Mrdinh2008
Tài liệu được sưu tầm và chỉnh sửa bởi CLB GS Sinh viên Dược
Bởi vì nhiều lý do các tài liệu sưu tầm này chưa có điều kiện kiểm định chất lượng và xin phép các tác giả khi
chia sẻ rất mong quý vị thông cảm.
Nêu quy thây cô nao la tac gia cua nh ng tai liêu nay xin liên hê email: ́ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ̃ ̀ ̀̉ ̉ ư ̣ ̣ câu lac bô ê chunǵ̣ ̣ đ ̉
tôi bô sung tên tac gia vao cac tai liêu cunǵ ̀ ́ ̀ ̃̉ ̉ ̣
Ph ng trình l ng giácươ ượ
1
Mrdinh2008
Ph ng trình l ng giácươ ượ
2
Mrdinh2008
dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác
Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện
t

≤
1
Giải phương trình:
1/
2cos2x- 4cosx=1
sinx 0


≥

2/ 4sin
3
x+3
2
sin2x=8sinx

3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/
1-5sinx+2cosx=0
cos 0x


≥


5/ Cho 3sin
3
x-3cos
2
x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos
2
x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2).
Tìm n
0
của (1) đồng thời là n
0
của (2) ( nghiệm chung sinx=
1
3
)
6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+
3
cot x
-2 = 0 b /
2
4
cos x

+tanx=7 c
*
/

sin
6
x+cos
4
x=cos2x
8/sin(
5
2
2
x
π
+
)-3cos(
7
2
x
π
−
)=1+2sinx 9/
2
sin 2sin 2 2sin 1x x x
− + = −

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/
2 4
sin 2 4cos 2 1

0
2sin cos
x x
x x
+ −
=
13/
sin 1 cos 0x x
+ + =
14/ cos2x+3cosx+2=0
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+ − −
=
16/ 2cosx-
sin x
=1
dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c
1.
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
π π
+ = + = −
2.

sin cos 2sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x
π π
± = ± = m
3.
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x
π π
− = − = − +
Điều kiện Pt có nghiệm :
2 2 2
a b c
+ ≥
giải phương trình :
1/ 2sin15x+
3
cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0
2/ a :
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ =
b:
6
4sin 3cos 6
4sin 3cos 1

x x
x x
+ + =
+ +
c:
1
3 sin cos 3
3 sin cos 1
x x
x x
+ = +
+ +

3/
cos7 3 sin 7 2 0x x
− + =
*tìm nghiệm
2 6
( ; )
5 7
x
π π
∈
4/( cos2x-
3
sin2x)-
3
sinx-cosx+4=0 5/
2
1 cos cos2 cos3 2

(3 3 sin )
2cos cos 1 3
x x x
x
x x
+ + +
= −
+ −

6/
2
cos 2sin .cos
3
2cos sin 1
x x x
x x
−
=
+ −

Dạng 3 Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx
Ph ng trình l ng giácươ ượ
Đẳng cấp bậc 2: asin
2
x+bsinx.cosx+c cos
2
x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx
≠
0 .Chia 2 vế cho cos

2
x ta được:
atan
2
x+btanx +c=d(tan
2
x+1)
Cách2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin
3
x+b.cos
3
x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc
asin
3
x+b.cos
3
x+csin
2
xcosx+dsinxcos
2
x=0
Xét cos
3
x=0 và cosx
≠
0 Chia 2 vế cho cos
2
x ta được Pt bậc 3 đối với tanx
3

Mrdinh2008
Giải phương trình
1/a/ 3sin
2
x-
3
sinxcosx+2cos
2
x cosx=2 b/ 4 sin
2
x+3
3
sinxcosx-2cos
2
x=4
c/3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin
2
x+6sinxcosx+2(1+
3
)cos
2
x-5-
3
=0
2/ sinx- 4sin
3

x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

4
x k
π
π
= +
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0
⇔
(cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0
3/ tanx sin
2
x-2sin
2
x=3(cos2x+sinxcosx)
4/ 3cos
4
x-4sin
2
xcos
2
x+sin
4
x=0 5/ 4cos
3
x+2sin
3
x-3sinx=0 6/ 2 cos
3
x= sin3x

7/ cos
3
x- sin
3
x= cosx+ sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos
3
x 9/sin
3
(x-
π
/4)=
2
sinx
Dang 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phương trình
1/ a/1+tanx=2sinx +
1
cos x
b/ sin x+cosx=
1
tan x
-
1
cot x

2/ sin
3
x+cos
3
x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin

3
x+cos
3
x= sin2x
4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/
2
sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/
2
(sin x+cosx)=tanx+cotx
8/1+sin
3
2x+cos
3
2

x=
3
2
sin 4x 9/
*
a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
9/b*: cos
4
x+sin
4
x-2(1-sin
2
xcos
2

x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
10/
sin cos 4sin 2 1x x x
− + =
11/ cosx+
1
cos x
+sinx+
1
sin x
=
10
3

12/ sinxcosx+
sin cosx x
+
=1
dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2
cos
2
x=
1 cos 2
2
x
+
; sin
2
x=

1 cos2
2
x
−
Công thức hạ bậc 3
cos
3
x=
3cos cos3
4
x x
+
; sin
3
x=
3sin sin 3
4
x x
−
Giải phương trình
1/ sin
2
x+sin
2
3x=cos
2
2x+cos
2
4x 2/ cos
2

x+cos
2
2x+cos
2
3x+cos
2
4x=3/2
3/sin
2
x+ sin
2
3x-3 cos
2
2x=0
4/ cos3x+ sin7x=2sin
2
(
5
4 2
x
π
+
)-2cos
2
9
2
x
5/ sin
2
4


x+ sin
2
3x= cos
2
2x+ cos
2
x với
(0; )x
π
∈
6/sin
2
4x-cos
2
6x=sin(
10,5 10x
π
+
) với
(0; )
2
x
π
∈
7/ cos
4
x-5sin
4
x=1

8/4sin
3
x-1=3-
3
cos3x 9/ sin
2
2x+ sin
2
4x= sin
2
6x
10/ sin
2
x= cos
2
2x+ cos
2
3x 11/ (sin
2
2x+cos
4
2x-1):
sin cosx x
=0
12/ 4sin
3
xcos3x+4cos
3
x sin3x+3
3

cos4x=3
;
24 2 8 2
k k
x
π π π π
 
= + +
 
 
13/ 2cos
2
2x+ cos2x=4 sin
2
2xcos
2
x
Ph ng trình l ng giácươ ượ
* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx
2t ≤

⇒
at + b
2
1
2
t −
=c
⇔
bt

2
+2at-2c-b=0
* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx
2t ≤
⇒
at + b
2
1
2
t−
=c
⇔
bt
2
-2at+2c-b=0
4
Mrdinh2008
14/ cos4xsinx- sin
2
2x=4sin
2
(
4 2
x
π
−
)-7/2 với
1x
−
<3

15/ 2 cos
3
2x-4cos3xcos
3
x+cos6x-4sin3xsin
3
x=0
16/ sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3
4x 17/ * 8cos
3
(x+
3
π
)=cos3x
18/cos10x+2cos
2
4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos
2
3x
19/
sin5
5sin
x
x
=1

20 / cos7x+ sin
2
2x= cos
2
2x- cosx 21/ sin
2
x+ sin
2
2x+ sin
2
3x=3/2
22/ 3cos4x-2 cos
2
3x=1
Dang 6 : Phư ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a
3
±
b
3
=(a
±
b)(a
2
m
ab+b
2
) * a
8

+ b
8
=( a
4
+ b
4
)
2
-2 a
4
b
4
* a
4
- b
4
=( a
2
+ b
2
) ( a
2
- b
2
) * a
6
±
b
6
=( a

2
±
b
2
)( a
4
m
a
2
b
2
+b
4
)

Giải ph ương trình
1/ sin
4
2
x
+cos
4
2
x
=1-2sinx 2/ cos
3
x-sin
3
x=cos
2

x-sin
2
x
3/ cos
3
x+ sin
3
x= cos2x 4/
4 4
sin cos 1
(tan cot )
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
vô nghiệm
5/cos
6
x-sin
6
x=
13
8
cos
2
2x 6/sin
4
x+cos

4
x=
7
cot( )cot( )
8 3 6
x x
π π
+ −
7/ cos
6
x+sin
6
x=2(cos
8
x+sin
8
x) 8/cos
3
x+sin
3
x=cosx-sinx
9/ cos
6
x+sin
6
x=cos4x 10/ sinx+sin
2
x+sin
3
x+sin

4
x= cosx+cos
2
x+cos
3
x+cos
4
x
11/ cos
8
x+sin
8
x=
1
8
12/ (sinx+3)sin
4
2
x
-(sinx+3) sin
2
2
x
+1=0
Dang 7 : Ph ương trình LG biến đổi về tích bằng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin
3
x+2cosx-2+sin
2

x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/
3
2
sin2x+
2
cos
2
x+
6
cosx=0
7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/
sin 3 sin 5
3 5
x x
=

9/ 2cos2x-8cosx+7=
1
cos x
10/ cos
8
x+sin
8
x=2(cos
10
x+sin
10
x)+
5

4
cos2x
11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin
2
x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3
14/ 2sin3x-
1
sin x
=2cos3x+
1
cos x
15/cos
3
x+cos
2
x+2sinx-2=0
16/cos2x-2cos
3
x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-
1
cos x
)=0
18/sin2x=1+
2
cosx+cos2x 19/1+cot2x=
2
1 cos 2
sin 2
x

x
−

20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+
1
sin 2x
21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0
22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
24/ 2
2
sin( )
4
x
π
+
=
1 1
sin cosx x
+
25/ 2tanx+cotx=
2
3
sin 2x
+

26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang 8 : Phư ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc
Ph ng trình l ng giácươ ượ
5
Mrdinh2008

cos2x= cos
2
x- sin
2
x =2cos
2
x-1=1-2sin
2
x
sin2x=2sinxcosx
tan2x=
2
2 tan
1 tan
x
x
−
sinx =
2
2
1
t
t+
; cosx=
2
2
1
1
t
t

−
+
tanx=
2
2
1
t
t−
Giải ph ương trình
1/ sin
3
xcosx=
1
4
+ cos
3
xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x
4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos
2
x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2
8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 10/a* tan2x+sin2x=
3
2
cotx b* (1+sinx)
2
= cosx
Dang 9 : Ph ương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng
Giải phư ơng trình
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3/

sin 3 sin
sin 2 cos 2
1 cos 2
x x
x x
x
−
= +
−
tìm
( )
0;2x
π
∈
4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
5/ sin5x+ sinx+2sin
2
x=1 6/
( )
3 cos2 cot 2
4sin cos
cot 2 cos 2 4 4
x x
x x
x x
π π
+
   
= + −
 ÷  ÷

−
   
7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
Dang 10 : Ph ương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B
Giải ph ương trình
1/ sin(
3
10 2
x
π
−
)=
1
2
sin(
3
10 2
x
π
+
)
3 4 14
2 ; 2 ; 2
5 15 15
x k k k
π π π
π π π
 
= + + +
 

 
2/ sin(
3
4
x
π
−
)=sin2x sin(
4
x
π
+
)
4 2
x k
π π
= +
3/(cos4x/3 – cos
2
x):
2
1 tan x
−
=0
3x k
π
=
4/ cosx-2sin(
3
2 2

x
π
−
)=3
4x k
π
=
5/ cos(
7
2
2
x
π
−
)=sin(4x+3
π
)
;
6 2
k
x k
π π
π
 
= ± +
 
 
6/3cot
2
x+2

2
sin
2
x=(2+3
2
)cosx
2 ; 2
3 4
x k k
π π
π π
 
= ± + ± +
 
 
7/2cot
2
x+
2
2
cos x
+5tanx+5cotx+4=0
4
x k
π
π
= − +
8/ cos
2
x+

2
1
cos x
=cosx+
1
cos x

x k
π
=

9/sinx- cos2x+
1
sin x
+2
2
1
sin x
=5
7
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k k
π π π
π π π
 
= + − + +
 
 
11/

1 sin 2
1 sin 2
x
x
+
−
+2
1 tan
1 tan
x
x
+
−
=3
{ }
; ,tan 2x k k
π α π α
= + =

Dang 11 : Ph ương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp
Giải ph ương trình
1/
3 4 6 (16 3 8 2)cos 4cos 3x x
+ − − = −
2
4
x k
π
π
= ± +

2/cos
(
)
2
3 9 16 80
4
x x x
π
 
− − −
 
 
=1 tìm n
0
x
∈
Z
{ }
21; 3x
= − −
3/
5cos cos2x x−
+2sinx=0
2
6
x k
π
π
= − +
4/3cotx- tanx(3-8cos

2
x)=0
3
x k
π
π
= ± +
5/
( )
2 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
2
2
3
x k
π
π
= ± +
6/sin
3
x+cos
3
x+ sin

3
xcotx+cos
3
xtanx=
2sin 2x
2
4
x k
π
π
= +
7/tan
2
xtan
2
3

xtan
2
4x= tan
2
x-tan
2
3

x+tan4x
4
k
x
π

=
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
2
3
k
x k
π
π π
 
= +
 
 
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan
2
x)
x k
π
=
10/
2
sin sin 1 sin cosx x x x
+ = − −

5 1
;sin
2
x k x
π
−
= =

11/cos
2
( )
2
sin 2 cos
4
x x
π
 
+
 
 
-1=tan
2
2
tan
4
x x
π
 
+
 ÷
 

2
4
x k
π
π
= − +

12/
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x
π π π π
       
− − − = − − +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

5 5 5
5 ; 5 ; 5
12 3 4
x k k k
π π π
π π π
 
= − + − + +
 
 
Dang 12 : Ph ương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
Giải ph ương trình
1/ cos3x+
2
2 cos 3x
−
=2(1+sin
2
2x)

x k
π
=
2/ 2cosx+
2
sin10x=3
2
+2sinxcos28x
4
x k
π
π
= +
3/ cos
2
4x+cos
2
6x=sin
2
12x+sin
2
16x+2 với x
( )
0;
π
∈
4/ 8cos4xcos
2
2x+
1 cos3x−

+1=0
2
2
3
x k
π
π
 
= ± +
 
 
Ph ng trình l ng giácươ ượ
6
Mrdinh2008
5/
sin
cos
x
x
π
=

0x
=
6/ 5-4sin
2
x-8cos
2
x/2 =3k tìm k
∈

Z
*
để hệ có nghiệm 7/ 1-
2
2
x
=cosx
8/( cos2x-cos4x)
2
=6+2sin3x
2
x k
π
π
= +
9/
( )
1
1 cos 1 cos cos 2 sin 4
2
x x x x− + + =

2
4
x k
π
π
= ± +

Ph ng trình l ng giácươ ượ

7