Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147
a
0
+ b
0
ln =




2
0
d)(g
2
1
a
0
+ b
0
lnR =




2
0
d)(h
2
1

a
k

k
+ b
k

-k
=




2
0
dkcos)(g
1
a
k
R
k
+ b
k
R
-k
=





2
0
dkcos)(h
1

c
k

k
+ d
k

-k
=




2
0
dksin)(g
1
c
k
R
k
+ d
k
R
-k

=




2
0
dksin)(h
1
(8.6.12)

Định lý Cho các hàm g, h C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi
hàm (8.6.11) với các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là
nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b.




Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật


Bài toán DE2a
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g
a
C([0, l], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 với (x, y) D
0
(8.7.1)
và điều kiện biên
u(x, 0) = g
a
(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2)

Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến
u(x, y) = X(x)Y(y)
Thay vào phơng trình (8.7.1) đa về hệ phơng trình vi phân

X(x) + X(x) = 0
Y(y) - Y(y) = 0
X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3)
Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập
X
k
(x) = A
k
sin
x
l
k

, Y
k
(y) = B
k
sh )yd(
l
k


,
k
=
2
l
k








với k
*
Suy ra có họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE2a
u
k
(x, y) = a
k
sh )yd(
l
k


sin x
l
k

với a
k
= A
k
B
k
3, k
*



Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, y) =

+
=1k
k
)y,x(u
=

+
=



1k
k
x
l
k
sin)yd(
l
k
sha
(8.7.4)
Thế vào điều kiện biên (8.7.2)
u(x, 0) =


+
=

1k
k
x
l
k
sin
l
dk
sha
= g
a
(x)
Nếu hàm g
a
có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=



l
0
a
xdx
l
k

sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.5)

Định lý
Cho hàm g
a


C
1
([0, l],
3
) thoả mn g
a
(0) = g
a
(l) = 0. Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ
số a
k
tính theo công thức (8.7.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a.


Lập luận tơng tự nh trên, chúng ta giải các bài toán sau đây.

Bài toán DE2b


Cho miền D = [0, l]
ì
[0, d] và hàm g
b


C([0, d],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(l, y) = g
b
(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0

Định lý
Cho hàm g
b



C
1
([0, d],
3
) thoả mn g
b
(0) = g
b
(d) = 0. Bài toán DE2b có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sinx
d
k
shb
với b
k
=




d
0
b
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.6)
Bài toán DE2c
Cho miền D = [0, l]
ì
[0, d] và hàm g
c


C([0, l],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace



u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(x, d) = g
c
(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0

Định lý
Cho hàm g
c


C
1
([0, l],
3
) thoả mn g
c
(0) = g
c
(l) = 0. Bài toán DE2c có nghiệm
duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=


1k
k
x
l
k
siny
l
k
shc
với c
k
=



l
0
c
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.7)
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149


Bài toán DE2d
Cho D = [0, l] ì [0, d] và hàm g
d
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và điều kiện biên
u(0, y) = g
d
(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0

Định lý Cho hàm g
d
C
1
([0, d], 3) thoả mn g
d
(0) = g
d
(d) = 0. Bài toán DE2d có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=




1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=



d
0
d
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.8)

Bài toán DE2

Cho miền D = [0, l] ì [0, d], các hàm g
1
, g
3
C([0, l], 3) và g
2
, g
4
C([0, d], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và điều kiện biên
u(x, 0) = g
1
(x), u(l, y) = g
2
(y), u(x, d) = g
3
(x), u(0, y) = g
4
(y)

Tìm nghiệm của bài toán DE2 dới dạng
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
â
(x, y) + u

b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y)
Trong đó u

(x, y) là nghiệm của bài toán DE2.
Hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật.
Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D
u(0, 0) = g
4
(0) = g
1
(0) = A
u(l, 0) = g
1
(l) = g
2
(0) = A + Bl
u(l, d) = g
2
(d) = g

3
(l) = A + Bl + Cd + Dld
u(0, d) = g
3
(0) = g
4
(d) = A + Cd
Giải hệ phơng trình trên suy ra
A = g
4
(0) = g
1
(0), B =
l
)0(g)l(g
11

, C =
d
)0(g)d(g
44


D =
ld
)0(g)l(g)0(g)l(g
1133
+
=
ld

)0(g)d(g)0(g)d(g
4422
+
(8.7.10)

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 150 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Thế vào điều kiện biên suy ra
g
a
(x) = u
a
(x, 0) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g
1
(0))
g
c
(x) = u
c
(x, d) = g
3

(x) - g
3
(0) -
l
x
(g
3
(l) - g
3
(0))
g
b
(y) = u
b
(l, y) = g
2
(y) - g
2
(0) -
d
y
(g
2
(d) - g
2
(0))
g
d
(y) = u
d

(0, y) = g
4
(y) - g
4
(0) -
d
y
(g
4
(d) - g
4
(0)) (8.7.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4) - (8.7.8) nhận đợc công thức
u(x, y) = u
0
(x, y) +

+
=








+


1k
kk
x
l
k
siny
l
k
shc)yd(
l
k
sha

+

+
=









+

1k
kk

y
d
k
sin)xl(
d
k
shdx
d
k
shb
(8.7.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g
3
C
1
([0, l], 3) và g
2
, g
4
C
1
([0, d], 3) thoả mn
g
4
(0) = g
1

(0), g
1
(l) = g
2
(0), g
2
(d) = g
3
(l), g
3
(0) = g
4
(d)
Chuỗi hàm (8.7.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.7.9) - (8.7.10) và
các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định theo các công thức (8.7.5) - (8.7.8) trong đó các hàm
g
a
, g
b
, g

c
và g
d
xác định theo công thức (8.7.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài
toán DE2.




Đ8. Bài toán Neumann

Bài toán NE1
Cho miền D = [0, R] ì [0, 2] và hàm h C([0, 2], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
u
r
1
r
u
r
rr
1


+











= 0 với (r, ) D
0
(8.8.1)
và điều kiện biên
r
u


(R,

) = h(

) (8.8.2)


Tìm nghiệm của bài toán NE1 dạng tách biến
u(r,

) = V(r)

(


)
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 151
Thay vào phơng trình (8.8.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, 3 (8.8.3)

Bài toán (8.8.3) có họ nghiệm riêng độc lập
u
0
= a
0
, u
k
(r, ) = r
k
(a
k
cosk + b
k
sink) với a
k
= C
k
A
k
, b

k
= C
k
B
k
, k
*


Tìm nghiệm tổng quát của bài toán NE1 dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.8.4)
Thế vào điều kiện biên (8.8.2)
r
u


(R, ) =

+

=

+
1k
kk
1k
)ksinbkcosa(kR
= h()
Nếu hàm h có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
a
0
= u(0, )
a
k
=





2
0
1k
dkcos)(h
Rk
1
, b
k
=






2
0
1k
dksin)(h
Rk
1
(8.8.5)

Định lý Cho h C
1
([0, 2], 3) thoả mn h(0) = h(2). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1.


Lập luận tơng tự nh các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây

Bài toán NE2b
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
b
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =

2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0,
x
u


(l, y) = h
b
(y)

Định lý Cho hàm h
b
C
1

([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sinx
d
k
shb
với b
k
=




d
0
b
ydy
d
k
sin)y(h

d
lk
chk
2
(8.8.6)

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 152 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Bài toán NE2d
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h
d
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0,
x
u


(0, y) = h
d
(y)

Định lý
Cho hàm h
d

C
1
([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác
định theo công thức
u(x, y) =

+
=



1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=





d

0
d
ydy
d
k
sin)y(h
d
lk
chk
2
(8.8.7)

Bài toán NE2
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g
1
, g
3
C([0, l], 3) và h
2
, h
4
C([0, d], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và các điều kiện biên
u(x, 0) = g
1
(x), u(x, d) = g

3
(x) và
x
u


(l, y) = h
2
(y),
x
u


(0, y) = h
4
(y)

Tìm nghiệm của bài toán NE2 dới dạng
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
a
(x, y) + u
b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y) (8.8.8)
Trong đó các hàm u

a
(x, y) và u
c
(x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm
u
b
(x, y) và u
d
(x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật

Lập luận tơng tự nh bài toán DE2 suy ra
A = g
1
(0) B =
l
)0(g)l(g
11


C =
d
)0(g)0(g
13


D =
ld
)0(g)0(g)l(g)l(g
1313
+
(8.8.10)
Thế vào điều kiện biên suy ra
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 153
g
a
(x) = g
1
(x) - g
1
(0) -
l
x
(g
1
(l) - g
1
(0))
g
c
(x) = g
3
(x) - g
3
(0) -

l
x
(g
3
(l) - g
3
(0))
h
b
(y) = h
2
(y) - (B + Dy)
= h
2
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+

h
d
(y) = h

4
(y) - (B + Dy)
= h
4
(y) -
l
)0(g)l(g
11

-
l
)0(g)0(g)l(g)l(g
d
y
1313
+
(8.8.11)

Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức
u(x, y) = u
0
(x, y) +

+
=









+

1k
kk
x
l
k
siny
l
k
shc)yd(
l
k
sha

+

+
=










+

1k
kk
y
d
k
sin)xl(
d
k
shdx
d
k
shb
(8.8.12)

Định lý
Cho các hàm g
1
, g
3
C
1
([0, l], 3) và g
2
, g
4
C
1

([0, d], 3) thoả mn
a
g

(0) = h
d
(0),
a
g

(l) = h
b
(0) và
c
g

(0) = h
d
(d),
c
g

(l) = h
b
(d)
Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u
0
(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và
các hệ số a
k

và c
k
xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b
k
và d
k

xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g
a
, g
c
, h
b
và h
d
xác định theo
công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2.




Bài tập chơng 8

Giải các bài toán Cauchy
1.
t
u


= a

2
2
2
x
u


u

t=0
=
2
x
xe


2.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ 3xt

2
u

t=0
= sinx
3.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
-t
u

t=0
= cosx
4.
t
u


= a

2
2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= sinx

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 154 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Giải các bài toán giả Cauchy
5.
t
u


= a
2
2
2
x
u



+ xsint u

t=0
= sinx, u(0, t) = 0
6.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tsinx u

t=0
= xcosx, u(0, t) = e
t

7.
t
u


= a
2

2
2
x
u


+ te
-x
u

t=0
= cosx ,
x
u


(0, t) = sint
8.
t
u


= a
2
2
2
x
u



+ xe
-t
u

t=0
= sinx ,
x
u


(0, t) = cost

Giải các bài toán hỗn hợp sau đây
9.
t
u


= a
2
2
2
x
u


u

t=0
= x(l - x), u(0, t) = u(l, t) = 0

10.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ tsinx u

t=0
= sinx, u(0, t) = u(l, t) = 0
11.
t
u


= a
2
2
2
x
u



+ tcosx u

t=0
= cosx , u(0, t) = 0, u(l, t) = t
12.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ 3xt
2
u

t=0
= 0, u(0, t) = 0, u(l, t) = Asint
13.
t
u


= a
2

2
2
x
u


+ (1 - x)e
t
u

t=0
= 1, u(0, t) = e
t
, u(l, t) = 0
14.
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ xe
t
u


t=0
= 2x, u(0, t) = 0, u(l, t) = e
t


Giải bài toán Dirichlet trong hình tròn
15. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u

r=2
= x
2
- xy + 2
16. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và u(2, ) = A + Bsin
17. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = sin
3

18. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và u(1, ) = cos
4

19. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, 2] và u(R, ) = 0

Giải bài toán Dirichlet trong hình vành khăn

20. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = A, u(2, ) = B
21. u = 0 với (r, ) [1, 2] ì [0, 2] và u(1, ) = 1 + cos
2
, u(2, ) = sin
2


22. u = 0 với (r, ) [0, R] ì [0, ] và u(r, 0) = u(r, ) = 0, u(R, ) = A


Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 155
Giải bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật

23. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b]
u(0, y) = Ay(b - y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = Bsin
a
x

, u(x, b) = 0
24. u = 0 với (x, y) [0, ] ì [-1, 1]
u(0, y) = u(, y) = 0, u(x, -1) = u(x, 1) = sin2x
25. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, +)
u(0, y) = u(a, y) = 0, u(x, 0) = A(1 -
a
x
), u(x, +) = 0

Giải bài toán Neuman trong hình tròn
26. u = 0 với (r, ) [0, 2] ì [0, 2] và
r
u


(2, ) = A
27. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và
r

u


(1, ) = 2cos
29. u = 0 với (r, ) [0, 1] ì [0, 2] và
r
u


(1, ) = - sin

Giải bài toán hỗn hợp trong hình chữ nhật
29. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b]
u(0, y) = A, u(a, y) = By,
y
u


(x, 0) =
y
u


(x, b) = 0
30. u = 0 với (x, y) [0, a] ì [0, b]
u(0, y) = A, u(a, y) = By,
y
u



(x, 0) =
y
u


(x, b) = 0
31. u = 0 với (x, y) [0, ] ì [0, ]
u(x, 0) = A, u(x, ) = Bx,
x
u


(0, y) = cosy,
x
u


(, y) = siny
32. u = -2 với (x, y) [0, a] ì [-b, b]
u(0, y) = u(a, y) = u(x, 0) = u(x, b) = 0







Trang 156 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Tài Liệu Tham Khảo



[1] Đặng Đình Ang - Trần Lu Cờng - Huỳnh Bá Lân - Nguyễn Văn Nhân (2001)
Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà nội
[2] Đậu Thế Cấp (1999)
Hàm một biến phức, NXB Giáo dục, Hà nội
[3] Dơng Tôn Đảm (1992)
Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & GDCN, Hà nội
[4] G.M Fichtengon (1972)
Cơ sở giải tích toán học, Tập 2, NXB Đại học & THCN, Hà nội
[5] Phan Bá Ngọc (1980)
Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, NXB Đại học & THCN, Hà nội
[6] B.V Sabat (1979)
Nhập môn giải tích phức, Tập 1, NXB Đại học & THCN, Hà nội
[7] Nguyễn Thuỷ Thanh (1985)
Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học & THCN, Hà nội
[8] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Trọng Thái (1977)
Phơng trình vật lý - toán, NXB Đại học & THCN, Hà nội
[9] A.V Oppenheim & A.S Willsky (1997)
Signals & Systems, Prentice Hall, New Jersey
[10] J. Monier (1997)
Analyse 3 et Analyse 4, Dunod, Paris
[11] W. Rudin (1998)
Analyse réelle et complexe, Dunod, Paris
[12]
H. Pc (1978)
, 2, H,















Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 157
Mục lục

Lời nói đầu 6
Chơng 1. Số phức 5
Đ1. Trờng số phức 5
Đ2. Dạng đại số của số phức 6
Đ3. Dạng lợng giác của số phức 7
Đ4. Các ứng dụng hình học phẳng 10
Đ5. Dy trị phức 12
Đ6. Hàm trị phức 14
Đ7. Tập con của tập số phức 16
Bài tập chơng 1 19
Chơng 2. Hàm biến phức 22
Đ1. Hàm biến phức 22
Đ2. Giới hạn và liên tục 23
Đ3. Đạo hàm phức 25
Đ4. Hàm giải tích 27
Đ5. Hàm luỹ thừa 28
Đ6. Hàm mũ 30

Đ7. Hàm lợng giác 31
Đ8. Biến hình bảo giác 32
Đ9. Hàm tuyến tính và hàm nghịch đảo 34
Đ10. Hàm phân tuyến tính và hàm Jucop 36
Đ11. Các ví dụ biến hình bảo giác 37
Bài tập chơng 2 40
Chơng 3. Tích Phân Phức 43
Đ1. Tích phân phức 43
Đ2. Các tính chất của tích phân phức 44
Đ3. Định lý Cauchy 46
Đ4. Công thức tích phân Cauchy 48
Đ5. Tích phân Cauchy 50
Đ6. Định lý trị trung bình 52
Đ7. Hàm điều hoà 54
Bài tập chơng 3 57
Chơng 4. CHUỗI hàm PHứC và Thặng d 59
Đ1. Chuỗi hàm phức 59
Đ2. Chuỗi luỹ thừa phức 61
Đ3. Chuỗi Taylor 63
Đ4. Không điểm của hàm giải tích 64
Đ5. Chuỗi Laurent 66
Đ6. Phân loại điểm bất thờng 67
Đ7. Thặng d 69
Đ8. Thặng d Loga 71
Đ9. Các ứng dụng thặng d 73
Bài tập chơng 4 76
Chơng 5. Biến đổi fourier và Biến đổi laplace 79
Đ1. Tích phân suy rộng 79
Đ2. Các bổ đề Fourier 81


Trang 158 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ3. Biến đổi Fourier 83
Đ4. Tính chất của biến đổi Fourier 85
Đ5. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Fourier 87
Đ6. Biến đổi Laplace 91
Đ7. Biến đổi Laplace ngợc 92
Đ8. Tính chất của Biến đổi Laplace 94
Đ9. Tìm ảnh, gốc của biến đổi Laplace 96
Bài tập chơng 5 99
Chơng 6. Lý thuyết trờng 101
Đ1. Trờng vô hớng 101
Đ2. Gradient 102
Đ3. Trờng vectơ 103
Đ4. Thông lợng 104
Đ5. Hoàn lu 106
Đ6. Toán tử Hamilton 107
Đ7. Trờng thế 108
Đ8. Trờng ống 110
Bài tập chơng 6 111
Chơng 7. Phơng trình truyền sóng 113
Đ1. Phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 113
Đ2. Phơng trình vật lý - toán 116
Đ3. Các bài toán cơ bản 118
Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất 120
Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất 122
Đ6. Bài toán giả Cauchy 124
Đ7. Bài toán hỗn hợp thuần nhất 126
Đ8. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất 128
Bài tập chơng 7 131
Chơng 8. Phơng trình truyền nhiệt 133

Đ1. Bài toán Cauchy thuần nhất 133
Đ2. Bài toán Cauchy không thuần nhất 135
Đ3. Bài toán giả Cauchy 137
Đ4. Bài toán hỗn hợp thuần nhất 140
Đ5. Bài toán hỗn hợp không thuần nhất 142
Đ6. Bài toán Dirichlet trong hình tròn 144
Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật 147
Đ8. Bài toán Neumann 150
Bài tập chơng 8 153
Tài Liệu Tham Khảo 156
Mục lục 157