
;
d)
2
1 2y x x= + −
e)
2 2
1 1y x x= + − −
; g)
y x x x= + +

h)
3
3

3 1y x x= − +
; i)
2
3
2 1
3
x
y
x
−
 
=
 ÷
+
 
k)
( )
5
2
1y x x= + +
II. Đạo hàm của hàm số lượng giác.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2
(sin cos )y x x= +
b)
tan coty x x= +
;
c)
= + +

3 5
2 1
tan2 tan 2 tan 2
3 5
y x x x
d)
( )
2 3
tan sin cos 2y x
 
=
 
Bài 2. Giải phương trình
' 0y =
với hàm số:
a)
2 cos 3sinx.y x x= − −
b)
3sin 2 4 os2 10 .y x c x x= + +
Bài 3. Cho hàm số
( )
x
x
xf
sin1
cos
+
=
. Tính
( ) ( )













4
';
2
';';0'
ππ
π
ffff
.
III. Vi phân. Đạo hàm cấp hai.
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
7
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau:
a)
2
3 5
1

x x
y
x
− +
=
−
; b)
( ) ( )
2 3
1 2 3y x x x
= + −
c)
3 2
1
tan cot 3
2
y x x= −
.
Bài 5. Tìm đạo hàm
(4)
', '', '',y y y y
của các hàm số sau:
a)
= − + − +
4 3 2
1 2
5 4 7
4 3
y x x x x
b)

= −
3
3y x x
Bài 6. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
3 2
khi1 0 2y y y x x
′′
+ = = −
;
b)
( )
( )
2 2 2
khi2 1 0 .tanx y x y y y x x
′′
− + + = =
.
Bài 7. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
1
1
y
x
=
+
b)
sinxy =
c)
cosy x=

.
d)
4 1
2 1
x
y
x
+
=
−
e)
2
3 5
1
x x
y
x
− +
=
+
f)
4 4
sin cosy x x= +
.
BTVN.
Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
b)
3 3
sin cos
sin cos

x x
y
x x
+
=
+
; c)
xx
xx
y
2cos2sin2
2cos2sin
−
+
=
; d)
4sin cos5 .sin 6y x x x=
;
e)
sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
x x
y
x x
+
=
−
f)
sin cos
cos sin

x x x
y
x x x
−
=
−
; g)
1
tan
2
x
y
+
=
h)
tan 3 cot 3y x x= −
; i)
2
2
1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−
; k)
2
cot 1y x= +

;
l)
4 4
cos siny x x= +
; m)
3
)cos(sin xxy +=
; n)
xxy 2cos2sin
33
=
o)
( )
sin cos3y x=
; p)
( )
2 2
sin cos cos3y x
 
=
 
; q)
2
5 2
3
cot cos
2
x
y
x

 
−
 
=
 
 ÷
+
 
 
 
.
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau :
a)
( )
2 ' sin " 0xy y x xy− − + =
nếu
xxy sin=
;
b)
( )
0"1218 =+− yy
nếu
xy 3cos
2
=
;
c)
0" =+yy
nếu
xx

xx
y
cossin1
cossin
33
−
+
=
;
d)
[ ]
4
2 4 40y xy y
′′′ ′′
+ − =
nếu
( )
2
2
1y x= −
;
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
8
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Bài 3. Tìm đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
2 1

2
x
y
x
−
=
+
; b)
2
3
2
y
x x
=
− −
; c)
2
2
2 1
x
y
x x
+
=
− +
;
d)
2
2
4 5 3

2 3 1
x x
y
x x
− +
=
− +
; e)
8sin .sin 2 .sin3y x x x=
;
IV. Ứng dụng của đạo hàm.
Dạng 1. Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Chú ý. + Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
0
x
của đồ thị hàm số
( )y f x=
là
0
'( )k y x=
.
+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(
0, 0
x y
) là:
0 0 0
'( )( ).y y y x x x− = −
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a)
1

1
x
y
x
−
=
+
tại điểm có hoành độ
0
0.x =
b)
2y x= +
biết tung độ tiếp điểm là
0
2.y =
Bài 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
3 2
1
2 3 1
3
y x x x= − − − +
a) Song song với đường thẳng d:
3
9.
4
y x= +
b) Có hệ số góc lớn nhất.
Bài 3. Cho hàm số
2
2 3 9y x x= − +

(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến hợp với trục hoành
góc
0
45 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1,-3).
Dạng 2. Dùng đạo hàm tính giới hạn dạng vô định
0
0
.
Chú ý. +
0
0
0
0
( ) ( )
lim '( ).
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
+
0
0 0
0 0
( ) ( ) '( )

lim .
( ) ( ) '( )
x x
f x f x f x
g x g x g x
→
−
=
−
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
a)
3
1
3 4
lim
1
x
x x
x
→
+ −
−
b)
8 7
2
2
128
lim
2 8
x

x x
x x
→
− −
+ −
c)
2
3
0
1 2 2 1 3 3 3
lim
x
x x x
x
→
+ + + + −
d)
10 10
9 9
0
(1 3 ) (1 5 )
lim
(1 3 ) (1 5 )
x
x x
x x
→
+ − +
+ − +
.

Dạng 3. Dùng đạo hàm chứng minh đẳng thức tổ hợp.
Chú ý. + Công thức nhị thức Niu-tơn:
0 1 1 2 2 2
( ) .
n n n n n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + +
(*)
+ Có thể đạo hàm hai lần liên tiếp.
+ Có khi ta nhân x, x
2
vào vế trái của (*) rồi mới lấy đạo hàm.
Bài 5. Chứng minh:
a)
1 2 2 3 8 9 9 10 9
10 10 10 10 10
2.3 3.3 9.3 10.3 10.4 .C C C C C+ + + + + =
b)
1 2 1
1. 2 .2 .
n n
n n n
C C nC n
−
+ + + =
c)
1 2 3 1
1. 2 3 ( 1) 0.

n n
n n n n
C C C nC
−
− + − + − =
WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
9
TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC DUY MINH
22/6 LÊ CẢNH TUÂN, PHÚ THỌ HÒA, TÂN PHÚ ĐT 0903548406
Bài 6. Chứng minh:
2 3 2
2.1. 3.2 ( 1) ( 1)2 .
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = −
Bài 7. Chứng minh:
0 1 1
1. 2 ( 1) ( 2)2 .
n n
n n n
C C n C n
−
+ + + − = +
BTVN.
Bài 1. Cho hàm số
( )
3 2
1

2 5
3
y f x x x mx= = − + +
Tìm
m
để :
a)
( )
0f x x
′
≥ ∀ ∈¡
b)
( ) ( )
0 , 0;f x x
′
> ∀ ∈ + ∞
c)
( ) ( )
0 , 0;2f x x
′
< ∀ ∈
d)
( ) ( )
0 , ;2f x x
′
≥ ∀ ∈ −∞
.
Bài 2. Cho hàm số
2
3 1

2
x x
y
x
− +
=
−
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết:
a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 2.
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
4
7
5
y x= − +
.
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1,1).
Bài 3. Tìm số tự nhiên n sao cho:
a)
1 2
1. 2 11264.
n
n n n
C C nC+ + + =
b)
2 1 2 2 2
1 . 2 240.
n
n n n
C C n C+ + + =


WEB SITE: TRUONGHOCDUYMINH.COM
10