tính toán dao động toa xe
có giá chuyển hớng lò xo không khí


TS. nguyễn hữu dũng
Bộ môn Đầu máy - Toa xe - ĐH GTVT
Tóm tắt: Để có những toa xe tốc độ cao, tính an ton lớn v tính năng động lực tốt dùng
cho các đon tầu nhẹ chạy nhanh DMU (Diesel Multiple Unit), đầu năm 2002 trên cơ sở thiết kế
của Hội Cơ khí Đầu máy-Toa xe, LHĐSVN đã cho chế tạo thử 3 đôi giá chuyển hớng toa xe
khách mới dùng lò xo không khí v hãm đĩa, có tốc độ cấu tạo đến 120 km/h. Các toa xe ny
đã đợc lắp trên các đon tầu Thống nhất tốc độ cao S1,S2 để chạy thử v đo đạc kiểm tra,
đến nay đã vận dụng đợc trên 200.000 km an ton. Bi báo ny giới thiệu mô hình v phơng
pháp tính toán dao động của các toa xe đó.
Summary: In order to produce railway cars of high speed, great safety and good
dynamical capacity to be utilized for Diesel Multiple Units, in early 2002 Vietnam Railway Union
manufactured three sample pairs of bogies for the new railway cars, using air springs and disc
brakes. The manufactured speed of the bogies is up to 120 km/h. Such railway cars have been
installed on ThongNhat Expess trains S1 and S2 for testing and trial, achieving 200,000 kms of
safe operation so far. The model and method of calculating vibration of those cars are
presented in this article.

I. Đặc điểm kết cấu hệ thống lò xo của Toa xe mới
Toa xe loại mới bao gồm thân toa xe thế hệ 2 đặt trên 2 giá chuyển hớng loại mới có kết
cấu hiện đại đảm bảo tính năng động lực và an toàn khi nâng cao tốc độ với 2 hệ lò xo và hệ
hãm đĩa.
Hệ lò xo trung ơng: trên mỗi giá chuyển hớng có 2 lò xo không khí mua của Trung quốc
có tính năng vừa chịu nén vừa chịu xoắn tạo nên lực phục hồi khi giá chuyển hớng quay đi so
với giá xe. Cùng với những lò xo này là hệ thống van tiết lu mua của Nhật đảm bảo cho các lò
xo luôn có áp suất thích hợp khi tải trọng thay đổi, đảm bảo chiều cao thân xe và móc nối đồng
thời chống lại các dao động của thân xe. Hệ thống các lò xo không khí làm việc cùng với các
van tiết lu làm cho hệ lò xo trung ơng theo phơng thẳng đứng vừa có tính đàn hồi vừa có tính

cản các dao động hay nói cách khác nó tơng đơng với một lò xo và một giảm chấn thuỷ lực.
Trên phơng ngang mỗi giá chuyển hớng cũng có một giảm chấn thuỷ lực để tạo nên lực cản
ngang.
Hệ thống lò xo bầu dầu: do ta tự tính toán và chế tạo, mỗi bầu dầu có hai lò xo tròn bằng
thép lồng ra ngoài những giảm chấn thuỷ lực một chiều có hệ số cản nhỏ (chỉ làm việc khi chịu
nén). Độ cứng của các lò xo này đợc lựa chọn sau khi giải một loạt các bài toán động lực học
với hàm mục tiêu là chỉ tiêu êm dịu là tốt nhất.

II. Tính toán dao động của toa xe
Việc tính toán dao động của toa xe bao gồm 2 bàì toán: tính dao động trên phơng thẳng
đứng và trên phơng nằm ngang.Trong mỗi bàì toán chúng ta đều phải thành lập mô hình,viết
phơng trình dao động, lập trình để giải các phơng trình đó trên máy tính, và cuối cùng phân
tích các kết quả để đa ra kết luận.
1. Mô hình v phơng trình dao động trên phơng thẳng đứng
Mô hình toa xe trên mặt phẳng thẳng đứng bao gồm 3 vật thể là thân xe có khối lợng m
1

và 2 khung giá chuyển hớng mỗi cái có khối lợng m
2
nối với nhau thông qua hệ lò xo trung
ơng (thứ cấp) gồm 2 lò xo độ cứng C
1
và 2 giảm chấn có hệ số cản K
1
hệ lò xo bầu dầu (sơ
cấp) không có giảm chấn, mỗi giá chuyển hớng có độ cứng C
2.
.Lực kích thích khi chạy trên
đờng là các lực biến đổi điều hoà sinh ra do mặt đờng biến dạng hình sóng tạo nên.





Hình 1. Mô hình dao động của
toa xe trên mặt phẳng thẳng đứng.
K
1
C
1
2
2
C

K
1
C
1
2
2
C
m
2
m
3
l
T
Z
O

x

2l
m
1






Mô hình này có 6 bậc tự do: đó là các chuyển vị nhấp nhô (theo trục Z) và gật đầu (lắc
quanh trục Y) của thân xe và 2 khung giá chuyển hớng.
Hệ phơng trình dao động bao gồm 6 phơng trình. Để thuận lợi cho việc giải bằng máy
tính ta viết hệ này dới dạng ma trận nh sau:

FZCZKZM =++
&&&
(1)
trong đó:
C,K,M
- các ma trận khối lợng, ma trận hệ số cản và ma trận độ cứng;
Z,Z,Z
&&&
- các véc tơ chuyển vị, véc tơ vận tốc và gia tốc dao động;
F là véc tơ lực kích thích điều hoà do mặt đờng lồi lõm gây nên có tần số phụ thuộc
V và chiều dài L của mỗi thanh ray:
L
V
2=
(2)


2. Mô hình v phơng trình dao động trên phơng ngang





Hình 2. Mô hình
dao động của toa xe
trong mặt phẳng ngang.

l
T
2l
C
2X
C
2Y
C
1X
C
1Y
2
S

2b

2b
2
X
Y


Mô hình toa xe trên mặt phẳng ngang bao gồm 7 vật thể là thân xe có khối lợng m
1
, hai
khung giá chuyển hớng có khối lợng m
2
và bốn trục bánh xe có khối lợng m
3
. Mỗi vật thể có
hai độ tự do là di chuyển ngang theo trục Y (gọi là sàng ngang) và lắc quanh trục Z (gọi là lắc
đầu) vì thế hệ sẽ có 14 bậc tự do. Nh vậy tổng số phơng trình dao động sẽ là 14.Tơng tự
nh đối với dao động thẳng đứng đây là một hệ phơng trình vi phân cấp 2 không thuần nhất có
thể sắp xếp để viết lại dới dạng ma trận (1), chỉ khác là hệ phơng trình này có 14 phơng trình
nên các ma trận: M, K, C là các ma trận cỡ 14ì14, còn véc tơ lực kích thích F thì có 14 phần tử
đó là những lực và moment kích thích do chuyển động rắn bò của trục bánh gây nên vì thế tần
số kích thích phụ thuộc bớc sóng của chuyển động rắn bò.
Điều đặc biệt ở đây là để viết phơng trình dao động của các trục bánh xe trong mô hình
này ở nớc ta lần đầu tiên chúng ta đã sử dụng lý thuyết tuyến tính của Kalker (Hà lan) [2] là
một lý thuyết rất mới để xác định các lực tác dụng giữa mặt lăn bánh xe và mặt đờng ray. Theo
lý thuyết này trong quá trình chuyển động bánh xe vừa lăn vừa trợt vừa biến dạng đàn hồi trên
mặt đờng ray, tại chỗ tiếp xúc xuất hiện ba thành phần lực và moment tỉ lệ với sự trợt tơng
đối theo các phơng dọc phơng ngang và quay quanh trục Z:





























=











3
2
1
3323
2322
11
Z
Y
X
ff0
ff0
00f
M
T
T
Trong các mô hình dao động nói trên có một số liên kết phi tuyến vì thế các mô hình này
cũng nh các hệ phơng trình dao động viết ra đều là phi tuyến. Khi giải các bài toán chúng ta
phải ớc lợng kết quả sau đó tuyến tính hoá từng phần để cách giải đợc đơn giản. Nếu kết
quả thu đợc sai khác nhiều so với giả thiết thì phải tính toán lại.
3. Giải các bì toán dao động v kết quả
Các bàì toán dao động trên phơng thẳng đứng và nằm ngang có dạng phơng trình ma
trận giống nhau nên phơng pháp giải cũng giống nhau.
Nghiệm của (1) bao gồm 2 phần biểu diễn dao động tự do và dao động cỡng bức:
Z = Z
1
+ Z
2



a. Nghiệm biểu diễn dao động tự do Z
1
Là nghiệm của hệ phơng trình vi phân cấp 2 thuần nhất:

OZCZKZM =++
&&&

hay:
ZCMZKMZ
11
=
&&&
(3)
Đặt
ZU
1
&
=
và ZU
2
= thì
ZU
1
&&&
=
.
Phơng trình (3) sẽ tơng đơng với hệ 2 phơng trình vi phân cấp 1:






+=
=

212
2
1
1
1
1
UOUEU
UCMUKMU
&
&

Hay viết dới dạng ma trận:
UAU =
&
(4)
Với:






=







=
Z
Z
U
U
U
2
1
&
và









=

OE
CMKM
A
11
(5)

Tìm nghiệm của hệ (4) dới dạng:
t
o
eUU

= (6)
Khi đó thay
UU =
&
vào (4) ta đợc:
UAU =

Hay
(
)
OUEA
=

(7)
Rõ ràng là bi toán tìm nghiệm biểu diễn dao động tự do của hệ (3) đã dẫn đến bi toán
tìm giá trị riêng
của ma trận
A
xác định theo (5). Để có các giá trị riêng cần giải phơng trình
đặc trng:
det
(
)
OEA
=



(8)
Thay mỗi giá trị riêng
i
tìm đợc vào hệ (7), giải ra ta đợc một véc tơ
i
U gọi là véc tơ
riêng ứng với giá trị riêng
i
.
Nghiệm của hệ (4) - cũng là nghiệm của hệ (3) - theo (6) sẽ là:


=

=
n2
1i
i
ti
i
CeUU (9a)
Trong đó C
i
là những hằng số xác định từ 2n điều kiện ban đầu.

Để xác định các tri số C
i
ta viết lại nghiệm (9a) dới dạng tích các ma trận và véc tơ:


(
)
CediagUU
ti
O

=
(9b)
trong đó:
C - véc tơ cột có các phần tử là C
i
:

O
U
- ma trận dạng riêng có các cột là các véc tơ riêng:

]U, ,U,U[U
n221
O
=

(
)
ti
ediag

- một ma trận đờng chéo có các phần tử trên đờng chéo chính bằng
tơng ứng với các véc tơ riêng U

ti
e

i.
.
Tại thời điểm t = 0 thì ma trận đờng chéo diag( ) biến thành ma trận đơn vị, vì thế véc
tơ
ti
e

X
0
chứa 2n điều kiện ở thời điểm đầu của bàì toán:

CUCEUUX
OO
)0t(0
=
=
=
=
(10)
Từ đó:
0
1
O
)0t(
1
O
XUUUC


=

==
(11)
Thay(11) vào (9b) ta tính đợc nghịêm:

(
)
0
1
O
ti
O
XUediagUU


= (12)
Cũng từ (5) ta thấy nghiệm
1
Z của phơng trình dao động tự do là nửa dới của véc tơ U ,
hay nói cách khác nó bao gồm các phần tử từ (n +1) đến 2n của véc tơ
U.
b. Xét ổn định của hệ các dao động tự do
Theo (9a) các dao động tự do của mỗi vật thể trong toa xe là tổng các dao động họ hình
sin có tần số và biên độ khác nhau:

(
)


+

==
tiji
o
ti
o
eZeZZ
(13)
mà phần thực
i
của của nghiệm phơng trình đặc trng sẽ quyết định sự ổn định của nó.
Nếu tất cả các trị số
i
0, các dao động của hệ sẽ là điều hoà hoặc tắt dần, hệ dao động sẽ là
ổn định.
Chỉ cần có một trị số
i
> 0, biên độ của dao động đó sẽ tăng theo thời gian làm cho
dao động của hệ trở nên không ổn định.
Để xét sự ổn định của một hệ dao động chúng ta sử dụng bài toán giá trị riêng. Sau khi đã
thành lập đợc ma trận
A
biểu diễn bằng công thức (5) và tìm đợc các giá trị riêng của nó, sau
đó xét dấu phần thực của các giá trị riêng này. Ta lu ý rằng trong ma trận hệ số cản K của
phơng trình (1) có một số phần tử phụ thuộc tốc độ làm cho sự ổn định của hệ dao động tự do
cũng phụ thuộc tốc độ.
Điều đó có nghĩa là có một tốc độ V
K
nào đó gọi là tốc độ tới hạn. Khi toa xe chạy với tốc

độ thấp hơn tốc độ đó thì các dao động tự do đều ổn định, khi tốc độ vận dụng lớn hơn tốc độ tới

hạn thì dao động của một vật thể nào đó (thờng là dao động ngang của trục bánh xe) sẽ có
biên độ tăng dần theo thời gian và làm cho dao động của cả hệ trở thành mất ổn định. Tốc độ
vận dụng lớn nhất của toa xe phải nhỏ hơn tốc độ tới hạn.
Sự mất ổn định của dao động tự do làm tăng biên độ dao động, có thể dẫn đến h hỏng
các thiết bị máy móc cũng nh các hậu quả nghiêm trọng khác nh tăng biên độ dao động của
trục bánh xe, của thân xe và giá chuyển hớng, gây trật bánh, đổ tầu vì thế cần lu ý kiểm tra
và không để nó xảy ra đặc biệt là đối với các đầu máy, toa xe tốc độ cao.

c. Nghiệm biểu diễn dao động cỡng bức Z
2
Dao động cỡng bức là do sự kích thích khi bánh xe lăn trên vùng đờng lồi lõm hoặc khi
chuyển động rắn bò gây nên, nó biểu diễn bằng nghiệm của hệ phơng trình vi phân cấp 2
không thuần nhất:

tj
O
eFFZCZKZM

==++
&&&
(14)
Trong đó tần số vòng của lực kích thích tính theo (2) phụ thuộc tốc độ.
Nếu ta tìm nghiệm của hệ (14) dới dạng:
tj
O
eZZ

= (15)

thì sau khi thay các đạo hàm của nó vào (14) và đơn giản 2 vế cho ta tính đợc véc tơ
biên độ phức của dao động cỡng bức:
tj
e

()
O
1
2
O
FKjMCZ

+=


o
j
Z)e(diag

= (16)
để từ đó có thể xác định đợc biên độ và góc lệch pha của các dao động thành phần.
Chúng tôi lập trình và giải bài toán dao động bằng ngôn ngữ MATLAB là một ngôn ngữ
mạnh trong lĩnh vực tính toán các ma trận và véc tơ.
Đối với dao động tự do
Sau khi thành lập đợc ma trận A theo công thức (5), tiến hành tính các giá trị riêng của nó
để xác định sự ổn định của hệ dao động. Bớc sau đó cho một điều kiện đầu là một véc tơ bao
gồm chuyển vị và vận tốc của các phần tử tại thời điểm đầu để tính và vẽ đồ thị dao động tự do
của một số phần tử cần xem xét nh khung giá chuyển hớng, thân xe, trục bánh
Chúng ta cũng cần xác định tần số dao động tự do của các bộ phận toa xe, để từ đó xác
định các tốc độ có thể xảy ra cộng hởng.

Kết quả khảo sát các dao động tự do cho thấy:
Tất cả các dạng dao động tự do thẳng đứng và nằm ngang đều là tắt dần.
Tốc độ xảy ra cộng hởng đối với dao động thẳng đứng khoảng 60 km/h vì thế không
nên vận dụng thờng xuyên ở khoảng tốc độ này. Tốc độ cộng hởng đối với dao động ngang
đều nằm ngoài giải tốc độ vận dụng.

Tốc độ mất ổn định của dao động rất cao: khoảng 270 km/h.
Điều đó chứng tỏ dao động của toa xe trong khoảng vận dụng là rất ổn định.
Đối với dao động cỡng bức:
Chúng ta tính biên độ và tần số dao động tại trung tâm thân xe Z
2
và
2
, từ đó tính đợc
dao động tại các chốt chuyển hớng:
22C
lZZ


=
(17)
Hình 3 là kết quả khảo sát các dao động ngang tự do và cỡng bức của toa xe ở 120 km/h.










Hình 3. Dao động ngang của Toa xe khi V = 120 km/h.

Sau khi xác định đợc biên độ và tần số dao động cỡng bức chúng ta tính Chỉ tiêu êm dịu
theo chỉ số Sperling [1]:

()
10
53
ffZ.7,2W = (18)
Đây cũng chính là hàm mục tiêu để đánh giá chất lợng động lực của giá chuyển hớng
cũng nh cả toa xe.
Kết quả khảo sát dao động cỡng bức cho thấy:
Tất cả các dạng dao động cỡng bức thẳng đứng và nằm ngang đều là điều hoà với biên
độ nhỏ.
Chỉ tiêu êm dịu trên tất cả giải tốc độ từ 0 đến 120 km/h đối với dao động ngang và dao
động thẳng đứng đều không vợt quá 2,5 (Xem bảng thống kê) điều đó chứng tỏ chất lợng
động lực của toa xe là thuộc loại rất tốt.
Bảng thống kê Chỉ tiêu êm dịu của toa xe theo tốc độ
Tốc độ V [km/h] 20 40 60 80 100 120
W
ng
ở giữa xe 0,31 0,8299 1,3089 1,7382 2,1435 2,3185


Tốc độ V [km/h] 20 40 60 80 100 120
W
ng
ở chốt trớc 0,2967 0,7781 1,3029 1,8666 2,4603 2,5016
W

ng
ở chốt sau 0,2984 0,7723 1,2881 1,8488 2,4417 2,4983
W
đ
ở giữa xe 1,3890 2,2540 2,4723 2,4128 2.4027 2,4177
W
đ
ở chốt trớc 1,4198 2,2323 2,4606 2,4241 2.4041 2,4431
W
đ
ở chốt sau 1,4250 2,3027 2,5520 2,4692 2.4192 2,4632

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
SO SANH CHI TIEU EM DIU
Toc do V [km/h]
Chi tieu em diu W
K
A
R
D

Hình 4. So sánh chỉ tiêu êm dịu của các loại giá chuyển hớng.


So sánh chỉ tiêu êm dịu của giá chuyển hớng mới (D) với các giá chuyển hớng toa xe
khách hiện đang vận dụng ở Việt nam nh giá chuyển hớng
ấn độ (A), giá chuyển hớng Nhật
Kawasaki (K), giá chuyển hớng Rumani (R) (Hình 4), ta thấy trên tất cả giải tốc độ vận dụng từ
0 đến 120 km/h chỉ tiêu êm dịu của giá chuyển hớng mới rất ổn định ở W = 2,5 nhng ở các giá
chuyển hớng khác sau tốc độ 60 km/h chỉ tiêu êm dịu đã tăng lên thậm chí lớn hơn 3 sau đó
mới giảm xuống nhng lúc này đã ở ngoài vùng tốc độ vận dụng.

Tài liệu tham khảo
[1]. Versinsky. Dinamika vagona. Matxcơva, 1978.
[2]. Bránszky. Vasuti jármuszerkezetek. Budapest, 1979.
[3]. Nguyễn Hữu Dũng. Động lực học Đầu máy Diésel. Hà nội, 2001Ă