ARCHIMEDE – ACSIMET(287 – 212 TCN)
Chân dung Acsimet
PHẦN 1: SƠ LƯỢC VỀ CUỘC ĐỜI ACSIMET
Acsimet - nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ, Acsimet (287 - 212 trước Công
nguyên) - là nhà giáo, nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, ông sinh tại thành phố
Siracuse, một thành bang của Hy Lạp cổ đại. Cha của Acsimet là một nhà thiên văn và
toán học nổi tiếng Phidias, đã đích thân giáo dục và hướng dẫn ông đi sâu vào hai bộ
môn này. Năm 7 tuổi ông học khoa học tự nhiên, triết học, văn học. Mười một tuổi
ông đi du học Ai Cập, là học sinh của nhà toán học nổi tiếng Ơclit; rồi đến Tây Ban
Nha và định cư vĩnh viễn tại thành phố Cyracuse, xứ Sicile(nay thuộc nước Italia).
Ðược hoàng gia tài trợ về tài chính, ông cống hiến hoàn toàn cho nghiên cứu khoa học.
Học trò của nhà Thiên văn chính thức của vua Ptolémée III Evergète tại
Alexandrie là Conon de Samos (280, 220 TCN) và bạn của Ératosthène de Cyrène
(284; 192 TCN) học trong trường thuộc trường phái Euclide (323; 283 TCN) tại Ai
Cập. Conon de Samos và Acsimet suốt đời là bạn của nhau.

1
PHẦN 2. CÁC CÔNG TRÌNH TIÊU BIỂU CỦA ACSIMET

2.1. Acsimet nhà hình học lỗi lạc
Acsimet đã có nhiều phát minh lớn về toán học. Ông đã để
lại nhiều tác phẩm như: “Về hình cầu và hình trụ ”, “Về độ
đo các cung”, “Về việc cầu phương parabol”, “Về các
đường xoắc ốc”, v.v….
Acsimet đang nghiên cứu
Acsimet đã tính được diện tích nhiều hình, thể tích nhiều vật thể bằng một phương
pháp đặc biệt, chứng tỏ rằng ông có khái niệm khá rõ về phép tính vi tích phân, một bộ
phận quan trọng của toán học hiện đại. Về mặt này ông đã đi trước thời đại hàng 20
thế kỉ, vì mãi đến thế kỉ thứ 17 phép tính vi tích phân mới thật sự hình thành và phát
triển với Lebnit và Niutơn.
2.2. Tính diện tích của parabol phân

Acsimet là người đầu tiên tìm ra phương pháp tính parabol phân, chẳng hạn
phần ABC giới hạn bởi parabol ABC và đường thẳng AC.



Qua trung điểm I của AC kẻ đường song song IBG với trục của parabol. Acsimet
khẳng định rằng diện tích phần parabol ABC bằng
3
1
1
lần diện tích tam giác ABC.
Sau đây là phương pháp chứng minh cơ học của ông. Kẻ AR//IB cắt tiếp tuyến
CG tại R. Kéo dài CB cắt AR ở D trên đó đặt DE = DC. Bây giờ coi CE là đòn bẩy có
thể quay xung quanh điểm D. Ta kẻ MP qua điểm O tuỳ ý song song với GI.
2
N
T
E
H
R
M
G
I
C
D
A
P
O

o

o
o
K
B
Theo tính chất của parabol mà Acsimet cho là đã biết, tức là BI = BG, thì NP =
NM, DA = DR và
DN
DE
DN
DC
AP
AC
PO
PN
===
(*)
Nếu bây giờ trên đầu mút kia của đòn bẩy tại điểm E treo một đoạn TH = PO
thì theo luật đòn bẩy mà Acsimet tự tìm ra, đoạn TH cân bằng với đoạn MP. Dãy tỉ số
(*) chứng tỏ rằng khối lượng hai đoạn thẳng đó tỉ lệ nghịch với các cánh tay đòn. Điều
này đúng với mọi đoạn thẳng kẻ trong tam giác ABC song song với IG.
Do tam giác ACR gồm tất cả đoạn (tương tự PM) mà ta có thể kẻ trong tam
giác và do phần parabol ABC gồm tất cả đoạn (tương tự PO) ở trong parabol nên tam
giác ACR phải cân nặng như phần parabol sao cho trọng tâm của nó là E, ngoài ra D là
trọng tâm chung của chúng.
Thật thế, trọng tâm tam giác ACR là K mà DK =
3
1
DC. Vì cánh tay đòn DE có
treo phần parabol gấp 3 cánh tay đòn DK và do tam giác ACR cùng cân nặng gấp ba
phần parabol. Nhưng tam giác ACR gấp đôi tam giác ACD tức gấp bốn ABC. Vậy

diện tích phần parabol ABC bằng
3
4
diện tích tam giác ABC.
2.3.Thể tích hình cầu
Acsimet đã chứng tỏ rằng hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn
2
1
1
lần hình cầu(lớn,
nhỏ ở đây là tương quan thể tích).
Giả sử ABCD là hình tròn lớn của hình cầu. Xét hình tròn lớn thứ hai dựng trên
đường kính BD và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng của hình tròn thứ nhất, rồi
hình nón đi qua hình tròn thứ hai này có đỉnh A và trục AC, đáy là hình tròn đường
kính EI và cuối xét hình trụ EIHG có trục AC, đáy là hình tròn lớn EI.
Bây giờ nếu MQN là đường thẳng tuỳ ý song song với BD trong mặt phẳng
hình tròn ABCD cắt đường tròn đó tại O và Z, cắt mặt xung quanh hình nón tại P và
Q. Thế thì:
UP
2
+ UO
2
= UA
2
+ UO
2
= AO
2
= AU.AC
(UP

2
+ UO
2
): UN
2
= (AU.AC): AC
2
= AU:AC (*)
Vậy tỉ số của tổng(nói về diện tích) các hình tròn đường kính PQ, ZO và hình tròn
đường kính MN bằng tỉ số của AU và AC.
3






Bây giờ lại xét AC là cánh tay đòn của đòn bẩy với điểm tựa tại A và cánh tay đòn kia
AS bằng AC, sau đó có hình tròn đường kính PQ, ZO, chuyển động về S. Khi đó theo
(*) chúng sẽ cân bằng với đường tròn MN treo tại tâm U của nó.
Vì hình trụ EIHG bao gồm hai hình tròn đó nên hình trụ cùng cân nặng bằng
hình cầu và hình nón cùng treo tại điểm S. Do T là trọng tâm hình trụ nên tỉ số của
hình trụ và tổng “nón và cầu” bằng tỉ số AS và AT, tức là 2:1. Vậy hình nón và hình
cầu cộng lại bằng nửa hình trụ. Nhưng hình nón bằng
3
1
hình trụ nên hình cầu bằng
6
1
hình trụ hay

3
2
hình trụ nhỏ KLRQ.
Kết quả này có thể phát biểu cách khác như sau: hình cầu gấp bốn lần hình nón
đáy bằng hình tròn lớn của hình cầu và đường cao bằng bán kính. Từ đó Acsimet rút ra
nhận xét là diện tích mặt cầu bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn. Nếu mồi hình tròn
4
K
S
G
N
I
A
H
R
C
L
Q
M
T
B
E
D
U
bằng tam giác đáy là chu vi hình tròn và đường cao là bán kính thì tương tự mỗi hình
cầu phải bằng hình nón đáy là diện tích mặt cầu và đường cao là bán kính của nó.
Acsimet đã chứng minh những kết quả trên trong cuốn “Về hình cầu và hình trụ ”.
2.4. Những nghiên cứu khác về hình học
Trong một hình lăng trụ đáy vuông có hình trụ nội tiếp mà đáy là hình tròn nội
tiếp hình vuông đáy lăng trụ, ta cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng quan tâm đáy dưới và

cạnh đáy trên. Ta sẽ được một khối giới hạn bởi mặt hình trụ, mặt phẳng cắt và mặt
phẳng đáy. Khối này có thể tích bằng
6
1
thể tích lăng trụ.
Acsimet đã nêu lên nhận xét trên vần bằng phương pháp cơ học như các vấn đề
ở trên rồi mới chứng minh chặt chẽ bằng hình học.
Cuối cùng ông còn nêu thêm:
Nếu trong một hình lập phương có hai hình trụ nội tiếp với trục vuông góc thì
thể tích của phần chung bằng
3
2
thể tích của hình lập phương.
Ngoài ra ông đã tính được:
1. Thể tích khối phỏng cầu(sphéroide)
2. Thể tích của parabôlôit phân quay
3. Trọng tâm của parabôlôit phân quay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
4. Trọng tâm của nửa hình cầu
5. Thể tích cầu phân
6. Thể tích phỏng cầu phân
7. Trọng tâm cầu phân
8. Trọng tâm phỏng cầu phân
9. Trọng tâm hypebôlôit phân quay.
Acsimet đã chứng minh một cách chặt chẽ định lí về diện tích parabol phân
bằng hai cách: cơ học và hình học; trong tác phẩm “về việc cầu phương parabol ”, ông
đã đánh giá tổng các dãy vô hạn bằng phương pháp giới hạn hoặc bằng “phương pháp
epxilon ”. Điều đó chứng tỏ ông đã có tư duy khá rõ về toán học hiện đại. Đối với
Acsimet những điều trên được coi là “trò chới trẻ con”.
2.5. Những tiên đề của Acsimet
5

Tiên đề “toàn thể lớn hơn bộ phận” của Ơclit cùng với bổ đề của Acsimet là
hoàn toàn đủ để đo diện tích các hình phẳng và thể tích các khối đa diện. Nhưng muốn
đo cung và mặt cong thì phải có một số tiên đề khác. Làm sao có thể biết được độ dài
đường tròn lớn hơn chu vi đa giác nội tiếp và nhỏ hơn chu vi đa giác ngoại tiếp? Vì thế
Acsimet đã nêu lên một số tiên đề mới.
Ông xét những đường cong phẳng giới nội nằm hoàn toàn về một phía của
đường thẳng nối hai đầu mút của chúng, và những bề mặt giới hạn bởi đường cong
nằm trong mặt phẳng đồng thời nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng đó. Ông gọi
đường cong và bề mặt cùng loại này là “lồi cùng một phía” nếu tất cả các đoạn thẳng
nối 2 điểm tuỳ ý của đường cong hoặc của bề mặt luôn nằm về một phía của đường
cong hoặc cầu bề mặt đó, hoặc nằm trên chúng. Sau đó ông đưa ra một số tiên đề sau
đây:
1.Trong tất cả những đoạn thẳng nối hai điểm thì đường thẳng là ngắn nhất.
2. Nếu trong một mặt phẳng có hai đường cong lồi cùng phía mà cùng nối hai
điểm, đồng thời một đường bao phủ hoàn toàn đường kia (chúng có thể trùng nhau ở
một số đoạn) thì đường trước sẽ dài hơn đường sau.
3. Trong tất cả những bề mặt giới hạn bởi cùng một đường cong phẳng thì bề
mặt phẳng là nhỏ nhất.
4. Giống như tiên đề 2 nhưng lại là bề mặt.
5. Nếu hiệu hai độ dài của hai đường, hai diện tích của hai mặt, hoặc hai thể
tích của hai vật thể không bằng nhau, được tăng lên một số lần đủ lớn thì hiệu đó có
thể lơn hơn đại lượng cho trước cùng loại.
Đó là “tiên đề Acsimet” nổi tiếng.
Lần đầu tiên Acsimet đã định nghĩa diện tích xung quanh của hình trụ đứng và
hình nón đứng bao hàm giữa lăng trụ nội tiếp và lăng trụ ngoại tiếp theo tiên đề 4.
Trong cả hai trường hợp ông đã xây dựng hình tròn mà diện tích bằng diện tích
xung quanh của hình trụ hoặc hình nón. Trong trường hợp hình trụ chẳng hạn, bán
kính hình tròn này bằng số trung bình nhân giữa đường cao và đường kính hình trụ.
Bấy giờ Acsimet mới chuyển qua định nghĩa nổi tiếng về diện tích mặt cầu và
thể tích hình cầu, diện tích cầu phân và thể tích quạt cầu.

2.6. Về đường xoắn ốc
6
Nếu một đường thẳng chuyển động đều xung quanh một điểm O cố định và
đồng thời một điểm P chuyển động đều dọc theo đường thẳng xuất phát từ O thì điểm
P đó vạch nên một đường xoắn ốc.
Acsimet đã nêu lên trong toạ độ cực tính chất đặc trưng của các điểm của
đường xoắn ốc, sau đó xác định tiếp tuyến tại một điểm tuỳ ý của đường xoắn ốc và
cuối cùng tìm diện tích phần mặt phằng giữa hai bán kính tuỳ ý, giữa hai vòng xoắn
liên tiếp hoặc ở trong vòng đầu tiên của đường xoắn ốc.
Trên hình ta thấy rõ là diện tích nêu ở trên nằm giữa hai tổng của các hình viên
phân (“tổng trong” và “tổng ngoài”). Điều khó khăn duy nhất trong việc chứng minh là
tính tổng của dãy: 1
2
+2
2
+3
2
+…+ n
2
. Ở đây Acsimet đã nêu lên công thức:
3[a
2
+ (2a
2
) + (3a
2
) + ….+ (na)
2
] = n(na)
2

+ (na)
2
a(a+2a+3a+…+na)
2.7. Hình “Con dao người thợ giầy”
Xét hình “con dao người thợ giầy” giới hạn bởi ba nửa đường tròn từng đôi
tiếp xúc nhau tại các đầu mút. Hình này bằng hình tròn đường kính BD. Đoạn BD chia
thành hai phần: hai hình tròn nội tiếp trong hai phần đó bằng nhau. Acsimet đã nêu ra
phương pháp biểu thị đường kính của hình tròn nội tiếp trong hinh “ con dao người
thợ giầy” theo độ dai AC nếu cho biết tỉ số mà D chia đoạn AC.
7
C
D
A
B
Ngoài ra Acsimet còn trình bày một mệnh đề tuyệt vời. Kéo dài dây cung AB
của một đường tròn tuỳ ý một đoạn BC bằng bán kính và kẻ qua C đường kính FDE.
Thế thì cung AE lớn gấp 3 lần cung BF.
Cách chứng minh rất đơn giản:

ADE = DAB + ACD = ABD +BDC =2BDC + BDC = 3BDC
Dựa vào mệnh đề này ta có thể chia một cung AE cho trước thành 3 phần bằng nhau
như sau: kẻ đường kính EF rồi đoạn BC sao cho BC bằng bán kính r (chẳng hạn dùng
thước trên có hai vạch cách nhau r) và CB kéo dài đi qua A. Khi đó cung BR sẽ bằng
3
1
cung AE.
2.8. Dựng đa giác đều 7 cạnh
Acsimet đã nêu mệnh đề sau:
Giả sử ta kẻ đường chéo BC của hình vuông ABDC rồi từ D kẻ đường hoành
DTEZ sao cho hai tam giác DTC và ZAE tương đương. Từ T hạ TK vuông góc với

AB. Gọi các đoạn thẳng ZA, AK, KB theo thứ tự là x,y,z. Ta sẽ được những định lí
sau đây về diên tích:
AB.KB = AZ
2
hay (y +z)z = x
2
(1)
ZK.AK = KB
2
hay (x+y)y = z
2
(2)
8
D
B
C
T
Z Y X
K A
Z
E
E
A
B
D
C
F
Dễ dàng chứng minh các mệnh đề này bằng cách xét những tam giác tương
đương. Acsimet không nói gì về cách dựng đường hoành và các đoạn x,y. Những điều
này không khó hiểu nếu ta sử dụng thiết diện cônic. Thật thế, nếu đặt y + z = a thì các

phương trình (1) và (2) có thể viết:
a(a-y) = x
2
(3)
(x + y)y = (a – y)
2
(4)
Trong hệ tọa độ vuông góc thì phương trình (3) biểu thị một parabol, còn
phương trình (4) biểu thị một hypebol. Hai đường cong này cắt nhau tại ba điểm nằm
trong góc vuông thứ nhất.
Đến đây Acsimet mới dựng tam giác AKH có cạnh đáy là AK = y và hai cạnh
bên là AH = x và HK = z. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BHZ, Acsimet đã khẳng
định rằng đoạn BH chính là cạnh của hình bảy cạnh nội tiếp trong đường tròn đó.
Thật vậy, giả sử BHLZGEF là hình bảy cạnh đã dựng được và đường chéo BZ
cắt HE và HG tại K và A, còn BG cắt HE tại T. Lại gọi các đoạn ZA, AK và KB của
đường chéo ZB là x, y và z. Thế thì ta cũng được AH = x, HK = z. Gọi
α
là góc nội
9
B
H
E
T
G
Z
L
H
z
K
A

x
F
H
α
2
α
α
2
α
tiếp chắn cung mà dây là cạnh hình bảy cạnh. Từ ba tam giác đồng dạng ZHK, HAK
và HTA (chúng có một góc bằng
α
và một góc bằng 2
α
) suy ra các tỉ lệ thức:
zy
x
x
z
z
y
yx
z
+
==
+
;
tương đương với (2) và (1).
2.9. Các khối đa diện nửa đều
Acsimet còn nghiên cứu các khối đa diện nửa đều giới hạn bởi:

4 tam giác đều và 4 lục giác đều
hoặc 8 tam giác đều và 6 hình vuông,
hoặc 6 hình vuông và 8 lục giác,
hoặc 8 tam giác và 6 bát giác,
hoặc 8 tam giác và 18 hình vuông,
hoặc 12 hình vuông, 8 lục giác và 6 bát giác,
hoặc 20 tam giác và 12 ngũ giác,
hoặc 12 ngũ giác và 20 lục giác,
hoặc 20 tam giác và 12 thập giác,
hoặc 32 tam giác và 6 hình vuông,
hoặc 20 tam giác, 20 hình vuông và 12 ngũ giác,
hoặc 30 hình vuông, 20 lục giác và 12 thập giác.
PHẦN 3: ACSIMET - MỘT CÔNG TRÌNH SƯ SÁNG TẠO
10
3.1.Acsimet nhà thiên văn nổi tiếng
Trong cuốn “Tính toán hạt cát” Acsimet đã mô tả một dụng cụ mà ông đã sáng
tạo để đo đường kính của Mặt trời chính của quyển sách này là chỉ ra phương pháp
thuận tiện có thể biểu diễn các số lớn hơn các hạt cát lấp đầy toàn bộ không gian vũ
trụ.
Acsimet cho rằng Quả đất nằm ở trung tâm vũ trụ và ông đã tính khoảng cách
từ Quả đất đến Mặt trăng, từ Mặt trăng đến sao Kim, đến sao Thuỷ, đến sao Hoả, đến
sao Mộc, đến sao Thổ và cuối cùng đến những ngôi sao khác.
Là nhà thiên văn nổi tiếng, Acsimet đã sáng tạo ra nhà vũ trụ với hình cầu rỗng
quay do hệ thống máy móc bên trong, dùng để tạo lại chuyển động của Mặt trời,
của Mặt trăng và của năm hành tinh.
3.2. Acsimet phát minh ra đòn bẩy, bánh xe răng cưa, bộ ròng rọc, đinh vít…
Trong tác phẩm “Về sự cân bằng của các hình phẳng” Acsimet lần đầu tiên đã
trình bày một cách lôgíc và chặt chẽ định luật nổi tiếng về đòn bẩy xuất phát từ một
dãy tiên đề:
“Hai đại lượng cân bằng nhau nếu các khoảng cách của chúng (đến điểm tựa

của đòn bẩy) tỉ lệ nghịch với trọng lượng”.
Sử dụng định luật này có thể xác định trọng tâm của hình bình hành, hình tam
giác và hình thang, trọng tâm của parabol phân, của phần diện tích parabol bao hàm
giữa hai đường thẳng song song.
Ngoài ra nhà văn cổ Hi Lạp Aphinô đã tả quang cảnh công trình đóng tàu thuỷ
của Acsimet như sau:
“Nhà hình học Acsimet được giao đóng một chiếc tàu to bằng 64 chiếc tàu
thường. tất cả mọi thứ cần thiết, các loại gỗ quý được chở từ khắp nơi đến. Nhiều thợ
đóng tàu cũng được triệu về đây. Mọi việc được tiếng hành rất nhanh chóng, có qui
củ, nên chỉ sau nửa năm đã làm xong một nửa tàu. Riêng việc hạ thuỷ tàu này, mọi
người bàn cãi rất nhiều: làm sao để có thể đưa được một con tàu lớn như vậy xuống
nước?
Nhưng Acsimet đã dùng trục quay để kéo con tàu với rất ít người giúp việc.
Chiếc tàu khổng lồ này có đầy đủ tiên nghi, như nhà bếp, nhà ăn, chỗ dạo chơi, kho
lương thực, thư viện,….”
11
3.2.1 Acsimet - về các vật nổi
Acsimet đang tắm
Trong tác phẩm “Về các vật nổi”, Acsimet bắt đầu đưa ra các định luật về áp
lực của chất lỏng trên vật bị chìm trong nó mà tỉ trọng nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn tỉ
trọng của chất lỏng.
Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm một chiếc vương miện mới và
thật đẹp. Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho anh ta một thỏi vàng óng ánh
yêu cầu anh ta phải làm nhanh cho vua chiếc vương miện.
Không lâu sau vương miện đã được làm xong, nó được làm rất tinh vi và đẹp,
Quốc vương rất hài lòng và đội lên đi đi lại lại trước mặt các đại thần. Lúc đó có tiếng
thì thầm: “Vương miện của bệ hạ đẹp quá nhưng không biết có đúng đều là vàng thật
không?” Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: “Chiếc
vương miện ngươi làm cho ta có đúng là toàn bằng vàng không?”
Người thợ kim hoàn bỗng đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: “Thưa bệ hạ

tôn kính, số vàng Người đưa con đã dùng hết, vừa đủ không thừa cũng không thiếu,
nếu không tin bệ hạ cho cân lại thử xem có đúng nặng bằng thỏi vàng Người đưa cho
con không ạ.”
Các đại thần đem vương miện ra cân thử, quả là không thiếu, vua đành phải thả
người thợ kim hoàn về. Nhưng vua biết rằng lời nói của người thợ kim hoàn ấy khó có
thể tin được vì rằng anh ta có thể dùng bạc để thay vàng với trọng lượng tương đương
mà nhìn bề ngoài không thể phát hiện ra được.
Quốc vương buồn phiền chuyện này nói với Acsimet, Acsimet nói với Quốc vương:
“Đây quả là bài toán khó, con xin giúp người làm rõ chuyện này”.
Về đến nhà, Acsimet cân lại vương miện cùng thỏi vàng, đúng là trọng lượng bằng
nhau. Ông đặt chiếc vương miện lên bàn ngắm nghía và suy nghĩ đến mức người phục
vụ gọi ăn cơm mà vẫn không biết.
12
Ông nghĩ: “Vương miện nặng đúng bằng thỏi vàng, nhưng bạc lại nhẹ hơn vàng, nếu
như trong vương miện có trộn lượng bạc nặng đúng bằng lượng vàng lấy ra, như vậy
chiếc vương miện này phải lớn hơn chiếc vương miện làm hoàn toàn bằng vàng. Làm
thế nào để biết được thể tích của chiếc vương miện này và thể tích của chiếc vương
miện làm toàn bằng vàng cái nào lớn, cái nào nhỏ? Chẳng lẽ phải làm một chiếc nữa,
như vậy thì thật tốn công tốn sức”. Acsimet lại nghĩ: Đương nhiên có thể nấu lại chiếc
mũ này và đúc thành vàng thỏi để xem nó còn to bằng thỏi vàng cũ không, nhưng như
vậy chắc chắn nhà vua không đồng ý, tốt nhất là phải nghĩ ra cách gì khác để so sánh
thể tích của chúng. Nhưng cách gì đây?
Acsimet thông minh bỗng trở lên trầm lặng, ông vắt óc suy nghĩ mãi mà vẫn
chưa tìm ra cách. Ông thường lặng lẽ ngồi cả buổi, mọi người nói ông “đang bí”.
Một hôm Acsimet đi tắm, vì cứ suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, sắp tràn cả
ra ngoài. Ông bước vào bồn tắm, nước tràn ra ngoài, ông càng chìm người vào bể
nhiều thì nước càng tràn ra ngoài nhiều. Acsimet như bừng tỉnh, mắt bỗng sáng lên,
ông nhìn nước tràn ra ngoài bể và nghĩ rằng: Số nước tràn ra có thể bằng với thể tích
phần cơ thể của ông chiếm trong bể nước không? Ông rất vui, lập tức cho đầy nước
vào bồn tắm và lại bước vào bồn, sau đó lại làm lại một lần nữa. Đột nhiên, ông bỗng

chạy ra ngoài vỗ tay reo lên: “Eureka”, “Eureka”… (Tìm ra rồi), mà quên cả mặc
quần áo ông. Sức đẩy của nước lên người ông đã gợi cho ông cách giải bài toán và từ
đó ông tìm ra định luật mang tên ông.
3.3. Acsimet - Diệu kế đánh thắng địch
Acsimet đang suy nghĩ cách
Acsimet là người yêu nước thiết tha. Ông đã tham gia bảo vệ quê hương chống bọn
xâm lược La Mã, đã lãnh đạo các công trình kĩ thuật phức tạp và sáng chế vũ khí phục
vụ kháng chiến.
13
3.3.1. Acsimet - súng bắn đá
Súng bắn đá
Thời kỳ cổ Hi Lạp, giữa các nước nhỏ thường xảy ra chiến tranh, còn Acsimet ở một
nước rất nhỏ bé có tên gọi là Syracuse cũng không tránh khỏi tình trạng đó. Cho dù ở
tuổi 73 nhưng ông vẫn tham gia chiến đấu bảo vệ tổ quốc.
Lực lượng của kẻ địch hết sức hùng mạnh, tướng chỉ huy hải quan của chúng là
một kẻ ngạo mạn và hung ác chỉ huy 60 chiếc thuyền, dương oai diễu võ tiến vào
Syracuse.
Acsimet sớm đã chuẩn bị nghênh chiến, ông đã tính toán thiết kế một loại súng bắn đá,
loại máy móc này giống như súng cao su bắn chim ngày nay nhưng nó có thể bắn đi
được những viên đá nặng hàng trăm kg.
Khi nhìn thấy kẻ thù đến gần, Acsimet mới lệnh: “Bắn!” thế là từng viên đá ớn
phóng ra rơi lên chiếc thuyền của kẻ địch, không ít thuyền chiến bị phá hỏng, bọn địch
sợ khiếp vía chạy tháo thân. Bị tổn thất chúng đành phải rút lui, rồi bàn nhau tìm cách
đánh tiếp. Có người trong chúng đưa ra đề nghị sẽ đánh vào ban đêm, không để đèn,
không thổi kèn, lặng lẽ tiến lên, đợi khi tiến sát chân thành Syracuse lúc ấy vũ khí của
Acsimet phát minh sẽ không thể sử dụng được nữa.
Thủ lĩnh của quân địch cười vang: “Hãy để cho những hòn đá đáng ghét ấy rơi xuống
biển sâu, dọa cá, ngày mai chúng ta đứng ở cung điện Syracuse”.
Đêm đã đến, cả khoảng đêm tĩnh lặng, chỉ còn nghe thấy tiếng sóng biển đập
vào bờ đá, chiến thuyền của kẻ địch lặng lẽ đến ngoài thành.

Lúc này binh sĩ địch đã dựng thang, vác búa chuẩn bị phá cổng thành.
Từ phía trên cái đầu nóng của quân thù là tiếng “két két” , trên tường hình như có cả
bóng người di động. “Cũng chẳng sợ, kiểu gì thì những hòn đá lớn kia cũng không thể
14
bắn vào chúng ta được” - tên tướng chỉ huy nghĩ. Tuy là nghĩ như vậy nhưng kẻ địch
vẫn cảm thấy lo lắng.
Tiếng “két két” vẫn vang đều đều, tiếng vang ngày càng lớn. Không biết
Acsimet đang làm cái trò gì? Acsimet vẫn đang chỉ huy binh sĩ chuẩn bị máy bắn đá,
chỉ có điều lần này là loại khác. Ông buộc một tấm ván có một đầu vừa mỏng vừa rộng
vào những cái gân bò, một đầu của nó xếp đầy những hòn đá to hỏi các loại, những sợi
gân bò này được nối với một tay quay kiểu trục quay, khi những sợi gân bò được xoắn
thật chặt thì buông lỏng tay ra, đầu ván bật lên mạnh, những viên đá bắn thẳng lên trời
rồi rơi thẳng xuống, đánh trúng vào những chiến thuyền đang áp sát bờ và bọn binh sĩ,
có một hòn đá đã đập đúng đầu tên chỉ huy.
Kẻ thù điên cuồng phải chấp nhận thất bại một lần nữa. Nhưng vẫn không chịu cam
tâm thất bại, chúng lại phát động cuộc tấn công lần thứ ba.
3.3.2. Acsimet chiếc gương quay
Nhà văn cổ Hi Lạp Plutarơ đã tả lại việc quân đội La Mã bị đánh trả ở thành
phố Xiracudơ như sau:
“Khi quân La Mã bắt đầu những cuộc tiến công từ đất liền cũng như trên biển,
nhiều người dân Xiracudơ cho rằng khó có thể chống lại một đội quân hùng mạnh
như vậy. Acsimet liền cho mở các máy móc và vũ khí đủ các loại do ông sáng tạo ra.
Thế là những tiếng động khủng khiếp, tới tấp giáng xuống đầu các đội quân đi bằng
đường đường bộ. Cùng lúc đó có những thanh xà nặng uốn cong giống hình chiếc
sừng được phóng từ pháo đài, liên tiếp rơi xuống tàu địch.
Tướng La Mã phải ra lệnh rút lui. Nhưng bọn xâm lược cũng không thoát khỏi
tai hoạ. Khi các đoàn tàu địch chạy gần đến khoảng cách một mũi tên bay thì Acsimet
ra lệnh mang đến tấm gương sáu mặt. Cách tấm gương này một khoảng ông đặt các
tấm gương khác nhỏ hơn, quay trên các bản lề. Ông đặt tấm gương giữa các tia sáng
của Mặt trời mùa hè. Các tia sáng từ gương chiếu ra đã gây nên một đám cháy khủng

khiếp trên các con tàu. Đoàn tàu biến thành đám tro…”
Câu chuyên tưởng như hoang đường. Nhưng đến năm 1777 nhà toán học nổi
tiếng Bu – phông mới chứng minh được rằng điều đó có thể xảy ra. Bằng 168 chiếc
gương, trong những ngày nắng tháng tư, ông đã đốt cháy một cây to và làm nóng chảy
chì ở cách xa 45 mét.
15
Chiếc gương quay
3.4. Đừng làm hỏng hình vẽ của tôi – cái chết của Acsimet
Sau mấy lần thất bại, mùa thu 212 trước Công nguyên kẻ địch xin đình chiến và trao
đổi tù binh. Nhân dân Syracuse vốn yêu chuộng hòa bình nên đã chấp thuận ngay lời
đề nghị của họ.
Acsimet lương thiện cho rằng kết thúc chiến tranh, ông lại có thể suy nghĩ về
những hình vẽ và những vấn đề trên bãi biển của ông. Nhân dân Syracuse cũng cho
rằng trao đổi tù binh đồng nghĩa với tuyên bố chiến tranh kết thúc, họ chuẩn bị ăn
mừng thắng lợi.
Ngày ăn mừng thắng lợi đã đến, mọi người múa hát, uống rượu mừng, cả thành
phố chìm trong hạnh phúc. Mãi đến đêm khuya khi mọi người đa rượu say mới kéo
nhau về nhà nghỉ, ngay cả những binh sỹ đứng gác cũng rượu say lơ mơ dựa vào
tường thành, ngủ gà ngủ gật.
Nhưng chính vào lúc này, mấy chiếc thuyền nhỏ lặng lẽ rẽ sóng biển, cập bến
và luồn vào thành, gần như không một binh sỹ nào biết, chúng chia đi các ngả trấn giữ.
Ngày thứ hai, trời vừa sáng khi người dân Syracuse vẫn chưa tỉnh giấc mộng thì tiếng
kèn lệnh của quân thù đã vang lên ở khắp nơi trong thành.
“Hỏng rồi! Kẻ thù đã vào trong thành”;“Đất nước đã bị kẻ thù chiếm mất rồi”.
Mọi người đều kinh hoàng, chạy toán loạn, bỗng chốc không có chỉ huy, không
có tổ chức, càng không có chuẩn bị, họ biến thành những hạt cát rời, mất sức chiến
đấu.
16
Kẻ địch vào được trong thành thừa cơ mở cửa thành, dễ dàng kéo vào thành.
Acsimet đang ở đâu? Ông đang miệt mài với những công việc của mình trên bãi

cát, quân địch tiến vào thành ông không để ý thấy. Ông không nghe thấy tiếng hò hét
của kẻ thù cũng không nghe thấy tiếng kêu cứu của đồng bào của ông.
Bỗng có một cái bóng đen chắn phía trước mặt Acsimet, lấy chân đạp lên những hình
vẽ trên cát của ông. Acsimet tỏ ra bực mình vì đất nước ông không có người nào lại
mất lịch sự với ông như vậy. “Này ông giẫm hỏng hết những hình vẽ của tôi rồi, tránh
ra!”
Nhưng những tên lính xâm lược kia đâu có biết ông là ai, chúng nghe thấy có người
dám mắng chúng, liền gầm lên là sẽ giết ông.
Lúc đó Acsimet mới biết đang đứng trước mặt ông là quân thù. Ông trầm giọng
nói với tên lính này rằng: “Xin lỗi, xin ông đợi cho một chút có được không? Đừng
làm hỏng những hình vẽ của tôi, tôi phải giải xong nó đã”.
3.5 Những công trình khác do Acsimet tìm ra
1. Công thức tính diện tích và thể tích hình lăng trụ và hình cầu.
2. Acsimet đã tìm ra giá trị gần đúng của số Pi bằng cách dùng một đa giác đều
có 96 cạnh nội tiếp trong một đường tròn. Năm 250 trước Công nguyên, ông chứng
minh rằng số Pi nằm giữa 22/7 và 23/7
3. Phương pháp tính gần đúng chu vi vòng tròn từ những hình lục giác đều nội
tiếp trong vòng tròn.
4. Những tính chất của tiêu cự của Parabole
5. Phát minh đòn bẩy, đinh vis Acsimet (có thể do Archytas de Tarente), bánh
xe răng cưa.
6. Chế ra máy chiến tranh khi Cyracuse bị quân La Mã vây.
7. Chế ra vòng xoắn ốc không ngừng của Acsimet (có thể do Conon de Samos)
8. Tính diện tích parabole bằng cách chia ra thành tam giác vô tận
9. Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Acsimet, Trọng tâm
Barycentre
10. Những khối Acsimet (Solides Acsimet)
11. Những dạng đầu tiên của tích phân.
17
Nhiều công trình của ông đã không được biết đến cho đến thế kỷ XVII, thế kỷ XIX,

Pascal , Monge và Carnot đã làm công trình của họ dựa trên công trình của Acsimet.
3.6. Tác phẩm ông đã viết về
- Sự cân bằng các vật nổi
- Sự cân bằng của các mặt phẳng trên ký thuyết cơ học
- Phép cầu phương của hình Parabole
- Hình cầu và khối cầu cho Toán. Tác phẩm này xác định diện tích hình cầu theo bán
kính, diện tích bề mặt của hình nón từ diện tích mặt đáy của nó.
3.7. Ông còn viết những sách về
- Hình xoắn ốc (đó là hình xoắn ốc Acsimet, vì có nhiều loại xoắn ốc)
- Hình nón và hình cầu (thể tích tạo thành do sự xoay tròn của mặt phẳng quanh một
trục (surface de révolution), những parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole
- Tính chu vi đường tròn (Ông đã cho cách tính gần đúng của con số Pi mà Euclide đã
khám phá ra.
- Sách chuyên luận về phương pháp để khám phá Toán học. Sách này chỉ mới được
khám phá ra vào năm 1889 tại Jérusalem.
- Về trọng tâm và những mặt phẳng: đó là sách đầu tiên viết về trọng tâm barycentre (ý
nghĩa văn chương là “tâm nặng”)
PHẦN 4 : MỘT SỐ CÂU NÓI CỦA ACSIMET
1.“Cho tôi một điểm tựa, tôi có thể làm cho Trái Đất này dịch chuyển”
2. Khi phát hiện ra quy tắc biểu diễn một số bất kỳ, Acsimet hô lên rằng “tôi có thể
đếm được tất cả các hạt cát trong vũ trụ”.
3. Khi Acsimet phát hiện ra định luật về vật nổi Acsimet kêu to “Eureka” (tìm ra
rồi).
4. “Xin lỗi, xin ông đợi cho một chút có được không? Đừng làm hỏng những hình
vẽ của tôi, tôi phải giải xong nó đã”.
PHẦN 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỔ CỦA ACSIMET
1. Chứng minh rằng hình tròn ngoại tiếp hình vuông có diên tích gấp đôi hình tròn
nội tiếp hình vuông ấy.
18
2. Acsimet đã chứng minh rằng:

a) Diện tích mỗi hình tròn sẽ bằng diện tích của một tam giác vuông có một
cạnh góc vuông bằng bán kính hình tròn, còn cạnh góc vuông kia bằng độ dài
đường tròn.
b). Diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phương đường kính theo tỉ số
14
11
.
Hãy chứng tỏ rằng cả hai mệnh đề của Acsimet tương đương với quy tắc tính
diện tích hình tròn hiện nay là
7
22
r
2
.
3. Diện tích của chỏm cầu bằng diện tích hình tròn có bán kính là đoạn thằng nối từ
đỉnh chỏm cầu tới đường tròn đáy của chỏm cầu.
4. Hãy tìm một hình cầu có thể tích bằng thể tích một hình nón hay một hình trụ
cho trước.
5. Chứng tỏ rằng hình trụ có đáy là đường tròn lớn của một hình cầu và chiều cao
bằng đường kính hình cầu đó có thể tích bằng
2
3
thể tích hình cầu và diện tích xung
quanh bằng
2
3
diện tích mặt cầu.
6. Hãy nêu ra các con số thể hiện số hạt cát chứa trong một cái bình to bằng Trái
Đất, hơn thế nữa số hạt cát chứa trong một cái bình to bằng vũ trụ, nếu ta coi vũ trụ
là hình cầu có tâm nằm ở tâm Trái Đất còn bán kính bằng khoảng cách giữa Trái

đất và Mặt Trời.
7. Hãy dựng gần đúng một đa giác đều 7 cạnh bằng thước và compa.
8. Hãy dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước. Hãy
giải bài toán một cách gần đúng nhờ tam giác Bing.
9. Bài toán về những con bò
Hỡi người bạn thông minh
Hãy chỉ cho tôi biết
Có bao nhiêu chú bò
Đực, cái và màu sắc
Đang ăn cỏ đồng xa?
19
Biết có bốn đàn bò
Trắng, xám, nâu và đốm
Với tỉ lệ như sau:
Đối với lũ bò đực
trắng bằng nửa bò xám
thêm phần ba của xám
cộng với lũ bò nâu;
Xám bằng phần tư đốm
thêm phần năm đốm nữa
cộng với lũ bò nâu;
Số bò có lông đốm
bằng phần sáu bò trắng
cộng thêm lũ bò nâu
và một phần bảy trắng.
Với các chú bò đực
Thì chỉ biết vậy thôi.
*
Số bò cái màu trắng
bằng phần ba của xám

(cả xám đực và cái)
cộng với một phần tư
tất cả lũ bò xám.
Nhưng riêng bò cái xám
bao gồm một phần tư
của lũ bò lông đốm
cộng thêm một phần năm
đốm đực cái cộng lại.
Tổng số bò cái đốm
bằng phần năm bò nâu
(cả nâu đực, nâu cái)
cộng thêm mộ phần sáu
20
của cả đực cái nâu.
Cuối cùng, số cái nâu
bằng phần sáu bò trắng
cộng với một phần bảy
của tất cả bò trắng.
*
Ấy vậy mà chưa đủ
Bò đực trắng, đực xám
Khi xếp hàng đều nhau
Thì có hình vuông đấy!
Còn đực nâu, đực đốm
Xếp dần theo bậc thang
Bắt đầu từ một chú
Thì có hình tam giác
Bạn ơi, nào nghĩ xem?
PHẦN 6: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN
Bài toán 1. Chứng minh rằng hình tròn ngoại tiếp hình vuông có diện tích gấp đôi

hình tròn nội tiếp hình vuông ấy.
Hướng dẫn
S
ngoại tiếp
=
π
R
2
; S
nội tiếp
=
π
r
2
,
r =
2
a
; R =
2
2a
, trong a là cạnh hình vuông.
Khi đó S
ngoại tiếp
=
2
2
a
π
; S

ngoại tiếp
=
4
2
a
π
Vậy: S
ngoại tiếp
= 2 S
nội tiếp

Bài toán 2 . Hãy tìm một hình cầu có thể tích bằng thể tích một hình nón hay một
hình trụ cho trước.
Hướng dẫn
21
V
cầu
=
π
3
4
R
3
; V
nón
=
π
3
1
r

2
h;

π
3
4
R
3
=
π
3
1
r
2
h
R =
3
2
4
hr
Do đó V
trụ
=
π
r
2
h ;

π
3

4
R
3
=
π
r
2
h
Vậy R =
3
2
4
3
hr
Bài toán 3. Chứng tỏ rằng hình trụ có đáy là đường tròn lớn của một hình cầu và
chiều cao bằng đường kính hình cầu đó có thể tích bằng
2
3
thể tích hình cầu và diện
tích xung quanh bằng
2
3
diện tích mặt cầu.
Hướng dẫn

Theo điều kiện bài toán ta nhận được thể tích của hình trụ là:
V
trụ
=
π

R
2
.2R = 2
π
R
3
=
)4(
2
3
2
R
π
=
2
3
V
cầu
Theo giả thiết ta có diện tích toàn phần của hình trụ :
S
trụ
= 2
π
R.2R + 2
π
R
2
= 6
π
R

2
=
)4(
2
3
2
R
π
=
2
3
S
cầu .

PHẦN 7: KẾT LUẬN

- Acsimet là nhà khoa học, nhà cơ học và một nhà toán học vĩ đại. Ông không
những đóng góp cho nhân loại về các công trình nghiên cứu mà Acsimet còn là một
22
nhà rất yêu nước nồng nàn, khi tuổi đã cao nhưng Acsimet vẫn hết lòng nghĩ cách để
bảo vệ quê hương chống lại bọn xâm lược La Mã.
- Những thành tựu của Acsimet có tầm quan trọng rất lớn đối với toán học và
đời sống: Ông tính được diện tích nhiều hình, thể tích nhiều vật thể. Acsimet có khái
niệm rất rõ ràng về phép tính vi tích phân, một bộ phận khá quan trọng trong toán học
hiện đại ngày nay mà con người chúng ta áp dụng.
- Ngoài ra Acsimet còn đế lại rất nhiều công trình về cơ học và thiên văn,
Acsimet không chỉ giỏi về toán mà ông đóng góp nhiều định lý cũng như định luật cho
ngành vật lý hôm nay. Acsimet còn là một con người rất nhiệt tình trong công việc
cũng như trong nghiên cứu, cho dù cái chết cận kề nhưng Acsimet vẫn không sợ mà
mãi mê nghiên cứu cho xong những ý tưởng mà ông ta đang suy nghĩ.

- Ông là người sống đạo đức, có trách nhiệm đối với quê hương đất nước, hết
mình đóng góp cho công việc nghiên cứu. Những đức tính đó của ông có giá trị giáo
dục rất cao thế hệ hôm nay.
……………………………………………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán, NXB Giáo Dục, 6/2008
[2] Phan Thanh Quang, Giai thoại toán học (tập 1; 2), NXB Giáo Dục, 1995
[3] Lê hải Châu , Danh nhân toán học thế giới, NXB Giáo Dục, 1989
[4] Trần Lưu Cường – Trần Lưu Thịnh, Những bài toán cổ – NXB Giáo Dục, 1998
[5] Nguyễn Cang – Lịch sử toán học – NXB Trẻ, 1999
[6]
[7] http://Thầy đồ.net
23