1
TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH
TỔTOÁN
ĐỀTHITH ỬĐẠIHỌCNĂM2010
MÔNTOÁN –KHỐIA
(Thời gianlàm bài:180phút)
PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0điểm)
Câu I.(2,0 điểm)
Chohàmsố
2
2
x
y
x
=
+
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsốđãcho.
2. Viếtphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthị(C),biếtrằngkhoảngcáchtừtâm
đốixứngcủađồthị(C)đếntiếptuyếnlàlớnnhất.
Câu II.(2,0điểm)
1. Giải phươngtrình:
2
4 os 2
tan 2 .tan 2
4 4 tan cotx
c x
x x
x

p p

æ ö æ ö
- + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2. Giảihệphươngtrình:
2 2
2 2
3
2 1
1
4 22
y
x y x
x
x y
y
ì
+ =
ï
+ -
ï
í
ï
+ + =
ï
î
CâuIII.(1,0điểm)
Tính tích phân
8
3

ln
1
x
I dx
x
=
+
ò
Câu IV. (1,0điểm)
ChohìnhchóptứgiácđềuS.ABCDcóđộdàicạnhđáybằnga,mặtbêntạovới
mặtđáygóc60
0
.Mặtphẳng(P)chứaABvàđiquatrọngtâmtamgiácSACcắt
SC,SDlầnlượttạiM,N.TínhthểtíchhìnhchópS.ABMNtheoa.
Câu V.(1,0điểm)
Chocácsốthựca,b,cthỏamãn:0 1,0 1,0 1a b c < £ < £ < £ .Chứng minhrằng:
( )
1 1 1 1
1 3a b c
abc a b c
æ ö
+ + + ³ + + +
ç ÷
è ø
PHẦNRIÊNG(3,0điểm)
Thísinhchỉđượclàmmộttronghaiphần(phần1hoặcphần2)
1.TheochươngtrìnhChuẩn:
Câu VI. a (2,0điểm)
1. TrongmặtphẳngOxychotamgiácABCcó
( )

3;6A - ,trựctâm
( )
2;1H ,
trọngtâm
4 7
;
3 3
G
æ ö
ç ÷
è ø
.XácđịnhtoạđộcácđỉnhBvàC.
2. Trongkhônggianvới hệtoạđộOxyz,chomặtphẳng
( )

a
 vàmặtcầu (S)có
phươngtrình
( )
: 2 2 3 0x y z
a
- + - = và
( )
2 2 2
: 2 4 8 4 0S x y z x y z + + - + - - = .
2
Xétvị trí tương đối củamặtcầu (S)vàmặtphẳng
( )

a

 .Viếtphươngtrình
mặtcầu (S’)đốixứngvớimặtcầu (S)quamặtphẳng
( )

a
 .
Câu VII.a (1,0điểm)
Độidựtuyểnbóngbàncó10nữ,7nam,trongđócódanhthủnamlàVũMạnh
CườngvàdanhthủnữlàNgôThuThủy.Ngườitacầnlậpmộtđộituyểnbóng
bànquốcgiatừđộidựtuyểnnóitrên.Độituyểnquốcgiabaogồm3nữvà4
nam.Hỏicóbaonhiêucáchlậpđộituyểnquốcgiasaochotrongđộituyểncó
mặtchỉmộttronghaidanhthủtrên.
2.TheochươngtrìnhNângcao:
Câu VI. b(2,0điểm)
1. Trong mặtphẳng với hệtoạđộOxy,chotamgiác ABCcóđỉnhAthuộc
đường thẳng d: x – 4y– 2= 0, cạnh BCsong song với d, phươngtrình
đường caoBH:x+y+3=0vàtrung điểmcủacạnhAClàM(1;1).Tìm toạ
độcácđỉnhA,B,C.
2. Trongkhônggianvới hệtoạđộOxyz,chohình thangcânABCDvới
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;5;1 , 2;3;3A B C - -
,trong đóABlàđáylớn,CDlàđáy nhỏ
(CD<AB).Tìm toạđộđiểm D.
Câu VII.b (1,0điểm)
Giảihệphươngtrình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x

x xy x
+ - +
ì
+ =
ï
í
+ + = +
ï
î
 Hết
3
TRƯỜNGTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH
TỔTOÁN
ĐỀTHITH ỬĐẠIHỌCNĂM2010
MÔNTOÁN –KHỐIA
(Thời gianlàm bài:180phút)
ĐÁPÁN THANGĐIỂM
Câu Đápán Điểm
I 2,00
Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C)củahàmsố(1,00điểm)
2
2
x
y
x
=
+
TậpxácđịnhTXĐ:
{ }
\ 2D R =

Sựbiếnthiên
( )
2
4
' 0 x D
2
y
x
= > " Î
+
Hàmsốđồngbiếntrên
( )
; 2 -¥ -
và
( )
2; - +¥
0,25
Bảngbiếnthiên
x
–¥ –2+¥
y’ ++
y
+¥ 2
2 –¥
0,25
Tiệmcận:Tiệmcậnđứngx=2;tiệmcậnngangy=2
Đồthịnhậngiaođiểm
( )
2;2I -
củahaiđườngtiệmcậnlàmtâmđốixứng

0,25
1
Đồthị:
0,25
2 Viếtphươngtrìnhtiếptuyến(1,00điểm)
y
xO
–2
2
6
4
Tiptuyncath(C)tiimMcúhonh
2a ạ -
thucth(C)
cúphngtrỡnh:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
4 2
4 2 2 0
2
2
a
y x a x a y a d
a
a
= - + - + + =
+

+
Tõmixng
( )
22I -
.Tacú
( )
( ) ( )
4 2
8 2 8 2 8 2
, 2 2
2 2 2
16 2 2.4. 2
a a a
d I d
a
a a
+ + +
= Ê = =
+
+ + +
0,25
0,25
( )
,d I d
lnnhtkhi
( )
2
0
2 4
4

a
a
a
=
ộ
+ =
ờ
= -
ở
Túsuyracúhaitiptuyny=xvy=x+8
0,50
II 2,00
1 Giiphngtrỡnhlnggiỏc(1,00im)
iukin
( )
os 2 0 os 2 0
*
4 4
sin 2 0t anxcotx 0
c x c x
x

p p
ỡ
ổ ử ổ ử
- ạ + ạ
ù
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ớ

ù
ạ ạ
ợ
ýrng
tan 2 .tan 2 tan 2 .tan 2
4 4 4 4
cot 2 .tan 2 1
4 4
x x x x
x x

p p p p
p p

ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
- + = - - + =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ổ ử ổ ử
- + + = -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
0,25
KhiúPT(1)trthnh:
2
2
4 os 2
1 cotxtanx=4cos 2
t anxcotx
c x

x - =
( )
2
2
2 2
1 tan 1 2 4
=4 tan 2 1 0
t anx 1+tan 2 tan 2 1 tan 2
x
x
x x x
-
= - =
+
0,5
( )
tan 2 1 2
4 8 2
x x m x k k

p p p
p
= = + = + ẻZ
:Khụngthoiu
kin(*).
Vyphngtrỡnh óchovụnghim.
0,25
2 Giihphngtrỡnh(1,00im)
iukin:
2 2

0, 0, 1 0x y x y ạ ạ + - ạ
t
2 2
1
x
u x y v
y
= + - =
.
0,25
5
HPTtrthnh:
( )
( )
3 2
3 2
1 1
1
21 4 2
1 4 22
u v
u v
u v
u v
ỡ
ỡ
+ =
+ =
ù ù


ớ ớ
ù ù
= -
+ + =
ợ
ợ
Thay(2)vo(1)tac:
2
3
3 2
1 2 13 21 0
7
21 4
2
v
v v
v v
v
=
ộ
ờ
+ = - + =
ờ
-
=
ở
0,25
Nuv=3thỡu=9,tacúHPT:
2 2
2 2

1 9
1
10
3 3
3
x y
y
x y
x
x
x y
y
ỡ
+ - =
=
ỡ
+ =
ỡ
ù

ớ ớ ớ
= =
=
ợ
ợ
ù
ợ
0,25
Nu
7

2
v = thỡu=7,tacúHPT:
2 2
2 2
2
41 7
8
53
7
7
2
2
14
2
53
yx y
x y
x
x y
y
x
ỡ
ỡ
= + - =
ỡ
+ =
ù
ù ù ù

ớ ớ ớ

=
=
ù ù ù
=
ợ
ợ
ù
ợ
Sosỏnh iukintac4nghimcaHPT.
0,25
III
Tớnhtớchphõn
1,00
t
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
=
ỡ
ỡ
=
ù ù

ị
ớ ớ
=
ù ù
= +
+
ợ
ợ
0,25
( )
8
8
3
3
1
2 1ln 2 6ln8 4ln3 2
x
I x x dx J
x
+
ị = + - = - -
ũ
0,25
Vi
8
3
1x
J dx
x
+

=
ũ
t
3 3 3
2
2 2
2 2 2
1 1
1 .2 2 2
1 1 1 1
t t
t x J tdt dt dt
t t t t
ổ ử
= + ị = = = + -
ỗ ữ
- - - +
ố ứ
ũ ũ ũ
0,25
8
3
1
2 ln 2 ln3 ln2
1
t
t
t
ổ - ử
= + = + -

ỗ ữ
+
ố ứ
Tú
20ln2 6ln3 4I = - -
0,25
IV
TớnhthtớchhỡnhchúpS.ABMN
1,00
6
KẻSOvuônggócvới(ABCD)thìOlàgiaođiểmcủaACvàBD.
GọiI,JlầnlượtlàtrungđiểmcủaABvàCD;Glàtrọngtâm DSAC
Gócgiữamặtbên(SCD)vàđáy(ABCD)là
¶
0
60SJI =
0,25
Vì DSIJđềucạnhanênGcũnglàtrọngtâmDSIJ
IGcắtSJtạiKlàtrungđiểmcủaSJ;M,NlàtrungđiểmcủaSC,SD
0,25
2
3 1 3 3
; ( )
2 2 8
ABMN
a a
IK S AB MN IK = = + =
0,25
3
1 3

( ); .
2 3 16
ABMN
a a
SK ABMN SK V S SK ^ = Þ = = (đvtt)
0,25
V
Chứngminhbấtđẳngthức
1,00
Vì0 1,0 1a b < £ < £ nên
( )( )
1 1 0 1 0a b ab a b - - ³ Þ - - + ³
1 a b ab Þ ³ + -
( )
1 1 1
1 1
ab a b
Þ ³ + -
0,25
Chứngminhtươngtự:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1 2 , 1 3
bc b c ca c a
³ + - ³ + -
CộngcácBĐT(1),(2),(3)vếtheovế:
( )
1 1 1 1 1 1
2 3 4
ab bc ca a b c

æ ö
+ + ³ + + -
ç ÷
è ø
0,25
SửdụngBĐT(4)vàBĐTCauchytacó:
( )
1 1 1 1 1 1 1
1 2 3a b c a b c a b c
abc ab bc ca a b c
æ ö æ ö
+ + + = + + + + + ³ + + + + + -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
0,25
S
N
D
I
O
C
G
A
B
K
M
60
0
J
7

( )
1 1 1 1 1 1
2 3a b c
a b c a b c
æ ö
³ + + + + + + + -
ç ÷
è ø
CũngtheoBĐTCauchytađược:
( )
1 1 1
9a b c
a b c
æ ö
+ + + + ³
ç ÷
è ø
Dođó
( )
1 1 1 1 1 1 1
1 6 3 3a b c
abc a b c a b c
æ ö
+ + + ³ + + + - = + + +
ç ÷
è ø
(đpcm)
Đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhia=b=c=1.
0,25
VI.a 2,00

1 TìmtọađộđiểmBvàđiểmC(1,00điểm)
GọiIlàtrungđiểmcủaBC.Tacó
2 7 1
;
3 2 2
AG AI I
æ ö
= Þ
ç ÷
è ø
uuur uur
ĐườngthẳngBCquaIvuônggócvớiAHcóPT:x –y –3=0
Vì
7 1
;
2 2
I
æ ö
ç ÷
è ø
làtrungđiểmcủaBC.
Giảsử
( ) ( )
; 7 ;1
B B B B
B x y C x y Þ - - và 3 0
B B
x y - - =
0,50
HlàtrựctâmcủatamgiácABCnên

CH AB ^
( ) ( )
5 ; , 3; 6
B B B B
CH x y AB x y = - + = + -
uuur uuur
0,25
( )( ) ( )
3
1 6
. 0
5 3 6 0 2 3
B B
B B
B B B B B
x y
x x
CH AB
x x y y y
- =
ì
= =
ì ì
ï
= Û Û Ú
í í í
- + + - = = - =
ï
î î
î

uuur uuur
Vậy
( ) ( )
1; 2 , 6;3B C - hoặc
( ) ( )
6;3 , 1; 2B C -
0,25
2 Viếtphươngtrìnhmặtcầuđốixứng(1,00điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 2 4 25S x y z - + + + - = ,tâm
( )
1; 2;4I - vàR=5
KhoảngcáchtừIđến
( )

a

( )
( )
, 3d I R
a
= <
Vậy
( )

a
 vàmặtcầu(S)cắtnhau.
0,25
GọiJlàđiểmđốixứngcủaIqua

( )

a

PTđườngthẳngIJ:
1 2
2
4 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - -
í
ï
= +
î
0,25
ToạđộgiaođiểmHcủaIJvà
( )

a
 thoả
( )
1 2 1
2 1
1; 1;2
4 2 1

2 2 3 0 2
x t t
y t x
H
z t y
x y z z
= + = -
ì ì
ï ï
= - - = -
ï ï
Û Þ - -
í í
= + = -
ï ï
ï ï
- + - = =
î î
VìHlàtrungđiểmcủaIJnên
( )
3;0;0J -
0,25
8
Mtcu(S)cútõmJbỏnkớnhR=R=5nờncúPT:
( ) ( )
2
2 2
' : 3 25S x y z + + + =
0,25
VII.a

Scỏchchnituynbúngbnqucgia
1,00
1. ituyncúVMnhCng,khụngcúNgụThuThu
Scỏchchn3namcũnlil
3
6
C
Scỏchchn3nkhụngcúNgụThuThul
3
9
C
0,25
Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl
3 3
6 9
. 1680C C =
(cỏch)
0,25
2.ituyncúNgụThuThu,khụngcúVMnhCng
Scỏchchn4namkhụngcúVMnhCngl
4
6
C
Scỏchchn2ncũnlil
2
9
C
0,25
Suyrascỏchchntrongtrnghpnyl
4 2

6 9
. 540C C =
(cỏch)
VyscỏchchnituynbúngbnQucgial
1680+540=2220(cỏch)
S:2220(cỏch)
0,25
VI.b 2,00
1 TỡmtacỏcnhA,B,C(1,00im)
TacúACvuụnggúcviBHviquaM(11)nờncúPT:y=x
TonhAlnghimcah:
2
4 2 0
2 2
3

2
3 3
3
x
x y
A
y x
y
ỡ
= -
ù
- - =
ỡ
ù

ổ ử
ị - -
ớ ớ
ỗ ữ
=
ố ứ
ợ
ù
= -
ù
ợ
VỡMltrungimcaACnờn
8 8

3 3
C
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
0,50
VỡBCiquaCvsongsongvidnờnPT(BC) :
2
4
x
y = +
0,25
( )
3 0
4
: 41

1
2
4
x y
x
BH BC B B
x
y
y
+ + =
ỡ
= -
ỡ
ù
ầ = ị -
ớ ớ
=
= +
ợ
ù
ợ
0,25
2 TỡmtanhD(1,00im)
DoABCDlhỡnhthangcõnnờnAD=BC=3.
Gi D lngthngquaCvsongsongviAB,(S)lmtcutõmAbỏn
kớnh R=3.imDcntỡmlgiaoimca D v(S). 0,25
ngthng D cúvectchphng
( )
263AB = -
uuur

nờncúphngtrỡnh:
0,25
9
2 2
3 6
3 3
x t
y t
z t
= -
ỡ
ù
= +
ớ
ù
= +
ợ
Phngtrỡnhmtcu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 1 2 9S x y z - + + + + =
ToimDthoHPT:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2
1
3 6
49 82 33 0
33

3 3
49
3 1 2 9
x t
t
y t
t t
z t
t
x y z
= -
ỡ
ù
= -
ộ
= +
ù
ờ
ị + + =
ớ
= +
ờ
= -
ù
ở
ù
- + + + + =
ợ
0,25
Vit= 1,thỡD(4 30):khụngthovỡAB=CD=7

Vi
33 164 51 48

49 49 49 49
t D
ổ ử
= - ị -
ỗ ữ
ố ứ
(nhn)
0,25
VII.b
Giihphngtrỡnh
1,00
( )
( )
3 1 2 3
2
2 2 3.2 1
3 1 1 2
x y y x
x xy x
+ - +
ỡ
+ =
ù
ớ
+ + = +
ù
ợ

PT
( )
( )
2
1
x+1 0
1
2
3 1 0
0 1 3
3 1 1
x
x
x x y
x y x
x xy x
-

ỡ
- ỡ
ỡ
ù

ớ ớ ớ
+ - =
= = -
+ + = +
ù
ợ
ợ

ợ
0,25
Vix=0thayvo(1):
2
2
8 8
2 2 3.2 8 2 12.2 2 log
11 11
y y y y y
y
-
+ = + = = =
0,25
Vi
1
1 3
x
y x
-
ỡ
ớ
= -
ợ
thayy=13xvo(1)tac:
( )
3 1 3 1
2 2 3.2 3
x x + - -
+ =
t

3 1
2
x
t
+
= ,vỡ
1x -
nờn
1
4
t -
PT(3):
2
3 2 2
1
6 6 1 0
3 2 2
t
t t t
t
t
ộ
= -
+ = - + =
ờ
= +
ờ
ở
0,25
ichiuiukin

1
4
t - tachn
3 2 2t = +
.
Khiú
( )
3 1
2
1
2 3 2 2 log 3 2 2 1
3
x
x
+
ộ ự
= + = + -
ở ỷ
( )
2
1 3 2 log 3 2 2y x = - = - +
VyHPTóchocú2 nghim
2
0
8
log
11
x
y
=

ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
v
( )
( )
2
2
1
log 3 2 2 1
3
2 log 3 2 2
x
y
ỡ
ộ ự
= + -
ù
ở ỷ
ớ
ù
= - +
ợ
0,25
10