ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 - đề 3 pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.84 KB, 4 trang )
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 - 3
( Thời gian 180 phút)
Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m
a). khảo sát hàm số khi m=-1
b) Tìm m để phương trình x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m = 0
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình
xxmxxx 4512
a) Giải phương trình khi m = 12
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: (4 điểm) Tính
x
xx
Lim
x
11001.101
20062005
0
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình
log
3
(x
2
+x+1) - log
3
x = 2x-x
2
Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
G
1
, G
2
, G
3
, G
4
lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC.
Đặt AG
1
= m
1
, BG
2
= m
2
, CG
3
= m
3
, DG
4
= m
4
.
CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi
m
1
+m
2
+m
3
+m
4
=
3
16R
HƯỚNG DẪN SƠ LƯỢC TOÁN HSG12
1b) Phương trình x
3
-(3+2m)x
2
+5mx +2m = 0
(x-2m)(x
2
-3x-m)=0
)2(03
2
2
mx
mx
x
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt
2m
4
9
4
7
,0
049
02.3
2
2
m
mm
m
mm
m
Bài 2:( 5 đ)
a)(2 đ) Từ điều kiện 0
4x
VP
12)4445(12
VT
44
+
12124
phương trình có nghiệm x=4
b). (3 đ )
Phương trình đã cho
f(x) =
mxxxxx 4512 (2)
Xét hàm số f(x) trên [0;4]
f(x)=f
1
(x)f
2
(x) với
f
1
(x) = 12 xxx có f’
1
(x) =
122
1
2
xx
x
x
>0
f
1
(x) trên [0;4] và f
1
(x)
0
x
[0;4]
f
2
(x) = xx 45 có f’
2
(x) =
xx
xx
xx
452
544
42
1
52
1
>0
f
2
(x) trên [0;4] và f
2
(x)
0
x
[0;4]
f(x) trên [0;4]
Min
[o;4]
f(x) = f(0) =
4512 và Max
[o;4]
f(x) =12
Từ đó (2) có nghiệm
Min
[o;4]
f(x)
m
Max
[o;4]
f(x)
4512
m
12 là điều kiện để (1) có nghiệm
Bài 3:( 5 đ)
Trước hết ta chứng minh: a
0, n
N, n
2 thì
n
a
x
ax
n
x
Lim
11
0
Đặt y =
n
ax1 khi đó x
0 thì y
1 và
n
a
y
y
a
y
x
ax
yy
Lim
y
LimLim
n
y
n
y
n
x
)1
1
1
111
(1
110
(2 đ)
Ta có:
x
xx
Lim
x
11001.101
20062005
0
=
x
xxxx
Lim
x
110011011001.101
2006200620062005
0
=
x
x
x
x
x
LimLim
xx
110011101
1001
2006
0
2005
2006
0
=
2006.2005
220560
2006
100
2005
10
(3 đ)
Câu 4: Phương trình đã cho
x
x
Log
x
x
x
x
2
2
3
2
1
0
3
2
2
1
0
2
xx
x
x
x
x
xét hàm số y=
x
x
x
1
2
với x>0, Minf(x) = 3 với x=1
y= g(x)=
3
2
2
xx
với x>0, Maxf(x) =3 với x=1
Phương trình đã cho có nghiệm x=1.
Bài 5:( 4 đ) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện
Ta có:
OGDGCGBGA
R
ODOCOBOA
22222
Mặt khác: 4R
2
=
GDOGGCOGGBOGGAOG
2222
(1 đ)
4R
2
= 40G
2
+GA
2
+GB
2
+GC
2
+GD
2
(1 đ)
mà GA
2
=
m
2
1
16
9
, GB
2
=
m
2
2
16
9
,GC
2
=
m
2
3
16
9
,GD
2
=
m
2
4
16
9
4R
2
= 40G
2
+
mmmm
2
4
2
3
2
2
2
1
16
9
4R
2
mmmm
2
4
2
3
2
2
2
1
16
9
(1 đ)
Theo BĐT “ Bunhiacopxki” ta có
)(4
4321
4321
2
mmmmmmmm
R
2
mmmm
mmmm
4321
2
4321
256
9
64
9
( 1 đ)
3
16
4321
R
mmmm
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
mmmm
GO
4321
Tứ diện ABCD
đều (1đ)
