Các phương pháp khử dạng vô định
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (165.68 KB, 6 trang )
CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
(Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1-Tô Văn Ban)
• Phương Pháp 1 : Khử nhân tử chung (dạng
0
0
)
Ví dụ 1.
4
0
(1 ) 1
lim
t
t
t
→
+ −
Ta có:
2
4
2
0 0 0
( 2) (1 ) 1
(1 ) 1
lim lim lim( 2) (1 ) 1 4.
t t t
t t t
t
t t
t t
→ → →
+ + +
+ −
= = + + + =
Bài tập tương tự:
Bài 14: k.
• Phương Pháp 2: Nhân lương liên hiệp
Ví d ụ 2.
2
3
0
( 1 cos )arcsin
lim
x
x x x
x
→
− −
Ta có:
2 2
3 2
( 1 cos )arcsin 1 cos arcsin
.
x x x x x x
x
x x
− − − −
=
•
0
arcsin
lim 1
x
x
x
→
=
•
(
)
(
)
2 2 2 2 2
2
0 0 0
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
lim lim lim
1 cos 1 cos
x x x
x x x x x x
x
x x x x x x
→ → →
− − − − −
= =
− + − +
(
)
(
)
2 2
2
0 0
2 2 2
sin 1 1 1
lim lim 1. 0.
2 2
1 cos 1 cos
x x
x x
x
x x x x x
→ →
= − = − =
− + − +
Vậy
2
3
0
( 1 cos )arcsin
lim 0.
x
x x x
x
→
− −
=
Bài tập tương tự:
Bài 12: 10,14.
Bài 14: h.
• Phương Pháp 3: Thay thế tương đương bằng các đại lượng VCB
(Sinh viên cần xem lại các công thức thay tương đương trang 65)
Thái Trần Phương Thảo 1
Ví d ụ 3.
2
0
lim
lncos
x
x
x
→
2 2
0 0
lim lim .
lncos ln(cos 1 1)
x x
x x
x x
→ →
=
− +
Ta có:
2
ln(1 cos 1) cos 1 .
2
x
x x+ − − −: :
Suy ra,
2 2
2
2.
ln(cos 1 1)
2
x x
x
x
→ −
− +
−
:
Bài tập tương tự:
Bài 12: 8, 21.
Bài 13: e, h.
• Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn
Chú ý: Sinh viên cần đọc thêm:
Các công thức khai triển Maclaurin trang 116-118.
Chặn cụt một khai triển hữu hạn trang 124-125.
Ví d ụ 4.
3
0
sin (1 )
lim
x
x
e x x x
x
→
− +
Ta có:
2 3
2 3
3 3
1 ( ) ( ) (1 )
2 6
sin (1 )
x
x x
x o x x o x x x
e x x x
x x
+ + + − + − +
÷ ÷
− +
=
3 4 3 5 5
3 2 4 5 3 5 2
3
3 3
3
3
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6 6 2 12 2 6
( )
1 1 1
2 6
.
2 6 3
x x x x x
x o x x o x o x o x o o x x x
x
x x
o x
x
− + + − + + − + + − + − −
÷
=
− +
= → − =
Câu hỏi đặt ra: Tại sao ở cách giải trên ta chặn cụt khai triển
x
e
ở bậc 2?
Gợi ý:Ta xét cách giải bài toán trên như sau:
3
3
2 2
3 3 3
(1 ( )) ( ) (1 )
6
sin (1 ) ( )
x
x
x o x x o x x x
e x x x x x o x
x x x
+ + − + − +
÷
− + + +
= =
.
Sinh viên hãy tìm ra chổ chưa ổn ở cách giải trên?
Ví dụ 5. Sinh viên hãy tìm lỗi sai trong cách giải sau và đề xuất cách giải đúng.
Thái Trần Phương Thảo 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2
0 0 0
sin cos cos sin
lim lim lim 1
sin
x x x
x x x x x x x
x x x x
→ → →
− −
= = =
.
Bài tập tương tự:
Bài 12: 15, 17, 18, 27, 30.
Bài 13: a.
• Phương Pháp 5: Khử dạng
1
∞
Xét giới hạn
( )
lim ( )
g x
x a
f x
→
, khi
x a
→
thì
( ) 1f x
→
và
( ) .g x
→ ∞
Đặt
( ) 1u f x
= −
suy ra
0.u
→
Ta có
1 1
( ) ( )
. ( ) ( ( ) 1). ( )
( ) (1 ) (1 ) (1 ) .
g x g x
u u
u g x f x g x
f x u u u
−
= + = + = +
Mặt khác
1
0
(1 )
u
u
u e
→
+ →
nên
( )
lim[ ( ) 1] ( )
lim ( )
g x
x a
x a
f x g x
f x e
→
→
−
=
.
Ví d ụ 6.
0
2
1
sin
lim
x
x
x
x
→
÷
Ta có:
. .
0 0
3 3
3 3
3 3 3
3
0
2 2
sin
lim
1 sin 1
sin
sin sin
lim 1 1 lim 1
( ) ( )
sin 1
6 6
.
6
x x
x
x x
x
x x x
x
x x
x x
x x x
e
x x
x x
x x o x o x
x x
x x x
→ →
→
−
−
−
−
+ − = + =
÷ ÷
− − + − +
−
= = → −
Vậy
1
6
0
2
1
sin
lim .
x
x
x
e
x
−
→
=
÷
Bài tập tương tự:
Bài 12: 8, 20, 23, 24.
Bài 13: b.
Bài 14: e.
• Phương Pháp 6: Đặt ẩn phụ
Chú ý: Ở dạng bài tập này sinh viên cần phải biết khi
x
→∞
thì theo thứ tự các hàm tiến ra vô cùng
như sau:
ln ña thöùc muõ giai thöøa
x →+∞
→
Ví dụ 7.
0
lim( sin )ln
x
x x x
→
−
Thái Trần Phương Thảo 3
Xét
0
lim ln .
x
x x
→
Đặt
ln
t
t x x e= ⇔ =
,
0x →
thì
t → −∞
.
0
lim ln lim . lim 0.
t
t
x t t
t
x x e t
e
−
→ →−∞ →−∞
= = =
Ta có:
sin sin ln ln 0.x x x x x x
⇒ →
: :
Vậy
0
lim( sin )ln
x
x x x
→
−
=0.
Ví dụ 8.
lim ( 2arctan )ln
x
x x
π
→+∞
−
Đặt
2arctan tan
2
t
t x x
π
π
−
= − ⇔ =
÷
khi
x → +∞
thì
0.t →
0 0
0 0
1
lim ( 2arctan )ln lim .ln tan lim .ln
2
tan
2
2
lim .ln lim .(ln2 ln ) 0.ln2 0 0.
x t t
t t
t
x x t t
t
t t t
t
π
π
→+∞ → →
→ →
÷
−
− = =
÷
÷
÷
÷
÷
= = − = − =
÷
Bài tập tương tự:
Bài 12: 6.
Bài 13: i.
Bài 14: d, i.
• Phương Pháp 7: Tách
Ví dụ 9.
0
lim
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
1
sin
( 1)
sin
x
x
e x
x x
e x
x x
−
+
− +
:
:
Vậy
0
lim 1 ( 1) 2
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
= − − =
.
Bài tập tương tự:
Bài 14: f.
• Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định
0 0
,0
∞
Ví dụ 10.
( )
0
1
ln
lim cot
x
x
x
→
Thái Trần Phương Thảo 4
Đặt
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 1
ln ln
ln cot ln cos ln sin
lim cot ln limln cot lim lim .
ln ln ln
x x x x
x x
x x x
A x A x
x x x
→ → → →
÷
= ⇒ = = = −
÷
Ta có:
( )
ln sin
ln
sin 1.
ln ln
x
x
x x
x x
⇒ →: :
( ) ( )
( )
0 0
2
ln cos ln 1 cos 1
lim lim
ln ln
ln 1 cos 1 cos 1
2
x x
x x
x x
x
x x
→ →
+ −
=
+ − − −
: :
( )
2
2
ln 1 cos 1
2
.
ln ln 2ln
x
x
x
x x x
−
+ −
= −
:
Đặt
ln , 0, tt x x
= → → −∞
,
2
2
1
lim lim 0.
2
2
t
t
t t
e
t
te
−
→−∞ →−∞
− −
= =
Vậy
( )
0
1
ln
lim cot 1.
x
x
x
→
= −
Bài tập tương tự:
Bài 13: d, f, g.
• Phương Pháp 9: Sử dụng định lý kẹp
Chú ý:
lim 0 lim 0
n n
n n
x x
→∞ →∞
= ⇔ =
.
Ví dụ 11.
2
3sin2 2cos3
lim
2 2 1
x
x x
x x
→∞
+
+ +
Ta có:
2 2 2
3sin2 2cos3
3 2 5
0 .
2 2 1 2 2 1 2 2 1
x x
x x x x x x
+
+
≤ ≤ =
+ + + + + +
2 2 2
3sin2 2cos3
5 3sin2 2cos3
lim 0 lim 0 lim 0.
2 2 1 2 2 1 2 2 1
x x x
x x
x x
x x x x x x
→∞ →∞ →∞
+
+
= ⇒ = ⇒ =
+ + + + + +
Bài tập tương tự:
Bài 14: a, b.
• Phương Pháp 10: Phương pháp số hạng vắng
Giả sử
( )
( )
( )
f x
F x
g x
=
có dạng
0
0
.
• Bước 1: Phân tích
1 2
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
f x c f x c
f x
g x g x
+ −
= +
• Bước 2: Tìm c. Gọi
( 1,2, )
i
i
α
=
là nghiệm của
( ) 0.g x
=
Khi đó, c là nghiệm của hệ
1
2
( ) 0
, 1,2,
( ) 0
i
i
f c
i
f c
α
α
+ =
=
− =
Thái Trần Phương Thảo 5
Với c tìm được ta sẽ tính được
1 2
( ) ( )
lim , lim .
( ) ( )
i i
x x
f x c f x c
g x g x
α α
→ →
+ −
Ví dụ 12.
3
3 2
1
7 3
lim
1
x
x x
x
→
+ − +
−
3 3
3 2 3 2
1 1
7 3 7 2 ( 3 2)
lim lim
1 1
x x
x x x x
x x
→ →
+ − + + − − + −
=
− −
•
(
)
(
)
3
3 3 2
1 1 1
3 3
3 2 3 3 2 3
3 3
7 2 1 1 1
lim lim lim
1 4
( 1) (7 ) 2 7 4 (7 ) 2 7 4
x x x
x x x x
x
x x x x x
→ → →
+ − − + +
= = =
−
− + + + + + + + +
•
(
)
(
)
2 2
1 1 1
2 2
3 2 1 1 1
lim lim lim .
1 2
( 1) 3 2 3 2
x x x
x x x
x
x x x
→ → →
+ − − +
= = =
−
− + + + +
Vậy
3
3 2
1
7 3 1 1 1
lim .
1 4 2 4
x
x x
x
→
+ − +
= − = −
−
Bài tập tương tự:
Bài 12: 19.
Thái Trần Phương Thảo 6
