()Giải PTVT bằng PP lượng liên hợp
I.Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số , xác định trên .
Ta biết là nghiệm phương trình .
Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì
. Từ đây ta có nhận xét:
Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình về
dạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương
trình . Ta xét ví dụ sau:
II.Một số ví dụ

Ví dụ 1:
Giải phương trình: (
HVKTQS 2000
).
Giải: Điều kiện : .
Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và là
những số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên ta biến
đổi phương trình như sau: , vấn đề còn lại của chúng ta
là phải phân tích ra thừa số (Chú ý khi
thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổi biểu thức này
về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạng
điều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến
đổi :
.
Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giải phương
trình:
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .
Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức:
hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợp

của nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp.
2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từ đó ta mới
định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta có thể sử dụng máy
tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .

Ví dụ 2:
Giải phương trình : (
THTT
).
Giải: Điều kiện : .
Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trên bằng
phương pháp nhân lượng liên hợp.

Ta có:
()
Mặt khác vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: .
Nhận xét :
* Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là:
(Điều
kiện : ).
* Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minh phương
trình vô nghiệm. Thay vào phương trình thì do đó ta tìm cách chứng minh
VT < VP.


Ví dụ 3:
Giải phương trình :
(
THTT

).

Giải: Điều kiện: .
Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .
Ta có:
(Do biểu thức trong dấu () >0).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .



Ví dụ 4:
Giải phương trình: .
Giải: Điều kiện: .
Nhận thấy phương trình có một nghiệm .
Phương trình

Kết hợp với phương trình ban đầu ta có :
thử lại ta thấy hai nghiệm này
đều thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: .
Nhận xét:
Để giải phương trình ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằng phép biến đổi
này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm để loại đi những nghiệm
ngoại lai.
Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệm tương
đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặc biệt là khi tất cả
các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúng ta phải xử lí thế nào? Ta
xét các ví dụ sau:



Ví dụ 5:
Giải phương trình :
.
Giải: Do nên .
Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Ta thấy
nếu thì hai vế của phương trình bằng nhau nên ta phân
tích ra thừa số .
Ta có:
(do nên khi đặt làm thừa số thì biểu thức trong
dấu (.) luôn dương ).
là nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý :
Mẫu chốt của bài toán là ta có nhận xét , từ đó ta mới định hướng
tìm cách phân tích ra thừa số . Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì việc tìm được nhân tử
chung không còn đơn giản vậy nữa.



Ví dụ 8:
Giải phương trình: .
Giải:
Với phương trình ta không gặp được sự may mắn như phương trình trên, bằng cách sử dụng MTBT ta
thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nếu ta linh hoạt một chút ta sẽ nghĩ đến thừa số chung là
một tam thức bậc hai có hai nghiệm . Vấn đề tam thức ở đây là tam thức nào? Các bạn thử nghĩ
xem nếu biết hai nghiệm của tam thức thì ta có thể xác định được tam thức đó hay không? Chắc chúng
ta sẽ trả lời là có nhờ vào định lí đảo của định lí Viet. Áp dụng định lí Viet ta tính
được ( sử dụng MTBT) . Vậy thừa số chúng mà ta cần phân tích là tam
thức nên ta biến đổi như sau:
Phương trình

là nghiệm của phương trình.

Chú ý :
1) Để tạo ra thừa số ngoài cách biến đổi như trên ta còn có thể
làm cách khác như sau:
Cách 2:
Vì không là nghiệm phương trình nên.
Phương trình
=>Phương trình có hai nghiệm: .
2) Nếu như chúng ta không có máy tính để xác định được thừa số chung là thì ta là thế
nào ?.
Trước hết ta thêm một lượng vào hai vế:
.
Ta chọn m,n sao cho: , từ đây ta có: .
3) Ta thấy cả hai cách biến đổi đều làm xuất hiện thừa số chung . Tuy nhiên cách thứ 2
sẽ thuận lợi hơn cách thứ nhất vì ở cách thứ 2 sau khi đặt thừa số ta chỉ còn phải giải quyết phương
trình , còn với cách thứ nhất thì ta phải giải quyết biểu thức trong dấu (.) phức tạp hơn nhiều. Hơn
nữa với cách biến đổi thứ hai chúng ta dễ sáng tạo ra các bài toán hơn cách thứ nhất.


Ví dụ 9:
Giải phương trình : .
Giải: Điều kiện : .
Ta thấy không là nghiệm của phương trình nên ta có:
Phương trình . Bằng cách làm như đã nêu ở phần nhận xét ta
tìm được , do đó ta thêm vào hai vế của phương trình lượng :
Phương trình
(1).
* Nếu
.

Khi đó (1) đúng là một nghiệm của phương trình.
* Nếu
Ta có: (a) có hai nghiệm và
(b)
.
Vậy phương trình có bốn nghiệm: .

Chú

ý :
Khi muốn thêm bớt bằng cách nhân, chia một biểu thức thì ta phải kiểm tra xem biểu
thức đó có luôn khác không hay không ?


Ví dụ 10:
Giải phương trình:
.
Giải: Đk : .
Đặt : (I)
Ta thấy phương trình có nghiệm .Ta biến đổi như sau:
(Vì hai pt: và vô
nghiệm ). .
Kết hợp (I) và (II) ta có hệ :
.
Thay vào phương trình ban đầu ta thấy chỉ nghiệm thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .



Ví dụ 11 :

Giải bất phương trình :
.
Giải: Điều kiện :
Bất phương trình .
.
Kết hợp điều kiện nghiệm bất phương trình : .
VÀ dĩ nhiên là thêm mấy bài tập để các bạn luyện tập
III.Bài tập
Giải các phương trình sau:
1)
2)
3)
4)
5) .
6)
7) )
8 )
9)
10)
11)
12)
13)

♥ Đây chỉ là một phương pháp nhỏ trong các phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn (new version -
fully)
1. Phương trình có dạng
VD: Giải phương trình:
HD giải. Đặt .
Ta có
Cộng theo vế : ta có

Suy ra Bạn đọc tự giải tiếp.
1 cách giải thật hay phải không. Nhưng tại sao lại có thể nghĩ ra để đặt mà
sau khi biến đổi ta lại được mối quan hệ giữa và . Đa thức lấy đâu ra. Hoàn toàn
không phải mò đâu. Có cơ sở để biết được đa thức đặt đấy. Quá trình sau sẽ giúp bạn
hiểu thêm.
Điều chúng ta muốn là một mối quan hệ giữa và , đẹp nhất là . Để có , thì
Theo hệ số bất định: . Do là các hệ số đã biết
nên ta có thể tìm được . Như vậy là đã có thể tìm được đa thức
như mong muốn. Với phương pháp này ta có thể giải được tất cả các phương trình có dạng
phải không.
2. phương trình có dạng các bậc cao hơn, chúng ta sẽ làm tương tự như trên để biết được đa thức đặt.
♥ Một số bài tập :
1.
2.
3.
4.
Hai cách giải đẹp cho một pt
Xem pt ,
Đặt , viết pt dưới dạng
,
Pt bậc hai theo y có
.!
Cách 2.
Pt trên tương đương với
Đặt , pt này là
Hay
Xem pt
Suy ra
.
Tại sao chọn đặt ?

Giả sử đặt , xem hệ
.
Pt suy ra từ hệ là
.
Ta cần chọn m, n sao cho pt này quy được về pt tích.
Ta chỉ có thể nhóm pt này làm hai phần
+ Phần đầu
+ Phần sau
Để ý rằng phần đầu chỉ có đúng 2 loại nhân tử,
Cả hai nhân tử này đều không chứa hệ số tự do. Do đó, phần sau cũng không được chứa hệ số tự do, tức
là
Xét trường hợp
1. Phần sau có nhân tử kểu , ta phải có
Thử lại thấy thỏa yêu cầu.
2. Phần sau có nhân tử kểu
Điều nàychỉ xảy ra khi , không thỏa!
Đây là một ý tưởng thú vị bởi thuật toán để nhận ra cách đặt ẩn phụ. Tuy nhiên, có lẻ nó chỉ khả thi khi
bài toán được cho để giải quyết như vậy!!
Tìm hệ số điều chỉnh!?
Xem pt
Viết nó dưới dạng
,
Đặt
Pt trên trở thành
Với
Pt cuối tương đương với
Tại sao lại viết được dưới dạng ?
Với mọi t, pt đã cho tương đương với
Đặt
Cần chọn t sao cho pt

có biệt thức chính phương.
Việc này dẫn đến việc giải pt bậc ba

> Kỹ thuật điều chỉnh biệt thức.
Kỹ thuất đối xứng hóa
/>13880/
Ta đặt vấn đề giải pt dạng
Nếu là nghiệm của pt giải bậc ba
thì pt
sẽ đưa được về pt tích theo x,y bằng phép đặt ẩn
.
Lấy lại pt trên
Pt giải
Bây giờ đặt . Ta có hệ
Suy ra
Hay .
Nếu không nhân vào hai vế pt đầu, bạn sẽ ko đưa được nó về pt tích!
Thêm nữa, những cách đặt khác, kểu như
Vẫn giải quyết được bài này!?
Xem pt
.
Phương pháp giải đặc trưng cho dạng này là lượng giác hóa,
Đặt , pt nhận được có dạng
.
Đây đã là dạng pt lượng giác quen. Bây giờ tôi thử đối xứng hóa nó
Đầu tiên, viết lại pt đã cho dạng
Xem pt giải, Pt có nghiệm .
Tiếp theo là nhân vào hai vế pt đầu với , rồi đặt Phần còn lại chỉ mang tính thủ tục!
Xem tiếp pt ,
Cách giải đặc trưng như sau

Xét nghiệm , chia hai vế pt cho rồi đặt , dẫn đến pt
.
Để ý , tiếp theo đã đơn giản!
Đối xứng hóa thử xem sao
Xem pt giải
pt này luôn có nghiệm !
Lời giải đẹp cho một pt
Xem pt
(Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)
Biến đổi tương đương
,
Hay
, với .
,
Pt có nghiệm thỏa
Còn giải các pt cơ bản
,
(p/s Spam chém gió quá đí và còn một phần của pt rất quan trọng)
lúc đó chúng ta đặt
và đưa về hệ đối xứng loại hai
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của
phương tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
khi đó :
Đặt . Phương trình viết thành :
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh sau khi
đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : (1)

lời giải : ĐK :
Đặt
Lúc đó :
(1)
Phương tr“nh trở thành :
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
Do nên không thỏa điều kiện .
Với th“ :
( thỏa mãn điều kiên
Ví dụ 11 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
* Với , ta có :
(vô nghiệm v“ : )
* Với , ta có :
Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)
TQ :
Ví dụ 12 :
Lời giải :
Đặt .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
Từ đó ta tìm được hoặc
Giải ra được : .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương
pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ
th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo
biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực
hiện dễ dàng hơn .

ví dụ 13 :
Lời giải : ĐK :
Đặt .
phương trình đã cho trở thành :
Giải ra : hoặc (loại)
* ta có :
Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 :
Lời giải : ĐK :
Đặt
Phương tr“nh đã cho trở thành :
Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng
tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : (1)
Lời giải : ĐK : .
Đặt .
phương tr“nh (1) trở thành :
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt để đưa về dạng :
TQ :
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : (1)
Lời giải : ĐK :
Viết lại (1) dưới dạng :
(2)
Đặt .
Khi đó (2) trở thành :
Do vậy hoặc
* . Ta có :

* . Ta có :
Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :
Ví dụ 17 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
(3)
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
Ví dụ 18 :
Lời giải : ĐK : (1)
Đặt
Khi đó : .
phương tr“nh đã cho trở thành :
V“ nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương tr“nh tương đương với :
Do vậy (thỏa (1))
2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 :
Lời giải :
Đặt
*
*
Ví dụ 20 : (1)
Lời giải : ĐK : hoặc (*)
Đặt ta có :
(1) trở thành :
(Do )
T“m x ta giải :
(Thỏa (*))

Vậy (1) có 2 nghiệm :
Ví dụ 21 :
Lời giải : ĐK :
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
(2)
Đặt và
Th“ :
(2)
* ta có :
* ta có :
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
Ví dụ 22 :
lời giải : ĐK :
Đặt :
Từ phương tr“nh ta được :
( Do )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 :
Lời giải :
Đặt ta có :
(1)
Mặt khác : (2)
Từ (1) và (2) ta có :
Nên :
:Leftrightarrow
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :
Ví dụ 24 : (1)
Lời giải :
Đặt

Suy ra :
khi đó từ (1) ta có :
:Leftrightarrow
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :
I. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 :
Lời giải :ĐK :
Đặt . Ta có :
TQ :
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
* Cách giải :
Đặt :
Như vậy ta có hệ :
Ví dụ 26 : (1)
Lời giải : ĐK :
Đặt
Khi đó :