MỤC LỤC

MỞ ðẦU 3
Chương 1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê mô tả 5
1.1. Tóm tắt về xác suất và biến ngẫu nhiên 5
1.2. Biến sinh học 8
1.3. Bài tập 17
Chương 2 Ước lượng và kiểm ñịnh giả thiết 18
2.1. Giả thiết và ñối thiết 18
2.2. Ước lượng giá trị trung bình
µ
của biến phân phối chuẩn N(
µ
,
σ
2
) 19
2.3. Kiểm ñịnh giá trị trung bình
µ
của biến phân phối chuẩn N(
µ
,
σ
2
) 20
2.4. Kiểm ñịnh hai giá trị trung bình của hai biến phân phối chuẩn 22
2.5. Ước lượng và kiểm ñịnh xác suất 27
2.6. Phân tích phương sai 29
2.7. Bài tập 32
Chương 3 Một số khái niệm về thiết kế thí nghiệm 33
3.1. Phân loại thí nghiệm 33

3.2. Một số khái niệm trong thiết kế thí nghiệm 34
3.3. Các bước tiến hành thí nghiệm 35
3.4. Sai số thí nghiệm 36
3.5. Bố trí ñộng vật vào các nghiệm thức 36
3.6. Phương pháp làm mù 39
3.7. Tăng ñộ chính xác của ước tính 39
3.8. Dung lượng mẫu cần thiết 40
3.9. Bài tập 45
Chương 4 Bố trí thí nghiệm một nhân tố 46
4.1. Kiểu thí nghiệm hoàn toàn ngẫu nhiên (Completely randomized Design) 46
4.2. Kiểu thí nghiệm khối ngẫu nhiên ñầy ñủ (Randomized complete block design) 54
4.3. Khối ngẫu nhiên với nhiều ñơn vị thí nghiệm ở một nghiệm thức và khối 60
4.4. Kiểu thí nghiệm ô vuông La tinh 63
4.5. Bài tập 68
Chương 5 Bố trí thí nghiệm hai nhân tố 70
5.1. Kiểu thí nghiệm hai nhân tố chéo nhau 71
5.2. Kiểu thí nghiệm hai nhân tố phân cấp 76
5.3. Kiểu thí nghiệm hai nhân tố chia ô 80
5.4. Bài tập 87
Chương 6 Tương quan và hồi quy 88
6.1. Sắp xếp số liệu 88
6.2. Hệ số tương quan 89
6.3. Hồi quy tuyến tính 92
6.4. Kiểm ñịnh ñối với hệ số tương quan và các hệ số hồi quy 96
6.5. Dự báo theo hồi quy tuyến tính 98
6.6. Phân tích phương sai và hồi quy 99
6.7. Bài tập 100
Chương 7 Kiểm ñịnh một phân phối và bảng tương liên 101
7.1. Kiểm ñịnh một phân phối 101
7.2. Bảng tương liên l

×
k 103
7.3. Kiểm ñịnh chính xác của Fisher ñối với bảng tương liên 2
×
2 108
7.4. Xác ñịnh mức liên kết trong dịch tễ học bằng kiểm ñịnh
χ
² 111
7.5. Bài tập 113
PHỤ LỤC 114
TÀI LIỆU THAM KHẢO 129


MỞ ðẦU


Khi làm việc trong phòng thí nghiệm, tại các trại thực nghiệm hoặc tại các cơ sở sản xuất học
viên luôn gặp hai vấn ñề:
+ Khảo sát, theo dõi các hiện tượng ñã lựa chọn trước khi xây dựng ñề tài nghiên cứu hoặc
các hiện tượng mới xuất hiện nhưng có ảnh hưởng lớn ñến ñề tài. Khi khảo sát phải ghi chép
tỷ mỷ, khoa học các dữ liệu thu ñược và bảo quản cẩn thận vì ñó là các số liệu gốc. Sau ñó,
trừ các dữ liệu có tính chất mô tả phải phân chia các dữ liệu còn lại thành hai loại biến, biến
ñịnh tính và biến ñịnh lượng. Tiếp theo là khảo sát các biến và nếu cần thì tiến hành các biến
ñổi thích hợp, sau ñó căn cứ vào mục tiêu ñặt ra ñể xử lý số liệu theo các công thức ñã trình
bày trong lý thuyết xác suất thống kê. Dựa vào kết quả xử lý ñể ñưa ra các kết luận, thường
gọi là các kết luận thống kê. Phần tiếp theo và là phần quan trọng nhất là căn cứ vào kết luận
thống kê ñể ñưa ra các ñánh giá, các lý giải về mặt chuyên môn và ñưa ra các ñề xuất, các
kiến nghị cụ thể.
+ Thực hiện một thí nghiệm ñể giải quyết một mục tiêu cụ thể. Việc này bao gồm nhiều bước
như chọn vấn ñề, chọn mục tiêu, chọn các biến cần theo dõi, chọn các biến cần ñiều khiển,

các biến cần khống chế. Tiếp theo là chọn các mức cụ thể ñối với các biến cần ñiều khiển.
Trên cơ sở vật chật hiện có như chuồng trại, vật tư, thời gian, các vật nuôi dùng ñể thí
nghiêm . . . chọn một thí nghiệm cụ thể. Thí nghiệm này ñược thực hiện theo một sơ ñồ phù
hợp với mục tiêu và với cơ sở vật chật hiện có. Việc thí nghiệm theo sơ ñồ ñã chọn ñược gọi
là bố trí thí nghiệm hay thiết kế thí nghiệm (Experimental design). Sau khi thí nghiệm, các dữ
liệu ñược xử lý theo quy trình phù hợp với kiểu bố trí thí nghiệm ñã chọn, tuyệt ñối không
ñược xử lý theo quy trình của kiểu bố trí thí nghiệm khác.
Như vậy dù khảo sát, theo dõi, hay bố trí thí nghiệm luôn luôn có sự ñóng góp của ba ngành
học: Kỹ thuật nông nghiệp, toán học và công nghệ thông tin. Có thể coi kỹ thuật nông nghiệp
như ñơn vị chủ quản, ñơn vị ñề xuất vấn ñề cần khảo sát, cần nghiên cứu sau ñó phối hợp với
toán học mà chủ yếu là thống kê ñể ñề ra mục tiêu cụ thể, lựa chọn các biến theo dõi, chọn
các mô hình xử lý, giải thích các kết quả và ñề xuất các vấn ñề mới. Khi xử lý và trình bày kết
quả thì không thể thiếu máy tính và các ứng dụng khác của công nghệ thông tin. Như vậy môn
thiết kế thí nghiệm là môn học ra ñời trên cơ sở ba ngành nói trên
Khi viết giáo trình Thiết kế thí nghiệm, có thể ñi sâu vào các khía cạnh chuyên môn của các
ngành học ñể trình bầy cách chọn vấn ñề nghiên cứu, các ñiểm cần chú ý khi bố trí thí nghiệm
như kích thước, hướng của chuồng trại, cách chọn các vật thí nghiệm, cách tiến hành thí
nghiệm, các hoá chất, các loại thuốc, thời gian cách ly, các chỉ tiêu cần ño, các dụng cụ và
cách ño… Nhưng do có rất nhiều môn học, nên khó có thể ñề cập ñầy ñủ tất cả các khía cạnh,
do ñó nên ñể các môn học tự trình bày. Giáo trình này chỉ tập trung vào việc xử lý dữ liệu và
các kiểu bố trí thí nghiệm thường dùng.
Giáo trình ñược viết theo ñề cương môn Thiết kế thí nghiệm của Khoa Chăn nuôi - Thú y
tương ứng với 3 ñơn vị học trình (45 tiết). Các lớp có thời lượng dạy 30 tiết có thể chỉ học
một số phần.
Thiết kế thí nghiệm


2
Các chương 1, 2, 6, 7 chỉ trình bày cách ñặt vấn ñề, các công thức, các kết luận thống kê, còn
việc tính toán cụ thể ñược thực hiện khi thực hành ở phòng máy tính. Trước mắt có thể chưa

dạy hết chương 4 và chương 5, các phần ñể lại chắc chắn sẽ ñược dạy trong vài năm tới.
ðối tượng sử dụng giáo trình này là sinh viên hệ chính quy, hệ vừa học vừa làm các ngành
Chăn nuôi, Chăn nuôi thú y, Thú y và Nuôi trồng thuỷ sản; ñồng thời là tài liệu tham khảo
cho các ñối tượng là cán bộ nghiên cứu trong ngành chăn nuôi, thú y.
ðể có thêm kiến thức bổ trợ cho môn học này, bạn ñọc có thể tham khảo thêm một số tài liệu
về toán xác suất thống kê, về tin học và các sách chuyên ngành của chăn nuôi thú y.
ðể hoàn thành giáo trình này, nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ðại
học Nông nghiệp I Hà nội ñã giúp ñỡ và tạo ñiều kiện thuận lợi ñể xuất bản cuốn giáo trình
này.
Chúng tôi cũng xin cảm ơn GS TS ðặng Vũ Bình, PGS TS ðinh Văn Chỉnh, PGS TS Nguyễn
Hải Quân, PGS TS Nguyễn Xuân Trạch, GS TS Pascal Leroy, PGS TS Fédéric Farnir, PGS
TS Peter Thomson, GS TS Mick O'Neill ñã cung cấp các tư liệu và có nhiều ý kiến ñóng góp
trong quá trình xây dựng nội dung môn học và viết giáo trình.
Vì giáo trình viết lần ñầu nên nhất ñịnh có nhiều thiếu sót. Rất mong nhận ñược các ñóng góp
của ñộc giả. Xin chân thành cảm ơn


Nhóm tác giả


Chương 1


Một số khái niệm trong xác suất và thống kê mô tả





Một phần kiến thức cơ bản không thể tách rời trong quá trình thiết kế và xử lý dữ liệu thí

nghiệm ñó là các kiến thức về xác suất và thống kê. Mục ñích của chương này là tập hợp lại
một số khái niệm về xác suất, các phân phối thường ñược sử dụng trong sinh học nói chung
và trong chăn nuôi, thú y nói riêng; ñồng thời cũng khái quát hoá và nêu ý nghĩa của một số
tham số thống kê mô tả cơ bản.
1.1. Tóm tắt về xác suất và biến ngẫu nhiên
1.1.1. Xác suất cơ bản
Số chỉnh hợp chập k trong n vật
( )
!
!
)1) (2)(1(
kn
n
knnnnA
k
n
−
=+−−−=

S
ố
t
ổ
h
ợ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n v

ậ
t
)!(!
!
! knk
n
k
A
C
k
n
k
n
−
==
S
ố
hoán v
ị
c
ủ
a k v
ậ
t !kA
k
k
=
S
ố
ch

ỉ
nh h
ợ
p l
ặ
p ch
ậ
p k c
ủ
a n v
ậ
t
kk
n
nA =
~

Nh
ị
th
ứ
c Niu-t
ơ
n


kkn
n
k
k

n
n
baCba
−
=
∑
=+
0
)(

Quy t
ắ
c c
ộ
ng t
ổ
ng quát

p(A
∪
B) = p(A) + p(B) - p(A
∩
B)
Quy t
ắ
c c
ộ
ng
ñơ
n gi

ả
n p(A
∪
B) = p(A) + p(B) n
ế
u A
∩
B =
∅

Quy t
ắ
c nhân t
ổ
ng quát p(A
∩
B) = p(A). p(B/A)= p(B).p(A/B)
Quy t
ắ
c nhân
ñơ
n gi
ả
n p(A
∩
B) = p(A). p(B) n
ế
u A, B
ñộ
c l

ậ
p
1.1.2. Hệ sự kiện ñầy ñủ
H
ệ
s
ự
ki
ệ
n
ñầ
y
ñủ
hay h
ệ
s
ự
ki
ệ
n toàn ph
ầ
n n
ế
u:
Ω=
=
U
n
i
i

A
1
và
∅
=
∩
ji
AA v
ớ
i
j
i
≠

Thiết kế thí nghiệm
6
Công th
ứ
c xác su
ấ
t toàn ph
ầ
n
∑
=
=
n
k
ii
ABpApBp

1
)/().()(

Công th
ứ
c Bayes
)(
)/().(
)/(
Bp
ABpAp
BAp
ii
=
1.1.3. Biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân phối
K
ỳ
v
ọ
ng toán h
ọ
c
i
n
i
pxMX
∑
=
1


Ph
ươ
ng sai
∑
−=
n
ii
pMXxDX
1
2
)( hay
2
1
2
)(MXpxDX
n
i
ii
−=
∑
=

B
ả
ng phân ph
ố
i c
ủ
a bi
ế

n ng
ẫ
u nhiên r
ờ
i r
ạ
c
X x
1
x
2
. . . x
n
T
ổ
ng
p
i
p
1
p
2
. . . p
n
1
Hàm phân ph
ố
i

0 x ≤ x

1


p
1
x
1
≤ x < x
2

F(x) = p( X < x) = p1 + p2 x
2
≤ x < x
3

p1 + p2 + p3 x
3
≤ x < x
4

. . .
1 x
n
< x
1.1.4. Một số phân phối thường gặp
Phân phối Bécnuli
X 0 1
p
i
p q

K
ỳ
v
ọ
ng MX = µ = p Ph
ươ
ng sai DX = pq
Phân phối Nhị thức B(n,p)
X 0 1 . . . K . . . n MX = np DX=npq

p
i


q
n


C
1
n
pq
n-1


. . .

C
k
n

p
k
q
n-k


. . .

p
n

ModX là s
ố
nguyên
np-q ≤ ModX ≤np+p
Phân phối siêu bội
N
ế
u trong N bi có M bi tr
ắ
ng, rút n bi, X là s
ố
bi tr
ắ
ng
X = 0, n v
ớ
i p
k
= p(X = k)

n
N
kn
MN
k
M
C
CC
−
−

MX =
N
nM
DX =
1
−
−
−
N
nN
N
MN
N
M
n

Chương 1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê



7
Phân phối hình học
X = 1, ∞ v
ớ
i p
k
= p(X = k) = pq
k-1
(p là xác su
ấ
t thành công, q = 1- p)
MX =
p
1
DX =
2
p
q

Phân phối Poátxông
X = 0, ∞ v
ớ
i xác su
ấ
t p
k
= p(X = k) =
k
k
e

λ
λ
!
−

MX = DX = λ
Phân phối chuẩn N(
µ
µµ
µ
,
σ
σσ
σ
2 )
Hàm m
ậ
t
ñộ
xác su
ấ
t
2
2
2
)(
2
1
)(
σ

µ
σπ
−
−
=
x
exf
)()(),(
σ
µ
σ
µ
−
Φ−
−
Φ=<
ab
bXap

với
)(z
Φ
là hàm phân phối của biến chuẩn tắc

Phân phối chuẩn tắc N(0,1)
Mật ñộ xác suất
2
2
2
1

)(
z
ez
−
=
π
ϕ

Hàm phân ph
ố
i
∫
∞−
−
=Φ
z
x
dxez
2
2
2
1
)(
π

Tính g
ầ
n
ñ
úng phân ph

ố
i nh
ị
th
ứ
c b
ằ
ng phân ph
ố
i chu
ẩ
n khi n l
ớ
n

p(k ≤ X ≤ l) ≈ )()(
npq
npk
npq
npl
−
Φ−
−
Φ

p(X = k) ) ≈ )(
1
npq
npk
npq

−
ϕ


Dung l
ượ
ng m
ẫ
u c
ầ
n thi
ế
t
ñể
trung bình c
ộ
ng khác µ không quá ε (
ñộ
chính xác) khi có phân
ph
ố
i chu
ẩ
n N(µ,σ
2
) và m
ứ
c tin c
ậ
y P = 1 - α

2
22
z
n
ε
σ
≥
z là giá tr
ị
sao cho Φ(z) = 1-α/2
Dung l
ượ
ng m
ẫ
u c
ầ
n thi
ế
t
ñể
t
ầ
n su
ấ
t khác xác su
ấ
t không quá ε trong phân ph
ố
i nh
ị

th
ứ
c và
m
ứ
c tin c
ậ
y P = 1 - α

2
2
4
z
n
ε
≥
z là giá tr
ị
sao cho Φ(z) = 1-α/2
Thiết kế thí nghiệm
8
1.2. Biến sinh học
Trong quá trình th
ự
c hi
ệ
n thí nghi
ệ
m, chúng ta ti
ế

n hành thu th
ậ
p d
ữ
li
ệ
u
ñể
sau
ñ
ó x
ử
lý và
ñư
a ra các k
ế
t lu
ậ
n. Các d
ữ
li
ệ
u có th
ể
là các giá tr
ị
b
ằ
ng s
ố

ho
ặ
c b
ằ
ng ch
ữ

ñặ
c tr
ư
ng cho m
ộ
t
cá th
ể
ho
ặ
c m
ộ
t nhóm và thay
ñổ
i t
ừ
cá th
ể
này qua cá th
ể
khác. Các d
ữ
li

ệ
u nh
ư
v
ậ
y
ñượ
c g
ọ
i
là các bi
ế
n, hay còn
ñượ
c g
ọ
i là các bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên vì các d
ữ
li
ệ
u thu
ñượ
c là k
ế
t qu
ả

c
ủ
a
vi
ệ
c ch
ọ
n m
ộ
t cách ng
ẫ
u nhiên cá th
ể
hay nhóm cá th
ể
trong t
ổ
ng th
ể
.
1.2.1. Khái niệm về biến sinh học
ðố
i t
ượ
ng nghiên c
ứ
u trong ch
ă
n nuôi là các v
ậ

t s
ố
ng, vì v
ậ
y các bi
ế
n nh
ư

ñ
ã nêu trên g
ọ
i
chung là các bi
ế
n sinh h
ọ
c. Có th
ể
phân lo
ạ
i các bi
ế
n sinh h
ọ
c nh
ư
sau:
Biến ñịnh tính (qualitative)
Bi

ế
n
ñị
nh danh (nominal)
Bi
ế
n th
ứ
h
ạ
ng (ranked)
Biến ñịnh lượng (quantitative)
Bi
ế
n liên t
ụ
c (continuous)
Bi
ế
n r
ờ
i r
ạ
c (discontinuous)
Biến ñịnh tính
bao g
ồ
m các
biến có hai trạng thái (binary)
: thí d

ụ
nh
ư
gi
ớ
i tính (cái hay
ñự
c), v
ậ
t nuôi sau khi
ñượ
c
ñ
i
ề
u tr
ị
(s
ố
ng hay ch
ế
t, kh
ỏ
i b
ệ
nh hay không kh
ỏ
i b
ệ
nh), tình

tr
ạ
ng nhi
ễ
m b
ệ
nh (có, không), mang thai (có, không) . . .T
ổ
ng quát h
ơ
n có các
biến có nhiều
trạng thái
, t
ừ

ñ
ó chia ra các l
ớ
p (lo
ạ
i) thí d
ụ
m
ầ
u lông c
ủ
a các gi
ố
ng l

ợ
n (tr
ắ
ng,
ñ
en, loang,
hung, . . .) các ki
ể
u gen (
ñồ
ng h
ợ
p t
ử
tr
ộ
i, d
ị
h
ợ
p t
ử
,
ñồ
ng h
ợ
p t
ử
l
ặ

n . . . ); gi
ố
ng bò (bò vàng,
Jersey, Holstein…). Các bi
ế
n nh
ư
th
ế

ñượ
c g
ọ
i là
biến ñịnh danh (nominal)
hay bi
ế
n có
thang
ñ
o
ñị
nh danh, c
ũ
ng còn g
ọ
i là bi
ế
n thu
ộ

c tính. Trong các bi
ế
n có nhi
ề
u tr
ạ
ng thái, có
m
ộ
t s
ố
bi
ế
n có th
ể
s
ắ
p th
ứ
t
ự
theo m
ộ
t cách nào
ñ
ó, ví d
ụ
m
ứ
c

ñộ
m
ắ
c b
ệ
nh c
ủ
a v
ậ
t nuôi.
Th
ườ
ng dùng s
ố
th
ứ
t
ự

ñể
x
ế
p h
ạ
ng các bi
ế
n này, thí d
ụ
x
ế

p
ñộ
ng v
ậ
t theo m
ứ
c
ñộ
m
ắ
c b
ệ
nh
( , -, -+, +, ++), th
ể
tr
ạ
ng c
ủ
a v
ậ
t nuôi (
ñố
i v
ớ
i bò t
ừ
1-5, 1-r
ấ
t g

ầ
y,…, 5-r
ấ
t béo) . Các bi
ế
n
này g
ọ
i là
biến thứ hạng (ranked)
hay bi
ế
n có thang
ñ
o th
ứ
b
ậ
c.
Biến ñịnh lượng
là bi
ế
n ph
ả
i dùng m
ộ
t g
ố
c
ñ

o, m
ộ
t
ñơ
n v
ị

ñ
o
ñể
xác
ñị
nh giá tr
ị
(s
ố

ñ
o) c
ủ
a
bi
ế
n. Bi
ế
n
ñị
nh l
ượ
ng bao g

ồ
m:
biến rời rạc
, thí d
ụ
s
ố
tr
ứ
ng n
ở
khi
ấ
p 12 qu
ả
(X = 0, 1, . . . ,
12), s
ố
l
ợ
n con sinh ra trong m
ộ
t l
ứ
a
ñẻ
, s
ố
t
ế

bào h
ồ
ng c
ầ
u
ñế
m trên
ñĩ
a c
ủ
a kính hi
ể
n vi và
biến liên tục
, thí d
ụ
kh
ố
i l
ượ
ng gà 45 ngày tu
ổ
i, s
ả
n l
ượ
ng s
ữ
a bò trong m
ộ

t chu k
ỳ
, t
ă
ng
tr
ọ
ng trên ngày c
ủ
a
ñộ
ng v
ậ
t, n
ồ
ng
ñộ
canxi trong máu . . . Sau khi ch
ọ
n
ñơ
n v
ị

ñ
o thì giá tr
ị

c
ụ

th
ể
c
ủ
a X là m
ộ
t s
ố
n
ằ
m trong m
ộ
t kho
ả
ng [a, b] nào
ñ
ó.
ðố
i v
ớ
i các bi
ế
n
ñị
nh l
ượ
ng có th
ể
phân bi
ệ

t: 1)
biến khoảng
(interval) hay bi
ế
n có thang
ñ
o
kho
ả
ng, bi
ế
n này ch
ỉ
chú ý
ñế
n m
ứ
c chênh l
ệ
ch gi
ữ
a hai giá tr
ị
(giá tr
ị
0 mang tính quy
ướ
c,
t
ỷ

s
ố
hai giá tr
ị
không có ý ngh
ĩ
a). Thí d
ụ

ñố
i v
ớ
i nhi
ệ
t
ñộ
ch
ỉ
nói nhi
ệ
t
ñộ
t
ă
ng thêm hay
gi
ả
m
ñ
i m

ấ
y °C ( thí d
ụ
c
ơ
th
ể

ñ
ang t
ừ
36,5°C t
ă
ng lên 38°C là bi
ể
u hi
ệ
n b
ắ
t
ñầ
u s
ố
t cao)
ch
ứ
không nói v
ậ
t th
ể

có nhi
ệ
t
ñộ
60°C nóng g
ấ
p
ñ
ôi v
ậ
t th
ể
có nhi
ệ
t
ñộ
30°C. H
ướ
ng gió
có quy
ướ
c 0° là h
ướ
ng B
ắ
c, 45° là h
ướ
ng
ð
ông B

ắ
c, 90° là h
ướ
ng
ð
ông, 180° là h
ướ
ng
Nam . . . , không th
ể
nói h
ướ
ng gió
ð
ông g
ấ
p
ñ
ôi h
ướ
ng gió
ð
ông B
ắ
c; 2)
biến tỷ số
(ratio)
hay bi
ế
n có thang

ñ
o t
ỷ
l
ệ
,
ñố
i v
ớ
i bi
ế
n này giá tr
ị
0, m
ứ
c chênh l
ệ
ch gi
ữ
a hai giá tr
ị
và t
ỷ
s
ố

hai giá tr
ị

ñề

u có ý ngh
ĩ
a. Thí d
ụ
kh
ố
i l
ượ
ng b
ắ
t
ñầ
u thí nghi
ệ
m c
ủ
a l
ợ
n là 25 kg, kh
ố
i l
ượ
ng
k
ế
t thúc là 90 kg, v
ậ
y kh
ố
i l

ượ
ng k
ế
t thúc thí nghi
ệ
m n
ặ
ng g
ấ
p 3,6 l
ầ
n.
Chương 1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê


9
1.2.2. Tổng thể và mẫu
M
ộ
t
ñ
ám
ñ
ông g
ồ
m r
ấ
t nhi
ề
u cá th

ể
chung nhau ngu
ồ
n g
ố
c, ho
ặ
c chung nhau n
ơ
i sinh s
ố
ng,
ho
ặ
c chung nhau ngu
ồ
n l
ợ
i . . .
ñượ
c g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ
ng th
ể
. L
ấ

y t
ừ
ng cá th
ể
ra
ñ
o m
ộ
t bi
ế
n sinh
h
ọ
c X, chúng ta
ñượ
c m
ộ
t bi
ế
n ng
ẫ
u nhiên, có th
ể

ñị
nh tính ho
ặ
c
ñị
nh l

ượ
ng. T
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả

các giá tr
ị
c
ủ
a X g
ọ
i là m
ộ
t t
ổ
ng th
ể
(population).
Mu
ố
n hi
ể
u bi
ế
t

ñầ
y
ñủ
v
ề
bi
ế
n X ph
ả
i kh
ả
o sát toàn b
ộ
t
ổ
ng th
ể
, nh
ư
ng vì nhi
ề
u lý do không
th
ể
làm
ñượ
c. Có th
ể
do không
ñủ

ti
ề
n tài, v
ậ
t l
ự
c, th
ờ
i gian, . . . , nên không th
ể
kh
ả
o sát toàn
b
ộ
, c
ũ
ng có th
ể
do ph
ả
i hu
ỷ
ho
ạ
i cá th
ể
khi kh
ả
o sát nên không th

ể
kh
ả
o sát toàn b
ộ
, c
ũ
ng có
khi cân nh
ắ
c gi
ữ
a m
ứ
c chính xác thu
ñượ
c và chi phí kh
ả
o sát th
ấ
y không c
ầ
n thi
ế
t ph
ả
i kh
ả
o
sát h

ế
t.
Nh
ư
v
ậ
y là có nhi
ề
u lý do khi
ế
n ng
ườ
i ta ch
ỉ
kh
ả
o sát m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n g
ọ
i là m
ẫ
u (sample) sau
ñ
ó
x

ử
lý các d
ữ
li
ệ
u (s
ố
li
ệ
u) r
ồ
i
ñư
a ra các k
ế
t lu
ậ
n chung cho t
ổ
ng th
ể
. Các k
ế
t lu
ậ
n này
ñượ
c
g
ọ

i là “k
ế
t lu
ậ
n th
ố
ng kê”.
ðể
các k
ế
t lu
ậ
n
ñư
a ra
ñ
úng cho t
ổ
ng th
ể
thì m
ẫ
u ph
ả
i “ph
ả
n ánh”
ñượ
c t
ổ

ng th
ể
(còn nói là
m
ẫ
u ph
ả
i “
ñạ
i di
ệ
n”, ph
ả
i “
ñ
i
ể
n hình” cho t
ổ
ng th
ể
. . .), không
ñượ
c thiên v
ề
phía “t
ố
t” hay
thiên v
ề

phía “x
ấ
u”.
1.2.3. Sơ lược về cách chọn mẫu
Tu
ỳ
theo
ñặ
c thù c
ủ
a ngành ngh
ề
ng
ườ
i ta
ñư
a ra r
ấ
t nhi
ề
u cách ch
ọ
n m
ẫ
u khác nhau, thí d
ụ

ch
ọ
n ru

ộ
ng
ñể
g
ặ
t nh
ằ
m
ñ
ánh giá n
ă
ng su
ấ
t, ch
ọ
n các s
ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a m
ộ
t máy
ñể

ñ
ánh giá ch
ấ
t

l
ượ
ng, ch
ọ
n các h
ộ

ñể

ñ
i
ề
u tra dân s
ố
ho
ặ
c
ñ
i
ề
u tra xã h
ộ
i h
ọ
c, ch
ọ
n m
ộ
t s
ố

s
ả
n ph
ẩ
m ra ki
ể
m
tra tr
ướ
c khi xu
ấ
t kh
ẩ
u m
ộ
t lô hàng. . . Cách ch
ọ
n m
ẫ
u ph
ả
i h
ợ
p lý v
ề
m
ặ
t chuyên môn, ph
ả
i

d
ễ
cho ng
ườ
i th
ự
c hi
ệ
n và ph
ả
i
ñả
m b
ả
o yêu c
ầ
u chung v
ề
m
ặ
t xác su
ấ
t th
ố
ng kê là “ng
ẫ
u
nhiên” không thiên l
ệ
ch.

Thu
ầ
n tuý v
ề
th
ố
ng kê c
ũ
ng có nhi
ề
u cách ch
ọ
n m
ẫ
u:
Ch
ọ
n m
ẫ
u hoàn toàn ng
ẫ
u nhiên (rút th
ă
m, dùng b
ả
ng s
ố
ng
ẫ
u nhiên

ñể
l
ự
a ch
ọ
n,. . .).
Chia t
ổ
ng th
ể
thành các l
ớ
p
ñồ
ng
ñề
u h
ơ
n theo m
ộ
t tiêu chu
ẩ
n nào
ñ
ó thí d
ụ
chia toàn qu
ố
c
thành các vùng (vùng cao, trung du,

ñồ
ng b
ằ
ng), chia theo t
ầ
ng l
ớ
p xã h
ộ
i, chia theo thu nh
ậ
p,
theo ngành ngh
ề
, chia s
ả
n ph
ẩ
m thành các lô hàng theo ngu
ồ
n v
ậ
t li
ệ
u, theo ngày s
ả
n xu
ấ
t, . . .
Sau khi có các l

ớ
p thì c
ă
n c
ứ
vào m
ứ
c
ñồ
ng
ñề
u trong t
ừ
ng l
ớ
p mà ch
ọ
n s
ố
l
ượ
ng cá th
ể

(dung l
ượ
ng m
ẫ
u)
ñạ

i di
ệ
n cho l
ớ
p.
Có th
ể
chia t
ổ
ng th
ể
thành các l
ớ
p, sau
ñ
ó ch
ọ
n m
ộ
t s
ố
l
ớ
p g
ọ
i là m
ẫ
u c
ấ
p m

ộ
t. M
ỗ
i l
ớ
p trong
m
ẫ
u c
ấ
p m
ộ
t l
ạ
i
ñượ
c chia thành nhi
ề
u l
ớ
p nh
ỏ
h
ơ
n,
ñề
u h
ơ
n. Ch
ọ

n m
ộ
t s
ố
trong
ñ
ó g
ọ
i là
m
ẫ
u c
ấ
p hai. Có th
ể
kh
ả
o sát h
ế
t các cá th
ể
trong m
ẫ
u c
ấ
p hai ho
ặ
c ch
ỉ
kh

ả
o sát m
ộ
t b
ộ
ph
ậ
n.
Không
ñ
i sâu vào vi
ệ
c ch
ọ
n m
ẫ
u chúng ta ch
ỉ
nh
ấ
n m
ạ
nh m
ẫ
u ph
ả
i ng
ẫ
u nhiên, ph
ả

i ch
ọ
n
m
ẫ
u m
ộ
t cách khách quan không
ñượ
c ch
ọ
n m
ẫ
u theo ch
ủ
quan ng
ườ
i ch
ọ
n.
1.2.4. Các tham số của mẫu
G
ọ
i s
ố
cá th
ể

ñượ
c ch

ọ
n vào m
ẫ
u là kích th
ướ
c (c
ỡ
, dung l
ượ
ng) m
ẫ
u n. G
ọ
i các s
ố
li
ệ
u
ñ
o
ñượ
c trên các cá th
ể
c
ủ
a m
ẫ
u là
1
x ,

2
x , . . . ,
n
x , n
ế
u có nhi
ề
u s
ố
li
ệ
u b
ằ
ng nhau thì có th
ể
ghi
l
ạ
i d
ướ
i d
ạ
ng có t
ầ
n s
ố
(s
ố
l
ầ

n g
ặ
p)
Thiết kế thí nghiệm
10
Giá tr
ị

i
x

1
x

2
x
. . .
k
x
t
ầ
n s
ố
m
i
1
m

2
m

. . .
k
m
nm
k
i
i
=
∑
=
1

Các tham s
ố
(s
ố

ñặ
c tr
ư
ng) c
ủ
a m
ẫ
u, hay còn g
ọ
i là các th
ố
ng kê,
ñượ

c chia thành hai nhóm:
1) các tham s
ố
v
ề
v
ị
trí và 2) các tham s
ố
v
ề

ñộ
phân tán c
ủ
a s
ố
li
ệ
u.
Các
tham số về vị trí
th
ườ
ng g
ồ
m: a) trung bình, b) trung v
ị
, c) mode. Các
tham số về ñộ

phân tán
g
ồ
m: a) ph
ươ
ng sai, b)
ñộ
l
ệ
ch chu
ẩ
n, c) sai s
ố
chu
ẩ
n, d) kho
ả
ng bi
ế
n
ñộ
ng và e) h
ệ

s
ố
bi
ế
n
ñộ

ng.
TRUNG BÌNH
Trung bình cộng
ký hi
ệ
u

là

_
x


n
x
x
n
i
i
∑
=
=
1
_
hay
∑
∑
=
=
=

k
i
i
k
i
ii
m
mx
x
1
1
_
khi có t
ầ
n su
ấ
t
Ví dụ 1.1:
Kh
ố
i l
ượ
ng (gram) c
ủ
a 16 chu
ộ
t cái t
ạ
i th
ờ

i
ñ
i
ể
m cai s
ữ
a nh
ư
sau:
54,1 49,8 24,0 46,0 44,1 34,0 52,6 54,4
56,1 52,0 51,9 54,0 58,0 39,0 32,7 58,5
58,47
16
2,761
16
5,58 8,491,54
1
_
==
+++
==
∑
=
n
x
x
n
i
i
gram

Ví dụ 1.2:
Phân b
ố
t
ầ
n su
ấ
t kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a 4547 l
ợ
n Piétrain × (Yorkshire × Landrace) nuôi
v
ỗ
béo
ñế
n 210 ngày tu
ổ
i (kg).
Nhóm kh
ố
i
l
ượ
ng (kg)
Kh

ố
i l
ượ
ng
trung bình (kg)
S
ố
l
ượ
ng T
ầ
n su
ấ
t T
ầ
n su
ấ
t
tích lu
ỹ

60,73 - 66,99 63,86 11 0,24 0,24
67,00 - 74,99 71,00 31 0,68 0,92
75,00 - 82,99 79,00 80 1,76 2,68
83,00 - 90,99 87,00 218 4,79 7,48
91,00 - 98,99 95,00 484 10,64 18,12
99,00 - 106,99 103,00 951 20,91 39,04
107,00 - 114,99 111,00 1083 23,82 62,85
115,00 - 122,99 119,00 907 19,95 82,8
123,00 - 130,99 127,00 512 11,26 94,06

131,00 - 138,99 135,00 203 4,46 98,53
139,00 - 146,99 143,00 55 1,21 99,74
147,00 - 156,10 151,55 12 0,26 100,00
Chương 1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê


11
48,110
12 3111
1255,151 3100,711186,63
1
1
_
=
+++
×++×+×
==
∑
∑
=
=
k
i
i
k
i
ii
m
mx
x

kg
Giá tr
ị
trung bình c
ộ
ng có b
ấ
t l
ợ
i là b
ị
các giá tr
ị
ngo
ạ
i lai làm
ả
nh h
ưở
ng. Giá tr
ị
ngo
ạ
i lai là
giá tr
ị
có xu h
ướ
ng không thích h
ợ

p v
ớ
i toàn b
ộ
s
ố
li
ệ
u thu th
ậ
p
ñượ
c, th
ườ
ng là các giá tr
ị

quá l
ớ
n ho
ặ
c quá bé so v
ớ
i bình th
ườ
ng. N
ế
u giá tr
ị
ngo

ạ
i lai quá l
ớ
n s
ẽ
làm cho giá tr
ị
trung
bình có xu h
ướ
ng t
ă
ng quá m
ứ
c ho
ặ
c ng
ượ
c l
ạ
i.
Trung bình nhân
ký hi
ệ
u là G
G =
n
n
xxx
21


n
m
k
mm
k
xxxG
21
21
=

Ví dụ 1.3:
B
ệ
nh d
ạ
i
ñ
ã t
ă
ng 10% trong n
ă
m th
ứ
nh
ấ
t, 11% trong n
ă
m th
ứ

2 và 15% trong n
ă
m
th
ứ
3. M
ứ
c t
ă
ng tr
ưở
ng trung bình c
ủ
a b
ệ
nh là bao nhiêu ph
ầ
n tr
ă
m?
Ta không th
ể
tính t
ă
ng tr
ưở
ng trung bình nh
ư
sau (10 + 11 + 15)/3 = 12 mà ph
ả

i tính m
ứ
c
t
ă
ng tr
ưở
ng trung bình là G = 11979,115,111,11,1
3
21
=××=
n
n
xxx . Ngh
ĩ
a là m
ứ
c t
ă
ng
tr
ưở
ng trung bình là 0,11979 hay t
ươ
ng
ñươ
ng m
ứ
c 11,979 %.
Ví dụ 1.4:

M
ộ
t lo
ạ
i mô bào sinh tr
ưở
ng sau 3 tháng s
ẽ
t
ă
ng g
ấ
p
ñ
ôi kh
ố
i l
ượ
ng. M
ứ
c t
ă
ng
tr
ưở
ng trung bình m
ỗ
i tháng là bao nhiêu?
M
ứ

c t
ă
ng tr
ưở
ng trung bình m
ỗ
i tháng là: G =
3
2 = 1,26; ngh
ĩ
a là 26% m
ỗ
i tháng.
Ta có th
ể
minh ho
ạ
s
ự
t
ă
ng tr
ưở
ng qua 3 tháng nh
ư
sau:
1×1,26 = 1,26
1,26×1,26 = 1,5876
1,5876×1,26 = 2,00037
Trung bình ñiều hoà

ký hi
ệ
u là H
H =
∑
=
n
i
i
x
n
1
1
ho
ặ
c H=
∑
i
i
i
x
m
n

Ví dụ 1.5:
Ba lò m
ổ
m
ỗ
i lò m

ổ
1000 con; lò m
ổ
th
ứ
nh
ấ
t có n
ă
ng su
ấ
t gi
ế
t m
ổ
10 con/gi
ờ
, lò
m
ổ
th
ứ
hai 15 con/gi
ờ
và lò m
ổ
th
ứ
ba 30 con/gi
ờ

. Trung bình m
ộ
t gi
ờ
gi
ế
t m
ổ

ñượ
c bao
nhiêu con?
Trung bình s
ẽ
không ph
ả
i là (10 + 15 + 30)/3 = 55/3.
ð
ây là trung bình c
ộ
ng, chính b
ằ
ng trung
bình m
ỗ
i gi
ờ
n
ế
u c

ả
3 lò m
ổ
song song song v
ớ
i nhau.
Giá tr
ị
trung bình ph
ả
i là H =
15
30
1
15
1
10
1
3
1
=
++
=
∑
i
i
x
n
con/gi
ờ

.
ð
i
ề
u này có th
ể
minh ho
ạ
nh
ư
sau:
ðể
gi
ế
t m
ổ

ñượ
c 90 con lò th
ứ
nh
ấ
t ph
ả
i th
ự
c hi
ệ
n trong 9
gi

ờ
, lò th
ứ
hai trong 6 gi
ờ
và lò th
ứ
3 trong 3 gi
ờ
; ngh
ĩ
a là 270 con l
ợ
n
ñượ
c gi
ế
t m
ổ
trong 18
gi
ờ
; t
ứ
c là trung bình 15 con/gi
ờ
. Chú ý r
ằ
ng s
ố

l
ợ
n gi
ế
t m
ổ

ñượ
c c
ố

ñị
nh khi b
ắ
t
ñầ
u.
Thiết kế thí nghiệm
12
TRUNG VỊ
ký hi
ệ
u Me
N
ế
u s
ắ
p x
ế
p các giá tr

ị
t
ừ
nh
ỏ

ñế
n l
ớ
n thì giá tr
ị

ở
v
ị
trí chính gi
ữ
a
ñượ
c g
ọ
i là trung v
ị
(Me).
Nói m
ộ
t cách lý thuy
ế
t thì Me là giá tr
ị

có 50% s
ố
giá tr
ị
nh
ỏ
h
ơ
n và 50% s
ố
giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n.
ðể
tính nhanh giá tr
ị
trung v
ị
ta có th
ể
ti
ế
n hành các b
ướ
c sau:
1)


S
ắ
p x
ế
p các giá tr
ị
theo trình t
ự
t
ă
ng d
ầ
n
2)
ð
ánh s
ố
th
ứ
t
ự
cho các d
ữ
li
ệ
u
3)

Tìm trung v

ị

ở
v
ị
trí có s
ố
th
ứ
t
ự
(n + 1)/2
N
ế
u n là s
ố
l
ẻ
và các giá tr
ị

ñề
u khác nhau thì có m
ộ
t giá tr
ị
chính
ở
gi
ữ

a
Ví dụ 1.6:
N
ồ
ng
ñộ
vitamin E (µmol/l) c
ủ
a 11 bê cái có d
ấ
u hi
ệ
u lâm sàng c
ủ
a phát tri
ể
n c
ơ

không bình th
ườ
ng
ñượ
c trình bày nh
ư
sau:
4,2 3,3 7,0 6,9 5,1 3,4 2,5 8,6 3,5 2,9 4,9
Sau khi s
ắ
p x

ế
p theo th
ứ
t
ự
t
ă
ng d
ầ
n ta có:
2,5 2,9 3,3 3,4 3,5
4,2
4,9 5,1 6,9 7,0 8,6
1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11
Nh
ư
v
ậ
y v
ị
trí trung v
ị
s
ẽ
là (n + 1)/2 = (11 + 1)/2 = 6, do 6 là v
ị
trí c
ủ

a trung v
ị
nên giá tr
ị

c
ủ
a trung v
ị
s
ẽ
là 4,2.
N
ế
u n là s
ố
ch
ẵ
n và các giá tr
ị

ñề
u khác nhau thì có 2 s
ố

ñứ
ng gi
ữ
a, c
ả

hai
ñề
u
ñượ
c g
ọ
i là
trung v
ị
. Kho
ả
ng gi
ữ
a 2 s
ố

ñứ
ng gi
ữ
a
ñượ
c g
ọ
i là kho
ả
ng trung v
ị
. N
ế
u

ñượ
c phép dùng s
ố

th
ậ
p phân thì l
ấ
y
ñ
i
ể
m gi
ữ
a c
ủ
a kho
ả
ng làm trung v
ị
Me.
Xét ví dụ 1.1:
Kh
ố
i l
ượ
ng (gram) c
ủ
a 16 chu
ộ

t cái t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m cai s
ữ
a nh
ư
sau:
54.1 49.8 24.0 46.0 44.1 34.0 52.6 54.4
56.1 52.0 51.9 54.0 58.0 39.0 32.7 58.5
V
ị
trí c
ủ
a trung v
ị
s
ẽ
là (16 + 1)/2 = 8,5; kho
ả
ng trung v
ị
s
ẽ
n

ằ
m
ở
v
ị
trí s
ố
8 và s
ố
9, t
ứ
c là t
ừ

49,8 – 51,9. Nh
ư
v
ậ
y giá tr
ị
c
ủ
a trung v
ị
Me = (49,8 + 51,9)/2 = 50,9.
N
ế
u các s
ố
li

ệ
u chia thành l
ớ
p có t
ầ
n s
ố
thì ph
ả
i ch
ọ
n l
ớ
p trung v
ị
sau
ñ
ó n
ộ
i suy
ñể
tính g
ầ
n
ñ
úng trung v
ị
.
Ngoài trung v
ị

còn có các phân v
ị
, trong
ñ
ó hay dùng nh
ấ
t là t
ứ
phân v
ị
d
ướ
i Q
1
mà chúng ta
có th
ể

ñị
nh ngh
ĩ
a m
ộ
t cách lý thuy
ế
t là giá tr
ị
có 25% s
ố
giá tr

ị
nh
ỏ
h
ơ
n, t
ứ
phân v
ị
trên Q
2
là
giá tr
ị
có 25% s
ố
giá tr
ị
l
ớ
n h
ơ
n.
MODE
ký hi
ệ
u Mod
Mode là giá tr
ị
có t

ầ
n su
ấ
t cao nh
ấ
t. Thông th
ườ
ng Mode có giá tr
ị
khác v
ớ
i giá tr
ị
trung bình
c
ộ
ng và trung v
ị
. Ba giá tr
ị
này này s
ẽ
b
ằ
ng nhau khi s
ố
li
ệ
u có phân b
ố

chu
ẩ
n. Nhóm Mode
hay l
ớ
p Mode là nhóm ho
ặ
c l
ớ
p mà m
ộ
t s
ố
l
ớ
n các quan sát r
ơ
i vào
ñ
ó. Thông qua t
ổ
ch
ứ
c
ñồ

ta có th
ể
xác
ñị

nh
ñượ
c giá tr
ị
c
ủ
a l
ớ
p này.
Xét tr
ườ
ng h
ợ
p ví d
ụ
2, nhóm Mod
ñượ
c
ñạ
i di
ệ
n b
ằ
ng các giá tr
ị
t
ừ
107
ñế
n 115 kg. T

ừ
4547
l
ợ
n quan sát có 1083 con n
ằ
m trong kho
ả
ng t
ừ
107
ñế
n 115kg ;
ñ
ây là t
ầ
n su
ấ
t cao nh
ấ
t. C
ũ
ng
theo ví d
ụ
1 ta th
ấ
y Mod có giá tr
ị
kho

ả
ng 111kg.
Chương 1 Một số khái niệm trong xác suất và thống kê


13
P
(kg)
60,7
66,9
67,0
74,9
75,0
82,9
83,0
90,9
91,0
98,9
99,0
106,9

107,0
114,9

115,0
122,9

123,0
130,9


131,0
138,9

139,0
146,9

147,0
156,1

n 11 31 80 218 484 951
1083
907 512 203 55 12
Tr
ườ
ng h
ợ
p có nhi
ề
u giá tr
ị
có t
ầ
n s
ố
l
ớ
n b
ằ
ng nhau và l
ớ

n h
ơ
n các t
ầ
n s
ố
khác thì không xác
ñị
nh
ñượ
c Mod.
Tr
ườ
ng h
ợ
p s
ố
li
ệ
u chia l
ớ
p thì tìm l
ớ
p có t
ầ
n s
ố
l
ớ
n nh

ấ
t sau
ñ
ó dùng cách n
ộ
i suy
ñể
tính
g
ầ
n
ñ
úng Mod.
PHƯƠNG SAI MẪU
ký hi
ệ
u
s²
Ph
ươ
ng sai m
ẫ
u ch
ư
a hi
ệ
u ch
ỉ
nh s
2

p

tính theo công th
ứ
c:
n
xx
s
n
i
i
p
∑
=
−






−
=
1
2
2
hay
n
mxx
s

k
i
ii
p
∑
=
−






−
=
1
2
2

Ph
ươ
ng sai m
ẫ
u
ñượ
c dùng trong tài li
ệ
u này là
phương sai ñã hiệu


chỉnh
, g
ọ
i t
ắ
t là ph
ươ
ng
sai m
ẫ
u s
2
:
1
1
2
2
−






−
=
∑
=
−
n

xx
s
n
i
i
p
hay
1
1
2
2
−






−
=
∑
=
−
n
mxx
s
k
i
ii
p


ðố
i v
ớ
i máy tính b
ỏ
túi, có th
ể
tính ph
ươ
ng sai theo công th
ứ
c sau:


)1(
)
)(
(
2
2
2
−
−
=
∑
∑
n
n
x

x
s
i
i
i
i

Khi có ph
ươ
ng sai m
ẫ
u ch
ư
a hi
ệ
u ch
ỉ
nh s
2
p
có th
ể
tính s
2

theo công th
ứ
c
22
)1(

p
s
n
n
s
−
=

Xét ví dụ 1.1
, kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a 16 chu
ộ
t cái t
ạ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m cai s
ữ
a; giá tr
ị
trung bình

ñ
ã tính là
47,58gram. Nh
ư
v
ậ
y ph
ươ
ng sai m
ẫ
u hi
ệ
u ch
ỉ
nh s
ẽ
là:
( ) ( ) ( )
27,103
116
58,475,58 58,478,4958,471,54
1
222
1
2
2
=
−
−++−+−
=

−






−
=
∑
=
−
n
xx
s
n
i
i
gram²
ðỘ LỆCH CHUẨN ký hiệu là s
Căn bậc hai của s
2
gọi là ñộ lệch chuẩn:
2
ss =

Xét ví dụ 1, khối lượng của 16 chuột cái tại thời ñiểm cai sữa. Các số liệu này ñã ñược sử
dụng ñể tính giá trị trung bình (47,58 gram) và phương sai (103,27 gram²) như ñã nêu trên.
Như vậy ñộ lệch chuẩn sẽ là: 16,1027,103
2

===
ss
gram