Ổn định của các thanh thẳng
Chương 2
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu chịu lực
Ổn định của thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu chịu lực


nén đúng tâm ( lý thuyết Euler).
nén đúng tâm ( lý thuyết Euler).
2.2.
2.2.


Ổn định của thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều
Ổn định của thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều
d
d
ài thanh.
ài thanh.
2.3.
2.3.


Ổn định
Ổn định
của
của
thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm.
thanh thẳng chịu lực nén lệch tâm.
2.4.

2.4.


Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong
Ảnh hưởng của lực cắt đến các giá trị của lực tới hạn trong


các thanh thẳng chịu nén uốn.
các thanh thẳng chịu nén uốn.
2.5.
2.5.


Ổn định của các thanh ghép.
Ổn định của các thanh ghép.
2.6.
2.6.


Những giới hạn của lý thuyết Euler.
Những giới hạn của lý thuyết Euler.
2.7.
2.7.


Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin.
Sự phá hoại của cột có chiều dài cột bất kỳ : lý thuyết Rankin.
2.8
2.8
.

.


Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn
Ảnh hưởng của hình dạng của tiết diện ngang đến sự mất ổn


định của c
định của c
ột.
ột.
Nội dung
Nội dung
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm


( lý thuyết Euler)
( lý thuyết Euler)
Các thanh thẳng chịu nén trong kết cấu công trình có thể là các
cột, các dầm giằng hoặc các thanh chịu nén của dàn
Khi lực nén đúng tâm tác dụng vào cột tăng dần đến một giá trị
tới hạn  cột sẽ bị uốn theo một phương nào đó tùy thuộc vào
hình dạng hình học của cột và các khiếm khuyết của vật liệu
Lý thuyết Euler nghiên cứu sự mất ổn định uốn dọc của các thanh
có độ mảnh lớn, tuyệt đối thẳng, vật liệu cấu tạo đồng nhất và lực
tác dụng một cách chính xác dọc theo đường trục thẳng qua tâm
của tiết diện

Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler
( lý thuyết Euler
)
)
2.1.1. Thanh có hai đầu liên kết khớp
y
G
x
b)
a)
z
v’
L
P
O
y
Phương trình vi phân của đường đàn hồi :
EJ
M
dz
vd
v
−==
2
2

"
Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ
M(z) = P
th
v
zBzAv
αα
cossin
+=
Phương trình đường đàn hồi:
EJ
P
th
=
2
α
A, B : hằng số,
Điều kiện biên : tại z = 0 và z = L, v = 0  B = 0 , A sinαL= 0, A ≠0  αL = k π
(2.1)
(2.2)
Hình 2.1.
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler
( lý thuyết Euler
)
)
2

2
l
EJ
P
th
π
=
Khi k = 1  lực tới
hạn Euler
Hình 2.2. Các dạng mất ổn định của dầm hai
đầu khớp ứng với k = 1, 2, 3.
2
22
l
EJk
P
th
π
=
(2.3)
(2.4)
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler
( lý thuyết Euler
)
)
2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm

M(z) = Pv - M
o

Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ
Phương trình vi phân của đường đàn hồi:
EJ
M
v
EJ
P
v
o
=+
"
Nghiệm tổng quát của Pt. (2.5)
EJ
M
zBzAzv
o
2
cossin)(
α
αα
++=
Điều kiện biên: tại z = 0 và z = L, v(o) = 0, v’(o) = 0 và v(L) = 0, v’(L) = 0

A, B
(2.5)
y
L

P
th
v
M
o
Hình 2.3.
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler
( lý thuyết Euler
)
)






−
−
+−=
1sin
sin
)cos1(
cos)(
2
z
L

L
z
EJ
M
zv
o
α
α
α
α
α
Phương trình đường đàn hồi:
2.1.2. Thanh có hai đầu liên kết ngàm






−
+−−=
z
L
L
z
EJ
M
zv
o
αα

α
α
αα
α
cos
sin
)cos1(
sin)('
2
Góc xoay tại một mặt cắt Z bất kỳ:
Lực tới hạn:
0cos1
=−
L
α
(2.6)
(2.7)
Thay v’(L) = 0 vào phương trình (2.7) 

πα
kL
=
với k = 0, 2, 4
2
2
4
L
EJ
P
th

π
=
(2.8)
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler
( lý thuyết Euler
)
)
2.1.3.
2.1.3.
Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm
Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm
Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ
M(z) = P
th
v + F(L – z)
M
P
F
F
P
L
EJ
z
v
EJ
zLF

v
EJ
P
dz
vd
th
)(
2
2
−
−=+
Phương trình vi phân của đường đàn hồi:
EJ
zLF
zBzAzv
2
)(
cossin)(
α
αα
−
−+=
Nghiệm tổng quát của Pt. (2.9)
(2.9)
Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = 0,

A, B
Hình 2.4.
2.1.
2.1.

Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler)
( lý thuyết Euler)
)](costansin[)(
3
zLzLz
EJ
F
zv −−+−=
αααα
α
Phương trình đường đàn hồi:
2.1.3.
2.1.3.
Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm
Thanh có một đầu khớp, một đầu ngàm
Tại z = 0, v(0) = 0 

0][tan)(
3
=−=
LL
EJ
F
ov
αα
α
0tan
=−

LL
αα
Lực tới hạn:
2
2
05.2
L
EJ
P
th
π
=
L
α
tan
L
α
L
α
= 4.49
L
α
(2.10)

(2.12)
(2.11)
Hình 2.5.
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm

Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler)
( lý thuyết Euler)
2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do
δ
P
th
y
z
v
EJ
L
M
P
th
M(z) = -P
th
(δ – v)
z
Moment uốn tại một mặt cắt Z bất kỳ
Phương trình vi phân của đường đàn hồi:
EJ
P
v
EJ
P
dz
vd
thth
δ

=+
2
2
Nghiệm tổng quát của Pt. (2.13)
(2.13)
δαα
++=
zBzAzv cossin)(
Điều kiện biên: tại z = 0, v(o) = 0, v’(o) = 0 và tại z = L, v(L) = δ,

A, B
Hình 2.6.
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler)
( lý thuyết Euler)
)1cossin
sin
cos
()(
+−=
zz
L
L
zv
αα
α
α

δ
Phương trình đường đàn hồi:
2.1.4. Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do
Lực tới hạn nhỏ nhất:
)sincos
sin
cos
()(' zz
L
L
zv
αα
α
α
αδ
+=

•
Tại z = 0, v’(0) = 0

0
sin
cos
)0('
==
L
L
v
α
α

αδ
•
Nếu
0sin
≠
L
α
0cos
=
L
α
αL=
2
π
k
với k = 1, 3, 5


2
2
4L
EJ
P
th
π
=
(2.14)
(2.15)
(2.16)
2

22
)( L
EJk
P
th
µ
π
=
•
L
tt
= μL : chiều dài tương đương tính toán của thanh
•
μ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh
•
Thanh có hai đầu liên kết ngàm μ = 0.5
•
Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu liên kết khớp, μ =
0.7
•
Thanh có hai đầu liên kết khớp, μ = 1
•
Thanh có một đầu liên kết ngàm, một đầu tự do , μ = 2
2.1.
2.1.
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
Ổn định của thanh thẳng chịu lực nén đúng tâm
( lý thuyết Euler)
( lý thuyết Euler)
Lực tới hạn:

(2.17)
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
Phương pháp nghiên cứu:
Chia thanh thành từng đọan trong đó chuyển vị và nội lực là liên tục
Thiết lập các phương trình vi phân đường đàn hồi cho từng đọan
thanh
Căn cứ vào điều kiện biên ở các đầu thanh và điều kiện nối tiếp giữa
các đọan thanh  thiết lập phương trình ổn định
2.2.1.
2.2.1.
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
a
C
O
2
O
1
L
y
z
P
th

v
c
Q
B
Q
A
b

Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O
1
C
ở trạng thái biến dạng:
•
Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O
1
C
az
≤≤
1
0
M
1
(z
1
) = Pv
1
– Q
A
z
1

•
Phương trình vi phân của đường đàn hồi
•
Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân
(2.18)
EJ
zQ
zBzAzv
A
2
1
111
cossin)(
α
αα
++=
•
Điều kiện biên : tại z
1
= 0, v
1
(0) = 0, v’
1
(0) A, B
P
th
EJ
zQvP
dz
vd

Ath 11
1
2
1
2
−
−=
Hình 2.7.
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.1.
2.2.1.
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
•
Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O
1
C:
1
2
11
sin)( z
EJ
Q
zAzv
A
α
α

+=
EJ
Q
zAzv
A
2
11
cos)('
α
αα
+=

Thiết lập phương trình chuyển vị cho đọan thanh O
2
C ở trạng thái biến dạng:
•
Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đọan O
2
C : M(z) = Q
B
z
2
EJ
zQ
dz
vd
B 2
2
2
2

−=
•
Phương trình vi phân của đường đàn hồi :
•
Nghiệm tổng quát của Pt. vi phân:
221
3
22
6
CzCz
EJ
Q
v
B
++−=
•
Điều kiện biên : tại z =0, v
2
= 0, v’
2
(0), C
1
, C
2
•
Phương trình chuyển vị cho đọan thanh O
2
C:
21
3

22
6
zCz
EJ
Q
v
B
+−=
1
2
22
2
' Cz
EJ
Q
v
B
+−=
(2.18)
(2.19)
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.1.
2.2.1.
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp

Điều kiện nối tiếp giữa các đọan thanh  thiết lập phương trình ổn

định
•
Điều kiện cân bằng
L
EJv
L
Pv
QQ
cc
BA
2
α
===

EJ
LQ
v
A
c
2
α
=
• Điều kiện liên tục v
1
(C) = v
2
(C) và v’
1
(C) = -v’
2

(C), và điều kiện cân bằng ta được:
0)
6
(sin
1
3
2
=−+− bC
ba
EJ
Q
aA
A
α
α
0)
2
1
(cos
1
2
2
=+−+ C
b
EJ
Q
aA
A
α
αα

0)
6
(
1
2
3
=−+ bC
Lb
EJ
Q
A
α

bCb
EJ
Q
bvv
B
c 1
3
2
6
)(
+−==
•
v1(C) = v2(C)

•
v’1(C) = -v’2(C),


• v
c
= v
2
(b)

(2.20)
(2.21)
(2.22)
•
Hệ thống phương trình trên có nghiệm  Định thức = 0  tải trọng tới hạn
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.1.
2.2.1.
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
Thanh thẳng có hai đầu liên kết khớp
EJ
ba 1
)
6
(
3
2
+
α
EJ
b 1

)
2
1
(
2
2
−
α
EJ
Lb 1
)
6
(
2
3
α
+
- b
D(α) =
1 = 0
0 - b
a
αα
cos
a
α
sin
bL
b
aLb

a
−−
−
=
3
)(
tan
32
α
α
α

Và nếu a = b = L/2, và đặt αL = β


36
6
2
tan
2
−
=
β
ββ

Nghiệm của Pt. (2.23) là = 4.23, vậy lực tới hạn nhỏ nhất sẽ là:
(2.23)
2
2
66.18

L
EJ
EJP
th
==
α
(2.24)
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
P
2
P
1
C
O
1
b)
P
1
P
2
C
c)
O
1
P
1

P
2
L
L
1
L
2
O
2
C
y
z
δ
a)
P
1
+P
2
M
Hình 2.8. Các dạng mất ổn định
•
H 2.8b. đoạn thanh O
2
C có đường biến dạng như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do.
Tại C sẽ có điểm uốn và lực P1 sẽ đi qua điểm C
•
H.2.8c: Đoạn thanh O
1
C có đường biến dạng giống như thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do,
tiếp tuyến tại C sẽ thẳng đứng.

2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn

Đoạn thứ nhất: 0≤ z
1
≤ L
1
( gốc toạ độ đặt tại O
1
)
•
Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi: M1 = -P1(δ – v1)
EJ
vP
dz
vd )(
11
2
1
1
2
−
=
δ
•
Phương trình vi phân của đường đàn hồi :

•
Điều kiện biên :z
1
= 0, v
1
(0) = δ, và v’
1
(0) = v’
o
,
δα
α
+=
11
1
,
11
sin)()( z
v
zv
o

Phương trình vi phân của đường đàn hồi :
11
,
1
,
1
cos)( zvzv
o

α
=
,
EJ
P
1
1
=
α
Trong đó:
(2.25)
(2.26)

Đoạn thứ hai: 0≤ z
2
≤ L
2
( gốc toạ độ đặt tại O
2
)
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn
•
Moment tại một mặt cắt bất kỳ trong đoạn này cho bởi:
•
Phương trình vi phân của đường đàn hồi :
•
Điều kiện biên :: z
2
= 0, v

2
= v
1
(L
1
) và v’
2
(0) = v’
1
(L
1
)

Phương trình của đường đàn hồi :
1
11
,
2211
1
,
21
1
2211
2
,
2
sin
)cos1(sinsincos
α
α

δαα
α
αα
α
L
vzL
v
PP
P
zL
v
v
o
oo
++−
+
−=
EJ
vPPvPP
dz
vd
c21221
2
2
2
2
)(
−−+
−=
δ

22
1
,
21
1
22211
,
1
,
2
sincoscos z
v
PP
P
zLvv
o
o
α
α
αααα
+
−=
(2.27)
(2.28)
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn

•
Thay vào phương trình (2.27) và (2.28) điều kiện biên ở ngàm: khi z
2
= L
2
, v
2
(0) = 0 và v’2 (0) = 0,


0
sin
)cos1(sinsincos
1
11
,
2211
1
,
21
1
2211
2
,
=++−
+
−
α
α
δαα

α
αα
α
L
vLL
v
PP
P
LL
v
o
oo
0sincoscos
22
1
,
21
1
22211
,
1
=
+
− L
v
PP
P
LLv
o
o

α
α
αααα
•
Điều kiện tồn tại v’
o
và δ thì định thức của hệ phương trình (2.29) và (2.30) phải bằng không.
Triển khai định thức ta tìm được phương trình ổn định:
(2.29)
(2.30)
0tantan1coscos
2211
1
2
21
1
2211
=






+
−
LL
PP
P
LL

αα
α
α
αα
(2.31)
•
Phương trình (2.31) thoả mãn với một trong ba trường hợp sau:
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2.2.1. Cách tính chính xác: chia thanh ra làm hai đoạn
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
0tantan1
2211
1
2
21
1
=






+
−
LL
PP

P
αα
α
α
a)
1
2
2
1
1
21
2211
tantan
α
α
α
α
αα
=
+
=
P
PP
LL


 Lúc này hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8a
b)
0cos
22

=
L
α
2
2
2
21
4
)(
L
EJ
PP
th
π
=+


 Hệ sẽ mất ổn định theo dạng như Hình 2.8b
b)
0cos
11
=
L
α
2
1
2
1
4
)(

L
EJ
P
th
π
=


 Hệ sẽ có dạng mất ổn định như Hình 2.8c
(2.32)
(2.33)
(2.34)
L
P
zth
y
z
z
δ
P
th
y
z
v
EJ
L
y
P
2
z

L
P
1
P
3
z
3
z
2
z
1
a) b) c)
Hình 2.9.
2.2
2.2
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
. Ổn định thanh thẳng chịu lực đặt bất kỳ dọc theo chiều dài thanh
2.2.2. Thanh có một đầu ngàm chịu tác dụng của một số lực tập trung.
2.2.2.2. Cách tính gần đúng
2
2
4L
EJ
P
th
π
=
2
2
4z

EJ
P
zth
π
=
Hình 2.9a 
Hình 2.9b 
)(
2
2
z
L
z
P
P
zth
th
µ
==

(2.35)
v
a)
z
v’
L
e
O
y
P

th
z
2.3
2.3
. Ổn định thanh thẳng chịu lực
. Ổn định thanh thẳng chịu lực
nén lệch tâm
nén lệch tâm
y
C
x
b)
e
Điểm đặt

lực
Hình 2.10.
•
Moment uốn tại một mặt cắt bất kỳ cho bởi: M = P(e +
v)
•
Phương trình vi phân cuả đường đàn hồi:
EJ
veP
dz
vd )(
2
2
+
−=

•
Điều kiện biên : tại z = 0, v(0) = 0 và khi z = L, v(L) = 0
ezez
L
Le
zv
−+
−
=
αα
α
α
cossin
sin
)cos1(
)(
•
Phương trình cuả đường đàn hồi:
•
Độ võng lớn nhất






−=











−
==
1
2
1
sec
2
1
cos
2
1
sin2
)
2
1
cos1(
2
1
sin2
)2/( Le
LL
LL
eLvv

o
α
αα
αα
(2.36)
(2.37)
2.3
2.3
. Ổn định thanh thẳng chịu lực
. Ổn định thanh thẳng chịu lực
nén lệch tâm
nén lệch tâm
•
Khi P = 0 thì
0
22
1
==
EJ
PL
L
α
và v
o
= 0
•
Khi P →
22
/ LEJ
π

thì
L
α
2
1
→ π/2 và sec
L
α
2
1
∞
→
• Khi bắt đầu chất tải xuất hiện v
o
.
•
Khi P
v
o
•
Khi P
22
/ LEJ
π
∞
v
o
Vật liệu bị phá hủy ở một giá trị P nào đó <
22
/ LEJ

π
Hình 2.11.