Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 10 pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (357.39 KB, 26 trang )
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 251
t´u
.
cl`aho
.
c´ac vecto
.
riˆeng phu
.
thuˆo
.
c hai tham sˆo
´
α v`a β.
Ta lˆa
´
y ra hai vecto
.
tru
.
.
c giao n`ao d´ocu
’
aho
.
u =2(α + β)e
1
+ αe
2
+
βe
3
. Ch˘a
’
ng ha
.
nd˘a
.
t α =0,β =1th`ıthudu
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng
u
1
(2, 0, 1)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta d
u
.
o
.
.
c
E
1
=
2
√
5
, 0,
1
√
5
.
D
ˆe
’
c´o vecto
.
th ´u
.
hai u
2
ta cˆa
`
ncho
.
n α v`a β sao cho u
1
,u
2
=0t´u
.
c
l`a
2 · 2(α + β)+β =0⇔ 4α +5β =0.
Ta c´o thˆe
’
cho
.
n α =5,β = −4v`at`u
.
(6.16) ta c´o
u
2
(2, 5, −4)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta c´o
E
2
=
2
3
√
5
,
√
5
3
,
−4
3
√
5
.
b) Gia
’
su
.
’
λ = −2. Ta c´o
8ξ
1
+2ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
1
+5ξ
2
− 4ξ
3
=0,
2ξ
1
− 4ξ
2
+5ξ
3
=0
Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
ncu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng 2 nˆen hˆe
.
co
.
ba
’
nchı
’
gˆo
`
mmˆo
.
t nghiˆe
.
m.
Ch˘a
’
ng ha
.
n gia
’
i hai phu
.
o
.
ng tr`ınh cuˆo
´
i ta c´o ξ
2
= ξ
3
v`a ξ
1
= −
ξ
2
2
v`a
do d
´o ξ
1
= −
ξ
1
2
= −
ξ
3
2
.
D
˘a
.
t ξ
1
= α ta c´o ho
.
vecto
.
riˆeng phu
.
thuˆo
.
cmˆo
.
t tham sˆo
´
u
3
(α, −2α, −2α),α∈ R
252 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta du
.
o
.
.
c
E
3
=
1
3
,
−2
3
,
−2
3
.
R˜o r`ang l`a E
1
, E
2
, E
3
l`a mˆo
.
tco
.
so
.
’
tru
.
.
c chuˆa
’
ncu
’
a khˆong gian R
3
v`a
ma trˆa
.
n chuyˆe
’
nvˆe
`
co
.
so
.
’
m´o
.
i n`ay l`a ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao da
.
ng
T =
2
√
5
2
3
√
5
1
3
0
√
5
3
−
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
−
2
3
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
cda
.
ng to`an phu
.
o
.
ng trong co
.
so
.
’
m´o
.
i E
1
, E
2
, E
3
l`a
B = T
T
AT =
70 0
07 0
00−2
t´u
.
cl`a
ϕ(·)=7x
1
2
+7x
2
2
− 2x
3
2
,
trong d
´o
x
1
=
2
√
5
x
1
+
2
3
√
5
x
2
+
1
3
x
3
,
x
2
=
√
5
3
x
2
−
2
3
x
3
,
x
3
=
1
√
5
x
1
−
4
3
√
5
x
2
−
2
3
x
3
.
V´ı d u
.
8. T`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
− 8x
1
x
2
− 16x
1
x
3
+7x
2
2
−8x
2
x
3
+ x
2
3
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 253
Gia
’
i. 1
+
Ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng l`a
A =
1 −4 −8
−47−4
−8 −41
T`u
.
d
´o ta c´o
|A − λE| =
1 − λ −4 −8
−47− λ −4
−8 −41− λ
=0⇔ λ
1
= −9,λ
2
= λ
3
=9
2
+
T`ım c´ac vecto
.
riˆeng
D
ˆe
’
t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng ta cˆa
`
n gia
’
i c´ac hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
thuˆa
`
n nhˆa
´
t
(1 − λ
i
)ξ
1
−4ξ
2
− 8ξ
3
=0,
−4ξ
1
+(7− λ
i
)ξ
2
− 4ξ
3
=0,
−8ξ
1
− 4ξ
2
+(1− λ
i
)ξ
3
=0
(6.17)
lˆa
`
nlu
.
o
.
.
tv´o
.
i λ
1
= −9, λ
2
= λ
3
=9.
a) Gia
’
su
.
’
λ
1
= −9. Khi d´ot`u
.
(6.17) ta c´o
10ξ
1
− 4ξ
2
− 8ξ
3
=0,
−4ξ
1
+16ξ
2
− 4ξ
3
=0,
−8ξ
1
−4ξ
2
+10ξ
3
=0
hay l`a
5ξ
1
− 2ξ
2
− 4ξ
3
=0,
ξ
1
− 4ξ
2
+ ξ
3
=0,
4ξ
1
+2ξ
2
− 5ξ
3
=0.
V`ıha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
ncu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng 2 nˆen hˆe
.
c´o nghiˆe
.
m kh´ac 0. Ta gia
’
i
hˆe
.
hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆa
`
u
5ξ
1
− 2ξ
2
− 4ξ
3
=0,
ξ
1
−4ξ
2
+ ξ
3
=0
254 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
v`a thu du
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at l`a
u(2α, α, 2α),α∈ R.
D
´o l`a ho
.
vecto
.
riˆeng (phu
.
thuˆo
.
cmˆo
.
t tham sˆo
´
)´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng
λ
1
= −9. Sau khi chuˆa
’
n h´oa ta thu du
.
o
.
.
c
E
1
=
2
3
,
1
3
,
2
3
.
b) Gia
’
su
.
’
λ
2
= λ
3
= 9. Khi d´ot`u
.
(6.17) thu du
.
o
.
.
chˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
thuˆa
`
n nhˆa
´
t
−8ξ
1
− 4ξ
2
− 8ξ
3
=0,
−4ξ
1
− 2ξ
2
− 4ξ
3
=0,
−8ξ
1
− 4ξ
2
− 8ξ
3
=0
hay l`a
2ξ
1
+ ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
1
+ ξ
2
+2ξ
3
=0,
2ξ
2
+ ξ
2
+2ξ
3
=0.
Ha
.
ng cu
’
a ma trˆa
.
ncu
’
ahˆe
.
b˘a
`
ng 1 nˆen hˆe
.
nghiˆe
.
mco
.
ba
’
ncu
’
a n´o gˆo
`
m
hai nghiˆe
.
m. Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
ahˆe
.
c´o da
.
ng
v(α, −2α − 2β,β),α,β∈ R,α
2
+ β
2
=0. (6.18)
T`u
.
nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at n`ay ta r´ut ra hai vecto
.
riˆeng tru
.
.
c giao v
1
v`a v
2
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i gi´a tri
.
riˆeng λ
2
= λ
3
=9. Dˆe
’
c´o v
1
ta cho α =1,β =0
v`a thu du
.
o
.
.
c
v
1
=(1, −2, 0). (6.19)
Dˆe
’
t`ım v
2
ta cˆa
`
nx´acdi
.
nh α v`a β trong (6.18) sao cho tho
’
a m˜an diˆe
`
u
kiˆe
.
n tru
.
.
c giao gi˜u
.
a v
1
v`a v
2
,t´u
.
cl`av
1
,v
2
=0. T`u
.
(6.18) v`a (6.19)
ta c´o
α +4α +4β =0⇔ α = −
4
5
β.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 255
Do vˆa
.
y, ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y β = 5 v`a khi d´ot`u
.
(6.18) suy ra
v
2
=(−4, −2, 5).
Sau khi chuˆa
’
n h´oa v
1
v`a v
2
ta thu du
.
o
.
.
c
E
∈
=
1
√
5
, −
2
√
5
, 0
E
3
=
−4
3
√
5
, −
2
3
√
5
,
√
5
3
.
(Lu
.
u´yr˘a
`
ng E
1
⊥E
2
, E
1
⊥E
3
v`ı E
1
v`a E
2
, E
3
l`a c´ac vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i hai gi´a tri
.
riˆeng kh´ac nhau nˆen ch´ung tru
.
.
c giao v´o
.
i nhau).
3
+
X´ac di
.
nh ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao. Trong co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
nv`u
.
a
thu du
.
o
.
.
c E
1
, E
2
, E
3
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d˜achodu
.
o
.
.
cdu
.
avˆe
`
da
.
ng ch´ınh
t˘a
´
c
ϕ(·)=−9y
2
1
+9y
2
2
+9y
2
3
nh`o
.
ma trˆa
.
n tru
.
.
c giao
T =
2
3
1
√
5
−
4
3
√
5
1
3
−
2
√
5
−
2
3
√
5
2
3
0
√
5
3
v´o
.
i ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
itu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
x
1
=
2
3
y
1
+
1
√
5
y
2
−
4
3
√
5
y
3
,
x
2
=
1
3
y
1
−
2
√
5
y
2
−
2
3
√
5
y
3
,
x
3
=
2
3
y
1
+
√
5
3
y
3
.
256 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay h˜ay viˆe
´
t ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
c´o biˆe
’
uth´u
.
cto
.
adˆo
.
sau trong khˆong gian R
3
(1-4) v`a trong R
4
(5-6).
1. x
2
1
+ x
2
2
−3x
1
x
2
.(DS.
1 −3/20
−3/210
000
)
2. 2x
2
1
+3x
2
2
− x
2
3
+4x
1
x
2
− 6x
1
x
3
+10x
2
x
3
.
(DS.
22−3
235
−35−1
)
3. x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+4x
1
x
2
+4x
2
x
3
+4x
1
x
3
.
(DS.
122
212
221
)
4. 4x
2
1
+ x
2
2
+9x
2
3
− 4x
1
x
2
− 6x
2
x
3
+12x
1
x
3
.
(D
S.
4 −26
−21−3
6 −39
)
5. 4x
2
1
+ x
2
3
− 2x
2
4
− x
1
x
2
+8x
1
x
4
− 5x
2
x
4
.
(DS.
4 −
1
2
04
−
1
2
00−
5
2
0010
4 −
5
2
0 −2
)
6. 2x
1
x
2
− 6x
1
x
3
− 6x
2
x
4
+2x
3
x
4
.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 257
(DS.
01−30
100−3
−30 0 1
0 −31 0
)
Trong c´ac b`ai to´an 7-8, t`ım ma trˆa
.
ncu
’
amˆo
˜
ida
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
7.
x
1
x
2
13
45
x
1
x
2
(D
S.
1
7
2
7
2
5
)
8.
x
1
x
2
x
3
−10 2
241
30−1
x
1
x
2
x
3
.(D
S.
−11
5
2
14
1
2
5
2
1
2
−1
)
9. Cho c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng sau dˆay du
.
o
.
.
cviˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.
n.
H˜ay viˆe
´
t c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
´o d u
.
´o
.
ida
.
ng thˆong thu
.
`o
.
ng
1)
x
1
x
2
x
3
30−1
0 −21
−11 2
x
1
x
2
x
3
(D
S. 3x
2
1
− 2x
1
x
3
− 2x
2
2
+2x
2
x
3
+2x
2
3
)
2)
x
1
x
2
x
3
41 0
13−1
0 −1 −1
x
1
x
2
x
3
.
(D
S. 4x
2
1
+2x
1
x
2
+3x
2
2
− 2x
2
x
3
− x
2
3
)
10. Viˆe
´
t c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng sau dˆay du
.
´o
.
ida
.
ng ma trˆa
.
n.
1) 3x
2
1
+ x
2
2
− x
1
x
2
.(DS.
x
1
x
2
3 −
1
2
−
1
2
1
x
1
x
2
)
2) x
2
1
+ x
2
3
−2x
1
x
2
+5x
1
x
3
.
258 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
(DS.
x
1
x
2
x
3
1 −1
5
2
−100
5
2
01
x
1
x
2
x
3
)
3) 2x
2
1
+3x
2
2
− 2x
2
3
+ x
1
x
2
+2x
1
x
3
+3x
2
x
3
.
(DS.
x
1
x
2
x
3
2
1
2
1
1
2
3
3
2
1
3
2
−2
x
1
x
2
x
3
)
Trong c´ac b`ai to´an sau d
ˆay (11-14) t`ım da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng thu
d
u
.
o
.
.
ct`u
.
da
.
ng d
˜achobo
.
’
i ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
id˜achı
’
ra
11. ϕ(x
1
,x
2
)=3x
2
1
− x
2
2
+4x
1
x
2
; x
1
=2y
1
− y
2
, x
2
= y
1
+ y
2
.
(DS. ϕ
1
(y
1
,y
2
)=19y
2
1
− 2y
2
2
− 10y
1
y
2
)
12. ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
1
+3x
2
2
− x
2
3
+ x
1
x
2
;
x
1
= −y
1
+2y
2
; x
2
=3y
1
+ y
2
+ y
3
; x
3
= −2y
1
− y
2
.
(D
S. ϕ
1
(y
1
,y
2
,y
3
)=22y
2
1
+12y
2
2
+3y
2
3
+11y
1
y
2
+17y
1
y
3
+8y
2
y
3
)
13. ϕ
1
(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
2
2
+4x
2
3
−2x
1
x
2
+ x
2
x
3
;
x
1
= y
1
+ y
2
− y
3
, x
2
= y
1
− y
2
+ y
3
, x
3
= y
3
+ y
2
.
(D
S. ϕ
1
(y
1
,y
2
,y
3
)=7y
2
2
+9y
2
3
−3y
1
y
2
+5y
1
y
3
))
14. ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=x
2
1
−2x
2
2
+ x
2
3
− 4x
1
x
2
− 2x
2
x
3
;
x
1
= y
1
+2y
2
, x
2
= y
2
, x
3
= y
2
− y
3
.
(DS. ϕ
1
(y
1
,y
2
,y
3
)=y
2
1
− 7y
2
2
+ y
2
3
)
D`ung phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange du
.
a c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng sau vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c (15-19)
15. 2x
2
1
+3x
2
2
+4x
2
3
− 2x
1
x
2
+4x
1
x
3
− 3x
2
x
3
.
(DS. ϕ =2(x
1
−
1
2
x
2
+ x
3
)
2
+
5
2
(x
2
−
3
5
x
3
)
2
+
11
10
x
2
3
⇒ ϕ
1
(y
1
,y
2
,y
3
)=2y
2
1
+
5
2
y
2
2
+
11
10
y
2
3
)
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 259
16. ϕ(x
1
,x
2
,x
3
)=9x
2
1
+6x
2
2
+6x
2
3
− 6x
1
x
2
− 6x
1
x
3
+12x
2
x
3
.
(DS. ϕ( ·)=(3x
1
− x
2
− x
3
)
2
+5(x
2
+ x
3
)
2
⇒ ϕ(y
1
,y
2
,y
3
)=y
2
1
+5y
2
2
+0· y
2
3
)
17. x
2
1
+5x
2
2
− 4x
2
3
+2x
1
x
2
− 4x
1
x
3
.
(D
S. ϕ =(x
1
+ x
2
− 2x
3
)
2
+4x
2
2
−8x
2
3
⇒ ϕ(y
1
,y
2
,y
3
)=y
2
1
+4y
2
2
−8y
2
3
)
18. x
1
x
2
+2x
1
x
3
+4x
2
x
3
.
(Chı
’
dˆa
˜
nv`aD´ap sˆo
´
:D`ung ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i phu
.
x
1
= y
1
x
2
= y
1
+ y
2
x
3
= y
3
v`a thu du
.
o
.
.
cda
.
ng c´o ch´u
.
a b`ınh phu
.
o
.
ng
ϕ(·)=(y
1
+
1
2
y
2
+3y
3
)
2
−
1
4
(y
2
− 2y
3
)
2
− 8y
2
3
⇒ ϕ
1
= z
2
1
−
1
4
z
2
2
− 8z
2
3
)
19. 4x
1
x
2
− 5x
2
x
3
(Chı
’
dˆa
˜
nv`aD´ap sˆo
´
:D`ung ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i phu
.
x
1
=
1
2
(y
1
− y
2
)
x
2
=
1
2
(y
1
+ y
2
)
x
3
= y
3
v`a thu du
.
o
.
.
c
ϕ(·)=
y
1
−
5
4
y
3
2
−
y
2
+
5
4
y
3
2
= z
2
1
− z
2
2
+0· z
2
3
)
D`ung phu
.
o
.
ng ph´ap Jacobi d
ˆe
’
du
.
a c´ac da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng vˆe
`
da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c (20-25)
20. 3x
2
1
+4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+2x
2
2
− 2x
2
x
3
+6x
2
3
.
260 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
(DS. ϕ( ·)=3y
2
1
+
2
3
y
2
2
+
11
2
y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
x
1
= y
1
−
2
3
y
2
,
x
2
= y
2
+
1
2
y
3
,
x
3
= y
3
.)
21. 5x
2
1
−2x
1
x
2
+4x
1
x
3
+5x
2
2
+4x
2
x
3
+3x
2
3
.
(D
S. ϕ(·)=5y
2
1
+
24
5
y
2
2
+ y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
x
1
= y
1
+
1
5
y
2
−
1
2
y
3
,
x
2
= y
2
−
1
2
y
3
,
x
3
= y
3
.)
22. x
2
1
+5x
2
2
+2x
3
2
+4x
1
x
2
+2x
1
x
3
+4x
2
x
3
.
(DS. ϕ( ·)=y
2
1
+ y
2
2
+ y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i:
x
1
= y
1
−2y
2
− y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3
= y
3
.)
23. 5x
2
1
+ x
2
2
+3x
2
3
+4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
− 2x
2
x
3
.
(DS. ϕ( ·)=
1
5
y
2
1
+5y
2
2
+ y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i
x
1
= y
1
−
2
5
y
2
− y
3
,
x
2
= y
2
+3y
3
,
x
3
= y
3
.)
24. x
2
1
+ x
2
2
+5x
2
3
−4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+4x
2
x
3
.
6.1. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng 261
(DS. ϕ( ·)=y
2
1
− 3y
2
2
+4y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i
x
1
= y
1
+2y
2
+ y
3
,
x
2
= y
2
,
x
3
= y
3
.)
25. 3x
2
1
+2x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+ x
2
3
+4x
2
x
3
(DS. ϕ( ·)=3y
2
1
−
1
3
y
2
2
+17y
2
3
nh`o
.
ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i
x
1
= y
1
−
1
3
y
2
− 2y
3
,
x
2
= y
2
+7y
3
,
x
3
= y
3
.)
Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (26-35) t`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao du
.
a
mˆo
˜
ida
.
ng to`an phu
.
o
.
ng d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cv`aviˆe
´
tda
.
ng ch´ınh
t˘a
´
cd´o .
26. 2x
2
1
− 4x
1
x
2
+5x
2
2
.
(D
S.
x
1
=
2
√
5
y
1
+
1
√
5
y
2
x
2
= −
1
√
5
y
1
+
2
√
5
y
2
⇒ ϕ(·)=y
2
1
+6y
2
2
)
27. x
2
1
+ x
2
2
+4x
1
x
2
.
(DS.
x
1
=
1
√
2
y
1
+
1
√
2
y
2
,
x
2
=
1
√
2
y
1
−
1
√
2
y
2
⇒ ϕ(·)=3y
2
1
− y
2
2
)
28. 5x
2
1
+12x
1
x
2
.
(DS.
x
1
=
3
√
13
y
1
−
2
√
13
y
2
,
x
2
=
2
√
13
y
1
+
3
√
13
y
2
⇒ ϕ(·)=9y
2
1
−4y
2
2
)
29. 7x
2
1
+3x
2
2
+6
√
5x
1
x
2
.
262 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
(DS.
x
1
=
3
√
14
y
1
+
5
14
y
2
x
2
=
5
14
y
1
−
3
√
14
y
2
⇒ ϕ(·)=12y
2
1
− 2y
2
2
)
30. 2x
2
1
−4
√
5x
1
x
2
+3x
2
2
.
(DS.
x
1
=
2
3
y
1
+
√
5
3
y
2
x
2
= −
√
5
3
y
1
+
2
3
y
2
⇒ ϕ(·)=7y
2
1
− 2y
2
2
)
31. ϕ(x
1
,x
2
)=4x
1
x
2
(DS.
x
1
=
1
√
2
y
1
−
1
√
2
y
2
x
2
=
1
√
2
y
1
+
1
√
2
y
2
⇒ ϕ(y
1
,y
2
)=2y
2
1
− 2y
2
2
)
32. 3x
2
1
+6x
1
x
2
+3x
2
2
.
(D
S.
x
1
=
1
√
2
y
1
−
1
√
2
y
2
,
x
2
=
1
√
2
y
1
+
1
√
2
y
2
⇒ ϕ(·)=6y
2
1
)
33. 6x
2
1
+5x
2
2
+7x
2
3
− 4x
1
x
2
+4x
1
x
3
(DS.
x
1
=
2
3
y
1
−
1
3
y
2
+
2
3
y
3
,
x
2
= −
1
3
y
1
+
2
3
y
2
+
2
3
y
3
,
x
3
=
2
3
y
1
+
2
3
y
2
−
1
3
y
3
⇒ ϕ(·)=9y
2
1
+6y
2
2
+3y
2
3
)
34. 2x
2
1
+ x
2
2
+3x
2
3
− 4
√
2x
2
x
3
.
(DS. x
1
= y
1
, x
2
=
1
√
3
y
2
+
2
3
y
3
, x
3
= −
2
3
y
2
+
1
√
3
y
3
;
ϕ(·)=2y
2
1
+5y
2
2
− y
2
3
)
35. 2x
2
1
+5x
2
2
+2x
2
3
− 4x
1
x
2
− 2x
1
x
3
+4x
2
x
3
.
(DS. x
1
=
1
√
2
y
1
+
1
√
6
y
2
+
1
√
3
y
3
, x
2
= −
2
√
6
y
2
+
1
√
3
y
3
,
x
3
=
1
√
2
y
1
−
1
√
6
y
2
−
1
√
3
y
3
; ϕ(·)=y
2
1
+7y
2
2
+ y
2
3
)
6.2. D
-
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
ad
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
tbˆa
.
chaivˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 263
6.2 D
-
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
a
d
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`am˘a
.
tbˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c
1
◦
X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
adu
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai
a
11
x
2
+2a
12
xy + a
22
y
2
+2a
13
x +2a
23
y + a
33
=0. (6.20)
Tˆo
’
ng cu
’
a ba sˆo
´
ha
.
ng dˆa
`
u tiˆen
ϕ(x, y)=a
11
x
2
+2a
12
xy + a
22
y
2
(6.21)
l`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng cu
’
a c´ac biˆe
´
n x v`a y v`a d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh (6.20). Ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
n`ay c´o da
.
ng
A =
a
11
a
12
a
12
a
22
.
1
+
Nˆe
´
u detA>0 th`ı (6.20) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ad
u
.
`o
.
ng da
.
ng eliptic.
2
+
Nˆe
´
u detA<0 th`ı (6.20) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh du
.
`o
.
ng da
.
ng hy-
pecbolic.
3
+
Nˆe
´
u detA = 0 th`ı (6.20) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh du
.
`o
.
ng da
.
ng parabolic.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi detA = 0 th`ı (6.20) x´ac d
i
.
nh du
.
`o
.
ng c´o tˆam
d
iˆe
’
m. Nˆe
´
u detA = 0 th`ı (6.20) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
u
.
`o
.
ng khˆong c´o tˆam
d
iˆe
’
m. Hu
.
´o
.
ng cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng tru
.
.
c giao cu
’
a ma trˆa
.
nda
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (6.20) go
.
il`ahu
.
´o
.
ng ch´ınh cu
’
a
du
.
`o
.
ng x´ac di
.
nh bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (6.20).
Ngu
.
`o
.
itach´u
.
ng minh r˘a
`
ng tˆo
`
nta
.
ihˆe
.
to
.
adˆo
.
Dˆec´ac vuˆong g´oc m`a
trong d´ophu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at (6.20) cu
’
adu
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai c´o da
.
ng
ch´ınh t˘a
´
c.
Dˆe
’
t`ım hˆe
.
to
.
adˆo
.
d´o ta tiˆe
´
n h`anh nhu
.
sau.
264 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
1
+
T`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
2
+
Du
.
.
a theo ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i n`ay ta t`ım c´ac hu
.
´o
.
ng ch´ınh cu
’
adu
.
`o
.
ng,
t´u
.
c l`a t`ım c´ac vecto
.
riˆeng tru
.
.
cchuˆa
’
n E
1
v`a E
2
cu
’
a ma trˆa
.
nda
.
ng to`an
phu
.
o
.
ng (6.21).
3
+
T`ım phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
ad
u
.
`o
.
ng d
˜a cho trong hˆe
.
to
.
adˆo
.
OE
1
E
2
.
4
+
Trong phu
.
o
.
ng tr`ınh thu du
.
o
.
.
c ta bˆo
’
sung dˆe
’
thu du
.
o
.
.
c b`ınh
phu
.
o
.
ng du
’
rˆo
`
i t`ım c´ac to
.
adˆo
.
cu
’
adiˆe
’
m O
l`a gˆo
´
ccu
’
ahˆe
.
to
.
adˆo
.
cˆa
`
n
t`ım. Trong hˆe
.
to
.
adˆo
.
t`ım du
.
o
.
.
c O
E
1
E
2
phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
adu
.
`o
.
ng d˜a
cho c´o da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c.
2
◦
. X´et phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
am˘a
.
tbˆa
.
c hai
a
11
x
2
+ a
22
y
2
+ a
33
z
2
+2a
12
xy +2a
13
xz +2a
23
yz + bx + by + ez + f =0,
(6.22)
trong d´o ´ıt nhˆa
´
tmˆo
.
thˆe
.
sˆo
´
a
ij
=0,i = 1, 3, j = 1, 3.
Tˆo
’
ng cu
’
a s´au sˆo
´
ha
.
ng dˆa
`
ucu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
ϕ(x, y, z)=a
11
x
2
+ a
12
y
2
+ a
33
z
2
+2a
12
xy +2a
13
xz +2a
23
yz
(6.23)
l`a da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ba biˆe
´
n x, y, z v`a du
.
o
.
.
cgo
.
il`ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i phu
.
o
.
ng tr`ınh (6.22). Ma trˆa
.
ncu
’
ada
.
ng l`a
A =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
.
Trong mu
.
c tru
.
´o
.
cd˜a c h ´u
.
ng to
’
tˆo
`
nta
.
i ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao du
.
a
da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng (6.23) vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c. Do vˆa
.
yviˆe
.
c kha
’
o s´at v`a
du
.
.
ng m˘a
.
tbˆa
.
c hai x´ac d
i
.
nh bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (6.22) d
u
.
o
.
.
ctiˆe
´
n h`anh
tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
trong 1
◦
.
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 265
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. D
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
17x
2
+12xy +8y
2
+20
√
5x +20=0
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cv`adu
.
.
ng du
.
`o
.
ng x´ac di
.
nh bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d´o.
Gia
’
i. 1
+
Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng
ϕ(x, y)=17x
2
+12xy +8y
2
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o ma trˆa
.
n
A =
17 6
68
.
N´o c´o c´ac sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng l`a λ
1
= 20, λ
2
= 5. Ta t`ım to
.
adˆo
.
c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a A b˘a
`
ng c´ach gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(17 − λ
i
)ξ
1
+6ξ
2
=0,
6ξ
1
+(8− λ
i
)ξ
2
=0
lˆa
`
nlu
.
o
.
.
tv´o
.
i λ
1
= 20 v`a λ
2
=5.
V´o
.
i λ
1
= 20 ta c´o
−3ξ
1
+6ξ
2
=0
6ξ
1
− 12ξ
2
=0
⇒ ξ
1
=2ξ
2
.
Do d´o vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i λ
1
= 20 c´o da
.
ng
u(2α, α) ,α∈ R
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta d
u
.
o
.
.
c
E
1
=
2
√
5
,
1
√
5
.
266 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
V´o
.
i λ
2
= 5 ta c´o
12ξ
1
+6ξ
2
=0,
6ξ
1
+3ξ
2
=0
→ ξ
2
= −2ξ
1
.
Do d
´o vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i λ
2
= 5 c´o da
.
ng
v(β,−2β)
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta thu d
u
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng chuˆa
’
ncu
’
a ma trˆa
.
n A:
E
2
=
−
1
√
5
,
2
√
5
.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c ma trˆa
.
n chuyˆe
’
nvˆe
`
co
.
so
.
’
m´o
.
i (ma trˆa
.
ncu
’
aph´ep biˆe
´
n
dˆo
’
i tru
.
.
c giao) c´o da
.
ng
T =
2
√
5
−
1
√
5
1
√
5
2
√
5
v`a do vˆa
.
y ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao cˆa
`
n t`ım c´o da
.
ng
x =
2
√
5
x
−
1
√
5
y
,
y =
1
√
5
x
+
2
√
5
y
.
(6.24)
N´o d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ϕ vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c
ϕ
1
=20x
2
+5y
2
.
2
+
C´ac vecto
.
co
.
so
.
’
E
1
v`a E
2
thu du
.
o
.
.
ct`u
.
c´ac vecto
.
co
.
so
.
’
e
1
,e
2
b˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao du
.
o
.
.
cchobo
.
’
i cˆong th´u
.
c
E
1
=
2
√
5
e
1
+
1
√
5
e
2
,
E
2
= −
1
√
5
e
1
+
2
√
5
e
2
.
(6.25)
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 267
3
+
Thay (6.24) v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜achotathudu
.
o
.
.
cphu
.
o
.
ng tr`ınh
cu
’
ad
u
.
`o
.
ng trong hˆe
.
to
.
ad
ˆo
.
OE
1
E
2
:
20x
2
+5y
2
+40x
− 20y
+20=0
v`a t`u
.
d´o
(x
+1)
2
1
+
(y
− 2)
2
4
= 1 (6.26)
4
+
Thu
.
.
chiˆe
.
nph´ep d`o
.
ihˆe
.
to
.
adˆo
.
OE
1
E
2
theo vecto
.
−→
OO
= −E
1
+2E
2
ta thu du
.
o
.
.
chˆe
.
to
.
ad
ˆo
.
O
E
1
E
2
v`a trong hˆe
.
d´ophu
.
o
.
ng tr`ınh (6.26) c´o
da
.
ng
x
2
1
+
y
2
4
=1. (6.27)
Nhu
.
vˆa
.
yphu
.
o
.
ng tr`ınh d˜a cho x´ac di
.
nh elip (h`ınh 6.1)
H`ınh 6.1
T`u
.
l`o
.
i gia
’
iv`ah`ınh v˜e tr`ınh b`ay suy ra c´ach du
.
.
ng elip (6.27) trong
hˆe
.
O
E
1
E
2
.Dˆa
`
u tiˆen du
.
.
ng hˆe
.
to
.
adˆo
.
OE
1
E
2
(thay cho E
1
v`a E
2
c´o thˆe
’
du
.
.
ng c´ac vecto
.
−→
OM
1
=2e
1
+ e
2
,
−→
OM
2
= −e
1
+2e
2
); tiˆe
´
pdˆe
´
n thu
.
.
c
hiˆe
.
n ph´ep ti
.
nh tiˆe
´
n song song hˆe
.
d
´omˆo
.
t vecto
.
−→
OO
= −e
1
+2e
2
dˆe
´
n
O
. Sau c`ung l`a du
.
.
ng elip (6.27).
268 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
V´ı d u
.
2. Du
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
u
.
`o
.
ng cong
x
2
− 2xy + y
2
− 10x − 6y +25=0
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cv`adu
.
.
ng du
.
`o
.
ng cong d´o.
Gia
’
i. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a c h o
ϕ(x, y)=x
2
− 2xy + y
2
c´o ma trˆa
.
nl`a
A =
1 −1
−11
Lˆa
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
.
c tru
.
ng
1 − λ −1
−11− λ
= 0 hay l`a λ
2
− 2λ =0.
T`u
.
d´o λ
1
=2,λ
2
= 0. Ta t`ım to
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
riˆeng cu
’
a A b˘a
`
ng
c´ach gia
’
ihˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(1 − λ
i
)ξ
1
−ξ
2
=0,
−ξ
1
+(1− λ
i
)ξ
2
=0
lˆa
`
nlu
.
o
.
.
tv´o
.
i λ
1
=2v`aλ
2
=0.
V´o
.
i λ
1
= 2 ta c´o
−ξ
1
− ξ
2
=0,
−ξ
1
− ξ
2
=0
⇒ ξ
1
= −ξ
2
v`a do d´ohu
.
´o
.
ng ch´ınh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i λ
1
=2du
.
o
.
.
c x´ac di
.
nh bo
.
’
i vecto
.
riˆeng
u =(α, −α),α∈ R
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 269
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta c´o
E
1
=
1
√
2
, −
1
√
2
.
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
v´o
.
i λ
2
=0tac´oξ
1
−ξ
2
=0,−ξ
1
+ ξ
2
=0⇒ ξ
1
= ξ
2
v`a
hu
.
´o
.
ng ch´ınh ´u
.
ng v´o
.
i λ
2
= 0 x´ac di
.
nh bo
.
’
i vecto
.
riˆeng
v(β,β),β∈ R
v`a chuˆa
’
n h´oa ta d
u
.
o
.
.
c
E
2
=
1
√
2
,
1
√
2
.
Nhu
.
vˆa
.
ytad
˜a chuyˆe
’
nt`u
.
co
.
so
.
’
e
1
,e
2
dˆe
´
nco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n E
1
, E
2
,
trong d´o
E
1
=
1
√
2
e
1
−
1
√
2
e
2
,
E
2
=
1
√
2
e
1
+
1
√
2
e
2
bo
.
’
i ma trˆa
.
n chuyˆe
’
n
T =
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
v`a ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tru
.
.
c giao tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
x =
1
√
2
x
+
1
√
2
y
,
y = −
1
√
2
x
+
1
√
2
y
.
(6.28)
D
ˆe
’
t`ım da
.
ng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh du
.
`o
.
ng d˜a cho trong hˆe
.
to
.
adˆo
.
OE
1
E
2
ta thay (6.28) v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at d
˜a cho v`a thu du
.
o
.
.
c
2x
2
−
4
√
2
x
−
16
√
2
y
+ 25 = 0 (6.29)
270 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
hay l`a
x
−
1
√
2
2
=4
√
2
y
−
3
√
2
2
.
Sau ph´ep ti
.
nh tiˆe
´
n song song c´ac tru
.
cto
.
adˆo
.
dˆe
´
ngˆo
´
cm´o
.
i O
=
√
2
2
,
3
√
2
2
,phu
.
o
.
ng tr`ınh (6.29) trong hˆe
.
to
.
ad
ˆo
.
O
XY c´o da
.
ng ch´ınh
t˘a
´
c X
2
=4
√
2Y .Su
.
.
s˘a
´
pxˆe
´
pcu
’
a parabon du
.
o
.
.
cchı
’
ra trˆen h`ınh 6.2.
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 271
H`ınh 6.2
V´ı d u
.
3. D
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
am˘a
.
tbˆa
.
c hai
9x
2
+20y
2
+20z
2
−40yz −36x − 4
√
2y +4
√
2z +4=0
vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
cv`adu
.
.
ng m˘a
.
td
´o.
Gia
’
i. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d˜a cho c´o
da
.
ng
ϕ(x, y, z)=9x
2
+20y
2
+20z
2
− 40yz
v´o
.
i ma trˆa
.
n
A =
90 0
020−20
0 −20 20
.
Ma trˆa
.
n n`ay c´o ba sˆo
´
d
˘a
.
c tru
.
ng l`a λ
1
=9,λ
2
= 40, λ
3
= 0. Do d´o
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
ccu
’
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ϕ(·)l`a
ϕ
1
(·)=9x
2
+40y
2
.
Ta cˆa
`
n t`ım ph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao d
u
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜achovˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c. To
.
adˆo
.
cu
’
a c´ac vecto
.
272 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
riˆeng du
.
o
.
.
ct`ımt`u
.
hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
(9 − λ
i
)ξ
1
+0· ξ
2
+0· ξ
3
=0,
0 · ξ
1
+ (20 − λ
i
)ξ
2
− 20ξ
3
=0,
0 · ξ
1
−20ξ
2
+ (20 − λ
i
)ξ
3
=0
v´o
.
i λ
1
=9,λ
2
= 40, λ
3
=0.
a) V´o
.
i λ
1
= 9 ta c´o
0 · ξ
1
+0· ξ
2
+0· ξ
3
=0,
0 · ξ
1
+11ξ
2
− 20ξ
3
=0,
0 · ξ
1
− 20ξ
2
+11ξ
3
=0.
T`u
.
d´othudu
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i λ
1
=9l`a
u(α, 0, 0),α∈ R,α=0
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta du
.
o
.
.
c
E
1
=(1, 0, 0).
b) V´o
.
i λ
2
= 40 ta c´o
31ξ
1
+0· ξ
2
+0· ξ
3
=0,
0 · ξ
1
− 20ξ
2
−20ξ
3
=0,
0 · ξ
1
− 20ξ
2
−20ξ
3
=0
v`a t `u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c vecto
.
riˆeng ´u
.
ng v´o
.
i λ
2
= 40:
v(0,β,−β),β∈ R,β=0
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta du
.
o
.
.
c
E
2
=
0,
1
√
2
,
−1
√
2
.
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 273
c) V´o
.
i λ
3
= 0 ta c´o vecto
.
riˆeng tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
w(0,γ,γ),γ∈ R,γ=0
v`a sau khi chuˆa
’
n h´oa ta c´o
E
3
=
0,
1
√
2
,
1
√
2
.
Ma trˆa
.
n chuyˆe
’
nt`u
.
co
.
so
.
’
e
1
,e
2
,e
3
dˆe
´
nco
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n E
1
, E
2
, E
3
c´o da
.
ng
T =
10 0
0
1
√
2
1
√
2
0 −
1
√
2
1
√
2
.
Nhu
.
vˆa
.
yph´ep biˆe
´
ndˆo
’
i tru
.
.
c giao du
.
ada
.
ng to`an phu
.
o
.
ng tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d˜a cho vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c c´o da
.
ng
x = x
,
y =
1
√
2
y
+
1
√
2
z
,
z = −
1
√
2
y
+
1
√
2
z
.
(6.30)
Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i n`ay biˆe
´
n c´ac vecto
.
co
.
so
.
’
e
1
,e
2
,e
3
th`anh
E
1
= e
1
,
E
2
=
1
√
2
e
2
−
1
√
2
e
3
,
E
3
=
1
√
2
e
2
+
1
√
2
e
3
.
(6.31)
D
ˆe
’
t`ım phu
.
o
.
ng tr`ınh cu
’
adu
.
`o
.
ng d˜a cho trong hˆe
.
to
.
adˆo
.
m´o
.
i
OE
1
E
2
E
3
ta thˆe
´
(6.30) v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at d˜a cho v`a thu
d
u
.
o
.
.
c
9x
2
+40y
2
− 36x
− 8y
+4=0
274 Chu
.
o
.
ng 6. Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng v`a ´u
.
ng du
.
ng
hay l`a
(x
− 2)
2
3, 6
+
(y
− 0, 1)
2
0, 81
=1.
Tiˆe
´
p theo ta thu
.
.
chiˆe
.
n ph´ep ti
.
nh tiˆe
´
n song song hˆe
.
to
.
adˆo
.
OE
1
E
2
E
3
mˆo
.
t vecto
.
−→
OO
=2E
1
+0, 1E
2
v`a thu du
.
o
.
.
chˆe
.
O
E
1
E
2
E
3
, trong hˆe
.
d´o
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o da
.
ng
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1,a=
3, 6,b =0, 9.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay (v`a do d´ophu
.
o
.
ng tr`ınh d˜a cho) x´ac di
.
nh m˘a
.
t tru
.
eliptic v´o
.
id
u
.
`o
.
ng sinh E
3
.
Du
.
.
ng m˘a
.
t tru
.
eliptic: c`ung v´o
.
ihˆe
.
to
.
adˆo
.
Oe
1
e
2
e
3
ta du
.
.
ng hˆe
.
to
.
a
dˆo
.
O
E
1
E
2
E
3
, trong d´o thay cho viˆe
.
cdu
.
.
ng c´ac vecto
.
(6.31) ta c´o thˆe
’
du
.
.
ng c´ac vecto
.
−→
OM
1
= e
1
,
−→
OM
2
= e
2
− e
3
,
−→
OM
3
= e
2
+ e
3
.
Su
.
.
s˘a
´
pxˆe
´
pcu
’
am˘a
.
td˜achodu
.
o
.
.
cchı
’
r˜o trˆen h`ınh 6.3
H`ınh 6.3
6.2. Du
.
a phu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c 275
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
D
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
a c´ac du
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh
t˘a
´
c v`a nhˆa
.
nda
.
ng ch´ung.
1. 3x
2
− 2xy +3y
2
+2x − 4y +1=0.
(D
S. Du
.
`o
.
ng elip, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
32
3
x
2
+
16
3
y
2
=1)
2. x
2
+2xy − y
2
− 6x +4y − 3=0.
(DS. Du
.
`o
.
ng hypecbˆon, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c2
√
2y
2
−2
√
2x
2
=1)
3. x
2
− 2xy + y
2
+4x − 6y +1=0.
(DS. Du
.
`o
.
ng parabˆon, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c2y
2
−
√
2x
=0)
4. 2x
2
− 4xy − y
2
+8=0
(DS. Du
.
`o
.
ng hypecbˆon, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
x
2
2
2
−
y
2
(
8/3)
2
=1)
5. 5x
2
+4xy +5y
2
− 9=0.
(DS. Du
.
`o
.
ng elip, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
x
2
(3/
√
7)
2
+
y
2
(
√
3)
2
=1)
6. 11x
2
+24xy +4y
2
− 15 = 0.
(DS. Du
.
`o
.
ng hypecbˆon, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
x
2
(
√
3/2)
2
−
y
2
(
√
3)
2
=1)
7. 2x
2
+4xy +5y
2
− 24 = 0.
(DS. Du
.
`o
.
ng elip, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
x
2
(
√
24)
2
+
y
2
2
2
=1)
8. x
2
− 8xy +7y
2
−36 = 0.
(DS. Du
.
`o
.
ng hypecbˆon, phu
.
o
.
ng tr`ınh ch´ınh t˘a
´
c
x
2
2
2
−
y
2
6
2
=1)
D
u
.
aphu
.
o
.
ng tr`ınh tˆo
’
ng qu´at cu
’
a c´ac m˘a
.
tbˆa
.
chaivˆe
`
da
.
ng ch´ınh
t˘a
´
c v`a nhˆa
.
nda
.
ng ch´ung.
