TRƯỜNGĐHSPHÀNỘI ĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦNIIINĂM2010
TRƯỜNGTHPTCHUYÊN–ĐHSP Mônthi:TOÁN
_______________ Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờigianphátđề
==========================================
Ngàythi:28–3–2010
Câu 1.(2,0điểm).Chohàmsốy=x
4
+2m
2
x
2
+1(1).
1. Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsốkhim=1.
2. Chứngminhrằngđườngthẳngy=x+1luôncắtđồthịhàmsố(1)tạihaiđiểm
phânbiệtvớimọigiátrịcủam.
Câu 2.(2,0điểm)
1. Giảiphương trình:2sin
2
(x
4

p

)=2sin
2
xtanx.
2. Giảiphương trình:2log
3
(x
2
–4)+3

2
3
)2(log +x  log
3
(x –2)
2
=4.
Câu 3.(2,0điểm)
1. Tínhtíchphân: I=
ò
+
3
0
2
sin3cos
sin

p

dx
xx
x
.
2.Trongkhônggian,chotamgiácvuôngcânABCcócạnhhuyềnAB=2a.Trên
đườngthẳngdđiquaAvàvuônggócmặtphẳng(ABC)lấyđiểmSsaochomp(SBC)
tạovớimp(ABC)mộtgócbằng60
0
.TínhdiệntíchmặtcầungoạitiếptứdiệnSABC.
Câu 4.(2,0điểm)
1. Giảihệphương trình:

ï
î
ï
í
ì
+ = +
+ = +
)1(51
164
22
33
xy
xyyx
.
2. Tìmgiá trịnhỏnhấtcủahàmsố:
f(x)=
22
5884
2
234
+ -
+ - + -
xx
xxxx
Cõu5.(2,0điểm)
1. TrongkhônggianvớihệtọađộOxyz,chođiểmA(0;1;3)vàđườngthẳng
d:
ï
î
ï

í
ì
=
+ =
- =
3
22
1
z
ty
tx
HãytìmtrênđườngthẳngdcácđiểmBvàCsaochotamgiácABCđều.
2.TrongmặtphẳngOxychoelíp(E)cótiêuđiểmthứnhấtlà( 3 ;0)vàđiqua
điểm M(1;
5
334
).Hãyxác địnhtọađộcácđỉnhcủa(E).

HƯỚNGDẪNGIẢIBÀITHILẦN3
Câu1.
1. Tựlàm.
2. Xétphương trìnhhoànhđộgiaođiểm:x
4
+2m
2
x
2
+1=x+1
Û
x

4
+2m
2
x
2
–x=0
Û
x(x
3
+2m
2
x–1)=0
Û
ê
ë
é
ê
ë
é
= - +
=
(*)012
0
23
xmx
x
Đặtg(x)=x
3
+2m
2

x–1;
Tacú:g’(x)=3x
2
+2m
2
³ 0(vớimọixvàmọim)
Þ
Hàmsốg(x)luônđồngbiếnvớimọi
giátrịcủam.
Mặtkhácg(0)=1 ¹ 0.Dođóphương trình(*)cúnghiệmduynhấtkhỏc0.
Vậyđườngthẳngy=x+1luôncắtđồthịhàmsố(1)tạihaiđiểmphânbiệtvớimọigiátrịcủa
m.
Câu2.
1.Giảiphươngtrình:2sin
2
(x
4

p

)=2sin
2
x–tanx (1)
Điềukiện:cosx ¹ 0
Û
x ¹
p
p

.

2
k + (*).
(1)
Û
1–cos(2x 
2

p

)=2sin
2
x–tanx
Û
1–sin2x=tanx(sin2x– 1)
Û
ê
ë
é
- =
=
1tan
12sin
x
x
Û
ê
ê
ê
ê
ë

é
+ - =
+ =

p
p
p
p

.
4
2.
2
2
lx
kx
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
+ - =
+ =

p
p
p
p


.
4
.
4
lx
kx
Û
x=
2
.
4

p p

k + .(Thỏamãnđiềukiện(*)).
2.Giảiphươngtrình:2log
3
(x
2
–4)+3
2
3
)2(log +x log
3
(x2)
2
=4 (2).
Điềukiện:
ï

î
ï
í
ì
³ +
> -
0)2(log
04
2
3
2
x
x
Û
ï
î
ï
í
ì
³ +
> -
1)2(
04
2
2
x
x
Û
ê
ë

é
- £
>
3
2
x
x
(**)
Pt(2)đượcbiếnđổithành:log
3
(x
2
–4)
2
–log
3
(x–2)
2
+3
2
3
)2(log +x 4=0
Û
log
3
(x+2)
2
+3
2
3

)2(log +x 4=0
Û
(
2
3
)2(log +x +4)(
2
3
)2(log +x 1)=
0.
Û
2
3
)2(log +x =1
Û
(x+2)
2
=3
Û
x+2= 3 ±
Û
x=2 3 ± .
Kiểmtrađiềukiện(**)chỉcóx= 2 3 thỏamãn.
Vậyphương trìnhcónghiệmduynhấtlà:x=2 3 .
Chỳý: 1/Biếnđổi:2log
3
(x
2
–4)=log
3

(x
2
–4)
2
làmmởrộngtậpxácđịnhnên
xuấthiệnnghiệmngoạilaix=2+ 3 .
2/Nếubiếnđổi:log
3
(x –2)
2
=2log
3
(x –2)hoặclog
3
(x+2)
2
=2log
3
(x+2)sẽ
làmthuhẹptậpxácđịnhdẫnđếnmấtnghiệm(Lỗiphổbiếncủahọcsinh!)
Cõu3.
1. Tínhtíchphân:I=
ò
+
3
0
2
.
sin3cos
sin


p

dx
xx
x
Đặtt= x
2
sin3 + = x
2
cos4 - .Tacó cos
2
x=4– t
2
vàdt= dx
x
xx
2
sin3
cossin
+
.
Đổicận:Với:x=0thỡt= 3 ;x=
3

p

thỡt=
2
15

I=
ò
+
3
0
2
.
sin3cos
sin

p

dx
xx
x
=
ò
+
3
0
22
sin3cos
cos.sin

p

dx
xx
xx
=

ò
-
2
15
3
2
4 t
dt
= dt
tt
)
2
1
2
1
(
4
1
2
15
3
-
-
+
ò
=
=
2
15
3

2
2
ln
4
1
-
+
t
t
= )
23
23
ln
415
415
(ln
4
1
-
+
-
-
+
= ))23ln()415(ln(
2
1
+ - + .
2. TacóSA ^ mp(ABC)
Þ
SA ^ AB;SA ^ AC 

TamgiácABCvuụngcõncạnhhuyềnAB
Þ
BC ^ AC
Þ
BC ^ SC(Địnhlý3
đườngvuônggóc).HaiđiểmA,CcùngnhỡnđoạnSBdướigócvuôngnênmặtcầu
đườngkínhSBđiquaA,C.VậymặtcầungoạitiếptứdiệnSABCcũngchínhlàmặtcầu
đườngkínhSB.
TacóCA=CB=ABsin45
0
=a
2
;
= ÐSCA
60
0
làgócgiữamặt(SBC)và
mp(ABC)
SA=AC.tan60
0
=a 6.TừđóSB
2
=SA
2
+AB
2
=10a
2
.
Vậydiện tíchmặtcầungoạitiếptứdiệnSABClà:S=

2
d
p
 =
p
.SB
2
=10
p
a
2
.
Cõu4.
1. Giảihệ:
ï
î
ï
í
ì
+ = +
+ = +
)2) (1(51
)1 (164
22
33
xy
xyyx
Từ(2)suyray
2
–5x

2
=4(3).Thếvào(1)được:x
3
+(y
2
–5x
2
).y=y
3
+16x
Û
Û
x
3
–5x
2
y –16x=0
Û
x=0hoặcx
2
–5xy –16=0.
TH1:x=0
Þ
y
2
=4(Thếvào(3)).
Û
y= ± 2.
TH2:x
2

–5xy– 16=0
Û
y=
x
x
5
16
2
-
(4).Thếvào(3)được:
22
2
5)
5
16
( x
x
x
-
-
=4
Û
Û
x
4
– 32x
2
+256– 125x
4
=100x

2
Û
124x
4
+132x
2
–256=0
Û
x
2
=1
Û
x= ± 1.
Thếvào(4)đượcgiátrịtương ứngy=
3m
.
Vậyhệcó4nghiệm:(x;y)=(0;2);(0;2);(1;3);(1;3).
Chỳý:Nếuthaygiátrịcủaxvào(3)ởtrườnghợp2,sẽthừa2cặpnghiệm!
2. Tìm GTNNcủahàmsố:f(x)=
22
5884
2
234
+ -
+ - + -
xx
xxxx
.
Tậpxácđịnh:Rvỡx
2

– 2x+2=(x –1)
2
+1>0vớimọix.
Biếnđổiđược:f(x)=x
2
–2x+2+
22
1
2
+ - xx
2 ³ (BấtđẳngthứcCosichohaisố
dương).Dấubằngxảyrakhi:x
2
–2x+2=1
Û
x=1.
Vậy:minf(x)=2đạtđượckhix=1.
Cõu5.
1. TìmcácđiểmB,C?
GọiHlàhìnhchiếuvuụnggóccủaA trònd.H Îd
Û
H(1t;2+2t;3)
Û
A H =(1t;1+2t;0).MàAH ^ dnờn
d
uAH ^ (1;2;0).Từđócó1(1t)+2(1+2t)=0
Û
t=1/5
Û
H(6/5;8/5;3).

TacóAH=
5
53
.màtamgiácABCđềunênBC=
5
152
3
2
=
AH
hayBH=
5
15
.
Gọi:B(1s;2+2s;3)thỡ
25
15
)2
5
2
()
5
1
(
22
= + + - - SS
Û
25s
2
+10s–2=0

Û
s=
5
31± -
Vậy:B( )3;
5
328
;
5
36 ± m
vàC( 3;
5
328
;
5
36 m ±
)(Haicặp).
2. Xácđịnhtọađộcácđỉnhcủa(E)?
TheobàiracóF
1
( 3 ;0)vàF
2
( 3 ;0)làhaitiêuđiểmcủa(E).Theođịnhnghĩacủa
(E)suyra:2a=MF
1
+MF
2
=
22
)

5
334
()31( + + +
22
)
5
334
()31( + - =10
Þ
a=
5.
Lạicóc= 3 vàa
2
–b
2
=c
2
Þ
b
2
=a
2
– c
2
=22.Vậytọađộcácđỉnhcủa(E)là:
A
1
(5;0);A
2
(5;0);B

1
(0;
22
);B
2
(0;
22
).