Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Các khái niệm cơ bản, mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:
1.1. Các khái niệm cơ bản:
1.1.1 Định nghĩa 1: Cho dãy số
{ }
n
u
. Tổng vô hạn
1 2
1

n n
n
u u u u
∞
=
+ + + + =
∑
(1)
được gọi là chuỗi số (chuỗi) và số
n
u
được gọi là số hạng tổng quát thứ n của (1).
Một chuỗi số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát của nó.
Tổng của n số hạng đầu tiên của (1)

1 2

n n
S u u u= + + +

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1).
Khi cho n = 1,2,… thì ta được dãy số
{ }
n
S
, và gọi là dãy tổng riêng.
Định nghĩa: Nếu tồn tại
lim
n
n
S S
→∞
=
(hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1) hội tụ và có
tổng là S, ký hiệu
1
n
n
S u
∞
=
=
∑
. Trong trường hợp ngược lại thì chuỗi phân kỳ.
1.1.2 Định nghĩa 2:
Giả sử chuỗi số (1) hội tụ và có tổng là S. Ta gọi phần dư thứ n của (1) là số
thực
= −
n n
r S S

.
Ta có

lim lim( ) 0
n n
n n
r S S S S
→∞ →∞
= − = − =
.
1.1.3 Định nghĩa 3:
- Chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ (suy ra chuỗi
1
n

n
u
∞
=
∑
cũng hội tụ).
- Chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là bán hội tụ nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ nhưng chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑

phân
kỳ.
1.1.4 Định nghĩa 4:
Trang 1
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,≥ ∀
n
u n
.
1.1.5 Định nghĩa 5:
Chuỗi số có dạng
( )
1
1
1 , 0,
n
n n
n
u u n
∞
−

=
− > ∀
∑
(3) được gọi là chuỗi đan dấu.
1.2. Mối liên hệ giữa chuỗi số và dãy số:
Về hình thức, kí hiệu
1 2
1

n n
n
u u u u
∞
=
= + + + +
∑
giống như là một “ tổng vô hạn”. Vì vậy, đôi khi ta cũng gọi chuỗi (1) là một tổng
vô hạn hay nói cách khác nó chính là tổng vô hạn các số hạng của dãy số
{ }
n
u
. Mặt
khác, tự nhiên ta phải đặt vấn đề giữa chuỗi số và dãy số có mối liên hệ như thế
nào? Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối liên hệ hai chiều giữa chuỗi số và
dãy số.
Cho chuỗi (1) , từ chuỗi đó ta thiết lập được dãy sau
1
S
,
2

S
, ,
n
S
, (2)
trong đó

1 2
1

n
n k n
k
S u u u u
=
= = + + +
∑
.
Ngược lại, cho trước dãy số
{ }
n
S
. Từ dãy đó ta thiết lập được chuỗi số tương ứng:
1 2
1

n n
n
u u u u
∞

=
+ + + + =
∑
ở đó

1 1
u S=
,

2 2 1
u S S= −
,


1n n n
u S S
−
= −
,
Trang 2
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

nhận dãy
{ }
n
S
làm dãy tổng riêng.
Theo định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi (1) thì sự hội tụ đó tương đương với
sự hội tụ của dãy dãy tổng riêng
{ }

n
S
.
Nhờ mối liên hệ này, việc xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi (1) hoàn toàn
có thể chuyển sang việc xét sự tồn tại và tính giá trị của giới hạn của dãy (2).
Từ kết quả này, ta có điều kiện cần để chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ là
lim 0
n
n
u
→∞
=
và nếu
n
u
không dần tới số không khi
n → ∞
thì chuỗi
1
n
n
u

∞
=
∑
phân kì, khi đó ta nói chuỗi
phân kỳ do vi phạm điều kiện cần.
1.3 Một số dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi đan dấu:
1.3.1 Chuỗi số dương:
1.3.1.1 Dấu hiệu so sánh:
Cho hai chuỗi dương
1
n
n
u
∞
=
∑
(1) và
1
n
n
v
∞
=
∑
(2). Giả sử
,
n n
u v n≤ ∀
. Khi đó
+ Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) cũng hội tụ.

+ Nếu chuỗi (1) phân kì thì chuỗi (2) cũng phân kì.
Đặc biệt, nếu
lim 0,
n
n
n
u
k k
v
→∞
= ≠ ≠ ∞
thì hai chuỗi (1), (2) cùng hội tụ hoặc
cùng phân kì.
1.3.1.2 Dấu hiệu D’Alembert:
Cho chuỗi dương
1
n
n
u
∞
=
∑
(1) . Khi đó
+ Nếu
1
lim 1
n
n
n
u

u
+
→∞
<
thì chuỗi (1) hội tụ.
Trang 3
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
+ Nếu
1
lim 1
n
n
n
u
u
+
→∞
>
thì chuỗi (1) phân kì.
Đặc biệt, nếu tồn tại giới hạn
1
lim
n
n
n
u
u
u
+
→∞

=
, khi đó nếu
1u <
thì chuỗi (1) hội
tụ, nếu
1u >
thì chuỗi (1) phân kì.
1.3.2 Chuỗi đan dấu:
Dấu hiệu Leibnitz: Cho chuỗi đan dấu
1
1
( 1) , 0,
n
n n
n
u u n
∞
−
=
− > ∀
∑
. Nếu dãy số
{ }
n
u
đơn điệu giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu hội tụ.
2. Các tính chất của chuỗi số:
Ta biết rằng chuỗi hay “tổng vô hạn” không hoàn toàn giống tổng hữu hạn vì
trong việc tạo thành nó ta phải đưa vào phép tính giới hạn. Trong phần này, chúng
ta nghiên cứu các tính chất giống nhau và khác nhau giữa tổng vô hạn và tổng hữu

hạn.
2.1 Tính chất kết hợp:
Cho chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
và
{ }
k
m
là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Đặt
1
1 1 2

m
v u u u= + + +
,
1 1 2
2 1 2

m m m
v u u u
+ +
= + + +
,
Khi đó nếu chuỗi

1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ thì chuỗi
1
n
n
v
∞
=
∑
cũng hội tụ và hai chuỗi có tổng
bằng nhau.
Ở đây, chuỗi hội tụ có tính chất kết hợp “một chiều” còn chiều ngược lại thì
không đúng.
Ví dụ: Chuỗi
(1-1)+(1-1)+ +(1-1)+
là chuỗi hội tụ nhưng chuỗi
1-1+1-1+ +1-1+
Trang 4
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
là chuỗi phân kì.
2.2 Tính chất giao hoán:
2.2.1 Định lí 1:(Dirichlet)
Nếu chuỗi
1

n
n
u
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối và có tổng là S thì chuỗi
1
n
n
v
∞
=
∑
thành lập bằng
cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng
n
u
của chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng
bằng S.
2.2.2 Định lí 2:(Riemann)
Nếu chuỗi số

1
n
n
u
∞
=
∑
bán hội tụ thì việc thay đổi vị trí các số hạng của nó có
thể làm cho chuỗi phân kì hoặc hội tụ về một số cho trước.
Như vậy, ta thấy tính chất giao hoán vẫn còn đúng cho chuỗi hội tụ tuyệt đối
nhưng tính chất giao hoán không còn đúng đối với chuỗi bán hội tụ.
3. Các phép toán về chuỗi:
3.1 Cộng các chuỗi:
3.1.1 Định lí 3:
Nếu các chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
và
1
n
n
v
∞
=
∑

hội tụ và có tổng lần lượt là U và V, k là hằng số
thì các chuỗi
1
( )
n n
n
u v
∞
=
±
∑
,
1
n
n
ku
∞
=
∑
cũng hội tụ và
1.
1
( )
n n
n
u v
∞
=
±
∑

=
1
n
n
u
∞
=
∑
±
1
n
n
v
∞
=
∑
=U
±
V;
2.
1
n
n
ku
∞
=
∑
=k
1
n

n
u
∞
=
∑
=kU.
Chú ý: 1. Nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kì và chuỗi
1
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ thì chuỗi
1
( )
n n
n
u v
∞
=

±
∑
phân
kì.
Trang 5
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2. Nếu chuỗi
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kì, k là hằng số khác 0 thì chuỗi
1
n
n
ku
∞
=
∑
phân kì.
3. Nếu cả hai chuỗi
1
n
n
u
∞
=

∑
và
1
n
n
v
∞
=
∑
phân kì thì chuỗi
1
( )
n n
n
u v
∞
=
±
∑
có thể hội tụ
hoặc phân kì.
3.2 Nhân các chuỗi:
Ta biết rằng đối với hai chuỗi hội tụ thì có thể làm phép cộng hoặc trừ từng
số hạng. Một vấn đề đương nhiên được đặt ra là liệu ta có thể nhân từng số hạng
của hai chuỗi hội tụ hay không?
Cho hai chuỗi
0
n
n
u

∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
, tích Cauchy của hai chuỗi là chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
, trong đó
0 1 1 0
w ,
n n n n
u v u v u v n
−
= + + + ∀
.
3.2.1 Định lí 4:(Mertens)
Giả sử các chuỗi
0

n
n
u
∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ và có tổng lần lượt là U và V. Khi đó,
nếu một trong hai chuỗi trên hội tụ tuyệt đối thì tích Cauchy
0
w
n
n
∞
=
∑
của chúng hội
tụ và
0
w
n
n
∞

=
∑
UV=
.
Chứng minh:
Giả sử chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu
, ,W
n n n
U V
lần lượt là các tổng
riêng thứ n của các chuỗi
0
n
n
u
∞
=
∑
,
0
n
n

v
∞
=
∑
,
0
w
n
n
∞
=
∑
.
Khi đó
0 1 1 0
W
n n n n
u V uV u V
−
= + + +
Trang 6
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Vì
0
n
n
v V
∞
=
=

∑
nên
n n
V V r= −
với
lim 0
n
n
r
→∞
=
.
Vậy
0 1 1 0
W ( )
n n n n n
VU u r u r u r
−
= + + + +
.
Bây giờ ta chứng minh
0 1 1 0
lim( ) 0
n n n
n
u r u r u r
−
→∞
+ + + =
.

Thật vậy, lấy
ε
0>
bé tùy ý và m, M như sau:
n
r m≤
với
0n ≥
,
0
n
n
M u
∞
=
=
∑
.
Khi đó,
,k l∃ ∈¥
sao cho với
n k≥
thì
2
n
r
M
ε
≤
và với

1n l≥ +
thì
1

2
l n
u u
m
ε
+
+ + <
.
Như vậy, với
n l k≥ +
thì ta có
0 1 1 0 0 1 1 1 1 0
( ) ( )
n n n n n l n l l n l n
u r u r u r u r u r u r u r u r
− − − + − +
+ + + ≤ + + + + + +

0 1 1
( ) ( ).
2
l l n
u u u u u m
M
ε
+

≤ + + + + + +

. .
2 2
M m
M m
ε ε
ε
< + =
.
Do đó
0 1 1 0
lim( ) 0
n n n
n
u r u r u r
−
→∞
+ + + =
.
Từ đó, ta suy ra điều cần chứng minh.
W
Theo những suy luận ở trên, ta thấy nếu hai chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối thì
tích Cauchy của chúng cũng hội tụ tuyệt đối.
Đây là kết quả của định lí Cauchy.
3.2.2 Định lí 5:(Cauchy)
Nếu hai chuỗi
0
n
n

u
∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ tuyệt đối và có tổng lần lượt là U,V thì
chuỗi lập nên bởi tất cả các tích có dạng
( , 1,2, )
i k
u v i k =
sắp xếp theo một thứ tự
tùy ý cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là UV.
Chú ý:
Trang 7
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
1. Tích Cauchy của hai chuỗi bán hội tụ có thể phân kì.
Ví dụ: Xét chuỗi
1
1
1
( 1)
n
n

n
∞
−
=
−
∑
là chuỗi bán hội tụ. Gọi
1
w
n
n
∞
=
∑
là tích Cauchy của
1
1
1
( 1)
n
n
n
∞
−
=
−
∑
với chính nó.
Khi đó
1

1 1 1
w ( 1)
1. . 1 .1
n
n
n k n k n
−
 
= − + + + +
 ÷
− +
 
Ta có
1 1 1 1 1 1
w
. 1
n
n
n n n
n k n k n
 
= + + + + > + + +
 ÷
− +
 
1 44 2 4 43
.
Suy ra
w 1
n

>
tức là
1
w
n
n
∞
=
∑
phân kì (do vi phạm điều kiện cần).
Vậy chuỗi
1
w
n
n
∞
=
∑
phân kì.
W
2. Tích Cauchy của một chuỗi dương hội tụ và chuỗi dương phân kì thì phân kì.
Chứng minh:
Giả sử
0
n
n
u
∞
=
∑

và
0
n
n
v
∞
=
∑
lần lượt là hai chuỗi dương hội tụ và phân kì. Chuỗi
0
w
n
n
∞
=
∑
là tích Cauchy của hai chuỗi dương trên.
Khi đó
0 1 1 0 0
w
n n n n n
u v u v u v u v
−
= + + + >
.
Vì chuỗi
0
n
n
v

∞
=
∑
phân kì nên chuỗi tích Cauchy
0
w
n
n
∞
=
∑
cũng phân kì.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
W
3. Tích Cauchy của hai chuỗi phân kì không nhất thiết là chuỗi phân kì.
Trang 8
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Ví dụ: Xét hai chuỗi phân kì sau
1
3
1
2
n
n
∞
=
 
−
 ÷
 

∑
và
1
1
1
3 1
1 2
2 2
n
n
n
n
−
∞
+
=
   
+ +
 ÷  ÷
   
∑
Giả sử
0
w
n
n
∞
=
∑
là tích Cauchy của hai chuỗi trên.

Khi đó
0 1 1 0
w
n n n n
u v u v u v
−
= + + +
1
0 0
1
n
n n k n k
k
u v v u u v
−
−
=
= + +
∑
trong đó
1
0 0
1
3 3 1
1, , (2 )
2 2 2
n n
n
n n
n

u v u v
−
+
   
= = = − = +
 ÷  ÷
   
.
Do đó
1 1
1
1 1
1
3 1 3 3 1
w (2 ) 2
2 2 2 2 2
n n n
n
n n k
n
n n k
k
− −
−
−
+ − +
=
       
= + − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷

       
∑

1
1
1
1
3 2 1 2 1
1 2
2 3 3.2 3 2
n
n
n
n k
n n k
k
+
−
−
− +
=
 
   
= + − − +
 ÷  ÷
 
   
 
∑


3 1
.
2 2
n
n
 
=
 ÷
 

3
4
n
 
=
 ÷
 
mà chuỗi
1
3
4
n
n
∞
=
 
 ÷
 
∑
là chuỗi hội tụ.

3.2.3 Định lí 6:(Abel)
Nếu hai chuỗi
0
n
n
u
∞
=
∑
và
0
n
n
v
∞
=
∑
hội tụ và có tổng lần lượt là U,V và nếu tích
Cauchy của hai chuỗi trên hội tụ về W thì
W UV=
.

4. Một số kiến thức cần lưu ý:
4.1 Kiến thức 1:
Nếu
n n n
z x iy= +
là dãy số phức và
lim
n

n
x x
→∞
=
,
lim
n
n
n
y y
→∞
=
thì
lim
n
n
z x iy
→∞
= +
.
4.2 Kiến thức 2:
Trang 9
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
arctan arctan arctan
1
a b
a b
ab
−
− =

+
, với
,a b∈¡
Chứng minh:
Ta đặt
arctan , arctanx a y b= =
.
Từ công thức
( )
tan tan
tan
1 tan tan
x y
x y
x y
−
− =
+

1
a b
ab
−
=
+
.
Suy ra điều phải chứng minh.
W
4.3 Kiến thức 3:
cot 2cot(2 ) tan , ,

2
x x x x k k
π
= + ≠ ∈¢
.
Chứng minh:
Từ công thức
2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
,
, ,
4 2 2
x k x k k Z
π π π
π
≠ + ≠ + ∈
ta suy ra
2
tan 2 tan 2 tan 2tanx x x x− =
.
Chia hai vế của đẳng thức cho
tan 2 tanx x
với

,
2
x k k Z
π
≠ ∈
ta được
cot 2cot(2 ) tanx x x= +
.
Đó là điều cần chứng minh.
W
Trên đây là một số kiến thức cơ sở về chuỗi số bao gồm các định nghĩa, các
tính chất và các phép toán của chuỗi số. Dựa trên các tính chất, định lí và kỹ năng
biến đổi toán học ta sẽ giải quyết các bài toán sau.
Trang 10
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI
BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Theo định nghĩa ta biết rằng một chuỗi nếu biết tổng riêng thứ n thì tổng của
chuỗi được xác định bằng giới hạn của tổng riêng thứ n ấy. Bài toán tính tổng của
chuỗi có thể chia ra các dạng như sau:
2.1. Tìm số hạng tổng quát và tính tổng của chuỗi nếu biết trước dãy tổng
riêng của chúng:
* Để xác định số hạng tổng quát của chuỗi số khi biết trước dãy tổng riêng
ta lấy tổng riêng thứ n trừ đi tổng riêng thứ n-1.
Hãy tìm số hạng tổng quát của chuỗi
1
n
n
u
∞

=
∑
và tổng của nó nếu biết trước dãy
tổng riêng
{ }
n
S
qua các bài toán sau:
Bài toán 2.1.1:
( )
2
( 2)
1
n
n n
S
n
+
=
+
.
Giải:
Số hạng tổng quát
1n n n
u S S
−
= −

( )
2

2
( 2) ( 1)( 1)
1
n n n n
n
n
+ − +
= −
+
.
Quy đồng mẫu ta được
2 2
2 1
( 1)
n
n
u
n n
+
=
+
.
Tổng của chuỗi là S
=
lim lim
n
n n
S
→∞ →∞
=

( )
2
( 2)
1
n n
n
+
+
=
1.
Bài toán 2.1.2:
1
1
1
n
S
n
= −
+
.
Giải:
Ta có
1 1
1
n
n
S
n
+ −
=

+
.
Trang 11
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Số hạng tổng quát
1n n n
u S S
−
= −

1 1 1
1
n n
n n
+ − −
= −
+
.
Quy đồng mẫu ta được
1
( 1) ( 1)
n
u
n n n n
=
+ + +

Tổng của chuỗi là S
=
lim lim

n
n n
S
→∞ →∞
=
1 1
1
n
n
+ −
+
=
1.
Bài toán 2.1.3:
2011
arctan
n
S n=
.
Giải:
Số hạng tổng quát
1n n n
u S S
−
= −

2011 2011
2011 2011
2 2011
arctan arctan( 1)

( 1)
arctan
1 ( )
n n
n n
n n
= − −
− −
=
+ −
(Sử dụng công thức
arctan arctan arctan
1
a b
a b
ab
−
− =
+
)
Tổng của chuỗi là S
=
lim lim
n
n n
S
→∞ →∞
=
2011
arctan n

=
2
π
.
Thông thường để tính tổng của chuỗi thì ta quan tâm đến số hạng tổng quát
của chúng. Và thao tác thường gặp là phân tích số hạng tổng quát ấy. Đó chính là
dạng toán sau
2.2 Tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
* Để tìm tổng của chuỗi số bằng cách lập tổng riêng thứ n, ta cần phân tích
số hạng tổng quát thành các số hạng có tính chất truy hồi. Từ bài toán xuất phát
sau ta có thể mở rộng ra các lớp bài toán tính tổng của chuỗi bằng việc phân tích số
hạng tổng quát của chuỗi.
Trang 12
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2.2.1 Bài toán xuất phát: Tính tổng của chuỗi
1
1
( 1)n n n
∞
= +
∑
.
Giải:
Ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau

1 1 1
( 1) 1
n
u
n n n n

= = −
+ +
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +

1 1 1 1 1
1
2 2 3 1
1
1 .
1
n n
n
     
= − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
+
     
= −
+
Như vậy, tổng của chuỗi là S
=
1
lim lim(1 )

1
n
n n
S
n
→∞ →∞
= −
+
=
1.
2.2.2 Bài toán tổng quát: Cho cấp số cộng
{ }
n
a
với các số hạng khác không và
công sai
0d >
. Tính tổng của chuỗi số
1
1
1
n
n n
a a
∞
=
+
∑
.
Giải:

Vì
{ }
n
a
là cấp số cộng với các số hạng khác không và công sai
0d >
nên ta viết
lại chuỗi như sau
1
1 1
1
( ( 1) )( )n a n d a nd
∞
= + − +
∑
.
Số hạng tổng quát là
1 1
1
( ( 1) )( )
n
u
a n d a nd
=
+ − +

1 1
1 1 1
( 1)d a n d a nd
 

= −
 ÷
+ − +
 
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi
Trang 13
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

1 2

n n
S u u u
= + + +


1 1
1 1 1
d a a nd
 
= −
 ÷
+
 
.
Tổng của chuỗi cần tìm là S
=
1 1 1
1 1 1 1
lim lim

n
n n
S
d a a nd a d
→∞ →∞
 
= − =
 ÷
+
 
.
Bây giờ từ bài toán xuất phát thay 1 bởi số tự nhiên m nào đó, ta có kết quả
Bài toán 2.2.3: Tính tổng của chuỗi
1
1
( )n n n m
∞
= +
∑
,
m N∈
.
Giải:
Số hạng thứ n của chuỗi
1 1 1 1
( )
( )
n
u
n n m m n n m

= = −
+ +
,
m N∈
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +


1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 )
2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
(1 ).
2 1 2
m m m m m n n m
m m m m n m m n m
m m n n n m
     
= − + − + + −
 ÷  ÷  ÷
+ + +

     
= + + + + + + − − − −
+ + + + +
= + + + − − − −
+ + +

Như vậy, tổng của chuỗi là
1 1 1 1 1 1 1 1
lim lim (1 ) (1 ), .
2 1 2
n
n n
S S m
m m n n m m m
→∞ →∞
= = + + + − − − = + + + ∈
+ +
¥

Bài toán 2.2.4: Tính tổng của chuỗi
( ) ( )
1
1
1 1n kn kn k
∞
= − + −
∑
,
k ∈¡
.

Giải:
Rõ ràng ta có sự phân tích số hạng tổng quát sau

1 1 1 1
( )
( 1)( 1) 1 1
n
u
kn kn k k kn kn k
= = −
− + − − + −
,
k ∈¡
Trang 14
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +


1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 3 1 1 1
1 1 1
( ).
1 1

k k k k k k k kn kn k
k k kn k
= − + − + + −
− − − − − + −
= −
− + −
Như vậy, tổng của chuỗi là
S
=
1 1 1 1
lim lim ( )
1 1 ( 1)
n
n n
S
k k kn k k k
→∞ →∞
= − =
− + − −
,
k ∈¡
.
2.2.5 Một số bài toán mở rộng:
Bài toán 2.2.5.1: Tính tổng của chuỗi
1
1
,
( 1) ( )n
k N
n n n k

∞
=
∈
+ +
∑
.
Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát

1 1 1
( )
( 1) ( 1) ( 1) ( )
n
u
k n n n k n n k
= −
+ + − + +
.
Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là

1 2

n n
S u u u
= + + +

1 1 1
( )
1.2 ( 1) ( )k k n n k
= −

+ +
,
k ∈¥
.
Như vậy, tổng của chuỗi là
S
1 1 1 1
lim lim ( )
1.2 ( 1) ( ) . !
n
n n
S
k k n n k k k
→∞ →∞
= = − =
+ +
.
Bài toán 2.2.5.2: Tính tổng của chuỗi
2
1 ( 1)( 2)( 3)( 4)n
n
n n n n
∞
= + + + +
∑
(Cô ơi, xem
giúp em bài toán này, em giải kết quả không giống kết quả trong sách, em xem
kĩ rồi nhưng không thấy sai chỗ nào, em cảm ơn cô!)
Giải:
Trang 15

Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Số hạng tổng quát của chuỗi là

n
u =
2
( 1)( 2)( 3)( 4)
n
n n n n+ + + +

2 1 11 1 1
( 1)( 2) ( 3)( 4) 2 ( 1)( 3) ( 2)( 4)n n n n n n n n
 
= − − −
 
+ + + + + + + +
 


11 1 1
4 ( 1)( 4) ( 2)( 3)n n n n
 
+ −
 
+ + + +
 
.

Tổng riêng thứ n của chuỗi là
1 2

1 1 1 1 1 1 1 1
2( ) ( )
2 3 1 2 4 5 3 4
11 1 1 1 1 1 1 1 1

4 2 4 1 3 3 5 2 4
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 3 2 5 3 6 1 4 3 4 4 5 2 3
1
2
n n
S u u u
n n n n
n n n n
n n n n
= + + + = − + + − − − + + −
+ + + +
 
   
− − + + − − − + + −
 ÷  ÷
 
+ + + +
   
 
 
   
+ − + − + + − − − + − + + −
 ÷  ÷

 
+ + + +
   
 
=
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 4 4 2 2 3 3 1 3 4
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 3 2 3 4 2 3 4 3 3
n n n n n n n n
n n n n
 
       
− − − − + − − − + − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
+ + + + + + +
       
 
 
   
+ + + − − − − −
 ÷  ÷
 
+ + + +
   
 

Như vậy, tổng của chuỗi là: S
53

lim
144
n
n
S
→∞
= =
.
Việc phân tích số hạng tổng quát của chuỗi cần có kỹ năng phân tích để sau
khi lập tổng riêng thứ n ta được biểu thức thu gọn.
Bây giờ ta xét các bài toán liên quan sau
Bài toán 2.2.5.3: Tính tổng của chuỗi
2
1
1
arctan
1n n n
∞
= + +
∑
.
Giải:
Số hạng tổng quát của chuỗi là
Trang 16
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

2
1
arctan
1

n
u
n n
=
+ +
1
arctan
1
( 1)(1 )
( 1)
n n
n n
=
+ +
+
Sử dụng công thức arctana-arctanb
arctan
1
a b
ab
−
=
+
ta được

1 1
arctan arctan
1
n
u

n n
= −
+

Sau khi rút gọn ta được tổng riêng thứ n là

1 2

n n
S u u u
= + + +

1
arctan1 arctan
1n
= −
+
Khi đó, tổng của chuỗi là: S
1
lim lim(arctan1 arctan )
1 4
n
n n
S
n
π
→∞ →∞
= = − =
+
.

Bài toán 2.2.5.4: Tính tổng của chuỗi
1
(2 1)
ln
( 1)(2 1)n
n n
n n
∞
=
+
+ −
∑
.
Giải:
Ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi như sau

(2 1)
ln ln ln( 1) ln(2 1) ln(2 1)
( 1)(2 1)
n
n n
u n n n n
n n
+
= = − + + + − −
+ −
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2


n n
S u u u
= + + +


[ ]
[ ]
ln1 ln2 ln 2 ln3 ln ln( 1)
ln3 ln1 ln5 ln3 ln(2 1) ln(2 1)
n n
n n
= − + − + + − +
+ − + − + + + − −

ln(2 1) ln( 1)
2 1
ln .
1
n n
n
n
= + − +
+
=
+
Khi đó, tổng của chuỗi là S
2 1
lim limln ln 2
1
n

n n
n
S
n
→∞ →∞
+
= = =
+
.
Trang 17
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Bài toán 2.2.5.5: Tính tổng của chuỗi
3
1
os 3
( 1)
3
n
n
n
n
c x
∞
=
−
∑
.
Giải:
Số hạng tổng quát của chuỗi là
n

u =
3
os 3
( 1)
3
n
n
n
c x
−
.
Sử dụng đồng nhất thức
3
cos 4cos 3cos
3 3
x x
x = −
ta phân tích được số hạng tổng
quát dưới dạng:
1
1
os3 os3
( 1) ( 1)
4.3 4.3
n n
n n
n
n n
c x c x
u

+
−
= − + −
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi

1 2

n n
S u u u
= + + +


1
os3 os3
( 1)
4.3 4
n
n
n
c x c x
+
= − −
.
Khi đó, tổng của chuỗi là: S
1
os3 os3 os3
lim lim ( 1)
4.3 4 4
n

n
n
n
n n
c x c x c x
S
+
→∞ →∞
 
= = − − = −
 
 
.
Sau đây là một dạng khác của bài toán tính tổng của chuỗi số
2.3 Các bài toán tính tổng của chuỗi có sử dụng các đồng nhất thức.
Trong phần này chúng ta có thể sử dụng một số đồng nhất thức quen thuộc
để phân tích số hạng tổng quát của chuỗi.
Bài toán 2.3.1: Dùng đồng nhất thức
cot 2cot(2 ) tan , ,
2
x x x x k k
π
= + ≠ ∈¢
tính
tổng của chuỗi sau:
2
1
1
tan
2 2

n
n
x
∞
=
∑
.
Giải:
Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
n
u =
1
tan
2 2
n n
x
.
Trang 18
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Từ đồng nhất thức
cot 2cot(2 ) t anx, ,
2
x x x k k Z
π
= + ≠ ∈
ta suy ra

tanx cot 2cot(2 ), ,
2
x x x k k Z

π
= − ≠ ∈
.
Khi đó
1
1
1
cot 2 cot
2 2 2
n
n
n n n
x x
u
−
−
= −
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là

1 2

n n
S u u u
= + + +


1
2cot2 cot
2 2

n n
x
x= − +
.
Như vậy, tổng của chuỗi là
S
1 1
lim lim( 2cot 2 cot ) 2cot 2 , ,
2 2 2
n
n n
n n
x
S x x x k k Z
x
π
→∞ →∞
= = − + = − ≠ ∈
.
Bài toán 2.3.2 Dùng đồng nhất thức
2
(1 )
arctan arctan( ) arctan
1
b x
x bx
bx
−
= +
+

tính tổng
của chuỗi sau
2 1 2
0
(1 )
arctan ,0 1.
1
n
n
n
b b x
b
b x
∞
+
=
−
< <
+
∑
Giải:
Trước hết ta phân tích số hạng tổng quát của chuỗi:
n
u =
2 1 2
(1 )
arctan
1
n
n

b b x
b x
+
−
+
Từ đồng nhất thức
2
(1 )
arctan arctan( ) arctan
1
b x
x bx
bx
−
= +
+
ta suy ra

2
(1 )
arctan arctan arctan( )
1
b x
x bx
bx
−
= −
+
.
Khi đó

1
arctan arctan
n n
n
u b x b x
+
= −
.
Tổng riêng thứ n của chuỗi sau khi rút gọn là:

0 2 1

n n
S u u u
−
= + + +

arctan arctan
n
x b x= −
Trang 19
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Với
0 1b< <
thì
lim
n→∞
arctan 0
n
b x =

. Do đó tổng của chuỗi là
S
lim lim(arctan arctan ) arctan
n
n
n n
S x b x x
→∞ →∞
= = − =
Tuy nhiên, bài toán 2.3.2 có thể được giải theo một cách khác. Trước hết, ta
xét bài toán tổng quát sau:
2.3.3 Bài toán tổng quát: Cho các hằng số a,b,c khác không, giả sử các hàm
f
và
g
thỏa mãn điều kiện
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
.
(a) Chứng minh rằng nếu
lim ( ) ( )
n n
n
a f b x L x
→∞
=
tồn tại thì
0
( ) ( )
( )
n n

n
f x L x
a g b x
c
∞
=
−
=
∑
.
(b) Chứng minh rằng nếu
lim ( ) ( )
n n
n
a f b x M x
− −
→∞
=
tồn tại thì

0
( ) ( )
( )
n n
n
M x af bx
a g b x
c
∞
− −

=
−
=
∑
.
Chứng minh:
(a) Xét chuỗi số
0
( )
n n
n
a g b x
∞
=
∑
Từ điều kiện
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
ta có
2 2
( ) a ( ) ( )af bx f b x acg bx= +
2 2 3 3 2 2
( ) a ( ) ( )a f b x f b x ca g b x= +
………………………
1 1 1 1
( ) a ( ) ( )
n n n n n n
a f b x f b x ca g b x
− − − −
= +
Do đó

1 1
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
n n n n
f x a f b x c g x ag bx a g b x
− −
= + + + +
Vì
lim ( ) ( )
n n
n
a f b x L x
→∞
=
nên
1
0 0
( ) ( )
( ) lim ( )
n
n n k k
n
n k
f x L x
a g b x a g b x
c
∞ −
→∞
= =
−
= =

∑ ∑
.
(b) Tương tự câu (a), ta có
( ) a ( ) ( )f x f bx cg x= +
1 1 1 1
( ) ( ) ( )a f b x f x a cg b x
− − − −
= +
Trang 20
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
2 2 1 1 2 2
( ) a ( ) ( )a f b x f b x ca g b x
− − − − − −
= +
………………………
1 1
( ) a ( ) ( )
n n n n n n
a f b x f b x ca g b x
− − − − − −
= +
.
Từ đó suy ra
1 1
a ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))
n n n n
f bx a f b x c g x a g b x a g b x
− − − − − −
= − + + +
Vì

lim ( ) ( )
n n
n
a f b x M x
− −
→∞
=
nên
1
0 0
( ) a ( )
( ) lim ( )
n
n n k k
n
n k
M x f bx
a g b x a g b x
c
∞ −
− − − −
→∞
= =
−
= =
∑ ∑
.
Như vậy, áp dụng kết quả bài toán tổng quát ta có thể giải bài toán 2.3.3 bằng
cách chọn
2

(1 )
( ) arctan , ( ) arctan
1
b x
f x x g x
bx
−
= =
+
,
1, 1a c= =
và với
0 1b< <
thì
lim
n→∞
arctan 0
n
b x =
ta được
2 1 2
0
(1 )
arctan arctan
1
n
n
n
b b x
x

b x
∞
+
=
−
=
+
∑
.
Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler thể hiện mối liên hệ
giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ phức là một công thức toán học trong
ngành giải tích phức. Công thức Euler được dùng để tính tổng của hai chuỗi có
dạng
1
(sinx)
n
n
f
∞
=
∑
và
1
(cos )
n
n
f x
∞
=
∑

trong bài toán tính tổng sau:
Bài toán 2.3.4: Dùng đồng nhất thức Euler
os isin
i
e c
α
α α
= +
tính tổng của hai
chuỗi

1
os
n
n
q c n
α
∞
=
∑
(a) và
1
sin
n
n
q n
α
∞
=
∑

(b) (
1q <
) .
Giải:
Giả sử
{ } { }
,
n n
U V
lần lượt là dãy tổng riêng tương ứng của hai chuỗi (a) và
(b) và U,V lần lượt là tổng của chúng.
Trang 21
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Dùng công thức Euler
os isin
i
e c
α
α α
= +
ta viết

1 ( 1)
2 2

1
i n i n
i i n in
n n
i

qe q e
U iV qe q e q e
qe
α α
α α α
α
+ +
−
+ = + + + =
−
Vì
1q <
nên
1
i
qe <
, từ đó ta suy ra
1 ( 1)
lim( ) 0
n i n
n
q e
α
+ +
→∞
=
.
Khi đó
U+
i

V
lim( )
1
i
n n
i
n
qe
U iV
qe
α
α
→∞
= + =
−
( os isin )
1 cos sin
q c
q iq
α α
α α
+
=
− −
.
Nhân lượng liên hiệp của biểu thức
1 cos sinq iq
α α
− +
ta được

U+
i
V
2 2
os sin
1 2 cos 1 2 cos
c q
q i
q q q q
α α
α α
 
−
= +
 ÷
− + − +
 
Vậy U
=
2
os
1 2 cos
c q
q
q q
α
α
−
− +
, V

=
2
sin
1 2 cos
q
q q
α
α
− +
.
Tuy nhiên, ở một số chuỗi ta không thể sử dụng hai phương pháp trên để
tính tổng
2.4 Bài toán tính tổng của một số chuỗi đặc biệt:
Bài toán 2.4.1:
Giả sử
{ }
n
a
là một dãy thỏa mãn
[ ]
1 2
lim ( 1)( 1) ( 1) ,0
n
n
a a a g g
→∞
+ + + = < ≤ +∞
.
Chứng minh rằng
1

1 2
1
1
( 1)( 1) ( 1)
n
n
n
a
a a a g
∞
=
= −
+ + +
∑
(quy ước
g = ∞
thì
1
0
g
=
).
Chứng minh:
Xét chuỗi số
1
1 2
( 1)( 1) ( 1)
n
n
n

a
a a a
∞
= + + +
∑
Số hạng tổng quát của chuỗi

1 2
( 1)( 1) ( 1)
n
n
n
a
u
a a a
=
+ + +
Trang 22
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

1 2 1 1 2
1 1
( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)
n n
a a a a a a
−
= −
+ + + + + +
.


Tổng riêng thứ n của chuỗi:

1 2

n n
S u u u
= + + +

1
1 1 1 2
1 2 1 1 2
1 1
1 1 ( 1)( 1)
1 1

( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)
n n
a
a a a a
a a a a a a
−
= + −
+ + + +
+ + −
+ + + + + +

1 2
1
1
( 1)( 1) ( 1)

n
a a a
= −
+ + +
.
Khi đó, chuỗi có tổng là S
1 2
1 1
lim lim(1 ) 1
( 1)( 1) ( 1)
n
n n
n
S
a a a g
→∞ →∞
= = − = −
+ + +
.
Đây là điều cần chứng minh.
Áp dụng bài toán tổng quát 2.4.1 trên ta xét các bài toán cụ thể sau:
Bài toán 2.4.1.1: Tính tổng của chuỗi
1
2 1
2.4 2n
n
n
∞
=
−

∑
.
Giải:
Đặt
2 1,
n
a n n= − ∀
. Khi đó ta được dãy
{ }
n
a
và dãy này thỏa mãn

[ ]
1 2
lim ( 1)( 1) ( 1) lim(2.4 2 )
n
n n
a a a n
→∞ →∞
+ + + = = +∞
.
Áp dụng kết quả bài toán 4.1 trên ta suy ra
1
2 1
2.4 2n
n
n
∞
=

−
∑
=1.
Bài toán 2.4.1.2: Tính tổng của chuỗi
2
1
2 2 2
1
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
2 3
n
n
n
∞
=
− − −
∑
.
Giải:
Trang 23
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số
Đặt
2
1
,
n
a n
n
= − ∀

. Khi đó, ta được dãy
{ }
n
a
và dãy này thỏa mãn

[ ]
1 2
2 2 2
1 1 1
lim ( 1)( 1) ( 1) lim (1 )(1 ) (1 )
2 3
n
n n
a a a
n
→∞ →∞
 
+ + + = − − −
 
 

1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1)
lim . .
2.2 3.3 4.4 .
n
n n
n n
→∞
− +

 
=
 ÷
 

1 1
lim .
2
1
.
2
n
n
n
→∞
+
=
=
Áp dụng kết quả bài toán 2.4.1 trên ta suy ra

2
1
2 2 2
1
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
2 3
n
n
n

∞
=
− − −
∑
=1.
Bài toán 2.4.2: Cho dãy
{ }
n
a
được xác định bởi
2
1 1
2, 2,
n n
a a a n N
+
> = − ∈
.
Chứng minh rằng
2
1 1
1
1 2
4
1
2n
n
a a
a a a
∞

=
− −
=
∑
.
Chứng minh:
Xét chuỗi
1
1 2
1
n
n
a a a
∞
=
∑
. Ta phân tích số hạng thứ n ta được

n
u =
1
1 2 1 2 1 1 2
1

n n
n n n
a a
a a a a a a a a a
+
−

= −
Tổng riêng thứ n của chuỗi:

1 2

n n
S u u u
= + + +

Trang 24
Một số bài toán tính tổng của chuỗi số

2 3 3 4
1 1 1 2 1 2 1 2 3
1
1 2 1 1 2
2 1
1 1 1 2
1 1 1
( ) ( )
2 2
1
( )
2
1 1 1
2 2
n n
n n
n
n

a a a a
a a a a a a a a a
a a
a a a a a a
a a
a a a a a
+
−
+
= + − + − +
+ −
= + −
Dễ dàng chứng minh
2,
n
a n> ∀
bằng phương pháp quy nạp.
Bây giờ ta chứng minh
{ }
n
a
là dãy tăng.
Từ
2
1
2,
n n
a a n N
+
= − ∈

ta chia hai vế cho
1n
a
−
và cộng hai vế với -1 ta được

2
1
1 1
1 9
( )
2 4
1
n
n
n n
a
a
a a
−
− −
− −
− =
.
Vì
2,
n
a n> ∀
nên
1

1
n
n
a
a
−
−
>0,
n∀
tức là dãy
{ }
n
a
là dãy tăng.
Từ
2
1
2,
n n
a a n N
+
= − ∈
ta bình phương hai vế và sau đó cộng hai vế với -4 ta
được

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 ( 4) ( 4) ( 4)
n n n n n n n n
a a a a a a a a a a

+ − − −
− = − = − = −
Khi đó
2
2
1
1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
4
lim 4 lim

n
n n
n n
a
a
a a a a a a
+
→∞ →∞
= − +
.
Vì
{ }
n
a
là dãy tăng và
1
2a >
nên

2
1
1
1 2
lim 4

n
n
n
a
a
a a a
+
→∞
= −
.
Vậy tổng của chuỗi là
S
2 1
1 1 1 2
1 1 1
lim lim( )
2 2
n
n
n n
n
a a
S
a a a a a

+
→∞ →∞
= = + − =
2
1 1
4
2
a a− −
.
Đó là điều cần chứng minh.
Bài toán 2.4.3: Cho
1
1
n
n
a
∞
=
∑
phân kì với các số hạng dương cho trước, b>0.
Trang 25